1

PRISME 1) Définitions.

Un prisme est un milieu transparent, homogène et isotrope, limité par deux dioptres plans non parallèles.

arête

basesection principale

A

La droite d'intersection des deux plans (qui n'existe pas toujours matériellement) est l'arête du prisme. Tout plan perpendiculaire à l'arête est un plan de section principale. L'angle A formé par les deux plans est l'angle du

prisme. La base du prisme, face opposée à l'arête, ne joue aucun rôle optique et peut ne pas être plane.

L'étude du prisme sera faite avec les hypothèses suivantes:

• les faces du prisme sont en contact avec le même milieu extérieur d'indice absolu n2. • le prisme, d'indice absolu n1, est plus réfringent que le milieu extérieur: n1 > n2 →

n nn= >121.

• les rayons incidents sont dans un plan de section principale. • la lumière est monochromatique, sauf dans la dernière partie (étude de la dispersion).

2) Marche d'un rayon lumineux dans une section principale.

A

II'

S S'

r r'

Di

i'

AH

K

Le rayon incident SI se réfracte selon II' en se rapprochant de la normale au premier dioptre (n > 1) → r < i. Si l'angle d'incidence sur le second dioptre, r', est inférieur à

l'angle de réfraction limite λ tel que sinλ = 1n , il y a

réfraction en I', le rayon I'S' émerge en s'éloignant de la normale au second dioptre: → i' > r'. Le rayon incident est toujours dévié vers la base du prisme. Si r' > λ, il y a réflexion totale en I'.

2

3) Relations entre les angles.

Les lois de la réfraction en I et I' donnent: sin i = n sin r sin i' = n sin r'

Dans le triangle II'H: A = r + r' Dans le triangle II'K: D = (i - r) + (i' - r') = i + i' - A

Ces relations sont valables dans tous les cas (pour n > 1) en orientant les angles, comptés à partir des normales aux dioptres, dans le sens trigonométrique pour i et r et dans le sens inverse pour i', r' et D.

4) Construction géométrique des rayons réfractés.

II'

S

S'

A

H

H'

M

M'N

TT'

(C )12(C )

On applique deux fois la construction d'Huygens.

Les deux cercles de centre A, (C1) et (C2), ont des rayons R1 et R2 = n R1.

Le rayon TA parallèle au rayon incident SI se réfracte sur le premier dioptre selon AM', donc le rayon réfracté II' est parallèle à AM'. AM' se réfracte sur le second dioptre selon ANT', donc le second rayon réfracté I'S' est parallèle à ANT'. Si M'H' ne coupe pas le cercle (C1) le rayon réfracté ANT' n'existe pas, il y a réflexion totale en I'.

3

5) Conditions d'émergence.

a. Condition pour A. Le rayon intermédiaire II' se réfracte en I' si r ' ≤ λ → A - r ≤ λ ou A ≤ λ + r. Or r ≤ λ donc A ≤ 2 λ .

b. Condition pour i.

II'

S

S'λ

T

T'

λ

i

i'min

min

Si A < 2 λ, les rayons qui peuvent émerger sont ceux pour lesquels r ' ≤ λ → A - r ≤ λ ou encore r ≥ A - λ, d'où sin r ≥ sin (A - λ). Or sin i = n sin r → sin i ≥ n sin (A - λ). Donc i ≥ imin tel que .)A(sinnisin min λ−=

Un rayon TI arrivant sur la surface du premier dioptre sous l'incidence imin émerge en rasant la surface du second dioptre.

D'après la loi du retour inverse de la lumière, un rayon incident SI rasant la surface du premier dioptre émergera sous l'angle i'min = imin.

c. Exemples des divers cas.

Pour un prisme d'indice n = √2, l'angle limite de réfraction vaut λ = 45°.

A > 2 λ A = 2 λ λ < A < 2 λ A = λ A < λ A = 0

6) Etude théorique et expérimentale de la déviation.

L'angle de déviation D dépend du prisme utilisé, donc de n et A, et de l'angle d'incidence i.

D f A n,i dD DA dA D

n dn Di di

i n i n= ⇒ = ⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟( , ) .

, ,A ,A

∂∂

∂∂

∂∂

a. Influence de A.

4

A

DAi'

Expérience avec un prisme à eau (n = 1,33), d'angle A variable, utilisé sous incidence normale: i = 0.

On observe que la déviation D augmente quand A augmente, i et n

restant constants, donc .0AD

n,i>⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

Démonstration: D = i + i' - A avec i et n constants, donc r constant.

.1A'i

A)A'i(

AD

n,in,in,i−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂−∂

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

.1A'rcar'rcosn

A'r'rcosn

A)'r(sinn

A'i'icos

A)'i(sin

n,in,in,in,in,i=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂

D'où .1'icos'rcosn

AD

n,i−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂ Or n > 1 et |r '| < |i '| → cos r ' > cos i ' et on a bien

.0AD

n,i>⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

b. Influence de n.

n croissant

Expérience avec un polyprisme: ensemble de plusieurs prismes, de même angle mais d'indices différents, utilisés sous la même incidence. On observe que D augmente quand n augmente →

.0nD

A,i

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

Démonstration: D = i + i ' - A avec i et A constants → .n'i

nD

A,iA,i⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

.n'r'rcosn'rsin

'icos1

n'i

n'r'rcosn'rsin

n'i'icos

n)'i(sin

A,iA,iA,iA,iA,i⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂→⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

Or r + r ' = A → .nrrcosnrsin0rsinnisinet0

n'r

nr

A,iA,iA,i⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+=→==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

Donc .rtann1'.rcosn'rsin

'icos1

nD

n'rrtan

n1

nr

A,iA,iA,i

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

→⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−=−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

.0nD0'icoset0rcos,0Asin;

'icos.rcosAsin

'icos.rcos)'rrsin(

'icos.rcosrsin'.rcos'rsin.rcos

nD

A,iA,i

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

→>>>=+

=+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

c. Influence de i.

A

Di

Expérience avec un prisme tournant autour de son arête. On observe que D est minimale pour une valeur particulière

i0 de l'angle d'incidence → .iipour0iD

0A,n

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

5

Démonstration: D = i + i ' - A avec n et A constants → .i'i1

iD

A,nA,n⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

.i'r

'icos'rcosn

i'i

i'r'rcosn

i'i'icos

i)'i(sin

A,nA,nA,nA,nA,n⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

→⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

Or r + r ' = A → .irrcosnicosrsinnisinet0

i'r

ir

A,nA,nA,n⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=→==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

Donc .rcos'.icos'rcos.icos1

rcosicos

n1

'icos'rcosn1

iD

i'r

rcosicos

n1

ir

A,nA,nA,n

−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

→⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

.isinn11'isin

n11;

nisin1)'isin1(

n'isin1)isin1(

).rsin1)('isin1()'rsin1)(isin1(bienourcos'.icos'rcos.icos0iD

22

222

22

2

22

2222

A,n

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−=−−=→=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

Comme n ≠ 1, i est solution de sin2i = sin2i ' soit i = ± i '. Seule la solution i = i ' convient car si i = - i ' alors r = - r ', ce qui est incompatible avec r + r ' = A ≠ 0.

Donc D est minimale quand .2Asinnisinqueteliiet

2A'rr'ii 00 ====→=

La déviation minimale vaut Dmin = i + i ' - A = 2 i0 - A.

Les mesures de A et Dmin permettent de calculer l'indice du prisme:

.

2Asin

2DAsin

n2A'rravecrsinnisinet

2DAi

min

0000min

0

+

=→===+

=

I I'

S S'

i i min

A

x

D00 r0 r0

Quand la déviation est minimale, i = i ' = i0 et

.2A'rr ==

Le triangle AII' est isocèle et le trajet de la lumière est symétrique par rapport à la bissectrice Ax de l'angle A. Le rayon II' est perpendiculaire à Ax.

Allure de la courbe D = f(i):

6

i

D = 2 i - A

90° + i - A

D

90°min

0

min

0i i

min

ii1 2

La condition d'émergence pour A (A < 2 λ) étant satisfaite, on a imin ≤ i ≤ 90° et 90° ≥ i ' ≥ imin.

i i ii i i

donc D i A.= → = °

= ° → =

⎤

⎦⎥ = °+ −min

minmin

''90

9090

.rcos'.icos'rcos.icos1

iD

A,n

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

.0icoscar1iD,90iQuand

.0'icoscariD,iiQuand

A,n

A,nmin

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂°=

=∞−→⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂=

On remarque qu'on obtient la même déviation pour deux angles d'incidence différents i1 et i2. Quand i = i1, l'angle d'émergence vaut i ' = i2 et quand i = i2 alors i ' = i1.

7) Cas d'un prisme d'angle faible utilisé sous faible incidence.

Si A et i sont faibles, r, r ' et i ' le sont aussi.

i ≈ n r i ' ≈ n r ' D = i + i ' - A ≈ n (r + r ') - A = (n - 1) A. A = r + r ' Donc D est pratiquement constant, sa valeur étant celle de la déviation minimale:

90°- 90°

D

i

(n - 1) A

i = n A20

.A)1n(Ai2D

.2Ani

2Asinnrsinnisin

0min

000

−≈−=

≈→==

8) Dispersion

A

Ii

spectrecontinu

Avec un faisceau incident de lumière blanche, on observe un spectre continu du rouge au violet, la déviation des rayons augmentant quand la longueur d'onde diminue.

Donc .0D

A,i

<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

λ∂∂

.0dndoù'd0

nDavec

dnd.

nDD

A,iA,iA,i

<λ

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

λ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

λ∂∂

Pour les verres optiques on utilise souvent la relation de Cauchy 42

2 cbanλ

+λ

+= où a, b, c sont

trois constantes déterminées expérimentalement en mesurant n pour trois longueurs d'onde différentes.

7

Variation de D avec A à n et i constants.

Reprenons les quatre formules du prisme et faisant la différentiel de chacune des équations sachant que n et i sont constants (On note l'incident i et l'émergent i') :

avec

Ce qui donne :

soit

Exercice 1 Démontrer que est positive.

l faut comparer à . Si la rapport est supérieur à

1 par conséquent est supérieur à 0.

8

Expression 1

Expression 2

Si l'on compare les expressions on a : > puisque

Donc la déviation D est une fonction croissante de A, et elle a toujours lieu du coté de la base du prisme.

Variation de D avec n (A,i consants)

On procède de la même manière que dans le premiers cas, sachant que on

trouve :

9

On fait la somme des deux premières équations :

soit

Ce qui donne :

Il en résulte que :

Cette quantité est toujours positive, puisque i' est compris entre 0 et et r entre 0 et . Par conséquent la déviation augmente quand l'indice de réfraction augmente.

Variation de D avec i (A,n constants)

De la même manière que les deux cas qui précèdent, on différentie puis on cherche

sachant que on trouve :

10

Pour avoir la variation de la déviation en fonction de l'incidence, on cherche les extremums de la fonction

On élève au carré les deux expressions puis on remplace par idem pour r, ce qui donne :

11

, on a :

est le minimum de déviation. La relation de Descartes s'écrit alors :

Etude d'un prisme de petit angle

Un prisme de petit angle est placé dans l'air. Un faisceau parallèle fait un petit angle avec la normale à la face d'entrée de ce prisme.

1) Montrer que le faisceau sortant fait avec le faisceau incident un angle D indépendant de l'incident.

2) supposons que le prisme est fait d'un verre d'indice et a pour base un

triangle équilatéral. Quel est son angle de déviation minimale ?

3)On plonge ce prisme dans l'eau d'indice . Quel est la nouvelle déviation

minimale ?

4) Que devient cette déviation si on augmente n à 2.8 sachant que

Etude d'un prisme de petit angle - Solution

12

1) L'angle A étant faible, l'angle d'incidence est aussi faible par conséquent on peut

écrire :

donc

est indépendante de l'incidence donc

2) Base triangle équilatérale par conséquent avec

3) Les équations de Descartes deviennent :

donc

Application numérique :

La déviation augmente avec l'indice du milieu.

4) On passe d'un milieu plus réfringent à un milieu mois réfringent donc on verra l'angle limite du coté incident.

L'angle limite est dans cette configuration est tel que :

La condition d'émergence est que c'est à dire que doit être inférieur à 44°26' pour avoir un émergent ce qui n'est pas le cas