POLYCOPIE DE TRAVAUX

PRATIQUES———————————————-

Licence SST - EEA - S5Universite de Franche-Comte a Besancon

INTRODUCTION A LA COMMANDE (IC)

Micky RAKOTONDRABEtel : 03 81 40 28 03

mail : mrakoton@femto-st.fr

document telechargeable surhttp://www.femto-st.fr/˜micky.rakotondrabe/teaching.php

1

Table des matieres

1 TP N˚1 : ETUDE D’UN SYSTEME DE CHAUFFAGE 51.1 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Presentation du materiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Modelisation du systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Identification du systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Commande en Boucle Ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Commande en Boucle Fermee - utilisation de la commande Tout-Ou-Rien . . . 9

2 TP N˚2 : ETUDE DE LA POSITION ANGULAIRE D’UNE MAQUETTE FEEDBACK 102.1 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Presentation du materiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Identification du systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Commande en position angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.1 Correcteur proportionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.2 Correcteur proportionnel-derive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 TP N˚3-A : ETUDE DU DEBIT D’UN SYSTEME HYDRAULIQUE INDUSTRIEL 153.1 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Presentation du materiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Introduction a la commande PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4 Commande PID avec un reglage automatique des parametres . . . . . . . . . . 183.5 Commande PID avec un reglage manuel des parametres - methode par ZIEGLER-

NICHOLS en boucle fermee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.6 Commande PID avec un reglage manuel des parametres - methode par essai-erreur 183.7 Comparaison des trois methodes de reglage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.8 Schema de principe du circuit hydraulique et nomenclature . . . . . . . . . . . 19

4 TP N˚3-B : ETUDE DE LA POSITION LINEAIRE D’UN CHARIOT ELECTRIQUE 234.1 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Presentation du materiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3 Identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.4 Commande Plus-Ou-Moins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.5 Introduction a la commande PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2

4.5.1 Correcteur P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.5.2 Correcteur PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.6 Commande PID avec reglage par la methode de ZN-BO . . . . . . . . . . . . 25

5 TP N˚4 : SIMULATION OF SYSTEMS USING THE MATLAB-SIMULINK c© SOFT-WARE 265.1 Objective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2 Presentation of the software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.3 Handling MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.3.1 Numerical computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.3.2 Simulation of systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.4 Handling SIMULINK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.5 Identification and control of a 1st order system . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.5.1 Identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.5.2 Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.6 Identification and control of a 2nd order system . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.6.1 Identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.6.2 Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

A Identification 33A.1 Modele du 1er ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

A.1.1 Identification temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33A.1.2 Identification frequentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

A.2 Modele de BROIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35A.3 Modele du 1er ordre suivi d’un integrateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35A.4 Modele du 2nd ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

A.4.1 Systeme oscillant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37A.4.2 Systeme aperiodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

B Equations des correcteurs a base de P, I et D 39B.1 Correcteur P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39B.2 Correcteur PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40B.3 Correcteur PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40B.4 Correcteur PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

C Correcteurs PID a base d’Amplificateurs Operationnels 42C.1 Sommateur - Amplificateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42C.2 Integrateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43C.3 Derivateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

D Methodes de reglage empiriques d’un correcteur PID 45D.1 Methode de COHEN et COON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45D.2 Methode par Essai-Erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46D.3 Methode de ZIEGLER et NICHOLS en Boucle Fermee (ZN-BF) . . . . . . . . . 46

3

D.4 Methode de ZIEGLER et NICHOLS en Boucle Ouverte (ZN-BO) . . . . . . . . 47

E Quelques fonctions de MATLAB 48E.1 Calcul de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48E.2 Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48E.3 Quelques fonctions utilisees en Automatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Bibliographie 52

4

Chapitre 1

TP N˚1 : ETUDE D’UN SYSTEME DECHAUFFAGE

1.1 Objectif

La regulation de temperature est un probleme courant dans la vie de tous les jours, dans lesindustries ou dans la recherche (seche-cheveux, confection d’aliments, couveuse, systeme dechauffage domestique, centrale nucleaire, etc.). L’objectif de ce TP est multiple :

– modelisation un systeme de chauffage,– identification les parametres du modele par deux methodes : temporelle et frequentielle,– et introduction a la commande en boucle ouverte et boucle fermee. Cette derniere utilisera

la commande de type Tout-Ou-Rien.

1.2 Presentation du materiel

Le systeme de chauffage etudie est un seche-cheveux (Process Trainer PT 326) (Fig. 1.1). Ilest constitue de :

– une resistance chauffante, utilisant l’effet Joule pour transformer l’energie electrique enenergie thermique, qui chauffe l’air,

– un ventilateur, dont la vitesse notee α est reglable (de 0 a 10) par le biais d’un poten-tiometre ”throttle control”, qui souffle l’air chaud,

– un tube qui canalise le flux d’air chaud vers le point d’utilisation,– une sonde (thermistance 1) pour mesurer la temperature. Ce capteur peut etre place en

trois points differents du tube : L = 28mm (orifice gauche), L = 140mm (orificemedian) et L = 279mm (orifice droit). Afin d’obtenir un signal exploitable par unsysteme de commande ou affichable sur un oscilloscope, la thermistance est placee dans

1Thermistance : resistance dont la valeur varie en fonction de la temperature.

5

un pont de WHEATSTONE qui transforme la variation de resistance en une tension electriqueproportionnelle a la temperature,

– differents points d’entree et de sortie de signaux pour l’alimentation ou la commande etpour la mesure.

FIG. 1.1 – Photo de la maquette thermique.

Un ordinateur avec une carte d’acquisition dSPACE est utilise pour l’alimentation et la com-mande du systeme (Fig. 1.2). Le logiciel MATLAB-SIMULINK c© sera utilise pour cela. Lesprogrammes supplementaires COCKPIT et TRACE faciliteront la commande en temps reel du-rant les experimentations.

6

ordinateur

(a)

(b)

cart

e D

Sp

acec

Tprocédé

d

T

u

u

+-ε régulateur

ordinateur

cart

e D

Sp

ace

procédé

d

T

FIG. 1.2 – (a) : alimentation a partir d’un ordinateur et d’une carte dSPACE. (b) : commande enboucle fermee a partir d’un ordinateur et d’une carte dSPACE.

1.3 Modelisation du systeme

Le schema fonctionnel du procede (seche-cheveux) est represente par la Fig. 1.3 dans lequelon a :

– U : la tension d’alimentation a appliquer a la borne A de la maquette,– T : l’image electrique de la temperature de sortie. Elle est disponible a la borne B,– d : une perturbation en sortie qui agit sur le fonctionnement du systeme. Cette perturba-

tion represente les changements pouvant intervenir dans l’atmosphere de travail (refroi-dissement ou rechauffement de l’air ambiant, obstacle devant la ventillation, etc.) et il estegalement possible de la ramener en entree (perturbation en entree),

– et G(p) : le modele qui represente le procede,

Tu( )G p

d

++

FIG. 1.3 – Schema fonctionnel du systeme.

7

QUESTION 1 On suppose pour le moment d = 0. Le procede peut etre modelise par unsysteme du 1er ordre avec retard de constante de temps τ , de gain statique K et de retard Tr.De tel modele est appele modele de BROIDA. Ecrire la fonction de transfert G(p).

1.4 Identification du systeme

QUESTION 2 : IDENTIFICATION TEMPORELLE Pour les differentes combinaisons de vi-tesse α du ventilateur et de position L du capteur (voir Tab. 1.1), identifiez les parametres deG(p). Pour cela, utiliser un echelon U = 5V en entree. La premiere combinaison α-L ainsi quel’utilisation de MATLAB-SIMULINK et COCKPIT seront presentees par l’assistant TP.

TAB. 1.1 – Tableau d’identification

K τ Tr

α = 4 et L = 140α = 4 et L = 279α = 8 et L = 140α = 8 et L = 279

Pour le reste du TP, nous prennons α = 4 et L = 140. Par ailleurs, nous supposerons que lemodele de G(p) et sans retard.

QUESTION 3 : IDENTIFICATION FREQUENTIELLE Identifier les parametres de G(p) avecla methode frequentielle. Pour cela, utiliser une tension U de type sinusoıdal d’amplitude 5V etde differentes frequences (0.01Hz, 0.03Hz, 0.06Hz, 0.1Hz, 0.3Hz, 0.6Hz, 1Hz, 3Hz, 6Hz,10Hz, 30Hz).

1.5 Commande en Boucle Ouverte

L’un des objectifs de la commande d’un systeme est de faire suivre sans erreur la sortie(temperature T du seche-cheveux) a une valeur souhaitee appelee consigne ou reference. Cetteconsigne est evidemment homogene (meme type) a la sortie, dans notre cas on la notera parTc (consigne en temperature). Ainsi, lorsque le regime est permanent, l’erreur Tc − T doit etrenulle, c’est-a-dire T

Tc(t →∞) = T

Tc(p → 0) = 1. Or, le systeme a pour entree une tension U .

La commande en boucle ouverte (Fig. 1.4) consiste donc a retrouver un coefficient Kbo

mis en cascade avec le systeme et qui satisfera TTc

(t → ∞) = TTc

(p → 0) = 1, lorsque laperturbation d est nulle.

QUESTIONS 4– Ecrire la fonction de transfert qui lie T et Tc quand d = 0,

8

d

Tu

++( )G pboKcT

FIG. 1.4 – Commande en boucle ouverte.

– calculer la valeur de Kbo pour que TTc

(t →∞) = TTc

(p → 0) = 1,– commandez le procede en boucle ouverte en utilisant la valeur trouvee,– appliquer maintenant des perturbations (en bouchant a la main le tube) et analyser les

performances statiques du systeme commande (en visualisant T et Tc a l’oscilloscope),– faites une conclusion sur la(es) limite(s) de la commande en boucle ouverte.

1.6 Commande en Boucle Fermee - utilisation de la commande Tout-Ou-Rien

Le schema de principe de la commande en boucle fermee etudiee est presente sur la Fig. 1.5dans lequel la fonction de transfert C(p) est le correcteur ou regulateur.

d

Tu

++

+- ( )G pcT ε ( )C p

FIG. 1.5 – Commande en boucle fermee.

QUESTIONS 5– Realiser un regulateur Tout-Ou-Rien (TOR) dans votre fichier SIMULINK,– verifier a l’oscilloscope les resultats T et Tc et commenter.

9

Chapitre 2

TP N˚2 : ETUDE DE LA POSITIONANGULAIRE D’UNE MAQUETTEFEEDBACK

2.1 Objectif

Les moteurs a courant continu sont utilises pour l’actionnement de nombreux systemes.Tandis que dans certaines applications, on s’interesse a leur vitesse de rotation (mini-drones,perceuses electriques, etc.), dans d’autres on s’interesse plus a la position angulaire (pendule in-verse, articulations d’un bras de robot, etc.). Selon les applications, les performances souhaiteessont plus ou moins severes demandant ainsi un correcteur plus ou moins complique.

Les objectifs de ce TP sont :

– l’identification des parametres du modele,– la commande en boucle fermee de la position,

2.2 Presentation du materiel

La maquette de TP utilisee est une maquette fournie par FEEDBACK. Elle est composee dedeux boıtiers : boıtier de la partie operative et boıtier de la partie commande.

La partie operative (Fig. 2.1) est composee de :

– un moteur a courant continu,– un reducteur de vitesse, couple au moteur, de type poulies-courroie et de rapport de

reduction kr = 1/32,– un rotor de sortie couple au reducteur et possedant une graduation,– un frein de FOUCAULT permettant de perturber la vitesse de rotation du moteur,

10

– un generateur tachymetrique (tacho ou dynamo) couple au rotor du moteur et utilise pourmesurer la vitesse de rotation de ce dernier,

– un codeur incremental utilise pour mesurer la position angulaire du rotor du moteur,– un codeur absolu utilise pour mesurer la position angulaire du rotor de sortie,– un afficheur numerique indiquant la vitesse de rotation du moteur (en V olt ou en tr/min),– un rotor gradue a faire tourner manuellement afin de simuler une consigne de position

angulaire,– un interrupteur pour choisir la plage de frequence du signal electrique d’entree qu’on peut

utiliser (plage [0.1Hz, 1Hz] ou plage [1Hz, 10Hz]), et un potentiometre pour choisir lavaleur de la frequence dans la plage (0 a 100%),

– des bornes d’entree qui ne seront pas utilisees dans ce TP.

FIG. 2.1 – Partie operative.

On notera par ω la vitesse de rotation du rotor de sortie et par ωm celle du rotor du moteur.θ etant la position angulaire du rotor de sortie.

La partie commande (Fig. 2.2) est composee de :

– une zone correspondant a l’image de la partie operative. La borne d’alimentation du mo-teur (application de U ) ainsi que la borne de mesure de la vitesse de rotation du moteurnotee ωm sont disponibles sur cette zone,

11

– une zone pour generer les signaux d’entree (alimentation U ou consigne). Trois types designaux sont possibles : echelon, triangulaire et rectangulaire. Leur amplitude est de 10V .Un potentiometre peut varier celle-ci de 0 a 100%,

– une zone ou l’on peut recuperer la mesure de la position angulaire du rotor de sortie,– une zone utilisee pour realiser un comparateur ou un sommateur,– un potentiometre utilise pour le gain proportionnel du correcteur,– une zone pour realiser les elements du correcteur PID (Proportionnel Integral et Derive).

FIG. 2.2 – Partie commande.

2.3 Identification du systeme

Le moteur a courant continu est representable par un modele du premier ordre d’entree U etde sortie la vitesse de rotation du moteur ωm (Fig. 2.3). La vitesse de rotation du rotor de sortieest ω et sa position angulaire est θ. Rappelons que kr = 1

32 designe le rapport de reduction.

L’unite de ωm est le V olt car il s’agit d’informations provenant de la dynamo. Les signauxindesirables sont rassembles dans une perturbation en entree notee d 1. Dans la figure, K designele gain statique du moteur+dynamo et τ la constante de temps.

1Il est toujours possible d’introduire la perturbation a un autre point.

12

d

++ θu ωmω

1 .

K

pτ+rk

1

p

FIG. 2.3 – Schema-bloc de l’ensemble du procede.

QUESTIONS 1– Identifier les parametres K et τ du systeme. Pour cela, utiliser une entree U de type

echelon d’amplitude 5V puis visualiser a l’oscilloscope la sortie ωm et l’entree ap-pliquee,

– ecrire ensuite la fonction de transfert liant ω et U et donnez les valeurs numeriques desparametres associes au modele,

– ecrire la fonction de transfert liant θ et U et donnez les valeurs numeriques des pa-rametres associes au modele.

2.4 Commande en position angulaire

Dans cette section, on s’interesse a la commande en position angulaire du rotor de sortie ω.Le schema de principe de l’asservissement est donne par la Fig. 2.4.

d

+-

++ ω θuC(p)εcθ 1

p

.

1

rK k

pτ+

FIG. 2.4 – Schema fonctionnel du systeme commande en boucle fermee.

2.4.1 Correcteur proportionnel

On choisit un regulateur de type proportionnel (P), c’est-a-dire C(p) = Kp (ou Kp positifs’appelle gain proportionnel).

QUESTIONS 2– Donner la fonction de transfert liant la consigne θc et la sortie θ,– faire le cablage afin de realiser une commande proportionnelle. Pour cela, utilisez comme

consigne le rotor gradue. Le signal issu de celui-ci se trouve sur la borne marquee θi,– pour differentes valeurs du gain proportionnel Kp (faible, milieu, elevee), que constatez

vous sur les performances : erreur statique, rapidite, depassement, etc. ?

13

2.4.2 Correcteur proportionnel-derive

On prend maintenant un regulateur de type proportionnel-derive (PD), c’est-a-dire C(p) =Kp · (1 + Kd · p) (ou Kd positif s’appelle gain du derivateur).

QUESTIONS 3– Donner la fonction de transfert liant la consigne θc et la sortie θ,– faire le cablage afin de realiser une commande proportionnelle-derivee,– fixer le gain proportionnel Kp eleve, puis essayer differentes valeurs de Kd. Que constatez

vous sur les performances : erreur statique, rapidite, depassement, etc. ?

14

Chapitre 3

TP N˚3-A : ETUDE DU DEBIT D’UNSYSTEME HYDRAULIQUE INDUSTRIEL

3.1 Objectif

Que ce soit dans les barrages hydroelectriques, dans les systemes d’alimentation d’eau po-table ou en industrie petro-chimique, la regulation du debit du fluide est importante. Dans ce TP,on etudiera la regulation du debit d’eau sur une maquette hydraulique (fabriquee par PIGNAT).

3.2 Presentation du materiel

La maquette (Fig. 3.1) est composee de deux parties : la partie operative et la partie com-mande.

La partie operative est composee de :

– une arrivee d’eau potable,– une cuve,– des actionneurs :

– une pompe centrifuge dont la vitesse de rotation est constante,– une vanne de debit pre-actionnee par un verin pneumatique,– un thermoplongeur place dans la cuve,– des vannes manuelles d’arrivee et d’evacuation,– un echangeur thermique,

– des capteurs :– un debimetre electromagnetique,– un debimetre a flotteur,– un capteur de pression differentielle qui permet de mesurer la hauteur (niveau) d’eau

dans la cuve,– deux capteurs de temperature dont un dans la cuve,

15

– des capteurs de securite (thermostat de securite et flotteur dans la cuve).

partie

commande

partie

opérative

FIG. 3.1 – Photo de la maquette hydraulique.

Un schema de principe de la partie operative ainsi qu’une nomenclature sont donnes auxFig. 3.4, Tab. 3.2 et Tab. 3.3.

La partie commande permet de :

– realiser deux systemes de commandes independants simultanement par le biais de deuxpanels de commande, par exemple une commande pour le debit et une commande pour leniveau d’eau dans la cuve,

– introduire la ou les consignes,– afficher les differentes mesures.

La maquette permet de realiser une regulation/asservissement de la temperature d’eau dansla cuve, du niveau d’eau et du debit d’eau circulant dans le circuit hydraulique. Cependant, ceTP s’interesse seulement a la regulation du debit. Ainsi, on n’utilisera qu’un seul panel de com-

16

mande (sur les deux disponibles).

Pour cette maquette de TP, des correcteurs a base de P, I et D sont possibles. Les correcteursa base de P, I et D (Proportionnel, Integral et Derive) sont caracterise par respectivement legain proportionnel note Kp, le gain de l’integrateur note Ki et le gain du derivateur Kd. Pourcette maquette, on utilise le terme Pb ou Bande Proportionnelle (Proportional Band) pour lecorrecteur P au lieu du terme Kp. Le terme Pb est le plus souvent utilise dans les maquettesindustrielles. La relation entre Pb et Kp est la suivante :

Pb =100Kp

(3.2.1)

Augmenter Kp revient donc a diminuer Pb.

3.3 Introduction a la commande PID

Le procede ou systeme est represente par la Fig. 3.2. Tandis que q designe le debit d’eau, udesigne l’entree electrique de la vanne de debit.

u qsystème

FIG. 3.2 – Le procede (ou systeme).

Nous souhaitons commander ce systeme afin d’obtenir des performances optimales. Onentend, ici, par performances le temps de reponse a 5%, le temps de montee, l’erreur statique etle depassement. Pour faire cela, on utilise le schema fonctionnel de la Fig. 3.3. Dans la figure,qc indique la consigne en debit.

u qqc εiK

+-

+

+

+1

p

dK

100

bP

d

dt

système

FIG. 3.3 – Regulation/asservissement du systeme hydraulique.

17

3.4 Commande PID avec un reglage automatique des parametres

La partie commande de la maquette possede un calculateur fonctionnant comme un ordina-teur. Ce calculateur peut chercher automatiquement les parametres d’une commande P, PI, PDou PID pour que les performances du systeme asservi soient les meilleures selon des criterespredefinis.

QUESTIONS 1 Cabler la maquette afin de realiser une commande en boucle fermee commeindiquee sur la Fig. 3.3. Metter le panel de commande en mode auto-tuning (recherche automa-tique des parametres de P,I et D). Lorsqu’il aura trouve les parametres (signale par l’arret duclignotement de l’affichage), appliquer une consigne de debit du type echelon d’amplitude 150et quantifier les performances suivantes :

– l’erreur statique notee εs si le systeme asservi est stable,– le temps de reponse a 5% note tr si le systeme asservi est stable,– le temps du premier depassement note tm (temps de montee) si la reponse est oscillante

(amortie ou pas),– le depassement note D (en %) si la reponse est oscillante (amortie ou pas).– concluez sur les performances obtenues.

3.5 Commande PID avec un reglage manuel des parametres - methodepar ZIEGLER-NICHOLS en boucle fermee

Les criteres de performances selon le calculateur a l’interieur du panel de commande necorrespondent pas forcement a ceux que l’on attend. Dans cette section, on teste une methode dereglage, appelee methode par ZIEGLER-NICHOLS en boucle fermee, de type empirique effectuepar un operateur humain.

QUESTIONS 2 Trouver les parametres de P, I et D du correcteur PID en utilisant cettemethode. Ces parametres etant trouves et implementes, en utilisant une consigne de debit dutype echelon d’amplitude 150, quantifier les performances suivantes :

– l’erreur statique notee εs si le systeme asservi est stable,– le temps de reponse a 5% note tr si le systeme asservi est stable,– le temps du premier depassement note tm (temps de montee) si la reponse est oscillante

(amortie ou pas),– le depassement note D (en %) si la reponse est oscillante (amortie ou pas).– concluez sur les performances obtenues.

3.6 Commande PID avec un reglage manuel des parametres - methodepar essai-erreur

Une autre methode de type empirique est la methode par essai-erreur.

18

QUESTIONS 2 Avec le meme cablage de la maquette que la commande auparavant, trouverles parametres de P, I et D du correcteur PID en utilisant la methode par essai-erreur. Cesparametres etant trouves et implementes, en utilisant une consigne de debit du type echelond’amplitude 150, quantifier les performances suivantes :

– l’erreur statique notee εs si le systeme asservi est stable,– le temps de reponse a 5% note tr si le systeme asservi est stable,– le temps du premier depassement note tm (temps de montee) si la reponse est oscillante

(amortie ou pas),– le depassement note D (en %) si la reponse est oscillante (amortie ou pas).– concluez sur les performances obtenues.

3.7 Comparaison des trois methodes de reglage

Dans cette section, on compare les performances obtenues avec les trois methodes de reglagedu correcteur PID.

QUESTIONS 3 Remplir le Tab. D.1. Metter X pour les performances non-quantifiables. Com-menter les performances obtenues avec les differentes methodes.

TAB. 3.1 – Tableau de comparaison

Methode εs tr tm D

auto-tuningZiegler-Nichols en BFessai-erreur

3.8 Schema de principe du circuit hydraulique et nomenclature

19

FIG. 3.4 – Schema de principe du circuit hydraulique.

20

TAB. 3.2 – NomenclaturePIGNAT SA Nomenclature

6 rue Calmette INDICE A69741 Genas Cedex REGULATION FOLIO 1/2Tel : 04 78 90 50 03 MULTI-BOUCLES REF. PIGNATFax : 04 78 90 63 88 0007116

Repere Schema Reference et libelle Quantite U.E.EVUUL 200SV3

01 Regulateur de niveau a flotteur 1,00Deux contacts inverseurs a L1 = 56, L2 = 56, cable PVC 3 mAMTS20-150

02 Thermostat de securite 0-150˚ 1,00Doigt de gant inox 3/8 D.8 L = 120S1N

03 Echangeur inox 316 S = 0,11 m2 1,0028 28110 11/77

04 Vanne de regulation Varipak DN 25 1,00GV 2,3 a 0,9 avec positionneur pneumatiqueIFM1010K/IFC010

05 Debimetre electromagnetique ecoflux DN 15 0 A 2,5 M3/H 1,00Convertisseur 4/20 mA Passif Almi. 220 VAC45FC-K060SPE

06 Thermoplongeur 6kw- 4W/cm2 Tube inx 316 L 1,00Ecrou laiton Diam 140 - H=120mm + Capot et jointPANDA00/02/0,75

07 Pompe centrifuge I 316L 380V 50 Hz 0,75kW a bride 1,00Debit 3m3/h a 25 MCE3051CD2A02A1AH2

08 Transmetteur de pression differentielle 0/100 mb 4/20 MA + PE 1,00ref. 3051 CD 2A02A1 AH2 B290001043

09 Debimetre a flotteur inox 1,000-400L :H raccord PVC DN 159000129701

10 Capteur PT100 sans tete 316L 2,00D=6x100 cable PVC 6M-A-1/3D1N

21

TAB. 3.3 – Nomenclature (suite)PIGNAT SA Nomenclature

6 rue Calmette INDICE A69741 Genas Cedex REGULATION FOLIO 2/2Tel : 04 78 90 50 03 MULTI-BOUCLES REF. PIGNATFax : 04 78 90 63 88 0007116

900005180111 Vanne a boule monobloc nick. 1,00

1/4”G.passage integral.REF :5054272/04A

15 cuve inox 13 litres 1,003480/05A

16 Couvercle de cuve DIAM.219 1,009000051803

17 Vanne a boule monobloc nick. 3,001/2”G.passage integral.REF :5059000051802

18 Vanne a boule monobloc nick. 2,003/8”G.passage integral.REF :505900090304

19 Vanne pointeau 3/8” F/F droit 1,00Laiton Nickele passage 9mm30541523

21 Flexible vinyl arme DIA=15x23 10,00305851924

22 Flexible PVC DIA= 18x23mm 1,00900011710406

23 Flexible rilsan DIA=6x4 10,00Tuyau souple bleu

22

Chapitre 4

TP N˚3-B : ETUDE DE LA POSITIONLINEAIRE D’UN CHARIOTELECTRIQUE

4.1 Objectif

Dans ce TP, nous nous interessons a la position lineaire d’un systeme actionne par un moteurelectrique. Les exemples d’applications sont nombreux (bandes transporteuses, grues, metro,etc.).

4.2 Presentation du materiel

La Fig. 4.1 presente le systeme etudie. On s’interesse a la position lineaire du chariot suivantl’axe x. L’actionneur etant le moteur a courant continu. Le systeme rotor du moteur, poulie etcourroie permet de transformer le mouvement de rotation en un mouvement translation. Lechariot comporte un pendule mais on ne s’interesse pas a celui-ci.

M

chariot

pendule

pouliemoteur

rail

courroie

x

FIG. 4.1 – Presentation de la maquette

23

4.3 Identification

La fonction de transfert qui lie la tension d’alimentation u du moteur et la vitesse lineaire vdu chariot peut etre represente par un modele du 1er ordre :

V

U=

K

1 + τp(4.3.1)

ou K est le gain statique et τ la constante de temps.

La position lineaire x etant l’integrale de la vitesse, on a :

G(p) =X

U=

K

p (1 + τp)(4.3.2)

Le schema fonctionnel correspondant est donne par la Fig. 4.2.

d

++u v x

1 .

K

pτ+

1

p

FIG. 4.2 – Schema fonctionnel du systeme.

La commande du systeme sera fait sur ordinateur, grace a MATLAB-SIMULINK.

QUESTIONS 1 Identifier les parametres K et τ du systeme. Pour cela, appliquer un echelonde u = 0.3 a l’entree puis visualiser et imprimer la courbe de reponse x(t).

4.4 Commande Plus-Ou-Moins

Pour une tension constante, on a vu que la position x diverge. On souhaite utiliser un systemede commander pour ameliorer les performances. Dans un premier temps, on s’interesse a lacommande de type Plus-Ou-Moins. Le schema du systeme regule/asservi est represente par laFig. 4.2.

d

+-

++uxc xvC(p)ε 1

p1

K

pτ+

FIG. 4.3 – Schema fonctionnel du systeme regule/asservi.

Dans la figure, xc est la consigne en position. Le bloc C(p) contient le correcteur. Dans cettepartie, c’est un correcteur Plus-Ou-Moins.

24

QUESTIONS 2– Realiser sous SIMULINK le correcteur Plus-Ou-Moins,– tester un gain du correcteur egale a 0.2 puis a 0.5,– commenter les resultats.

4.5 Introduction a la commande PID

QUESTIONS 3 Realiser sous Simulink le correcteur PID. Les valeurs des parametres Kp, Ki

et Kd seront optimisees dans les questions suivantes.

4.5.1 Correcteur P

D’abord, on s’interesse a un correcteur proportionnel (P). Pour cela, mettre Ki = 0 etKd = 0.

QUESTIONS 4 Pour differentes valeurs du gain Kp (1, 2, 3 et 4), tester la reponse a unechelon d’amplitude xc = 0.5. Tester egalement la reponse a une perturbation. Commenter surles performances en fonction de Kp.

4.5.2 Correcteur PI

On introduit ensuite un integrateur afin d’obtenir un correcteur proportionnel-integral (PI).Pour cela, mettre le gain Kp = 2, le gain Ki = 0.5 et laisser Kd = 0.

QUESTIONS 5 Tester de nouveau la reponse a un echelon d’amplitude xc = 0.5 ainsi que lareponse a une perturbation. Commenter les resultats.

4.6 Commande PID avec reglage par la methode de ZN-BO

On s’interesse toujours a la commande PID dans cette partie. Les parametres Kp, Ki et Kd

seront regles en utilisant la methode de ZIEGLER-NICHOLS en Boucle-Ouverte (ZN-BO).

QUESTIONS 6 Pour chacun des correcteurs suivants, tester la reponse a un echelon d’ampli-tude xc = 0.5 ainsi que la reponse a une perturbation :

– correcteur proportionnel (P),– correcteur proportionnel-integral (PI),– correcteur proportionnel-integral-derive (PID).Comparer et commenter les resultats.

25

Chapitre 5

TP N˚4 : SIMULATION OF SYSTEMSUSING THE MATLAB-SIMULINKc© SOFTWARE

5.1 Objective

The main objective of this practical is to handle the MATLAB-SIMULINK c© software bycreating, simulating and controlling systems.

5.2 Presentation of the software

MATLAB, for MATrix LABoratory, is a programming language (like C, C++, Basic, etc.) anda numerical computing (like an adding machine 1) environment developped by MATHWORKS

society. The logo of MATLAB is . MATLAB is very useful and powerful for :

– numerical computation,– simulating systems,– etc.

In order to more facilitate the simulation of systems, MATHWORKS has embedded to MAT-LAB a graphical environment called SIMULINK. In this, instead of programming with texts, oneprograms with bloc schemes.

5.3 Handling MATLAB

In order to familiarize with MATLAB, perform the sequel.

1Calculatrice

26

5.3.1 Numerical computation

Create the following scalars and matrixes and perform the different operations :

a = cos(3.14159265)

b = a− cos(pi)

A =

3 9 15 −4 0.2√65 35.4 −1

B =[

3 0 −5.8 pie3 log10(20) arctan(0) 1

9

]

A2

C = A−1

D = C −A3

E = B ·BT

F = BT ·B

(5.3.1)

You can also create and test your own variables and operations.

5.3.2 Simulation of systems

Create the following systems and simulate their step response, impulse response and bodediagram :

27

G1 =0.8

2p + 1

G2 =0.6

5p + 1

G3 = G1 ·G2

G4 =0.8

6× 10−3p2 + 16× 10−3p + 1

G5 =1

0.03p2 + 0.13p + 1

(5.3.2)

Plot in the same figure the step response of G6 = G4 + G5 and of G7 = G4 ·G5. Idem fortheir bode diagrams.

5.4 Handling SIMULINK

In order to familiarize with SIMULINK, create the following systems, apply a step with anamplitude equal to 10 at their inputs and plot the corresponding step responses :

Ga =0.8

2p + 1

Gb =0.8

6× 10−3p2 + 16× 10−3p + 1

Ga + Gb

Ga ·Gb

(5.4.1)

5.5 Identification and control of a 1st order system

5.5.1 Identification

Let the Fig. 5.1 present a 1st order system , where u is the input and y is the output.When applying a step input with an amplitude u = 10, we obtain the response y as shown

in Fig. 5.2.

28

u1 .

K

pτ+

y

FIG. 5.1 – A 1st order system.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9y(t)

t[s]

FIG. 5.2 – The step response of the system.

QUESTIONS 1 Using the previous curve, identify the static gain K and the time constantτ of the model. Then, simulate the identified model and check if the resulting step responsecorresponds to the one of Fig. 5.2.

5.5.2 Control

We would like to control the previous system in order to ameliorate the performances. Theprinciple scheme of the closed-loop system is pictured in Fig. 5.3. In this figure, we have :

– yc : the reference input (La consigne),– y : the output (la sortie),– Kp : the proportional gain (le gain proportionnel),– Ki : the gain of the integral (le gain de l’integrateur),– Kd : the gain of the derivative (le gain du derivateur).

QUESTION 2 Create the scheme pictured in Fig. 5.3 in SIMULINK. For that, use the identifiedvalues of K and τ . Be ensured that the sampling time is fixed and equal to 0.1s. To modify

29

u1 .

K

pτ+

yyc εpK iK

+-

+

+

+1

p

dKd

dt

FIG. 5.3 – Principle scheme of the closed-loop system.

the sampling time, use the menu : Simulation, Simulation parameters, Type (Fixed-step ; ode1(Euler)), Fixed step size (0.1).

QUESTIONS 3 First, use Ki = 0 and Kd = 0.– Apply different values of Kp (1, 20 and 40) and for each simulate the step response.Because

Kp alone exists, we have a proportional (P) controller,– give comments on the performances of the closed-loop system according to the value of

Kp.

QUESTIONS 4 Second, leave Kp = 20 and Kd = 0.– Apply different values of Ki (0.2, 0.5 and 1.5) and for each simulate the step response.

Here, we have a proportional-integral (PI) controller,– give comments on the performances of the closed-loop system according to the value of

Ki.

5.6 Identification and control of a 2nd order system

Here, instead of controlling a 1st order system (Fig. 5.4), we are interested by a 2nd ordersystem, whose the transfer function is defined by :

G(p) =K

1ω2

np2 + 2ξ

ωnp + 1

(5.6.1)

where K is the static gain (gain statique), ξ is the damping ratio (coefficient d’amortisse-ment) and ωn is the natural frequency (pulsation naturelle) 2.

5.6.1 Identification

When applying a step input with an amplitude u = 10, we obtain the response y as shownin Fig. 5.5.

2In english, the word frequency can be used to mean pulstation (rad/s) and frequence (Hz) in french.

30

u y2

2

1 21

nn

K

p pξ

ωω+ +

FIG. 5.4 – A 2nd order system.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

1

2

3

4

5

6

7

8y(t)

t[s]

FIG. 5.5 – The step response of the system.

QUESTIONS 5 Using the previous curve, identify the different parameters K, ωn and ξ ofthe model. After that, simulate the identified model and check if the resulting step responsecorresponds to the one of Fig. 5.2.

5.6.2 Control

We would like to control the previous system in order to ameliorate the performances. Theprinciple scheme of the closed-loop system is pictured in Fig. 5.6.

QUESTION 6 Create the scheme pictured in Fig. 5.6 in SIMULINK. For that, use the identifiedvalues of K, ωn and ξ. Be ensured that the sampling time is fixed and equal to 0.1s. However,set the length os simulation into 20s (Stop time= 20s).

QUESTIONS 7 Set Kp = 1, Ki = 0 and Kd = 0. This is equivalent to a proportional (P)controller. Simulate the closed-loop system and comment about the following performances :static error, overshot and vibration.

31

u yyc εpK iK

+-

+

+

+1

p

dK

2

2

1 21

nn

K

p pξ

ωω+ +

d

dt

FIG. 5.6 – Principle scheme of the closed-loop system.

QUESTIONS 8 Now, set Kp = 20, Ki = 2 and Kd =. This is equivalent to a proportional-integral (PI) controller. Simulate the closed-loop system and comment about the following per-formances : static error, overshot and vibration.

QUESTIONS 9 Finally, leave Kp = 20 and Ki = 2. Kd will be varied. This is equivalentto a proportional-integral-derivative (PID) controller. For different values of Kd (0.1, 0.25 and0.5), simulate the closed-loop system and comment on the following performances : overshotand vibration.

32

Annexe A

Identification

Soit le systeme d’entree U et de sortie y (Fig. A.1).

u ( )G p y

FIG. A.1 – Un systeme.

A.1 Modele du 1er ordre

Soit :

G(p) =K

1 + τ.p(A.1.1)

ou K est le gain statique et τ la constante de temps.

Ces parametres de modele peuvent etre identifies soit dans le domaine temporel soit dans ledomaine frequentiel.

A.1.1 Identification temporelle

Un signal d’entree u canonique est applique au procede. Nous choisissons une entree echelond’amplitude A. La reponse y est ensuite tracee (Fig. A.2). Tandis que τ se deduit de la courbe(a 63% ou a 95% de la valeur finale), K est donnee par :

K =B

A(A.1.2)

ou B est la valeur finale de y(t).

33

t [s]

A

B

entrée U

sortie y

τ

3.τ

0,63.B

0,95.B

FIG. A.2 – Reponse en echelon d’un systeme du 1er ordre.

A.1.2 Identification frequentielle

Pour l’identification frequentielle, un signal d’entree u de type sinusoıdal est applique ausysteme. Pour cela, tandis qu’on utilise une seule amplitude A, on prendra plusieurs valeursde la frequence. Pour chaque frequence, on releve la reponse frequentielle de la sortie y. Si Bdesigne l’amplitude correspondante, on calcule l’amplitude GdB en decibels telle que :

Gdb = 20. log(

B

A

)(A.1.3)

L’unite de GdB est le decibel (dB). Le log utilise est le logarithme decimal.

Ayant calcule GdB pour plusieurs valeurs de frequences, on trace ensuite le diagramme deBODE en amplitude (la magnitude) correspondant (Fig. A.3).

On deduit de la courbe le gain statique K par :

K = 10G020 (A.1.4)

et la constante de temps par :

τ =1ωc

(A.1.5)

ou G0 est la magnitude lorsque la frequence tend vers zero, ωc est la pulsation de coupuretelle que ωc = 2.π.fc. La frequence de coupure est obtenue a GdB = G0 − 3dB.

34

f [Hz]

0G0

G0 - 3dB

fc

GdB [dB]

FIG. A.3 – Magnitude du systeme G.

A.2 Modele de BROIDA

Le modele de BROIDA est un modele du 1er ordre suivi d’un retard Tr (Fig. A.4). Sonequation est :

G(p) =K

1 + τ.p.e−Tr.p (A.2.1)

L’identification se fait comme suit :

– le gain statique est calcule avec la valeur finale de y, telle que K = BA ,

– le retard Tr est donne par le temps de debut de la reaction du systeme, ’identification deτ se fait en appliquant la methode pour les systemes du 1er ordre (a 63% ou a 95% de lavaleur finale).

A.3 Modele du 1er ordre suivi d’un integrateur

Un systeme du 1er ordre suivi d’un integrateur a pour fonction de transfert (Fig. A.5) :

G(p) =Y

U=

1p

K

(1 + τ.p)(A.3.1)

Lorsqu’un echelon d’amplitude A est applique a l’entree u, la reponse y est representee parla Fig. A.6.

35

t [s]

A

B

entrée U

Tr

sortie y

τ

0,63.B

0,95.B

FIG. A.4 – Identification du modele de BROIDA.

u y

1 .

K

pτ+

1

p

dy

dt

FIG. A.5 – Un systeme du 1er ordre suivi d’un integrateur.

Tandis que la constante de temps τ est identifiee comme indiquee sur la Fig. A.6, on calculele gain statique K comme suit :

K =∆y

∆t.1A

(A.3.2)

A.4 Modele du 2nd ordre

La fonction de transfert d’un systeme du second ordre est du type :

G(p) =K

a.p2 + b.p + 1(A.4.1)

Le parametre K indique le gain statique.

Deux cas sont possibles :– le systeme est oscillant,– le systeme est aperiodique (non-oscillant).

36

00

τ

y(t)

t

∆y

∆t

FIG. A.6 – Reponse en echelon d’un systeme du 1er ordre suivi d’un integrateur.

A.4.1 Systeme oscillant

Dans ce cas, on utilise l’ecriture suivante :

G(p) =K

a.p2 + b.p + 1=

K(1

ω2np2 + 2ξ

ωnp + 1

) (A.4.2)

ou– ωn > 0 est la pulsation naturelle en

[rads

],

– et 0 ≤ ξ < 1 est le coefficient d’amortissement.

Son identification peut se faire comme suit. Soit la courbe de la Fig. A.7 la reponse a unechelon d’amplitude u = A du systeme.

Etape 1 - A partir de la reponse a un echelon, on note les elements suivants :– le temps du premier depassement note tdep,– le depassement Ydep telle que Ydep = Ymax−Yfinale

Yfinale.

Etape 2 - On calcule ensuite le coefficient d’amortissement par la formule :

ξ =1√

1 +(

πln(Ydep)

)2(A.4.3)

37

Etape 3 - Enfin, la pulsation naturelle est deduite :

ωn =π

tdep.√

1− ξ2(A.4.4)

La pulsation naturelle peut etre egalement calculee a partir de la pulsation propre noteeωp. On entend par pulsation propre la pulsation correspondant aux oscillations apercues surla reponse a un echelon. Si ces oscillations possedent une periode propre notee Tp, alors lapulsation propre est :

ωp = 2.π.fp =2.π

Tp(A.4.5)

La relation entre la pulsation naturelle et la pulsation propre est :

ωn =ωp√1− ξ2

(A.4.6)

0

Ymax

Yfinale

Tp

Ydep

tdep t[s]

y

0

FIG. A.7 – Reponse en echelon d’un systeme du 2nd ordre.

A.4.2 Systeme aperiodique

Lorsque le systeme du second ordre est non-oscillant (aperiodique), il est equivalent a lamise en serie, ou a la multiplication, de deux systemes du premier ordre. On peut donc ecrire :

G(p) =Y (p)U(p)

=K

a.p2 + b.p + 1=

K

τ1.p + 1.

1τ2.p + 1

=K

τ1.τ2.p2 + (τ1 + τ2) .p + 1(A.4.7)

ou τ1 et τ2 sont les constantes de temps des deux sous-systemes du 1er ordre.

38

Annexe B

Equations des correcteurs a base de P,I et D

Soit le schema fonctionnel d’un systeme asservi sur la Fig. B.1.

C(p) procédé+-uyc yε

FIG. B.1 – Schema fonctionnel d’un systeme asservi.

B.1 Correcteur P

Le correcteur C(p) est un correcteur Proportionnel (ou P) s’il a pour fonction de transfert :

C(p) =U(p)ε(p)

= Kp (B.1.1)

Le schema correspondant est donne a la Fig. B.2.

uεpK

FIG. B.2 – Schema fonctionnel d’un corretceur P.

39

B.2 Correcteur PI

Le correcteur C(p) est un correcteur Proportionnel-Integral (ou PI) s’il a pour fonction detransfert :

C(p) =U(p)ε(p)

= Kp

(1 +

1Ti.p

)(B.2.1)

dans le quel 1Ti

est remplace souvent par Ki. Ti s’appelle temps d’integration et Ki le gainde l’integrateur. Le schema correspondant est donne a la Fig. B.3.

uεpK

1

i

i

KT

=

++

1

p

FIG. B.3 – Schema fonctionnel d’un corretceur PI.

B.3 Correcteur PD

Le correcteur C(p) est un correcteur Proportionnel-Derive (ou PD) s’il a pour fonction detransfert :

C(p) =U(p)ε(p)

= Kp (1 + Td.p) (B.3.1)

ou Td (parfois note par Kd) s’appelle le gain du derivateur. Le schema correspondant estdonne a la Fig. B.4.

uεpK

++p

d dK T=

FIG. B.4 – Schema fonctionnel d’un corretceur PD.

Or, un derivateur parfait Td.p n’est pas causale, on utilise souvent un derivateur filtre dansla pratique. Dans le cas d’un filtre du premier ordre, la fonction de transfert de C(p) est :

C(p) =U(p)ε(p)

= Kp

(1 +

Td.p

1 + τf .p

)(B.3.2)

ou τf est la constante de temps du filtre. Elle est choisie tres petite devant Td.

40

B.4 Correcteur PID

Le correcteur C(p) est un correcteur Proportionnel-Integral-Derive (ou PID) s’il a pourfonction de transfert :

C(p) =U(p)ε(p)

= Kp

(1 +

1Ti.p

+ Td.p

)(B.4.1)

Le schema correspondant est donne a la Fig. B.5.

uεpK

1

i

i

KT

=

++

+1

p

pd dK T=

FIG. B.5 – Schema fonctionnel d’un corretceur PID.

41

Annexe C

Correcteurs PID a based’Amplificateurs Operationnels

Pour realiser des correcteurs analogiques utilisant les actions P, I et D, ou encore un blocsommateur, on peut utiliser des amplificateurs operationnels.

C.1 Sommateur - Amplificateur

La Fig. C.1 donne le montage d’un sommateur-inverseur a trois entrees. L’equation corres-pondante est :

Vs = −R1

R. (Ve1 + Ve2 + Ve3) (C.1.1)

R

R

R

R 1

V SV e1

V e2

V e3

FIG. C.1 – Montage d’un sommateur inverseur.

Lorsqu’il n’y a qu’une seule entree, on obtient un amplificateur-inverseur utilise pour le gaind’un correcteur Proportionnel.

42

C.2 Integrateur

La Fig. C.2 donne le montage d’un integrateur-inverseur. L’equation differentielle liant latension d’entree et la tension de sortie est :

Vs = − 1RC

.

∫Ve.dt (C.2.1)

La fonction de transfert correspondante est :

Vs(p)Ve(p)

= − 1RC.p

(C.2.2)

R

V SV e

C

FIG. C.2 – Montage d’un integrateur-inverseur.

C.3 Derivateur

La Fig. C.3 donne le montage d’un derivateur-inverseur avec filtre. L’equation differentielleliant la tension d’entree et la tension de sortie est :

Vs + RfC.dVs

dt= −RC.

dVe

dt

La fonction de transfert correspondante est :

Vs(p)Ve(p)

= − RC.p

1 + RfC.p

La resistance Rf est utilisee pour realiser le filtrage du derivateur. Lorsque celle-ci a unevaleur nulle, on a :

Vs = −RC.dVe

dt

La fonction de transfert correspondante est donc :

43

Vs(p)Ve(p)

= −RC.p

Rf

R

V SV e

C

FIG. C.3 – Montage d’un derivateur-inverseur.

44

Annexe D

Methodes de reglage empiriques d’uncorrecteur PID

On presente ici quelques methodes de reglage des parametres des correcteur P, PI, PD ouPID. Soit le correcteur PID de fonction de transfert :

C(p) =U(p)ε(p)

= Kp

(1 +

1Ti.p

+ Td.p

)(D.0.1)

D.1 Methode de COHEN et COON

La methode de COHEN et COON peut etre utilisee sur des systemes modelisables par unmodele de BROIDA dont l’equation est :

G(p) =K

1 + τ.p.e−Tr.p (D.1.1)

ou K est le gain statique, τ la constante de temps et Tr le retard.

La methode ne s’applique que sur des systemes stables car elle fait intervenir l’aspect sta-tique du procede. Le Tab. D.1 donne les reglages de COHEN et COON a partir des parametresdu modele de Broıda et qui font intervenir le rapport µ = Tr

τ .

TAB. D.1 – Reglages de COHEN et COON.

Kp Ti = 1Ki

Td = Kd

P 1K.µ .

(1 + µ

3

)∞ 0

PI 1K.µ .

(0, 9 + µ

12

)Tr.

30+3.µ9+20.µ 0

PID 1K.µ .

(43 + µ

4

)Tr.

32+6.µ13+8.µ Tr.

411+2.µ

45

D.2 Methode par Essai-Erreur

Cette methode consiste a regler dans l’ordre et un par un les parametres du correcteur PID.Ainsi, on regle d’abord P, ensuite I et enfin D. Les etapes de la methode sont les suivantes.

– Faire le cablage afin de realiser un correcteur P uniquement, puis mettre le gain Kp ducorrecteur suffisamment petit afin qu’on se trouve dans une zone de stabilite.

– Augmenter par petits increments le gain Kp jusqu’a obtenir une oscillation entretenuede periode Tc en sortie du systeme asservi. Il y a une plage de valeur de Kp ou l’os-cillation est entretenue mais ce qui nous interesse c’est la limite ”oscillation amortie” et”oscillation entretenue”. On appelle gain ultime ou gain critique Kpc le gain proportion-nel correspondant.

– Reduire ce gain Kpc d’un facteur 2 et conserver le comme valeur de reglage de P.

– Le gain Ti etant initialement tres grand, diminuer sa valeur par petits increments jus-qu’a obtenir de nouveau une oscillation entretenue. Mettre Ti trois fois la valeur critiquetrouvee et le conserver comme valeur de reglage de I.

– Augmenter Td jusqu’a obtenir de nouveau une oscillation entretenue. Mettre Td a un tiersde la valeur critique trouvee et le conserver comme valeur de reglage de D.

D.3 Methode de ZIEGLER et NICHOLS en Boucle Fermee (ZN-BF)

Cette methode est plus simple et s’applique a des procedes stables ou instables. Elle consistea augmenter, comme les premieres etapes de la methode par Essai-Erreur, le gain du regulateur P(sans I ni D) jusqu’a l’obtention d’une oscillation entretenue de periode Tc. Le gain du regulateurcorrespondant est appele gain critique Kpc.

Ziegler et Nichols donnent les valeurs de reglage optimum des actions P, I et D a partir deTc et Kpc.

TAB. D.2 – Reglages de ZIEGLER et NICHOLS en boucle fermee.

Kp Ti = 1Ki

Td = Kd

P 0, 5.Kpc ∞ 0PI 0, 45.Kpc 0, 83.Tc 0PID 0, 6.Kpc 0, 5.Tc 0, 125.Tc

46

D.4 Methode de ZIEGLER et NICHOLS en Boucle Ouverte (ZN-BO)

Cette methode permet de calculer les parametres d’un correcteur a base de P, I et D lorsquele systeme a commander est un 1er ordre avec integrateur. Soit le systeme a commander defonction de transfert suivante :

G(p) =Y

U=

1p

K

(1 + τ.p)(D.4.1)

Alors, le correcteur P, PI ou PID pour commander de tel systeme, d’apres la methode deZIEGLER et NICHOLS en boucle ouverte (ZN-BO), a pour parametres :

TAB. D.3 – Reglages de ZIEGLER et NICHOLS en boucle ouverte.

Kp Ti = 1Ki

Td = Kd

P 1Kτ ∞ 0

PI 0.9Kτ 3.33τ 0

PID 1.2Kτ 2τ 0.5τ

47

Annexe E

Quelques fonctions de MATLAB

E.1 Calcul de base

a = cos(5)

⇒ a = 0.283662185463226

b = (3− 1.5 ∗ exp (12)) / log (5)

⇒ b = −151685.992508581

log 10 (1e− 5)

⇒ −5

sin(pi/2)

⇒ 1

tan(pi)

⇒ −1 .22464679914735e− 016

(Normalement zero, mais il y a la precision numerique de MATLAB)

atan(− inf)

⇒ −1 .5707963267949(= −π

2

)

E.2 Calcul matriciel

A =[

3 2 −5 8; 1 5 6 2; 4 −58 −100 1e5]

48

⇒ A =

3 2 −5 81 5 6 24 −58 −100 105

A ∗B

⇒ multiplication de deux matrices

A. ∗B

⇒ multiplication element par element

A + B

⇒ addition

A−B

⇒ soustraction

A n

⇒ A ∗A ∗A... ∗A (n fois), A doit etre carree

A′

⇒ adjoint (transposee conjuguee) de A

Inv(A)

⇒ inverse de A (carree)

A/B

⇒ division a gauche de A par B

A\B⇒ division a droite de A par B

A./B

⇒ division element par element de A par B, division a gauche

A.\B⇒ division element par element de A par B, division a droite

49

A/c

⇒ division des elements de A par un scalaire c

A ∗ c

⇒ multiplication des elements de A par un scalaire c

A + c

⇒ addition des elements de A par un scalaire c

A− c

⇒ soustraction des elements de A par un scalaire c

ones(n, m)

⇒ matrice de taille n ·m d’elements 1

zeros(n, m)

⇒ matrice de taille n ·m d’elements 0

eye(n, m)

⇒ matrice de taille n ·m et dont la premiere diagonale est 1, le reste des elements sont 0

E.3 Quelques fonctions utilisees en Automatique

G = tf ([num], [den])

⇒ creer une fonction de transfert. [num] et [den] sont des vecteurs contenant les coefficients dunumerateur et du denominateur

impulse(G)

⇒ tracer la reponse impulsionnelle de G

step(G)

⇒ tracer la reponse indicielle de G

bode(G)

⇒ tracer le diagramme de BODE de G

50

nyquist(G)

⇒ tracer le diagramme de NYQUIST de G

nichols(G)

⇒ tracer le diagramme de BLACK-NICHOLS de G

bodemag(G)

⇒ tracer la magnitude (diagramme de BODE en amplitude) de BODE de G

plot(t, y)

⇒ tracer une courbe dont l’abscisse est donnee par le vecteur t et l’ordonnee par y

grid

⇒ mettre un grillage sur la courbe

hold on

⇒ garder la derniere figure afin de tracer sur celle-ci une autre courbe

plot(t, y,′ r′)

⇒ tracer une courbe y en fonction de t avec une couleur rouge. la fonction help plot permetd’afficher la liste des couleurs ainsi que d’autres options

xlabel(′t(s)′)

⇒ mettre le titre t(s) sur l’axe des abscisses

ylabel(′y(metre)′)

⇒ mettre le titre y(metre) sur l’axe des ordonnees

title(Courbe de reponse)

⇒ mettre le titre Courbe de reponse sur la figure

legend(′′,′′ ,′′ , etc)

⇒ mettre les legendes des differentes courbes sur la figure

51

Bibliographie

[] Micky RAKOTONDRABE. Polycopies LICENCE EEA 3eme annee : Introduction a lacommande, asservissement continu. Universite de Franche-Comte.

[04] Philippe DE LARMINAT. Automatique - commande des systemes lineaires. Hermes -Lavoisier, (ISBN : 2-86601-515-0, 2eme edition), 2004.

[06a] Henri BOURLES. Systemes lineaires : de la modelisation a la commande. Hermes -Lavoisier, (ISBN : 978-2-7462-1300-5), 2006.

[06b] Daniel LEQUESNE. Regulation PID analogique - numerique - floue. Hermes - Lavoisier,(ISBN : 2-7462-1301-X), 2006.

[07a] Cedric CLEVY. TP automatique, master SAPIAA 1ere annee. Universite de Franche-Comte, 2006-2007.

[07b] Arnaud HUBERT. TP automatique, ISIFC 2eme annee. Universite de Franche-Comte,2006-2007.

52