Prétraitements locaux - 1 PRETRAITEMENTS 2ème PARTIE 1. OPERATEURS LOCAUX Signal dimage...

Prétraitements locaux - 1

PRETRAITEMENTS

2ème

PARTIE

1. OPERATEURS LOCAUX Signal d’image Opérations élémentaires - filtres RIF

2. RENFORCEMENT DU CONTRASTE Laplacien discret - paramétrage LoG / DoG - efficacité algorithmique

3. LISSAGE DES BRUITS Opérateurs de base Critères de comparaison Opérateurs adaptatifs, filtres récursifs Evaluation des performances

4. ALGORITHMIQUE AVANCEE Filtre polynomial : PAoG

FIN DE PRESENTATION

PRETRAITEMENTS LOCAUX


PROPRIETES DU SIGNAL D’IMAGE

OPERATEURS LOCAUX

0

L

C

Pixel G(l,c) + bruit

Signal non causal :

causalité G(l,c) dépend de { G(l-m,c-k) } m > 0 et k > 0 ( exemple signal fonction du temps )

dans l’image G(l,c) dépend tout autant de l’ensemble de ses voisins ( exemple : flou ) signal non causal

NB : le transfert des charges et la sérialisation du signal vidéo introduit une part causale indirecte …

Signal bruité :

sources de bruit diverses modèle physique complexe ( CCD seul, théoriquement vb=k.signal )

modèle simple 3 termes : bruit électronique-thermique bruit additif, indépendant du signal

bruit de « speckel » bruit dépendant du signal, multiplicatif, en image radar et en faibles niveaux de lumière

parasites EM, codage bruit impulsionnel, spatialement aléatoire : P% des pixels ont une valeur modifiée g ( si 255 et butées [0,255] : « salt & pepper noise » )


OPERATEURS LOCAUX ( 2 )

Détermination des paramètres de bruit :

G = Go . Bmult ( = 1, Etd) + Badd ( = 0, 2 = vb) + ( g ) . Bimp ( P% )

Bruit multiplicatifmoyenne = 1

uniforme sur étendue [1-Etd/2,1+Etd/2]

Bruit additifgaussien

Bruit impulsionnelBimp { 0,1}, probabilité de 1:P%

Z0 Z1

Z2 Z3

Dans Zi i =0…3, moyennes différentes, variances égales

terme multiplicatif négligeable terme additif de variance moyenne vb 12 bruit impulsionnel non quantifiable …

Analyse du profil d’une ligne ( section de l’image )


ANALYSE LOCALE DE l’IMAGE : CONTRASTE LOCAL ET BRUIT


Ligne 30 : section d’ensemble et coupe du chromosome

0 50 100 150 200 25080

100

120

140

160

180

200

220

240

Mise en évidence du bruit ( vb = 12 )

0 5 10 15 20 25 30 35 40 4580

100

120

140

160

180

200

220

240

Mise en évidence du contraste local ( colonnes 30 à 70 )

Eléments de comparaisondes opérateurs

- bruit : fluctuations - contraste local : pente et amplitude de transition


OPERATIONS ELEMENTAIRES : SIGNAL DISCRET 1D


Intégration méthode du trapèze h( g(i) ) : G

I( )

( )1 2. ( 1) ( ) terme causal

1 2.( ( ) ( 1)) terme anti-causal centré : 1 2.

1notation conventionnelle : ( ( )) .1 2 1 coefficients des échantillons, centrés sur ( )

4

h g i g i

h g i g i h h h

h g i g i

-

+ - +

= - + Þ

= + + Þ Þ = +

= Þ

g(i)

Dérivation ordre 1 d( g(i) ) :

( )( 1) ( ) terme causal

( ) ( 1) terme anti-causal centré : 1 2.

1soit : ( ( )) . 1 0 1

2

d g i g i

d g i g i d d d

d g i

-

+ - +

=- - + Þ

=- + + Þ Þ = +

= -

Dérivation ordre 2 d2( g(i) ) :

1 x g(i-1) + 2 x g(i) + 1 x g(i+1)

2 2( ( )) 1 2 1d d d d g i- +=- + Þ = -

NB : peut aussi être interprété comme

( ( )) 1 2.( ( ( 1) ( )) ( ( ) ( 1)))

( ( )) ( )

d g i g i g i g i g i

d g i h h d h- +

= - - + + + +

=- + »


SIGNAL 2D : FILTRES LINEAIRES RIF


Intégration ou lissage 2D, voisinage centré 3x3 :

1 4. 1 2 1 1 1 2 11 1

Intégration 3 lignes puis colonne 1 4. 1 2 1 2 . . 2 4 24 16

1 1 2 11 4. 1 2 1

H

¬

¬ Þ =

¬

Dérivation 2ème ordre laplacien, voisinage centré 3x3 :

1 0 1 0

2 2 1 2 1 2 1 4 1

1 0 1 0

d l d cD = + = - + - = -

Dérivation 1er ordre 2 composantes du vecteur gradient, voisinage centré 3x3 :

2 2 20 0 0 0 1 0

1 1. 1 0 1 . 0 0 0 transposé de

2 20 0 0 0 1 0

dl dc dc grad dl dc

-

= - = = ® = +uuuur


NORMALISATION DES COEFFICIENTS


Lissage :

Dérivation 1er ordre utilisation en détecteur :

Dérivation 1er ordre :

La réponse à un signal constant go doit être go somme des coefficients normalisés = 1

1. ( , ) ( , )

l cH c l c Cn c l c

Cn= ® =å å

En 1D la réponse à un signal g(i) = a.i doit être a 1

( ). 1 ( ).i i

D i c i i Cn c i iCn

Ä = = ® =å å

En 2D même considération pour chacune des composantes dl et dc : exemple de dl

ce qui est verifié pour le lisseur 3x3 : Cn = 16

( )1 2.( 1 ) (0 0) (1 ) 2 vérifié

adl g x a x xa Cn

Cn CnÄ = - - + + = ® =

Dans ce cas la réponse à un échelon d’amplitude a doit être a : exemple de dl

( )1( 1 ) (0 ) (1 ( )) 1 !

adl g xgo xgo x go a Cn

Cn CnÄ = - + + + = ® =


PROPRIETES DES FILTRES LINEAIRES


Autre interprétation des opérateurs locaux : filtres à réponse impulsionnelle finie ( RIF )

( , ) ( , ). ( , )

( , ) : réponse impulsionnelle à coefficients réels

, { ... } réponse impulsionnelle infinie (RII)

, { ... } réponse impulsionnelle finie de taille 2. 1

, {0... }

n ms l c H n m g l n c m

H n m

n m

n m N N N

n m N

= - -

Î - ¥ +¥ ®

Î - + ® +

Î

å å

filtre causal, ici sans objet®

Application du filtre à l’image :

convolution 2D s = H g

Filtres séparables : réduction des calculs

Si H(n,m) peut se mettre sous forme produit :

H = hl(n).hc(m) filtre séparable

exemple : le filtre lisseur, par construction

1 2 1 11 1 1

. 2 4 2 . 2 . .1 2 116 4 4

1 2 1 1

H = =

2 convolutions 1D en cascade :

s = ( hl g ) hc = g ( hl hc )

nbre produits cumulés : N 2 en 2D 2.N en séparable



Dualité opérateur local réponse impulsionnelle du filtre

Formellement les 2 présentations sont équivalentes, à un détail près :

- jeu de coefficients ou masque opérateur ordonné selon l,c croissants - réponse impulsionnelle est son symétrique / pixel central ( indices < 0 dans l’expression ) symétrie ou rotation de 180° de la matrice des coefficients

Coefficients et variance du bruit non corrélé entre pixels voisins, après filtrage

Variance du bruit en sortie de filtre : ( somme simple en 1D )

exemples :

2. ( , )n m

v vb h n m= å å

1 2 11

. 2 4 2 / 0.1416

1 2 1

0 0 01

. 1 0 1 / 0.52

0 0 0

0 1 0

1 4 1 / 20

0 1 0

H v vb

dl v vb

v vb

= Þ =

= - Þ =

D = - Þ =

Minimum à taille donnée sicoefficients égaux filtre moyenneur

1 1 11

3 3 .1 1 1 / 0.119

1 1 1

M x v vb= Þ =



0 1 0 1 0 1 1 1 11 1

. 1 4 1 0 4 0 .1 8 1 / 182 2

0 1 0 1 0 1 1 1 1

m v vb

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷D = ç - + - = - Þ =÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø

Amélioration du comportement vis-à-vis du bruit

- Laplacien modifié : combinaison de 2 laplaciens selon des axes à 45° :

- Opérateur dérivée 1ère : combinaison lissage puis dérivation ( ou inverse, commutatif )

Gain très limité !

1 1 0 11 1 1

( ) ( ). . 1 0 1 . 2 . 2 0 2 / 0.192 4 8

1 1 0 1

dl H dl hl hc Dl v vb

-

= Þ = - Ä = - Þ =

-forme approchée centrée

norme du gradient :

dx ( g H )= g dx (H) propriété des filtres linéaires

2 2grad Dc Dl= +uuuur

- Cascade d’opérateurs augmentation de la taille de l’opérateur

' taille 5x5

remarque : lisseur 5x5 le plus efficace moyenneur 5 5 / 0.04

H H H

M x v vb

= Ä ®

® Þ =


EFFET DE BORD


Opérateur convolution 2D : mode de traitement

C

L

Image source

Image destination

Cumul des produitsterme à terme

2.N+1 x 2.M+1coefficients

Bordure d’image 2xN lignes et 2xM colonnes non traitées mises à 0 ou recopiées …

C

L

2 convolutions 1D en cascade :

Traitementcolonne

Traitementligne


PRINCIPE DU TRAITEMENT

RENFORCEMENT DU CONTRASTE LOCAL

Principe en 1D continu :

Signal

d2 : dérivée seconde

Signal – k.d2

Transition

La différence des niveaux haut et bas de la transition est augmentée localement

renforcement du contraste visuel

Mise en œuvre en 2D discret :

s = g – k . ( g ) = C(k) g

k = paramètre de réglage de l’augmentation du contraste

Problème : le laplacien est sensible au bruit

[ voir signal 2D – coefficients & bruit ]

0 0

( ) 1 4.

0 0

K

C K K K K

K

-

= - + -

-

Noter que du fait des dépassements s doit être

bornée s = min( max( C(k) g,1 ) , 255 )


0 10 20 30 40 50 60 7080

90

100

110

120

130

140

150

160

170

REGLAGE DE « K »

RENFORCEMENT DU CONTRASTE LOCAL ( 2 )

Image d’origine et ajustementadaptatif de dynamique :

renforcement du contraste globalsans conservation des relations d’ordre

k = 1 k = 3

Renforcement du contraste local

s = g – k . ( g ) = C(k) g

gk = 1k = 3

Noter l’amplification du bruit

Section


4 convolutions 1D

Gx G’’y Gy G’’x + Op( g )

FILTRES GAUSSIENS


Pour éviter l’amplification du bruit : lissage préalable par filtre dont RII est gaussienne

Calcul des coefficients du filtre RII 2D LoG :

( )2 2

2 2

2 2 2 22 22 2 4 2 2

1, .exp2 2

1 . 1 .exp2 2

x yG x y

x y x yG GGx y

ps s

ps s s

æ ö+ ÷ç ÷ç= - ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

æ ö æ ö+ +÷ ÷ç ç¶ ¶ ÷ ÷- ç çD = + = - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷¶ ¶ ç çè ø è ø

Filtre gaussien séparable ( Huertas-Medioni ) :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2 2

3 2 2

1, . avec G .exp2 2

1. . avec G . 1 .exp2 . 2

uG x y G x G y u

u uG G x G y G y G x u

ps s

p s s s

æ ö÷ç ÷ç= = - ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷- ç ç¢¢ ¢¢ ¢¢D = + = - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø

1 convolution 2D

Gxy Op( g )



Différence de gaussiennes ( Marr – Hildreth ) DoG :

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1 2 2 22 21 21 2

1 2

1 2

1 1, , .exp .exp2 22 2

développement en avec et limité au premier ordre :

, , 2 . ,

et séparabilité de n

x y x yG x y G x y

G x y G x y G x y

G

ps pss s

s s s e s s e

es

æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ +÷ ÷ç ç÷ ÷- = - - -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷÷ ÷÷ç çè ø è ø

= + = -

- = D

( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2

( , , ) :

1 1, .exp . .exp2 . 2 .2 2

n

x y

x yG x y

s e

p s e p s es e s e

±

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷Þ = - -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷± ±ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç± ±è ø è ø

4 convolutions 1D

G1x G1y G2x G2y - Op( g )

Comparaison des charges de calcul tailles des filtres Gx G’x et G’’x

Pour petit / identique à LoG

Voir calculs :


EFFICACITE ALGORITHMIQUE : TAILLES DES FILTRES


Gx G’x et G’’x : filtres RII troncature des coefficients

Critère : 1er coefficient négligé < 1% du coefficient maximum ( en valeur absolue )

Gx 3 G’x 3.6 G’’x 3.8

Validité du critère : % de somme des coefficients négligés / somme des coefficients même signe

Gx 0.25 % G’x 0.17 % G’’x 0.48 %

Comparaison des filtres : nombre de produits cumulés coef.pixel

Convolution 2D : 7.6 x 7.6 ( similaire à G ’’ ) 58 2

Huertas Medioni : 2 x 6 ( G ) + 2 x 7.6 ( G’’ ) 27 Marr Hildreth : 4 x 6 = 24

Autrement : DoG différence de 2 lissages et si opérateur = Image lissée – Image ?

s = g – k.( g Gxy - g ) = g – k. g ( Gxy –1 )

Gxy séparable terme de comparaison 2 x 6 = 12 ( mais peut être DoG )

Puis s = g – k.Op( g )

s = g.( 1 + k ) – k.(( g Gx) Gy )

Voir propriétés :


Charges de calcul similaires de 25 et 22 */+ résultats visuels similaires ( sections )

0 10 20 30 40 50 60 7060

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

EXEMPLE : LOG ET G – 1


Zone de testde vb

Section

LoG 5x5 ( = .58 ) K = 0.6 G-1 2x11 ( = 1.4 ) K = 1.2

gLoGG - 1

Sections

Comportement vis-à-visdu bruit valeur de vb

Image initiale vb = 12Opérateur LoG vb = 55Opérateur G-1 vb = 44


FILTRES GAUSSIENS ET MOYENNEURS


Comportement vis à vis du bruit blanc additif : coeff 2

moyenneur 5x5 : 0.04 gaussien 1D = 1.4 taille 11 : 0.20 2D 11x11 : 0.04moyenneur 3x3 : 0.11 gaussien 1D = .85 taille 7 : 0.33 2D 7x7 : 0.11

Performances identiques, mais charges de calcul différentes …

Comportement fréquentiel ( fréquences spatiales ) : modules des TFD 2D

moyenneur 5x5 : sin(k.)/(k.) gaussien 11x11 : exp(-2.2)

Comportements similaires en BF, réponse irrégulière du moyenneur en HF


LISSAGE DES BRUITS

OPERATEURS DE BASE

Lissage du bruit : opérateur local traitant un échantillon d’image prélevé dans une fenêtre N x M réglages taille de l’échantillon, type d’estimateur du pixel central

Filtres RIF ou RII tronquée : statistiques paramétriques

{ } { }

1,

Echantillon : coefficients : 1... avec . impair répartition spatiale

pixel central .

1/ moyenne, sinon moyenne pondérée ( spatialement )

i i

i ii L

i

g c i L L M N

pc c g

c L i

=

= = Þ

= =

= " Þ

å

Filtres d’ordre

{ } { } { }1 2

1,

Tri de l'échantillon :

. répartition des coefficients sur l'ordre des valeurs des pixels

Filtre médian 1 ( 1) / 2, 0

Filtre extrémal 1 1 ou ,

i i L

i ii L

k i k

k

g x x x x

pc c x

c k L c i k pc x

c k L

=

® = £ £ £

= Þ

Þ = = + = ¹ ® =

Þ = =

åL

{ }

1Filtre inf : 0

Filtre sup :

11Moyenne tronquée ( 1) ( ) .2. ( 2. )

iL

k kk

pc xc i k

pc x

c k t L t pc xL t L t

== ¹ ®

=

Þ = = + - ® =- -åL

Temps de calcul !


LISSAGE DES BRUITS ( 2 )

CRITERES DE COMPARAISON

Image de test Moyenne 3x3 Médiane 3x3

Moyenne flou, mais optimale si bruit blanc additif

Médiane conserve les transitions élimine les détails fins, mais optimale si bruit impulsionnel

Critères de qualité

1 2 3 4 5 6 7100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

Section des images

MoyenneMédiane

- conservation des transitions :

|écarts| entre profil initial et profil lissé

- réduction de la variance de bruit sur gris uniforme :

variance après lissage / variance bruit tests avec bruit additif gaussien et bruit impulsionnel



OPERATEURS ADAPTATIFS : EXEMPLES

Inconvénient du filtre moyenneur : dégradation des transitions

Remède : inhiber le moyennage au voisinage des transitions

Critère de proximité : variance locale vb ( estimation du bruit )

Effet d’une transition g 2 = g 2 / 4

g

moy

Opérateur moyenne adaptative :

2 2 2

2

2 2 2

1,

( ) / avec

absence de transition : 0

transition : ( / 4) 1

1(1 ). . .i initial

i L

K vb vb

vb K

g vb g vb K

pc K g K pcL

s s s

s

s s

=

= - ³

» ® »

D = + D ® ® »

æ ö÷ç= - +÷ç ÷ç ÷÷çè øå

?

de K = 0 : moyennageà K = 1 : conservation du pixel initial

Autre forme : moyennage des valeurs proches de pc

{ } tels que contraste minimum significatif

élimination des pixels incohérents / pixel central( )

i i initialS g g pc Seuil Seuil

Spc

card S

= - < =

= Þ

å

sélection spatiale


-10 -5 0 5 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25


FILTRE EXPONENTIEL

Réponse impulsionnelle : ( ) .exp( . ) avec 0, si filtrage 2E x xb b b b= - > ] Z

Propriétés similaires au filtre gaussien :2

k

2 2

Filtre séparable : E( , ) .exp( .( )) ( ). ( )4.Filtre d'échelle : . ( , ) .exp( . . ) . ( . )2

1Module de TFD : décroissance régulière en

1 .

k k k

x y x y E x E y

kk E x k x E k E k x

b b

bb b b b

w b-

= - + =

= Þ = - =

+

Taille des filtres 1D :

En négligeant les coefficients < 1% du maximum étendue du filtre 4.6 -1

A même lissage du bruit blanc additif, donc Sc2 = coeff 2 identique :

Sc2 = 0.33 moyenne 3 gaussien = 0.85 taille 7 exponentiel = 1.16 taille 9

Sc2 = 0.20 moyenne 5 gaussien = 1.4 taille 11 exponentiel = 0.74 taille 13

Utiliser une autre forme du filtre exponentiel !

1/ β

β / 2



Filtre 1D RII, forme discrete sans troncature :

| | | |

0

A la constante de normalisation près, et avec exp( ) :

1( ) . 1 2. par symètrie

1 1 11 2. ( résultat retrouvé autrement plus loin )

1 1

i i i

i i

b

E i Cn b b bCn

bCn

Cn b b

b+¥ ¥

=- ¥ =

= -

= ® = =- + ®

æ ö -÷ç=- + ® =÷ç ÷çè ø- +

å å

Réduction du bruit blanc additif par le filtre exponentiel :

( ) .exp( . )E i cste ib= -

22 2 2. 2

2 30

2 3

1 (1 ).(1 ). ( ) . . 1 2. . 1 2.

1 (1 )

à / donné, on peut calculer :

(1 ).(1 ) .(1 ) 0 une solution réelle,

i

i i

v b bv vb e i vbCn b Cn

vb b b

v vb k b

b b k b

+¥ ¥

=- ¥ =

æ ö æ öæ ö - +÷ ÷ç ç ÷ç÷ ÷ç ÷= = - + ® = - + =ç ç÷ ÷÷ç ç ç÷ ÷÷ç ÷ç÷çç è øè øè ø - +

=

+ - - + = ®

å å

( ) ( )

1/32 2

2

voir calculs Maple

10 54. 6.(1 ). 3 81.

(1 3. ). 2.(1 9. ) 3.(1 ).k

t k k k

b t k t k k t

æ ö÷ç= + + + + ÷ç ÷çè ø

= + - - + +

NB : en 2D, 2 lissages successifs ligne-colonne considérer

Filtre_Expo.mws

/k v vb=



FORME RECURSIVE

( ) .exp( )i

E i cste b= -

La réponse impulsionnelle discrète du filtre exponentiel peut se mettre sous forme récursive :

Voir calculs :

exp( )

( ) ( ) . ( 1) pour 0 ( 1)

( ) .( ( 1) ( 1)) pour ( 1) 0

1( ) .( ( ) ( ))

1

b

sc i x i b sc i i N

sa i b x i sa i i N

bs i sc i sa i

b

b= -

= + - = -

= + + + = -

æ ö- ÷ç= +÷ç ÷çè ø+

L

L

2

( ) ( ) . ( 1) pour 0 ( 1)

( ) ( ) . ( 1) et ( ) (1- ) . ( ) pour ( 1) 0

sc i x i b sc i i N

sa i sc i b sa i s i b sa i i N

= + - = -

= + + = = -

L

L

2 balayages en // de sens opposés causal et anticausal : forme récursive parallèle

xsa

scs+

i

i 3 * et 3 + par pixel

Ou sous forme récursive cascade : 2 balayages en série de sens opposés

3 * et 2 + par pixelx sci i s



Effet de bord identique à la forme RII tronquée initialisation des filtres

-15 -10 -5 0 5 10 150.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

= 1.15 taille 9, effet de bord sur 4 pixels

réponse à un signal x(0) = 2, x(i) =1 pour i 0

sans initialisation : en bordures transition 0 1

avec initialisation : suppression de l’effet de bord

2

(0) /(1 )

( ) . ( ) pour 0 ( -1)

/(1 )

( ) . ( ) (1 ) . pour ( 1) 0

si x b

si x i b si sc i si i N

si si b

si sc i b si s i b si i N

= -

= + = =

= -

= + = - = -

L

L

Algorithme avec initialisation

Lissage d’image 2D :

Filtre séparable, ordre indifférent, commutatif :E(y) E(x)

Lissagecolonne

Lissageligne

Résultatlissage 2D


… et même méthode pour le lissage colonne C(i) :


But : éviter 2 initialisations par ligne et par colonne

Balayage alterné des lignes et colonnes passage de ligne / colonne sur même voisinage donc sans discontinuité majeure du signal

Chaque ligne / colonne est parcourue dans les 2 sens mais en ordre inverse (commutatif)

Exemple du balayage ligne L(i) :

Phase 1 : causal Phase 2 : anticausal

Initialisationpar 1er pixel

image

Initialisationpar dernierpixel lisséfin

fin

( ) ( ) . ( 1)Lc i L i b Lc i= + - ( ) ( ) . ( 1)La i Lc i b La i= + +

OPTIMISATION ALGORITHMIQUE



Phase 1 : causal Phase 2 : anticausal

Initialisationpar 1er pixel

image

Initialisationpar dernierpixel lissé

… et reste le coefficient multiplicateur (1-b)2 en ligne et en colonne, soit (1-b)4

Bilan des nombres d’opérations en 2D : lissage ligne 2 * et 2 +lissage colonne 2 * et 2 + soit 5 * et 4 + par pixelcoefficient final 1 *

( ) ( ) . ( 1)Cc i C i bCc i= + - ( ) ( ) . ( 1)Ca i Cc i bCa i= + +



OPERATEUR A SELECTION DE VOISINAGE

Opérateur d’origine : Nagao ( 79 ! )

Subdivision d’une fenêtre 5 x 5 en 9 secteurs angulaires, calcul de moyenne et variance dechaque secteur : pc = moy(k), k tel que var(k) = min( var(i) ) i = 0 … 8

Secteur i orientation i./4 i = 0 …7 ( secteur 8 central )

0

123

4

5 6 7

8 Propriétés, exemple en 1D :

- préservation des transitions

-élimination des pixels « hors norme » ( bruit impulsionnel )

Géométrie des secteurs complexe régularisation des secteurs

pc

S0S1

var( S0 ) < var( S1 )

pc = moy( S0 )S0

S1

pc



Nagao optimisé : 9 secteurs identiques 3 x 3 dans une fenêtre 5 x 5

S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8

NB :

- médiane ou moyenne tronquée au lieu de moyenne robustesse au bruit impulsionnel - transition raide non bruitée (hypothèse théorique) effet de dentelle sur la zone de contraste

0,8

1. k var( ) min (var( ))

9 iSkpc g k i

== ® =å

Intérêt : au cours du déplacement de l’opérateur en ligne : S0 S8 S4

Les calculs pour un secteur 3 x 3 sont utilisés en 9 positions différentes charge de calcul S0 S8 S4

Même colonne image



EVALUATION DES PERFORMANCES : TRANSITIONS

Image de test 100 x 61 : transition 100-200 faible bruit gaussien additif vb = 1

0 2 4 6 8 10 12 14 16100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

Profil lissé moyen sur 100 lignes

Opérateurs : médiane 5x5 : med5 2 moy.pondérée 5x5 vb = 16 : mop5-16 2 nagao 5x5 : nag 7 moyenne tronquée 5x5 t = 3 : mtr5-3 56 gaussien 11x11 ( = 1.4) : gau-1.4 67 moyenne 5x5 : moy5 74 exponentiel récursif ( = 0.74) : exp-.74 86

moy5med5exp-.74nag

( )c

1Critère : . (image bruitée lissée) profil non bruité

100 l

æ ö÷ç ÷ç -÷ç ÷÷çè øå å

médiane et moyenne pondérée respectent intégralement le profil

gaussien, moyenne et exponentiel créent un flou

nagao renforce le contraste ( cause du critère = 7, voir profils )



EVALUATION DES PERFORMANCE : BRUIT

Image de test I0 : 300 x 300 I1 : I0 + bruit additif gaussien = 4 vb 16 I2 : I1 + bruit impulsionnel p = 3% 20 ( 5. ) vb 29 I3 : I1 + bruit impulsionnel p = 6% 28 ( 7. ) vb 63

Critère sur image Ik :

C = var(Ik lissée) / var(Ik)

I1 I2 I3

moy5 0.046 0.043 0.041

med5 0.066 0.040 0.019

mop5-16 0.071 0.30 0.60

mtr5-3 0.048 0.030 0.016

gau-1.4 0.046 0.044 0.041

exp-.74 0.044 0.042 0.039

nag 0.14 0.091 0.056

Classe 1 : C 0.04 valeur théorique ( moy5, gau-1.4, exp-.74 )

Classe 2 : C avec bruit impulsionnel C 0.04 ( mop5-16 )

Classe 3 : C avec bruit impulsionnel ( med5, mtr5-3, nag )

NB : nagao sélectionne une moyenne 3x3 parmi 9 valeur de C plus élevée



EXEMPLE : REPRESENTATION 3D

Moyenne 5x5

Médiane 5x5 Nagao



EXEMPLE : IMAGE REELLE

Moyenne 5x5

Médiane 5x5 Nagao


ALGORITHMIQUE AVANCEE

FILTRE POLYNOMIAL : PAoG

Le filtre gaussien est largement utilisé mais :

sa réponse impulsionnelle tronquée ( RII RIF ) est étendue, il n’a pas de forme récursive, plus efficace.

approximation par une forme plus simple « Polynomial Approximation of Gaussian »

Filtre PAoG : réponse impulsionnelle finie 1D

[ ]

2 2Filtre gaussien discret : ( , ) .exp( / 2. )

dans 3. 3. , avec normalisation telle que ( , ) 1

Filtre polynomial : ( , ) .( 2 ).( 1 ). 3.

g

g

p

G k C k

k C G k

P k w C w k w k

s s

s s s

= -

- =

= + - + - -

åL

( )

[ ]

2 (2. 3). .( 3)

entier positif

dans , ( , ) nul en dehors, avec normalisation par

p

k w k w w

w

k w w P k w C

+ + + +

- L

( )

( )3. 2

3.

5 / 2. .( 1).( 2).( 3).(2. 3)

1Par minimisation de l'erreur quadratique : . ( , ) ( , )

(2.max( ) 1). (0, )

0.3217 0.4789 ( 3. 70 soit 23 )

pC w w w w w

Eq G k P k wk G

w w w

s

ss

s

s s s-

= + + + +

= -+

Þ = + < " < »

å

En fait ceil( 3.σ )


ALGORITHMIQUE AVANCEE ( 2 )

Précision de l’approximation :

( )3. 2

3.

1Evaluation par : . ( , ) ( , )

(2.max( ) 1). (0, )

1et par l'erreur maximale : .max ( , ) ( , )

(0, ) k

Eq G k P k wk G

Em G k P k wG

s

ss

s

ss

-= -

+

= -

å

0 2 4 6 8 10 12 140

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5Eq (rouge) - Em (bleu)

Eq < 1 % Em < 3 %pour w ≥ 2

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2Gauss (bleu) - PAoG (rouge)

w = 5σ = 2.1

Réponses impulsionnelles( erreur max pour faibles valeurs )

Précision pour w : [ 1 … 13 ] soit σ : [ 0.8 … 4.7 ]



Efficacité du lissage vis-à-vis du bruit :

Evaluation par la somme quadratique des coefficients de la RIF : v/vb = Σ coeff2

pour filtre gaussien, PAoG, et par comparaison pour moyenne de largeur ( 2.w+1 )

0 2 4 6 8 10 12 140

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4Gauss (bleu) - PAoG (rouge) - Moy (noir)

w : [ 1 …13 ]σ : [ 0.8 … 4.7 ]

Efficacité PAoG / gaussien : 94 à 98 %

PaoG est une bonne approximation d’unfiltre gaussien, RIF moins étendue ( w < 3.σ )

de plus PAoG possède une forme récursive,strictement causale : 1 seul sens de balayage !

( )

2 1

1 5

2 2

1 1

1

.(1 ). ( )( ) .

(1 )

où : 30 / .( 1).( 2).( 3).(2. 3)

et : ( ) .( )

( 3).( )

(2. 3).( )

w w

w w

z z N zP z Cp

z

Cp w w w w w

N z w z z

w z z

w z z

- -

-

+ - -

+ - -

-

+=

-

= + + + +

= -

- + -

+ + -



( )

2 1

1 5

1 2

1

1

1

1

1

.(1 ). ( )( ) . ( ) ( ). ( )

(1 )

1( ).(1 ) . ( ) . ( )

2( ).(1 ) 1( )

3( ).(1 ) 2( )

4( ).(1 ) 3( )

5( ).(1 ) 4( )

( ) .(1 ). 5( )

z z N zP z Cp Y z P z X z

z

T z z z N z X z

T z z T z

T z z T z

T z z T z

T z z T z

Y z Cp z T z

- -

-

- -

-

-

-

-

-

+= =

-

- =

- =

- =

- =

- =

= +

PAoG RECURSIF CAUSAL

( )( )

( )

( ) . ( ) ( 4)

( 3). ( 1) ( 3)

(2. 3). ( 1) ( 3)

nx i w x i w x i w

w x i w x i w

w x i x i

= + - - -

- + + - - - -

+ + - - -

( )

1( ) ( ) 1( 1)

2( ) 1( ) 2( 1)

3( ) 2( ) 3( 1)

4( ) 3( ) 4( 1)

5( ) 4( ) 5( 1)

( ) . 5( ) 5( 1)

t i nx i t i

t i t i t i

t i t i t i

t i t i t i

t i t i t i

y i Cp t i t i

= + -

= + -

= + -

= + -

= + -

= + -

Transformée en z Domaine temporel


00 (0) -1 ( -1)

( 4) ( )

( 3) ( -1)

( 3)

( 1)

i x x i N xn X N

x i w x i w

x i w x i w

x i

x i

= = = =

- - +

- - +

-

-


- les pixels doivent arriver dans l’ordre pour tous les échantillons ( commencer à io = –w pour nx(i) )

t1(io) = t2(io) = t3(io) = t4(io) = 0

t5(io) = t5(io-1) = x0 / 2.Cp

- tous calculs en entiers car poles sur le cercle unité

zones d’initialisation et de fin imposées, contraintes :

4 * et 11 + par pixelx yi

Balayage causal unique : nombre d’opérations

Conditions initiales et finales : gestion de l’effet de bord

à comparer à 6.σ + 1 produits cumulés pour gaussien RIF :

Dès que w =2 le nbre totald’opérations est plus réduit,et du même ordre pour w = 1

xxo xn

w-(2.w+4)



PAoG : DERIVEES D’ORDRE 1 ET 2

( )( )

( )

( ) . ( ) ( 4)

( 3). ( 1) ( 3)

(2. 3). ( 1) ( 3)

nx i w x i w x i w

w x i w x i w

w x i x i

= + - - -

- + + - - - -

+ + - - -

( )

1( ) ( ) 1( 1)

2( ) 1( ) 2( 1)

3( ) 2( ) 3( 1)

4( ) 3( ) 4( 1)

5( ) 4( ) 5( 1)

( ) . 5( ) 5( 1)

t i nx i t i

t i t i t i

t i t i t i

t i t i t i

t i t i t i

y i Cp t i t i

= + -

= + -

= + -

= + -

= + -

= + -

Les opérations Tk(z).(1-z-1) = Tk-1(z) sont en fait

des intégrations les dérivées d’ordre 1 et 2 sont donc directement disponibles en t4 et t3

1

1

1

Ordre 1 : ( ) . 4( )

normalisation en dérivateur : 2.

normalisation en détecteur : 24. .(2. 3) / 30

yd i C t i

C Cp

C Cp w

=

=

= +

( )2

2 1

Ordre 2 centrée : 2( ) . 3( ) 3( 1)

normalisation : / 2

centrage : décalage dans sens causal

1 sur les indices du calcul de ( )

yd i C t i t i

C Cp C

nx i

= + -

= =

+


RETOUR AU PLAN

FIN DE PRESENTATION

FIN DE PRESENTATION


DEVELOPPEMENT AU 1ER ORDRE EN « »

FILTRE DOG

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2

1 2 2 22 21 21 2

2 3

1 2

3

3

1 1, , .exp .exp2 22 2

avec et Taylor . . .2! 3!

22 . .

3!

1 . 1

x y x yG x y G x y

G G G G G

G G G G

G

ps pss s

e es s e s s e s e s e s s s

es e s e e s s

sps

æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ +÷ ÷ç ç÷ ÷- = - - -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷÷ ÷÷ç çè ø è ø

¢ ¢¢ ¢¢¢= + = - Þ + = + + + +

¢ ¢¢¢+ - - = + +

-¢ = -

L

L

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

1 2 3 2 2

1 2 1 2

.exp2 2

2au premier ordre : , , . 1 .exp2 2

, , 2 . , et séparabilité de ( , ) et (

x y x y

x y x yG x y G x y

G x y G x y G x y G x y G x

s s

eps s s

es

æ ö æ ö+ +÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç-÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø

æ ö æ ö+ +÷ ÷ç ç÷ ÷- ç ç- = - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø

Þ - = D

( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 2

, ) :

1 1, .exp . .exp2 . 2 .2 2

n

y

x yG x y

p s e p s es e s e

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= - -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷± ±ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç± ±è ø è ø


PROPRIETES

( ) ( )( )22

k2 2

2k2

3

1 .1 1G , .exp si . G , . .exp2 2 .2 2

( ) . ( . )G ( , ) . ( . , . )

donc ' ( ) . '( . ) et de façon similaire ( ,

'' ( ) . ''( . )

k k

k

kk

k

x k xx x k

k

G x k G k xx y k G k x k y

G x k G k xG x y

G x k G k x

s s s sps p ss s

æ öæ ö ÷ç÷ç ÷÷ çç= - = Þ = - ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷÷ç ÷çè ø è ø

==

Þ = ÞD

=4) . ( . , . )k G k x k y= D

Modification des réponses impulsionnelles en fonction de :

Conséquence : relation entre et échantillonnage G(x) = filtre dit « d’échelle »

si k entier, avec x(i) les échantillons du signal et CG(i) les coefficients de la RII tronquée :

( ). ( ) . ( . ). ( . )ki i

CG i x i k CG k i x k i=å å

0 2k …kCG(ki)

x(ki)

CGk(i)

x(i)1 2 …0

x(ki) est de taille k fois x(i) par insertion de k zérosentre les échantillons

La réponse à un filtre de paramètre k. sur un signal à l’échelle « k » est, à un facteur k près, celle du du filtre de paramètre sur le signal à l’échelle 1


0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

PROPRIETES ( 2 )

Exemples : deux valeurs de 0.5 et 1.5 ( k = 3 )

Réponses pour un créneau de 9 pixels

= 0.5 = 1.5

Dilatation d’échelle Contraction d’échelle

référence = 0.5

référence = 1.5

Créneau dilaté par insertion d’un 0 de part etd’autre de chaque échantillon, lissage = 1.5,puis ré-échantillonnage 1 pixel sur 3 idem.

Créneau sous-échantillonné 1 pixel sur 3, lissage = 0.5, puis remise à l’échelle d’originepar réplication de chaque pixel à gauche et àdroite idem à la discrétisation près.


FORME RECURSIVE

Décomposition du filtre 1D discret :

11

A la constante près, et avec exp( ) :

1( ) si 0 ( ) ( ).(1 . ) ( )

1 .partie causale : ( ) ( ) . ( 1)

1( ) si 0 ( ) 1 ( ).(1 . ) . . ( )

1 .partie

i

i

b

Ec i b i TZ Ec Sc z b z X zb z

sc i x i b sc i

Ea i b i TZ Ea Sa z b z b z X zb z

b

--

-

= -

= ³ ® = ® - =-

Þ = + -

= < ® = - ® - =-

Þ anticausale : ( ) .( ( 1) ( 1))

D'où :

( ) .( ( ) ( )) avec telle que le gain soit unitaire : réponse à entrée

. /(1 ) .(

. . . /(1 )

sa i b x i sa i

s i cste sc i sa i cste Go Go

sc Go b sc sc Go bcste sc s

sa bGo b sa sa bGo b

= + + +

= +

= + ® = -Þ +

= + ® = -1

)1

ba Go cste

b

-= Þ =

+

Forme récursive parallèle du filtre exponentiel :

( ) ( ) . ( 1) pour 0 ( 1)

( ) .( ( 1) ( 1)) pour ( 1) 0

1( ) .( ( ) ( ))

1

sc i x i b sc i i N

sa i b x i sa i i N

bs i sc i sa i

b

= + - = -

= + + + = -

æ ö- ÷ç= +÷ç ÷çè ø+

L

L 2 balayages en // de sens opposés causal - anticausal

( ) .exp( . )E i cste ib= -

Exclusion de i = 0


( 1) ( ) 0(0) /(1 )

( ) (0) 0

( ) ( ) 0( 1) /(1 )

( ) ( 1) 0

iniini

iniini

sc sc sc i isc x b

x i x i

sa N sa sa N i isa sc N b

sc N i sc N i

- = = - " >Þ = -

- = " >

= = + " >Þ = - -

+ = - " ³

FORME RECURSIVE ( 2 )

Forme récursive cascade : 2

1 1

2 21

2 2

1 1 . 1 1( ) . .

1 1 . 11 . (1 . ).(1 . )

1 1( ) (1 ) . . (1 ) . ( ). ( )

1 .1 .

( ) (1 ) .( ( ). ( )). ( ) (1 ) . ( ). ( ) avec ( ) ( ). ( )

D'où :

( )

b b z b bE z

b b z bb z b z b z

E z b b Ec z Ea zb zb z

S z b Ec z X z Ea z b Ea z Sc z Sc z Ec z X z

sc i

- -

-

æ ö- - -÷ç= + =÷ç ÷÷ç+ - +è ø- - -

= - = ---

= - = - =

2

( ) . ( 1) pour 0 ( 1)

( ) ( ) . ( 1) et ( ) (1- ) . ( ) pour ( 1) 0

x i b sc i i N

sa i sc i b sa i s i b sa i i N

= + - = -

= + + = = -

L

L

Même dénominateur

Conditions initiales pour limiter l’effet de bord :

2 balayages successifs en sens inverses

Etat permanent atteint en bordure d’image

Prétraitements locaux - 1 PRETRAITEMENTS 2ème PARTIE 1. OPERATEURS LOCAUX Signal dimage...

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