Positionetvitessed’uneparticulequantique

L’équationdeSchrödingergénérale

Chapitre2

JosephFourier1768-1830

WilliamR.Hamilton1805-1865

Laparticulelibreenmécaniquequantique

Enmécaniquequantique,l’étatd’uneparticuleponctuelleestdécritparunefonctiond’onde(onselimiteraiciaucasàunedimension)

Descriptionprobabiliste:Unemesuredepositiondonneralerésultatàprèsaveclaprobabilité

Silaparticuleestlibre,c’est-à-diren’estsoumiseàaucuneforce,niaucunemesure,l’évolutiondeestdonnéepar

Evolutiondansletemps:

ψ(x, t)

x

ψ(x, t)

i!∂ψ

∂t= − !2

2m

∂2ψ

∂x2

dP = |ψ(x, t)|2 dx

dx

P(x, t) = |ψ(x, t)|2densitédeprobabilité:

Questionscentralesducoursd’aujourd’hui

Quetrouve-t-onquandonmesurelavitesseoul’impulsiond’uneparticule?

Les relations d'incertitude de Heisenberg.

Notiond’opérateurpositionetd’opérateurimpulsion

EquationdeSchrödingerenprésenced’unpotentielV (x)

Ils’agitégalementd’unrésultatprobabiliste,avecunedensitédeprobabilitéreliéeàlatransforméedeFourierdeψ(x, t)

Peut-onconnaîtreàlafoislapositionetl’impulsiond’uneparticule?

1.

LatransformationdeFourier

propagationdelachaleur

∂u(x, t)∂t

= D∂2u(x, t)

∂x2

DessériesdeFourieràlatransformationdeFourier

Fonctionpériodiquedeclasseg(t)

g(t) C2T

ω0 =2π

T

Convergenceuniforme,

g(t) =+∞∑

n=−∞fn e−inω0t

fn =1T

∫ T

0e−inω0t g(t) dt

t

g(t)

t

Peut-onexprimercommeunesomme« continue »d’exponentiellesoscillantes?e−iωt

g(t)

g(t) =∫ +∞

−∞f(ω) e−iωt dω

?

Sioui,commenttrouverconnaissant?f(ω) g(t)

LatransformationdeFourier,ducoursdemathsaucoursdephysique

Maths(polycopiédetronccommun,chapitre7):laTFestdéfiniedansL1(fonctionssommables)

Physique:laTFestdéfinidansL2(fonctionsdecarrésommable)

1D:

Onutiliseaussil’espaceSdeSchwartz:fonctionsdécroissantplusvitequetoutepuissancedexàl’infini

f −→ f

ϕ(p) :=1√2π!

∫ +∞

−∞e−ixp/! ψ(x) dx

f(ξ) :=∫

RN

e−iξ·x f(x) dx

C∞

mêmes’ilfautsesouvenirdelavaleurdusignedans

LespropriétésessentiellesdelaTFpourlaphysique(I)

Connaissant,oncalculeenutilisant

Inversement,peut-onreconstruiresionconnaîtsaTF?

OUI!

OnditpoursimplifierqueetsontTFl’unedel’autre,

TF

ϕ(p) =1√2π!

∫ +∞

−∞e−ixp/! ψ(x) dx

ψ(x) =1√2π!

∫ +∞

−∞eixp/! ϕ(p) dp

ψ(x)

ψ(x)

ϕ(p)

ϕ(p)

ϕ(p)ψ(x)

ψ(x) ϕ(p)

e±ixp/!

Siestnormée,alorsl’estégalement:

LespropriétésessentiellesdelaTFpourlaphysique(II)

LaTFestuneisométriepourl’espaceL2TF TF

Notationcompacte: 〈ψ1|ψ2〉 = 〈ϕ1|ϕ2〉

1 = 〈ψ|ψ〉 = 〈ϕ|ϕ〉Notationcompacte:

ψ1(x) ψ2(x) ϕ2(p)ϕ1(p)

∫ψ∗

1(x) ψ2(x) dx =∫

ϕ∗1(p) ϕ2(p) dp

1 =∫

|ψ(x)|2 dx =∫

|ϕ(p)|2 dp

dψ(x)dx

=1√2π!

∫eixp/! ip

! ϕ(p) dp

LespropriétésessentiellesdelaTFpourlaphysique(III)

OnendéduitlaTFdeladérivéedeparrapportàx:

Dérivationdansl’espacedesx=

multiplicationdansl’espacedesp

DérivationettransforméedeFourier

Onpartde

etonsupposequ’onpeutdériversouslesigneintégral(OKdansl’espaceS)

TF

TF[ ]

ψ(x) ϕ(p)

ψ(x) =1√2π!

∫eixp/! ϕ(p) dp

dψ(x)dx

ip! ϕ(p)

2.

Ladistributionenimpulsiond’uneparticulequantique

Commentfaireunemesuredevitesseoud’impulsion?

Al’instant,laparticuleapourfonctiond’ondet = 0 ψ(x, 0)

x

|ψ(x, 0)|2

〈x〉0

Méthodedetempsdevol:laparticuleévoluependantuntempstsuffisammentlongdesorteque(onpeutmontrerquequand)∆xt ! ∆x0

x

Probabilitépourquelaparticuleparcourtladistancependantletempst?≈ L

∆xt

L

L’analyserigoureusedeceproblèmeestfaiteauchapitre2,§6(horsprogramme)

∆x0

〈x〉0 x = 〈x〉0 + L

∆xt ∝ t t→∞

Ladensitédeprobabilitépourl’impulsion

Proposition:siuneparticuleestdansl’état,alorsladistributiondeprobabilitépoursonimpulsionest:

TF

Est-cemathématiquementpossible?

Classiquement,unefoisconnuelatrajectoiredelaparticule,ondéfinitl’impulsiondelaparticulepar:

Retrouve-t-oncerésultatauniveauquantiquepourlesvaleursmoyennes?

Est-cephysiquementréaliste?

Onavuqueestnorméesiestnormée,donc

peutdoncbienêtreunedensitédeprobabilité

x(t)

P(p) = |ϕ(p)|2

ψ(x)

ψ(x) ϕ(p)

ϕ(p) ψ(x)∫P(p) dp = 1

P(p)

p = mdx

dt

Impulsionmoyenned’uneparticulelibrequantique

Auniveauquantique,onsaitcalculerl’évolutiondelapositionmoyennedelaparticuleenfonctiondutemps:

x x

Trouve-t-onsiondéfinit

par?

〈p〉t

|ψ(x, 0)|2 |ψ(x, t)|2

〈x〉0 〈x〉t

〈x〉t =∫

x |ψ(x, t)|2 dx〈x〉0 =∫

x |ψ(x, 0)|2 dx

〈p〉t =∫

p |ϕ(p, t)|2 dp

〈p〉t = md〈x〉t

dt

Unrésultatutilepourlasuiteducours

Comments’exprime

Onréécritcettevaleurmoyennesouslaforme:

enfonctionde?ψ(x)

ψ(x)ϕ(p) TF

isométrie:

ϕ∗1(p) = ϕ∗(p) TF ψ∗

1(x) = ψ∗(x)

ϕ2(p) = p ϕ(p) TFdérivation:

d’oùlerésultat:

〈p〉 =∫

p |ϕ(p)|2 dp

〈p〉 =∫

ϕ∗(p) p ϕ(p) dp

∫ϕ∗

1(p) ϕ2(p) dp =∫

ψ∗1(x) ψ2(x) dx

ψ2(x) =!i

dψ(x)dx

〈p〉 =∫

ψ∗(x)!i

dψ(x)dx

dx

Retouràlaquestion:?

L’évolutiondelapositionmoyennedelaparticuleestdonnéepar

Oninjectealorsl’évolutiondonnéeparl’équationdeSchrödinger

i!∂ψ

∂t= − !2

2m

∂2ψ

∂x2−i!∂ψ∗

∂t= − !2

2m

∂2ψ∗

∂x2

Intégrationsparpartiesensupposantquetendvers0quand|x|→∞ψ

àvérifierenexercice

Questionrésolue!

= 〈p〉t (cf.diapoprécédente)

〈p〉t = md〈x〉t

dt

d〈x〉t

dt=

ddt

∫x ψ∗(x, t) ψ(x, t) dx =

∫x ψ∗ ∂ψ

∂tdx +

∫x

∂ψ∗

∂tψ dx

md〈x〉t

dt= −i!

∫ψ∗ ∂ψ

∂xdx

3.

Opérateursposition,impulsion,énergie

et

l’équationdeSchrödingergénérale

Positionetimpulsionenmécaniquequantique

Valeurmoyennedelaposition:

Valeurmoyennedel’impulsion:

multiplicationparx

Structurecommuneentermed’opérateur:

ψ(x) x−→ x ψ(x)

dérivationparrapportàx(àprès)

Nousgénéraliseronsplustardcettestructureàtoutequantitéphysique

=∫

ψ∗(x) x ψ(x) dx〈x〉 =∫

x |ψ(x)|2 dx

〈p〉 =∫

p |ϕ(p)|2 dp

〈p〉 =∫

ψ∗(x) [p ψ(x)] dx

〈x〉 =∫

ψ∗(x) [x ψ(x)] dx

=∫

ψ∗(x)!i

dψ

dxdx

ψ(x) p−→ !i

dψ(x)dx

Retoursurl’équationdeSchrödingerpouruneparticulelibre

Nousavonsquel’évolutiondelafonctiond’onded’uneparticulelibreétaitrégieàunedimensionparl’équation:

i!∂ψ

∂t= − !2

2m

∂2ψ

∂x2

ψ(x, t)

Cetteéquationpeutseréécrireenutilisantl’opérateurimpulsion

i!∂ψ

∂t=

p2

2mψ avec

ouencore i!∂ψ

∂t= Hψ avec H =

p2

2m

estl’opérateur« énergiecinétique »,quicoïncideiciavecl’énergietotalecaraucunpotentieln’estprisencompteH

EquationdeSchrödinger=lientemps-énergie

ψ(x) p−→ !i

∂ψ(x)∂x

L’équationdeSchrödingerenprésenced’unpotentiel

V(x)

x

Nousallonsgarderlastructurei!∂ψ

∂t= Hψ

enincluantdanstouteslescontributionsàl’énergiedelaparticule:cinétiqueetpotentielle

H

avec

Equivalentquantiqueduprincipefondamentaldeladynamique(Newton)

L’équationdeSchrödingerquirégitl’évolutiondelafonctiond’onded’uneparticuledemassemenmouvementdanslepotentielV(x)s’écrit:

Principe2(casgénéral)

ψ(x, t)

i!∂ψ

∂t= Hψ H =

p2

2m+ V (x)

Hψ(x, t) = − !2

2m

∂2ψ(x, t)∂x2

+ V (x)ψ(x, t)Ecritureexplicite:

:opérateurénergietotaleou« Hamiltonien »H

PourquoiHamilton?

Mathématicien,physicien,astronomeirlandais

Parlait10languesà12ans

Inventeurdesquaternions,contributionsmajeuresàl’analysevectorielleetàl’algèbrelinéaire(th.deCayley-Hamilton)

Lamécaniquenewtoniennecorrespondàlamêmelimitequel'optiquegéométriqueparrapportàl'optiqueondulatoire

AprèsLagrange,ilreformulelamécaniquedeNewton

Effectuelasynthèseentrel'optiqueondulatoireetl'optiquegéométrique

1805-1865

optiquegéométrique

optiqueondulatoire

mécaniquenewtonienne ?

4.

Paquetsd’ondeset

inégalitédeHeisenberg

Interprétation«physique»delaTF

estunesuperpositiond’ondesdedeBroglie

Premieramphi:onavul’ondededeBroglieassociéeàuneparticuled’impulsion,maiscetteonden’estpasnormalisée

Aujourd’hui:toutefonctiond’ondenormaliséepeuts’écrire

représentel’amplitudedel’ondedanscedéveloppement

++ =

paquetd’ondes

p0

ψ(x) =1√2π!

∫eixp/! ϕ(p) dp

ψ(x)

ϕ(p) eixp/!

ψ(x) = eixp0/!

eixp/!

Développementd’unvecteursurunebaseorthonormée

Élémentàdévelopper

Typedesomme

Vecteursdebase

«poids»d’unvecteurdebase

normalisation

LaTFestsimilaireaudéveloppementsurunebase

àrelierà

sommediscrète intégrale

Onpeutformalisercetteanalogieenintroduisantlanotiondebasecontinue.Horsprogrammepourcecours(baseshilbertiennesdansl’amphi5)

ψ(x) =1√2π!

∫eixp/! ϕ(p) dp

up(x) = eixp/!/√

2π!∫

|ϕ(p)|2 dp = 1

!A { !un }

!A =∑

n

ϕn !un

vecteur !A fonction ψ(x)

!un

∑

n

|ϕn|2 = 1

|ϕn|2 |ϕ(p)|2

L’exempled’unpaquetd’ondes« gaussien »

LescalculsdeTFpeuventêtremenésanalytiquementaveclesgaussiennes

〈p〉 = p0

∆p = q

moyenne:écart-type:

Quelleestlafonctiond’ondecorrespondante?ψ(x)

p

p0

P(p)

2∆p

moyenne:écart-type:

〈x〉 = 0∆x =

!2q

Pourcepaquetd’ondesgaussien,onatoujours: ∆x ∆p =!2

Re(ψ)

x

2∆x

h/p0

ψ(x) ∝ eip0x/! e−q2x2/!2

P(x) ∝ e−2q2x2/!2

ϕ(p) ∝ e−(p−p0)2/(4q2) P(p) ∝ e−(p−p0)

2/(2q2)

Deuxcaslimitesintéressantsdupaquetgaussien

Lepaquetquasi-monocinétique:∆p! p0

Ilyaalorsbeaucoupd’oscillationsdeavecuneamplitudesimilairecar

λ =h

p0! ∆x =

!2 ∆p

ψ(x)

Lepaquetbienlocalisé:∆x ≈ λ

L’impulsionestalorsmaldéfinie:∆p ≈ p0

Re(ψ)

:unpaquetnepeutpasêtreàlafoisbienlocaliséetquasi-monocinétique∆x ∆p =!2

Re(ψ)

x

x

∆x

λOnretrouveuneondeplanedanslalimite∆p→ 0

L’inégalitédeHeisenbergdanslecasgénéral

Onsedonneunefonctiond’ondenormalisée,deTFψ(x) ϕ(p)

P(p) = |ϕ(p)|2

P(x) = |ψ(x)|2

∆x =[〈x2〉 − 〈x〉2

]1/2

Distributiondeprobabilitépourlapositiondelaparticule:

Distributiondeprobabilitépourl’impulsiondelaparticule:

∆p =[〈p2〉 − 〈p〉2

]1/2

Onatoujours:∆x ∆p ≥ !2

égalitéatteinteseulementpourlesgaussiennes

cf.PC

〈p〉 =∫

p |ϕ(p)|2 dp

〈x〉 =∫

x |ψ(x)|2 dx

Significationphysiquedel’inégalitédeHeisenberg

Ilestimpossibledeprépareruneparticuledansunétattelquelapositionetl’impulsiondelaparticulesoientsimultanémentarbitrairementbiendéfinies

Onconsidère2Nparticulestoutespréparéesdanslemêmeétat

MesuredelapositionsurNparticules Mesuredel’impulsionsurNparticules

ψ(x) TF←→ ϕ(p)

x p

n(p)n(x)

〈x〉∆x ∆p

〈p〉

∆x ∆p ≥ !2

Ceshistogrammesnepeuventpasêtresimultanémentarbitrairementétroits

Cetterelationd'incertituden'arienàvoiraveclarésolutiondesappareilsdemesure,c'est-à-direlalargeurdescanauxdeshistogrammes

Lecasmulti-dimensionnel

Considéronslemouvementd’uneparticuledansunplan0xy

ψ(x, y) ϕ(px, py)TF

avec

Onpeutdémontrercommeà1DlesinégalitésdeHeisenberg:

∆x∆px ≥!2

∆y ∆py ≥!2

Enrevanche,onpeuttrouverdessituationsoù∆x∆py <!2

ϕ(px, py) =1

2π!

∫∫ei(xpx+ypy) ψ(x, y) dxdy

x

InégalitédeHeisenbergetdiffraction

particulesincidentesavecuneimpulsionselonxarbitrairementfaibley

a Ons’intéresseauxparticulesqui« passentparletrou ».Onconnaîtdoncleurpositionselonxavecuneprécision Qu’enest-ildeleurimpulsionselonx?

∆x ∼ a

λ =h

py

Diffraction! θ =λ

a

θ

∆px ∼λ

apy

∼ h

a

∆x ∆px ∼ h

Lacomposanteselonxdel’impulsiondesparticulestransmisesn’estconnuequ’àprès.∆px ∼ θ py

(onsupposepoursimplifier)θ ! 1

Lastabilitédelamatière(1)

La« catastrophe »durayonnementclassiquepourunatome:

unechargeaccéléréerayonne

unélectrontournantautourd’unnoyauestaccéléré

l’énergied’unélectronautourd’unnoyauponctueln’estpasbornéeinférieurement

Mouvementcirculaireuniformeavecl’énergiepotentielleV (r) = − q2

4πε0r

équilibredesforces: mv2

r=

q2

4πε0r2

énergiecinétique: Ecin =12

q2

4πε0r

Etot = Ecin + V (r) = −12

q2

4πε0rénergietotale: Etot → −∞

r → 0

Lastabilitédelamatière(2)

Lesatomessauvésparl’inégalitédeHeisenberg…

Confineruneparticuledansunerégiond’étendueL« coûte »del’énergiecinétique:

∆x ≤ L ∆p ≥ !2L

Ecin ∼∆p2

2m≥ !2

8mL2

Si« l’orbite »del’électronatomiqueauneextensiontropfaible,cecoûtenénergiecinétiquel’emportesurlegainenénergiepotentielle.

Minimumdeatteintpour!2

8mL2− q2

4πε0LL =

!2

4m(q2 / 4πε0)

Raisonnementnonrigoureux,maisquidonnebien(àunfacteurnumériqueprès)lerayondeBohr,c’est-à-direlatailledel’étatfondamentaldel’atomed’hydrogène

Enrésumé

Distributiondeprobabilitépourlapositionetpourl’impulsion|ψ(x)|2 |ϕ(p)|2

TF ∆x∆p ≥ !2

Structureopératorielle:

ψ(x) x−→ x ψ(x)Opérateurposition:

Opérateurimpulsion:

EquationdeSchrödingergénérale:

H =p2

2m+ V (x)Opérateurénergieou« Hamiltonien »

i!∂ψ

∂t= Hψ

〈p〉 =∫

ψ∗(x) [p ψ(x)] dx

〈x〉 =∫

ψ∗(x) [x ψ(x)] dx

ψ(x) p−→ !i

∂ψ(x)∂x