Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 1. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

37 8 1169 10 36−9 −2 −28

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 2. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

13 6 −4−8 0 2−4 −3 7

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 3. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

−12 −7 133 24 9−11 −7 0

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 4. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

1 0 0−9 6 4−9 −2 12

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 5. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

−30 −16 114−33 −29 162−11 −8 49

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 6. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

127 −240 12060 −113 60−15 30 −8

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 7. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

−10 −4 6416 13 −52−4 −1 22

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 8. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

7 12 4868 43 212−17 −12 −58

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 9. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

28 9 9024 7 78−12 −3 −38

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 10. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

−6 0 0−14 −17 36−7 −6 13

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 11. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

−36 −18 909 0 −27−9 −6 21

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 1.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 12. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

−37 −9 9018 2 −48−9 −3 20

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 13. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

42 36 108−18 −12 −54−9 −9 −21

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 14. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

−7 0 0−60 −42 200−15 −10 48

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 15. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

15 12 7821 9 87−7 −4 −32

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 16. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

31 9 36−48 −8 −84−12 −3 −17

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 17. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

14 2 2021 9 48−7 −1 −10

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 1.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 18. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

−8 0 056 36 120−14 −10 −34

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 19. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

−5 0 016 2 12−4 −1 −5

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 20. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

8 10 4060 38 180−15 −10 −47

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 21. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

19 24 10042 29 156−14 −12 −59

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 22. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

22 0 2448 10 96−12 0 −14

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 23. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

−7 −5 140 2 0−7 −5 14

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 1.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 24. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

22 6 12−24 0 −32−6 −2 0

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 25. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

4 −1 46 11 −4−3 −1 11

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 26. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

−9 0 030 8 4−15 −2 2

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 27. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

−36 −16 11224 12 −72−8 −4 24

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 1.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 28. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

−51 −18 14430 15 −78−15 −6 42

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 29. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

15 15 8118 13 84−6 −5 −30

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 30. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

−112 −330 11044 130 −4411 33 −13

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 31. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

5 −40 −204 −21 −8−2 8 −1

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 32. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

−4 32 00 4 0−8 32 4

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 33. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

−62 −40 340−26 −27 164−13 −10 75

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.

Nom et prénom : Exercices de calcul no 13 – 2e fournée

Polynômes, polynômes caractéristiques, d’endomorphismes – à rendre le lundi 7 décembre 2020 –

­ Entraînement sur l’exercice classique par excellence : diagonalisation d’une matrice, et calcul de ses puissances.

Exercice 34. (obligatoire, 2e fournée) Soit A =

−26 −9 90−12 −11 54−6 −3 22

.

1. Calculer le polynôme caractéristique de A.Faites en sorte qu’il soit obtenu directement sous forme factorisée.

2. En déduire les éléments propres de A.Je ne demande le détail des résolutions de systèmes linéaires que pour un seul sous-espace propre. Pour les autres,indiquez immédiatement le résultat final.

3. Expliciter P ∈ GL3(R) et D ∈ M3(R) diagonale telles que : A = PDP−1.4. (bonus) Calculer An pour tout entier n > 0.