Problème 1 (20 points sur 100) - Université Laval

GEL4200/GEL7014 2014 Examen final Mercredi le 23 avril 2014; Durée: 13h30 à 15h20 Aucune documentation permise; une calculatrice permise

Problème 1 (20 points sur 100)

Voici le tableau standard et la table des syndromes pour un code en bloc.

bits de message 001 010 011 100 101 110 111 Syndrome

0000000 1101001 1011010 0110011 0111100 1010101 1100110 0001111 00001000000 0101001 0011010 1110011 1111100 0010101 0100110 1001111 10000100000 1001001 1111010 0010011 0011100 1110101 1000110 0101111 01000010000 1111001 1001010 0100011 0101100 1000101 1110110 0011111 00100001000 1100001 1010010 0111011 0110100 1011101 1101110 0000111 00010000100 1101101 1011110 0110111 0111000 1010001 1100010 0001011 01110000010 1101011 1011000 0110001 0111110 1010111 1100100 0001101 10110000001 1101000 1011011 0110010 0111101 1010100 1100111 0001110 11011100000 0001001 0111010 1010011 1011100 0110101 0000110 1101111 11001010000 0111001 0001010 1100011 1101100 0000101 0110110 1011111 10100110000 1011001 1101010 0000011 0001100 1100101 1010110 0111111 01101001000 0100001 0010010 1111011 1110100 0011101 0101110 1000111 10010101000 1000001 1110010 0011011 0010100 1111101 1001110 0100111 01010011000 1110001 1000010 0101011 0100100 1001101 1111110 0010111 00111000100 0101101 0011110 1110111 1111000 0010001 0100010 1001011 11111110000 0011001 0101010 1000011 1001100 0100101 0010110 1111111 1110

A. Combien de vecteurs d’erreur peuvent être corrigés par ce code? B. Combien de bits peuvent être corrigés par ce code? C. Est-ce que le code est systématique? D. Quelle est la distance minimale du code? E. Quel est le taux de code? F. Si la séquence reçue est 0011011, est-ce qu’il y a eu une erreur de

transmission? Quelle est la sortie du décodeur pour 0011011? G. Si la séquence reçue est 0110011, est-ce qu’il y a eu une erreur de

transmission? Quelle est la sortie du décodeur pour 0110011?

GEL4200/GEL7014 2014 Examen final

Problème 2 (15 points) Algorithme de Viterbi

Considérons le décodeur de Viterbi suivant. Les métriques de chemin au temps 4 sont indiquées entre parenthèses pour chacun des quatre états. Les métriques de branche pour le temps 5 sont écrites à côté de chacune de huit transitions valides.

Quelle est la sortie du décodeur, c.-à-d. la séquence de cinq bits de données les plus probables? Est-ce qu’il y a eu des erreurs pendant la transmission? Si oui, combien?

GEL4200/GEL7014 2014 Examen final Problème 3 (25 points) Modulation en treillis Considérons le système TCM 8QAM suivant

Il y a deux possibilités pour le chemin avec la distance la plus courte, soit

Notons que sur chaque transition il y a trois bits de code. Le premier bit du code c3, qui est égal au premier bit de données, est fourni pour chaque transition. A. (5 points) Complétez les mots de code pour toutes les transitions dans les

deux chemins. B. (20 points) Trouvez les distances globales (métriques de chemin) pour les

deux chemins en utilisant la distance euclidienne au carré.


Problème 4 (25 points sur 100) OFDM La largeur de bande disponible pour un système OFDM est 500 kHz. Le système n’a pas besoin des bandes de garde ni des tonalités pilotes. Les contraintes du design d’une puce pour la radio permettent un décodeur Viterbi pour un code correcteur d’erreur avec longueur de contrainte de 7 et un format de modulation aussi grand que 32QAM. Nous limitons la perte en SNR à 0.8 dB pour l’exploitation d’un temps de garde. Nous limitons l’expansion en largeur de bande à 50% pour le code correcteur d’erreur, donc un taux de code de 2/3. A. (15 points) Trouvez le design d’un système OFDM qui peut supporter un

délai RMS aussi grand que 10 µsec. Il faut spécifier:

• Temps de garde

• Temps d’un symbole

• Espacement entre porteuses

• Nombre de porteuses

• Taux binaire maximal

B. (10 points) Quel est le taux binaire maximal du système quand nous avons besoin de 2 tonalités pilotes et une bande de garde de 10% de largueur de bande totale?


Problème 5 (15 points sur 100) PLL A. (10 points) Voici quatre PLL. Classifiez chaque PLL selon la méthode de

génération des références de phase, soit A) tonalité ou pilote B) remodulation C) mettre signal reçu au carré (puissance quatre, etc.)

PLL 1

PLL 2

PLL 3

PLL 4

B. (5 points) Comment exploitons-nous le VCO dans une boucle à verrouillage? Utilisez une relation mathématique pour quantifier votre réponse.


NOM & MATRICULE :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1510

-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100 QPSK coherent

Eb/N0

prob

abili

té d

'err

eur

Plan de l’efficacité spectrale (Bandwidth Efficiency Plane)

0 5 10 15 20 25.001

.01

.1

1

10

points indique Pe =10 -5

PSK, M=8 PSK, M=32 QAM, M=4

QAM, M=16 QAM, M=64

FSK, M=4

FSK, M=16

FSK, M=1024

FSK, M=4096Limite de Shannon

10

1

.1

.01

.001

0BE N

()

RW

bs

Hz

BPSK

(en dB)

(en dB)

GEL4200/7014 Examen final Hiver 2014

1

Récepteur d’échantillonnage

décision( )z T γ<>

t=Tfiltreh(t) ( )z t ( )z T

Σ

( )n t

( )is t( )r t m̂

MAP: i qui maximise p(z|si) p(si) i qui minimise ( )2

0 lni iN P− −r s s

( ) probabilité a priori de symbole i iP =s s ML: i qui maximise p(z|si) i qui minimise 2

i−r s

Raised cosine ( ) ( ) ( )2 2 2

sin cos1 4

s s

s s

t T r t Tv t

t T r t Tπ π

π=

−

Énergie moyenne

[ ]

2

1

1

1

1 énergie du signal

M

moy iiM

i

EM

iM

=

=

=

=

∑

∑

s

Énergie par bit v. énergie par symbole 2logb sE M E=

QAM 2log Mη = † Conversion de l’espace I/Q vers espace du signal

cas rectangulaire (carrée) M=L2

( ) n2

20

2mi

63log12 o1 g1

l1

be

LdEMP QM NM L

= − − =

−

Borne d’union

minmin

00

2 22

be

EDK KP Q Q dM M NN

≈ =

K est le nombre des paires des signaux séparés par la distance minimale Dmin

Distance minimale dans l’espace du signal

min min i ki kD

≠= −s s et min

min 2 b

DdE

=

( )0

2 be

EP BPSK QN

=

( )0

be

EP OOK QN

=

( )0

22 be

EP QPSK QN

≈

Perte par rapport à QPSK

min 102 perte 10logd x x= = −

Pour une modulation orthogonale

( ) ( ) 21e b e

MP bit P P symbolM

= =−

Pour une modulation non-orthogonale avec codage de gray

( ) ( )2log

ee b

P symbolP bit P

M= =

Efficacité spectrale 1 1 bits/s/Hzb

b

RW T W

η = =

( )( ) ( )

( )2 2

1

, ,I Q I Qsn n n nM

I Qn n

i

M Ea a a aa a

=

⋅=

+ ∑

coordonnées, espace du signal

coordonnées, espace I/Q


2

MPSK cohérent 2log Mη = †

( )0

2

0

22 sin

2 log2 sin

se

b

EP M QN M

E MQN M

π

π

≈

=

MFSK cohérent 22 log1M

Mη =

+†

( ) ( ) 2

0 0

log1 1s be

E E MP M Q M QN N

= − = −

Séparation minimale 1/2Ts

DPSK incohérent 012

bE NeP e−=

~1 dB de perte entre DPSK et BPSK

MFSK incohérent 2log MM

η = †

021( )2

bE NeP BFSK e−=

~1 dB de perte BFSK cohérente vs. incohérente

Séparation minimale 1/Ts

Loi de Shannon

( )2log 1C W SNR= + 0

bESNRN

η=

( )0

2 1C WbE WN C

= − 0

0 1.6bEC dBW N

→ ⇒ →−

Relations trigonométriques Processus Gram Schmidt

( ) ( )1 11

1t s tE

ψ = où ( )21 10

TE s t dt= ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 1 1,t s t s t t tθ ψ ψ= −

( ) ( ) ( )22

2 20 22

T tE t dt t

Eθ

θ ψ= =∫

i. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1,

i

i i i k kk

t s t s t t tθ ψ ψ−

=

= −∑

( ) ( ) ( )2

0

T ii ii

i

tE t dt t

Eθ

θ ψ= =∫

cos sin tan0 1 0 0

8 .85 .38 .41

4 1 2 1 2 1

3 1 2 3 2 32 0 1

θ θ θ θ

π

π

ππ ∞

( )tanarctan

y xy x kπ

=

⇔ = +

( )2 1cos 1 cos 22

θ θ= +

( )sin sin sincos cos

α β α βα β

+ =

+( )cos cos cos

sin sinα β α β

α β+ =

−

† en supposant une impulsion Nyquist idéale


3

Fonction échelon

( ) ( )0 si 0 11 si 0

ttU t z dz

t jδ

ω−∞

<= = ⇔ >

∫

t

1

1/2

0

U(t)

La Rampe: ( )( )2

0 0 10

t tU z dz

t t jω−∞

< = ⇔ >

∫

t

1

0 1

( )t

U z dz−∞∫

PLL forme générale HLP(ω)

Filtre du boucle

VCO

( )0cosA tω θ+

( )0ˆ2sin tω θ− +

( )ˆsin θ θ−

PLL forme linéaire

Filtre du boucleVCO

bruitθ +

θ̂

ˆ bruitθ θ− +Σ

?

( )ˆ ωΘ

( )ωΘ ( )E ω

( )0K F ω

fonction de transfert en boucle fermée

( ) ( )( )

( )( )

0

0

ˆ K FH

j K Fω ω

ωω ω ω

Θ= =Θ +

erreur

( ) ( )( )0

jE

j K Fω ω

ωω ω

Θ=

+

Théorème de la valeur finale

( ) ( )0

lim limt j

e t j Eω

ω ω→∞ →

=

boucle passe-tout : ( ) 1F ω =

boucle passe-bas : ( ) 1

1

Fjωωω ω

=+

largeur equivalent du bruit:

( )( ) 2

2 0

1 20

NB H f dfH

π∞

∫

( )( )

2

2 2

pour 8

H2

nN

n

n n

B

j j

ως

ωωω ςω ω ω

=

=+ ⋅ +

Boucle de Costas


4

Corrélation croisée

( ) ( )0

T

ij j iz s t s t dt∫

Matrices de Hadamard

1n n

nn n

H HH

H H+

=

Le canal binaire symétrique (BSC)

0 0

1 1

p

1-p

1-p

p

0 0

1 1

p

1-p

1-p

p

BPSK avec AWGN: ( )02 bp Q E N=

Codes en bloc m = message à encoder, u = mot de code généré

[ ]T T

=

= =

k

n-k

G P I U = mG

H I P S rH

t = # d’erreurs qui peuvent être corrigés

min 12

dt − =

Code Hamming (n,k)=(2m-1,2m-1-m) Distance de Hamming

d(u,v) = # de positions de bits avec des valeurs différents dans les deux vecteurs u et v

Distance minimale ( ) ( )

, 2min , min wj j ji j j

d>

=u v u

Probabilité d’erreur de bit p Probabilité d’avoir plus que t erreurs de bits parmi un block de N bits

( ) ( ) 11

11 1

1

NN k N tk t

k t

N Np p p p

k t− − −+

= +

− ≈ − +

∑

( )!

! !N Nk k N k

≡ −

Tableau Standard • Première rangé – mots de codes valides • Première colonne – erreurs corrigibles • Tous les 2n mots de codes possibles sont inclus dans la table • Il n’y a pas de répétition des mots de code

Corriger une erreur 1. Détecter l’erreur 0 erreur≠ ⇒TS = rH v

2. Identifier la rangé avec T Tje H = rH

i.e. le syndrome identifie le coset 3. Corriger l’erreur en calculant jU = r + e

(le mot de code dans la colonne de tableau standard où on trouve )

Codes convolutifs


5

Algorithme de Viterbi



Chapitre 7 GEL10280/64486 60

43

Focus: le point de terminaison –le chemin vient d’ou?

Gain de codage: 2 2

10 min,sans codage10 log fd d

Borne supérieur de gain de codage (en dB) 1010 log frd r = taux de codage = k/n

Distance libre = distance minimale =df

t = # d’erreurs qui peuvent être corrigés

12

fdt

− =


6

TCM Taux de codage = 1/n

pour le TCM et les décisions souples Chapitre 9 GEL10280/64486 7

Exemple

[ ][ ]

1

2

1 1 1

1 0 1

g

g

=

=

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 1

3 2 2

codage convolutif

u X m X g X

u m X g X

=

=

1 1

(pas codé)u m=

Chapitre 9 GEL10280/64486 10

Correspondence de Gray

Correspondence pour TCM

Chapitre 9 GEL10280/64486 13

Coordonnées dans l’espace du signal

( ) ( ) ( )2 2 22 7 3 7 5 7 3 36fd = − + − + − =

Chapitre 9 GEL10280/64486 22

Calculer les distances locales

a=00

b=10

c=01

d=11

(14,6)

(10,2

)

(14,6)

(12,4)(8,0)

(8,0)

(12,4)

(4,4)

(0,8)

(4,4)(2,6)(2,10)

(2,10)

(2,6)

(12, 4)( 8, 0)

(4,4)(0,8)

(6,2)(2,6)

Z = -5 1 -7 3

(10,2)(0,8)

Chapitre 9 GEL10280/64486 25

Calculer les distances globalest=3

a=00

b=10

c=01

d=11

(---, 6)(---, 2)

(---,

2)

(---, 6)

(---, 4)

(---, 0)

(---, 0)

(---, 4)

distancechemin chemin cheminen haut en bas gagnant

4

0

0

4

BAS

HAUT

BAS

BAS


7

Largeur de bande

“temps util”

...

20 MHz20MHz OFDM channels in 5 GHz band

Design Example: 5GHz WLAN Standard

802.11a and Hiperlan II have very similar OFDM PHYs:» 20 MHz channel is divided into 64 carriers» Carriers are coded with varying modulation and error

correction code.» Each carrier is ~300kHz wide, giving raw data rates from

125kb/s to 1.5Mb/s


8


9

Problème 1 (20 points sur 100) - Université Laval

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