C. R. Acad. Sci. Paris, t. 324, Sikie I, p. 1111-l 116, 1997 iquations aux dCrivbes partielles/fartia/ Differential Equations

ProblGme de Cauchy pour certaines hquations du type de SchrSdinger

Daniel GOURDIN, Severin NGNOSSE et Jiro TAKEUCIII

J. T. : College of Industrial Technology, 1-27 - Nishikoya, Amagasalsi, 661 Japan;

D. G. et S. N. : University Pierre-et-Marie-Curie, Paris-VI,

U.F.R. 920 - UMR 9994 Mathhmatiques,

Tour 45-46, 5’ &age, 4, place Jussieu, 75252 Paris CEDEX 05, France.

R&urn& On co&d&e un opCrateur de 24volution au sens de Petrowsky et on suppose que les racines CaractCristiques du polyn6me principal g coefficients constants sont rkelles et de multiplicitCs constantes. On donne alors des conditions suffisantes pour que le probEme de Cauchy pour le futur et le pass6 soit bien post! en m&me temps dans les espaces de Sobolev. Nos conditions sont analogues aux conditions de Levi et aux conditions de bonne dCcomposition d’opkrateurs dans le cas hyperbolique pour les opCrateurs kowalewskiens.

Cauchy problem of certain equations of Schriidinger type

Abstract. We consider a 2-evolution operator in the sense of Petrow& and we assume that the characteristic roots of the principal polynomial with constant coeficients are real and of constant multiplicities. Then we give sufficient conditions so that the Cauchy problem both for the future and for the past is well-posed in the Sobolev spaces. Our conditions are analogous to the Levi conditions and to the decomposition conditions of operators in the hyperbolic case for Kowalewskian operators.

Abridged English Version

Let (z: t) be in R” x R1 and let us consider the following 2-evolution operator in the sense of Petrowsky (see [ 121).

(1)

with

Note prksentke par Paul MALLIAVIN.

0764~4442/97/03241 I I 1 0 AcadCmie des SciencesElsevier, Paris 1111

D. Courdin et al.

Dt = -i $, Dx = (01, . . . . Dn); Ds2 = -i & (1 5 j 5 n). J

We suppose that the principal part Pxm (E, 7) of P (x, D,, Dt) in the sense of Petrowsky has constant coefficients and real characteristic roots with respect to r; for < E W”:

(2)

\ n=l

where H, (I, T) = J!,, CT - x (El) (1 I s 5 0) are not reducible factors in a3 [[, r]

(0 = no < 721 < . . . < i,); here V, are constant multiplicitie and Xg (I) E W. Then, supposing a particular decomposition of P, we prove that the Cauchy problem for

P (x! D,, Dt) is well-posed in the Sobolev spaces. We give also equivalent assumptions involving the sub-principal part P2m-1, Pzme2 and Pzrnps

analogous to the Levi conditions with

(3)

I lal=Zj-k

in the case of at most double characteristics (v, = 1 or 2).

I. Introduction et bond des rbsultats

En notant (2: t) E W” x R1, Dt = -1: g, DA- = (Dl! . . . , D,,), Dj = -i& (1 5 j < n),

Uk (xc1 ox:> = c &k (3~) 0,” (1 5 k 5 m), &k(x) E B” (Rn), on considere l’operateur de l452k

2-evolution au sens de Petrowsky (voir [12]) :

(1) P (2: D,, Dt) = Dz” + al (z> D,) 07-l + . . . + a, (z, D,).

On suppose le symbole principal Pzm (voir [17] ou [12]) a coefficients constants, oti

(2) Pzrn (I, T) = Trn + 2 c&y (5) F--3, a; (0 = c Gj I” (1 5 j 5 m) ; j=l 101=2j

on note aussi

(3) PZm-k (x, <, T) = U’;: (2, <) ?--l + ‘. ’ + U;, (Z, c), Uj” (X, I) = c U,j (X) <“,

lal=2j-k

(Ic > 1) ; Pzm-l est le symbole sous-principal de P (voir [ 121) ; P 2rn et P2,,-k sent respectivement quasi-homogenes de degres 2m et 2m - k en (I; r), de poids (1, 2) au sens suivant :

P2m (TE, T27) = r2mP2m (I, T), &-k (x, r<, r2T) = T2m-kP2,n-k (2, <,T) (r E w).

1112

Probkme de Cauchy pour certaines equations du type de SchrGdinger

Nous allons donner des conditions pour que le probleme de Cauchy, a la fois pour le futur et le passe, note

(*) i

P (5, D,, Dt) u (37, t) = f (2~~ t) sur R” x [-T! T]

05-l ~(0, z) = gj (z) dans W” (j = 1, . . . ) m)

soit bien pose dans C” ([-T! T] ; H” (W”)). 0 n impose la condition suivante :

CONDITION (A-l). - Les racines caracteristiques en r de Pz, (I, r) sont reelles pour < E W. On dit alors que P (x, D, , Dt) est du type de Schrbndinger. Remarquons que cette condition est necessaire pour que le probleme de Cauchy (*) soit bien pose

dans C” ([-T, T] ; H” (IF)) m&me si les coefficients de Pz, dependent de z. Lorsque les racines caracteristiques sont simples, Takeuchi (voir [13]) a donne des conditions

necessaires et des conditions suffisantes de rtsolubilite du probleme de Cauchy (*) dans les espaces de Sobolev. Dans cette Note, nous supposons les racines caracteristiques et de multiplicitts constantes et nous proposons des conditions suffisantes de resolubilite analogues aux conditions de Levi (voir [8], [6], [14], [lo], [15], etc) et aux conditions de bonne decomposition d’operateurs (voir [I 11, [7], [9], [2], [3], [4], [l], [5], etc) dans le cas hyperbolique pour les operateurs kowalewskiens, c’est-a-dire, pour les operateurs de l-evolution au sens de Petrowsky (voir [I 21).

1) CAS GGNBRAL On impose les conditions supplementaires suivantes :

CONDITION (A-2). - Le symbole principal Pzm (0 T) p o&de une decomposition en facteurs H, (5,~) premiers entre eux deux a deux dans 43 [e; r], de multiplicitts constantes V, :

P2, (t, T) = fi (6 (I ! T)Y’*> Hs (I, ~1 = +-’ + 5 a;: s (,c) r+s--k

s=l k=l

lal=2k s=l

CONDITION (A-3). - Toutes les racines caracte’ristiques Xp (E) (en T) du radical R (I, T) = 0 n H, (E, r) sont (re’elles) non nulles et distinctes deux ir deux pour [ E W\O ; on pose

s=l

%(I, 7)= fi +%)) (1 I s I g.)> 0 = no < n1 < f.. < n,. i=rz,-1+1

Remarque. - Sous les conditions (A-l) a (A-3), les racines caracteristiques Xf (<) sont positivement homogenes de degre 2 en [ E W”\{O}.

On adopte la nouvelle notation suivante des racines Xp (<) :

P2m (t, ~1 = fi (Hs (5, ~1)~~ = fi h CT - A; (El),

s=l j=l i=l

1 5 Icl 5 . . . 5 Icj 5 . . . 5 k, = sup{v, ; 1 5 s 5 a} = fi,

A; (6) = . . , = q (I) (j = 1, .‘., p),

q (I) # A; (0 si jfj’: l<i<k, JT l<i’<k-1 - J ) E E R”\{Ol.

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D. Gourdin et a/.

Soient 1; = {j ; kj 2 i} (i = 1: . . . , ,u), m; = Card I;, Mi = 2 m,, R; (I, r) = IJ (r - Aj (5)). r=l jcr,

u

Alors on a Pz, (<, r) = n R, (<, 7). i=l

CONDITION (A-4) (Conditions de bonne decomposition). - 11 existe des operateurs differentiels en t notes cj et rj (1 5 j 5 p)

A{,,_,-(j-1)

cj (x:, D,, a> = c d; (x, Or) D~f,-‘-ww

k=O

k=l

avec di E BL2” (IF), ri E BL2k (IF) (voir [3], p. 224) tels que m-P

P - 2 cj rj rj+l . . . rp = c d;+’ (z, D,) Dr-p--k! j=l k=o

rj admettant Rj (I, r) pour symbole principal et di+’ E BL2” (W).

CONDITIONS (A-5). - Soit T; 1 (x, I) 1 e s m o e sous-principal de ri (5, Ox). Pour 1 < k 5 ‘mj, y b 1

15 j I /% (i) il existe E > 0 tel que, pour tout multi-indice p,

(DfImrtl cx:, <)I 5 cg (x)-l-min{IBl, 1)-E (c)2k-l!

(ii) on a, pour tout multi-indice y (]y] 2 l),

ID: Re ri’ ’ (x, <)I 5 cj w’ (E)2k-1.

Nous obtenons le theoreme suivant :

,TH~OI&ME 1. - On suppose les conditions (A- 1) & (A-5) verijiees. Alors, pour tout 91: . . , gm duns H” (W) et pour tout f E C1 ([-T, T] ; H= (Iw’&)), 1 i existe une solution unique du problbme de Cauchy (*) a la fois pour le futur et pour le passe’ telle que u E C” ([-T, T] ; H” (R”)). De plus, pour toute v(t) = ‘u (z, t) E C” ([-T? T] ; H” (R”)), on a, pour tout .! E N U {0},

IlID e+m-p 21 (t>llI.s m-l

I c(T) c IID:: ‘u (o)lls+z~e+m-~-~~ + IIIDe-1 Pv kdllls + j=o

t E L-T, 4, IIlD”u(t)lIls = o~~ell~:~~~~l12~r-j~+. --

avec la convention ]]]De-l P(o)]]]~ = 0 si ! = 0.

2) CAS PARTICULIER (MLJLTIPLICITI?S AU PLUS DOUBLES)

CONDITION (A-2)‘. - Le symbole principal Pzrn admet dans 43 [S, T] la d&composition en facteurs

premiers H, (I! r) (s = 0, l), unitaires en T, quasi-homogknes de degrts respectifs 2mo et 2 (ml -mo).

de poids (1, 2) en (<, T), notee

P2n = [HoI HI.

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ProbEme de Cauchy pour certaines Cquations du type de Schriidinger

CONDITION (A-3)‘. - m = m. + ml, (1 2 j I ml =

1 < mo < ml et les racines caracteristiques XY (I) m - mo) en T du radical R = HO HI sont (reelles) et distinctes deux a deux

pour < E W\{O}. On note

j=l j=l

CONDITION (A-4)‘. - Le polynome Ka divise les polynomes Pimpk (XT, I, T) (k = 1: 2, 3) dans I? [(! T] avec B = 8” (R”) et

P’ 2771-l = P2m-1:

P&n--2 = P2m-2 - Q2nro-1 R2ml-1 - c f@” R2m-1(4,

lnl=l

P:m--3 = P21n-3 - {Q2nco-1 R2m-2 + Q2mo-2 R2m1-1)

- C{

He. O) (“’ ‘) R27w -2 (a) + Q2m-1 R27nl-1 (n) >

InI=

- c L He,‘) R2m-1(,x):

lnlz2 tr! oti B” (Rn) est l’anneau des fonctions de classe C” (R71) a d&ivees bomees sur W” et, en notant

f’L,-k = HO P$m,-k (1 I k 5 31, Qz~,,~-~ et R2nLl--k sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de P” 2nl,-k par HI (1 < k I 3) dans (B [<I [T] (1 5 k 5 3) lorsque m > 2mo

(ml > mo) (resp. Qzw,+z = p;:,@ et &no-k = 0 ou bien Q2nLo--k = 0 et Ram,,-,+ = P:‘,,-k (1 5 k 5 3) lorsque m = 2mo).

Remarque. - Qy et R, sont quasi-homogenes de degre s en (I, T) de poids (1, 2) ; f:,iij) (CC, E7 r) =

(iD# (iDT)j D,“f (2, <, 7).

CONDITION (A-5)‘. - Pour (Q] = 2j - 1, 1 5 j 5 ml = m - mo,

(9 1 DE Im a,j (x)I 5 c,. (ql--iIl til.ll-e (& > O),

(ii) ID2 Rea,,j (x)1 5 c?. (x)-l (1-d L 1).

SOUS les conditions (A-l) et (A-2)’ a (A-5)’ nous obtenons le m&me resultat que celui du theoreme 1 avec p = 2 grace a la proposition suivante :

PROPOSITION 1. - Sous les conditions (A-l) et (A-2)’ ci (A-4)’ il existe des ope’rateurs diffkrentiels

ck (2, Dz) d’ordre 2k 6 coefJicients duns B” ( Wn) (0 5 k < m - 2) tels que m-2

P (5, Dz, Dt) - Q (~3 D,, Dt) R(z; D,, Dt) = c clc (x, Dz) D1”-2-k k=O

= R2ml (E, T> + 2 R2ml+ (z, E, T).

j=l

1115

D. Gourdin et al.

II. Remarques & propos des dkmonstrations

1) La demonstration du theoreme 1 est analogue a celles de Gourdin-Mechab (voir [5]) en utilisant les resultats de Takeuchi (vair [13], p. 40-55).

2) Dans le cas p = 2, la proposition 1 implique la bonne decomposition de l’opdrateur P au sens de la condition (A-4), ce qui conduit a la resolution du probleme de Cauchy (*) dans les espaces de Sobolev; cependant il n’y a pas equivalence des conditions (A-4) et (A-4)’ dans le cas p = 2. En particulier, si P2m-l et Pzrn-2 sont a coefficients reels constants, et si Ha divise P2m--1, P2m--2 (E, Xj” (0) # 0 et {Plm,-1 (I, Xj” (E))}’ 2 4P2,-2 (t, X!j (I)) HI (<! Xj (I)) (1 I j L m0>, ah

les conditions (A-l) a (A-5) sont aussi verifites dans le cas ~1 = 2.

Note remise le 21 octobre 1996, acceptee apres revision le 20 janvier 1997.

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