Notions d’inertie

Etude dynamique théorique préalable On considère le vantail d’un portail auquel on peut fixer des masses.

La géométrie des masses nous permet d’écrire la matrice d’inertie de l’une d’elles :

Les dimensions des masses sont : � � 10��� � 3��� � 42,5��

La masse est � � 10��

���, ����������� � �.���������� � ���12 0 0

0 ��� � ���12 00 0 ��� � ���12 ��

�����

D’où la matrice d’inertie, applications numériques faites :

���, ����������� � �0,151 0 00 0,158 00 0 0,009" en kg.m²

On peut placer ces masses en différents points, faisant varier ainsi l’inertie de l’ensemble en mouvement.

On applique donc le théorème de Huygens pour déterminer l’inertie globale ramenée autour de l’axe de rotation

du vantail.

Le moment d’inertie du vantail seul autour de son axe de rotation est de 7,3��. �² (déterminé à l’aide d’un

modeleur volumique)

L’inertie de l’ensemble vantail+masses va donc s’exprimer sous la forme :

�∆ � 7,3 � 0,009 � 10. %² où % représente la distance à l’axe de la masse ajoutée.

On peut négliger l’inertie propre de la masse pour ne retenir que l’expression :

�∆ � 7,3 � 10. %² De plus, outre le paramètre %, on peut aussi faire varier le nombre � de masses accrochées ce qui permet d’écrire

l’expression de l’inertie globale ramenée à l’axe de rotation du vantail :

�∆ � 7,3 � �. 10. %�

On note donc que l’inertie varie linéairement avec la masse, mais varie avec le carré de la distance. C’est ce que

nous allons tenter de faire sentir aux étudiants.

On lâche le portail avec une vitesse initiale raisonnable : &' � 12()/�+, (soit un tour en 5 secondes) donc -' � 1,26)�%//.

On fixe un couple de freinage 01 � 250&. �

Le théorème de l’énergie-puissance appliqué au vantail et ses masses, dans son mouvement de rotation, nous

conduit à la relation suivante : 01 � �∆. -3

La première intégration de cette relation nous donne :

-�(� � 01�∆ . ( � -'

La durée du mouvement se calcule aisément :

(1 � 2 �∆01 . -'

La durée du mouvement dans la phase de freinage du vantail varie donc linéairement avec la masse, et varie avec

le carré de la distance des masses ajoutées.

On construit alors un tableau à deux entrées, qui donne la durée du mouvement (en secondes) en fonction des

deux paramètres choisis.

tf Position 1 Position 2 Position 3 Position 4 Position 5

k=1 0,194 0,224 0,274 0,344 0,435

k=2 0,204 0,264 0,364 0,505 0,686

k=3 0,214 0,304 0,455 0,666 0,937

k=4 0,224 0,344 0,545 0,827 1,189

k=5 0,234 0,384 0,636 0,988 1,44

La courbe obtenue est représentée ci-dessous

Afin de bien noter l’influence de la masse et de sa position, on peut tracer deux courbes en

des deux paramètres :

Durée du mouvement pour une position donnée

On note bien que la durée de freinage

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

P1P2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1

dessous :

Afin de bien noter l’influence de la masse et de sa position, on peut tracer deux courbes en

Durée du mouvement pour une position donnée (position 5), en fonction du paramètre

varie linéairement avec la masse !

P3P4

P5

Temps de freinage

2 3 4

P5

Afin de bien noter l’influence de la masse et de sa position, on peut tracer deux courbes en fixant chaque fois l’un

, en fonction du paramètre

M1

M2

M3

M4

M5

P5

5

Durée du mouvement pour une masse donnée (k=5), en fonction du paramètre 4

On note que la durée de freinage admet une branche parabolique.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1 2 3 4 5

M5

Positionnement pédagogique de l’activité :

Série de TP portant sur les centres d’intérêts

CI6 : Modéliser les actions mécaniques

CI7 : Modéliser prévoir et vérifier les performances statiques des systèmes

Les sujets de cette série de TP sont :

TP1 : Etude statique d’un système bielle-manivelle, en introduisant une loi de PME issue d’une mesure de

pression dans un cylindre moteur

TP2 : Ouvre Portail BFT : Etude du Limiteur de couple & approche inductive de l’inertie d’un solide

TP3 : Suspension de Moto BMW

TP4 : Direction Assistée Diravi : Etude du vérin d’assistance et du système de durcissement de la direction à

l’aide d’une came

TP5 : Barrière Sympact : étude du couple moteur nécessaire en fonction de la position de la barrière

Les TP 2 et 4 font conduire à l’élève des démarches semblables, les TP 3 et 5 aussi. Sur l’ensemble de cette série

de travaux pratiques, chaque groupe d’élève traitera donc 3 TP :

Série TP5 Semaine 1 Semaine 2 Semaine 3 Semaine 4

Groupe 1 TP 1 TP 2 TP 3

Sy

nth

èse

de

s T

P

Groupe 2 TP 2 TP 5 TP 1

Groupe 3 TP3 TP 1 TP 4

Groupe 4 TP 1 TP 4 TP 5

Groupe 5 TP 4 TP 3 TP 1

Groupe 6 TP 5 TP 1 TP 2

Manipulations de la partie inductive : Le système utilisé est donc l’ouvre portail présenté ci-dessous :

On désaccouple la liaison pivot entre le bras de poussée (qui transmet le mouvement du moto-

réducteur) et le vantail.

On règle le limiteur de couple à la valeur de 5 daN.m (application directe des activités déductives

précédemment menées).

On demande à l’élève de lancer à la main le portail à une vitesse modérée (en regardant sur l’écran de

l’ordinateur les valeurs de l’acquisition pendant la manipulation).

Sur les courbes obtenues, l’élève pourra aisément identifier la phase de mise en mouvement du vantail (son

lancer) et la phase de mouvement libre du vantail (le freinage à couple constant).

Il pourra ainsi :

décrire son ressenti quant à la phase de lancer, s’il doit atteindre la même vitesse pour différents

chargements du portail ;

exploiter les résultats de la mesure en concluant sur le lien entre le nombre de masses mises en place sur

le vantail et le temps nécessaire à l’arrêt du vantail ;

Potentiomètre de mesure

de la position du vantail

Limiteur de couple à

disques frottants

Liaison

désaccouplée

Application complémentaire pour les élèves les plus rapides :

On a préparé la modélisation de l’expérience précédente à l’aide d’un modeleur volumique et d’un logiciel de

calcul associé. On peut garantir les hypothèses de liaisons parfaites et de couple constant pour le limiteur.

On demande à l’élève de relever les mêmes grandeurs que lors de la phase de manipulation.

On vérifie dans un premier temps l’ordre de grandeur des résultats acquis par la manipulation. Cela permet à

l’élève de valider le modèle proposé.

Puis on lui demande de réaliser les simulations pour une seule masse, dans trois positions différentes (la

distance entre la masse et l’axe de rotation du vantail varie).

On attend de l’élève qu’il conclue sur l’influence d’un autre paramètre (la distance), et sur la non linéarité de

ce second paramètre.

Modélisation du limiteur de couple présent sur le système :

Paramètres de simulation :

Résultats pour 3 masses :