Probabilités de A à Z

8/14/2019 Probabilits de A Z

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Calcul des probabilits Deug 2ime anne

Grard Letac , Universit Paul Sabatier , Toulouse

Juin 2001


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Table des matires

1 Lespace de probabilits (,A,P) 11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Lespace des observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 La tribu des vnements A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 La probabilit P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Quatre espaces de probabilit importants 7

2.1 Lespace est fini ou dnombrable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Le cas quiprobable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Le schma Succs-Echec. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Le cas o = IR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Probabilits conditionnelles et indpendance 20

3.1 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Indpendance dvnements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Indpendance de sous tribus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Image dune probabilit, variables alatoires 24

4.1 Fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Image dune probabilit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3 Les variables alatoires relles et leurs lois. . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Lesprance mathmatique dune variable alatoire 28

5.1 Les variables alatoires tages. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.2 Esprance dune variable alatoire quelconque. . . . . . . . . . . . . 305.3 Thorme du transport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.4 Variables alatoires indpendantes et esprance du produit. . . . . . . 33

6 Moments, fonctions gnratrices, transformes de Laplace 35

6.1 Moments et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.2 Les variables alatoires valeurs entires. . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.3 Transforme de Laplace dune variable alatoire. . . . . . . . . . . . 44

7 Appendice 1: Grandes dviations 49

8 Appendice 2: Convergence des lois binomiales vers la loi de Poisson 53

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TABLE DES MATIRES

9 Appendice 3: Annales des problmes de probabilits de Deug et de licence 59

www.Les-Mathematiques.net

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Chapitre 1Lespace de probabilits

(,A,P)Par Grard Letac

1.1 Introduction

Le calcul des probabilits est la science qui modlise les phnomnes alatoires.

Une modlisation implique donc certainement une simplification des phnomnes,

mais cette simplification conduit une quantification, donc la possibilit de faire

des calculs et prdire. Le jet dun d, le tirage du Loto pourraient tre analyss parles lois de la mcanique, mais ce serait trop compliqu pour tre utile. La modlisation

du calcul des probabilits a t invente par A. N. Kolmogorov dans un livre paru en

1933. Cette modlisation est faite partir de 3 objets (,A,P) que nous allons dcrire.

1.2 Lespace des observables .

Nous conviendrons que effectuer une exprience, cest slectionner par un procd

quelconque un lment dans un ensemble : jeter un d revient slectionner unlment de = {1,2,3,4,5,6}; jeter ensemble deux ds rouge et vert revient slec-tionner un lment de lensemble =

{1,2,3,4,5,6

}des couples ordonns (i,j) avec

1 i 6 et 1 j 6 (ici a 36 points). Plus dlicat: jeter ensemble deux ds in-discernables revient slectionner un lment de lensemble des couples (i,j) avec1 i j 6 (ici a 6+ 1265 = 21 points). Observer la dure de vie dune ampoulede 100 watts revient slectionner un lment de = [0, + [. Mesurer la dure devie de 12 ampoules de 100 watts est slectionner un lment de = [0, + [12.

Cet ensemble est appel lespace des observables. On dit aussi dans la littraturelespace chantillon, lespace des vnements - lmentaires, lexprimental ou encore

lvnementiel. Ses points sont appels observables ou vnements-lmentaires. Ilest trs important quil soit clairement dfini. On peut sexercer dfinir dans les 2cas suivants : jeter 12 fois de suite la mme pice de monnaie, jeter en mme temps

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1.3. LA TRIBU DES VNEMENTSA.

12 pices de monnaie identiques (on admet que la pice tombe sur pile ou sur face, et

jamais sur la tranche).

1.3 La tribu des vnements A.Les questions quon se pose sur le rsultat dune exprience sont systmatiquement

du type suivant: on choisit un sous ensemble A de lespace dobservables et on sedemande: le rsultat de lexprience va-t-il tomber dans A ou non? Les parties de pour lesquelles on se pose ce genre de question sont appeles des vnements. Undes premiers points dlicats de la thorie est que on ne va pas toujours considrer tous

les sous ensembles de comme des vnements. Dans lexemple de la lampe de 100watts, il parait inintressant de se demander si sa dure de vie, mesure en heures, est

un nombre irrationnel, et intressant de se demander si elle tombe dans lintervalle[300,400]. Lide de Kolmogorov est que lensemble A des vnements a une structurede tribu:

Dfinition Soit un ensemble et soit A une partie de P(). A a une structure detribu si il satisfait aux trois axiomes:

1. Si A A, alors son complmentaire Ac = \ A est aussi dans A.2. Si on a une suite finie ou dnombrable A1, . . . , An, . . . dlments de A, alors

leur runionn1 An est aussi dans A.

3. Lensemble vide est dans A.Un lment de A est appel un vnement.

Tirons quelques consquences de ces axiomes.

Proposition 1.1 Soit A une tribu de parties de lensemble . Alors A. Deplus, si on a une suite finie ou dnombrable A1, . . . , An, . . . dlments de A, alors leurintersection

n1 An est aussi dans A.

Dmonstration En appliquant les axiomes 1 et 3, on a le premier rsultat. Pour

le second, il suffit de se rappeler que le complmentaire dune runion finie ou infinie

densembles est lintersection des complmentaires ("Loi de Morgan"). Donc

n1An = (

n1Acn)

c,

et le deuxime membre de cette galit est donc dans A : on applique successivementlaxiome 1, puis 2, puis 1 nouveau.

Le langage de la thorie des ensembles permet des calculs systmatiques sur les

vnements. Toutefois, il faut savoir que le langage courant, que nous utilisons dans

une premire tape pour dcrire des vnements a sa traduction ensembliste. Voici un

petit dictionnaire :

Ensemble : vnement certain


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1.4. LA PROBABILIT P

Ensemble vide: vnement impossible

A B: A ou B sont raliss ("ou" non exclusif)A B: A etB sont ralissA et B sont disjoints: les vnements A et B sont incompatiblesAc = \ A: vnement contraire de A.

Le fait que on ne sorte pas de la famille des vnements intressants considrer en

prenant une intersection ou une runion dvnements est raisonnable si ceux ci sont en

nombre fini. Le fait de se permettre ceci galement quand on en a une infinit est plus

subtil: les mathmatiques ne maniant que des ensembles finis sont lmentaires mais

les rsultats exacts auquels elles conduisent sont trop compliqus pour tre utilisables.

Le passage linfini est le passage de lalgbre lanalyse, donc des approximations

maniables et de puissantes techniques issues du calcul diffrentiel et intgral. Quantau fait que dans ce passage linfini, on se limite une infinit dnombrable dvne-

ments, cest un point technique quon ne justifiera que dans un cours de 3 me anne

duniversit. Rappelons quun ensemble E avec une infinit dlments est dit dnom-brable si il existe une bijection entre Eet lensembleN des entiers positifs: lensembleQ des nombres rationnels est dnombrable, le segment [0,1] ne lest pas, comme nouslavons vu en premire anne.

Finalement, ce point dlicat: "on ne considre pas ncessairement tout sous en-

semble A de comme un lment de la tribu A des vnements" ne jouera pas ungrand rle dans la suite. Typiquement, nous envisagerons deux cas particuliers impor-

tants:

Le cas o lui mme est dnombrable, et nous prendrons comme tribu A lafamille P() de tous les sous ensembles de . Le cas o est la droite relle IR. Nous prendrons alors pour tribu A la tribu B(dite tribu de Borel, dont les lments sont appels des borliens) qui est la plus

petite tribu qui contient tous les intervalles de IR.

On peut laborieusement dmontrer que B = P(IR); toutefois, une descriptioncomplte des lments de B nest pas possible, et en fait pas trs utile en pratique:les seuls borliens que nous aurons manipuler seront les intervalles (attention,

IR ou une demi droite sont aussi des intervalles) ou des runions finies, ou plus

rarement, dnombrables, dintervalles.

Ce ne sont pas les seuls espaces de probabilit utiliss: on verra le schma Succs

Echec la section 2 et le cas = IR ou IRn plus tard.

DfinitionLa plus petite tribu qui contient les ouverts de

R

muni de sa topologiecanonique est appele tribu de Borel. Les lments de cette tribu sont appels les bo-

rliens de R .

1.4 La probabilit P

Dfinition Etant donns un espace dobservables et une tribu dvnements Aforme de certains sous ensembles de , une probabilit P est une application de A


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dans [0,1] , donc un procd qui associe tout vnement A un nombre P(A) compris

entre 0 et 1 appel probabilit de A, et qui satisfait aux axiomes suivants L vnement certain est de probabilit 1: P() = 1.

Axiome dadditivit dnombrable: pour toute suite A1,A2, . . . , An . . . dvne-ments de A qui sont de plus deux deux disjoints, cest dire tels que AkAj = si k = j, alors la srie

k=1

P(Ak)

converge et a pour somme P(k1 Ak).

Le triplet (,A,P) est alors appel un espace de probabilit.

Voici quelques consquences immdiates des axiomes.

Thorme 1.2 Soit (,A,P) un espace de probabilit. Alors1. P() = 0.2. Si A1,A2, . . . , An dans A sont deux deux disjoints, alors

P(A1 An) = P(A1) + + P(An);

en particulier P(Ac) = 1 P(A).3. Si A et B sont dans A et si A B alors P(A) P(B).

Dmonstration

1) Laxiome dadditivit dnombrable est appliquable la suite constante dfinie

par An = , qui est effectivement forme dvnements deux deux disjoints. La sriedont le terme gnral P() est constant ne peut converger que si ce terme gnral est0.

2) Sa premire partie se dmontre en appliquant laxiome dadditivit dnombrable

A1,A2, . . . , An continue par = An+1 = An+2 = , et en utilisant le 1). Appli-quer a n = 2, A1 = A et A2 = A

fournit 1 = P() = P(A) + P(Ac) en utilisantle premier axiome dune probabilit.

3) On crit B = A (B \ A) comme runion de deux ensembles disjoints (notezque B\A = BA est bien dans A), et on applique le 2): P(B) = P(A)+P(B\A) P(A).

Thorme 1.3 Soit (,A,P) un espace de probabilit. Alors1. Si A et B sont dans A, mais ne sont pas ncessairement disjoints, alors

P(A B) = P(A) + P(B) P(A B).

Si les A1,A2, . . . , An dans A ne sont pas ncessairement deux deux disjoints,alors

P(A1 An) P(A1) + + P(An).2. Continuits croissante et dcroissante: Soit une suite B1,B2, . . . , Bn . . . dv-

nements de A qui soit ou bien croissante (cest dire que pour tout n 1 on


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a Bn Bn+1) ou bien dcroissante (cest dire que pour tout n 1 on aBn Bn+1). Alors, dans le cas croissant:

limn+

P(Bn) = P(n1

Bn);

et dans le cas dcroissant:

limn+

P(Bn) = P(n1

Bn).

3. Sous additivit dnombrable: Soit une suite B1,B2, . . . , Bn . . . dvnements deA. Alors ou bien la srie k=1 P(Bk) diverge; ou bien elle converge et dans cecas sa somme est P(n1 Bn).

Dmonstration1. On crit comme dans la dmonstration prcdente:

P(B) = P(A B) + P(B \ A), P(A) = P(A B) + P(A \ B),puis on crit A B = (A B) (B \ A) (A \ B) comme runion de troisensembles deux deux disjoints et on applique le 2):

P(A B) = P(A B) + P(B \ A) + P(A \ B) =P(AB)+(P(B)P(AB))+(P(A)P(AB)) = P(A)+P(B)P(AB);Pour terminer le 1) on dmontre le rsultat par rcurrence sur n. Cest trivialpour n = 1. Si cest dmontr pour n, appliquons la premire partie de ce 1) A = A1

An et B = An+1. On obtient, laide de lhypothse de

rcurrence

P(AB) = P(A)+P(B)P(AB) P(A)+P(B) (nk=1

P(Ak))+P(An+1).

2. Dans le cas croissant, posons A1 = B1 et, pour n 2, An = Bn \ Bn1. LesA1,A2, . . . , An . . . sont alors deux deux disjoints. La srie

k=1 P(Ak) est

donc convergente. Daprs la partie 2) de la proposition prcdente, on a

P(Bn) = P(A1 An) =nk=1

P(Ak)

Passons la limite dans lgalit ci dessus; on obtient

limn+

P(Bn) =k=1

P(Ak).

Or daprs laxiome dadditivit dnombrable, le second membre est P(k1 Ak),

qui est aussi par dfinition des An gal P(n1 Bn).

Dans le cas dcroissant, on se ramne au cas prcdent par passage au com-

plmentaires, laide de la loi de Morgan: le complmentaire dune union est

lintersection des complmentaires:

lim P(Bn) = 1 lim P(Bcn) = 1 P(n1Bcn) = 1 (1 P(n1Bn)) =P(n1Bn).


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3. La suite dvnements dfinie par Cn = B1 Bn est croissante et on peutlui appliquer le 2). En utilisant aussi la sous additivit finie on a donc

P(n1

Bn) = limn+

P(Cn) limn+

(P(B1) + + P(Bn)) =k=1

P(Bk).

Exercices sur la section 1.

1. Soit A,B,Ctrois vnements dun espace de probabilit. Montrer laide du Th.1.2 ) que

P(A B C) =P(A) + P(B) + P(C)

P(A

B)

P(B

C)

P(C

A) + P(A

B

C).

Etablir une formule de ce genre pour une runion de 4 vnements.

2. Soit A une tribu dvnements sur , et soit f une fonction positive sur A ayantles proprits suivantes: f() = 1, f(A B) = f(A) + f(B) si A et B sontdes vnements disjoints et , si (Bn) est une suite dcroissante de A telle quen1Bn = alors

limn+ f

(Bn) = 0.

Montrer qualors f est une probabilit. Mthode: si (An) est une suite dvne-ments deux deux disjoints, considrer

Bn = kn+1Ak.


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Chapitre 2Quatre espaces de probabilit

importants

Par Grard Letac

2.1 Lespace est fini ou dnombrable.

Dans ce cas on suppose habituellement que la tribu des vnements A est P(),lensemble de toutes les parties de . Par exemple, si est form de 2 lments notsa et b, alors

P() est constitu des 4 sous ensembles suivants: lensemble vide

, les

deux singletons {a} et {b} et = {a,b} lui mme. Plus gnralement, on a le faitsuivant:

Proposition 2.1 Si un ensemble a un nombre fini N dlments, alors len-semble des parties de : P() a 2N lments.

Dmonstration On procde par rcurrence sur N. Cest trivial pour N = 1 ou 0.Si cest vrai pour N, considrons

= {a1, . . . , aN,aN+1} et = {a1, . . . , aN}.

Les parties de se partagent en deux catgories:Catgorie 1: celles qui ne contiennent pas aN+1.Catgorie 2: celles qui contiennent aN+1.Il est clair que la catgorie 1 est gale P() et que la catgorie 2 est en bijec-

tion avec P(), la bijection tant obtenue en ajoutant aN+1 aux lments de P().Comme daprs lhypothse de rcurrence P() a 2N lments, on en conclut queP() a 2N+ 2N = 2N+1 lments, et la rcurrence est tendue.

Proposition 2.2 Si est infini dnombrable, alors P() est infini non dnom-brable.

Dmonstration La dmonstration est analogue la dmonstration de Cantor. Sans

perte de gnralit on suppose gal lensemble N des entiers positifs ou nuls. Si

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2.1. LESPACE EST FINI OU DNOMBRABLE.

X N, on lui associe la fonction indicatrice 1X dfinie sur N et valeurs 0 ou 1 par1X(k) = 1 si k Xet 1X(k) = 0 si k / X. Remarquons aussi quinversement, si unefonction f dfinie sur N est valeurs 0 ou 1, alors cest une indicatrice densemble,cest--dire quil existe X tel que f = 1X : il sagit de X = {k N; f(k) = 1}.

Montrons alors la proposition par labsurde en supposant que P(N) soit dnom-brable, cest--dire quil existe une application bijective n Xn de N sur P(N).Alors la fonction f dfinie sur N et valeurs 0 ou 1 par

f(k) = 1 1Xk(k)est lindicateur de quelque sous ensemble Xn de N et donc pour tout k de N on a

1Xn(k) = 1 1Xk(k),ce qui est une contradiction si k = n.

Les probabilits sont alors dcrites par le rsultat suivant

Proposition 2.3 Soit un ensemble fini ou dnombrable. Soit x px une appli-cation de dans les rels 0 telle que

xpx = 1.

Pour tout A , notons alorsP(A) =

xA

px.

Alors (,P(),P) est un espace de probabilit. Inversement, toute probabilit Psur (,P()) est du type prcdent, avec px = P({x}).

Remarque Si est fini, la proposition est vidente. Si est dnombrable, lessommes ci dessus quand A est dnombrable ont la signification suivante: puisque A estdnombrable, on peut numroter ses lments, cest--dire quil existe une application

bijective n xn de N sur A. P(A) est alors dfini rigoureusement comme la sommede la srie

n=0pxn . Toutefois, ce nombre ne dpend que de A, et non de la numro-

tation particulire de A choisie par n xn, grCce au thorme suivant sur les sries,que nous admettrons, ainsi que la proposition elle mme:

Thorme 2.4 Si la srie

n=0 un est absolument convergente de somme S, et si

n

(n) est une bijection deN sur lui mme, alorsn=0 u(n) est aussi absolument

convergente et de somme S.

Exercices sur 2.1.

1. Soit > 0. Soit P la probabilit dfinie sur (N,P(N)) par

P({n}) = en

n!.

Soit A lensemble des nombres pairs. Calculer P(A). Soit N un entier, montrerque

P({0,1, . . . , N }) = 1 0

ettN

N!dt


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2.2. LE CAS QUIPROBABLE.

(Mthode: considrer les deux membres comme des fonctions de dont on mon-

trera quelles ont mme valeur pour = 0 et mme drive).2. Soit P la probabilit dfinie sur (N,P(N)) par P({n}) = 2n. Calculer laprobabilit de tirer un nombre n > 3; un nombre n multiple de 3; un nombredont le reste est 3 si on le divise par 4.

2.2 Le cas quiprobable.

Considrons le cas particulier de la Proposition 2.3 o a un nombre fini N = ||dlments et o tous les px sont gaux (et donc gaux 1/N.) Dans ce cas, si A on a

P(A) =|A||| =

nombre de cas favorables

nombre de cas possibles.

Pour exploiter cette galit, il est ncessaire de possder quelques principes gn-

raux de dnombrement densembles et de fonctions contenus dans les deux prochains

thormes. Si E et F sont des ensembles, on note par E F leur produit cartsien,cest--dire lensemble des couples (x,y) tels que x E et y F. On note par FElensemble des fonctions f dfinies sur E et valeurs dans F. Si E est fini et est detaille n = |E| et si k est un entier avec 0 k n on note par Pk(E) lensemble desparties de E de taille k.

Thorme 2.5

1. Si Eet F sont des ensembles finis, alors |EF| = |E||F|. Plus gnralement,si F1, . . . , F n sont des ensembles finis: |F1Fn| = |F1||Fn|. Ensuite|FE | = |F||E|. Enfin, si p = |F| n = |E|, le nombre de fonctions injectivesde E vers F est p(p 1)(p 2) (p n + 1). En particulier, le nombre defonctions bijectives de E vers E, appeles permutations de E, est gal n!

2. Si Eest fini et est de taille n = |E| et si k est un entier avec 0 k n alors

|Pk(E)| = Ckn =n!

k!(n k)! =n(n 1) (n k + 1)

k!.

Dmonstration

1. La premire formule est vidente : si e1, . . . , en et f1, . . . , f p sont les lmentsde E et F, le nombre de couples (ei,fj) est np. Lextension n facteurs estimmdiate galement. Cette extension est ensuite applique au cas particulier o

tous les ensembles Fj sont gaux au mme ensemble F. Si |E| = n, il y a alorsbijection entre FE et F F (n fois). Do |FE | = |F| |F| =|F|n = |F||E|. Quant au nombre de fonctions injectives, la formule donne se

justifie facilement: on identifie E (1,2, . . . , n), et limage de 1 peut occuper ppositions, limage de 2 peut occuper une des p 1 positions restantes, limagede 3 une des p 2 positions restantes, etc. Faire E = F pour le nombre depermutations de E (on rappelle que si |E| = |F| avec E fini, alors une fonctionf de E vers F est injective si et seulement si elle est surjective).


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2. Rappelons pour cette partie la formule de Pascal:

Proposition 2.6 Si k est un entier avec 1 k n on aCk1n + C

kn = C

kn+1.

Dmonstration

Ck1n + Ckn =

n!

(k 1)!(n k)!

1

n k + 1 +1

k

=

(n + 1)!

k)!(n + 1 k)! = Ckn+1.

Pour prouver 2) on observe que cest trivial pour k = 0, puis on fixe k > 0 et onmontre 2) par rcurrence sur n. Cest trivial pour n = k. Supposons enfin 2) vrai pourn et supposons que E ait n + 1 lments, quon prend gaux 1,2, . . . , n + 1 sansperte de gnralit. Soit aussi E lensemble des n premiers entiers. On partage alorsles lments de Pk(E) en deux catgories:

Catgorie 1: ceux qui ne contiennent pas n + 1.Catgorie 2: ceux qui contiennent n + 1.La catgorie 1 est gale Pk(E) et a donc Ckn lments par lhypothse de rcur-

rence. La catgorie 2 est en bijection avec Pk1(E) ( enlever n + 1 un membre de lacatgorie 2 pour avoir un lment de Pk1(E)) et donc par lhypothse de rcurrencea Ck1n lments. La formule de Pascal montre alors que Pk(E) a Ckn+1 lments et larcurrence est tendue.

Voici un exemple dapplication du thorme prcdent.

Proposition Anniversaires. n personnes sont runies. Quelle est la probabilit queau moins deux dentre elles aient le mme anniversaire?

On formalise le problme en le simplifiant un peu: on ignore dabord le problme

du 29 fvrier, et on postule donc que lespace des observablesest = FE o E estlensemble des personnes et o F est lensemble des p = 365 jours de lanne: onobserve donc la fonction f qui chaque personne associe son anniversaire. Onpostule ensuite quon est dans le cas quiprobable, ce qui nest quune approximation:

il y a plus denfants conus au printemps et en t quen novembre sous nos climats.

Finalement, il est plus facile de calculer la probabilit du complmentaire Ac de lv-

nement A "deux personnes au moins ont le mme anniversaire", car cest la probabilitque la fonction f soit injective. Daprs le thorme 2.5 1), cest

P(Ac) =1

365n365(3651) (365n+1) =

n1k=1

(1 k365

) = expn1k=1

log(1 k365

).

Si n nest pas grand, une valuation approximative de cette somme se fait en remplaantlog(1 x) par x et en utilisant la somme dune progression arithmtique tudie enTerminale

n1k=1

k =1

2n(n 1) n/2,


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qui conduit lapproximation P(Ac) exp(n/730). Pour voir par exemple pourquel n on a P(A

c

) 1/2 on prend n 730 log 2 23. Pour un calcul plus srieux,on peut utiliser lencadrement pour 0 < x < 1 :

x x2(1 x) < log(1 x) < x

x

2;

La majoration de droite se dduit du dveloppement en srie entire, celle de gauche se

montre en tudiant la fonction x + x2(1x) +log(1 x). On a aussi besoin de la sommedes premiers carrs:

n1k=1

k2 =1

6n(2n 1)(n 1) n3/3,

qui stablit par rcurrence. Si x

(n

1)/365, alors

1/(1

x)

365/(365

n + 1). Do lencadrement :

n(n 1)2

1

365 n(n 1)(2n + 1)

6

1

2 3652365

365 n + 1 0, cest--dire si C = A, on aF(A,C) = 0. Si n = 0, cest--dire si C = A on a F(A,C) = 1. Calculons alors lesecond membre de lgalit dmontrer:

BA(1)|A\B|f(B) =

BA

(1)|A\B|CB

g(C) =


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CB

g(C) CBA

(1)|A\B| = CB

g(C)F(A,C) = g(A).

La premire galit exploite le lien entre f et g, la seconde inverse les sommationspar rapport aux indices de sommation B et C, la troisime rsulte de la dfinition deF(A,C), la quatrime du calcul de F prcdent et fournit le rsultat voulu.

Voici deux applications.

Proposition Nombre de fonctions surjectives. Si |E| = n |F| = p, quel est lenombre de fonctions surjectives de E vers F?

Pour rpondre on applique le thorme prcdent aux fonctions f et g dfinies surP(F) ainsi: si A F, f(A) = |A|n est le nombre de fonctions de E vers F dontlimage est contenue dans A (on pourrait donc dire tout aussi bien les fonctions de Evers A); et g(A) est le nombre de fonctions de E vers F dont limage est exactementgale A (on pourrait dire les fonctions de E vers A qui sont surjectives). On veutdonc calculer g(F).

Les hypothses du thorme sont remplies, on a bien en effet f(A) =BA g(B).

Par consquent

g(F) =BF

(1)|F\B||B|n =pk=0

Ckp (1)pkkn.

Proposition Problme des rencontres. Si E a n lments, combien y a-t-il de

permutations de E sans point fixe, cest--dire telles que pour tout j E on ait(j) = j?.

On applique le thorme prcdent aux fonctions f et g dfinies sur P(E) ainsi:si A E , f(A) = |A|! est le nombre de permutations de E telles que pour toutj Ac on ait (j) = j, et g(A) est le nombre de permutations de E telles que pourtout j Ac on ait (j) = j et pour tout j A on ait (j) = j. On veut donc calculerg(E).

Les hypothses du thorme sont remplies, on a bien en effet f(A) =BA g(B).

Par consquent

g(E) =BE

(1)|F\B||B|! =

nk=0

Ckn(1)nkk! =

n!nk=0

(1)nk 1(n k)! =

n!

nk=0

(1)k 1k!

.


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2.3. LE SCHMA SUCCS-ECHEC.

Si est lensemble des permutations de E et si il est muni de la probabilit qui-

probable, la probabilit pour quune permutation alatoire soit sans point fixe est doncnk=0

(1)k 1k!

,

soit approximativement e1 = 0,367... si n > 6.

Exercices sur 2.2.

1. Soit des entiers tels que 2 a b c. On tire de faon quiprobable une partiede taille a de lensemble des b + c entiers > 0. Calculer la probabilit pour que0 dentre eux soient > a; pour que 2 dentre eux exactement soient > a.

2. Deux ds non pips sont marqus sur leurs six faces 1,2,2,3,3,4 et 1,3,4,5,6,8

respectivement. On jette une fois ces deux ds et on note par Ak lvnement "lasomme des points i du premier d et des pointsj du second est k. Calculer pourk = 2,3, . . . ,12 le nombre P(Ak).

3. 12 mchantes fes se penchent sur le berceau des quintupls et attribuent chacune

au hasard un enfant un dfaut. Quel est la probabilit quil y ait au moins un

enfant parfait?

2.3 Le schma Succs-Echec.

Le schma Succs-Echec fini. Si une exprience a deux issues, arbitrairement

notes succs (S) et chec (E) et si on la rpte n fois, ce quon observe est unesuite de longueur n de S et de E. Pour modliser cela, on introduit lespace desobservables = {E,S}n form des 2n suites = (1, . . . , n) o les j sont gaux E ou S. On munit de la tribu P(). Quant la probabilit, on se fixe un nombrep tel que 0 < p < 1 qui est la probabilit dun succs si on neffectue quunefois lexprience. Introduisons alors limportante quantit X(w) dfinie ainsi: si =(1, . . . , n) alors X(w) dsigne le nombre de succs que comprend la suite .Par exemple, X(SSES) = 3, X(EEEE) = 0. Pour tel que X() = k ondfinit alors P({}) = pk(1 p)nk; Comme tout vnement A P() est runionde singletons {} deux deux disjoints, cela suffit dfinir P(A) et donc la probablitP sur (,P()).

Parmi ces vnements, les plus importants sont les {X = k} ( ceci est une st-nographie que nous utiliserons souvent pour crire brivement lvnement { ; X() = k}). Voici leur probabilit:

Proposition 2.9 Pour le schma Succs Echec finiassoci la probabilit p dunsuccs, si X est le nombre de succs en n expriences, alors

P(X = k) = Cknpk(1 p)nk.

Dmonstration Notons A = { ; X() = k}. Dfinissons lapplication deA dans Pk({1,2, . . . , n}) par {j ; j = S}. Il est clair que cest une bijection;


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2.3. LE SCHMA SUCCS-ECHEC.

donc daprs le Thorme 2.5 b), |A| = Ckn. Enfin puisque tous les {} contenus dansA ont la mme probabilit p

k

(1 p)n

k

on obtient

P(A) =A

P({}) = |A|pk(1 p)nk = Cknpk(1 p)nk.

Le schma Succs-Echec infini. Il sagit ensuite de modliser le cas o on veut

effectuer un nombre arbitraire dexpriences: par exemple on peut vouloir rpter les

essais jusqu ce quapparaisse 4 succs conscutifs. Une telle modlisation est im-

possible avec le schma fini ci dessus, et on prend alors pour espace des observa-bleslensemble {E,S}N des suites infinies de Set de E, en notant par N lensembledes entiers > 0. Il est clair que est en bijection avec les parties de N, et donc daprsla proposition 2.2 nest pas dnombrable. Cela cause une srieuse difficult en ce qui

concerne la construction de lespace de probabilit correspondant. On construit la tribuA et la probabilit P par un procd dapproximation que nous dcrivons maintenant.

Fixons lentier n et dfinissons = {E,S}{1,...,n} et = {E,S}{n+1,n+2,...},de sorte que = , et dfinissons la tribu suivante de parties de :

An = {A ; A P()}.

Intuitivement, les vnements de An sont les vnements ne dpendant que de ce quisest pass jusqu linstant n. En particulier, nous avons An An+1.

Si = (1, . . . , n) comprend k succs, dfinissons la probabilit Pn({}) = pk(1 p)nk. Cela permet donc de dfinir la probabilit Pn sur An. Lespacede probabilit (,An,Pn) est presque identique lespace du schma Succs Echecfini dcrit ci dessus.

Maintenant, notons

A = n1An.La famille A nest pas une tribu, car ce nest pas ferm pour la runion dnom-

brable. Voici un contre exemple. Soit An lensemble des suites infinies comprenantau moins un succs linstant n ou avant. Alors An est dans An et donc dans A. Pour-tant A = n1An nest pas dans A. En effet A est lensemble des suites infiniescomprenant au moins un succs. Mais il nexiste pourtant aucun n tel que A An, etdonc A / A. Raliser cette chose subtile fait progresser dans la comprhension de lathorie. On dfinit alors la tribu A sur comme la plus petite tribu contenant A.

Pour dfinir enfin la probabilit P sur A, on fait lobservation essentielle suivante:on a non seulement An An+1, mais de plus la restriction de Pn+1 au sous ensemble

Ande

An+1, qui tait le domaine de dfinition de P

n+1, coincide avec P

n. Par cons-

quent, il existe une fonction universelle P dfinie sur A telle que pour tout A A onait P(A) = Pn(A) pour tous les n tels que A An. A partir de ce point, les chosescessent dtre lmentaires, et nous sommes obligs dadmettre le thorme suivant,

dont la dmonstration est donne en troisime anne duniversit:

Thorme 2.10 Il existe une et une seule probabilit P sur A telle que pour toutA A on ait P(A) = P(A).

On peut ainsi dmontrer lide intuitive quun vnement de probabilit strictement

positive, mme petite, finit toujours par arriver. Plus prcisment, si A est lensemble


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2.4. LE CAS O = IR.

des comprenant au moins un succs, alors P(A) = 1. En effet, si Bn est len-semble des comprenant au moins un succs avant linstant n ou linstant n,alors A = n1Bn et Bn Bn+1. Par continuit monotone (Th. 1.3, (2)) on a donclim P(Bn) = P(A). Comme P(B

c) = (1 p)n tend vers 0, on a le rsultat. Plus g-nralement on peut montrer que toute squence a finie donne lavance ( par exempleSSEESSEESSEESSEE, ou le codage en binaire dune fable de La Fontaine) finira par

arriver. Plus prcisment:

Thorme 2.11 Soit a = (a1, . . . , an) {E,S}n une suite fixe de longueur n desuccs et dchecs, et soit

A = { ; il existe N 0 avec N+1 = a1, . . . , N+n = an}.Alors P(A) = 1.

Dmonstration Soit k le nombre de Sdans la suite a. Notons

AN = { ; N+1 = a1, . . . , N+n = an}.Alors P(AN) = p

k(1 p)nk par dfinition de P. Introduisons Bm = m1j=0 Ajn .Alors Bm Bm+1 et

A = N0AN B = m0Bm.On a de plus

P(Bcm) = P(m1j=0 Acjn) = (1 pk(1 p)nk)m m 0.Par continuit monotone, on a donc

P(B

c

) = 0.Do

1 = P(B) P(A) = 1.

2.4 Le cas o = IR.

Ce cas est naturellement le plus important de tous. La tribu mise sur IR est la tribu

de Borel B dfinie la section 1 comme la plus petite tribu contenant les intervalles(ouverts, ferms, semi ouverts, demi droites) Parmi ses lments, les borliens, les seuls

quon aura concrtement manipuler sont les runions dintervalles.

Pour dcrire les probabilits sur (IR,B), introduisons une dfinition importante:

Dfinition Soit F une fonction de IR dans IR. On dit que F est une fonction de

rpartition si elle satisfait aux trois proprits suivantes: F est croissante (au sens large);

limx F(x) = 0 et limx+ F(x) = 1; F est continue droite en tout point x, cest--dire limh0 F(x + h) = F(x).

On a alors le thorme fondamental suivant:

Thorme 2.12 Soit P une probabilit sur (IR,B). Soit FP la fonction relle dfi-nie par

FP(x) = P(] ,x]).


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2.4. LE CAS O = IR.

Alors FP est une fonction de rpartition. Inversement, si F est une fonction de rparti-

tion, alors il existe une et une seule probabilit sur (IR,B) telle que FP = F.Dmonstration Si x < y, alors A =] ,x] B =] ,y], et donc FP(x) =

P(A) P(B) = FP(y). Ensuite, si (xn) tend vers en dcroissant et si An =] ,xn], alors An An+1 et n1An = ; par continuit monotone P(An) tendvers 0. Donc limn FP(xn) = 0. Comme ceci est vrai quelle que soit la suite (xn)tendant vers en dcroissant, on en dduit limx FP(x) = 0. De mme, si (yn)tend vers en croissant et si Bn =] ,yn], alors Bn Bn+1 et n1Bn = IR; parcontinuit monotone P(Bn) tend vers P(IR) = 1 et on a limy+ FP(y) = 1.

Enfin, si hn 0, soit Cn =],x + hn]. Alors Cn Cn+1 et n1Cn =],x].Par continuit monotone on a donc limn+ F(x + hn) = FP(x), do la continuit droite annonce de la fonction FP.

Nous admettrons la rciproque, qui est la partie difficile.

Commentaires: Ce rsultat est assez rassurant: bien quon connaisse mal la tribu

B, et donc les probabilits dfinies dessus, il y a en fait bijection entre lensemble detoutes les probabilits sur IR et lensemble moins abstrait de toutes les fonctions de

rpartition. Mais la dmonstration complte est rserve la 3 me anne.

La fonction de rpartition permet de calculer les probabilits de tous les intervalles.

Pour simplifier, adoptons la notation pour la limite gauche en x de la fonction crois-sante F:

F(x 0) = limh0

F(x + h).

Proposition 2.13 Soit F la fonction de rpartition dune probabilit P sur (IR,

B).

Alors P(],x[) = F(x0), P(]x,+[) = 1F(x), P([x,+[) = 1F(x0). Pour a b, P(]a,b]) = F(b) F(a), P([a,b[) = F(b 0) F(a 0). P(]a,b[) = F(b 0) F(a), P([a,b]) = F(b) F(a 0) et en particulier

P({a}) = F(a) F(a 0).

Dmonstration La premire galit sobtient en considrant An =] ,x + hn],o hn est < 0 et croNt vers 0. Alors An An+1 et n1An =] ,x[. Par conver-gence monotone lgalit sensuit. Les deux suivantes sobtiennent par passage au com-

plmentaire. La suivante dcoule de lgalit

] ,b] =] ,a]]a,b],et du fait que au second membre les deux ensembles sont disjoints. De mme

] ,b[=] ,a[[a,b[fournit lgalit suivante grce la premire galit de la liste. Laissons les dernires

en exercice.

Donnons maintenant des exemples de fonctions de rpartition


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2.4. LE CAS O = IR.

Dfinition Fonctions de rpartition densit. Soit f une fonction positive d-

finie sur IR qui ait des discontinuits au plus en un nombre fini de points a1 < a2 0, quil est plus rapide de dfinir par

f3(x) =1x

ex1]0,[(x),

o 1E(x) = 1 si x E et 1E(x) = 0 sinon: la fonction 1E sappellera dsormaislindicateurde lensemble E. Dernier exemple:

f4(x) = 1[0,1](x).

Dans ces exemples, N = 0 pour f1 et f2, N = 1 pour f3 et N = 2 pour f4.

Il est important de ne pas confondre les deux fonctions F et f. Pour les exemples cidessus de densits, les fonctions de rpartition correspondantes seront respectivement

F1(x) =1

2ex pour x 0, F1(x) = 1 1

2ex,

F2(x) =1

2+

1

arctan x,

F4(x) = 0 pour x 0, F4(x) = x pour 0 x 1, F4(x) = 1 pour 1 x,(F3(x) ne peut sexprimer de faon lmentaire).

Dfinition La probabilit a de Dirac. Si a est un rel, il sagit de la probabilitsur IR dfinie par a(A) = 0 si a / A, et a(A) = 1 si a A. Appliquant ceci A =] ,x], on obtient la fonction de rpartition

Fa(x) = 0 pour x < a, Fa(x) = 1 pour a x.

Voici son graphe

-

6

a

1 t


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2.4. LE CAS O = IR.

Si a = 0, cette fonction sappelle lchelon de Heaviside. Les travaux de 1894 de

cet ingnieur lectricien sont la source de la thorie moderne des distributions. Cettethorie permet par exemple de donner un sens la drivation de la fonction ci dessus:

cest la probabilit de Dirac a qui jouerait alors le rle de la drive.

Dfinition Probabilit discrte sur un nombre fini de points. Soit N un entier> 0, soit a1 < a2 < < aN des rels et soit p1, . . . , pN des nombres positifs telsque p1 + +pN = 1. On considre la probabilit sur IR dfinie par

P = p1a1 + +pNaN .

En dautres termes, si A est un borlien:

P(A) = p1a1(A) + +pNaN (A) = j;ajA

pj .

En particulier, si A =] ,x], on obtient la fonction de rpartition

FP(x) =j;ajx

pj ,

dont le graphe est celui dune fonction en escalier croissante, o le saut en aj est gal pj . Ce cas revient un peu au cas o navait quun nombre fini de points, puisquiciP est concentre sur {a1, . . . , aN}.

Si on remplace la suite finie prcdente par un ensemble dnombrable de IR, lex-

tension est facile.

Dfinition Probabilit discrte. On sintresse lensemble dnombrable form

des points dune suite (an) telle que a1 < a2 < < an < et soitpn des nombrespositifs tels que

1 pn = 1. On formera la probabilit P dfinie pour tout Borlien

A par

P(A) =1

pnan(A),

dont la fonction de rpartition est en escalier croissante vec une infinit de points de

discontinuits.

Dfinition Type mixte. On rencontre un peu rarement des fonctions de rparti-

tion de la forme F = G + (1

)H o G est une fonction de rpartition densit,

comme vu lexemple 1, o H est une fonction de rpartition dune probabilit dis-crte, comme vu aux exemples 2, 3 ou 4, et o 0 < < 1. Si H a une discontinuit ena de saut p, alors F a une discontinuit en a de saut (1 )p.

Exercices sur 2.4.

1. Calculer la densit des fonctions de rpartition suivantes:

F1(x) = 0 si x 0 et F1(x) = 1 exp(x) si x > 0;F2(x) = 0 si x 1 et F2(x) = 1 1xa si x > 1 (avec a>0).

2. Calculer la fonction de rpartition de la densit suivante:

f(x) = 1/2 si 2 < x < 1, f(x) = 1/2 si 1 < x < 2, et 0 ailleurs.


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2.4. LE CAS O = IR.

3. On note par [x] la partie entire du nombre rel x, cest--dire lentier n tel

que n x < n + 1. Par exemple [2 ] = 1, [2] = 2, [3] = 3. Onconsidre la probabilit discrte de fonction de rpartition F(x) = 0 si x < 0 etF(x) = 1 1

2[x]+1si x 0. Tracer le graphe de F. Calculer les probabilits des

vnements suivants:

A1 = {0}, A2 = {1,2}, A3 = {4,5, . . .}.


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Chapitre 3Probabilits conditionnelles et

indpendance

Par Grard Letac

3.1 Conditionnement

Dfinition Si (,A,P) est un espace de probabilit, soit B A un vnement telque P(B) > 0. On dfinit alors la nouvelle probabilit PB sur A par

PB(A) = P(A B)P(B)

,

quon note aussi PB(A) = P(A|B), et qui se lit "probabilit de A conditionne parB", ou "sachant B", ou "sachant que B est ralis".

(,A,PB) est un authentique espace de probabilit, puisque PB() = P( B)/P(B) = 1 et que, si les (An)n1 sont deux deux disjoints et dans A, on a bien

PB(n1An) = 1P(B)

P(n1(AnB)) = 1P(B)

n1

P(AnB)) =n1

PB(An).

Il faut toutefois raliser que la probabilit PB est concentre sur B et ne charge pas

Bc.Pour noncer le prochain rsultat, il est commode dintroduire un nouveau terme:

Dfinition une suite finie (Bn)Nn=1 ou dnombrable (Bn)

+n=1 dvnements est

appele une partition de si les Bn sont deux deux disjoints et si leur runion estgale .

Thorme 3.1 Soit (,A,P) un espace de probabilit, soit (Bn)n1 une partitionde finie ou dnombrable avec P(Bn) > 0 pour tout n, et soit A A tel que P(A) >0.

1. Si P(B) > 0, alors P(A B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A).

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3.2. INDPENDANCE DVNEMENTS.

2. (Principe des probabilits totales) P(A) = n1 P(A|Bn)P(Bn).3. (Formule de Bayes) Pour tout k:

P(Bk|A) = P(A|Bk)P(Bk)n1 P(A|Bn)P(Bn)

.

Dmonstration Cet nonc est dcor du titre de thorme plutt par son impor-

tance pratique que par la difficult de sa dmonstration: pour le 1), utiliser la dfinition

de P(A|B). Pour le 2) observer que les A Bn forment une partition de A et doncdaprs laxiome dadditivit P(A) =

n1 P(A Bn) et terminer en utilisant le 1).

Pour le 3) on a

P(A|Bk)P(Bk) = P(A

Bk) = P(Bk

|A)P(A) = P(Bk

|A)n1

P(A|Bn)P(Bn),

successivement en utilisant deux fois le 1) puis une fois le 2). Le rsultat est quivalent

au 3).

Exemple: Dans une population le nombre de chtains est de 50%, et le nombre de

blonds, de noirs ou dautres couleurs est gal. La gntique nous apprend que les pro-

babilits conditionnelles pour quun enfant soit chtain (vnement A) sachant queson pre est blond (vnement B) est P(A|B) = 0,2, et que de mme, avec desnotations videntes P(A|C) = 0,7, P(A|N) = 0,6 et P(A|R) = 0,1. CalculonsP(A) et P(B|A). Les vnements B,C,N,R forment une partition avec P(B) =P(N) = P(R) = 1/6 et P(C) = 1/2. Les probabilits totales donnent donc P(A) =

0,2 1/6 + 0,7 1/2 + 0,6 1/6 + 0,1 1/6 = 1/2 et la formule de Bayes donneP(B|A) = P(A|B)P(B)/P(A) = 1/15.

3.2 Indpendance dvnements.

Parfois A et B sont tels que PB(A) = P(A): savoir que B est ralis ne modifiepas la probabilit de A. Ainsi dans le schma succs chec fini avec N = 2, a 4 l-ments SS,SE,ES,EEde probabilits respectives p,p(1 p),(1 p)p,(1 p). Si B =(SS,SE) est lvnement: "le premier essai est un succs" et A = (SS,ES) est lv-nement: "le second essai est un succs" alors AB = (SS) , P(A) = p+(1p)p = p,P(B) = p + p(1 p) = p, P(A B) = p et donc PB(A) = P(A). Cest le ph-nomne essentiel pour les probabilits des vnements indpendants (quil ne faut pasconfondre avec les vnements disjoints) et que nous allons dfinir.

Dfinition Soit {A1, . . . , AN} une famille finie dvnements dun espace de pro-babilit (,A,P). On dit que cest une famille indpendante ( on dit parfois un "sys-tme indpendant dvnements") si pour toute partie non vide I de {1,2, . . . , N } ona

P(iIAi) =iI

P(Ai).


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3.3. INDPENDANCE DE SOUS TRIBUS.

Par exemple si N = 2, la famille dvnements {A,B} est indpendante si et seule-ment si P(A B) = P(A)P(B); dans le cas o P(B) > 0 il serait quivalent de direPB(A) = P(A). On a coutume de dire par abus de langage que A et B sont ind-pendants (abus, car ladjectif qualificatif "indpendant" na de sens que sil sapplique

la paire) ou plus correctement que A est indpendant de B, expression qui ne rendtoutefois pas justice la symtrie de la dfinition d indpendance.

Si N = 3 la famille dvnements {A,B,C} est indpendante si et seulement siP(A B) = P(A)P(B), P(B C) = P(B)P(C), P(C A) = P(C)P(A),

P(A B C) = P(A)P(B)P(C).Notez que la deuxime ligne nest pas entrane par la premire. Si a 4 points 1,2,3,4de probabilit 1/4 chacun, les 3 vnements A = 1,2, B = 1,3 et C = 1,4 satisfont lapremire ligne et pas la deuxime: ils sont seulement deux deux indpendants.

Si N est quelconque, il ny a pour montrer lindpendance que 2N

1 N ga-lits vrifier, puisque lensemble vide pour I est exclu et que les N cas o I est unsingleton sont triviaux. Notez aussi que lensemble vide et lensemble sont indpen-dants de nimporte quoi et quune sous famille dune famille indpendante est encore

indpendante. Enfin, on convient de dire:

Dfinition Une famille infinie dvnements est indpendante si toute sous fa-

mille finie est indpendante.

Comme exemple dindpendance de N vnements, considrons dans le schmasuccs chec fini avec N essais un lment particulier a = (a1, . . . , an) de , cest--dire une suite particulire de succs et dchecs. Notons k = X(a) le nombre desuccs que comprend la suite a. Soit

Aj = { = (1, . . . , N) ; j = aj}.Alors {A1, . . . , AN} est une famille indpendante. En effet P(Aj) = p si aj = Set 1 p si aj = E. De plus, par dfinition du schma, P({a}) = pk(1 p)nkComme Nj=1Aj = {a} on a bien P(Nj=1Aj) =

Nj=1 P(Aj). La dmonstration

pour nimporte quel sous ensemble I est analogue.

3.3 Indpendance de sous tribus.

La notion prcdente dvnements indpendants a lavantage dtre lmentaire,

et les inconvnients de ne pas tre trs maniable et de ne pas reflter la ralit: lintui-

tion nous fait plutt penser que cest un groupe dvnements qui est indpendant dunautre groupe, plutt que deux vnements isols. Par exemple, il est facile de vrifier

que si A est indpendant de B, alors Ac est aussi indpendant de B. La bonne notionde "groupe" dvnements est en fait celle de sous tribu. Do la dfinition suivante:

Dfinition Soit {A1, . . . ,AN} une famille finie de sous tribus dun espace deprobabilit (,A,P). On dit que cest une famille indpendante si pour tous Bj Ajon a

P(B1 B2 . . . BN) = P(B1) . . . P (BN).


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3.3. INDPENDANCE DE SOUS TRIBUS.

(Plus la peine donc dexaminer tous les sous ensembles I.) En fait, cest une puis-

sante gnralisation de la notion dvnements indpendants, daprs le thorme sui-vant:

Thorme 3.2 Soient A1, . . . , AN des vnements. Soient les tribus quatre l-ments engendres par les Aj :

Aj = {,Aj ,Acj,}.

Alors la famille de sous tribus {A1, . . . ,AN} est indpendante si et seulement si lafamille dvnements {A1, . . . , AN} est indpendante.

Dmonstration Pour , soit I une partie de (1,2, . . . , N ). Prenons alors Bj = Ajsi j I et Bj = sinon. Alors

P(iIAi) = P(B1 B2 . . . BN) = P(B1) . . . P (BN) =iI

P(Ai).

Bien quune dmonstration par rcurrence soit possible immdiatement pour la rci-

proque, nous attendons la section 5 pour avoir une dmonstration plus simple.


1. Dans le schma Succs Echec fini N essais,on supposep = 1/2 et on considreles deux vnements A= que des succs ou que des checs, et B= pas plus dunsuccs. Montrer que A et B sont indpendants si et seulement si N = 3.

2. On munit le segment = [0,1] de la probabilit P telle que P([a,b]) = b apour tout intervalle [a,b]

[0,1]. On considre les trois vnements A = [0,1/2],

B = [1/4,3/4], C = [3/8,7/8]. Quelles sont les paires dvnements parmiA,B,Cqui sont indpendantes?


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Chapitre 4Image dune probabilit,

variables alatoires

Par Grard Letac

4.1 Fonctions mesurables

Quand en mathmatiques une nouvelle structure est introduite, comme celle des-

pace vectoriel, ou comme prsentement celle despace de probabilit, une dmarche

fconde est de rechercher les transformations qui prservent cette structure. Pour les

espaces vectoriels, ce sont les applications linaires. Pour les espaces de probabilit, cesont les "fonctions mesurables" quon va introduire dans un instant. Le cas particulier

important en sera les "variables alatoires". Auparavant, adoptons la notation suivante:

Dfinition si Eet F sont des ensembles quelconques, si f est une fonction dfiniesur Eet valeurs dans F, et si enfin B est un sous ensemble de F, lensemble A des xde E tels que f(x) soit dans B sera dsormais not par A = f1(B). Nous lappelle-rons limage inverse de B par f.

Insistons sur le fait que f nest pas ncessairement injective ni surjective. On vrifiefacilement que:

Proposition Si B1 et B2 sont des sous ensembles de F alors on a

f1(B1 B2) = f1(B1) f1(B2) et f1(B1 B2) = f1(B1) f1(B2).

La mme proprit est vraie mme avec une famille infinie de B.

Dfinition Soit alors deux espaces et 1, chacun muni dune tribu A et A1,et soit f une fonction dfinie sur valeurs dans 1 On dit que f est une fonctionmesurable si pour tout B A1, alors A = f1(B) est un lment de A.

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4.2. IMAGE DUNE PROBABILIT.

Dans ces conditions, on voit facilement que:

Proposition Lensemble des parties A de la tribu qui sont de la forme f1(B),avec B A1, est une tribu. On la note parfois f1(A1). Comme f est mesurable, cestdonc une sous tribu de A.

Montrer quune fonction est mesurable est gnralement facile grce au thorme

suivant, dont la dmonstration est hors programme.

Thorme 4.1 Soit Fune famille de parties de 1 telle que la tribu A1 soit laplus petite qui contienne F. Soit f une fonction de valeurs dans 1. Soit A unetribu sur . Alors f est mesurable pour ce couple de tribus si et seulement si pour toutB Falors f1(B) A.

Illustrons ceci par un exemple important en lappliquant au cas o (,A) = (1,A1) =(IR,B), pour montrer que

Proposition Toute fonction continue f de IR dans IR est mesurable.

Dmonstration Pour cela, on applique le thorme au cas o Fest lensemblede tous les intervalles ouverts: par dfinition de la tribu B de Borel, lhypothse duthorme est vrifie. Ensuite, on sait daprs le cours danalyse que limage inverse

dun intervalle ouvert par une fonction continue est une runion finie ou dnombrable

dintervalles ouverts, et est donc un borlien.

Dmonstration La partie "seulement si" dcoule des dfinitions. Pour la partie

"si", lart est de considrer la tribu T de parties de engendre par tous les f1

(B)lorsque B parcourt Fainsi queT1 = {B 1; f1(B) T }.

A son tour, T1 est une tribu de parties de 1 (ce point se vrifie directement facilement),et elle contient F, et donc elle contient la tribu A1. Do

f1(T1) f1(A1) = A.Mais comme par dfinition de T1 on a

f1(T1) T,on en tire que

T=

A, ce qui est lgalit cherche.

4.2 Image dune probabilit.

Dfinition Si (,A) est muni dune probabilit, alors la fonction mesurable fpermet de dfinir de faon naturelle une probabilit P1 sur (1,A1) ainsi: pour toutB A1

P1(B) = P(f1(B)).

La probabilit P1 ainsi fabrique est appele limage de la probabilit P par la fonctionmesurable f. On parle aussi de la probabilit P1 transporte de P par f. On la note


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4.3. LES VARIABLES ALATOIRES RELLES ET LEURS LOIS.

A propos du schma Succs Echec fini dordre N, nous avons dj rencontr la

variable alatoire X qui tait le nombre de succs en N expriences pour laquelle nousavons vu que P(X = k) = CkNpk(1 p)Nk. Cest donc dire que la loi de X est la

loi discrte concentre sur les entiers 0,1, . . . , N et gale

(1 p)N0 + N(1 p)N1p1 + + CkNpk(1 p)Nkk + +pNN(Rappelons que k est la probabilit de Dirac concentre en k).

Plus gnralement:

Dfinition Soit (,A,P) un espace de probabilit. Une variable alatoire X sur ne prenant quun nombre fini de valeurs a1 < a2 < .. . < aN sera dite tage.

Les parties X1({aj}) = Aj de sont des lments de A, puisque les {aj} sontdes intervalles, dun type un peu particulier, et donc des borliens. Les Aj sont deux deux disjoints, et si on introduit leurs indicateurs, on peut crire

X = a11A1 + + aN1AN .

Si pj = P(Aj) on voit que la loi de X est

PX = p1a1 + +pNaN .

Une autre manire de dire la mme chose est dcrire P(X = aj) = pj pour tout j.

Il y a un certain nombre de lois de probabilits quon rencontre souvent dans la na-

ture que nous pourrions prsenter maintenant, mais il est prfrable de dfinir quelques

caractristiques des variables alatoires avant pour pouvoir prsenter une carte diden-tit plus complte de chacune de ces lois classiques.


1. Soit X une variable alatoire de densit axa11]0,1[(x). Calculer limage de saloi par x x/(1 x). Mthode: calculer la fonction de rpartition de Y =X/(1 X) et driver celle ci.

2. Soit X une variable alatoire suivant la loi de Cauchy, cest--dire de densit1

(1+x). Calculer limage de sa loi par x 1/x.


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5.1. LES VARIABLES ALATOIRES TAGES.

les cij = ai + bj et comme Z1({cij}) = Cij A, on en dduit que Z est aussi

une v.a. Sa loi est PZ =ij

rijcij ,

et est donc desprance

IE(Z) =ij

rijcij =ij

rij(ai + bj) =

i

aij

rij + j

bji

rij = IE(X) + IE(Y).

Quant lingalit, il suffit dobserver que IE(X Y) 0 par dfinition de lesp-rance et dappliquer ensuite la linarit quon vient de dmontrer.

Dfinition Variable alatoire de Bernoulli. Un exemple particulirement simple

et important de v.a tage est celui o X ne prend que les valeurs 0 et 1, cest dire ola loi de X est

PX = (1 p)0 +p1,o p [0,1]. Sa loi est appele une loi de Bernoulli. p est appel le paramtre de laloi de Bernoulli.

Proposition Lesprance dune loi de Bernoulli X de paramtre p est p. Si X estdfinie sur lespace de probabilit (,A,P), soit A = { ; X() = 1} alors X = 1Aest lindicateur de A, et on a donc

IE(1A) = P(A).

Inversement, un indicateur a toujours une loi de Bernoulli.

Nous allons utiliser le thorme prcdent et les indicateurs pour terminer la d-

monstration du thorme 3.2. On veut donc montrer que si Bj Aj = {,Aj ,Acj ,}et si les Aj sont indpendants, alors

P(Nj=1Bj) =Nj=1

P(Bj).

On le montre en remarquant dabord que dans les 4 cas possibles pour Bj , il existedeux nombres aj et bj tels que

1Bj = aj + bj1Aj ;

on prend en effet aj = bj = 0 si Bj est vide, aj = 1, bj = 0 si Bj est plein, aj = 0,bj = 1 si Bj = Aj , aj = 1, bj = 1 si Bj = Acj . Do le calcul:

P(Nj=1Bj) = IE(Nj=1

1Bj ) = IE(Nj=1

(aj + bj1Aj )) = IE[I

(jIc

aj)(jI

bj1Aj )] =

I

(jIc

aj)(jI

bj)IE(jI1Aj ) =

I

(jIc

aj)(jI

bj)P(jIAj) =


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5.2. ESPRANCE DUNE VARIABLE ALATOIRE QUELCONQUE.

I

(jIc

aj)(jI

bj)(jI

P(Aj)) =Nj=1

(aj + bjP(Aj)) =Nj=1

IE(1Bj ) =Nj=1

P(Bj).

Dans cette chane de 9 galits, la premire, la cinquime et les 2 dernires sap-

puient sur le fait que lesprance de lindicateur est la probabilit, la deuxime sur la

dfinition des aj et bj , la troisime et la septime sur un dveloppement algbrique;enfin, surtout, la quatrime sappuie sur le thorme prcdent et la sixime sur lind-

pendance des Aj .

5.2 Esprance dune variable alatoire quelconque.

Toutes les variables alatoires ne sont pas tages, mais toutes sont approchables

par des v.a. tages, et cela va permettre de dfinir lesprance dune v.a. quelconque.

Plus prcisment, on a le thorme suivant:

Thorme 5.2 Soit (,A,P) un espace de probabilit, et X : IR une variablealatoire positive. Alors

1. Il existe une suite croissante de v.a. tages (Xn) telle X = limn+ Xn.2. Si la suite (Xn) ci dessus est telle que IE(Xn) soit borne, alors le nombre

limn+

IE(Xn) = IE(X)

ne dpend que de Xet non de la suite particulire (Xn), dans le sens que si (Xn)

a les proprits demandes (Xn) au 1), alors la suite IE(Xn) a la mme limite.IE(X) est lesprance de la variable alatoire positive X.

3. Si Y est une autre v.a positive sur (,A,P) telle que E(Y) existe, et si et sont des nombres 0, alors IE(X+ Y) existe et est gale IE(X) + IE(Y).

4. Si 0 X Y et si IE(Y) existe, alors IE(X) existe et IE(X) IE(Y).5. Si X 0, alors IE(X) = 0 si et seulement si la loi de X est la probabilit de

Dirac en 0.

Nous omettons la dmonstration, bien que celle ci ne soit pas difficile. Il faut insis-

ter sur le fait que lesprance de cette v.a. positive nexiste pas toujours.

Ce thorme dfinit donc IE(X) pour des v.a positives. Pour passer au cas dune v.ade signe quelconque, voici la dmarche suivre:

Dfinition On considre une v.a. X dfinie sur (,A,P) et on crit cette fonctionde comme diffrence de deux fonctions positives X = X+X, o a+ signifiemax(a,0) et a = (a)+ (rappelons que cela implique a = a+a et |a| = a++a).Donc |X| = X+ X. On dira que IE(X) existe si, au sens du thorme 5.2, les-prance de |X| existe. Dans ces conditions, daprs le 2) du thorme 5.2, IE(X+) etIE(X) existent, et on dfinit lesprance de X par IE(X) = IE(X+) IE(X).

On a alors limportante extension du thorme de linarit et de positivit:


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5.2. ESPRANCE DUNE VARIABLE ALATOIRE QUELCONQUE.

Corollaire 5.3 Soit (,A,P) un espace de probabilit, soit L1 lensemble des va-riables alatoires X sur cet espace telles que IE(X) existe (ou, de faon quivalente,telles que IE(|X|) soit finie). Alors L1 est un espace vectoriel et X IE(X) est uneforme linaire sur L1, telle que de plus IE(X) IE(Y) si X Y.

Appliquons cela deux cas particuliers importants, celui o X est discrte et posi-tive et celui o la loi de X a une densit.

Proposition 5.4 Soit X une v.a discrte avec

PX =

j=1

pjaj

o j=1

pj = 1. Alors lesprance de X, E(X) existe si et seulement si la sriej=1pjaj est absolument convergente. Sil en est ainsi, alors

IE(X) =j=1

pjaj .

Dmonstration Montrons le dabord si les an sont positifs ou nuls. Alors puisqueX =

j=1 aj1Aj , o les vnements Aj = {X = j} sont deux deux disjoints

dans , il suffit de considrer la v.a. tage Xn =nj=1 aj1Aj , qui est nulle sur

j=n+1Aj , et qui dfinit une suite ayant les proprits requises au thorme 5.2. Lersultat est alors clair.

Si les an ne sont pas positifs on crit an = (an)+ (an) et les deux sriesj=1pj(aj)+ et

j=1pj(aj) convergent si et seulement si

j=1pjaj est absolu-

ment convergente. Cela permet de conclure facilement.

Proposition 5.5 Supposons que la loi de la v.a. Xait une densit f avec un nombrefini de points de discontinuits a1 < . . . < aN. Alors lesprance de X, E(X) existesi et seulement si

xf(x)dx est absolument convergente. Sil en est ainsi, alors

IE(X) =

xf(x)dx.

Dmonstration Contentons nous de donner les ides de la dmonstration quand Xest positive et quand sa densit f est continue. Lextension aux hypothses du thormesera alors standard. On dcoupe [0,n] en n2n intervalles gaux par les points xk =

k2n

,

avec k = 0,1, . . . , n2n, on convient xn2n+1 = + et on dfinit la variable alatoiretage Xn = xk quand xk X < xk+1. Ceci est bien une suite croissante et on abien limn+ Xn = X.

Si0

xf(x)dx converge, notons

Dn =

0

xf(x)dx IE(Xn) =n2nk=0

xk+1xk

(x xk)f(x)dx.


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5.4. VARIABLES ALATOIRES INDPENDANTES ET ESPRANCE DU PRODUIT.

Si X a une densit f, alors de mme IE(g(X)) existe si et seulement si

g(x)f(x)dx

est absolument convergente, et dans ce cas IE(g(X)) est gale la somme de lintgrale.

Dmonstration On montre dabord le rsultat quand X est tage, puis quand Xest positive en appliquant la dfinition de lesprance dune variable alatoire positive,

et on passe facilement au cas o X est de signe quelconque.

Exercices sur 5.3

1. Soit une variable alatoire X de densit 12

exp(|x|). Soit z un nombre rel etsoit g(x) = exp(zx). Pour quelles valeurs de z Y = g(X) a-t-elle une esp-

rance? La calculer quand elle existe.2. X une variable alatoire de densit 1

21[1,1](x) et soit Y = tan(2 X). Etudier

de deux manires lexistence ventuelle de IE(Y) : soit laide du thorme dutransport, soit en calculant la densit de Y: pour cela, crire dabord la fonctionde rpartition de Y puis driver.

5.4 Variables alatoires indpendantes et esprance du

produit.

Dfinition Soit (X1, . . . , X N) une suite de v.a. sur (,A,P). On se rappelle quesi B est la tribu de Borel, alors par dfinition des variables alatoires X1j (B) = Ajest une sous tribu de A.

Nous dirons que cest une suite de variables alatoires indpendantes si la famille

de sous tribus {A1, . . . ,AN} est une famille indpendante.

Ceci entrane un fait simple et utile: si les Xj sont des v.a. indpendantes, et si fjest une fonction relle quelconque, alors les Yj = fj(Xj) sont des v.a. indpendantesaussi.

Dans le thorme suivant, qui sert caractriser lindpendance pratiquement, conten-

tons nous de N = 2 : la gnralisation N > 2 est vidente.

Thorme 5.7 Soit Xet Y deux variables alatoires sur (,A,P). Alors elles sontindpendantes si et seulement si pour tous x et y rels on a

P(X x; Y y) = FX(x)FY(y) = P(X x)P(Y y).En particulier, si elles sont discrtes de lois respectives

PX =i1

piai , PY =j1

qjbj ,

alors elles sont indpendantes si et seulement si pour tout couple (i,j) on a

P(X = ai; Y = bj) = piqj = P(X = ai)P(Y = bj).


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5.4. VARIABLES ALATOIRES INDPENDANTES ET ESPRANCE DU PRODUIT.

Dmonstration Partie . Introduisons les vnements A = {X x} X1(B)et B = {Y y} X1(B). Par hypothse ils sont indpendants.

Partie . Elle nest pas lmentaire et sera montre en 3 me anne.Toutefois, dans le cas discret de la seconde partie la dmonstration directe est facile.

Voici enfin un thorme dune importance considrable.

Thorme 5.8 Soit (X1, . . . , X N) une suite de v.a. indpendantes sur (,A,P).Alors le produit X1 XN a une esprance si et seulement si chaque Xj a une esp-rance. Dans ces conditions lesprance du produit est le produit des esprances:

IE(X1

XN) = IE(X1)

IE(XN).

Dmonstration On le dmontre dabord pour N = 2, et une rcurrence permet depasser au cas de N quelconque. Pour N = 2, notons X = X1 et Y = X2 pour simpli-fier. On le dmontre dabord dans le cas o X et Y sont tages. Ceci fait, on supposeensuite que X et Y sont positives. Il est facile de construire deux suites croissantes(Xn) et (Yn) de v.a. tages qui sont de plus indpendantes. Comme (XnYn) est sontour une suite de v.a. qui croit vers XY , on arrive au rsultat. Quant au passage au caso les X et Y ne sont plus positives, il est standard.

Exercices sur 5.4

1. SoitX

etY

deux variables alatoires indpendantes valeurs dans les entiers

0 de lois respectives donnes par P(X = n) = (1 p)np et P(Y = n) =(1 q)nq, o p et q sont dans ]0,1[. Montrer laide de la deuxime partie duTh. 5.7 que U = X Y et V = min(X,Y) sont indpendantes.

2. Soit une matrice carre dordre 2 dont les coefficients sont des variables ala-

toires indpendantes et de mme loi 12

1 + 121. Calculer lesprance du carrdu dterminant de cette matrice.


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Chapitre 6Moments, fonctions

gnratrices, transformes deLaplace

Par Grard Letac

6.1 Moments et variance

Thorme 6.1 Soit(,A,P)

un espace de probabilit, et soitn

un entier> 0.

Soit

Ln lensemble des v.a. X sur cet espace telles que lesprance mn = IE(Xn), appelemoment dordre n, existe. Alors Ln est un espace vectoriel, et on a

L1 L2 Ln.

Dmonstration Puisque f(x) = xn dfinit une fonction convexe sur la demi-droite positive, on peut crire pour x et y positif que

(x + y

2)n 1

2(xn + yn),

et donc |X + Y|n (|X| + |Y|)n 2n1(|X|n + |Y|n). Une autre mthode pourobtenir cette ingalit est de montrer que g(t) = 2n1(tn + 1) (t + 1)n atteint sonminimum sur [0, + [ en t = 1 et de considrer g(x/y).

Si maintenant les esprances de |X|n et de |Y|n sont finies, on en dduit daprs lafin du thorme 5.2 que lesprance de |X + Y|n est finie et que X + Y est dans Lnquand X et Y y sont. Enfin, pour voir que si lesprance de |X|n est finie il en est demme pour |X|n1, on utilise lingalit

|X|n1 1 + |X|n,

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6.1. MOMENTS ET VARIANCE

quon vrifie immdiatement en tudiant les cas |X| 1 et |X| 1. Le fait queLn1 Ln sen dduit.

Dfinition Le moment centr dordre n de la variable alatoire X est dfini parIE[(X m1)n] o m1 = IE(X) .

Remarquons au passage que si le moment non centr mn existe, alors le momentcentr existe, puisque cest lesprance dun polynme en X de degr n et quon vientde voir que les moments de degr infrieur n existaient.

Le cas particulier rellement important est le cas o n = 2.

Dfinition Soit X une variable alatoire relle. On appelle le moment centrdordre 2 de X la variance de X, et sa racine carre positive lcart type de X, encoreappel dviation standard. On note lcart type (X) et la variance ((X))2, ou plus

rarement V(X).

Insistons sur le fait que lcart type a la dimension de la variable alatoire: si celle

ci sexprime en centimtres, lcart type sexprime en centimtres et la variance en

centimtres carrs. Il faut connatre les deux formules suivantes:

Proposition 6.2 Si X a un moment dordre 2, alors pour rel

2(X) = 22(X),

et Formule de Huyghens:

2(X) = IE(X2) (IE(X))2.En particulier, (IE(X))2 IE(X2), avec galit si et seulement si la loi de X est uneprobabilit de Dirac.

Dmonstration La premire formule est immdiate. Pour Huyghens:

2(X) = IE(X2 2m1X+ m21) = IE(X2) 2m1IE(X) + m21 = IE(X2) (IE(X))2.Ici on a utilis le fait que lesprance dune constante est la constante elle mme et

que m1 = IE(X). Quant la dernire ingalit elle vient du fait quune variance esttoujours positive ou nulle. Si la variance est nulle, alors appliquant le 5) du thorme

5.2 la v.a. positive Y = (Xm1)2, alors la loi de Y est 0 et celle de Xest donc m1 .

Il y a galement connatre deux ingalits clbres:

Proposition 6.3 Ingalit de Markov Si Y est une variable alatoire positive ounulle dont lesprance existe, alors pour tout y > 0 on a

P(Y y) 1y

IE(Y).

Ingalit de Tchebychev Si X est une variable alatoire ayant un second moment,alors pour tout t > 0 on a

P(|X IE(X)| t) 1t2

2(X).


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Dmonstration

IE(Y) = IE(Y1Yy + Y1Y 0 fix on a

limn

P

|X1 + + Xn

n IE(X1)|

= 0.

Dmonstration Notons Sn = X1 + + Xn. Alors IE(Sn/n) = IE(X1) et

2(Sn/n) = 2(Sn)/n

2 = (2(X1) + + 2(Xn))/n2 = 2(X1)/n.


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Ici on a utilis successivement les propositions 6.2 puis 6.4, puis le fait que les Xj sont

de mme loi et ont donc mme variance. Appliquons alors lingalit de Tchebychev X = Sn/n et t = ; on obtient

P

|X1 + + Xn

n IE(X1)|

1

n22(X1),

qui tend bien vers 0 pour fix.

Commentaires: limportance philosophique de la loi des grands nombres est non

ngligeable: elle justifie la dmarche que nous avons adopte pour modliser le calcul

des probabilits. Lide dexprience dcrite au dbut de ce cours est la slection dun

point dans un espace dobservables , mais par un procd susceptible dtre rptad libitum et dans les mmes conditions. Soit S une partie de , comptons le nombrede fois o S est ralis en n essais, divisons ce nombre par n et notons par fn la frac-tion, ou la frquence, ainsi obtenue. Lide de probabilit est base sur la constatation

physique que la suite des fn converge vers un nombre P(S) quon appellera probabi-lit de S. Si la thorie est bien faite, cest dire si les axiomes sont bien choisis, on doitretrouver cette constatation physique quelque part ltat de thorme dans la thorie

dveloppe partir de ces axiomes. Cest le cas. En effet, le initial dcrivant uneexprience est remplac par un produit infini

j=1 j o les j sont identiques l

initial, et sont les rsultats possibles de lexprience rpte linstant j. Les points dece produit sont donc des suites infinies = (j)

j=1. Quant la probabilit sur le pro-

duit, elle est telle que toutes les fonctions fj() = j soient indpendantes. Ceci fait,notons Xj() = 1 si j S et Xj() = 0 sinon. On a une suite de v.a. de Bernoulliindpendantes et de mme loi desprance p = P(S). La loi faible des grands nombresdit que fn =

1n(X1 + + Xn) converge vers P(S), dans le sens dcrit au thorme

6.5. Il existe un thorme avec une conclusion plus prcise, appel loi forte des grandsnombres, que nous exposons maintenant.

Thorme 6.6 loi forte des grands nombres Soit X1, . . . , X n, . . . des variablesalatoires de Bernoulli indpendantes et de mme loi q0 +p1, avec 0 < p = 1 q 0 et on note pour simplifier

Un() = Un =1

n(X1 + + Xn) p ,


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6.2. LES VARIABLES ALATOIRES VALEURS ENTIRES.

A laide dun nombre s > 0 arbitraire, nous donnons dabord une autre prsentation de

cet vnement:

An = {( 1n

(X1 + + Xn) > p + } = {es(X1++Xn) > esn(p+}.

On applique alors lingalit de Markov (proposition 6.3) Y = es(X1++Xn) ety = esn(p+). On en tire

Pr(An) 1y

IE(Y)

= esn(p+)IE(es(X1++Xn))= (es(p+)IE(esX1))n

= (es(p+)(q +pes))n

= (qesps +pesqs)n.

Insistons sur le fait que cette ingalit est valable pour tout s > 0. Observons alorsquil existe des valeurs de s telles que s (s) = qesps +pesqs soit < 1. Unemanire de le voir est de calculer (0) = 1 et (0) = . Cela entrane videmment,puisque = (0) = lims0(1 (s))/s, quil existe s0 > 0 proche de 0 tel quer = (s0) < 1. Comme > 0 cela termine la dmonstration.

Exercices sur 6.1

1. Soit X une variable alatoire telles que 0 X 1. Montrer que 2(X) 14

.Mthode: si m = IE(X), crire

1

4 (X m)2 = (1

2 m)2 + X(1 X)et prendre lesprance de chaque membre.

6.2 Les variables alatoires valeurs entires.

Nous allons nous concentrer pour un moment sur les variables valeurs dans len-

sembleN des entiers 0. Dans ce cas les moments seront plus faciles calculer grce lintroduction de la notion de fonction gnratrice de X:

Thorme 6.6 Soit X une v.a. valeurs dans N de loi PX =

+n=0pnn. On

dsigne par fX(z) la somme de la srie entire

+n=0

pnzn

de rayon de convergence R. Alors

1. R 1 et, pour |z| 1 on a fX(z) = IE(zX).2. Pour tout n on a pn =

1n!

f(n)X (0). En particulier, la connaissance de fX donne la

connaissance de la loi de X.


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3. Pour tout n le moment dordre n IE(Xn) existe si et seulement si la drive

gauche dordre n au point 1 de la fonction z fX(z) dfinie sur [1,1] existeet est finie. Dans ce cas,

IE(X(X 1) (X n + 1)) = f(n)X (1) =k=n

k(k 1) (k n + 1)pn;

en particulier IE(X) = fX(1), IE(X2) = fX(1) + f

X(1).

4. Si X1,X2, . . . , X N sont des variables alatoires indpendantes valeurs dans Net si S = X1 + X2 + + XN alors pour |z| 1:

fS(z) = fX1(z) fXN (z),cest--dire que la fonction gnratrice dune somme est le produit des fonctions

gnratrices.

Dmonstration Il est clair que la srie entire converge pour z = 1 puisque+n=0pn = 1 et donc que fX(1) = 1. Donc R 1. Ensuite, si |z| = 1 la srie

est absolument convergente. Pour le 2), cela dcoule du lien entre la formule de Taylor

et la somme dune srie entire.

Le 3) est plus dlicat. Nous le montrons pour n = 1. Le principe pour n quelconqueest le mme. Supposons dabord que IE(X) existe, cest--dire, daprs la proposition5.4, que

+n=0 npn converge. Montrons qualors la drive gauche en 1 de fX existe

et est finie. Celle ci est dfinie comme la limite quand z crot vers 1 de la fonction

fX

(z)

fX

(1)

z 1 =1

fX

(z)

1 z =+n=0

pn1

zn

1 z =+n=0

pn(1 + z + + zn1).

Or si 0 z 1 on a 1 + z + + zn1 n. Comme +n=0 npn converge la srieprcdente converge normalement et sa limite est pour z tendant vers 1 est IE(X).

Inversement, supposons que la drive gauche en 1, note fX(1) existe. Appli-quons le thorme des accroissement finis lintervalle [z,1] et la fonction fX . Ilexiste donc c ]z,1[ tel que

1 fX(z)1 z = f

X(c) =

+n=1

npncn1.

Ceci tend vers une limite finie si z croit vers 1 par hypothse. Il est clair puisque c tend

vers 1 avec z, que cette limite est suprieure ou gale toutes les sommes partielles dela srie

+n=0 npn, ce qui prouve que cette srie converge. Enfin, trivialement,

+n=1

pncn1

+n=1

npn,

ce qui montre finalement que fX(1) = IE(X).Le 4) est une consquence immdiate du fait que si les Xj sont indpendants, alors

les zXj sont indpendants, et que lesprance du produit de variables indpendantes estle produit des esprances:

fS(z) = IE(zX1++XN ) = IE(zX1 zXN ) =


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IE(zX1) IE(zXN ) = fX1(z) fXN (z).

Commentaires: la dmonstration du 3) nest pas facile si R = 1, comme on la vu.Si R > 1, cest simple et immdiat par le thorme de drivation dune srie entire lintrieur de lintervalle de convergence.

Nous tudions maintenant 4 exemples fondamentaux de lois sur N.

Dfinition - Proposition La loi de Bernoulli B1,p. Pour 0 < p < 1 cest la loi

B1,p = (1 p)0 +p1.

Sa fonction gnratrice est f(z) = (1 p) +pz, son esprance est p et sa variance est

(1 p)p.Dfinition - Proposition La loi binomiale BN,p . Cest la loi du nombre de suc-

cs dans le schma Succs Echec fini N essais:

BN,p =Nk=0

CkN(1 p)Nkpkk.

Sa fonction gnratrice est daprs la formule du binme, f(z) = ((1 p) + pz)N.Donc en prenant sa drive lordre 1, son esprance est donc N p. Quant sa variance,cest N(1 p)p.

On remarque que si Xet Y sont indpendantes et de lois respectives BN,p et BM,p ,

alors la loi de X+ Y est BN+M,p, comme on le voit par la fonction gnratrice.

Un bon moyen de retenir ces rsultats sur la loi binomiale est dobserver que si

X1, . . . , X N sont des variables alatoires indpendantes de mme loi de Bernoulli B1,p,alors S = X1 + + XN est de loi binomiale BN,p comme on le voit par la fonctiongnratrice fS .

Dfinition - Proposition La loi de Poisson P. Pour > 0, cest la loi dfiniepar

P =

n=0n

n!en.

Sa fonction gnratrice est f(z) = exp((z 1)), son esprance et sa variance sonttoutes deux gales .

On remarque que si X et Y sont indpendantes et de lois respectives P et P,alors la loi de X+ Y est P+, comme on le voit par la fonction gnratrice.

La manire la plus courante de rencontrer cette loi de Poisson dans la nature est en

tant quapproximation de la loi binomiale. En effet, la suite de lois BN,/N tend versP dans le sens suivant: pour tout entier k on a

limN

BN,/N({k}) = P({k}).


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Pour le voir, on observe que la suite du premier membre est

CkN(1

N)Nk(

N)k =

N(N 1) (N k + 1)Nk

(1 N

)kk

k!(1

N)N.

Le premier produit tend vers 1, comme quotient de deux polynmes de N de degrk ayant mme terme de plus haut degr. Il est clair que toute lexpression tend versk

k!e si N tend vers linfini, par la formule connue limN(1 + xN)

N = exp x.

Dfinition - Proposition La loi de Pascal et la loi ngative binomiale. Dans le

schma Succs Echec infini, intressons nous la loi du temps dattente T1 du premiersuccs , soit T1() = inf{n ; j = S}. La loi de T1 se calcule facilement en remar-quant que dire que T1 > n est dire que les n premiers essais ont t des checs, unvnement de probabilit (1 p)n. Donc, puisque

P(T1 = n) = P(T1 > n 1) P(T1 > n) = (1 p)n1 (1 p)n = (1 p)n1p,

la loi de T1, dite loi de Pascal, ou loi gomtrique, est

PT1 = p1 + (1 p)p2 + + (1 p)n1pn +

Sa fonction gnratrice est la fonction homographique fT1(z) =pz

1(1p)z , samoyenne est 1/p, un rsultat quil est bon de retenir. Quant sa variance, cest 2(T1) =(1 p)/p2.

Si ensuite on sintresse au temps dattente Tk du k ime succs, il est intuitive-ment clair, bien que pas si facile montrer rigoureusement, que cest la somme de k

variables alatoires indpendantes I1, . . . , I k, de mme loi que T1: la v.a. Ik reprsentelintervalle de temps entre les k 1 ime et k ime succs. La fonction gnratrice estdonc fTk(z) = (

pz1(1p)z )

k, la moyenne k/p et la variance k(1 p)/p2. Toutefois,la loi de Tk est concentre sur les entiers suprieurs ou gaux k, et il y a avantageen vue dune gnralisation considrer plutt la loi de Tk k, concentre sur N, defonction gnratrice

fTkk(z) = (p

1 (1 p)z )k =

n=0

1

n!k(k + 1) (k + n 1)pk(1 p)nzn,

en dveloppant selon la formule du binme de Newton. Cela entrane donc que si n k :

P(Tk = n) = P(Tk k = n k) = 1(n k)! k(k + 1) (n 1)p

k(1 p)nk =

Ck1n1pk(1 p)nk,

une formule difficile retenir.

Maintenant, on peut gnraliser la loi de Tk k en remplaant le paramtre entierk par le paramtre continu positif . Linterprtation probabiliste disparait, mais lesformules demeurent. On introduit donc la loi dite ngative-binomiale dfinie par:


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6.3. TRANSFORME DE LAPLACE DUNE VARIABLE ALATOIRE.

Dfinition - Proposition La loi ngative binomiale est la loi N B,p dfinie

pour > 0 et 0 < p < 1 par

N B,p =n=0

1

n!( + 1) ( + n 1)p(1 p)nn.

Une variable alatoire X qui suit une telle loi est donc telle que si n N :

P(X = n) =1

n!( + 1) ( + n 1)p(1 p)n,

sa fonction gnratrice est fX(z) = (p

1(1p)z ), sa moyenne est (1 p)/p et sa

variance est (1 p)/p2.

Exercices sur 6.21. Montrer que si deux ds sont marqus sur leurs faces 1,2,3,4,5,6 il est impossible

de les piper de sorte que la somme X+Y de leur points soit telle que P(X+Y =n) = 111 pour n = 2,3, . . . ,12. Mthode: montrer que les fonctions gnratricesfX(z) et fY(z) sont telles que fX(z)/z et fX(z)/z sont des polynSmes ayantau moins un zro rel, et que fX+Y(z)/z

2 na que des zros imaginaires.

2. Une fonction gnratrice fX est telle que fX(z) = (1

1 z)/z. Quelle estla probabilit pour que X = n? Est ce que IE(X) existe?

3. Soit X et Y deux variables alatoires indpendantes qui suivent des lois de Pas-cal pas ncessairement identiques. Soit Z = min(X,Y). Calculer pour n fixP(X > n, P(Y > n), P(Z > n), P(Z = n). Montrer que Z suit une loi dePascal. Exprimer sa moyenne en fonction des moyennes de X et Y.

6.3 Transforme de Laplace dune variable alatoire.

Thorme 6.7 Soit X une variable alatoire. Soit IX lensemble des z rels telsque LX(z) = IE(ezX ) existe. La fonction z LX(z) dfinie sur IX est appele latransforme de Laplace de X. Alors

1. Lensemble IX est un intervalle contenant 0.

2. Si 0 est dans lintrieur de IX , la transforme de Laplace est dveloppable en

srie entire et les coefficients de cette srie sont les L(n)X (0)/n! = IE(X

n)/n! :

LX(z) =

n=0

IE(Xn)

n!zn.

3. Si IX est de longueur positive, la loi de X est caractrise par sa transforme deLaplace. Plus prcisment, si IX IY est de longueur positive et si LX = LYsur cet intervalle, alors X et Y sont de mme loi.

4. Si X et Y sont indpendantes, alors IX+Y = IX IY et , pour z dans cetintervalle: LX+Y(z) = LX(z)LY(z).

5. Si a et b sont rels avec a = 0 alors IaX+b = 1aIX et LaX+b(z) = exp(bz)LX(az).


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Dmonstration 1) Il est clair que 0 IX . Si 0 < s < z ou si z < s < 0 etsi z IX , montrons que s IX . Cela vient du fait que exp(sX) 1 + exp(zX),comme on le voit en examinant les 4 cas X 0 et X < 0, z > 0 et z < 0.

2) Si [a,a] IX avec a > 0, alors comme exp(a|X|) < exp(aX) + exp(aX)on en dduit que IE(exp(a|X|)) existe, et donc IE(exp |zX|) existe pour tout |z| a.Do pour un tel zLX(z)

Nn=0

IE(Xn)

n!zn

=IE(exp(zX)

Nn=0

(Xz )n

n!

=IE(

n=N+1

(Xz)n

n!

IE

n=N+1

|Xz |n

n! = IEexp |zX|

N

n=0

|Xz |n

n! = IE(YN).

La variable alatoire YN dcroit vers 0: un thorme de 3me anne dit que celasuffit pour entraner que limN IE(YN) = 0; ce qui achve la dmonstration du 2).

La partie 3) est beaucoup plus difficile et nous admettrons ce rsultat.

La partie 4) est une consquence du thorme 5.8 appliqu N = 2 et (X1,X2) =(exp(zX), exp(zY)). La partie 5) est immdiate.

A cause du 2) on appelle parfois la transforme de Laplace la fonction gnratrice

des moments. Cest viter, pour ne pas confondre avec la fonction gnratrice dune

variable alatoire X valeurs dans N. Dailleurs, pour un tel X, les deux notions sontrelies par fX(exp z) = LX(z) et lintrieur de IX est alors ] , log R[ o R est lerayon de convergence de la srie entire de somme fX . Les transformes de Laplacesont surtout utilises pour caractriser des v.a. densit. Nous en donnons 3 exemples

importants.

Dfinition - Proposition La loi normale Nm,2 . Cest la loi la plus importante

du calcul des probabilits. On lappelle aussi une loi gaussienne, une loi de Laplace-

Gauss, ou encore une seconde loi de Laplace. Si m IR et si > 0, elle est dfinie parsa densit:

1

2exp (x m)

2

22.

Le fait que ce soit une densit de probabilit nest pas vident, car il faut vrifier

que lintgrale de cette fonction > 0 est 1. Si on ladmet pour le cas m = 0 et = 1,on se ramne facilement ce cas particulier en posant x = y + m. Cette remarquepermet alors de montrer que la transforme de Laplace dune variable alatoire Y deloi N0,1 est

LY(z) = IE(ezY) =

12

+

ey2

2 +zydy = ez2

2 .

Pour voir cette dernire galit il suffit dcrire que la densit de Nz,1 est dintgrale 1.Remarquons que lintervalle dexistence est IY = IR


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Ensuite, on remarque que si Y est de loi N0,1, alors X = Y + m est de loi Nm,2 .

Pour le voir, il suffit dcrire la fonction de rpartition de X de la manire suivante:

FX(x) = P(Y + m x) = P(Y x m

) = FY(x m

);

on drive alors les deux membres extrmes de la ligne ci dessus: gauche on obtient

la densit cherche de X, droite en utilisant le thorme de drivation des fonctions

composes et le fait que la densit de Y est par hypothse 12

ey2

2 : ceci fournit pour

X la densit de la loi Nm,2 comme annonc.Enfin, pour avoir la transforme de Laplace de X partir de Y on utilise le 5) du

thorme 6.7 pour obtenir que si X est de loi Nm,2 , alors

LX(z) = exp(2z2

2+ mz).

On dduit du 2) du thorme 6.7 qualors IE(X) = m et que 2(X) = 2. Ondduit aussi des 3) et 4) du thorme 6.7 que si X1 et X2 sont des variables ala-toires indpendantes et de lois respectives Nm1,21 et Nm1,22 , alors X1 + X2 est de loiNm1+m2,21+22 .

A propos de fonction de rpartition, il faut noter que la fonction de rpartition dela loi N0,1, soit

(x) =12

x

ey2

2 dy,

nest pas lmentaire. Elle est tabule dans tous les ouvrages.

On rencontre la loi N0,1 dans la nature comme approximation de bien des lois. Laplus ancienne est lapproximation de Moivre Laplace de la loi binomiale:

Thorme Approximation de Moivre Laplace de la loi binomiale Si X est deloi BN,p , alors la loi deXNpNp(1p) tend vers la loi N0,1 dans le sens suivant: pour tout

intervalle [a,b] on a

limN

P

a X N p

N p(1 p) b

=12

ba

ey2

2 dy.

Une autre prsentation de ce thorme de Moivre Laplace est donc

limN

PaN p(1 p) + N p

X

bN p(1

p) + N p =1

2 b

a

ey2

2 dy.

Cest dire que P

a

N p(1 p) + N p X b

Np(1 p) + N p

est approche

par (b) (a). Cette approximation est la base de la statistique.La dmonstration de ce rsultat nest pas lmentaire. Toutefois, lusage des trans-

formes de Laplace le rend plausible; avec le thorme 6.7, partie 5):

L XNpNp(1p)

(z) = (1 p +p zN p(1 p) )

N expN pz

N p(1 p) N expz2

2,

par un calcul de dveloppement limit.


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Dfinition - Proposition Les lois gamma p,q. La loi exponentielle 1,q de

moyenne q est la plus importante des lois densit aprs la loi normale. Elle estconcentre sur la demi droite positive, sa fonction de rpart

Probabilités de A à Z

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