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BAYEUX Maxime

CHEVALIER Margaux

CLERC Timothé

DUBOIS Barbara

LAFAILLE Aurélien

SERODON Clémence

PRIME MASTherMise en place d’un asservissement

en température

|13 mars 2015 au 1er juillet 2015|

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Sommaire :

Phase 1 : Etude de l’évolution de la température d’une eau dans un gobelet

I. Évolution de la température d’un objet du quotidienA) ExpérienceB) Établissement de l’équation de la chaleur

II. Résultats et conclusion

III. Entretien avec l’expert

Phase 2 : Modélisation de la température à l’intérieur d’une pièce

I. Maquette expérimentaleA) Matériel et méthodesB) Positionnement des éléments dans la boîteC) Vérification expérimentale des hypothèsesD) Résultats expérimentaux

II. Etude physique et simulation numériqueA) ModèleB) Comparaison modèle/expérimental

Phase 3 : Asservissement de la température à l’intérieur d’une pièce

I. Maquette expérimentaleA) Matériel et méthodesB) Protocole expérimental

II. Asservissement de la températureA) Schéma blocB) Schéma électriqueC) Prises de mesures et résultats

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Introduction :

Lors de la construction d’une maison, l’une des principales attentes du client est de pouvoir régulerla température de sa maison à sa guise. Celle-ci doit être automatisée en fonction des paramètres del’utilisateur. Le cahier des charges du client ne mentionnant ni budget, ni système de régulation particulier,il en incombe à notre équipe de piloter ce projet selon nos propres directives.

Afin de mieux percevoir l’évolution de la température dans des environnements connus, il fautd’abord la regarder pour un système de petite envergure facilement paramétrable, ce qui a été fait durantla phase 1. Ensuite, il a été nécessaire de choisir un modèle plus réaliste et pertinent de la maison afin depouvoir simuler un modèle, ce qui est le propos de la phase 2. Nous nous sommes appuyés sur unemaquette pour visualiser expérimentalement l’évolution de la température. Nous avons ensuite pucomparer la théorie et la pratique sur des cycles de chauffe et refroidissement. Enfin, nous avons asserviece système en réalisant un circuit électrique adapté. Cet asservissement a été étudié lors de la phase 3.

Phase 1 : Etude de l’évolution de la température d’une eau dans un gobelet

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Une première approche de l’étude de transferts thermiques nous est proposée, dans laquelle nousétudions la variation temporelle de la température d’un volume d’eau contenu dans un gobelet,préalablement chauffé et laissé au repos à température ambiante.

Les livrables sont :

- Diagrammes de Gantt- Des rapports intermédiaires - Une revue de projet

I. Évolution de la température d’un objet du quotidien

A) Expérience

Initialement chauffée à l’aide d’une bouilloire, nous avons laissé l’eau se refroidir à l’air libre. Toutes les 30snous avons relevé sa température et ce pendant 1h30.

La sonde du thermomètre digital était installée de sorte qu’elle reste immobile et que la prise detempérature se fasse au centre du volume d’eau.

Les mesures de température sont faites à +/- 0.1 °C.

Figure 1.1 : Photo du montage

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Figure 1.2 : Installation de la sonde du thermomètre

À l’aide d’Excel, nous avons pu tracer la courbe T=f(t) afin de la comparer au résultat théorique ci-après

B) Établissement de l’équation de la chaleur

On assimile l’eau à un fluide parfait, incompressible et on considère le phénomène en régime stationnaire.

Le système étudié est le volume d’eau. Après des calculs, on aboutit à :

T¿

(¿1−T ¿¿0)∗ⅇ−tτ

¿¿+T 0T (t )=¿

(Avec τ=ρ⋅C p ⋅ah )

h coefficient de convection air-eau Cp = 4185 J.kg-1.K-1 : capacité thermiquemassique de l’eau

R : rayon du gobelet T1 = 77,3 °C : température initiale de l’eaudans le gobelet

a = 0,15m : hauteur du gobelet T0 = 22,4°C : température ambiante de lasalle

ρeau = 999 kg.m-3 : masse volumique de l’eau

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II. Résultat et conclusion

Nous avons tracé la courbe T=f(t) afin de la comparer au résultat théorique. On doit voir si le modèleest très sensible à la valeur de h. On va donc superposer les courbes du modèle avec différentes valeurs deh.

Figure 1.3 : Superposition des courbes théoriques et expérimentale

On constate que la courbe expérimentale possède une allure similaire à celles du modèle établi. Elle se calepour des valeurs hautes de h, en l'occurrence entre 15 et 20.

III. Entretien avec l’expert

Lors de notre entretien avec Mr Boitard, expert en conduite de projet, nous avons planifiéd’effectuer un Gantt plus détaillé qui anticiperait toutes nos actions. De plus, il nous a conseillé de faire unAMDEC afin de nous sensibiliser aux potentiels risques.

ConclusionLa phase 1 constitue une première approche dans l’étude des phénomènes thermiques à petite envergure.Cette expérience a été réalisée dans le but de s’approprier le problème de l’évolution de la température ausein d’un milieu ; les conclusions que nous pouvons tirer de celle-ci nous permettront de mieux cibler lademande du client à plus grande échelle, et d’entrevoir les problèmes que nous pourrions rencontrer toutau long du projet.

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Phase 2 : Modélisation de la température à l’intérieur d’une pièce

I- Maquette expérimentale

A) Matériel et méthodes

La maquette est constituée d’une boîte en carton de dimensions (l x h x L en cm) 21.7 x 21.7 x 30.1.Le système de chauffe est rendu possible grâce à 4 lampes de puissance 21 W chacune. Quant àl’homogénéisation elle est réalisée à l’aide d’un ventilateur. Les rélevés de températures s’effectuent aumoyen de deux capteurs LM35 précédés d’un montage suiveur.

Figure 2.1 : Maquette refermée

B) Positionnement des éléments dans la boîte

a. Positionnement du ventilateur

Afin d’obtenir la température la plus représentative de la boîte, il convient de déterminer la positionoptimale des capteurs, ainsi que l’endroit où le ventilateur homogénéise le mieux l’air. Ils peuvent être misdans différents endroits ; voici quelques positions proposées :

Position A : Le ventilateur est plaqué sur un des petits murs de la boîte || Les capteurs sont sur lesfaces du haut et du bas de la boîte, centrés

Position B : Le ventilateur est plaqué contre le sol || Les capteurs sont sur les 2 grands murs de laboîte, centrés en face à face

Position C : Le ventilateur est plaqué sur le grand mur de la boîte || Les capteurs sont sur les facesdu haut et du bas de la boîte, centrés

On commence l’expérience avec la même température mesurée par les deux capteurs. L’expérienceconsiste à mesurer l’écart final de température entre ces capteurs qui sont positionnés à deux endroits

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différents dans la boîte après un certain temps, ici 5 minutes. Voici le tableau qui récapitule les résultats deces différentes expériences :

Initiale FinalePosition A 25,4°C 25,7°C 0,3°C 39,5°C 40,1°C 0,6°CPosition B 25,5°C 25,8°C 0,3°C 41,1°C 42,7°C 1,6°CPosition C 25,5°C 25,8°C 0,3°C 39,9°C 41,4°C 1,5°C

Figure 2.2 : Relevé de températures selon l’agencement du ventilateur et des capteurs

Conclusion : La solution retenue est donc celle où le ventilateur est plaqué contre le mur et les capteurs sont sur

les faces du haut et du bas, centrés (position A).

b. Positionnement des lampes

Nous recherchons la position des 4 lampes pour laquelle la température au sein de la boîte serait laplus élevée possible. Nous avons donc réalisé 3 essais pour des positions différentes :

Position A : Lampes dans les 4 coins Position B : Lampes situées au milieu des faces Position C : Lampes situées sur les faces en décalé

Nous avons alimenté les lampes avec le même ampérage (ici 2,55A) et la même tension (ici 13,2V)pendant un même intervalle de temps (ici 6 minutes). Voici le résultat de l’expérience :

T initiale T finale Temps

Position A 25,2°C 37,5°C 6 minPosition B 25,2°C 35,3°C 6 minPosition C 25,2°C 33,5°C 6 min

Figure 2.3 : Relevé de température selon la position des ampoules

Conclusion : La solution retenue est donc la position avec les lampes dans les 4 coins (position A).

C) Vérification expérimentale des hypothèses

a. Vérification de Tpint ≠ Tint

Nous avons placé les deux capteurs dans la boîte, l’un au fond et l’autre sur une des parois. Nousavons relevé leur température sur une durée de 30 min avec les ampoules et le ventilateur enfonctionnement, le but étant de vérifier si Tint est proche de Tpint.

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Tpint Tint

t=0 s 26,3 °C 26,5 °Ct=1800 s 48,2 °C 49,7 °C

Tableau 2.4 : Relevé de températures dans l’enceinte de la boîte

Même si les mesures extremales de l’expérience (t=0s et t=1800s) laissent supposer un écart detempérature de 0.5°C, ils augmentent de façon non négligeable pendant l’expérience, de l’ordre deplusieurs degrés.

Conclusion : On constate que Tpint et Tint sont sensiblement différentes pendant les expériences, ce qui valide

notre intention de prendre en compte la convection interne dans la boîte.

b. Vérification de la présence de conduction dans le système

On a placé les deux capteurs sur une même paroie en vis-à-vis, l’un à l’intérieur de la boîte, l’autre àl’extérieur, le but étant d’étudier s’il y a de la conduction au sein de la paroi. Nous avons relevé leurtempérature sur une durée de 30 min avec les ampoules et le ventilateur en fonctionnement, le but étantde vérifier si Tpext est proche de Tpint ou pas.

Tpint Tpext

t=0 s 25,9 °C 27,8 °Ct=499 s 33,2 °C 44,5 °C

Tableau 2.5 : Relevé de températures sur les parois de la maquette

Conclusion : Les écarts de température étant très élevés, on ne peut pas négliger la conduction au sein de la

paroi.

c. Etude de la réelle influence du rayonnement

Afin de faciliter les calculs, il est plus commode de négliger le rayonnement. Pour cela, nous avonsdécidé d’éliminer le rayonnement des ampoules (et donc de mesurer la température réelle de la pièce etnon la température ressentie) en plaçant du papier d’aluminium autour de chacune de celle-ci.

D) Résultats expérimentaux

a. Conditions expérimentales

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Le protocole expérimental doit être, dans la mesure du possible, le même pour chaque expérience.Les conditions initiales de température, le placement des capteurs et des ampoules, la puissance fourniepar les générateurs, la fréquence d’échantillonnage, le temps de mesure, etc…

Figure 2.6 : Récapitulatif des conditions expérimentales

Pour des raisons de manque de temps durant les séances ou de défaillances techniques (capteurs,alimentation), la durée des expériences n’est pas fixe et pour certaines, insuffisantes. En effet, des mesuresoptimales devraient se faire pendant environ 2 heures (une heure de chauffe et une heure derefroidissement). Malgré cela, nous pouvons dégager quelques tendances générales.

Dans le cadre d’un cycle simple (une chauffe et un refroidissement) les températures initiales sontcomprises entre 25°C et 28°C. Pour un cycle multiple (plusieurs chauffes et plusieurs refroidissements), lescycles suivants le premier repartent d’une température d’environ 30°C, car la boîte ne retombe pas à satempérature initiale. Les températures finales sont d’environ 53-54°C lorsque la durée d’acquisition lepermet.

b. Résultats obtenus

Figure 2.7 : Température dans la maquette au cours du temps

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Voici un exemple de profil de température obtenu à l’aide des mesures. On constate une chaufferapide durant le premier quart d’heure, précédant une augmentation plus lente de la température au coursdu temps. Celle-ci atteint le régime permanant au bout d’environ 4000 secondes (soit un peu plus d’uneheure), stagnant entre 53 et 54°C. A ce moment, afin de visualiser le refroidissement de l’enceinte de laboîte, on éteint les lampes (tout en maintenant la ventilation). On observe alors une décroissance de latempérature globalement similaire à la chauffe. En effet, une chute brutale puis une stabilisation autourd’un plateau se dessinent au cours du temps. Les constantes de temps (déterminées à l’aide de la méthodedes tangentes) respectives pour la chauffe et le refroidissement sont relativement proches :τchauffe=640 s et τ refroi=500 s

Figures 2.8 et 2.9 : Profils de température (chauffe et refroidissement) pour différentes acquisitions

II- Etude physique et simulation numérique

A) Modèle

a. Mise en équation du phénomène physique

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Système étudié On considère l’ensemble de la pièce : l’air est en mouvement grâce au ventilateur placé au centre de

la boîte. Il permet d’homogénéiser la température intérieure, c’est-à-dire, la température est la même dansla maquette.

Figure 2.10 : Schéma physique de la boîte

Hypothèses Température intérieure homogène Air incompressible, fluide parfait Puissance des lampes constante au cours du temps Sol isolant

Mise en équationOn considère trois types de transferts thermiques : la conduction, la convection et le rayonnement.

ConvectionOn considère deux convections : l’une issue du mouvement de l’air, animée par le ventilateur, à

l’intérieur de la pièce, de puissance thermique 1 et une autre issue du mouvement de l’air extérieure surles parois, de puissance thermique 2. La première est de type forcée et la seconde naturelle.

∫¿−TTp¿

∫¿(S1+S2+S3)¿φ1=−2h¿

φ2=−hext (2∗S1+2∗S2+S3)(Tpext−T ext)

Comme la convection entre l’air extérieure et les parois est de type naturel, hext sera déterminée

à l’aide de tables de paramètres préétablis.

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Pour trouver∫¿

h¿, il faut adopter une démarche expérimentale similaire à la phase 1, autrement

dit, effectuer un relevé de température à l’intérieur de l’enceinte, la superposer avec d’autres courbes

simulées afin de trouver un encadrement de∫¿

h¿.

ConductionAfin de simplifier l’étude théorique du système, nous considérons la conduction, issue du gradient

de température entre la température interne de la boîte et la température extérieure, à partir de la

résistance thermique du carton et du gradient de température : φ3=∆TR th , où ∆T=Tint−Text et

2∗S¿3

¿1+2∗S2+S¿

¿λ∗¿

R th=e¿

avec e l’épaisseur du carton et λ la conductivité thermique du carton.

RayonnementLe flux thermique issu du rayonnement est égal à la puissance fournie par la lampe dans la pièce. On

la note Pet on la considère constante.

Mise en équationEn appliquant le premier principe de la thermodynamique, on aboutit à l’équation :

ρair∗cpair∗V pièce∗dT

dt=φ1+φ2+φ3+P

b. Calcul des coefficients de convection et détermination des paramètres physiques

Coefficients de convection

L’idée directrice pour les deux calculs est d’utiliser en parallèle le nombre de Nusselt Nu=h∗lλ

(où l est la longueur caractéristique et λ la conductivité thermique du fluide considéré) et les relations

empiriques donnant Nusselt en fonction de nombre sans dimension.Pour obtenir le coefficient de convection naturelle, nous utilisons les coefficients sans dimension

suivants : nombre de Grashof et le nombre de Prandtl.

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On calcule un hext calculé pour le plafond et un hext calculé pour les parois latérales. Le choix

des relations empiriques de Nu est orienté par les valeurs de Gr et Pr .

hextMOYEN

=hexthorizontale

∗S3+hextvertiMOYEN

∗(2∗S1+2∗S2)2∗S1+2∗S2+S3 = 5.01 W .m

−2∗K−1

On fait de même pour ∫¿

h¿ mais comme il s’agit de convection forcée dans l’enceinte de la boîte

en carton, les relations empiriques de Nu seront fonction des nombres sans dimension Pr et ℜ .

Nous estimons la vitesse d’écoulement de l’air dans le carton à l’aide de deux sondes, une sonde Pito et unesonde de fil chaud. Les mesures étant peu précises, nous retenons la plage de vitesse suivante :

U Є [4 ;8 ]m .s−1

Aux vues des plages de valeurs de ℜ et Pr , la relation de Colburn est privilégiée. On obtient

alors :

∫¿=λairl0.023∗ℜ

0.8∗Pr1/3

h¿

Є [18.1;31.5 ]

Nous remarquons que hext est peu sensible aux variations des coefficients.

Paramètres physiquesLa plupart des paramètres physiques évoluent en fonction de la température. Néanmoins, la plage

de température sur laquelle ces paramètres varient est suffisamment fine pour que cette variation soitnégligeable. On les considère donc constant au cours du temps. Pour exemple, la capacité massique de l’airévolue de 1005 à 1008 J/(K.kg) entre 26°C et 55°C.

Coefficient de conductivité des parois : λ=¿ 0.07 W/(m.K)

Coefficient de convection extérieure : hext = 5.01 W/(m².K)

Coefficient de convection intérieur : ∫¿

h¿ Є [18.1;31.5 ] W/(m².K)

Masse volumique de l’air : air : ρair=¿ 1.184 kg/m3

Capacité massique de l’air : cpair = 1005 J/(K.kg)

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Puissance de l’ampoule : P = U*I = 0.09 W

Température à l’extérieur de la pièce : Text

Paramètres géométriques Surfaces de la boite : S1 = 0.047089 m², S2 = 0.065317 m², S3 = 0.065317 m² Volume de la pièce : Vpièce = 0.014173789 m3

Hauteur de la boîte : l=¿ 21.7 cm

Paramètres qui varient en fonction du temps Température à l’intérieur de la pièce : Tint

Température de paroi à l’intérieur de la pièce : Tpint

Température de paroi à l’extérieur de la pièce : Tpext

B) Comparaison modèle/expérimental

Afin de déterminer un modèle cohérent avec la réalité, nous avons, dans un premier temps,analyser les courbes obtenues. Celles-ci nous laissent supposer que la température évolue au cours dutemps comme un système du premier ordre, à la fois pour la phase de chauffe et la phase derefroidissement. Afin de valider cette supposition, nous avons superposé à l’aide du logiciel MATLAB descourbes expérimentales avec des simulations de premier ordre où le gain et la constante de temps sontdéterminés par tâtonnement. L’idée ici étant seulement de s’orienter vers le bon modèle.

Figures 2.11 et 2.12 : Exemple d’évolution de la température simulée (rouge) et expérimentale (bleue) pour unechauffe (gauche) et un refroidissement (droite) au cours du temps

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Figure 2.13 : |Temps simulé – Temps mesuré| pour la chauffe (bleue) et le refroidissement (rouge)

On constate qu’une fois le régime permanent, le différentiel de température entre la simulation et lathéorie ne dépasse pas 1.5°C, ce qui est tout à fait correct aux vues des imprécisions des capteurs, del’ordre du degré. La solution du premier ordre semble donc convaincante.

L’équation régissant le phénomène physique (établie dans la partie B) ) ne semble pourtant pasprédire un premier ordre. La présence de termes variant au cours du temps et dont la mesure sembledifficile comme Tpint et Tpext rend la résolution analytique du problème bien trop complexe. Il faut alorsémettre des hypothèses afin de simplifier le modèle, tout en restant le plus ‘’physiquement ‘’ réaliste.

Dans un premier temps, nous décidons de ne considérer que l’ensemble de la maquette, c’est-à-dire{boîte + carton}. Ainsi, les transferts thermiques appliqués à ce système se résument à la convectionnaturelle de l’air sur les parois de la boîte et la source interne de puissance issue de la chaleur dégagée parles ampoules. En d’autres termes, l’équation devient :

ρair∗cpair∗V pièce∗dT

dt=φ2+P

De plus, afin de coller au modèle du premier ordre, nous supposons que Tpext = Tpint = Tint. Onpeut alors résoudre l’équation analytiquement et obtenir une expression de la forme :

∫¿ (t )=(T0−T ∞−P

hext∗S0 )∗e−tτ +¿

T ¿

T ∞ + P

hext∗S 0

Ce modèle nous donne la courbe suivante

Figure 2.14 : Comparaison entre premier ordre simulé (vert) et courbe expérimentale (bleu)

On constate rapidement que ce modèle n’est pas pertinent. La constante de temps de ce modèle

τ=ρair∗cpair∗V pièce

hext∗S0 est de l’ordre de 1s, alors qu’elle devrait être de l’ordre de 650s. Ce modèle n’est

pas pertinent car trop simple et trop éloigné de la réalité. En effet, plusieurs hypothèses semblent

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aberrantes, comme l’égalité entre Tpint, Tpext et Tint. La figure montre l’évolution de la température àl’intérieur de la boîte et sur une paroi à l’extérieure de la boîte.

Cependant, on note que ce modèle dépend de la capacité thermique du système que l’on étudie,terme qui apparaît dans le temps caractéristique du premier ordre. Or justement, ce système est constituéde l’air à l’intérieur de la boîte et du carton ; il possède donc une inertie thermique qui n’est pas facile àcalculer. Il est donc fort probable que le Cp que l’on a utilisé ne corresponde pas à la réalité, ce qui pourraitexpliquer en partie l’écart considérable entre notre temps caractéristique mesuré expérimentalement etcelui « nécessaire » à un modèle pertinent.

Figure 2.15 : Température dans la maquette (rouge) et sur une paroi à l’extérieur de la boîte (bleu)

Bien que les capteurs ne permettent pas une mesure précise de température de paroi, on observequ’il existe un gradient de température important entre l’intérieur de la boîte et sa paroi extérieur. Il fautaffiner le modèle.

D’autres tentatives visant à ne prendre en compte que le transfert de chaleur par conduction, ouencore couplé avec la convection interne et/ou externe sont tout aussi infructueux et mènent à des

constantes de temps τ toujours trop faibles par rapport aux courbes expérimentales.

Nous décidons alors de repartir de zéro et de considérer deux systèmes pour notre modèle.Le premier principe de la thermodynamique appliqué uniquement sur l’air nous donne l’équation suivante :

ρair∗cpair∗V pièce∗dT

dt=φ1+φ3+P(1)

La convection naturelle n’est alors pas prise en compte. Le problème ici est que l’équation faitapparaître deux termes dépendant du temps, en l’occurrence Tpint et Tint. Nous avons constaté

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expérimentalement que ces grandeurs ne sont pas égales au cours du temps, il faut donc les dissocier. Ils’agit alors de trouver une expression analytique de Tpint au cours du temps.

Un premier modèle consiste à assimiler Tpint comme un premier ordre en t. On injecte alorsl’expression de Tpint dans notre équation et on constate que les solutions analytiques divergent, ce quin’est pas cohérent avec la réalité.

Nous trouvons dans la littérature des modèles assimilant la température dans une conduitemonodimensionnelle soumise à une conduction thermique, à un produit de deux fonctions, l’unedépendant du temps et l’autre de l’espace. Nous choisissons dans un premier temps de considérer Tpintfonction de deux variables, x et t, où t est le temps et x l’espace.

Figure 2.16 : Paramétrage de Tpint (x,t)

L’idée ici étant de ne s’intéresser qu’à Tpint(0,t), ie, la température de paroi interne qui nous bloquedans notre équation.

Un modèle suggère de considérer Tpint comme un produit de deux fonctions indépendantes

paramétrées par x et t, autrement dit, T pint ( x , t )=f ( x )∗g (t )+A . Plus précisément, g se présente comme

une exponentielle décroissante en t, f une somme de sinus et d cosinus en x et A une constante. Nousdécidons d’affiner le modèle en considérant A fonction de l’espace. On a alors :

T pint ( x , t )=A ( x )+(A 1∗cos (kx )+A2∗sinus (kx ) )∗e−w∗t

On obtient A ( x ) en se positionnant en régime stationnaire, c’est-à-dire t tendant vers l’infini, et

on obtient directement : A ( x)=T pint (0 ,∞ )+T pint (0 ,∞ )−T pint (e ,∞)

e∗x , où e est l’épaisseur du

carton.

Une première hypothèse consiste à considérer que ∫¿ (∞ )

T pint (0 ,∞ )=T ¿, et que

∫¿ (0 )

T pint (0 ,0 )=T ¿, ie, la

température de paroi est égale à la température de l’enceinte de la pièce au début de l’expérience et aubout d’un temps très long.

A l’aide des conditions initiales, nous pouvons exprimer le coefficient A1. Il n’est pas nécessaire dedéterminer A2 vu que la température de paroi ne doit être déterminée qu’en x = 0.

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On aboutit alors à l’expression suivante :

∫ ¿ (∞ )

∫¿ (0 )−T ¿

T¿∗e−w∗t

∫ ¿ (∞ )+¿

T pint (0 ,t )=T ¿

Cette expression est injectée dans l’équation (1) et nous aboutissant à une équation différentielle du

premier ordre uniquement fonction de ∫¿ (t )

T ¿.

La résolution analytique de cette équation est alors possible et nous obtenons enfin une expression de

∫¿

T ¿ lors d’une chauffe en fonction du temps, des paramètres du système, des conditions initiales et des

conditions limites :

∫¿ (∞)−T∫¿ ( 0)

1−w∗τ∗e−w∗t

T ¿

∫ ¿ (∞ )−¿

∫¿ (t )=K∗e−tτ +

P∗τρair∗cpair∗V pièce

+T ¿

T ¿

où K et τ sont des constantes déterminées et w un paramètre inconnu. Ils sont tous les trois

fonctions des paramètres physiques et géométriques du système ainsi que des conditions expérimentales.

L’expression de w , contrairement à K et τ , n’est pas indentifiable. Il constitue l’unique degré de

liberté du modèle adopté et représente l’influence de la convection naturelle sur la température interne. On adopte la même méthode pour la phase de refroidissement ; les seules différences résident dans

la suppression du terme en P (les lampes ne fournissent plus de chaleur au système) et le choix desconditions initiales.

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Figures 2.17 et 2.18 : Comparaison entre modèle simple en premier ordre (vert), modèle final choisi (rouge) [w =0.00137] et mesure expérimentale (bleu)

On constate que ce modèle est pertinent et se rapproche de la courbe expérimentale, à la foispour la phase de chauffe de la maquette et pour son refroidissement. On remarquera cependant que ce modèle mathématique soufre d’une incohérencemathématique puisque en régime permanent, le membre de droite n’est pas égal au membre de gauche.

Le modèle reste tout de même physiquement acceptable puisque

∫ ¿ (∞ )

P∗τρair∗cpair∗V pièce

≪T ¿.

Il s’agit maintenant d’analyser la sensibilité du paramètre w . Pour cela, on effectue plusieurs

tracés de courbes pour différentes valeurs. On constate que selon la valeur qu’il va prendre, la simulationva tendre à se rapprocher de la courbe réelle lors du régime transitoire ou lors du régime permanent. Ils’agit alors de se demander quel régime privilégier. L’idée directrice de ce projet étant l’asservissement dela température d’une pièce sur plusieurs heures voir une journée, le régime transitoire étant d’environ1500s, soit 25 minutes, il semble logique de privilégier le régime permanent qui, en outre, représentera laphase d’asservissement de la température, qui est l’aboutissement de ce projet.

Figures 2.19 et 2.20 : Comparaison entre modèle (rouge) et acquisition expérimentale (bleu) pour la chauffe(gauche : w = 0.00115) et le refroidissement (droite : w = 0.00132)

REGIME REGIME PERMANENT TRANSITOIRE

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Figure 2.21 : |Temps simulé – Temps mesuré| pour une chauffe (bleue) et un refroidissement (rouge)

On constate à l’aide de la Figure 16 que le régime transitoire voit d’importants écarts detempérature (environ 5°C), mais qu’une fois le régime permanent installé, ces écarts ne dépassent plus 1°C,pour les deux phases étudiés.

Figure 2.22 : |Temps simulé – Temps mesuré| pour w = 0.00190 (bleue) et w = 0.00115 (rouge) pour une chauffe

Lorsque w augmente, le pic d’écart diminue aux alentours de 2°C, mais en contrepartie, il stagnependant le régime permanent et demande beaucoup plus de temps pour descendre en dessous de 1°C.Cette solution n’est donc pas intéressante, sauf lorsqu’on ne veut s’intéresser qu’aux premiers instants desphases de chauffe ou de refroidissement.

On note que pour des conditions expérimentales équivalentes, le w optimal reste le même,

pour la chauffe ou le refroidissement.

Conclusion :

Nous avons obtenu une modélisation du comportement de l température évoluant à l’intérieur de lamaquette. Cette modélisation est valable sur plusieurs cycles chauffe/refroidissement (nous l’avons montrésur deux cycles). Cela nous permet d’appréhender la phase 3 qui est d’asservir cette température. Si nousavions à améliorer notre modèle, il faudrait donner un sens physique à ω, terme qui apparaît dansl’équation qui régit l’évolution de la température intérieure.

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Phase 3 : Modélisation de la température à l’intérieur d’une pièce

I. Maquette expérimentale

A) Matériel et méthodes

La maquette expérimentale est composée de quatre parties :- l’enveloppe isolante en polystyrène, - la pièce modélisée par une boite en carton (phase 2), - l’ensemble pains de glace + ventilateur pour permettre le refroidissement de la structure- l’asservissement électrique (cf phase 3 II.)

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Figure 3.1 : Schéma de la maquette avec isolant, vue de dessus

B) Protocole expérimental

i. On chauffe le système comme on le faisait dans la phase 2 pour qu’il atteigne une température T = Tc ii. On branche les lampes et le générateur sur notre circuit d’asservissement iii. On introduit une perturbation dans le système : les pains de glace iv. On vérifie que notre système d’asservissement fonctionne

II. Asservissement de la température

A) Schéma bloc

Figure 3.2 : Schéma bloc de l’asservissement

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B) Schéma électrique

Le schéma électrique de l’asservissement en température, se situe en amont de l’actionneur dans leschéma bloc.

Figure 3.3 : Schéma électrique de l’asservissement en température

Le circuit se compose de 4 parties distinctes permettant d'asservir la température, en définissant une tension consigne.

Tout d'abord, un montage suiveur permet d'avoir une tension de sortie avec une impédanceinfinie. Ensuite, l'amplificateur de tension permet d'augmenter les tensions récupérées afin de rendre lacomparaison la plus facile possible. Un comparateur simple, suit dans le montage, afin de comparer latension rehaussée à la tension consigne. L'AO sature ensuite en prenant des valeurs +/- 15V. Le transistorNPN agit comme une diode et bloque les tensions négatives (-15V) et ne restitue que les tensions positivestransmises par l'AO (+15V). Ainsi, la diode permet d'activer ou non le chauffage en fonction de la tensionreçue. Enfin, le signal est amplifié par l'amplificateur de puissance puis traité par le relais afin d'alimenterles lampes responsable du chauffage de la boîte.