Processus ponctuels marqués et application à la...

Processus ponctuels marqués et application à la reconstruction de volumes de particules 3D

Olivier Alata

Lab. Hubert Curien, UMR CNRS 5516, Univ. Jean Monnet Saint-Etienne

Groupe APSSE – 24/04/2015

Le travail sur la reconstruction de volumes de particules 3D s’effectue dans le cadre de la thèse de Riadh Ben Salah,co-encadré avec L. David et L. Thomas de l’Institut Pprimes, ainsi que B. Tremblais du Lab. XLIM-SIC.

Site web : http://perso.univ-st-etienne.fr/ao29170h/

Modélisation stochastique pour le traitement du

signal et de l’image

Chaînes / Champs de Markov / Processus marqués

Prédiction linéaire nD (AR 2D) / Décomposition de Wold

Lois de mélange / Modèle linéaire généralisé

Modélisation non paramétrique (histogramme optimal)

Méthodes d’estimation Critères d’information

Méthodes stochastiques (MCMC) et adaptatives

Algorithmes type EM

Application Analyse / synthèse de processus (nD, scalaires ou vectoriels)

Classification / RdF, segmentation

Reconstruction

2

Projets en cours

Textures : AR & champs Browniens fractionnaires pour la caractérisation de matériaux par microscopie électronique à transmission.

Données hétérogènes RGB-D : mélange de distributions directionnelles (von Mises-

Fisher, Watson, …) et géométrie de l’information. Analyse des micro-expressions Suivi d’événements audio-visuels

Classification non-supervisée de données multidimensionnelles Reconstruction en Tomo-PIV …

4

MPP for image analysis(or image sequence analysis)

• Research domain: « Stochastic geometry » (GDR GeoSto - http://gdr-geostoch.math.cnrs.fr/)

• Main ideas :– Take into account the geometry (« high level » information)– Model the interaction between geometric objects

– Stochastic embedding– Reconstruction of « complex » objects using « simple » objects– « high » resolution approach (continuous space)

• Previous works : “Grouping/degrouping point process, a point process driven by geometrical and topological properties of a partition in regions”, O. Alata, S. Burg and A. Dupas. CVIU 115 (2011).

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Exemple

R. STOICA, X. DESCOMBES AND J. ZERUBIA,

A Gibbs Point Process for Road Extraction from Remotely Sensed Images,

International Journal of Computer Vision 57(2), 121–136, 2004.

Plan

• Fondements théoriques des PPM

• Simulation à l’aide de l’algorithme RJMCMC

• Méthode tomographique de reconstruction de volumes de particules

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Les Processus Ponctuels• Configuration : ensemble de points non ordonnés d’un espace donné muni d’une

métrique d• (, d) complet et séparable (ex. : 𝜒 = ℝ2 ou sous-ens. compact de ℝ2)• x = {x1, x2, …, xn, …}

• Nlf : famille de toutes les configurations localement finies• x est dite localement finie si elle place un nombre fini de points dans tout borélien borné A

• Définition : Un P.P. sur est une application X d’un espace probabilisé (, A, P) dans Nlf, telle que pour tout borélien A, le nombre N(A) = NX(A) de points dans A soit une v. a. finie.

• X est une v.a. à valeur dans l’espace mesurable (Nlf, Nlf) où Nlf est la plus petite -algèbre telle que pour tout borélien borné A l’application XNX(A) soit mesurable.

• La mesure de probabilité induite sur Nlf est appelée la loi de X

8

Les Processus Ponctuels

• Processus Ponctuels de Poisson (P.P.P.) :• Processus les plus élémentaires (points indépendants entre eux).

• Définition : soit 𝜈 une mesure borélienne sur (, d) telle que 𝜈()>0 et 𝜈(A)<+, pour tout borélien borné de (une telle mesure est dite localement finie). Un P.P. X sur est appelé un P.P.P. de mesure d’intensité 𝜈 si :

• P1 : N(A) suit une loi de Poisson d’espérance 𝜈(A) pour tout borélien borné A.

• P2 : Pour k boréliens disjoints A1, …, Ak, les v.a. N(A1), …, N(Ak), sont indépendantes.

• Lorsque 𝜒 = ℝ𝑛, on parle de P.P.P. homogène lorsque la mesure d’intensité est 𝛽 avec , la mesure de Lebesgue, et 𝛽 > 0. 𝜷 est appelé l’intensité du processus.

9

Les Processus Ponctuels

• Soit 𝜋𝜈 la loi de probabilité d’un Processus de Poisson sur de mesure d’intensité finie et non-atomique 𝜈 Densité de probabilité d’un P.P. est obtenue par dérivée de Radon Nikodympar rapport au Processus de Poisson de référence de mesure 𝜋𝜈 sur Nlf

[,0[: lfNp

1d lfNxxp avec

lf

n

nFxxF

F

dxdxn

Fn

1

1,,11

!

11exp

N

10

Processus Ponctuels de Markov• P.P. de Markov ou P.P. de Gibbs :

Les densités ont une forme énergétique

Construites à partir de potentiels d’interaction entre les points

• Soit une relation symétrique et réflexive sur :

2 points u et v sont voisins si u v.

Ex. : relation de proximité sur = IR2 :

u v d(u,v) R pour R 0

• Définition : le voisinage A d’un ensemble A est l’ensemble

A = {x : a A, x a }

11

Processus Ponctuels de Markov• Définition (Ripley et Kelly 77) : P.P. de Markov

Soit (, d) un espace métrique complet et séparable, v une mesure borélienne finie

et non-atomique sur (, d), et v la loi d’un processus de Poisson de mesure

d’intensité v.

Soit X un P.P. sur défini par sa densité p(.) par rapport à v. X est alors un P.P. de

Markov sous la relation symétrique et réflexive sur si, pour tout x Nlf telle que

p(x) > 0 :

- P1 : p(y) > 0 pour tout y x.

- P2 : pour tout u ,

ne dépend que de u et {u} x = {xi x : xi u }

xp

uxp

12

Processus Ponctuels de Markov• Définition : Clique

Soit une relation de voisinage symétrique et réflexive sur .

Une configuration x Nlf est appelée clique, si tous les éléments de

x sont voisins les uns des autres, c’est-à-dire si :

(u,v) x , v u

• Théorème (équivalent du Théorème d’Hammersley-Clifford) :

Une densité de P.P. est markovienne sous une

relation de voisinage ssi il existe une fonction mesurable

telle que, x Nlf :

[,0[: lfNp

[,0[: lfN

xy

yxp cliques

13

P.P. de Poisson et P.P. de Strauss• Exemples :

= IR2. Soit K muni de la mesure de Lebesgue

- avec > 0 et n(x), le nombre de points d’une configuration x.

C’est la densité du P.P.P.

permet de jouer sur l’intensité du processus

- . Densité du Processus de Strauss si :

P.P.M. sous la relation de proximité u v d(u,v) R

s(x) : nombre de paires de points en relation dans x.

xnxp

ji

ji

xn xxxp ,

0,0,

, si 1

, si ,

R

Rxxd

Rxxdxx a

ji

jia

ji

xUxsxnxs

a

xn eexp a

loglog

14

Processus Ponctuels marqués• Définition :

Soit (, d) et (, d’) 2 espaces métriques, complets et séparables.

Un P.P. marqué dont les positions sont dans et les marques dans est un P.P. sur

tel que le processus des points non-marqués soit un P.P. bien défini.

• Densité de probabilité

p 𝑦|𝜃 ∝ exp −𝑈 𝑦|𝜃

avec 𝑈 𝑦|𝜃 = 𝑈𝑑 𝑦|𝜃𝑑 + 𝑈𝑖𝑛𝑡 𝑦|𝜃𝑖𝑛𝑡 , 𝜃 = 𝜃𝑑 ∪ 𝜃𝑖𝑛𝑡

• Simulation et estimation• Comment obtenir des configurations issues de 𝑝 . |𝜃 ?

• Comment obtenir une configuration optimale ?

𝑦 = argmax𝑦∈Ω

p 𝑦|𝜃 = argmin𝑦∈Ω

𝑈 𝑦|𝜃

Plan




MPP – simulation and estimation• Simulation

– Reversible Jump Markov Chain Monte Carlo Method (RJMCMC)• Ergodic Markov Chain with invariant law 𝑝 𝑦|𝜃• « Reversible jumps » : jumps between models with different dimensions• A Mix of transition kernels. In case of MPP, classically

– Birth / death moves– Displacement move– Change of the mark moves

– Algo : a loop based on Metropolis-Hasting-Green dynamic• Random chose of a move• Random proposition

• Acceptance following a probability computed using the ratio 𝑝 𝑦𝑝|𝜃

𝑝 𝑦|𝜃

• Estimation

– Monte Carlo method : Empirical means computed from samples

– Simulated annealing (find a configuration that maximizes 𝑝 . |𝜃 )

Green P. J., “Reversible Jump Markov Chain Monte Carlo Computation and Bayesian Model Determination,” Biometrika, vol. 82, no. 4, pp. 711–732, 1995.

17

Simulation de la loi de probabilité• Construction d’une chaîne de Markov dont la loi stationnaire est la loi objectif (ici c’est de densité p).

• Algorithme RJMCMC (Reversible Jump MCMC) (Green, 1995)

- Algorithme type Metropolis – Hasting (basée sur des transitions -réversible).

- Simulation sur des espaces dont la dimension varie (pour les P.P. : simulation de

configurations de taille variable).

- Possibilité de mélanger plusieurs noyaux de proposition.

- Le choix des noyaux de proposition influe sur la vitesse de convergence

• Noyau de transition (ou de proposition) Q(.,.)

- Soit un espace d’état

- Q est défini sur B()

- x , Q(.|x) simulable, et y , Q(dy|x) calculable.

18

Simulation de la loi de probabilité• Rapport de Green :

- f dérivée au sens de Radon-Nikodym :

avec mesure symétrique sur qui domine (dx)Q(dy|x)

• Algorithme : Soit x l’état courant

- Simuler y Q(.|x)

- Calcul du rapport de Green

- y est accepté suivant une loi de Bernouilli de paramètre min(1,R)

Si y est refusé, on garde x.

• si le noyau est symétrique, le calcul de R se simplifie.

yxf

xyfR

,

,

yx

xyQxyxf

d,d

dd,

19

Simulation de la loi de probabilité• Cas d’un P.P. :

- = Nlf

-

- Noyau Q = Pb Qb + Pd Qd avec Pb + Pd = 1

naissance : ajouter à x un point u choisi de manière uniforme dans (Qb)

mort : supprimer un point (Qd)

xxpx v dd

v

uvuxxAQ

uAb

d 1

xnuxxAQ

xu

Ad

1\

1

lflf Nv

xu

BAN

vu

BA xuxxxuvuxxBA d\dd,

1111

20

Simulation de la loi de probabilité• Si y = x {u}, u alors

et donc

• Si y = x \ {u} alors

et donc

xuvyx v ddd,d

v

uvPxxpxyQx bv

dddd

v

xpPyxf b,

xn

PxxpxyQx dv

1ddd xyx v dd,d

xn

xpPyxf d,

21

Simulation de la loi de probabilité• Rapports de Green

- Mouvement de naissance d’un point : y = x {u}, u S

- Mouvement de mort d’un point : y = x \ {u}

• Extension aux processus marqués :

- Noyaux de transition sur les marques

• Possibilité d’utiliser le Recuit simulé

yn

Sv

xp

yp

P

P

yxf

xyfR

b

d,

,

n(y) = n(x)+1

Sv

xn

xp

yp

P

PR

d

bCes rapports ne font

intervenir que les potentiels

d’interaction concernant « u »

22

Simulation Processus de Strauss

(Strauss, 1975 – Kelly & Ripley, 1976)

Utilisation de l’algorithme Reversible Jump Markov Chain Monte Carlo 𝐾 = 0,10 × 0,10 , 𝛽 = 3, 𝑟 = 0,5

𝛾𝑎 = 1PPP

𝛾𝑎 = 0,5 𝛾𝑎 = 0« hard core » process

23

Modèle d’interaction par aire(Baddeley et van Lieshout, 1995)

Figure empruntée à R. Stoica

est la réunion des d-boules de rayon r centrées

aux points de la réalisation y

ryByZ iyni

,,...,1

24

Candy modèle(van Lieshout et Stoica, 2003),(Stoica, Descombes et Zerubia, 2004)

Figure empruntée à R. Stoica

25

Simulation examples - 128128 imageNumber of iterations: 200000

PPP

= 0,02𝐸 𝑁 𝑦 = 327,68 = 𝜇𝑛𝑦

𝜇𝑛𝑦= 328,4

𝑛 𝑦 = 350, 𝑛𝑆 𝑦 = 1007

Strauss Process (R = 10)

= 0,02, 𝜸𝑺 = 𝟎, 𝟒𝐸 𝑁 𝑦 = ? 𝜇𝑛𝑦

= 99,15

𝑛 𝑦 = 105, 𝑛𝑆 𝑦 = 48

PDF example• Strauss Process with a simple mark (deterministic in that case)

𝑓 𝑦|𝜃 ∝ 𝛾𝑑𝑛𝑑 𝑦 𝛽𝑛 𝑦 𝛾𝑠

𝑛𝑠 𝑦 𝜃𝑑 = 𝛾𝑑 , 𝜃𝑖𝑛𝑡= , 𝛾𝑆𝑛𝑑 𝑦 : Nb of « badly localized » points (𝛾𝑑 ∈ 0,1 )

𝑈𝑖𝑛𝑡 𝑦|𝜃𝑖𝑛𝑡 = −𝑛 𝑦 log 𝛽 − 𝑛𝑠 𝑦 log 𝛾𝑠𝑈𝑑 𝑦|𝜃𝑑 = −𝑛𝑑 𝑦 log 𝛾𝑑

Data term computed using the following pattern:

𝑝𝑗

27

Strauss Process+Data term

= 0,02, 𝛾𝑆 = 0,4, 𝜸𝒅 = 𝟎, 𝟎𝟓 𝜇𝑛𝑦

= 33,88

Strauss Process+Data term + SA

Simulation et estimation - 128128 image

= 0,02, 𝛾𝑆 = 0,4, 𝜸𝒅 = 𝟎, 𝟎𝟓𝑻𝒊𝒏𝒊 = 𝟏, 𝟏 → 𝑻𝒇𝒊𝒏 = 𝟎, 𝟐

𝑓𝑇 𝑦|𝜃 ∝ exp 𝑛 𝑦 log 𝛽 +𝑛𝑠 𝑦 log 𝛾𝑠 + 𝑛𝑑 𝑦 log 𝛾𝑑

𝑇

28

= 4, 𝛾𝑆 = 0,4, 𝛾𝑑 = 0,05𝑛 𝑦 ≈ 58

= 0,02, 𝛾𝑆 = 0,4, 𝛾𝑑 = 0,05𝑛 𝑦 ≈ 10


Estimation - 128128 image

𝑓𝑇 𝑦|𝜃 ∝ exp 𝑛 𝑦 log 𝛽 +𝑛𝑠 𝑦 log 𝛾𝑠 + 𝑛𝑑 𝑦 log 𝛾𝑑

𝑇

𝑇𝑖𝑛𝑖 = 1,1 → 𝑇𝑓𝑖𝑛 = 0,2


Plan




30

Principe de la Tomo-PIV

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Laser

Nappe laser Caméra 2 Caméra 1

Caméra 3 Caméra 4

Sens de

l’écoulement

Grille

Particules

Lentille

y

x z

Acquisition des projections

Cam 1 Cam 2 Cam 3 Cam 4

t

t + Δt

Reconstruction tomographique

Volume à T= t Volume à T= t + Δt

Corrélation

Champ de vitesse

31

Principe de la Tomo-PIV

Exemple d’image

de projection

32

Problème (mal) posé

DonnéesImages acquises

InconnuVolume

Limitation du nombre de vues

Données insuffisantes

Problème mal posé

Caméras à hautes résolutions

Problème temps et mémoire

Conditions expérimentales

Données bruitées

Présence d’artéfacts

Densité élevée

Chevauchement des particules

(génération de particules fantômes)

Volumes parcimonieux

Caractéristiques des Particules 3D

Pas de chevauchement

33

Intro: Méthode de Reconstruction en Tomo-PIV

19702006200820092010 1976201120122013

AR

T (

Gord

on e

t al)

Tom

o-P

IV (

Els

inga e

t al)

MF

G (

Wort

h a

nd N

icke

ls)

ML

OS

(A

tkin

son a

nd S

ori

a)

MG

(D

isce

tti

and A

stari

ta)

MA

RT

(H

erm

an a

nd L

ent)

SA

-PIV

(B

elden

et a

l)

Volu

me

segm

enta

tion

(Zis

kin a

nd

Adri

an

)

IRP

(W

ienek

e)

Shak

e th

e box

(Sch

anz

et a

l)

Spar

se m

odel

(P

etra

et

al)

. . . .

Lignes de vuesLignes de vues et parcimonieOrientées

objets

34

Propriétés méthode proposée

Travailler dans un espace continu (formalisme du processus ponctuel marqué)

Orientée objet : point + marque géométrique (liée à l’intensité)

Facilité d’intégration de l’information a priori

volume

image

Particules 3D

Particules 2D Lignes

de vues

35

PPM : attache aux données

Objectif : favoriser (défavoriser) les objets bien (mal) placées par rapport aux observations

Utilisation du critère des moindres carrés :

𝑀𝑆𝐸 𝑦 ∝

𝑠∈𝑆

𝑜𝑠 − 𝑣𝑠2

S support de la donnée observée

𝑜𝑠 𝑠∈𝑆 : données observées (Pour notre étude : images acquises)

𝑟𝑠 𝑠∈𝑆 : valeurs obtenues à partir de la population y (discrétisation des objets)

Quelques développements plus tard, après suppression des termes constants :

𝑈𝑑 𝑦|𝜃𝑑 =

𝑗

𝜙𝑑,1 𝑦𝑗 +

𝑗,𝑘,𝑗<𝑘

𝜙𝑑,2 𝑦𝑗 , 𝑦𝑘

𝜙𝑑,1 𝑦𝑗 = 𝑠∈𝑆 𝑣𝑦𝑗→𝑠 𝑣𝑦𝑗→𝑠 − 2𝑜𝑠 , avec 𝑣𝑦𝑗→𝑠, valeur générée en s par 𝑦𝑗

𝜙𝑑,2 𝑦𝑗 , 𝑦𝑘 = 𝑠∈𝑆 2𝑣𝑦𝑗→𝑠𝑣𝑦𝑘→𝑠

36

PPM : énergie interne

Prise en compte d’information a priori sur la solution recherchée

Pénaliser le recouvrement des particules générées

Utilisation d’une énergie type processus de Strauss :

𝑓𝑆 𝑦 ∝ 𝛽𝑛 𝑦 𝛾𝑎𝑛𝑎 𝑦 ∝ exp 𝑛 𝑦 log 𝛽 + 𝑛𝑎 𝑦 log 𝛾𝑎

𝑈𝑖𝑛𝑡 𝑦|𝜃𝑖𝑛𝑡 = −𝑛 𝑦 log 𝛽 − 𝑛𝑎 𝑦 log 𝛾𝑎

𝛽 > 0 : intensité du PPM (en termes de nombre de points par unité de volume)

𝛾𝑎 ∈ 0,1 : paramètre permettant de pénaliser les recouvrements

𝑛𝑎 𝑦 : nombre de couples d’objets tels que 𝑝𝑗 − 𝑝𝑘 2≤ 𝑟𝑗 + 𝑟𝑘

𝜃𝑖𝑛𝑡 = 𝛽, 𝛾𝑎

37

Méthode proposée: IOD-PVRMPP

IOD : Initialization by Object Detection

Obtention d’une configuration de particules 2D (𝐾 ⊂ ℝ2) pour chaque image acquise

Recherche des particules 2D épipolaires

Obtention d’une population de particules 3D initiale

PVRMPP : Particle Volume Reconstruction by Marked Point Process

Obtention d’une configuration de particules 3D (𝐾 ⊂ ℝ3)

Pour les cas 2D et 3D, utilisation d’un recuit simulé exploitant l’algorithme RJMCMC

(Reversible Jump Markov Chain Monte Carlo)

Mouvements de naissance et de mort

Mouvement de modification de la position (translation ou déplacement)

Mouvement(s) de modification(s) de la marque

38

PVRMPP organigramme

Remarque : pour un recuit simulé, diviser les termes de l’énergie (sauf le terme associé à

l’intensité du processus) par la température et faire décroitre lentement la température

d’une température initiale, 𝑇0, vers une température finale, 𝑇𝑓.

Tirage d’un

mouvementMvt ?

Choisir la

particule 3d à tuer

dans le volume

mort

naissance

Créer une particule

3d à rajouter dans

le volume

Projeter la particule

sur les images

Calcul des

paramètres

d’acceptation

du mouvement

Choisir la

particule 3d à

déplacer dans

le volumedép

lace

men

t

Mettre à jour

la

population

3d

Po

pu

lati

on

init

iale

3d

accepter

?

Vo

lum

e

reco

nst

ruit

non

Oui

39

Résultats expérimentaux Données simulées

Taille données : 500 × 500 × 150Densités variant de 0,0004 à 0,2 particules par pixel (𝑁𝑝 varie de 100 à 50000)

Comparaison MinLOS-MART

Configuration PVRMPP

𝑓𝑏 Proba naissance

𝑓𝑑 Proba mort

𝑓𝑏𝑑 Proba nais. / mort

𝑓𝑡𝑟 Proba translation

𝑓𝑚 + 𝑓𝑏𝑑 = 1

𝑓𝑏 + 𝑓𝑑 = 1

𝑇𝑓 = 0,02

𝑇𝑡 = 𝑇0𝑞𝑡

𝑞 =𝑇𝑓

𝑇0

1𝑁𝑖𝑡

40

Résultats expérimentaux

(a) MinLOS - MART (b) Reference (c) IOD - PVRMPP

Exemple de résultats à partir d’une zone d’image générée

Densité : 0,05 ppp (12500 particules)

Taille image visualisée 150 × 150

41

Evaluation de la qualité de reconstruction évaluée à l’aide du coefficient de corrélation


42

Nombre de particules fantômes


43

Moyenne des erreurs de positions des particules


44

Conclusion

Approche « orientée-objet »

Formalisme des P.P.M. adapté à la reconstruction de particules

Méthode bayésienne utilisant les processus ponctuels marqués

Basée sur la dynamique RJMCMC (optimisation avec le recuit simulé)

Résultats meilleurs que ceux de la méthode MinLOS-MART pour des densités de particules

allant jusqu’à 0.05 ppp (sur cas simulés)

Application sur un cas expérimental réel : "mesure volumique d'un écoulement dans un

canal turbulent de surface libre derrière une grille"

Comparaison à d'autres techniques parcimonieuses type IPR (Iterative Particle

Reconstruction). Wieneke B., “Iterative reconstruction of volumetric particle distribution,” Measurement Science

and Technology, vol. 24, no. 2, pp. 024008, 2013.

Projects using MPP• Unsupervised clustering.

Collaboration with Ahmed Moussa (Ensa Tanger, Maroc)

46

Quelques référencesProcessus Ponctuels & Processus Ponctuels marqués

• Geyer, C. 1999. Likelihood inference for spatial point processes. In StochasticGeometry, Likelihood and Computation, O.E. Barndoff-Nielsen, W.S. Kendall and M.N.M. van Lieshout (Eds.) Chapmann and Hall: London.

• Møller, J. 1999. Markov Chain Monte Carlo and spatial point processes. In StochasticGeometry, Likelihood and Computation, O.E. Barndoff-Nielsen, W.S. Kendall and M.N.M. van Lieshout (Eds.) Chapmann and Hall: London.

• van Lieshout, M.N.M. (2000). Markov point processes and their applications. Imperial College Press/World Scientific Publishing.

• X. Descombes , « Méthodes stochastiques en analyse d’image : des champs de Markov aux processus ponctuels marqués », HDR, 2004.

• M. Ortner, X. Descombes & J. Zerubia, « Building Outline Extraction from Digital Elevation Models Using Marked Point Processes », International Journal of Computer Vision 72(2), 107–132, 2007

• G. Perrin, Etude du Couvert Forestier par Processus Ponctuels Marqués, Thèse de Doctorat Ecole Centrale de Paris, 2006.

• R. Stoica, E. Gay, and A. Kretzschmar, « Cluster Pattern Detection in Spatial Data Based on Monte Carlo Inference », Biometrical Journal 49 (2007) 4, 505–519.

Merci ! Des questions ?

Ces travaux rentrent dans le cadre du projet européen AFDAR (Advanced Flow

Diagnostics for Aeronautical research). Ils ont été fiancés par le programme de

la commission Européenne FP7, grant n265695 et le projet FEDER n34754

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