Pratique du calcul sismique

50 €

Conçu et édité sous la direction de Victor Davidovici, ce guide d’application du calcul sismique croise l’expérience des auteurs avec les exigences de l’Eurocode 8.

•• Dans le premier chapitre, Actions•sismiques•et•réponses•des•structures, Dominique•Corvez se propose de faire le lien entre le comportement dynamique des bâtiments et l’action sismique, sous forme de spectres ou d’accélérogrammes. Les notions d’amortissement et de ductilité sont également développées.

•• Dans le deuxième chapitre, Méthodes•de•calcul, Victor•Davidovici – qui a coordonné l’ouvrage – expose l’utilisation des méthodes de calcul modale et statique équivalent, depuis la stra-tégie du calcul sismique jusqu’à la validation des résultats ; il s’agit du domaine linéaire. La modélisation des structures, celle des masses et le détail de l’interaction sol-structure sont également présentés.

•• À partir d’une explication théorique suivie d‘exemples d’application, Shahrokh•Ghavamian et Véronique•Le•Corvec mettent en évidence, dans le troisième chapitre intitulé Approche•non-linéaire•:•pushover, le coefficient de comportement et le calcul des marges.

•• Dans le quatrième chapitre, Calcul•du•ferraillage•à•partir•des•éléments•finis, Alain•Capra réactualise la méthode très utilisée par tous les logiciels pour la détermination des sections d’armatures. Le développement théorique sera très utile à la compréhension de la méthode et à la mise à jour des logiciels correspondants.

•• Dans le cinquième et dernier chapitre, Pratique•des• logiciels•de•calcul•sismique, Claude•Saintjean regroupe le retour d’expérience des diverses astuces de modélisations ainsi que celui de l’utilisation des logiciels les plus courants dans les bureaux d’études.

Alain•Capra | Ancien directeur scientifique de Vinci Construction Grands Projets ; consultant chez Dodin/Campenon-Bernard — [email protected]

Dominique•Corvez | Ingénieur-architecte, directeur technique BFUP et Ductal chez Lafarge — [email protected]

Victor•Davidovici | Président d’honneur de l’Association française de génie parasismique ; consultant, Dynamic Concept — [email protected]

Shahrokh•Ghavamian | Directeur associé de NECS (Dr, Ph.D., Ing.) — [email protected]

Véronique•Le•Corvec | Ingénieur de structure (Ph.D., Ing.), NECS — [email protected]

Claude•Saintjean | Spécialiste des calculs dynamiques à la Direction des techniques et des méthodes de Socotec — [email protected]

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Pratique du calcul sismique

Autres•guides•d’application•de•l’EC8•dans•la•même•collection,•en•coédition•Eyrolles/Afnor•: A. Billard, Risque sismique et patrimoine bâti. Comment réduire la vulnérabilité : savoirs et savoir-faire, 2014 • C. Saintjean, Introduction aux règles de construction parasismique. Applications courantes de l’EC8 à la conception des bâtiments, 2014 • W. & A. Jalil, Conception et analyse sismiques du bâtiment. Guide d’application de l’EC8 à partir des règles PS 92/2004, 2014 • X. Lauzin, Le calcul des réservoirs en zone sismique, 2013 • A. Capra, A. Godreau, Ouvrages d’art en zone sismique, 2012 • V. Davidovici, S. Lambert, Fondations et procédés d’amélioration du sol. Guide d’application de l’EC8, 2013 • Y. Benoit, B. Legrand et V. Tastet, Calcul des structures en bois. Guide d’application des Eurocodes 5 & 8, 3e éd., 2014.

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Sous la direction de Victor Davidovici, avec Dominique Corvez, Alain Capra, Shahrokh Ghavamian, Véronique Le Corvec et Claude Saintjean

PublicsProfessionnels et futurs professionnels•du•bâtiment : ingénieurs des bureaux d’étude et maîtres d’œuvre des entre-prises de construction, enseignants•et•étudiants de la filière universitaire, for-mateurs et stagiaires de la formation•continue. P

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Couverture (droits réservés) : ferraillage d’extrémité de murs en béton armé, modéli-sation numérique de la fonderie de Mulhouse réhabilitée, isolateurs sismiques, hôpital de Nice, isolateur sismique avec vérin provisoire.

Guide d’application de l’Eurocode 8

calcul sismiquePratique du

Sous la direction de Victor Davidoviciavec Dominique Corvez

Alain CapraShahrokh GhavamianVéronique Le Corvecet Claude Saintjean

Réalisation : Hervé Soulard

Sous la direction de

Victor Davidoviciavec

Dominique Corvez Alain Capra

Shahrokh Ghavamian Véronique Le Corvec

Claude Saintjean

Pratique du calcul sismique

Guide d’application de l’Eurocode 8

3e tirage 2015, avec nouvelle présentation

En application de la loi du 11 mars 1957, il est interdit de reproduire intégralement ou partiellement le présent ouvrage, sur quelque support que ce soit, sans l’autorisation de l’Éditeur ou du Centre Français d’exploitation du droit de copie, 20, rue des Grands Augustins, 75006 Paris.

La première édition du présent ouvrage est parue en 2013 sous l’ISBN 978-2-212-13582-4.À l’occasion de ce troisième tirage, elle bénéficie d’une nouvelle couverture. Globalement inchangé, le texte a bénéficié d’une nouvelle révision typographique.

© Afnor et Groupe Eyrolles, 20152013, ISBN Afnor : 978-2-12-465401-7ISBN Eyrolles : 978-2-212-14135-1

ÉDITIONS EYROLLES 61, bd Saint-Germain75240 Paris Cedex 05

www.editions-eyrolles.com

AFNOR ÉDITIONS 11, rue Francis-de-Pressensé

93571 La Plaine Saint-Denis Cedexwww.boutique-livres.afnor.org

En couverture :

Le bâtiment tertiaire schématisé en rouge, gris et violet – ossature en béton armé avec remplissage de maçonnerie – situé en zone sismique est étudié ici sous deux configurations : actuelle et isolée avec des appuis parasismiques. La figure représente la superposition du mode principal du bâtiment dans ces deux configurations (en gris : actuelle ; en rouge et en violet : isolée) : la partie inférieure (en violet) correspond à la partie enterrée du bâtiment, la partie supérieure (en rouge) à ce qui est au-dessus du niveau du sol ; les appuis sont disposés entre ces deux parties (document © NECS).

Le programme des Eurocodes structuraux comprend les normes suivantes, chacune étant en général constituée d’un certain nombre de parties :

EN 1990 Eurocode 0 : Bases de calcul des structuresEN 1991 Eurocode 1 : Actions sur les structuresEN 1992 Eurocode 2 : Calcul des structures en bétonEN 1993 Eurocode 3 : Calcul des structures en acierEN 1994 Eurocode 4 : Calcul des structures mixtes acier-bétonEN 1995 Eurocode 5 : Calcul des structures en boisEN 1996 Eurocode 6 : Calcul des structures en maçonnerieEN 1997 Eurocode 7 : Calcul géotechniqueEN 1998 Eurocode 8 : Calcul des structures pour leur résistance aux séismesEN 1999 Eurocode 9 : Calcul des structures en aluminium

Les normes Eurocodes reconnaissent la responsabilité des autorités réglementaires dans chaque État membre et ont sauvegardé le droit de celles-ci de déterminer, au niveau national, des valeurs relatives aux questions réglementaires de sécurité, là où ces valeurs continuent à différer d’un État à un autre.

Table des matières

CHAPITRE 1. Actions sismiques et réponses des structures ........................................................................ 3

1.1 Modes de vibration des structures .......................................................... 21.1.1 Pourquoi étudier les modes de vibration des structures ....................... 21.1.2 Typologie des modes de vibration ...................................................... 51.1.3 Étude de l’oscillateur simple ............................................................... 7

1.2 Représentation de l’action sismique ...................................................... 111.2.1 Généralités ......................................................................................... 111.2.2 Spectre de réponse ............................................................................. 11

1.2.2.1 Détermination du spectre de réponse ....................................... 111.2.1.2 Spectres réglementaires et de calcul .......................................... 171.2.2.3 Déplacement de calcul du sol .................................................. 20

1.2.3 Accélérogrammes ............................................................................... 211.2.3.1 Accélérogrammes artificiels ...................................................... 211.2.3.2 Accélérogrammes naturels ....................................................... 21

1.3 Réponse dissipative des structures aux actions sismiques ................. 211.3.1 Accumulation et dissipation de l’énergie ............................................. 221.3.2 Amortissement des structures ............................................................. 24

1.3.2.1 Caractérisation de l’amortissement d’une structure ................... 241.3.2.2 Composition du coefficient d’amortissement d’une structure ...... 251.3.2.3 Amortissement et coefficient de comportement .......................... 261.3.2.4 Valeurs communes de l’amortissement ...................................... 271.3.2.5 Valeurs particulières de l’amortissement ................................... 291.3.2.6 Commentaires sur l’amortissement des structures ...................... 30

1.3.3 Classes de ductilité ............................................................................. 311.3.3.1 Ductilité locale et globale ........................................................ 311.3.3.2 Trois classes de ductilité .......................................................... 321.3.3.3 Cas des structures en béton ...................................................... 331.3.3.4 Cas des structures en acier ....................................................... 34

VI | La pratique du calcul sismique

1.4 Coefficient de comportement ................................................................. 341.4.1 Notion de coefficient de comportement ............................................. 34

1.4.1.1 Pourquoi un coefficient de comportement ................................. 351.4.1.2 Contenu du coefficient de comportement .................................. 38

1.4.2 Coefficients de comportement pour les bâtiments en béton ................ 391.4.2.1 Types de structures .................................................................. 401.4.2.2 Évaluation du coefficient de comportement .............................. 411.4.2.3 Cas particulier de structures superposées de nature différente ..... 441.4.2.4 Spécificité des coefficients de comportement des composants

préfabriqués ........................................................................... 471.4.3 Coefficients de comportement des constructions métalliques ............. 48

1.4.3.1 Pour un comportement de structure faiblement dissipatif .......... 481.4.3.2 Pour un comportement de structure dissipatif ........................... 491.4.3.3 Synthèse ................................................................................ 491.4.3.1 Types de structures .................................................................. 501.4.3.2 Évaluation du coefficient de comportement pour les constructions

métalliques ............................................................................ 531.4.4 Coefficients de comportement des structures mixtes en acier-béton ... 54

1.4.4.1 Types de structures .................................................................. 541.4.4.2 Coefficients associés ................................................................. 56

1.4.5 Coefficients de comportement des bâtiments en bois ......................... 571.4.6 Coefficients de comportement des bâtiments en maçonnerie porteuse 58

1.4.6.1 Types de structures .................................................................. 581.4.6.2 Coefficients de comportement retenus ....................................... 59

1.4.7 Coefficients de comportement pour les éléments non structuraux ...... 601.4.8 Coefficients de comportement pour installations classées

et ouvrages stratégiques ...................................................................... 60

CHAPITRE 2. Méthodes de calcul ......................................................... 61

2.1 Stratégie de calcul sismique .................................................................... 61

2.2 Modélisations ............................................................................................. 652.2.1 Modélisation de la structure (un bon modèle est un modèle utile) ...... 65

2.2.1.1 Quelle modélisation pour quel résultat ? ................................... 672.2.1.2 Représentation des éléments structuraux secondaires

et non structuraux .................................................................. 702.2.1.3 Recommandations pour la modélisation .................................. 722.2.1.4 Prise en compte des torsions d’axe vertical ................................ 802.2.1.5 Hauteur de calcul, enfoncement du bâtiment ........................... 83

2.2.2 Modélisation des masses ..................................................................... 852.2.3 Modélisation de l’interaction sol-structure (ISS) ................................. 89

2.2.3.1 Nécessité de modéliser le sol ..................................................... 892.2.3.2 Caractéristiques dynamiques des sols ........................................ 932.2.3.3 Modélisation du sol par un système de ressorts amortis .............. 100

Table des matières | VII

2.2.3.4 Méthode Newmark-Rosenblueth ............................................. 1012.2.3.5 Méthode de Deleuze ............................................................... 103

2.3 Méthode d’analyse par forces latérales ................................................ 1062.3.1 Conditions de régularité ..................................................................... 106

2.3.1.1 Conditions générales .............................................................. 1062.3.1.2 Critères de régularité en plan .................................................. 1062.3.1-3 Critères de régularité en élévation ........................................... 1082.3.1.4 Cas d’un soubassement rigide .................................................. 110

2.3.2 Analyse par forces latérales ................................................................. 1112.3.2.1 Conditions d’application ........................................................ 1112.3.2.2 Périodes de vibration du mode fondamental ............................. 1112.3.2.3 Effort tranchant à la base et distribution des forces ................... 112

2.4 Méthode d’analyse modale .................................................................... 1142.4.1 Méthodologie de calcul ...................................................................... 1142.4.2 Recherche des modes propres ............................................................. 1152.4.3 Sélection des modes utiles .................................................................. 117

2.4.3.1 Les masses modales effectives ................................................... 1182.4.3.2 Les énergies de déformation .................................................... 118

2.4.4 Prise en compte des modes négligés : les pseudo-modes ..................... 1202.4.5 Combinaisons des réponses modales .................................................. 124

2.4.5.1 Combinaison arithmétique ..................................................... 1252.4.5.2 Combinaison quadratique (superposition quadratique) ............ 1252.4.5.3 Combinaison quadratique complète (CQC) ............................. 126

2.4.6 Analyse statique 3-D → brochette dynamique → analyse statique équivalente 3-D ................................................... 1272.4.6.1 Modélisation 3-D, calcul statique, calcul des modes propres ...... 1292.4.6.2 Définition et calage du modèle brochette .................................. 1292.4.6.3 Analyse dynamique de la brochette ......................................... 1292.4.6.4 Calcul statique équivalent de la structure réelle ....................... 129

2.4.7 Incidence du décollement du bâtiment .............................................. 130

2.5 Calcul des périodes propres .................................................................... 1332.5.1 Méthode de Rayleigh ......................................................................... 1342.5.2 Structures préfabriquées ..................................................................... 1362.5.3 Bâtiments industriels .......................................................................... 1372.5.4 Masse répartie sur une console de section constante ........................... 1392.5.5 Masse concentrée au sommet d’une console de section constante

et de masse non négligeable ................................................................ 1392.5.6 Masse unique située sur une poutre de section constante

et de masse négligeable ....................................................................... 1402.5.7 Poutres de section constante et de masse uniformément répartie ........ 1412.5.8 Plaques rectangulaires d’épaisseur constante et de masse

uniformément répartie ....................................................................... 141

2.6 Validation du comportement dynamique .............................................. 142

VIII | La pratique du calcul sismique

CHAPITRE 3. Approche non-linéaire : pushover ................... 145

3.1 Historique .................................................................................................... 145

3.2 Rappel de la méthode de pushover ....................................................... 146

3.3 Méthode de calcul .................................................................................... 1483.3.1 Modélisation de la structure et prise en compte des comportements

non linéaires ....................................................................................... 1493.3.1.1 Modèle éléments finis ............................................................. 1493.3.1.2 Lois de comportement ............................................................. 1513.3.1.3 Interaction sol-structure .......................................................... 152

3.3.2 Établissement de la courbe de comportement (pushover) .................... 1523.3.3 Conversions dans le diagramme accélération/déplacement A/D ......... 1533.3.4 Prise en compte de la dissipation d’énergie de la structure .................. 1543.3.5 Recherche du point de fonctionnement ............................................. 1563.3.6 Critères de ruine ................................................................................ 1573.3.7 Applications spécifiques ..................................................................... 157

3.4 Applications ................................................................................................ 1583.4.1 Cas du diagnostic sismique d’un bâtiment tertiaire en béton armé ..... 158

3.4.1.1 Géométrie et modélisation de la structure ................................. 1583.4.1.2 Éléments de réponse de la structure .......................................... 161

3.4.2 Cas de l’évaluation des marges sismiques d’un bâtiment industriel ..... 164

CHAPITRE 4. Calcul du ferraillage à partir des éléments finis ........................................ 169

4.1 Introduction ................................................................................................ 169

4.2 Éléments de membrane ........................................................................... 1704.2.1 Définition .......................................................................................... 1704.2.2 Calcul des armatures........................................................................... 170

4.2.2.1 Première démonstration .......................................................... 1714.2.2.2 Seconde démonstration et compléments .................................... 1724.2.2.3 Précautions d’emploi .............................................................. 173

4.2.3 Exemple de calcul ............................................................................... 1744.2.3.1 Armatures verticales ............................................................... 1754.2.3.2 Armatures horizontales ........................................................... 175

4.3 Éléments de coque .................................................................................... 1754.3.1 Définitions ......................................................................................... 175

Table des matières | IX

4.3.2 Méthode générale ............................................................................... 1774.3.2.1 Principe de la méthode ........................................................... 1774.3.2.2 Remarque .............................................................................. 1784.3.2.3 Vérification du béton .............................................................. 1784.3.2.4 Traitement des combinaisons ................................................... 180

4.3.3 Méthode simplifiée ............................................................................. 1804.3.3.1 Définition des paramètres z et e .............................................. 1814.3.3.2 Calcul des efforts dans les membranes ...................................... 182

4.3.4 Armatures transversales des éléments de coque ................................... 1824.3.4.1 Définitions ............................................................................ 1824.3.4.2 Données réglementaires .......................................................... 1834.3.4.3 Procédure de calcul ................................................................ 1844.3.4.4 Interprétation des cartes de ferraillage des coques ...................... 185

4.4 Prise en compte du séisme .................................................................... 1854.4.1 Combinaisons quadratiques ............................................................... 186

4.4.1.1 Cas d’un seul paramètre .......................................................... 1864.4.1.2 Cas de deux paramètres .......................................................... 186

4.4.2 Utilisation pratique des combinaisons quadratiques ........................... 1874.4.2.1 Méthode de calcul enveloppe ................................................... 1874.4.2.2 Méthode du polygone ............................................................. 1874.4.2.3 Combinaison quadratique signée ............................................. 188

4.4.3 Application de l’Eurocode 8 ............................................................... 1884.4.3.1 Combinaison des modes .......................................................... 1884.4.3.2 Combinaison des directions du séisme ...................................... 189

4.4.4 Cas des éléments de membrane .......................................................... 1894.4.4.1 Calcul de la section Ax ........................................................... 1904.4.4.2 Calcul de la section Ay ........................................................... 1914.4.4.3 Calcul de la compression maximale .......................................... 191

4.4.5 Éléments de coque - méthode approchée ............................................ 1914.4.6 Éléments de coque - méthode générale ............................................... 191

4.4.6.1 Transformation des données..................................................... 1914.4.6.2 Sélection des couples (N, M) représentatifs ................................ 1924.4.6.3 Calcul en flexion composée ...................................................... 1924.4.6.4 Calcul des armatures .............................................................. 192

4.5 Cas particuliers de ferraillage .................................................................. 1924.5.1 Méthode rigoureuse ........................................................................... 192

4.5.1.1 Cas général ............................................................................ 1924.5.1.2 Cas particulier du ferraillage orthogonal ................................. 193

4.5.1 Méthode approchée ........................................................................... 193

4.6 Conclusion .................................................................................................. 194

X | La pratique du calcul sismique

CHAPITRE 5. Pratique des logiciels de calcul sur ordinateur ........................................................................ 195

5.1 Modélisation informatique ...................................................................... 1955.1.1 Modélisation 3-D ............................................................................... 195

5.1.1.1 Précision du maillage et taille optimale des éléments ................. 1955.1.1.2 Modélisation des linteaux ....................................................... 1975.1.1.3 Exploitation des résultats ........................................................ 197

5.1.2 Modélisation « brochette » .................................................................. 1995.1.3 Prise en compte de l’inertie fissurée dans les modèles .......................... 1995.1.4 Prise en compte de l’interaction sol-structure ...................................... 2015.1.5 Prise en compte du décollement des fondations .................................. 202

5.2 Exemples de calcul ................................................................................... 2035.2.1 Présentation du bâtiment.................................................................... 203

5.2.1.1 Géométrie .............................................................................. 2035.2.1.2 Hypothèses sismiques .............................................................. 2045.2.1.3 Hypothèses concernant les charges ............................................ 204

5.2.2 Méthodologie des calculs .................................................................... 2045.2.2.1 Étape 1 - constitution du modèle ............................................. 2045.2.2.2 Étape 2 - vérification du modèle .............................................. 2055.2.2.3 Étape 3 - calcul des modes propres............................................ 2055.2.2.4 Étape 4 - application du spectre de calcul ................................. 205

5.3 Modélisation à l’aide du logiciel Hercule ............................................... 2065.3.1 Étape 1 - constitution du modèle ....................................................... 2065.3.2 Étape 2 - vérification du modèle ......................................................... 2075.3.3 Étape 3 - calcul des modes propres ..................................................... 2075.3.4 Étape 4 - application du spectre .......................................................... 2085.3.5 Étape 5 - édition des torseurs sismiques à la base du bâtiment ............ 2095.3.6 Étape 6 - édition des torseurs à la base des voiles................................. 2095.3.7 Étape 7 - calcul du ferraillage des voiles .............................................. 210

5.3.7.1 Géométrie du voile ................................................................. 2105.3.7.2 Calcul de la section des chaînages ............................................ 2105.3.7.3 Calcul des armatures d’effort tranchant .................................... 2105.3.7.4 Vérification du non-glissement au niveau des reprises

de bétonnage à la base du voile ................................................ 211

5.4 Modélisation à l’aide du logiciel Advance Design ................................ 2125.4.1 Étape 1 - constitution du modèle ....................................................... 2125.4.2 Étape 2 - vérification du modèle ......................................................... 2135.4.3 Étape 3 - calcul des modes propres ..................................................... 2145.4.4 Étape 2 - application du spectre .......................................................... 2155.4.5 Étape 5 - édition des torseurs sismiques à la base du bâtiment ............ 215

Table des matières | XI

5.4.6 Étape 6 - édition des torseurs à la base des voiles................................. 2165.4.7 Étape 7 - calcul du ferraillage des voiles .............................................. 217

5.4.7.1 Calcul de la section des chaînages ............................................ 2175.4.7.2 Calcul des armatures d’effort tranchant ................................... 2175.4.7.3 Vérification du non-glissement au niveau des reprises


5.5 Modélisation à l’aide du logiciel Robot Structural Analysis Professional (ex-Robot Millenium) ......................................................... 2185.5.1 Étape 1 - constitution du modèle ....................................................... 2185.5.2 Étape 2 - vérification du modèle ......................................................... 2195.5.3 Étape 3 - calcul des modes propres ..................................................... 2205.5.4 Étape 4 - application du spectre ......................................................... 2215.5.5 Étape 5 - édition des torseurs sismiques à la base du bâtiment ............ 2225.5.6 Étape 6 - édition des torseurs à la base des voiles ................................ 2225.5.7 Étape 7 - calcul du ferraillage des voiles .............................................. 223

5.5.7.1 Calcul de la section des chaînages ............................................ 2235.5.7.2 Calcul des armatures d’effort tranchant .................................... 2235.5.7.3 Vérification du non-glissement au niveau des reprises

de bétonnage à la base du voile ............................................... 224

5.6 Modélisation à l’aide du logiciel Epicentre ........................................... 2255.6.1 Étape 1 - constitution du modèle ....................................................... 2255.6.2 Étape 2 - vérification du modèle ......................................................... 2255.6.3 Étape 3 - calcul des modes propres ..................................................... 226

5.6.3.1 Vérification des charges statiques .............................................. 2265.6.3.2 Descente de charges statiques ................................................... 2265.6.3.3 Tableaux des modes propres et des masses participantes .............. 227

5.6.4 Étape 4 - application du spectre ......................................................... 2285.6.5 Étape 5 - édition des torseurs sismiques à la base du bâtiment ............ 2285.6.6 Étape 6 - édition des torseurs à la base des voiles ................................ 2295.6.7 Étape 7 - calcul du ferraillage des voiles .............................................. 229

5.6.7.1 Calcul de la section des chaînages ............................................ 2295.6.7.2 Calcul des armatures d’effort tranchant ................................... 2305.6.7.3 Vérification du non-glissement au niveau des reprises de bétonnage à la base du voile ............................................... 230

5.7 Modélisation à l’aide du logiciel Hercule - prise en compte de l’interaction sol-structure .................................................................... 2315.7.1 Hypothèses concernant le sol ............................................................. 2315.7.2 Détermination des ressorts de sol ....................................................... 2315.7.3 Calcul des modes propres ................................................................... 2325.7.4 Étape 4 - application du spectre ......................................................... 2335.7.5 Étape 5 - édition des torseurs sismiques .............................................. 2335.7.6 Étape 6 - édition des torseurs à la base des voiles ................................ 234

XII | La pratique du calcul sismique

5.7.7 Étape 7 - calcul du ferraillage des voiles .............................................. 2355.7.7.1 Calcul de la section des chaînages ........................................... 2355.7.7.2 Calcul des armatures d’effort tranchant ................................... 2355.7.7.3 Vérification du non-glissement au niveau des reprises

de bétonnage à la base du voile ............................................... 235

5.8 Modélisation à l’aide du logiciel Hercule - modèle brochette ........... 2365.8.1 Calage de la brochette ........................................................................ 236

5.8.1.1 Étape 1 - application d’une charge horizontale de 10 000 kN répartie sur le plancher haut ................................................... 236

5.8.1.2 Étape 2 - détermination des caractéristiques géométriques des barres de la brochette ......................................................... 237

5.8.1.3 Étape 3 - vérifications du modèle ............................................. 2375.8.2 Calcul des efforts sismiques à la base du bâtiment .............................. 2385.8.3 Calcul des accélérations à chaque niveau du bâtiment ........................ 2395.8.4 Ajustement des accélérations .............................................................. 2395.8.5 Injection des accélérations dans le modèle 3-D et édition des efforts .. 2405.8.6 Calcul du ferraillage des voiles ............................................................ 240

5.8.6.1 Calcul de la section des chaînages ............................................ 2405.8.6.2 Calcul des armatures d’effort tranchant ................................... 2415.8.6.3 Vérification du non-glissement au niveau des reprises


Bibliographie ................................................................................. 243

CHAPITRE 1

Actions sismiques et réponses des structures

Dominique Corvez

Les progrès sensibles réalisés depuis les années 1960-1970 ont permis une amélioration notable de caractérisation de l’aléa sismique. Néanmoins, si les spectres réglementaires et accélérogrammes constituent des outils théoriques puissants pour le dimensionnement, il conviendra toujours de nuancer leur utilisation avec les caractéristiques propres des sites sur lesquels s’inscrivent les projets architecturaux. Comme le rappelle Jacques Betbeder dans [Betbeder & Matibet, 2003c], l’écart type des formules employées dans les codes parasis-miques est du même ordre que la valeur moyenne. De même, la réponse sismique est envisagée pour des structures tridimensionnelles régulières dont les modes de vibration sont clairement distincts. Aussi, la complexité de la réponse des structures hyperstatiques en terme d’accumulation d’énergie est aujourd’hui introduite via un coefficient de comportement constituant à ce jour la manière la plus simple et la plus directe d’encadrer la réponse. Une large partie de ce chapitre traitera de cette notion.L’Eurocode 8 enrichit cette approche globale par un traitement local des modes de dissipation d’énergie. En prédéterminant dès la conception des zones de concentration potentielle d’énergie via des déformations plastiques, le schéma de rupture est forcé dans une direction où la structure présentera un comportement ductile et « théoriquement » maîtrisé.Néanmoins, face à la puissance des outils actuels et l’immodestie qu’ils peuvent procurer, il faudra toujours conserver à l’esprit que les fondements du génie parasismique sont le fruit d’observations empiriques et d’approches synthétiques des phénomènes.La validation globale du comportement d’un ouvrage devra ainsi toujours être effectuée par des raisonnements simples et par des ordres de grandeur que nous tenterons de présenter aussi souvent que cela est possible dans cet ouvrage.

2 | Actions sismiques et réponses des structures

1.1 Modes de vibration des structures

1.1.1 Pourquoi étudier les modes de vibration des structuresCertains des actions susceptibles de s’exercer sur une structure peuvent être à l’origine de sollicitations rapidement variables dans le temps. Ces actions présentent un caractère dynamique lorsque les déformations correspondantes sont suffisamment rapides pour que les forces d’inertie1 ainsi mises en jeu cessent d’être négli-geables vis-à-vis des sollicitations d’autre nature agissant sur la structure, et lorsque par la suite, la réponse de cette dernière aux actions considérées apparaît comme conditionnée dans une proportion significative par ces forces d’inertie.Ainsi, les charges roulantes, les machines vibrantes, le vent, le séisme, les explosions produisent de semblables effets.Le mouvement sismique est appliqué à la surface du sol [EC8-1/3.2.2-(1)P]. Le calcul dynamique suppose la détermination de la réponse des structures à la sollicitation sismique par la prise en compte des forces d’inertie (celles-ci n’existant que pendant la durée du séisme) mises en jeu. La connaissance de l’état de contrainte à tout instant en découle.Lorsqu’une structure se trouve soumise à une action sismique, elle effectue tout d’abord une série d’oscillations dont l’intensité augmente. C’est la phase dite « transitoire ». Puis, tant que dure le séisme, s’installe une série d’oscillations (vibrations) forcées régies par des lois en général complexes. Enfin, leur succèdent, dès que le séisme a pris fin, des oscillations libres, qui obéissent à des lois plus simples, et qui finissent par s’amortir plus ou moins rapidement (figure 1.1-1). Il est à noter qu’en absence d’amortissement et d’excitation extérieurs, les structures peuvent osciller indéfiniment suivant une fonction sinusoïdale du temps.Suivant la fréquence d’excitation, l’amplitude de la réponse est différente.Pour les ouvrages dont la fréquence propre2 de vibration est voisine de celle de l’action sismique, les effets dynamiques entrent en jeu : la réponse de l’ouvrage interagit avec l’action (il y a résonance).

En réalité, les structures ont autant de modes de vibration que de degrés de liberté. L’idée maîtresse dans la démarche de calcul de la réponse selon l’Eurocode 8 sera de super-poser correctement les réponses « unitaires » associées à chacun des modes de vibration multipliés par l’amplitude de l’excitation du mode à la fréquence considérée [EC8-1/4.3.3.1-(2)P].La figure 1.1-2 donne respectivement dans le cas d’un portique (déformations de type cisail-lement) et dans le cas d’un voile (déformations de type flexion) les déformations correspondant aux premiers modes et aux modes supérieurs.

1. Tout corps dont la vitesse varie avec le temps (accélération non nulle) subit une force d’inertie dont l’effet est de s’opposer à cette variation de vitesse.

2. La fréquence d’une grandeur périodique est le nombre de fois qu’elle se reproduit identiquement à elle-même dans l’unité de temps ; c’est l’inverse de la période. La fréquence propre est la fréquence de vibration naturelle d’une structure en l’absence de l’excitation extérieure (séisme).

Modes de vibration des structures | 3

Temps

Oscillations forcées Oscillationslibres amorties

Temps

Temps

Temps

γ(t)

d(t)

0

0

v(t)

0

a(t)

0

dmax = Sd

amax = Sa

x(t)

x(t)

x(t)

vmax = Sv

x(tF)

T = 2πωD

x(tF)

x(tF)

tF

a

b

c

d

Figure 1.1-1 Accélération du sol et réponse de la structure

a) Accélérations du sol – b) Réponse en déplacements – c) Réponse en vitesses – d) Réponse en accélérations


Au repos Temps 1 Temps 2 Temps 3 Temps 4

Temps 1 Temps 2 Temps 3 Temps 4

Temps 1 Temps 2 Temps 3 Temps 4Au repos

a

b

c

d

Figure 1.1-2 Modes de vibration

a) Portique : premier mode – b) Portique : modes supérieurs – c) Voile : premier mode – d) Voile : modes supérieurs

Dans cette situation, l’étude de l’oscillateur simple est essentielle, car le calcul dynamique d’une structure élastique comportant plusieurs degrés de liberté et plusieurs masses se ramène à celui de l’étude d’un certain nombre d’oscillateurs simples caractérisés chacun par un mode


de vibration, c’est-à-dire par une période propre3, une déformée propre et un coefficient d’amortissement z. Le cumul de réponses (voir § 2.4.5) de ces oscillateurs simples permet d’obtenir la réponse de la structure.Le mode de vibration, caractéristique intrinsèque de la structure, est un mouvement naturel (libre), pour lequel il n’y a pas de forces appliquées et qui donc peut être étudié au préalable.

1.1.2 Typologie des modes de vibrationLe mouvement du sol est connu a posteriori par son accélérogramme (t) enregistré lors d’un séisme ; on peut envisager trois situations des structures liées au sol :• Structures parfaitement raides (la période T = 0) ; c’est-à-dire que chaque point de la

structure a le même déplacement absolu que le sol (figure 1.1-3), donc la même accélé-ration γ(t).

• Le déplacement relatif de la masse, quel que soit l’amortissement de la structure par rapport au sol est nul ; la réponse de l’oscillateur est quasi statique : d(t) = 0.

• L’accélération de l’oscillateur tend vers l’accélération du sol (l’amplification de l’oscillateur tend vers l’unité) appelée accélération à période nulle ou à fréquence infinie.

• En conséquence, une masse m attachée à cette structure (figure 1.1-3a), lui communique une force d’inertie : F = m.γ(t).

F = mγ(t)T = ∞

d(t)

m

T = 0

a b

Figure 1.1-3 Réponses des structures

a) Oscillateur infiniment raide – b) Oscillateur infiniment souple

• Structures parfaitement souples (T = ∞) ; le déplacement absolu des masses de la structure en dehors de celles directement liées au sol (les fondations par exemple) est nul sous l’action des forces d’inertie.

Le déplacement relatif d(t) de la structure par rapport au sol passe par un maximum, et est opposé au déplacement absolu du sol (figure 1.1-3b).

3. Pour un oscillateur simple ou une structure à un degré de libertés, la période propre est le temps mis pour effectuer un aller-retour dans le mouvement d’oscillation naturelle. Une structure a n degrés de liberté à n périodes propres. La période propre la plus longue est de loin la plus importante. On l’appelle « période propre fondamentale » ou « période fondamentale ». La fréquence la plus basse est la fréquence fondamentale.


Temps 4Temps 3Temps 2Temps 1Au repos

a

b

c

d

Figure 1.1-4 Modes de vibration dans le cas d’un niveau élastique

a) Portique au rez-de-chaussée, voile en béton armé aux étagesb) Portique au rez-de-chaussée et portique, remplissage en maçonnerie aux étages c) « Coup de fouet » : dernier étage en retraitd) « Coup de fouet » : dernier étage très souple


• Structures courantes ; le déplacement absolu des masses de la structure par rapport à celui du sol n’est ni nul ni égal.

On rencontre aussi des structures comportant à la fois des parties souples et de parties raides, extrêmement contrastées, comme par exemple :• des niveaux élastiques (portiques) situés généralement au rez-de-chaussée (figure 1.1-4a

et b) ;• le dernier étage en retrait ou d’une raideur beaucoup plus faible que l’étage courant

(figure 1.1-4c et d), qui engendre des modes supérieurs mobilisant beaucoup d’énergie : effet « coup de fouet ».

Il est intéressant de remarquer que dans le cas même de structures courantes, certaines parties peuvent avoir un comportement de structure raide (type a) ; c’est notamment le cas quand la période tend vers zéro, et donc cette partie de la structure sera soumise à l’accélération du sol. On appelle ce comportement en mode rigide un pseudo-mode.

1.1.3 Étude de l’oscillateur simpleLorsqu’on écarte un système tel qu’un oscillateur simple constitué d’une masse m fixée au bout d’une tige d’une position d’équilibre, compte tenu des liaisons et des déformations qui lui sont imposées, il y a apparition des forces de rappel qui tendent à le ramener à sa position de repos (figure 1.1-5). Sous l’action du séisme, l’oscillateur est soumis à sa base au point A à un mouvement du sol D(t) variable avec le temps ; le mouvement que prend la masse oscillante est un mouve-ment plan entièrement défini par le déplacement du centre de gravité de la masse au temps t. Donc le système dépend d’un seul degré de liberté : le déplacement relatif d(t) de la masse par rapport au sol.La réponse sismique d’une structure est exprimée par la prise en compte de l’équilibre dyna-mique des forces, s’exerçant sur la structure pendant la durée du séisme et déterminée lorsque la masse m occupe la position déformée définie par d(t) et est soumise aux forces horizontales suivantes :• une force de rappel élastique exercée par le support de raideur k, qui est proportionnelle

au déplacement relatif d(t) :

F1 = – k d(t) (1.1-1)

• une force de freinage proportionnelle à l’amortissement c et à la vitesse relative v(t) ; autrement dit, à déplacement nul, l’amortissement est nul aussi :

F2 = – c v(t) (1.1-2)

• une force d’inertie développée par la masse m dans le sens contraire à l’accélération (t) de l’action sismique ; les forces d’inertie caractérisent la résistance qu’opposent les masses à leur mise en mouvement ou à leur freinage, elles sont donc opposées aux forces élastiques :

F = – mΓ(t) = – m [γ(t) + a(t)] (1.1-3)

avec : – γ(t) = l’accélération du sol ; – a(t) = l’accélération de la masse m par rapport au sol.


m

m

Déplacement horizontal

Temps

F(t)

Γ(t)

a(t)

F(t)

A

Repè

re m

obile

(r

elat

if)

k, c

Déplacementabsolu

∆(t)

Repè

re fi

xe

(a

bsol

u)

Déplacementdu sol dans

le repère fixeD(t)

Accélérationdu solγ(t)

Déplacement relatifde la masse (m) dû

au mouvement du sold(t)

Accélérationde la masse (m)

a(t)

Figure 1.1-5 Oscillateur simple

Les déplacements de la masse m sont mesurés, soit dans un repère relatif lié au point A (dépla-cement d(t)), soit dans un repère absolu (déplacement D(t)). Les déplacements sont liés par la relation :

D(t) = D(t) + d(t) (1.1-4)

En écrivant l’équilibre des forces, on obtient :

F1 + F2 = – F(t) (1.1-5)

On en déduit l’équation du mouvement :

mΓ(t) + c v(t) +k d(t) = 0 (1.1-6)

soit compte tenu de la relation 1.1-3, on a :

m[γ(t) + a(t)] + c v(t) + k d(t) = 0 (1.1-7)

soit encore : m γ(t)+ c v(t) + k d(t) = – m a(t) (1.1-8)


On constate qu’on se ramène à l’étude d’un oscillateur simple dans le repère relatif (figure 1.1-5), en supposant la masse soumise à une force fictive – m.a(t) proportionnelle à l’accélération a(t) du point d’appui A.En posant :• k = la raideur du système ;• w = la pulsation du système non amorti (radian/seconde) ;• T = la période (en secondes) ; le mouvement étant périodique, la durée d’un cycle est

appelée période du mouvement ;• f = la fréquence (Hertz) ;on obtient le tableau d’équivalences (tableau 1.1-1).

Tableau 1.1-1 Équivalences des grandeurs dynamiques

k T f ω

T période (s) 2π k

m(*)

– f1

ω2π

f fréquence (hertz)

(cycles/s)mk

2π1

T1

–ω2π

ω pulsation

(rad/s)mk

T2π

2pf –

(*) Dans cette relation on doit utiliser les unités du système international : – la masse est exprimée en kilogrammes (ou en tonnes) ; – le coefficient k en newtons par mètre (ou en kilonewtons par mètre).

Rappel : une force est la résultante d’une distribution de contraintes sur une surface définie, elle s’exprime en newtons. Du point de vue dynamique, la force est le produit de la masse m par une accélération :

F = m.a.Cas particulier : le poids est la force s’exerçant sur un corps soumis à l’accélération de la pesanteur :

P = m.g soit m = gP

Si on exprime k en kilogrammes-force par mètre (ou tonnes-force par mètre) comme il est usuel de le faire, il convient d’effectuer un changement d’unité et la relation devient :

T = 2π gkP avec g = 9,81 m/s2

où : = xst kP est la flèche statique.

En prenant g ≈ 981 cm/s2, la flèche statique xst étant en centimètres, on a :

ω = 31,35 et xst

[rad/s] f = 5xst

[hertz]


Avec les notations du tableau 1.1-1 et en tenant compte de la définition de l’amortissement z (relation 1.3-5), l’équation 1.1-8 peut s’écrire sous la forme :

γ(t) + 2wz v(t) + w2 d(t) = – a(t) (1.1-9)

La solution est donnée par l’intégrale de Duhamel, on obtient le déplacement relatif :

d(t) = – 1ωD 0

tγ(τ) e sin ωD(t–τ) dτ–ζω(t–τ) (1.1-10)

avec :• ωD = 1 – ζ2 pseudo-pulsation des oscillations libres amorties ;• t = variable d’intégration.

On constate que la valeur du déplacement ne dépend que de la pulsation w, du coefficient d’amortissement z et de l’accélération γ du sol.À partir de (1.1-10), on obtient facilement la vitesse relative et l’accélération absolue.Les structures ayant toujours des amortissements très faibles (voir les tableaux 1.1-2 et 1.1-3), on peut considérer que wD = w, ce qui correspond à un oscillateur très peu amorti ; et en négligeant les termes secondaires, les composantes du mouvement sismique deviennent :• le déplacement relatif :

d(t) = – 1ω 0

tγ(τ) e sin ω(t–τ) dτ–ζω(t–τ) (1.1-11)

• la vitesse relative :

v(t) = –0

tγ(τ) e cos ω(t–τ) dτ–ζω(t–τ) (1.1-12)

• la pseudo-accélération :

a(t) = – ω0

tγ(τ) e sin ω(t–τ) dτ = – ω2 d(t)–ζω(t–τ) (1.1-13)

Lorsque le déplacement relatif d de la masse a été calculé, on peut en déduire la force de rappel (voir 1.1-1) et donc calculer les efforts dans la structure :

F1 = – k d (1.1-14)

On peut aussi effectuer un calcul indirect en supposant la masse soumise à une accélération fictive dite « pseudo-accélération » (voir 1.1-3) ayant pour valeur :

a = w2 d (1.1-15)

L’effort dans la structure est ensuite évalué par un calcul statique sous l’action de la force :

F = m a (1.1-16)

appliquée à la masse et supposée constante (figure 1.1-5).

La force de rappel a donc pour valeur :

F1 = – F = – mw2 d (1.1-17)

en tenant compte de la relation donnée par le tableau 1.1-1 :

Représentation de l’action sismique | 11

mkω2 =

on retrouve bien la valeur calculée par la relation (1.1-14) : F1 = – k d.Les deux méthodes sont donc équivalentes et l’emploi de la seconde, qui est moins directe, ne peut se justifier que pour des raisons pratiques.En effet, dans des nombreux cas, l’étude de la réponse d’un bâtiment à l’action sismique est effectuée à l’aide d’un modèle très simple de type brochette pour déterminer les pseudo- accélérations qui constituent ensuite un cas de charge statique pour une structure modélisée plus finement, ce qui permet d’évaluer les efforts dans tous les éléments.Dans le cas d’un oscillateur non amorti F2 = 0 (relation 1.1-2), l’équation du mouvement (1.1-6) s’écrit : Γ = – w2 d = – a (1.1-18)

On constate donc que, pour l’oscillateur non amorti, la pseudo-accélération est égale à l’accélération absolue, au signe près ; pour l’oscillateur amorti, elle ne constitue qu’une approximation.

1.2 Représentation de l’action sismique

1.2.1 GénéralitésL’action sismique est la traduction en « données d’entrées » physiques permettant de décrire le phénomène sismique. Il s’agit des hypothèses du calcul par nature simplifiées pour décrire la complexité du phénomène.Par commodité et par absence de moyens/méthodes, l’action sismique a longtemps été repré-sentée par un effort latéral mobilisant les masses discrétisées de la structure via une accéléra-tion plutôt que par une analyse dynamique ou temporelle.Cela se traduisait notamment par une absence de couplage propre des modes de vibration en dynamique linéaire.La méthode principale stipulée dans l’Eurocode 8 est l’analyse modale spectrale de réponse [EC 4.3.3.1 (2)].« La méthode de référence pour déterminer les effets sismiques doit être l’analyse modale spectrale utilisant un modèle élastique linéaire de la structure. »

1.2.2 Spectre de réponse

1.2.2.1 Détermination du spectre de réponse

Les expressions 1.1-11 à 1.1-13 permettent, à partir de l’enregistrement (accélérogramme) d’un séisme, de calculer systématiquement pour tous les oscillateurs simples possibles (c’est-à-dire pour toute la gamme de périodes et d’amortissements possibles), les valeurs de la réponse maximale en termes de déplacement |d(t)|max et de tracer les graphiques correspon-


dants dits spectres de réponses des déplacements (figure 1.2-1). De même, on peut tracer les réponses maximales en termes de vitesse |v(t)|max et d’accélération |a(t)|max.Le déplacement d(t) de la masse étant calculé pour chaque oscillateur, on peut déduire :• le spectre de réponse du déplacement (figure 1.2-3c) est déterminé d’après 1.1-15 avec

|a(t)|max w = Sv :

Sd = |d(t)|max = Sv

ω= Dmax (1.2-1)

Maximumde déplacementsrelatifs

Spectres pourdiverses valeursd’amortissement ζ

Allure du spectreélastique PS 92

Période T = 2πω

Accélération

Temps(s)

Déplacementsrelatifs

Temps

Déplacementsrelatifs

Temps

m

k, ζ k, ζ

ω – √ k

m

ma

d

b

c

Figure 1.2-1 Construction d’un spectre de déplacements

a) Accélérogramme enregistréb) Choix d’oscillateurs simples avec un amortissement ζ et une période T, connusc) Réponses en déplacements des oscillateurs choisis d) Spectre de réponse en déplacement pour diverses valeurs d’amortissement

• le spectre de réponse de vitesse :

Sv = |v(t)|max = w Sd (1.2-2)

Représentation de l’action sismique | 13

• le spectre de réponse de l’accélération peut être tracé de la même façon (figure 1.2-2), puisque l’accélération maximale et le déplacement maximal sont liés par la relation :

Sa = |a(t)|max = – w2 d(t) = w Sv (1.2-3) ou encore : amax = w Sv = w2 Dmax (1.2-4)

3

2

1

00 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

Accélération spectraleAccélération maximale du sol

Argile de consistance molle à moyenne et sable

Sols profonds sans cohésion

Sols de consistance raide

Roche

PériodeT (s)

Figure 1.2-2 Allures des spectres d’accélération moyenne pour différents sols

En réalité, la forme de spectres de réponse correspondant aux mouvements sismiques est très irrégulière et leur utilisation en l’état peut entraîner une variation très importante de la lecture spectrale. Normalement en cas d’erreur de 5 % dans la détermination de la fréquence, la lecture spectrale doit être quasiment identique. Il faut donc procéder à la correction (lissage) du spectre (figure 1.2-3) de telle sorte que les diverses régions du spectre soient ramenées à des segments de droite.

Accélération (g)

Spectre deséisme réel

Spectrede projet

1

0,1

0,01

0,1 1 10 100

Fréquences(Hz)

Figure 1.2-3 Lissage du spectre


Les spectres de déplacements et de pseudo-accélération peuvent être représentés sur la même figure si on utilise des coordonnées logarithmiques.En effet, à chaque instant du mouvement, d’après (1.1-1), on a :

Fmax = k Dmax (1.2-5)

à remarquer, suivant le tableau 1.1-1, la relation :

mkω2 = (1.2-6)

d’où on obtient : Fmax = m w2

Dmax (1.2-7)

Tout se passe comme si la masse m se trouvait soumise à une accélération maximale : amax = w2

Dmax (1.2-8)d’où la force statique équivalente : m × amax (1.2-9)par ailleurs, d’après (1.1-15), on a :

V(pseudo-vitesse) = ω Dmax = amax

ω (1.2-10)

En mettant l’expression (1.2-4) sous une forme logarithmique, on obtient :

log V = log w + log Dmax = log amax – log w (1.2-11)

et avec ω2πT = (tableau 1.1-1), on obtient :

2πlog amax = log V – log T

2πlog Dmax = log V – log T

(1.2-12)

Ainsi on peut repérer les valeurs log Dmax, log V et log amax sur le même graphique en utilisant la première et la deuxième bissectrice comme axes de coordonnées (figure 1.2-4).

Log DLog amax

Log Dmax

Log Z

Log T2π

Log T2π

Log T2π

ν

Figure 1.2-4 Formes logarithmiques log Dmax, log V et log amax

Pratique du calcul sismique

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