PROGRAMMATION DYNAMIQUE TEMPS-ÉNERGIE MINIMUM DES …

PROGRAMMATION DYNAMIQUE TEMPS-ÉNERGIE MINIMUM DES ROBOTS PARALLÈLES PAR

LAGRANGIEN AUGMENTÉ

Amar Khoukhi, Luc Baron, Marek Balazinski

ÉÉcole Polytechnique de Montrcole Polytechnique de Montrééalal

DDéépartementpartement de de ggéénienie mméécaniquecanique

P.O. Box 6079, Station CentreP.O. Box 6079, Station Centre--ville, Montrville, Montrééal, Canada, H3C 3A7al, Canada, H3C 3A7Tel. (514) 340Tel. (514) 340--4711/ ext. 4271 Fax (514) 3404711/ ext. 4271 Fax (514) 340--58675867

amar.khoukhiamar.khoukhi, , luc.baronluc.baron, , marek.balazinskimarek.balazinski@@polymtl.capolymtl.ca

2/24

PLANPLAN

IntroductionModèle dynamique

Représentation d’état en temps continueReprésentation d’état en temps discret

Contraintes AssociéesCritères d’optimisationAlgorithme de Résolution

Fonction Lagrangien AugmentéImplantationConclusions et perspectives

3/24

SchSchéémama de de ProgrammationProgrammation HorsHors--ligneligne pour un pour un SystSystèèmeme RobotiqueRobotique

4/24

ExempleExemple de de SimulateurSimulateur de de VolVol de CAEde CAE

5/24

ReprRepréésentationsentation ggééomoméétrique trique dudu robot robot parallparallèèle le

6/24

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

×

×=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

6.

1.

6

11 -

666

111

.

/10

0/1

) (

) (

l

l

l

l

nnaR

nnaR

x TTPP

W

TTPP

Wω

Le modèle cinématique directe exprime le taux des variations de la

position et l’orientation de la plateforme en fonction des variations des

longueurs des vérins:

ReprRepréésentationsentation dd’é’état continue tat continue dudu robot robot parallparallèèlele

ModModèèle cinle cinéématique directematique directe

il Longueur du vérin i Tlllllll ) , , , , ,( 654321=

7/24

112

11

. ⋅−

⋅−− == qJqJJlModModèèle cinle cinéématique inversematique inverse


Tttttztytxtq ))( ),( ),( ),( ),( ),(( )( ψθϕ=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

×

××

−

θθφφθφφ

cos 0 1 sincos sin 0

sinsin cos 0

33

3333

12

O

OI

J⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

×

×=−

TPP

WT

TPP

WT

naRn

naRnJ

) (

) (

666

1111

1

La relation entre les dérivées des angles d’Euler et les vitesses angulaires de la plateforme est :

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

.

.

.

cos1sincossin0

sinsincos0

ψθ

ϕ

θϕϕϕθϕϕ

ωωω

z

y

x

8/24

662

66 )( 2 M ×× +== IJnJnpIM msaaπ

662

66 )( 2V ×× +== IbnbnpIV msaaπ

6666 2 K ×× == InpIK aa π

Matrices d’inertie des constantes et des gains des moteursaM aVaK

maaa FKlVlM τ =++⋅⋅⋅

ModModèèle dynamique des actionneursle dynamique des actionneurs (dans l’espace articulaire)

aM aVaK Élements des matrices précedentes


9/24


ModModèèlele dynamiquedynamique dudu robot robot parallparallèèlele dansdans ll’’espaceespace CartesienCartesien

)( ) ,( )( qGqqNqqM cccm

−⋅−⋅⋅−++=τ

)) ,( )(( .1..qqDqMq cmc

−−−−= τ Avec )( ) ,( ) ,(

.qGqqNqqD ccc

−⋅−−+=

1 )( )( −+= JMqMJKqM aT

ac Matrice d’inertie

⋅−−

⋅⋅⋅⋅++= qdt

dJMJVqqqNKqqN aaac ) ( ),() ,(

11 forces de Coriolis et centrifuge

)( )( qGJKqG Tac = Vecteur des forces de gravité

10/24

Ce qui est aussi équivalent à :

[ ]⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−)( ),( )(

1211

12

.

2

1

XGXXNXMX

XX

ccmc τ

[ ] [ ]⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

+−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

×−

×

××

××

⋅

)(),( )(0

)(

1211

116

1

166

2

1

6666

6666

2

1

XGXXNXMXMO

XX

OOIO

XX

cccm

cτ

Ou d’une manière équivalente :

)( )(1 tqtX =Avec )( )( 1.

2 tXtX =


11/24

Représentation d’état en temps discret

ModModèèlele dynamiquedynamique en temps en temps discretdiscret ::

[ ][ ] )(),()( 2 0

12111

66

662

2

1

6666

6666

12

11kckkckc

k

k

k

kk

k

k XGXXNXMIhIh

XX

IIhI

XX

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

×

×

××

××

+

+

[ ][ ]mkc

k

kXM

IhIh

τ )( 2 11

66

662

−

×

×

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

On notera par la suite cette équation:

) , ,(1 kkkdk hXfXk

τ=+

Système de 12 équations

12/24

CritCritèèresres de performancede performance

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧∫ ++

ℜ∈ℜ∈ +

t

t

TT

f

dttQXtXtRtMinttt

f

0

226

0

))()(21 ))()((

)( ,

ιτττ

Avec les pendérations suivantes

RιQ

)),(( htτ ∈ Η×

le problème consiste à déterminerEn temps continue,En temps continue,

ℂ qui minimise la fonctionelle suivante

Matrice 6 x 6 définie positive Scalaire positifMatrice 6 x 6 symétrique définie non négative

Minimisation multi-objective: Temps-Énergie

13/24

CritCritèèresres de performancede performance

le problème est équivalent à déterminer la séquence

),,...,,(),,...,,(( 62

22

12

61

21

11 ττττττ

),...,,( 21 Nhhh

)),,...,,(..., 621NNN τττ

[ ] ) ( 1

226 ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧∑ ++

=×

+ℜ∈ℜ∈

N

kkkkkk

N

N

hQXXRMin TT

h

ιτττ

En temps En temps discretdiscret,,

des commandes

Et qui minimisent

14/24

ContraintesContraintes AssociAssociééeses

Le modLe modèèle dynamique discretle dynamique discret ),,(1 kkkdk hXfXk

τ=+

Ff XtX =)(00)( XtX =ÉÉtat initial et tat initial et éétat finaltat final

Limites sur les configurations articulaires intermLimites sur les configurations articulaires interméédiairesdiairesiMax i

kiMin lll << ,...,N,ki 21et ,6,...,1 ==

110 −= ,...,N,k

)( . XLLl iMaxiMaxiMaxMaxi Θ==avec

Passage par des configurations Passage par des configurations cartesiennescartesiennes imposimposééeses

0)( 1 =− jl

jk XXE

est la j-ème composante du l-ème point de passage imposéjlX

15/24

{ }{ },...,NkiD ikiikiad 1 ,6,...,2,1 , que tel, max,min, =∈<<= τττττ

Limites sur les couples moteursLimites sur les couples moteurs

Limites sur le nombre de condition de la matrice Limites sur le nombre de condition de la matrice jacobienejacobieneMaxMin )Cond( κκ << kX ))(Cond( )Cond( 1

kk XJX −=avec

ContraintesContraintes AssociAssociééeses

{ }maxmin que tel, hhhhD kkhad <<=Limites sur les pLimites sur les péériodes driodes d’é’échantillonnagechantillonnage

16/24

FonctionFonction LagrangienLagrangien AugmentAugmentéé

= ), , , , , , , , , , , , ,( ςδγηξνρβαλτμ hXL

{ }+−Φ+−Φ∑∑−

= = ) ,( ) ,(

1

0

12

1

N

k j

jk

jMin

jk

jMax

jk

jk

jk XXXXh βα μμ

{ }+−+∑∑−

= =+

1

0

12

11 ),,((

N

k jkkk

jd

jk

jk hXfX

kτλ[ ]∑

−

=++

1

022

N

kkk

Tkk

Tk hQXXR ιττ

{ }+−Φ−−Φ∑∑−

= = ),(),(

1

0

6

1

N

k j

jk

jMin

jk

jMax

jk

jkkh ττδττγ μμ

{ }+Θ−Φ+−ΘΦ∑∑−

= =

))( ,( ) )(,(1

0

6

1

N

k jkj

jMin

jk

jMaxkj

jkk XllXh νρ μμ

{ }+−Φ+−Φ∑−

=

1

0 ))Cond( ,( ))Cond( ,(

N

kkMinkMaxkkk XXh κηκξ μμ

∑∑∑= = =

−ΨN

k

L

l j

jl

jk

jkk XXEh

1 1

6

11 ))}(,({ δμ

17/24

FonctionsFonctions de de ppéénalitnalitéé

bbaba T )2 ( ),( μμ +=Ψ

⎪⎩

⎪⎨⎧

<

>+=Φ0 Si 0

0 Si )2

( ),( b

bbbabaTμ

μ

Pour les Pour les contraintescontraintes éégalitgalitéé

Pour les Pour les contraintescontraintes ininéégalitgalitéé

0 <Ω )t

(X

0 )( =Ξ tXles les ContraintesContraintes ininéégalitgalitéé parpar

les les ContraintesContraintes ininéégalitgalitéé parpar

On On noteranotera ggéénnéériquementriquement

18/24

MaxMin,ττX,X MinMax

X0 XF

Procédure de Résolution

ι R Q

ÉÉtapetape 1.1. Lecture des Lecture des donndonnééeses::

Pendérations des critères d’optimisationPoses initiale et finale de la plateforme

Lecture des paramètres géométriques et dynamique du robot

Limites maximum et minimum de la pose du robot

MaxMin,hhLimites maximum et minimum des couples moteurs

Limites maximum et minimum des périodes d’échantillonage

N*T

Nombre de discrétisations de la trajectoire

Nombre maximum d’itérations

Initialiser les paramètres de pénalité et de tolérance de l’algoritme

19/24


ÉÉtapetape 2. Initialisation 2. Initialisation TrajectoireTrajectoire initialeinitiale::Une solution initiale est définie par un profil cinématique trapéziodale en coordonnées cartésiennes

Vf vitesse maximumT1 Temps d’accéleration et déccéleration, T2 Temps de vitesse constante

20/24

À partir des la trajectoire initialeet des périodes d’échantillonage correspondantesOn calcule la suite de 1,..., −No ττ

No XX ,...,No hh ,...,

, , , , , , , ,, 0000000000 μςηξνρδγβα

} )/Max ,Min(),....,/Max,Min({ MAX,21,1,16j1MaxMAX,21,12,16j1Max)0( jj

NjN

jjj X|X|XhX|X|Xhh −≤≤≤≤−−=


Initialisation des Initialisation des ppéériodesriodes dd’é’échantillonagechantillonage::

Initialisation des couples Initialisation des couples moteursmoteurs::

Initialisation des Initialisation des paramparamèètrestres dudu LagrangienLagrangien augmentaugmentéé::

ÉÉtapetape 2. Initialisation 2. Initialisation

**1

* , , , ηηυ w,u,u,uw ssss , , , , 21ηη

21/24

Pour déterminer un coût final est défini par

qui donne

Puis par application des conditions d’optimalité on trouve la

suite des états adjoints

1−Nλ ( ) ( )NXNTX2

1

NN X=−1λ

DDééterminationtermination des des éétatstats adjointsadjoints::

oN λλ ,...,1−

ÉÉtapetape 3.3. Solution Solution faisablefaisable


22/24

ProjectionProjection::

) ), ,(( )), ,((

minmax11

minmax11

hhhMinMaxhMinMax

kk

kk

++

++== ττττ

⎩⎨⎧

∇+=∇+=

+

+).,,( ).,,(

1 1

xhLhhxhL

kkkhkkkkkkkkkkk

τρτρττ

μμτ

.) , ,(

1 XhLk kkk

k τρ

α∇=

Minimisation:Minimisation:


ÉÉtapetape 3.3. Solution Solution faisablefaisable

23/24


*wL <∇ μ * )( η<Ω X*1 )( η<Ξ X

, , *1** ηηw

)( ,)( , )( )()(ti

ki

ktkktj

kj

k hhXX ττ === ∗∗∗ }6,...,1{ ∈i}12,...,1{ ∈j},...,0{ Nk∈

ÉÉtapetape 4.4. Test de ConvergenceTest de Convergence

AfficherAfficher la la trajectoiretrajectoire optimaleoptimale et les et les commandescommandes correspondantescorrespondantes

SiSi

AlorsAlors ConvergenceConvergence avec les avec les prpréécisionscisions::

24/24


ÉÉtapetape 4.4. Test de ConvergenceTest de Convergence

SiSi non non

tu)t(X η1 <Ω tt uX η1 )( <ΞOuOu AllerAller àà 5. 1 5. 1 SiSi

tu)t(X η2 >ΩSiSi

SiSi OuOu

OuOu tt uX η2 )( >Ξ AllerAller àà 5. 2 5. 2

AllerAller àà 5. 2 5. 2 ttt uXu ηη 21 )( ≤Ω≤ ttt u)(Xu ηη 21 ≤Ξ≤

25/24

,)(1 kTkP ς=

,),,,,,,,(2 kTkP δγηξνρβα=

Nk,XPPP ktt

k k ,...1,0)1()1( )1( , t1 =Ψ+=+

μμ

Nk,XPPP ktttk

tk ,...1,0)2()2( )2( , )-(1 1 =Φ+=+

μμμ

tt μμ 1=+NeNe pas changer les pas changer les ppéénalitnalitééss

11 ++ = tta μRRééduireduire les les toltoléérancesrances ηβηη 11 ++ = ttt a wttt aww β

11 ++ =

MisesMises àà joursjours des multiplicateurs de Lagrangedes multiplicateurs de Lagrange

ÉÉtapetape 5. 5. DDéésaggrsaggréégationgation des des misesmises àà joursjours::


5.1. 5.1. MisesMises àà joursjours des multiplicateurs de Lagrangedes multiplicateurs de Lagrange

26/24

Nk ,...1,0 =

ttt μυμ 1=+⎩⎨⎧ ==

non si ),max( si

t

ttt a

aυμυυ

RRééduireduire lle e cocoééfficientfficient de de ppéénalitnalitéé

1

-

1 ++ = tta μυ ηβηη 11 ++ = tst a wtst aww β

11 ++ =

NeNe pas changer les pas changer les multiplicateurs de Lagrangemultiplicateurs de Lagrange,,

RRééduireduire les les toltoléérancesrances

tkhX ), , , , , , , , , , , , ,(


5. 2. 5. 2. RRééductionduction ddes es ppéénalitnalitééss

ÉÉtapetape 5. 5. DDéésaggrsaggréégationgation des des misesmises àà joursjours::

ςδγηξυ

:ηδη

27/24

),(max 11 ++ = tst ua μ

tt aa <+1w

tt aww sα

11 ++ =ηαηη 11 ++ = tt asSiSi AlorsAlors

ÉÉtapetape 6. 6. AggrAggréégationgation des des misesmises àà joursjours::

PoserPoser

11 ++ = ttt aww ηβηη 11 ++ = ttt aSiSi nonnon


ÉÉtapetape 7. 7. TerminaisonTerminaison::∗< Tt 1+=tt

∗ TSiSi AlorsAlors AllerAller àà l’Étape 4

Si non, le nombre maximum dSi non, le nombre maximum d’’ititéérations est drations est déépasspassééNon convergenceNon convergence


28/24

SchSchéémama OpOpéérationnelrationnel dudu LagrangienLagrangien AugmnentAugmnentéé

29/24

Implantation Implantation ((sur un modèle d’une plateforme d’un robot parallèle de type Ingrisoll))

)(1 ma )(4 ma )(6 ma

Paramètres géométriques du Robot :

-0.1125 0.1125

-0.194

-0.228

-0.1949

-0.228

-0.225

0.0

-0.228

-0.225

0.1949

-0.228

0.1125

0.1949

-0.228

0.225

0.0

-2.22

x

y

z

Paramètres cinématiques de la plateforme mobile dans le repère P

)(2 ma )(3 ma )(5 ma

Paramètres dynamiques du Robot :

30/24

)(1 mb )(4 mb )(6 mb

Paramètres géométriques du Robot :

-0.0 0.0

3.07

1.85

2.8

2.03

- 1.6012

3.07

-0.925

- 1.758

2.8

-1.015

1.6012

3.07

-0.925

1.758

2.8

-1.015

X

Y

Z

)( min mli

Paramètres cinématiques des vérins dans le repère W (de la base du robot)

)(2 mb )(3 mb )(5 mb

Ixx(Kg.m2) Iyy(Kg.m2) Izz(Kg.m2) Masse(Kg)

5.8 310

0.0

-0.228

0.1949

-0.228

26.2

0.1949

-0.228

26.2

0.0

-2.22 )( max mli

Paramètres de masse et d’inertie de la plateforme mobile


31/24

Premiers résultats de simulations:Une trajectoire de la plateforme type Ingrisoll en mouvement vertical de la position cartésienne (0.0, -1.19, 0.0) à la position (0.0, 1.19, 0.0) avec une orientation horizontale inchangée et une vitesse maximum de 0.2m/sec et une accélération maximum de 2 m/sec2. Le temps de la trajectoire initiale est de 2 sec


32/24

ConclusionsConclusions et perspectiveset perspectives

Planification multi-objective de trajectoire par Lagrangien AugmentéOptimisationOptimisation tempstemps--éénergienergiePrisePrise en en comptecompte des des contraintescontraintes::

ModModèèlele dynamiquedynamique du robotdu robotConfigurations Configurations initialeinitiale, finale, et , finale, et intintéérmrméédiairesdiairesÉÉvitementvitement des des SingularitSingularitééssLimitations des Limitations des actionneursactionneurs

En conclusionEn conclusion

En perspectivesEn perspectivesValidation de l’approche: par une implantation surles simulateurs de vol de Séries 500 et de la Série 750.Extention à d’autres contraintes telle que:

Optimisation de lOptimisation de l’’espaceespace de travailde travailOptimisation de la chargeOptimisation de la chargeInclusion des mInclusion des mododèèleless des des frottementsfrottements

PROGRAMMATION DYNAMIQUE TEMPS-ÉNERGIE MINIMUM DES …

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