Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Produit de

Matrices

Produit de

Matrices

Nous présentons l’opération de multiplication de deux matrices en utilisant la mise en situation qui nous a servi pour définir les matrices.

Introduction

Nous verrons à quelle condition les matrices sont compatibles pour la multiplication et nous présenterons quelques pro-priétés de cette opération.

Mise en situationDeux marchands ambulants vendent des jus de fruits dans les parcs de la municipalité durant les fins de semaine. Les tableaux suivants donnent les ventes, les prix et les coûts.

27

36

39

43

68

55

33

58

49

PARC BEAUSÉJOUR

Jours

Vendredi

Samedi

Dimanche

Orange

Raisin Pomme

Jus

38

46

42

63

72

63

43

65

58

PARC DE LA MAIRIE

Jours

Vendredi

Samedi

Dimanche

Orange

Raisin Pomme

Jus

1,00

1,40

1,20

0,40

0,60

0,50

Jus

Orange

Raisin

Pomme

Prix Coût

Matrices de l’informationL’information contenue dans ces tableaux est plus simplement véhiculée par les matrices suivantes :

3x2

1,00

1,40

1,20

0,40

0,60

0,50

P =

27

36

39

43

68

55

33

58

493x3

B =

38

46

42

63

72

63

43

65

583x3

M =

Ventes au parc Beauséjour :

Ventes au parc de la Mairie :

Prix de vente et coût des jus :

Multiplication de matricesSupposons que le propriétaire de l’entreprise demande de calculer les revenus et le coût d’acquisition des jus pour chaque jour de cette fin de semaine au parc Beauséjour. On peut obtenir cette information par une opération sur les matrices B et P. Voici comment :

3x2

1,00

1,40

1,20

0,40

0,60

0,50

B•P =

• =

27 x 1,00

43 x 1,40

33 x 1,20

+ + = 126,8027 x 0,40 + 43 x 0,60 + 33 x 0,50 = 53,10

36 x 1,00 + 68 x 1,40 + 58 x 1,20 = 200,80

36 x 0,40 + 68 x 0,60 + 58 x 0,50 = 84,20

39 x 1,00 + 55 x 1,40 + 49 x 1,20 = 174,80

33

58

49

43

68

553x3

27

36

393x2

1,00

1,40

1,20

0,40

0,60

0,50

39 x 0,40 + 55 x 0,60 + 49 x 0,50 = 73,10

126,80

3x2

200,80

174,80

53,10

84,20

73,10

126,80

3x2

200,80

174,80

53,10

84,20

73,10

VendrediSamediDimanche

Reven

us Coûts

Cet exemple nous indique comment définir le produit de deux matrices

Le produit de ces matrices, noté A • B (ou AB), est une matrice C = (cij)mxn

Multiplication de matrices

Soit A = (aik)mxp et B = (bkj)pxn, deux matrices.

DÉFINITION

dont les éléments cij sont définis par :cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + ... + aipbpj,

pour tout i et pour tout j.

c11 c12• =A • B

= c21 c22

a11b11+ a12b21 + a13b31 = c11 a11b12+ a12b22 + a13b32 = c12

a11

a21

a12

a22

a13

a23

2x3

a21b11+ a22b21 + a23b31 = c21

b11

b21

b31

b12

b22

b323x2

a21b12+ a22b22 + a23b32 = c22

2x2

Amxp•Bpxn

Compatibilité pour la multiplicationLa multiplication des matrices est définie seulement si le nombre de colonnes de la matrice à gauche du symbole d’opération est égal au nombre de lignes de la matrice à droite du symbole d’opération. On dit alors que les matrices sont compatibles pour la multiplication.

Amxp•Bpxn = Cmxn

Le nombre de lignes de la matrice produit est le même que celui de la matrice à gauche du symbole d’opération.Le nombre de colonnes de la matrice produit est le même que celle de la matrice à droite du symbole d’opération.

Remarque

L’élément cij est obtenu en faisant la somme des produits des éléments de la ligne i de la matrice A et des éléments de la colonne j de la matrice B.

Ainsi, l’élément de la première ligne et de la deuxième colonne, soit c12, est obtenu en effectuant le produit de la première ligne de la matrice à gauche du symbole d’opération et de la deuxième colonne de la matrice à droite du symbole d’opération. De la même façon, l’élément c31 est obtenu en effectuant le produit de la troisième ligne de la matrice à gauche du symbole d’opération et de la première colonne de la matrice à droite du symbole d’opération.

Exercices

Effectuer les multiplications demandées lorsqu’elles sont définies. (cliquer pour les réponses)

2

–3

–1

4

5

3A =

4

2

–1

–2

5

3

6

7

–2B =

2 –1 4C =

1. A•B

4. B•C t

2. B•A

3. C•B

n’est pas définie

1

–7

6

35

–5

4=

2 3 –3=

34

27

–13=

Transposition et produitConsidérons à nouveau la matrice donnant les ventes au parc Beauséjour et celle des prix et des coûts. On a obtenu le revenu et les coûts par jour par un produit des matrices.

P t

En transposant ces matrices, on véhicule la même information en la structurant différemment et il faut modifier l’ordre des matrices transposées dans le produit.

3x2

1,001,401,20

0,400,600,50

3x3

273639

436855

335849

126,80

200,80

174,80

3x2

53,10

84,20

73,10

• =

3x3

274333

366858

395549

2x3

1,00

0,40

1,40

0,60

1,20

0,50

126,80

53,10

200,80

84,20

174,80

73,102x3

=•

B t P t•B t

P B  B•P 

126,80

3x2

200,80

174,80

53,10

84,20

73,10

VendrediSamediDimanche

Reven

us Coûts

126,80

53,10

200,80

84,20

174,80

73,102x3

Comparons les résultats :

RevenusCoûts

Vendred

iSam

ed

iDim

anc

he

On obtient la même information mais la matrice est transposée.

Matrices carréesLes matrices carrées d’un même ordre sont toujours compatibles pour la multiplication des matrices, et la matrice obtenue est toujours du même ordre que les matrices multipliées. L’ensemble des matrices carrées d’un même ordre est donc fermé pour la multiplication.

2x2

2

–3

–1

5A =

On notera A2 pour A•A et A3 pour A•A•A, ainsi de suite.

Soit :

2x2

4

–3

–2

5

, B =

et I =

2x2

1

0

0

1

Calculer A•B = A2 =

2x2

11

–27

–9

312x2

7

–21

–7

28Cliquer pour la suite.

Calculer A•I = I•B =

2x2

2

–3

–1

52x2

4

–3

–2

5

La matrice I est neutre pour la multiplication.

ExerciceDans le diagramme suivant, les liaisons aériennes journalières entre les villes de deux pays ont été représentées par des flèches et le nombre de ces liaisons est indiqué sur chacune des flèches. Représenter cette information par une matrice.

2x3

2

3

3

1

A

B

1

0

C D E

Cliquer pour la réponse.

3x3

3

2

2

1

3

1

C

D

E

0

0

3

F G H

Représenter par une matrice les liaisons aériennes journalières des villes C, D et E vers les villes F, G et H.

Utiliser la multiplication des matrices pour déterminer le nombre de liaisons aériennes journalières des villes A et B vers les villes F, G et H.

2x3

2

3

3

1

1

03x3

3

2

2

1

3

1

0

0

32x3

14

11

12

6

3

0• =

Combien y a-t-il de liaisons journalières de A vers H et de B vers H?

Cliquer pour la réponse.

2x3

14

11

12

6

3

0

F G H

A

B

Il y a trois liaisons journalières de A vers H et aucune de B vers H.

Conclusion

La multiplication des matrices permet de dégager de nouvelles informations à partir de celles véhiculées par les matrices.

Il est important de bien saisir le sens des propriétés du produit et de la transposition des matrices. Elles permettent souvent de simplifier des équations matricielles et d’éviter les écueils car ce ne sont pas les mêmes que celles des opérations sur les nombres. Ces propriétés sont données en page 13 du volume.

Exercices

Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 10.2, p. 312 et 313.

Lecture

Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 10.3, p. 306 à 311.