La vitesse d’une particule quantique et

la transformation de Fourier

Chapitre 2

La particule libre en mécanique quantique

En mécanique quantique, l’état d’une particule ponctuelle est décritpar une fonction d’onde

Description probabiliste :Une mesure de position donnera le résultat à près avec la probabilité

Si la particule n’est soumise à aucune force, l’évolution de est donnéepar l’équation de Schrödinger

Evolution dans le temps :

Questions centrales du cours d’aujourd’hui

1. Que trouve-t-on quand on mesure la vitesse ou l’impulsion d’une particule quantique ?

Il s’agit d’un résultat probabiliste

La densité de probabilité pour l’impulsion est donnée par

où est la transformée de Fourier de

2. La transformée de Fourier à l’œuvre : l’exemple de l’optique cohérente

Les relations d'incertitude de Heisenberg.

Transformée de Fourier, interférences et diffraction

1.

La transformation de Fourier

Joseph Fourier,1768-1830

La transformation de Fourier, du cours de maths au cours de physique

Maths : la TF est définie dans L1 (fonctions sommables)

Physique : la TF est défini dans L2 (fonctions de carré sommable)

1D :

3 D :

On utilise aussi l’espace S de Schwartz : fonctions décroissant plus vite que toute puissance de x à l’infini

même s’il faut se souvenir de la valeur du signe dans

Les propriétés essentielles de la TF pour la physique (I)

Connaissant , on calcule en utilisant

Inversement, peut-on reconstruire si on connaît sa TF ?

OUI !

On dit pour simplifier que et sont TF l’une de l’autre,

TF

Si est normée, alors l’est également :

Les propriétés essentielles de la TF pour la physique (II)

La TF est une isométrie pour l’espace L2

TF TF

Les propriétés essentielles de la TF pour la physique (III)

On en déduit la TF des dérivées successives de par rapport à x :

Dérivation dans l’espace des x = multiplication dans l’espace des p

Dérivation et transformée de Fourier

On part de

et on suppose qu’on peut dériver sous le signe intégral (OK dans l’espace S)

TF

TF

TF

2.

Pourquoi Fourier ?

Un des grands problèmes du début du 19ème siècle : la propagation de la chaleur

à comparer à notre équation de Schrödinger

http://www.academie-sciences.fr/Membres/in_memoriam/Generalites/Fourier_Kahane.pdf

et on cherche la solution de l’équation de Schrödinger :

Résolution de l’équation de Schrödinger (particule libre)

La TF de l’équation de Schrödinger est donc :

On se donne comme condition initiale la fonction d’onde à l’instant t=0 :

On utilise la transformation de Fourier

Cette équation s’intègre facilement :

Remarque :

Résolution de l’éq. de Schrödinger (particule libre) - suite

Une fois connue la transformée de Fourier à tout instant t

on peut en déduire à tout t par transformation de Fourier :

c’est-à-dire :

Méthode générale de résolution de l’éq. de Schrödinger libre !

Transformation de Fourier et distribution en impulsion

Proposition : si une particule est dans l’état , alors la distribution de probabilité pour son impulsion est :

TF

Est-ce raisonnable ?

1) On a vu que est normée si est normée, donc

3) Est-ce conforme à l’intuition qu’on a d’une vitesse ou d’une impulsion ?

En mécanique classique, on peut déterminer la vitesse d’une particule en mesurant sa position à l’instant 0 et à l’instant t :

2) On a vu que . La quantité est donc indépendante du temps, comme attendu pour une particule libre.

et quantiquement ?

Impulsion moyenne d’une particule libre quantique

A l’instant 0, la particule est préparée dans l’état

x x

Si on définit l’impulsion moyenne comme avec

, a-t-on le résultat attendu

Oui ! (à faire en exercice)

Note: La démonstration rigoureuse de par analyse d’uneexpérience de « temps de vol » est faite au chapitre 2, §6, et est hors programme.

Solution de l’exercice (à ne consulter qu’en dernier recours)

On utilise ensuite

On commence par utiliser la formule de l’isométrie et la TF d’une dérivée :

et on obtient

CQFD

Interprétation « physique » de la TF

est une superposition d’ondes de de Broglie

Premier amphi : on a vu l’onde de de Broglieassociée à une particule d’impulsion , mais cette onde n’est pas normalisée

Aujourd’hui : toute fonction d’onde normalisée peut s’écrire

représente l’amplitude de l’onde dans ce développement

++ =

Développement d’un vecteur sur une base orthonormée

Élément à développer

Type de somme

Vecteurs de base

« poids » d’un vecteur de base

normalisation

La TF est similaire au développement sur une base

à relier à

somme discrète intégrale

On peut formaliser cette analogie en introduisant la notion de base continue.Hors programme pour ce cours (bases hilbertiennes dans l’amphi 5)

3.

Transformée de Fourier, diffraction et interférences :

l’exemple des ondes lumineuses

Généralité de la Transformation de Fourier

Sons (ou phénomène dépendants du temps) :temps t et fréquence (ou fréquence angulaire = 2 )

Espace (équation de la chaleur, équations d’onde) : position x et « fréquence spatiale » k = 2 /

ˆ f (k) =1

2

+

f (x) e ikxdx

f (x) =1

2

+ ˆ f (k) eikxdk

f̂ ( ) =1

2

+

f (t) e i tdt

f (t) =1

2

+

f̂ ( ) ei td

Huygens, Traité de la Lumière (1690)- Un « front d’onde » peut se décomposeren sources secondaires émettant desondes sphériques (ondelettes)- Le front d’onde se propage commel’enveloppe de ces ondelettes

Les ondes lumineuses : de Huygens à Fresnel

Principe de Huygens-Fresnel (1818)- L’amplitude de vibration d’une sourcesecondaire est proportionnelle à son aire- Si S n’est pas une surface d’onde, ilfaut tenir compte de la phase des sourcessecondaires :

dA(r ) = A0 (r ) e

i (r )d2r

x

y

z

r

Ecran dans le plan (x, y)

François Arago (1786-1883)Le Président

Denis Poisson(1781-1840)

Un examinateur

Concours pour le Grand Prix de l’Académie des Sciences (1819)

Disque opaque

Triomphedu modèle

ondulatoire !

Augustin Fresnel(1788-1827)Le Candidat

Diffraction et Transformation de Fourier

Phénomène étudié : diffraction à l’infini (Fraunhoffer)

* Ecran dans le plan (x, y)* Transmission T(r) = T(x,y)

(r) (0) = r . (ki - kd) = r . k

A(kd) = Ai dr T(r) exp (- i r . (kd - ki))

= Ai dx dy T(x,y) exp (- i x kx - i y ky)

Amplitude diffractée = TF à deux dimensions de T(x, y) !

x

y

zkikd

r

- source et écran d’observation à l’infini :amplitude diffractée dans la direction kd

- principe de Huygens-Fresnel : * somme d’ondes partielles* approximation scalaire : E -> A

Diffraction et Transformation de Fourier

Notations : ki (0, 0, k = 2 / ) kd ( k, k, k) , , << 1

Variables conjuguées de (x, y) : angles de diffraction , << 1 vecteur d’onde transverse

kx = k, ky = k

A( , ) = Ai dx dy T(x,y) exp (- i k ( x + y ) )

= Ai dx dy T(x,y) exp (- 2 i ( x + y ) / )

x

y

zki kd

rkx

ky

Diffraction et Transformation de Fourier : exemples

Ouverture rectangulaire de côtés (a, b) :

A( , ) = Ai - a/2 dx - b/2 dy exp (-2 i ( x + y ) / )

= Ai a b sinc ( a / ) sinc ( b / )

|A(k)|2 = | Ai a b|2 sinc2 ( a / ) sinc2 ( b / )

sinc(x) =sin(x)x

a/2 b/2

sinc2 (u)

u = a/ = kx a /2

Une dimension : une fente de

largeur a

a

Pupille rectangulaire|A(kx, ky)|2 =

sinc2 (kx a/2) sinc2 (ky b/2)

a

b

Pupille circulaire|A(kr)|2 =

| J1 (kr a /2) / (kr a /2) | 2

J1 (x) : fonction de Bessel

a

Diffraction et Transformation de Fourier : exemples

Deux fentes de largeur a (inchangée) séparées de d :(pour une fente la longueur b est très grande : = 0)

A( ) = Ai a b sinc ( a / ) ( 1 + exp (-2 i d / ) )

|A( )|2 = | Ai a b|2 sinc2 ( a / ) ( 2 cos ( d / ) )2

A2 (u)2 fentesséparées de

d = 4 a

a a

u = a/ = kx a /2

Fentes d’Young !

Diffraction et Transformation de Fourier : exemples

N fentes de largeur a (inchangée) séparées de d :série géométrique de raison q = exp (-2 i d / )

A( ) = Ai a b sinc ( a / ) 1 exp (-2 i N d / )

1 exp (-2 i d / )

|A( )|2 = | Ai a b|2 sinc2 ( a / ) sin2 (N d / )

sin2 ( d / )

A2 (u)4 fentesséparées de

d = 4 au = a/ = kx a /2

Réseau (ou maille cristalline) !

Diffraction par des fentes : résumé

Largeur d’une fente :taille du lobe de diffraction

Distance entre les fentes :interfrange

Nombre de fentes :largeur des pics d’intensité

Ecran Figure de diffraction

Diffraction et Transformation de Fourier

Résultats très généraux :- dépendent peu de la « forme du trou » (objet diffringent)- valables pour des ondes lumineuses

… et pour des ondes de matière : | p | = k = h/ - rôle crucial de la longueur d’onde :

tache de diffraction (angulaire) : / ainterfrange (angulaire) : / d

Exemples : longueur d’onde (électromagnétique) des rayons X longueur d’onde (de de Broglie) des électrons quelques Angström (dizièmes de nm)-> diffraction d’électrons ou de rayons X par des cristaux !

* Davisson et Germer (1927)* Analyse structurelle (ex : alliages, ADN...)

4.

Les inégalités de Heisenberg

Largeur d’une fonction et largeur de sa TF :formalisation

Fonction a (x) quelconque et sa transformée de Fourier â (k)

Isométrie : dx | a (x) |2 = dk | â (k) |2 = 1 (convention)

| a (x) |2 et | â (k) |2 peuvent alors être considérées comme desdensités de probabilité pour les variables aléatoires x et k.

dP(x) = | a (x) |2 dx dP(x) = 1

dP(k) = | â (k) |2 dk dP(k) = 1

| a (x) |2 | â (k) |2

x k

dP(u) : probabilité pourque la variable aléatoire

soit entre u et u + du

Largeur d’une fonction et largeur de sa TF :formalisation

On peut alors définir les valeurs moyennes x et k :

x = x dP(x) = dx x | a (x) |2

k = k dP(k) = dk k | â (k) |2

… et les dispersions x et k :

x2 = ( x - x )2 dP(x) = x2 - x 2

k2 = ( k - k )2 dP(k) = k2 - k 2

En utilisant ces équations on montre que : x k 1/2(inégalités de Cauchy-Schwarz)

Pour les variables temps-fréquence on a : t 1/2

Ces inégalités sont des propriétés inhérentes à la TF !

Largeur d’une fonction et largeur de sa TF :exemple de la diffraction

Plus une fonction a (x) (fente) est "étroite", plus sa transformée deFourier â (k) (lobe de diffraction) est "large", et réciproquement.

| a (x) |2 | â (k) |2

x k

| a (x) |2 | â (k) |2

x k

| a (x) |2 | â (k) |2

x k

Des ondes lumineuses aux ondes de matière

Equation de Schrödinger pour une particule libre :

Solutions en ondes planes (non normalisables) :

i(r ,t)

t=

2

2m(r ,t)

(r ,t) =

kei(k .r t )

= p ei( p.r Et )/

Paquet d’ondes (superposition de solutions : solution générale !)

(r ,t) =d 3k

(2 )3/2 (k ) ei(k .r t )

=d 3p

(2 )3/2 (p) ei( p.r Et )/

Transforméesde Fourier

(inverses) de

(k ) e i t

(p) e iEt /

=

2k2

2m= E =

p2

2m

(r ,t) =d 3k

(2 )3/2 (k ) ei(k .r t )

=d 3p

(2 )3/2 (p) ei( p.r Et )/

* Le devient car on a 3 dimensions

* On fait le changement de variable et on pose aussi

pour normaliser toutes les fonctions :

2 ( 2 )3

p = k

(k ) = 3/2 ( k )

Remarque

sur les constantes

| (r ,t) |2 d 3r = | (k ,t) |2 d 3k = | (p,t) |2 d 3p = 1

Transformée de Fourier et ondes de matière

Inégalités de Heisenberg

Les fonctions et étant reliées par TF, on a :

x px 2y py 2

z pz 2

* Conséquences directes de la TF ! (cf. x kx 1/2 )

* Propriétés intrinsèques de la fonction d’onde :* indépendantes de toute mesure* … mais vérifiables en effectuant des mesures sur des

particules toutes préparées dans le même état.

* Importance fondamentale ! (cohérence de la théorie)

(r ,t)

ˆ (p,t)

Les ondes de De Broglie : une limite des paquets d’ondes

On considère le paquet d’ondes

dans le cas limite

L’onde de de Broglie correspond au cas qui est non physique à strictement parler (onde plane non normalisable)

et sa transformée de Fourier

(x) = A e

(x x0 )2 2

2 eix p0

(p) =A

2e

( p p0 )2

2 2 2

eix0 ( p p0 )

5.

Diffraction et Transformée de Fourier : quelques expériences...

« Manipulations holographiquesd’ondes de matière »

(Morinaga et al. , 1996)

Amplitudereprésentée en3 dimensions

Episodes suivants...

* Jusqu’à présent : équation de Schrödinger dans le vide

Que devient l’équation de Schrödingersi des forces s’exercent sur la particule ?

* On a vu des exemples de mesures (position, impulsion…),mais comment décrire de façon générale

le processus de mesure en mécanique quantique ?

Quel est l’objet mathématiqueassocié à une quantité physique ?