Programme complet : perso.univ-lemans.fr/~jhthomas/syll 5a...
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1
Traitement du signal (15 h)Jean-Hugh Thomas ([email protected])
1 Signaux aléatoires
2 Analyse spectrale
3 Systèmes linéaires stochastiques• Modèles AR, MA, ARMA
• Prédiction linéaire
• Estimation spectrale «moderne»
4 Temps-fréquence, temps-échelle (Ondelettes)
Programme complet : perso.univ-lemans.fr/~jhthomas/syll_5a_ts.html
perso.univ-lemans.fr/~jhthomas/fiches/fiches.htmlFiches TP :
Bibliographie• Théorie et traitement des signaux(F. de Coulon),
Dunod, 1984.• Traitement numérique des signaux(M. Kunt), Presses
polytechniques romandes, 1984.• Méthodes et techniques de traitement du signal et
applications aux mesures physiques(J. Max), Tome 1 Masson, 1985.
• Techniques modernes de traitement numérique des signaux(M. Kunt), Presses polytechniques romandes, 1991.
Bibliographie (suite)
• Traitement numérique du signal une introduction(A.W.M. Van Den Enden, N.A.M. Verhoeckx), Masson 1992.
• Signaux et systèmes linéaires(Y. Thomas), Masson, 1994.
• Temps-fréquence(P. Flandrin), Hermès, 1993.
4
Bibliography
• Modern Spectral Estimation (S. M. Kay), Englewood Cliffs, NJ:Prentice Hall, 1988.
• Discrete-Time Signal Processing(A. V. Oppenheim and R. W. Schafer) Englewood Cliffs, NJ:Prentice Hall, 1989.
• Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications (J. G. Proakis and D. G. Manolakis), Upper Saddle River, NJ:Prentice Hall, 1996.
• A wavelet tour of signal processing(S. Mallat), Academic Press, 1999.
5
Signaux aléatoires
1 Concept
2 Représentations statistiques
3 Stationnarité
4 Ergodicité
5 Spectres
6 Signaux particuliers
6
Signaux aléatoires
3 expériences
X(t)
x3(t)
x2(t)
x1(t)
Processusaléatoire
7Processus aléatoire
8
F(x)
x
1
0
F
F
( )
( )
−∞ =+∞ =
0
1
Fonction de répartition
Densité de probabilité
f(x)
x0 µ µ µ µ X
9
Exemples de signaux aléatoires
• Electrocardiogramme
• Signal de parole
• Roulis d’un navire
• Consommation d’électricité
• Pression dans chambre de combustion d’un moteur
10
Exemples
3
6
15
30
Temps
Temps
Puissanceen kW
Température en °C
11
Moyenne et variance
1 1000 2000 3000 4000 5000850
900
950
1000Pression atmosphériqueen mbar
x t x t x t1 2 3( ), ( ), ( )
Echantillons
m t( )
m t t( ) ( )± σ
12
Exemples de signaux aléatoires
• Electrocardiogramme
• Signal de parole
• Roulis d’un navire
• Consommation d’électricité
• Pression dans chambre de combustion d’un moteur
13
Ergodicité
tMoyennes d’ensemble
[ ]E X tN
tN i
i
N
x( ) ( )lim=→∞ =
∑1
1
Moyennes temporelles
14
Ergodicité
[ ]m E X tT
x t dtT T
T
= =→∞ −∫( ) ( )lim
1
2
[ ] ( )2 2 21
2σ = = −→∞ −∫E X t
Tx t m dtc
T T
T
( ) ( )lim
[ ]XT T
T
R E X t X tT
x t x t dt( ) ( ) ( ) ( ) ( )limτ τ τ= − = −→∞ −∫
1
2
15
Analyse spectrale
1 Estimation
2 Périodogramme
3 Périodogramme moyenné
4 Périodogramme modifié
5 Corrélogramme
16
Chaîne de mesure
Filtreanti-repliement
Echantillonnage
FFT⊗
Fenêtrage
Signal x(t)
Spectre| X(f) |
17
• : Vecteur de variables inconnues
• : Vecteur de variables mesurées
x
y
Estimation
x y
• : Estimation$x
( )g y$x
Système
Bruit
18
• Biais de l’estimateur
• Matrice de variance-covariance
• Variance (cas monovariable)
• Erreur quadratique moyenne
• Estimateur consistant
Qualité d’un estimateur
[ ]b E X x= −$
[ ]( ) [ ]( )[ ]Σ X
T
E X E X X E X= − −$ $ $ $
[ ]( )[ ]σ X E X E X22
= −$ $
( )[ ]E X x bX$ − = +
2 2 2σ
NN
NNb
→∞ →∞= =lim lim σ 2 0
19
Estimation de corrélation
0 N-1
Temps
xn
−−−−ττττ N-1- ττττTemps
τ < 0xn+ττττ
N-1- ττττ−−−−ττττ
τ > 0
Taille du support de RXττττ
????1-N 0 N-1
ττττ
20
Estimation de corrélation
0 N-1
n
xn
Support de n????
−−−−ττττ −−−−τ τ τ τ + N -1
n
xn+τ
τ 0≤Somme sur N+ττττ
échantillons
τ τ τ τ donné
21
Estimation de corrélation
0 N-1
n
xn
Support de n????
−−−−ττττ −−−−τ τ τ τ + N -1
n
xn+ττ 0≥
τ τ τ τ donné Somme sur N-ττττ
échantillons
22
Estimateur de corrélation
( ) 0ˆ ' =τXRbBiais
( )N
N − τ 2Variance proportionnelle à Estimateurconsistant
01ˆ
1
0
' ≥−
= +
−−
=∑ τ
τ τ
τ
τ n
N
nnX XX
NR
01ˆ
1' <
+= +
−
−=∑ τ
τ ττ
τ n
N
nnX XX
NR
ττ XX RRE =]ˆ[Espérance
23
( )ττ
τXX R
NRb −=ˆ
Estimateur de corrélation
Biais
1
NVariance proportionnelle à
Estimateurconsistant
$RN
X XX nn
N
nτ
τ
τ τ= ≥=
− −
+∑1
00
1
$RN
X XX nn
N
nττ
τ τ= <= −
−
+∑1
01
τττ BXX wRRE =]ˆ[Espérance
24
1 Calcul par FFT de la TFD de {Xn} sur N points.
2 FFT-1 de ( )X f2
Algorithme de calcul
3 Calcul de ( ) ( )( )$RN
FFT X fXτ τ=
−−1 1 2
( )( )211ˆ fXFFTN
RX−=
τou de
25
Périodogramme simple
( )x nTFD
( )Xs f$1 2
N.
( )x nTFD
( )Xs f$
$rbiaisé
Transformée de Fourier de l’estimation biaisée de l’autocorrélation du signal pondéré par une fenêtre
26Périodogramme
( )( ) ( )σ N X XS f S f2 2$ ≈
Biais
Variance
Estimateurinconsistant
( ) ( ) 21ˆ fXNT
fSe
X =
( )( ) kfiX
N
NkX eR
N
kfSb
k
π21
1
ˆ −−
+−=∑−=
)()()](ˆ[ fWfSfSE BXX ∗=Espérance
27
Périodogramme moyenné
x0
L points
xL-1 xN-1x2L-2
K fenêtresrectangulaires
Bartlett (1948)
pas de recouvrement
28
Périodogramme moyenné
i=0,1...K-1
Segment
$ ( ) $ ( )( )s fK
s fXB
Xi
i
K
==
−
∑1
0
1
x n x n i Li ( ) ( )= +i=0,1...K-1
n=0,1...L-1
( ) ( )21
0
2)(ˆ ∑−
=
−=L
n
nfji
eiX enx
L
Tfs π
29Périodogramme moyenné
( )( )b S fk
LR k eX
B
k N
N
Xi f k$ ( )= −
=− +
−−∑
1
12 π Biais
Estimateurconsistant
( )( ) ( )( )σ σN XB
L XiS f
KS f2 21
$ $ ( )≈ Variance
$ ( ) $ ( )( )S fK
S fXB
Xi
i
K
==
−
∑1
0
1
)()()](ˆ[ fWfSfSE BXBX ∗= Espérance
30
Périodogramme modifié
x0
L points xL-1
D points
xD-1
xD+L-2
xN-1x2D-2
M fenêtres
Recouvrement : L - D points(M - 1) D + L = N
Welch (1967)
31
Périodogramme de Welch
i=0,1...M-1Segment
$ ( ) $ ( )( )s fM
s fXW
Xi
i
M
==
−
∑1
0
1
UL
w nn
L
==
−
∑1 2
0
1
( )
( ) ( )21
0
2)( )(ˆ ∑−
=
−=L
n
nfji
eiX enwnx
LU
Tfs π
32
Périodogramme de Welch
Espérance
Estimateur consistant
( )( ) ( )( )σ σN XW
L XiS f
MS f2 21
$ $ ( )≈ Variance
$ ( ) $ ( )( )S fM
S fXW
Xi
i
M
==
−
∑1
0
1
( )[ ] ( ) ( )fSfSfS WXWX *ˆ =Ε
33
$rX
( )x nTFD
( )$s fX
Corrélogramme
Blackman et Tukey (1958)
( ) kfjM
MkX
BTX ekwkRfS π2
1
1
)()(ˆˆ −−
−=∑=
34
Corrélogramme
Espérance
Estimateur consistant
Variance
( )[ ] ( ) ( )fWfSfS BXBTX *ˆ =Ε
( )[ ] ( )
≈ ∑−
−=
1
1
222 )(1ˆ
M
MmX
BTXN mw
NfSfSσ
35
Systèmes linéaires stochastiques
1 Transmission d’un signal aléatoire dans un système linéaire
2 Processus générateurs d’un signal aléatoire : filtres formeurs du 1er ordre
36
Transmission d’un signal aléatoire dans un système linéaire
Xn YnH(z)
• Valeur moyenne de la sortie ?
• Intercorrélation entre la sortie et l’entrée ?
• Autocorrélation de la sortie ?
• Densité spectrale de puissance de la sortie ?
• Moyenne
• Intercorrélation
Interspectre
• Autocorrélation
DSP
37Paramètres statistiques
[ ]Ε ΧΥn nh= ∗
YX XR R hτ τ τ= ∗
Υ Χτ ττ τR h h R= ∗ ∗−
( ) ( ) ( )fff SSY ΧΗ= 2
( ) ( ) ( )fff SSYXΗ=
Χ
38
Y a Y Xt t t+ = +1 avec a< 1
[ ]E X Vt2 =
[ ]E Xt = 0 [ ]E Y y0 0=
( )[ ]E Y y P0 0
2
0− =
[ ]E X Xt t − = ∀ ≠τ τ0 0
Filtres formeurs du 1er ordre
[ ]E X Yt t − = ∀ ≥τ τ0 0
39
Filtre formeur du 1er ordre
{Y t}
{X t}
tt-ττττ1111t-ττττ1111−−−−1111 t-ττττ2 t+1111 τ = τ = τ = τ = −−−−1111
[ ]E X Yt t − = ∀ ≥τ τ0 0Yt-ττττ et Xt corrélés ?
40
Xt YtBruit blanc centré de variance V
Analyse
1er ordre
Caractéristiques statistiques de Yt ?
• Moyenne ?• Variance ?• Autocorrélation ?
41
Filtre formeur du 1er ordre
{Y t}
{X t}
t+ττττ-1
Yt corrélé à Xt , Xt+1 , ... Xt+ττττ-2 , Xt+ττττ-1 ?
t
42
Caractéristiques statistiques de la sortie du processus du 1er ordre
[ ]E Y a y ytt
t= =0
Moyenne
P a P a a a Vtt t= + + + + −2
02 4 2 21 L
P a P Vt t+ = +12 lim
ttP
V
a→∞=
−1 2
Variance
( )R a
V
aYτ
τ=−1 2Autocorrélation
43
Synthèse
xt yt
?
R P aYτ
τ=
( )H zz
az=
−
−
−
1
11( )V a P= −1 2
44
Modélisation paramétrique
1 Modèle AR
2 Prédiction linéaire
3 Modèles MA, ARMA
4 Estimation spectrale
5 Exemples
45
Processus générateurs :MA, AR, ARMA
xn ynH(z)
Bruit blanccentré
( )Η z b zii
Ni=
=
−∑0
Signal MA, filtre FIR
( )Η za zi
i
Ni
=+
=
−∑
1
11
Signal AR, filtre IIR
( )Η zb z
a z
ii
Ni
ii
Ni
=+
=
−
=
−
∑
∑
0
1
1
Signal ARMA
46
Bruit blanc centré de variance V
Modélisation autorégressive
• Réponse impulsionnelle
hi du filtre ?
• Puissance de Yt ?
• Autocorrélation de Yt ?
Xt Yt
( )Η za zi
i
Ni
=+
=
−∑
1
11
47
hV
RV
R a RYX Y i Yi
N
iτ τ τ τ= = +
+=∑
1 1
1
R a RY i Yi
N
iτ τ= −
−=∑
1
R V a RY i Yi
N
i01
= −=∑
Processus générateur AR
• Réponse impulsionnelle du filtre :
• Puissance :
• Autocorrélation :τ > 0
48
Equations de Yule Walker
Υ Υ Υ Υ
Υ Υ Υ Υ
Υ Υ
Υ
Υ Υ Υ
0 1 2
1 0 1 1
2 2
0
1 0
1
0
0
0
1
2
R R R RR R R RR R
RR R R
N
N
N
N N
a
a
a
V
N
.
.
. . .
. .
. .
. .
−
−
−
=
R a V=
49Algorithme de Durbin-Levinson• 1.
• 2.
• 3.
• 4.
• 5.
• 6.
N = 0
0 0 01
0,,a V R= = Υ
N Nn
N
N nV R aN n
+−
== −
+ −∑1
1
0 1Γ Υ ,
( )N N NV V+ += −1 1
21 Γ
N n N n N N N n
N
a a a+ + + −
+
= +
1 1 1
1
1
, , ,ΓΓ
N N= + 1
n = 0
n N= + 1
1≤ ≤n N
si
si
si
50
Bruit blanc centré de variance VN
Synthèse d’un signal AR
• Estimation de la séquence d’autocorrélation { RYττττ}
Processus aléatoire
• Calcul des a N, i et VN par l’algorithme de Levinson
Xt Yt( )Η za zN i
i
Ni
=+
=
−∑
1
11
,
yt
(τ(τ(τ(τ = 0,... N )
51
Prédiction linéaire
t-1
{ y1 t }
{ y2 t }
t Temps
Valeurs de y1 et y2à l’instant t ?
ty2ˆ
ty1ˆ
y2 t
y1 t
E Y Yt t t= − $
52
Analogie
Yt EtH-1 (z)
Xt YtH (z)
Filtre MA prédicteur d’erreur
Filtre AR
53
Equations de Yule Walker
Υ Υ Υ Υ
Υ Υ Υ Υ
Υ Υ
Υ
Υ Υ Υ
0 1 2
1 0 1 1
2 2
0
1 0
1
0
0
0
1
2
R R R RR R R RR R
RR R R
N
N
N
N N
a
a
a
V
N
.
.
. . .
. .
. .
. .
−
−
−
=
R a V=
54
Bruit blanc centré de variance V
Modélisation moyenne mobile
• Réponse impulsionnelle hidu filtre ?
• Puissance de Yt ?
• Autocorrélation de Yt ?
Xt Yt
( )Η z b zii
Ni=
=
−∑0
55
h bi i=
∑=
−=N
iiiY hhVR
τττ
R V hY ii
N
0
2
0
==∑
Processus générateur MA
• Coefficients du filtre :
• Puissance :
• Autocorrélation :
τ ≤ N
56
Bruit blanc centré de variance V
Synthèse d’un signal MA
• Estimation de la séquence d’autocorrélation { RYτ τ τ τ }
Processus aléatoire
• Calcul des bi par programmation non linéaire
Xt Yt( )Η z b zi
i
Ni=
=
−∑0
yt
(τ(τ(τ(τ = 0,... N )
57
Bruit blanc centré de variance V
Modélisation autorégressive et moyenne mobile
Autocorrélation de Yt ?
Xt Yt
( )Η zb z
a z
ii
Ni
ii
Ni
=+
=
−
=
−
∑
∑
0
1
1
Y b X a Yt ii
N
t i ii
N
t i= −=
−=
−∑ ∑0 1
58
τ = N
Processus générateur ARMAAutocorrélation :
τ > N
[ ]R a R b E X YY ii
N
Y ii
N
t i tiτ τ τ= − += =
− −∑ ∑−1 0
R a RY ii
N
Y iτ τ= −
=∑ −
1
R a R b b VY ii
N
Y NN N i= − +
=∑ −
10
59
Modélisation ARMA
Υ Υ Υ Υ
Υ Υ Υ Υ
Υ Υ
Υ
Υ Υ Υ
N N N
N N N
N
N
N N N
R R R RR R R RR R
RR R R
a
a
a
b b V
N
N− −
+
+
−
=
1 1 0
1 1
2 2
2 2 1
1
0
0
0
1
2
0.
.
. . .
. . . .
. .
. .
Equations de Yule Walker
60
Bruit blanc centré de variance V
Synthèse d’un signal ARMA
1 Estimation de la séquence d’autocorrélation { RYττττ}
Processus aléatoire
2 Calcul des a N, i par l’algorithme de Levinson
Xt Yt
b zii
Ni
=
−∑0
yt
1
11
+=
−∑a zN ii
Ni
,Ut
(τ(τ(τ(τ = N,... 2N )
61
Synthèse d’un signal ARMA3 Détermination des { Ut }
4 Estimation de la séquence d’autocorrélation { RUτ τ τ τ }}}}
5 Calcul des bi par programmation non linéaire
U Y a Yt t ii
N
t i= +=
−∑1
R V b bU i ii
N
τ τ
τ
= +=
−
∑0
b N0 1= ≤, τ
Choix de l’ordre du modèle
2ˆ)1(
)1()( NNM
NMNFPE σ
+−++=
2ˆln2
)( NM
NNAIC σ+=
2ˆlnln
)( NM
MNNMDL σ+=
21
2 ˆˆ1
)(N
N
i i M
NM
M
iM
MNCAT
σσ−−
−= ∑=
Final Prediction Error(Akaike)
Akaike Information Criterion
Minimum Description Length(Rissanen)
Criterion Autoregressive
Transfer(Parzen)
62
63
Estimation de la DSP à partir du modèle AR du signal
• Estimation de la séquence d’autocorrélation {Ry(k)}.
• Calcul des aN,i et VN par l’algorithme de Levinson.
• Détermination de la Densité Spectrale de Puissance :
( ) 2
1
2,1 ∑
=
−+=
N
n
TnfjnN
NY
eea
VfS
π
64
Estimateur de DSP
( ) ( )1 11 3 1− +− −z z
24
52
31
40sin sin
π πt t
+
Bruit blanc centré de variance 1
Signal MA
+
+Estimateur
de DSP
65
Estimateur de DSP
Bruit blanc centré de variance 1
1
1 145 0811 2− +− −. .z zEstimateur
de DSP
Bruit de mesurede variance σ σ σ σ 2
Signal AR
1
66
Analyse par ondelettes
1. Intérêt d’une Représentation Temps-fréquence
2. La transformée en ondelettes continue
3. Comparaisons avec la transformée de Fourier à court terme (bancs de filtres)
4. Ondelettes discrètes ou analyse multirésolution
5. Quelques applications
67
Représentation temporelle
100 200 300 400 500
2
1
0
-1
-2
Temps [ nombre d’échantillons]
Amplitude
Signal synthétisé sur 512 points, fe=2 kHz
2
68
Représentation fréquentielle(Fourier)
0 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 0-2 0
-1 0
0
1 0
2 0
3 0
Fréquence [Hz]
Moduledu
spectre[dB]
3 fréquences : 80 Hz, 200 Hz, 370 Hz
69
Intérêt d’une représentation en temps et en fréquence
«La représentation d’un signal comme fonction du temps exhibe mal le spectre des fréquences en jeu, alors qu’au contraire son analyse de Fourier masque l’instant d’émission et la durée de chacun des éléments du signal.»
R. Balian dans Les ondelettes algorithmes et applicationsY. Meyer. Armand Colin 1992
Notes ���� fréquences
Blanche, noire… ���� durée
3
70
Représentation temps-fréquenceou temps-échelle
100 200 300 400 5000
10
20
30
40
50
60
Temps [ nombre d’échantillons]
Echelleou
fréquence
370 Hz
200 Hz
80 Hz
71
Représentation en 3D
Temps [ nombre d’échantillons]
Fréquence [Hz]
4
72
50 100 150 200 250
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Représentation temporelle
Temps [ nombre d’échantillons]
Amplitude
Signal synthétisé sur 256 points, fe=5 kHz
Contenu : modulations de fréquence (2), impulsions (1 BF, 2 HF), fréquence pure (1)
73
Représentation fréquentielle(Fourier)
Fréquence [Hz]
DensitéSpectrale
de Puissance[dB]
0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0 2 5 0 0- 1 5
- 1 0
- 5
0
5
1 0
5
74
Représentation temps-échellepar transformée en ondelettes
continues
Temps [ nombre d’échantillons]
Echelleou
fréquence
800 Hz
400 Hz
270 Hz
200 Hz
160 Hz
50 100 150 200 250
5
10
15
20
25
0
10
20
30
40
50
60
75
Transformée de Fourier à court terme (short time Fourier transform)
M fenêtres
dtetwtxfSTFT ftjx
πττ 2)(*)(),( −+∞
∞−∫ −=
M transformées de Fourier
6
76
Analyse temps-fréquence par transformée de Fourier
à fenêtre glissante
fen= 128 ech., dt= 2 ech.
df=
39.
0625
Hz
80 100 120 140 160 180
0
500
1000
1500
2000
2500 0
20
40
60
80
100
120
77
Analyse temps-fréquence par transformée de Fourier
à fenêtre glissante
fen= 64 ech., dt= 8 ech.
df=
78.
125
Hz
50 100 150 200
0
500
1000
1500
2000
2500 0
20
40
60
80
100
120
7
78
( )ψ αt e ei c t t= − 2 2 2
Types d’ondelettes
Ondelette de Morlet Chapeau mexicain
( ) ( )ψ t a e tt= −− 2 2 21
79Ondelettes analysantes
Ondelette mère
Dilatation Contraction
)(1
)(, a
t
ata
τψψ τ−=
)(tψ
8
80
Principe de la transformée en ondelettes
Temps
x(t)
ψψψψτ,τ,τ,τ,a(t)
ττττ1111 ττττ2222
dta
ttx
aaCWTx )(*)(
1),(
τψτ −= ∫∞+
∞−
81
Comparaison STFT-CWT
dtetwtxfSTFT ftjx
πττ 2)(*)(),( −+∞
∞−∫ −=Analyse
dta
ttx
aaCWTx )(*)(
1),(
τψτ −= ∫∞+
∞−Reconstruction
∫ ∫∞+
∞−
∞+
∞−= dfdtgfSTFT
Etx fx
w
ττ τ )(),(1
)( ,ftj
f etwtg πτ τ 2
, )()( −=
∫ ∫∞+
∞−
∞+
∞−=
2, )(),(1
)(a
dadtaCWT
Ktx ax
τψτ τψ
9
82
Comparaison STFT-CWT
⊗
e j f−2 π τ
( )w e j f* − τ π τ2x( )τ ( )X fτ ,
x( )τ 1
a aψ
τ
( )CWT ax τ ,
Transformée en ondelettes continue
Transformée de Fourier à court terme
83
Comparaison CWT, STFT : Bancs de filtres
Tempsfréquence
STFT
CWTTempséchelle
f/fe0.1
0 0.50.40.30.20.1 f/fe
0.50.40.30.20
10
84
Pavage des plans temps fréquence, temps échelle
-1
1
1 256
Fréquence
Temps
Temps
Echelle
85
Implantation de la transformée en ondelettes continue
⊗
( )CWT ax τ ,
x( )τ
1
a aψ
τ
FFT
FFT
FFT -1
11
86
Discrétisation du plan temps-échelle
x1 x2 x16x8
j=0
j=3
j=2
j=1k
ψ k j,
( ) ( )ψ ψk j
jjt t k, = −
−−2 22
a j= 2 τ = k j2
87
Analyse multirésolution : Algorithme
2H(z) 2H(z)2H(z)
2G(z)
2G(z)
2G(z)
{xn}={ak,0} {ak,1} {ak,J-1}
{dk,J}
{dk,2}
{dk,1}
{ak,J}
12
88
Gabarit des filtres
f
1
1/2
1/2 1/2
|H||G|
|G||H|
f f0
1
fe /2j+1 fe /2j+1fe /2j fe /2j
Filtres miroirsen quadrature
89
Analyse multirésolution : exemple 1
3 fréquences : 80 Hz, 200 Hz, 370 Hz
fe=2 kHz
[fe/4, fe/2]
[fe/8, fe/4]
[fe/16, fe/8]
[fe/32, fe/16]
[0, fe/4]
[0, fe/8]
[0, fe/16]
[0, fe/32]
[256, 512 Hz]
[128, 256 Hz]
[64, 128 Hz]
13
90
Analyse multirésolution : exemple 2
fe=5 kHz
[fe/4, fe/2]
[fe/8, fe/4]
[fe/16, fe/8]
[fe/32, fe/16]
[0, fe/4]
[0, fe/8]
[0, fe/16]
[0, fe/32]
91
Applications des ondelettes
� Extraction de caractéristiques
� Identification de phénomènes
� Débruitage
� Compression
14
92
Identification de phénomènes
Objectif : Suivi de l’évolution du frottement entre le piston et la chemise au cours de la phase de rodage
Etude de F. Magand, O. Giraud, Actes Conf. « Méthodes de surveillance et techniques de diagnostic acoustiques et vibratoires » :
Suivi de l’état tribologique d’un moteur diesel à partir de mesures accélérométriques
93Identification de phénomènes
Résultat : obtention d’un critère énergétique de rodage permettant d’estimer l’importance du frottement
15
94Extraction de caractères :
Journées du GDR-ISIS et de la SEE «La reconnaissance des formes : quelles méthodes pour quelles applications ? 23-24/03/2006
Etude de Z. Hamou Mamar du LIMOS (Laboratoire d’Informatique de Modélisation et Optimisation des Systèmes, Clermont-Ferrand) :
Diagnostic de l’usure des galets du système de guidage d’un tramway sur pneumatique
95
Extraction de caractères :
Z. Hamou Mamar, LIMOS,Journées du GDR-ISIS et de la SEE «La reconnaissance des formes : quelles méthodes pour quelles applications ? 23-24/03/2006
Scalogramme + réduction (SVD) + classification (k-PPV, RBF, SVM)
16
96
Références
• Temps-fréquence(P. Flandrin), Hermès, 1993.• Ondes et ondelettes la saga d’un outil mathématique
(B. Burke Hubbard), Pour La Science, 1995.• A wavelet tour of signal processing(S. Mallat),
Academic Press, 1998.• Les ondelettes et leurs applications(M. Misiti, Y. Misiti,
G. Oppenheim, J.-M. Poggi), Hermès, 2003.