PROFESSIONNELLE ESEe EXAMENECRIT

EXAMEN DE MATURITE MATHEMATIQUES

PROFESSIONNELLE

ESEe EXAMEN ECRIT

Juin 2021

page 1 de 6

Durée : 120 minutes

Classe :

Moyen(s) auxiliaire(s) autorisé(s) :

• Formulaire usuel fourni avec l’épreuve.

• Calculette : TI-30 ECO RS, TI-30X II S, Casio fx-85 ES (PLUS) ou HP 10s+ Scientific

Calculator.

• Règle, équerre, rapporteur et compas.

Autres consignes :

• Le candidat met son nom sur toutes les feuilles, y compris celles de brouillon.

• Les points attribués à chaque problème sont indiqués à droite du numéro du pro-

blème.

• Après avoir si nécessaire travaillé sur un brouillon, le candidat rédige à l’encre les so-

lutions sur les feuilles officielles. La rédaction doit être soignée.

• Les calculs et les raisonnements doivent être détaillés.

• La réponse est clairement mise en évidence à la fin du problème.

• Les feuilles de brouillon sont jointes aux feuilles officielles mais ne sont pas corrigées.

• Si la rédaction est insuffisante, le problème ne sera pas corrigé et aucun point ne sera

attribué.

Exercice Page Nb. points attribués Nb. points obtenus

1 2 8

2 2 8

3 3-4 13

4 5-6 16

Total pts attribués Total pts obtenus

45

Barème :5 · (total des points obtenus)

45+1 Note finale :

1


PROFESSIONNELLE

ESEe EXAMEN ECRIT

Juin 2021

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Classe :

Problème 1 [8 pts]

Résoudre les équations suivantes

a) (3 pts)

x

3 +5x

2 = 12x °x

3

b) (2 pts)8><

>:

°2x +3y = 10

15

y +x ° 95= 0

c) (3 pts)

3 ·4x = 3x+1

2

Problème 2 [8 pts]

Une personne voudrait épargner de l’argent pour avoir un montant de CHF 50’000.- dans 20

ans. La banque lui propose un taux annuel d’intérêts composés de 2.5%.

a) (1 pt)

Calculer le montant que doit mettre cette personne aujourd’hui pour avoir CHF 50’000.-

dans 20 ans.

b) (2 pts)

Si la personne ne peut épargner que CHF 20’000.- aujourd’hui, quel devrait être le taux

d’intérêts composés annuel pour qu’elle ait les CHF 50’000.- dans 20 ans?

La banque ne peut proposer qu’un taux annuel de 2.5%. La banque propose à la personne

d’épargner de l’argent par versement annuel constant chaque début d’année. Donner vos

résultats aux 5 centimes près.

c) (2 pts)

Calculer les annuités que doit verser cette personne chaque début d’année pour avoir

CHF 50’000.- dans 20 ans.

d) (3 pts)

Après reflexion la personne désire faire des versements mensuels au début de chaque

mois, quels sont les montants des versements?

2


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Juin 2021

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Classe :

Problème 3 [13 pts]

PARTIE I [5 pts]

Les étudiants de deux classes A et B du Gymnase d’Yverdon ont répondu à un sondage sur

le nombre d’heures par semaine qu’ils passaient à regarder des séries (sur n’importe quel

support). Les résultats de ce sondage ont été représentés par deux boîtes à moustaches, une

par classe.

a) (2 pts)

Donner les 3 quartiles pour les deux classes.

b) (3 pts)

Est-ce que les affirmations suivantes sont vraies ou fausses? Justifiez votre réponse.

A) Il n’y a aucun élève de la classe B qui regarde 0h par semaine des séries.

B) Au moins la moitié des élèves de la classe B regarde des séries exactement 15 heures

par semaine.

C) L’étudiant qui regarde le plus d’heure des séries par semaine est dans la classe A et

regarde 20 heures par semaine.

3


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Juin 2021

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Classe :

PARTIE II [8 pts]

Dans un Gymnase nous avons demandé aux 400 élèves leur temps de trajet pour aller de

chez eux jusqu’au Gymnase. De cette étude, nous avons fait un histogramme des fréquences

représenté ci-dessous.

c) (5 pts)

A l’aide de l’histogramme, compléter le tableau ci-dessous.

[bi°1;b

i

[ x

i

n

i

f

i

F

i

x

i

f

i

classes milieux de classes effectifs fréquences fréqu. cumulées

[0;15[

Total

d) (3 pts)

Calculer le mode, la moyenne et la médiane de cette étude statistique.

4


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Classe :

Problème 4 [16 pts]

On vous donne les informations suivantes concernant le marché du lait Suisse.

Prix en CHF pour 1 litre Quantité demandée en milliers de litres

1.20 1

0.80 4

En sachant que la fonction de demande est une fonction affine et que la fonction d’offre est

donnée par q

o

(p) = 5p ° 52

.

a) (2 pts)

Démontrer que la fonction de la demande est donnée par q

d

(p) =°152

p +10.

b) (2 pts)

Déterminer le prix et la quantité d’équilibre.

c) (2 pts)

En sachant que le coût de production unitaire est de CHF 0.40 (pour un litre). Déterminer

le bénéfice unitaire et le bénéfice total au point d’équilibre pour l’ensemble des offreurs

du marché.

d) (4 pts)

Une étude diffusée à large échelle affirme que le lait est très bénéfique pour la santé. Pour

cette raison la nouvelle fonction de demande est q

d2(p) =°152

p + 252

. Avec ces nouvelles

informations, calculer le nouvel équilibre, ainsi que le bénéfice unitaire et le bénéfice

total pour ce nouvel équilibre.

e) (6 pts)

Représenter toutes les informations des points précédents sur la graphique page sui-

vante.

5


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Classe :

1 2 3 4 5 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

6

Nom : ................................................... Prénom : ...................................................

Examen de maturité professionnelle

à l’École de Commerce

Juin 2019

MATHÉMATIQUES 3EC


Matériel autorisé : Formulaire usuel fourni avec l’épreuve.

Calculette : TI-30 ECO RS, TI-30X II S, Casio

fx-85 ES (PLUS) ou HP 10s+ Scientific

Calculator

Règle, équerre, rapporteur et compas.

Consignes :

1. Le candidat met son nom sur toutes les feuilles, y compris celles de brouillon.

2. Les points attribués à chaque problème sont indiqués à droite du numéro du problème.

3. Après avoir si nécessaire travaillé sur un brouillon, le candidat rédige à l’encre les solu-

tions sur les feuilles officielles. La rédaction doit être soignée.

Les calculs et les raisonnements doivent être détaillés.

La réponse est clairement mise en évidence à la fin du problème.

Les feuilles de brouillon sont jointes aux feuilles officielles mais ne sont pas corrigées.

Si la rédaction est insuffisante, le problème ne sera pas corrigé et aucun point ne sera at-

tribué.

Barème :5 · (nombre de points)

54+1

Nombre de points obtenus : Note finale :

Page 1 sur 4 Gymnase d’Yverdon

Examen de l’Ecole de Commerce 2019

Mathématiques

3EC

Problème 1 [12 points]

Une balle de tennis, pour être utilisée en compétition, doit être homologuée par la Fédération

Internationale de Tennis avec un poids allant de 56,7 à 58,5 grammes et un diamètre de 6,35 cm

à 6,67 cm.

Dans cet exercice, on s’intéresse seulement au poids des balles.

Un fabricant de balles de tennis de compétition a effectué des tests sur ses machines afin de

contrôler leur efficacité. Les mesures sur un échantillon de balles pressurisées ont donné les

résultats suivants (en grammes) :

56.0 56.2 56.3 56.5 56.6 56.7 56.7 56.8 56.8 56.8 56.9 56.9 56.9 56.9

56.9 57.0 57.0 57.0 57.0 57.0 57.1 57.1 57.1 57.1 57.1 57.1 57.2 57.2

57.2 57.2 57.2 57.2 57.2 57.3 57.3 57.3 57.3 57.3 57.3 57.3 57.3 57.4

57.4 57.4 57.4 57.4 57.4 57.4 57.4 57.4 57.5 57.5 57.5 57.5 57.5 57.5

57.5 57.5 57.5 57.5 57.6 57.6 57.6 57.6 57.6 57.6 57.6 57.6 57.6 57.6

57.7 57.7 57.7 57.7 57.7 57.7 57.7 57.7 57.7 57.7 57.8 57.8 57.8 57.8

57.8 57.8 57.8 57.8 57.8 57.9 57.9 57.9 57.9 57.9 57.9 57.9 57.9 58.0

58.0 58.0 58.0 58.0 58.0 58.0 58.1 58.1 58.1 58.1 58.1 58.1 58.2 58.2

58.2 58.2 58.2 58.3 58.3 58.3 58.4 58.4 58.4 58.5 58.6 58.6 58.8

1. (3 points)

Regrouper toutes les données en 6 classes de même largeur dont la première aura comme

borne inférieure 56.0 (grammes) puis dresser un tableau contenant les classes, leurs ef-

fectifs, leurs fréquences et fréquences cumulées croissantes.

2. (3 points)

Représenter ci-dessous le diagramme des fréquences cumulées croissantes et en déduire

graphiquement la valeur de la médiane.

3. (4 points)

Calculer la médiane et la moyenne x.

4. (2 points)

Déterminer quel est le pourcentage de balles non homologuées.



Mathématiques

3EC


Dans ce problème on arrondira au besoin les réponses (prix aux 5 centimes près et quantités à

l’unité).

Un confiseur a estimé que :

— s’il propose un paquet de guimauves au prix de 5.60 CHF, la quantité souhaitée par les

consommateurs est de 83 paquets ;

— s’il affiche le prix de 6.20 CHF par paquet, la quantité souhaitée par les consommateurs

est de 53 paquets ;

— la quantité qu’il peut proposer à ses clients est qo(p) = 14 p −41

5, si p est le prix d’un

paquet de guimauves;

— le coût de production d’un paquet de guimauves est de 2.30 CHF.

1. (7 points)

Déterminer l’équilibre du marché, à savoir le prix d’équilibre et la quantité d’équilibre.

2. (2 points)

Déterminer le bénéfice unitaire et le bénéfice total du confiseur.

3. (4 points)

Représenter toutes ces informations sur le graphique ci-dessous.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

q

p



Mathématiques

3EC


Un fermier choisit d’élever des vaches de race Holstein pour produire du lait et des vaches

de race Charolaise pour la viande. La loi sur la protection des animaux a fixé une surface de

5 m2 pour une vache Holstein et de 4,4 m2 pour une vache Charolaise. Une vache Holstein

consomme 30 kg de nourriture par jour alors qu’une vache Charolaise en consomme 22 kg. Le

fermier dispose d’un espace en stabulation libre de 594 m2 et peut produire au maximum une

quantité journalière de 3,3 tonnes de fourrage et ensilage pour nourrir son bétail. Il a calculé

qu’il réalise un profit de 800.- CHF par vache laitière et de 640.- CHF par vache à viande.

1. (5 points)

Après avoir identifié clairement les variables, écrire un système d’inéquations traduisant

les contraintes imposées au fermier puis la fonction objectif correspondant à son béné-

fice.

2. (5 points)

Représenter graphiquement le polygone des contraintes.

3. (5 points)

Déterminer par calculs combien de vaches de chaque race le fermier doit élever afin de

maximiser son bénéfice.


Une entreprise spécialisée dans les télécommunications bénéficie depuis quelques années d’une

hausse de son nombre de clients grâce à ses offres particulièrement attractives. Elle a constaté

que le nombre de clients comptabilisés au 1er janvier de chaque année augmente avec un taux

de 40 % par année depuis 2013.

1. (4.5 points)

Déterminer le nombre de clients que comptabilisait cette entreprise en 2013 si on sait

qu’ils étaient au nombre de 15 812 au 1er janvier de l’année actuelle.

2. (4 points)

En supposant que cette évolution suit la même progression, déterminer algébriquement

dans combien d’années l’entreprise aura multiplié par dix son nombre actuel de clients.

3. (5.5 points)

Une société concurrentielle a malheureusement réussi à proposer des offres plus inté-

ressantes sur le marché et l’entreprise s’attend à observer une perte de ses clients dès à

présent. Quel sera le taux annuel de dépréciation si l’entreprise estime qu’elle va perdre

le quart de ses clients d’ici 2024 ?



Mathématiques

3EC

Nom : ................................................... Prénom: ...................................................

Examens de l’École de Commerce juin 2018

MATHEMATIQUES 3EC


Matériel autorisé : Formulaire Polymaths fourni avec l’épreuve.

Calculette sans écran graphique ne permettant pas le calcul formel,

la résolution automatique d’équations, le calcul intégral ou le calcul

matriciel.

Règle, équerre, rapporteur et compas.

Consignes :

1. Le candidat met son nom sur toutes les feuilles, y compris celles de brouillon.

2. Les points attribués à chaque problème sont indiqués à droite du numéro du problème.

3. Après avoir si nécessaire travaillé sur un brouillon, le candidat rédige à l’encre les

solutions sur les feuilles officielles.

La rédaction doit être soignée. Les calculs et les raisonnements doivent être détaillés.

Les feuilles de brouillon sont jointes aux feuilles officielles mais ne sont pas corrigées.

4. Le facteur de capitalisation r est calculé à l’aide de la racine pour toute durée qui n’est

pas annuelle.

Gymnase d’YverdonExamen juin 2018

Page 1/4Ecole de Commerce

Mathématiques

Nom : ................................................... Prénom: ...................................................

Problème 1 [7.5 pts]

Partie 1.1 [3.5 pts]

Factoriser

P (x) = (8x3 + 27)(6x2− x− 1)

Partie 1.2 [4 pts]

Résoudre

3x2−3x+3 =

(

1

9

)x−4


Une entreprise veut vendre un produit à un prix p unitaire. Elle sait que la demande

D(p) suit une fonction affine mp+ h.

Si le prix de vente unitaire est de CHF 20, elle va vendre 1’040 unités de produits, et

si le prix de vente unitaire est de CHF 30, elle va vendre 960 unités.


Calculer D(p).

Partie 2.2 [5 pts]

Sachant qu’elle a CHF 16 de frais variables unitaires et CHF 9’600 de frais fixes,

calculer p de sorte à avoir un bénéfice maximal.



Un particulier place CHF 2’500 sur un compte d’épargne à 3 % le 15 février d’une

certaine année et il soldera son compte dès qu’il aura la somme de CHF 2’817.54.

Sachant que les intérêts annuels sont composés et que les autres sont simples, don-

ner la date du jour et le mois de la clôture (calculs financiers à quatre décimales).



Mathématiques

Nom : ................................................... Prénom: ...................................................

Partie 3.2 [3 pts]

Un particulier va verser chaque début d’année pendant 5 ans la somme de CHF

1’000 sur un compte à 3%.

3.2.1. Quelle somme S aura-t-il à la fin des 5 ans ?

3.2.2. Si l’une de ses connaissances décide de payer une prime unique de CHF

4’500 à 2.5%, pendant combien d’années entières n doit-il laisser cette somme

pour avoir au moins le même montant S ?

Formules pour les rentes :

F⋆ valeur finale, I⋆ valeur initiale, P prime, n durée, i taux effectif.

Placement :

Fp = P ·

r(rn − 1)

r − 1P = Fp ·

r − 1

r(rn − 1)

Ip = P ·

rn − 1

(r − 1)rn−1P = Ip ·

(r − 1)rn−1

rn − 1

n =

ln

(

Fp ·

r − 1

rp+ 1

)

ln rn =

lnrP

rP − iIpln r

Remboursement :

Fr = P ·

rn − 1

r − 1P = Fr ·

r − 1

rn − 1

Ir = P ·

rn − 1

(r − 1)rnP = Ir ·

(r − 1)rn

rn − 1

n =

ln

(

Fr ·

r − 1

p+ 1

)

ln rn =

lnP

P − iIrln r



Mathématiques

Nom : ................................................... Prénom: ...................................................

Problème 4 [9 pts]

Le gérant d’un magasin vendant des articles de consommation courante a relevé pour

un article particulier qui semble connaître une très forte popularité, le nombre d’ar-

ticles vendus par jour.

Son relevé a porté sur les ventes des mois de juin et juillet, ce qui correspond à 52 jours

de vente. Le relevé des observations se présente comme suit :

7 13 8 10 9 12 10 8 9 10 6 14 7 15 9 11 12 11 12 5 14 11 8 10 14 12 8 5 7 13 12 16 11 9

11 11 12 12 15 14 5 14 9 9 14 13 11 10 11 12 9 15.

(Réponses exactes pour les parties 1, 2 et 3 ; à deux décimales pour la partie 4).


Construire le tableau statistique lié à ces modalités, qui contient les effectifs, les

fréquences, les effectifs cumulés croissants et les fréquences cumulées croissantes.


Calculer le mode M0 et montrer que la moyenne arithmétique x vaut 10.67.


Calculer la médiane Me.


Calculer la variance et l’écart-type.



Mathématiques

1/2

Problème 1 (11 points)

Le prix de l’action Coca-Cola est passé de 0,15 $ en 1967 à 40,63 $ en 2016. Plus

précisément, voici l’évolution du prix année après année :

0,15 0,19 0,20 0,21 0,28

0,38 0,40 0,26 0,24 0,26

0,24 0,27 0,27 0,24 0,27

0,32 0,46 0,55 0,69 1,09

1,37 1,28 2,00 2,81 4,07

5,75 5,98 6,44 9,29 13,63

18,65 21,98 18,87 17,12 15,24

15,82 14,28 15,34 14,47 15,26

19,24 19,71 18,49 22,12 26,84

30,70 33,78 35,82 37,29 40,63

Par souci de simplification, on regroupe ces 50 valeurs en classes d’amplitude 10, la première

étant [0;10[. Dans tout ce qui suit, on fait comme si dans chaque classe la répartition était

uniforme.

a) Calculer les fréquences relative et cumulée de chaque classe.

b) Représenter l’histogramme de ces données.

c) Vérifier que la moyenne vaut 12 $.

d) Calculer l’écart-type.

e) Déterminer la classe médiane et calculer la médiane.

f) Combien de valeurs faudrait-il faire passer de la première à la dernière classe pour que la

moyenne double ?

GYMNASE DE NYON Session de juin 2019

Mathématiques (Ecole de commerce)

Examen de maturité professionnelle Durée : 2 heures Matériel autorisé : calculatrice (sans couvercle) parmi les modèles suivants :

TI 30 ECO RS, TI 30 XII S, TI 30 XII B ou Casio Fx 82 solaire ; formulaire officiel mis à disposition ; matériel de géométrie usuel.

2/2


a) Depuis l’année de votre premier anniversaire, vos grands-parents ont placé, au début de

chaque année, la somme de 1'000.− sur un compte épargne au taux annuel de 5%. A la

fin de l’année de vos vingt ans, le compte vous est légué. Quelle somme recevez-vous ?

b) Un ami vous informe que ses grands-parents ont préféré placer une somme de 20'000.−

au début de l’année de son premier anniversaire. Il a ainsi reçu la somme de 35'000.− à la

fin de l’année de ses vingt ans. Quel était le taux d’intérêt annuel ?

c) Votre ami vous explique qu’il a décidé de prêter ces 35'000.− à une startup cherchant du

financement. Cette dernière lui a promis un intérêt annuel nominal de 2,4%, capitalisé

mensuellement, et un remboursement de la dette à hauteur de 700.− par mois. Combien

de temps faudra-t-il pour que la dette soit entièrement payée ?


Un fabricant de téléviseurs souhaite mettre en vente son dernier modèle et effectue une étude

de marché. Cette dernière lui indique que la demande D (c’est-à-dire le nombre de téléviseurs

vendus), en fonction du prix p, est donnée par D(p) = 13'000 - 10p. Chaque téléviseur lui coûte

100.− à produire, et les coûts marketing pour la promotion du produit s’élèvent à 1'100'000.−.

a) Déterminer, en fonction du prix p, le coût et le revenu. Montrer que le bénéfice est donné

par B1(p) = -10p2 + 14'000p - 2'400'000.

b) Calculer les seuils de rentabilité inférieur et supérieur.

c) Donner le prix optimal auquel le téléviseur devrait être vendu et le bénéfice ainsi gagné.

Un consultant extérieur propose une stratégie marketing différente. D’après son nouveau

modèle, le bénéfice serait donné par B2(p) = -7p2 + 9'500p - 900'000.

d) Déterminer le prix optimal selon ce nouveau modèle et le bénéfice ainsi gagné.

e) Déterminer pour quels prix de vente les deux modèles donnent le même bénéfice.

f) Représenter schématiquement, sur un même système d’axes, les fonctions B1 et B2, en

indiquant sur le croquis les points trouvés en b), c), d) et e).

g) En déduire pour quels prix de vente le premier modèle offre un bénéfice supérieur au

second.

Problème 1 (8 points)À la fin de vos études, vous décidez de commercialiser un produit révolutionnaire dont vousdétenez le monopole.Riche des enseignements que vous avez reçus, vous estimez la demande du marché et les chargestotales :

— demande du marché : qd(p) = −250 p + 12 500 ;— charges totales (en fonction de la quantité q) : 0,001 q2 + 3000.

1. Déterminer le prix p en fonction de la demande q du marché.

2. Déterminer le chiffre d’affaires net en fonction de la quantité q.

3. Montrer que le bénéfice, en fonction de la quantité q, vaut :

−0,005 q2 + 50 q − 3000

4. Combien d’exemplaires de votre produit devez-vous vendre, et à quel prix, afin de maxi-miser vos bénéfices ?

Problème 2 (12 points)On a recensé les salaires annuels (en milliers de francs) de tous les salariés de l’entreprise OELM :

i 1 2 3 4 5 6

salaire [32 ; 34[ [34 ; 36[ [36 ; 38[ [38 ; 40[ [40 ; 42[ [42 ; 44[

effectifs ni 15 25 55 50 25 30

1. Représenter la situation par un histogramme.

2. Calculer la moyenne, la variance et l’écart-type.

3. Calculer la médiane Q2.

Problème 3 (3 points)On investit 10 000 fr. sur un compte à un taux d’intérêt annuel de 2,5 %.Après combien de temps aura-t-on 66 948 fr. sur notre compte ?

Problème 4 (7 points)On verse 1 000 fr. chaque mois, pendant 12 mois, à un taux d’intérêt annuel de 2,5 %.

1. Montrer que le taux mensuel équivalent est d’environ 0,206 %.

2. De quelle somme disposera-t-on au moment du dernier versement ?

3. De quelle somme disposera-t-on trois mois après le dernier versement ?

Problème 5 (10 points)Un magasin vend des ordinateurs et des imprimantes. La place disponible dans le magasin est de60 machines au maximum. En moyenne, chaque ordinateur coûte 1 000 fr. et chaque imprimante400 fr. Pour des raisons d’assurance, le magasin souhaite que la valeur du stock ne dépasse pas40 800 fr. Si son profit est de 200 fr. net par ordinateur et de 100 fr. net par imprimante, combiend’ordinateurs, respectivement d’imprimantes, ce magasin doit-il avoir en stock pour maximiserson profit net ?

ECG Chamblandes 2019 mathématiques page 2/2

Département de la formation, de la jeunesse et de la culture

Gymnase de Burier Route de Chailly 170 1814 La Tour-de-Peilz

EXAMEN DE MATURITÉ PROFESSIONNELLE

ESe

Juin 2021

MATHÉMATIQUES

EXAMEN ÉCRIT

page 1 de 12

Prénom : Durée : 120 minutes

Nom : Classe :


• Formulaire officiel non annoté • Calculatrice Texas Instruments TI 30 ECO RS

Autres consignes :

• La rédaction de vos réponses (avec détails des calculs) se fait en-dessous de chaque question. Si vous manquez de place, deux pages quadrillées sont à votre disposition à la fin de ce document.

Partie Page Feuillet

Nb. points attribués

Nb. points obtenus

Problème 1 p. 2 8

Problème 2 p. 3-4 15




Total pts attribués

Total pts obtenus

58

Gymnase de Burier Examen de maturité professionnelle


a) Résoudre le système d’équations suivant.

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

x−

x+ y

2= 5

x

2+

2y

3= 1−

y

6

b) Résoudre l’équation suivante.1000

1 + 8 · e−x= 500

Mathématiques, juin 2021 Page 2/12



Un ébéniste fabrique deux modèles de meubles, un modèle de style traditionnel et un modèle

de style design.

Pour chacun des meubles qu’il fabrique, l’ébéniste utilise deux types de bois : du hêtre et du

frêne dont il dispose sous forme de planches.

Dans le cas d’un meuble de style traditionnel, il lui faut 1.5 planches de hêtre et 1 planche

de frêne. Pour un meuble de style design, il utilise 1 planche de hêtre et 3 planches de frêne.

Il commande 11 planches de hêtre et 12 planches de frêne, qu’il utilisera durant 1 mois de

travail.

L’ébéniste sait qu’il vendra tous les meubles qu’il peut fabriquer, en réalisant un profit de

200 francs sur chaque meuble de style traditionnel et un profit de 300 francs sur chaque

meuble de style design.

On cherche à déterminer le nombre de meubles de style traditionnel et le nombre de meubles

de style design à fabriquer pour maximiser le profit durant 1 mois de travail.

a) Déterminer les contraintes du problème, en posant x pour le nombre de meubles de

style traditionnel et y pour le nombre de meubles de style design.

b) Déterminer la fonction objectif.



c) Représenter ci-dessous le polygone des contraintes.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12−1−2−3

0

−1

−2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x

y

d) Combien de meubles de style traditionnel et combien de meubles de style design l’ébé-

niste devrait-il fabriquer durant 1 mois s’il veut maximiser son profit ? Quel serait alors

son profit maximal ?




Aux guichets de la poste d’une ville de la région, on a noté le temps d’attente de 25 personnes.

Ce temps est compris entre 1 et 11 minutes. Pour ces 25 personnes, les données sont les

suivantes :

Délai d’attente Centre de Effectif fréquence fréquence

(mn) classe (%) cumulée (%)

[1; 3[ 12

[3; 5[ 5

[5; 7[ 2

[7; 9[ 4

[9; 11[ 2

Total

a) Compléter le tableau ci-dessus.

b) Calculer le temps moyen d’attente au guichet de cette poste.



c) Représenter la courbe des fréquences cumulées de cette distribution. Ajouter des éti-

quettes aux axes de coordonnées.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

d) Calculer la médiane de cette distribution. Faire ressortir la médiane sur le graphique

des fréquences cumulées.




L’entreprise MowerPro fabrique et vend des moteurs de tondeuses à gazon.

Le coût de fabrication (en CHF), pour un nombre x de moteurs, est donné par la fonction

C(x) =x2

5+ 10 x+ 120

La capacité maximale de production de cette entreprise est de 100 moteurs. En outre, on

suppose que l’entreprise vend tous les moteurs qu’elle fabrique.

Le prix de vente par moteur est de 24 CHF, quel que soit le nombre de moteurs vendus.

a) Calculer le coût de fabrication pour 50 moteurs produits, ainsi que le bénéfice obtenu

lors de la vente de ces 50 moteurs.

b) Calculer le nombre de moteurs que peut produire l’entreprise MowerPro pour un coût

de fabrication de 840 CHF.



c) Donner, en fonction du nombre x de moteurs, l’expression algébrique B(x) du bénéfice

réalisé par l’entreprise.

d) Démontrer que l’expression algébrique du bénéfice peut s’écrire sous la forme

B(x) = −

1

5(x− 10)(x− 60)

e) Déterminer le nombre de moteurs permettant d’obtenir un bénéfice maximal.

Donner ensuite ce bénéfice maximal.




Jean doit payer 10′000 CHF le 1er janvier 2037. On lui propose de placer son argent sur un

compte à un taux de 3% capitalisé annuellement le 31 décembre de chaque année.

Il réfléchit aux trois possibilités suivantes :

a) 15 versements de 500 CHF au 1er janvier de chaque année, avec un premier versement

le 1er janvier 2022 et un dernier versement le 1er janvier 2036. Combien lui resterait-il

à payer le 1er janvier 2037 afin d’obtenir les 10′000 CHF ?

b) 15 versements annuels égaux au 1er janvier de chaque année, avec un premier versement

le 1er janvier 2022 et un dernier versement le 1er janvier 2036. Que vaudrait chacun de

ces versements s’il veut obtenir les 10′000 CHF le 1er janvier 2037 ?



c) Placement d’un montant unique le 1er janvier 2022. Quelle somme devrait-il placer s’il

veut obtenir 10′000 CHF le 1er janvier 2037 ?



Gymnase de Beaulieu Rue du Maupas 50 1000 Lausanne 22


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EXAMEN ÉCRIT

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Prénom : Durée : 120 minutes

Nom : Classe :


• Calculatrice agréée sans écran graphique • Formulaire distribué

Autres consignes :

• Une présentation propre et soignée est demandée • Il est indispensable de poser tous les calculs permettant la résolution d’un

problème.

Partie Page Feuillet

Nb. points attribués

Nb. points obtenus

Problème 1 2 8

Problème 2 2 4

Problème 3 3 9

Problème 4 4 7

Problème 5 5/6 10

Total pts attribués

Total pts obtenus

38




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EXAMEN ÉCRIT

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Prénom : Nom : Classe :

Problème 1 ( 8 points ) Un horloger doit fixer le prix d’un nouveau modèle de montre, de gamme moyenne. Il sait que la demande ! dépend du prix " et suit la fonction :

!(") = − 110 " + 110

Par ailleurs, pour produire ces montres, il a des frais fixes de CHF7!000 et des frais variables de CHF 300 par montre.

a) Donner l’expression algébrique des fonctions suivantes : 1) -(") , le revenu en fonction du prix 2) .(") , le coût de fabrication en fonction du prix 3) /(") , le bénéfice réalisé en fonction du prix

b) Pour quel prix " le revenu (pas le bénéfice) sera-t-il maximal ? Quel sera alors ce

revenu maximal ?

c) Déterminer le prix " qui permettra à l’horloger d’atteindre le seuil de rentabilité inférieur.

Problème 2 ( 4 points ) Résoudre les équations suivantes : Pour chacune des questions ci-dessous, les réponses sont données avec deux décimales.

a) 10!"#$% = 400

b) 3 ln(24 − 1) + 7 = 19




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EXAMEN ÉCRIT

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Problème 3 ( 9 points ) a) À la naissance d’Aloïs, ses grands-parents décident de lui ouvrir un compte

bancaire avec un taux d’intérêt annuel de 1.75% et y versent CHF 500. Puis, pour chacun de ses anniversaires jusqu’à ses 18 ans (compris), ils lui versent à nouveau CHF 500. Malheureusement, il ne pourra disposer de cet argent qu’à sa majorité. Quel capital aura Aloïs juste après son 18e anniversaire ?

b) Bénédicte, à sa naissance, reçoit également de la part de son parrain un compte bancaire avec un taux d’intérêt annuel de 1.75%. Il y verse également CHF 500 le jour de sa naissance et à nouveau CHF 500à chacun de ses anniversaires suivants, sans s’arrêter. Quel âge aura Bénédicte quand le capital aura atteint CHF 14′000 ?

c) À la naissance de Carlos, sa tante souhaite lui ouvrir un compte, également avec un taux d’intérêt annuel de 1.75%. Son idée est de lui faire un versement régulier, le jour de sa naissance ainsi qu’à chacun de ses anniversaires, jusqu’aux 18 ans (compris) de Carlos. Quel doit être ce montant régulier si sa tante souhaite que Carlos dispose d’un capital de CHF 14′000 juste après son 18e anniversaire ?

d) À la naissance de Dahlia, ses parents lui ouvrent un compte bancaire et y placent un capital de CHF 5′000. Ils ne feront pas de versement supplémentaire par la suite. À quel taux annuel doivent-ils placer ce capital s’ils souhaitent que Dahlia dispose de CHF 14′000 après son 18e anniversaire ?




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EXAMEN ÉCRIT

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Problème 4 ( 7 points )

On donne la fonction objectif :(4; <) = 24 + 3< et le système de contraintes ci-dessous.

⎩⎪⎨⎪⎧4 + 3< ≤ 3634 + 2< ≤ 43

< ≥ 04 ≥ 04 ≤ 10

a) Sur le système d’axes ci-dessous, représenter les contraintes et hachurer le

domaine des solutions.

b) Représenter la fonction objectif pour :(4; <) = 18.

c) Déterminer graphiquement les valeurs entières de 4 et < qui maximisent :. Quelle est la valeur maximale de la fonction : ?




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EXAMEN ÉCRIT

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Problème 5 ( 10 points ) On étudie la répartition des âges de tous les membres d’une association sportive composée de 250 membres. Pour chacune des questions ci-dessous, les réponses sont données avec trois décimales.

Tranches d’âge Effectifs 4& :&

[0; 10[ 20

[10; 20[ 90

[20; 30[ 80

[30; 40[ 28

[40; 50[ 12

[50; 60[ 15

[60; 70[ 3

[70; 80[ 2

250

a) En utilisant le mode statistique de votre calculatrice, calculer la moyenne et

l’écart-type.

b) Représenter, sur l’annexe 1, la courbe des fréquences cumulées.

c) Calculer la médiane.

d) En utilisant la courbe des fréquences cumulées, représenter la boîte à moustache sous le graphique de l’annexe 1.




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EXAMEN ÉCRIT

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Annexe 1, graphique de la question b)

Représentation de la boîte à moustache.

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