Construction de courbes de fragilité sismique par la ... · Présentation Calcul des courbes de...

Contexte etobjectifContexte

Méthodesd’estimation

Objectif

Méthodeproposée

EnrichissementRep. de K-L

Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée

Tri par classesPrincipe

Taille des classes

IncertitudesEnr. réponses

Matrice R

Bootstrap

Cas réelPrésentation

Calcul des courbesde fragilité

Conclusion

Construction decourbes de fragilité sismique

par la représentation de Karhunen-Loève

Fabien GiraudeauThèse dirigée par le Professeur Michel Fogli

CNRS-EDF-CEA-AREVAUniversité Blaise Pascal de Clermont-FerrandChristian Cremona (CEREMA) - Rapporteur

Jean-Marc Martinez (CEA) - RapporteurPr. Frédéric Ragueneau (ENS Cachan) - Examinateur

Cyril Feau (CEA) - EncadrantIrmela Zentner (EDF) - Encadrante

8 janvier 2015

1/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Contexte et objectif

Méthode proposée

Enrichissement

Tri par classes

Incertitudes

Application à un cas réel

Conclusion

1/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Contexte et objectifContexteMéthodes d’estimation des courbes de fragilitéObjectif

Méthode proposée

Enrichissement

Tri par classes

Incertitudes


Conclusion

2/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Contexte

Études Probabilistes de Sûreté Sismiquemenées sur les installationsÉvaluation de la probabilité de défaillance P d’une structure (bâtiment ouéquipement) vis-à-vis d’un critère donné (étanchéité, intégrité, stabilité,ruine, etc.) sous séisme

P = −∫ +∞

0

(dH(α)dα

)Pf (α)dα

Courbe de fragilité sismiqueÉvaluation de la probabilité de défaillance conditionnelle Pf (α) en fonctionde l’intensité de la sollicitation α

Courbe d’aléa sismiqueFréquence annuelle H(α) de dépassement de l’intensité sismique α

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Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Méthodes d’estimation des courbes de fragilité

Mouvement du sol → {Γ(t)}t∈[0,T] Réalisation → γ(t)

Plusieurs indicateurs de nocivité Ex : PGA : PGA = maxt∈[0,T]

|γ(t)|

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Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

DéfaillanceDépassement par la réponse {Y (t)}t∈[0,T] d’une structure d’un seuil b

Pf (α) = P(

maxt∈[0,T]

|Y (t)| > b| intensité α)

5/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Méthode paramétrique « log-normale »

Φ : fonction de répartition de la loi log-normale réduite

Pf (α) = Φ( ln(α/Am)

β

)

Méthodes d’estimation des paramètres Am et β :

• Régression• Maximum de vraisemblance• Méthode EPRI avec facteurs de marge• etc.

ObjectifAffranchissement → Monte-Carlo

6/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Estimation de la courbe point par point par Monte-Carlo et scaling

• Ns signaux disponibles : réels ou artificiels

• Multiplication par le facteur de scaling pour obtenir le niveau moyensouhaité αm

• Estimation de Pf (αm) = P(

maxt∈[0,T]

|Y (t)| > b| intensité αm

)en fonction du niveau αm

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Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Problématique du scalingLes caractéristiques des signaux réels peuvent dépendre de leur intensité

Ex : famille de 97 signaux réels regroupés selon 10 classes d’intensitésismique croissante

Augmentation non homothétique

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Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Objectifs de la thèse

• Développer des méthodes d’estimation des courbes de fragilité :

• par calculs dynamiques

• « cohérentes » d’un point de vue sismologique i.e. au plus près desdonnées

• numériquement efficaces dans un contexte industriel⇔ nombre réduit de calculs de réponses dynamiques

• Évaluer l’effet des hypothèses simplificatrices sur les estimations

9/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion


Méthode proposée

Enrichissement

Tri par classes

Incertitudes


Conclusion

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Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Méthode proposée

11/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Méthode proposée

12/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion


Méthode proposée

EnrichissementReprésentation de Karhunen-LoèveModèle K-LSimulation de variables dépendantesResimulation de signaux d’entrée

Tri par classes

Incertitudes


Conclusion

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Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

{Xt}t∈[0,T] : processus stochastique réel, du second ordre, centré, continuen m.o.d., à trajectoires continues.

H = L2R ([0,T ],dt)

QX :

H → H

f → QX f :{

[0,T ] → Rt →

∫ T0 RX (t, t′)f (t′)dt′

• {λα}α≥0 et {φα}α≥0 éléments propres• {ξα}α≥0 v.a. réduites, décorrélées et dépendantes

ξα =1√λα

∫ T

0X(t)φα(t)dt

Représentation de Karhunen-Loève

X(t) =+∞∑α=0

√λαξαφα(t)

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Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Modèle empirique K-L

Γ(t) = E [Γ(t)] +M∑α=1

√λαξαφα(t)

Choix de M → proportion d’énergie

Echantillonnage : [0,T ] → 0 = t1 < ... < tN = T

Processus centré : XΓ(t) = Γ(t)− E [Γ(t)]Base de signaux disponibles :{{γ(l)(t)}t∈[0,T]}16l6L → {{x(l)

Γ (t)}t∈[0,T]}16l6L

•[RXΓ

]ij

=1

L − 1

L∑l=1

x(l)Γ (ti)x(l)

Γ (tj)

• {(λα, {φα(tj)}16j6N )}16α6M

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Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

ξ̃(l)α =

1√λα

N∑j=1

x(l)Γ (tj)φα(tj)∆t

Resimulation des ξα → resimulation de Γ(t)

Modèlle empirique « au plus près des données »

16/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Estimation d’une densité conjointe

ξ̃(l)α =

1√λα

N∑j=1

x(l)Γ (tj)φα(tj)∆t Γ(t) = E [X(t)]+

M∑α=0

√λαξαφα(t)

Dépendance de variables {ξα}α∈J1;MK→ densité conjointe pξ du v.a. ξ = (ξ1, ..., ξM )

∀B ∈ BM : P(ξ ∈ B) =∫

Bpξ(x)dx

Estimation de pξ grâce à un échantillon {ξ̃(l)α }16l6L ⇔ {ξ̃

(l)}16l6L :

• développement sur une base hilbertienne

• estimateur à noyaux

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Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Développement sur une base hilbertienne

pξ(x) =1

(2π)M/2 e−||x||22

2

+∞∑|α|=0

1α!

E [Hα(ξ)]Hα(x)

• E[Hα(ξ)] → Hα(ξ) =1L

L∑l=1

Hα(

ξ̃(l))

• pξ(x) =1

(2π)M/2 e−||x||22

2

r∑|α|=0

1α!

Hα(ξ)Hα(x)

Estimateur à noyaux

pξ(x) =L∑

l=1

1Le−||x−ξ̃(l)||22

2h2

√2πMhM

h → minimise l’erreur quadratique moyenne

Approximation de Silverman : h =(

4σ̂5

3L

)1/5

' 1, 06 σ̂L−1/5

18/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Exemple de deux variables pathologiques :

Méthode retenueEstimateur à noyaux

19/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Simulation de variables dépendantes

Simulation directe :• U ↪→ U(1,L)

• ∀l ∈ J1;LK, Yl ↪→ N(

ξ̃(l), h2IM)

→ ξL= YU

P (YU ∈ B) =L∑

l=1

P (U = l) P (YU ∈ B|U = l)

=∫

B

L∑l=1

1Le−||x−ξ̃(l)||22

2h2

√2πMhM

dx

=∫

Bpξ(x)dx

= P(

ξ ∈ B)

Echantillonneur de Gibbs modifié

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Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Méthode retenueSimulation directe

21/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Resimulation de signaux d’entrée• E0 : 97 signaux issue de l’European StrongMotion Database• E1 : 10 000 signaux resimulés• E2 : 10 000 signaux re-resimulés

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Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

23/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Modes propres de Karhunen-Loève

24/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion


Méthode proposée

Enrichissement

Tri par classesPrincipeTaille des classes

Incertitudes


Conclusion

25/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

26/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Tri par classes• Tri naïf : classes de tailles ou d’effectifs homogènes → pas robuste

• k-meansMinimise les distances intra-classes Converge lentement à temps fini

S(k+1)i =

{αj : |αj − µ(k)

i | ≤ |αj − µ(k)l |pour tout l ∈ J1;nK

}µ

(k+1)i =

1|S(k+1)

i |

∑αj∈S(k+1)

i

αj

27/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

28/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Corrélation intra-classes des signaux d’entrée

29/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Détermination de la taille des classes

Structure non-linéaire

30/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Courbe-cible

[p̂ − 1, 96

√p̂(1− p̂)

N, p̂ + 1, 96

√p̂(1− p̂)

N

]Ajustement log-normal

31/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion


Méthode proposée

Enrichissement

Tri par classes

IncertitudesEnrichissement des réponsesMatrice RBootstrap


Conclusion

32/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Incertitude sur le modèle K-L

Resimulation successive des signaux de réponse

33/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Resimulation de la matrice d’autocorrélationR̂i,j =

1n − 1

n∑k=1

Y k(ti)Y k(tj) Zk = (Y k)>Y k

Méthode

Z i,j =1n

n∑k=1

Y k(ti)Y k(tj) zi,j =1n

n∑k=1

yk(ti)yk(tj)

U = (Z1,1, ...,Z1,N ,Z2,1, ...,Z2,N ,Z3,1, ...,Z3,N , ..., ..., ...,ZN,N )

U k = (Zk1,1, ...,Zk

1,N ,Zk2,1, ...,Zk

2,N ,Zk3,1, ...,Zk

3,N , ..., ..., ...ZkN,N )

uk = (zk1,1, ..., zk

1,N , zk2,1, ..., zk

2,N , zk3,1, ..., zk

3,N , ..., ..., ...zkN,N )

• m = (z1,1, ..., z1,N , z2,1, ..., z2,N , z3,1, ..., z3,N , ..., ..., ...zN,N )

• Γ =1

n − 1

n∑k=1

(uk −m

)T (uk −m)

U −m1/√n

L−−−−−→n→+∞

N (0,Γ)

34/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

R̂ =1

n − 1

n∑k=1

Zk = P DP> Zk = (Y k)>Y k

Méthode « simplifiée » : P supposée déterministe

D = P>R̂P = nn−1 ×

1n

n∑k=1

P>ZkP =n

n − 1×

1n

n∑k=1

(Y kP

)>Y kP

Dii = nn−1 ×

1n

n∑k=1

[Y kP

]2i

V =

(1n

n∑k=1

[Y kP

]21, ...,

1n

n∑k=1

[Y kP

]2N

)

V k =([

Y kP]2

1, ...,[Y kP

]2N

)vk =

([ykP]2

1, ...,[ykP]2

N

)• m =

(1n

n∑k=1

[ykP]2

1, ...,

1n

n∑k=1

[ykP]2

N

)• Γ =

1n − 1

n∑k=1

(vk −m

)T (vk −m)

V −m1/√n

L−−−−−→n→+∞

N (0,Γ)

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Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Intégralité des signaux

30 signaux

36/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Tirage successif des signaux d’entrée

37/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion


Méthode proposée

Enrichissement

Tri par classes

Incertitudes

Application à un cas réelPrésentation de la ligneCalcul des courbes de fragilité

Conclusion

38/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Ligne de tuyauterie ASG :• lyre inclinée dans le plan XOY• trois points 12, 19 et 35

39/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Courbe de fragilité au nœud 12

40/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

41/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Resimulation de la matrice d’autocorrélationIntégralité des signaux

30 signaux

42/43



Objectif

Méthodeproposée


Modèle K-L

Dépendance

Sim. entrée


Taille des classes


Matrice R

Bootstrap



Conclusion

Conclusion

Modèle probabiliste non gaussien et non stationnaire• meilleure prise en compte des caractéristiques des signaux réels (trèspeu d’hypothèses par rapport aux modèles classiques de la littérature)• permet l’enrichissement des réponses à un coût numérique réduit

Tri par classes « optimisé »Enrichissement des signaux de réponsePrise en compte de l’incertitude sur la matrice R

Pour la suite :• Représentation hilbertienne de la densité conjointe• Corrélation intra-classes• Courbes obtenues situées au-dessus de la courbe-cible

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