Problème de Grenoble 1995 .

Problème de Grenoble 1995.

H

G

A B

CD

E

F

S

I

Partie IPartie II

La figure ci-contre représente un solide.Celui-ci se compose d'un parallélépipède rectangle surmonté d'une pyramide régulière à base carrée de sommet S et dont les faces latérales sont des triangles isocèles.

H

G

A B

CD

E

F

S

ILes dimensions de la figure sont les suivantes :AF = 2 cm ;AB = BC = 6 cm ;SH = 5 cm.

1) Représenter le triangle SGH en respectant les dimensions données.

2) a) Calculer la longueur de la hauteur SI du triangle SGH.

b) En déduire l'aire du triangle SGH.

3) Montrer que l'aire extérieure totale du solide (face inférieure comprise) est de 132 cm2.


Partie I

H

G

A B

CD

E

F

S

ILes dimensions de la figure sont les suivantes :AF = 2 cm ;AB = BC = 6 cm ;SH = 5 cm.

1) Représenter le triangle SGH en respectant les dimensions données.

2) a) Calculer la longueur de la hauteur SI du triangle SGH.

b) En déduire l'aire du triangle SGH.

3) Montrer que l'aire extérieure totale du solide (face inférieure comprise) est de 132 cm2.


Partie I

H

G

A B

CD

E

F

S

I


Partie II

La figure précédente est la réduction à l'échelle1 / 4 d'un coffret qu'un artisan désire réaliser.Il se propose de le couvrir intérieurement de feuilles d'or très fines, de calculer la masse d'or nécessaire ainsi que le prix de l'or à acheter.

1) Calculer l'aire réelle extérieure du coffret.

2) Sachant que pour couvrir une surface de 1 cm2, il faut 0,00195 g d'or, calculer la masse d'or pour recouvrir l'objet au centième de gramme près.

3) Le découpage des feuilles d'or occasionne des pertes.L'artisan prévoit d'acheter 25 % d'or supplémentaire.Le prix du kilogramme d'or est de 70 000 F. Calculer le prix de tout l'or à acheter.

Le triangle SGH est donc isocèle de sommet principal S.

D ’après le codage sur les segments[SG] et [SH] : SG = SH.

Ses dimensions sont :GH = 6 cm

0 1 2 43 65 7 98

Partie I 1) Représenter le triangle SGH en respectant les dimensions données.

H

G

A B

CD

E

F

S

I

G H


D’après le codage sur les segments[SG] et [SH] : SG = SH.


SH = SG = 5cm0 1 2 43 65 7 98

H

G

A B

CD

E

F

S

I

G H

S

I



D’après le codage sur les segments[SG] et [SH] : SG = SH.


SH = SG = 5cm

H

G

A B

CD

E

F

S

I

G H

S

I


H

G

A B

CD

E

F

S

I

G H

S

I

Le segment [IS] est la hauteur issue dusommet principal:

Partie I 2) a) Calculer la longueur de la hauteur SI du triangle SGH.

H

G

A B

CD

E

F

S

I

G H

S

I

Le segment [IS] est la hauteur issue dusommet principal:c’est aussi la médiane issue de S.Donc I est le milieu du segment [GH].


H

G

A B

CD

E

F

S

I

Le segment [IS] est la hauteur issue dusommet principal:c’est aussi la médiane issue de S.Donc I est le milieu du segment [GH].

H

S

I

On a donc IH = 3 et SH = 5.

3

5?


H

G

A B

CD

E

F

S

I

H

S

I 3

5?

Le triangle SIH est rectangle en I.

D’après le théorème de Pythagore :

SH² = IH² + IS²

² = ² + IS²5 3


IS² = 5² - 3²IS² = 25 - 9IS² = 16 donc IS = 16 = 4²

donc IS = 4 cm.

H

G

A B

CD

E

F

S

I


H

S

I 3

5

Le triangle SIH est rectangle en I.

D’après le théorème de Pythagore :

SH² = IH² + IS²

² = ² + IS²5 3IS² = 5² - 3²IS² = 25 - 9IS² = 16 donc IS = 16 = 4²

donc IS = 4 cm.

4

H

G

A B

CD

E

F

S

I

Partie I 2) b) En déduire l'aire du triangle SGH.

6

4

G H

S

IOn connaît une base et la hauteur associée :

GH = 6 et IS = 4

Aire (triangle) = Base Hauteur2

Aire (SGH) = 6 42

Aire (SGH) = 224 = 12

L ’aire du triangle SGH est 12 cm².

H

G

A B

CD

E

F

S

I

Partie I 3) Montrer que l'aire extérieure totale du solide (face inférieure comprise) est de 132 cm2

Les faces de ce volume se composent de :

- 4 triangles isocèlesde dimensions cellesdu triangle SGH.

- 4 rectangles dedimensions 6 sur2 cm.

- 1 carré de côté 6cm.


D ’après 2) b) l ’aire de SGH est 12 cm². Pour les quatre triangles,on a:

412 = 48

Pour un rectangle, l’aire est :

- 4 triangles isocèlesde dimensions cellesdu triangle SGH.

- 4 rectangles dedimensions 6 sur2 cm.

- 1 carré de côté 6cm.

26 = 12Pour les quatre rectangles :

412 = 48

Pour un carré de côté 6 :66 = 36


H

G

A B

CD

E

F

S

I

Au total :

48 + 48 + 36 = 132

L’aire extérieure de ce solide est 132 cm².

Partie II 1) Calculer l'aire réelle extérieure du coffret.

H

G

A B

CD

E

F

S

I

Par rapport à notre solide de la partie I,les dimensions sont multipliées par 4.

Le rapport d ’agrandissement est 4 doncl ’aire est multipliée par: 4²

c’est-à-dire : 16

D ’après la Partie I, 3) :16 132 = 2112

L ’aire extérieure réelle est 2112 cm².

Partie II 2) Sachant que pour couvrir une surface de 1 cm2, il faut 0,00195 g d'or, calculer la masse d'or pour recouvrir l'objet au centième de gramme près.

On a 2112 cm² à recouvrir :

2112 0,00195 = 4,1184

4,1184Le chiffre qui suit celui des centièmes estsupérieur ou égal à 5.

4,12On prend comme arrondi au centième le nombre immédiatement supérieur.

Il faut environ 4,12 g d’or pour recouvrir le coffret.

Partie II 2) Sachant que pour couvrir une surface de 1 cm2, il faut 0,00195 g d'or, calculer la masse d'or pour recouvrir l'objet au centième de gramme près.

Il faut environ 4,12 g d’or pour recouvrir le coffret.

Partie II 3) Le découpage des feuilles d'or occasionne des pertes. L'artisan prévoit d'acheter 25 % d'or supplémentaire. Le prix du kilogramme d'or est de 70 000 F. Calculer le prix de tout l'or à acheter.

Il faut donc rajouter 25 % d ’or :

25 % de 4,1184 : 25

1004,1184 = 0,25 4,1184

= 1,0296

Il faut donc en tout :

1,02964,1184 + = 5,148

Avec les pertes, l ’artisan a besoin de 5,148 g d ’or.

Partie II 3) Le découpage des feuilles d'or occasionne des pertes. L'artisan prévoit d'acheter 25 % d'or supplémentaire. Le prix du kilogramme d'or est de 70 000 F. Calculer le prix de tout l'or à acheter.

Avec les pertes, l’artisan a besoin de 5,148 g d ’or.

En notant p le prix à payer, comme il y a proportionnalité,on peut appliquer le produit en croix au tableau suivant :

p

5,148

70000

1000

Prix

Quantité1 kg = 1000 g

p 1000 = 5,148 70000

p =5,148 70000

1000P = 5,148 70 = 360,36

Le coffret nécessite l’achat de 360,36 francs d’or.

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