Travaux Pratiques de Physiques

Université de CAEN

U.F.R. de SCIENCES

Licence de Sciences et TechnologiesParcours

Sciences de la matière et Géosciences (SMG)Physique, Mécanique et Mathématiques Appliquées

(PMM)

Travaux Pratiques de Physique

THERMODYNAMIQUEOPTIQUE GÉOMÉTRIQUEÉLECTROMAGNÉTISME

2010-2011

Table des matières

Introduction 31 Organisation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Contrôle des connaissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

TP 1 : Mécanique sur coussin d’air :Lois de conservation 51 Rappels théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Conservation de l’énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . 84 Conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . 95 Annexe : détermination des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . 10

TP 2 : Expérience de Millikan 121 Principe de la manipulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Matériel utilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Manipulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Résultats et analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

TP 3 : Action de champs magnétique et électrique sur un faisceau d’élec-trons 201 Rappels théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Matériel utilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Manipulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Actions simultanées du champ magnétique et du champ électrique 265 Annexe : équation de la trajectoire observée avec le champ magné-

tique seul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

TP 4 : Étude des lentilles minces 301 Rappel des formules fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Matériel utilisé. Mise en place des éléments . . . . . . . . . . . . 323 Focométrie des lentilles convergentes . . . . . . . . . . . . . . . 324 Réalisation d’une lunette astronomique . . . . . . . . . . . . . . 35

1

5 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

TP 5 : Principe des Appareils de Mesures Electriques :Ampèremètre et Voltmètre 391 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 Réalisation d’un ampèremètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 Réalisation d’un voltmètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 Annexe : description et fonctionnement du galvanomètre . . . . . 46

TP 6a : Mesure de la pression dans un fluide 491 Description du matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 Étalonnage du manoscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 Vérification de la relation fondamentale de l’hydrostatique . . . . 50

TP 6b : Potentiel électrique et champ électrique 531 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 Manipulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543 Dispositif expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544 Mode opératoire pour le tracé des équipotentielles . . . . . . . . 545 Mode opératoire pour le tracé des vecteurs champs électriques . . 55

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(PMM) - Année 2010-2011


Travaux Pratiques de Thermodynamique, Optique Géométrique etElectromagnétisme

1 Organisation :

Il y a 6 séances de TP divisées en 2 séries de 3 TP. Chaque séance dure 3 heures.Les étudiants sont associés en binôme. Ils disposent d’un fascicule de TP délivréen début d’année. La présence aux TP est obligatoire. Toute absence non justi-fiée sera sanctionnée par un zéro. Il est nécessaire de préparer les séances de TP àl’avance. Certains calculs préalables nécessitent d’être réalisés avant les séances.Les étudiants qui pour des raisons justifiées n’ont pas pu assister à un TP dis-poseront d’une séance de rattrapage. Les TP sont effectués selon une rotation àl’intérieur d’un session.

Série 1 Série 2Première moitié du semestre Seconde moitié du semestre

TP 1

TP 2 TP 3

TP 4

TP 5 TP 6

Les dates et heures de séances seront affichées devant la salle de TPs. N’hésiterpas à contacter votre enseignant.

2 Matériel

Les étudiants doivent se munir d’une calculatrice et d’une règle. Le papiermillimétré est fourni.

3/55

3 Contrôle des connaissances

Un compte rendu de TP doit être rédigé après chaque séance. Il sera donné àl’enseignant à la séance suivante. Deux comptes rendus, les mêmes pour tous lesbinômes, seront choisis et notés.

Les comptes rendus doivent être clairs et propres. Ils doivent être rédigés demanière scientifique, c’est-à-dire qu’un lecteur n’ayant pas connaissance de ce po-lycopié doit etre capable de comprendre les différentes étapes de votre travail etsurtout de votre raisonnement. Car, le lecteur doit être capable de reproduire votredémarche afin de la critiquer.

Ainsi, toute réponse non justifiée ne sera pas considérée comme valide. Il doitêtre inscrit sur tout graphe le titre, le nom des auteurs, l’échelle utilisée pour chaqueaxe ainsi que le titre de ces derniers. Enfin, une mesure sans unité et sans incertitudesera considérée comme fausse !

4 Rappel

La note de TP “Physique expérimentale 1” correspond à un 1/5 de la notede l’Unité d’enseignement SM22 “Thermodynamique, Optique et Électromagnéti-que”.

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TP 1 : Mécanique sur coussin d’air :Lois de conservation

Objectifs de la séance :– Étude des chocs élastiques et inélastiques entre deux solides.– Loi de conservation de l’énergie mécanique.– Loi de conservation de la quantité de mouvement.

1 Rappels théoriques

1.1 Notion de centre de masse

La position et la vitesse du centre de masse d’un système de points matérielssont définis dans le référentiel du laboratoire par :

−−→OG =

∑imi−−→OMi∑

imiet −→vG =

∑imi−→vi∑

imi(1.1)

où−−→OMi est un point du système assimilé à une particule de masse mi et −→vi la

vitesse associée. O est l’origine du référentiel du laboratoire.Exemple : la masse des mobiles autoporteurs est répartie de manière homogène.

Le centre de chaque mobile est donc le centre de masse.

1.2 Description du mouvement d’un module autoporteur

Dans un référentiel galiléen, l’application de la relation fondamentale de la dy-namique sur un système de points matériels s’écrit (théorème du centre d’inertie) :∑−−→

Fext = M−→aG (1.2)

où−−→Fext,M ,−→aG représentent respectivement la résultante des forces extérieures

qui agissent sur le système, la masse totale du système M =∑

imi et l’accéléra-tion du centre de masse.

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1.3 Notion de quantité de mouvement

La quantité de mouvement d’un solide de masse M est donnée par :−→PG = M−→vG (1.3)

où −→vG est la vitesse du centre de masse. Comme l’indique son nom, la quantité demouvement est la variable qui permet de “mesurer” ou de “quantifier” le mouve-ment d’un solide. Elle dépend de la masse du solide et de la vitesse de son centre demasse. La masse caractérise l’inertie du système. L’inertie mesure l’aptitude d’unsystème à modifier sa vitesse.

Important : on peut réécrire la relation fondamentale de la dynamique à l’aidede la quantité de mouvement :

∑−−→Fext = M−→aG = d

dt

−→PG. Cette relation indique que

l’action d’une force extérieure sur un système fait varier la quantité de mouvementde ce dernier au cours du temps. Autrement dit, le mouvement d’un système estmodifié par l’action des forces extérieures.

1.4 Lois de conservation

Rappel : on dit qu’un système est isolé si aucune force n’agit sur lui. Il estpseudo-isolé si la résultante des forces extérieures est nulle.

En mécanique classique, le mouvement des systèmes isolés est gouverné pardes lois de conservation : la conservation de la quantité de mouvement et du mo-ment cinétique (la notion de moment cinétique sera abordée en 2ème année dansle cours de mécanique du solide). Il existe une troisième loi de conservation : laconservation de l’énergie mécanique. Cette loi de conservation est valable pour lessystèmes isolés (ou pseudo-isolés) et pour les systèmes qui ne sont soumis qu’à desforces à travail conservatif.

Le but de ce TP est de vérifier la conservation de l’énergie mécanique et laconservation de la quantité de mouvement au cours de collisions.

1.4.1 Conservation de l’énergie mécanique

L’énergie mécanique d’un système est donnée par :

Em = Ec + Ep (1.4)

où Ec et Ep sont respectivement l’énergie cinétique et l’énergie potentielle du sys-tème. L’énergie mécanique d’un système est conservée, soit Em = constante, sicelui-ci n’est soumis qu’à des forces à travail conservatif.

1.4.2 Conservation de la quantité de mouvement totale

Lors d’une collision entre les deux systèmes isolés M1 et M2, on a :

~p1 + ~p2 = ~p ′1 + ~p ′2 (1.5)

où les grandeurs non primées désignent les quantités de mouvement avant lechoc et les grandeurs primées celles observées après le choc.

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~v′1

~v1

~v′2

~v2

FIGURE 1.1 : Exemple de choc inélastique.

1.5 Conservation de l’énergie cinétique totale (collisions élastiques)

Une collision est élastique si l’énergie cinétique totale est conservée :∑i

EC,i =∑i

E′C,i ⇔ 1

2m1v

21 +

1

2m2v

22 =

1

2m1v

′21 +

1

2m2v

′22 (1.6)

Dans les chocs inélastiques, l’énergie cinétique totale n’est pas conservée (voirillustration sur la figure 1.1). Une partie de cette énergie est dissipée soit sous formede chaleur, soit pour déformer les corps en interaction.

2 Matériel

On utilise une table à coussin d’air afin de s’affranchir des frottements entreles mobiles autoporteurs et la table. Trois pieds, réglables par vis, permettent demettre la table en position parfaitement horizontale.

L’alimentation électrique sert d’une part à mettre le mobile M en position auto-portée par écoulement d’air au niveau de sa partie inférieure, et d’autre part à en-registrer sur papier, par étincelage, la trajectoire du centre du mobile. La masse dumobile est répartie de manière homogène. Par conséquent, la position du centre dumobile correspond à la position du centre de masse G.

Pour l’enregistrement, il faut obligatoirement fermer le circuit électrique pourobtenir le marquage (figure 1.2) ; autrement dit les deux mobiles autoporteurs doiventtoujours être sur la table à coussin d’air même si l’un d’entre eux n’est pas utilisé.Les cordons de liaison sont branchés à l’arrière de l’alimentation.

Des cales, d’épaisseur 10 mm chacune, permettent d’incliner la table.

Les fils de liaison sont fins et fragiles ; on débranchera les mobiles en tenantla fiche terminale et non les fils eux-mêmes.

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Générateur d’impulsions

Cordons d’alimentation

M1 M2

Papier blancCouche de marquage

Couche conductriceCouche isolante

FIGURE 1.2 : Schéma du montage

3 Conservation de l’énergie mécanique

1. Incliner la table à coussin d’air en plaçant 4 cales sous le pied situé sous lapotence, la table fait alors un angle α avec l’horizontale. Choisir une périodedes impulsions de marquage τ égale à 60 ms.Attention : le marquage se fait du côté caché de la feuille blanche et l’on doitappuyer sur le bouton durant tout le mouvement.

2. Après plusieurs essais, réaliser un enregistrement en lâchant le mobile sansvitesse initiale en partant de la position la plus élevée possible. Quelle est laforce qui donne naissance au mouvement ?

3. Sur la feuille d’enregistrement, numéroter les points au crayon à partir del’instant initial. Ces points (A1, A2, . . . , An, . . .) indiquent les positions suc-cessives du centre de masse du mobile aux instants τ, 2τ, . . . , nτ, . . .

4. Vérifier que l’énergie mécanique est conservée. Pour ce faire, il faut détermi-ner l’énergie cinétique et l’énergie potentielle à l’instant initial et à l’instantfinal. Préciser le numéro des points correspondant à ces instants.Attention : ne pas prendre 2 points trop proches du bord de la table afin des’assurer que le cable qui contourne la table ne perturbe pas la mesure.

On ne considère que deux sources d’incertitude : celle sur la masse du mobile,∆m , et celle sur la distance parcourue, ∆d. A l’aide des balances disponibles,estimer la masse m du mobile ainsi que son incertitude ∆m .

3. Estimer l’incertitude sur les distances parcourues à partir de la règle graduéeque vous utilisez (incertitude de lecture). En déduire l’incertitude ∆Em surl’énergie mécanique. En tenant compte de ce calcul d’incertitude, conclurequant à la conservation de l’énergie mécanique.

4. Donner un exemple dans lequel l’énergie mécanique n’est pas conservée. Laquantité de mouvement du mobile est-elle conservée ? Justifier la réponsesans faire de mesure.

8/55

Rappel : l’énergie potentielle de pesanteur est égale à mgz où m est la massede l’objet étudié, g l’accélération de la pesanteur et z est l’altitude de cet ob-jet. On prend ici l’altitude de l’instant final comme origine des altitudes (à t =tfinal, z = 0). L’altitude de l’instant initial est par conséquent égale à : z (tinitial) =parcours× sin (α).

4 Conservation de la quantité de mouvement

4.1 Collision élastique

Monter les bagues de choc élastique, bague dotée d’un anneau métallique montésur ressorts, en position basse sur M1 et M2 . Vérifier que la table est en positionhorizontale puis, sans enregistrer, lancer M1 et M2 l’un contre l’autre. Les deuxvecteurs vitesses ~v1 et ~v2 sont approximativement à angle droit (figure 1.3).

Attention : ne pas accompagner les mobiles dans leur mouvement, mais leurdonner une impulsion. Le mouvement doit occuper toute la feuille, sans en débor-der.

4.1.1 Mobiles de même masse

bague

M1

~v1 ~v2

+G1 +G2

M1 M2

FIGURE 1.3 : Illustration de la procédure pour les collisions élastiques.

1. Après quelques essais, réaliser l’enregistrement et numéroter les positionssuccessives de M1 et M2. Pour ce faire, on pourra considérer les dernièrespositions de M1 et de M2 avant le choc et les premières après celui-ci.Indiquer la position exacte de la collision sur l’enregistrement en traçant lestrajectoires des mobiles avant et après la collision (à l’aide des points del’enregistrement). Sur le graphique, tracer les vecteurs vitesses ~v1 et ~v′1 dumobile M1 respectivement avant et après le choc. Faire de même avec lemobile M2 .

2. Quelle est la nature du mouvement des deux mobiles avant ou après la colli-sion. Justifier votre réponse à l’aide de la relation fondamentale de la dyna-mique.

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3. Montrer que la quantité de mouvement totale est conservée (en direction,sens et norme) au cours du choc. Pour ce faire, on représentera les vecteursquantité de mouvement résultants avant (~p1 + ~p2) et après (~p ′1 + ~p ′2 ) la col-lision, sur la feuille enregistrement. Expliquer clairement comment vous dé-terminez la norme des vecteurs : (~p1 + ~p2) et (~p ′1 + ~p ′2 ). Pour finir, vérifierque la collision est élastique.

4.1.2 Mobiles de masses différentes

1. Conserver les bagues des chocs élastiques et placer les deux anneaux desurcharge sur M1 puis enregistrer une collision dans les mêmes conditionsqu’au paragraphe précédent.

2. Montrer, à partir de la conservation de la quantité de mouvement, que

m1

m2=‖~v ′2 − ~v2‖‖~v1 − ~v ′1 ‖

(1.7)

3. Tracer les vecteurs vitesses ~v1, ~v′

1 , ~v2, ~v′

2 et utiliser la relation précédentepour déterminer le rapport m1

m2.

4. Peser les deux surcharges avec la balance de Roberval et en déduire unedeuxième mesure du rapport m1

m2.

5. Les deux mesures de m1m2

sont-elles compatibles entre elles ? Pour répondreà cette question, il est nécessaire de tenir compte des incertitudes de mesuresur la masse et sur les distances parcourues.

5 Annexe : détermination des vitesses

Par définition, à l’instant nτ , le vecteur vitesse instantanée est approximative-ment donné par :

~vn ≈−−−−→OAn+1 −

−−−−→OAn−1

(n+ 1)τ − (n− 1)τ=

−−−−−−−→An−1An+1

2τ(1.8)

Cette approximation est d’autant meilleure que τ est petit.

10/55

An−1

An

An+1

~vn~vn =

−−−−−−−−→An−1An+1

2τ

An−1

An

An+1

O

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TP 2 : Expérience de Millikan

Objectifs de la séance :– réaliser un étalonnage pour une mesure de distance– mettre en évidence la quantification de la charge électrique.

1 Principe de la manipulation

1.1 Introduction

La manipulation a pour but de refaire l’expérience historique (1909) par la-quelle Millikan a montré que toute charge dans la nature est discrète. Il a ainsidémontré qu’il existait une charge élémentaire e = 1, 6 10−19 Coulomb.

Elle consiste à étudier le mouvement d’une gouttelette d’huile chargée élec-triquement en suspension dans l’air et soumise au champ électrique créé entre lesarmatures d’un condensateur plan (voir figure 2.1). Le mouvement des gouttelettesest vertical (cf figure 2.1).

+

–

z

~uz ~E

~g

~Fe ~Ffrott

~P~v

FIGURE 2.1 : Description du dispositif expérimental dans le cas où latension appliquée est très faible.

On définit les grandeurs physiques suivantes :

Pour la goutte d’huile : R est son rayon, m sa masse, q sa charge, ρ sa massevolumique (ρ = 900 ± 5 kg.m−3) et ~v son vecteur vitesse. Si la gouttelettetombe, on a ~v = v~uz avec v > 0.

Pour le condensateur : V est la différence de potentiel entre les armatures ; d, ladistance entre les armatures (d = 6 mm) ; ~E = E~uz est le champ électrique

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crée à l’intérieur du condensateur par la différence de potentiel V ; ce champest considéré constant : E = V

d . Enfin, η est le coefficient de viscosité del’air contenu entre les deux armatures (η = 18, 5× 10−6 N.s.m−2).

1.2 Rappels théoriques

Il est possible de déterminer à partir de la relation fondamentale de la dyna-mique, l’expression de la charge q de la goutte d’huile.

Les forces qui s’exercent sur la gouttelette sont :

le poids : ~P = m~g = mg~uz avec m = 43πR

3ρ.

la force de frottement de l’air : ~Ffrott = −kR~v avec k, le coefficient de frotte-ment de l’air ( k = 6πη ) .

la force électrostatique : ~Fe = −q ~ELa relation fondamentale de la dynamique conduit à l’équation du mouvement

suivante :m~a = m

d~v

dt=∑

~F = m~g − q ~E − kR~v (2.1)

En projetant sur l’axe vertical (Oz), on obtient :

mdv

dt+ kRv = mg − qE (2.2)

C’est une équation différentielle du premier ordre avec second membre. Lasolution v(t) de ce type équation est la somme d’une solution générale vg(t) del’équation (2.2) sans second membremdv

dt +kRv = 0 et d’une solution particulièrevp(t) de l’équation (2.2).

La solution global s’écrit donc : v(t) = vg(t) + vp(t) .La solution générale de l’équation sans second membre est obtenue en posant :

vg(t) = C exp (−αt) avec α = kRm et C une constante d’intégration.

La solution particulière vp(t) est une fonction constante (indépendante du tempst) :

vp =mg − qEkR

= vl (2.3)

La solution globale s’écrit donc :

v(t) = vl + C exp (−αt) (2.4)

La valeur de C est déterminée en imposant des conditions aux limites sur lemouvement de la gouttelette. Si on fixe la condition initiale suivante : v = 0 ent = 0, il vient :

d’où : C = −vl.Finalement, on obtient :

v(t) = vl(1− e−αt

)= vl

(1− e−

tτ

)avec τ = 1/α (2.5)

13/55

Du fait de la force de frottement de l’air, la gouttelette d’huile voit dans unpremier temps sa vitesse augmenter puis atteindre une valeur limite donnée par

vl =mg − qEkR

. (2.6)

Pour une gouttelette de rayon R de l’ordre du micron (1 µm), τ = mkR est

inférieur à 10 s, de sorte que l’on peut considérer que la gouttelette a atteint savitesse limite lorsque t est supérieur à quelques unités de τ (t < 1 ms).

Dans la relation (2.6), les deux seules inconnues sont q et R si l’on mesure vlet E . Les deux manipulations qui permettent de déterminer q et R sont alors lessuivantes :

1.2.1 Annulation du champ électrique : E = 0.

D’après (2.6), on a alors : vl = mgkR = 2R2ρg

9η .On déduit le rayon de la gouttelette :

R =

√9vlη

2ρg= A√vl avec A =

√9η

2ρg(2.7)

La mesure de la vitesse des gouttelettes d’huile permet donc de déterminer leurrayon. Calculer la valeur de A et l’incertitude associée. Déterminer par analysedimensionnelle l’unité de A.

1.2.2 Immobilisation de la gouttelette par réglage du champ électrique.

La somme des forces qui s’appliquent sur la gouttelette est par conséquentnulle. On a donc : mg = qE, soit :

4

3πR3ρg = qE = q

V

d(2.8)

On en déduit :

q =4πR3ρ

3

gd

V= B

R3

Vavec B =

4πρgd

3(2.9)

Calculer la valeur de B et l’incertitude associée. Déterminer par analyse di-mensionnelle l’unité de B.

2 Matériel utilisé

2.1 Description générale

On dispose d’un appareil de Millikan, d’un micromètre objectif, d’un généra-teur de courant continu, d’un voltmètre et d’un chronomètre. L’appareil de Millikan

14/55

14

a. Annulation du champ électrique: E = 0.

D’après (4), on a alors : !

"

9

22 gR

Rk

mgvl ==

On déduit le rayon de la gouttelette: l

l vAg

vR ==

!

"

2

9

gAavec

!

"

2

9= (5)

La mesure de la vitesse des gouttelettes d’huile permet donc de déterminer leur rayon.

b. Immobilisation de la gouttelette par réglage du champ électrique.

La somme des forces qui s’appliquent sur la gouttelette est par conséquent nulle. On a

donc : m g = q E , soit: d

VqqEgR ==.

3

4 3!" . On en déduit :

V

RB

V

gdRq

33

3

4==

!"

3

4 dgBavec

!"= (6)

II. Matériel utilisé

1. Description générale

On dispose d’un appareil de Millikan, d’un micromètre objectif, d’un générateur de

courant continu, d’un voltmètre et d’un chronomètre. L’appareil de Millikan comprend un

condensateur plan, un nébuliseur d’huile, un dispositif d’éclairage et un viseur, solidaires du

même support (figure 2)

Figure 2: dispositif expérimental.

Le condensateur est formé de deux plaques métalliques parallèles, distantes de d = 6 mm.

Les deux plaques peuvent être connectées aux bornes d’une alimentation haute-tension (HT).

Un capot de plexiglas protège le dispositif et empêche l’air de circuler librement dans la

chambre définie par le volume entre les plaques.

2. Le viseur

Le viseur est un instrument d’optique destiné à observer des objets de petites

dimensions.

FIGURE 2.2 : Dispositif expérimental

comprend un condensateur plan, un nébuliseur d’huile, un dispositif d’éclairage etun viseur, solidaires du même support (figure 2.2)

Le condensateur est formé de deux plaques métalliques parallèles, distantes ded = 6 mm. Les deux plaques peuvent être connectées aux bornes d’une alimen-tation haute-tension (HT). Un capot de plexiglas protège le dispositif et empêchel’air de circuler librement dans la chambre définie par le volume entre les plaques.

2.2 Le viseur

Le viseur est un instrument d’optique destiné à observer des objets de petitesdimensions.

L1

L2M

FIGURE 2.3 : Le viseur

Il comprend trois tubes coaxiaux pouvant coulisser les uns par rapport auxautres et portant respectivement (figure 3) :

– une lentille convergente L1 du côté de l’objet (objectif) ;– une échelle graduée sur une plaque de verre (micromètre oculaire M) ;– une lentille convergente L2 du côté de l’oeil (oculaire).La lentille L1 donne d’un objet réel O, situé à une distance finie D en avant

du viseur, une image réelle O′. Si le point O coïncide avec le foyer objet F de lalentille L2, celle-ci donnera de O une image virtuelle, située à l’infini, et qui seravue nettement, sans accommodation, par un oeil normal (figure 2.3). Si en outre,

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L1

F1 F′1

L2

F2 F′2

FIGURE 2.4 : Optique du viseur

le micromètre M est dans le plan de O′, l’oeil verra l’objet et le micromètre netssimultanément. En modifiant la distance entre L1 et M, on fait varier la distancede visée D. On peut adapter le viseur à la vue de l’observateur en modifiant ladistance entre M et L2. Enfin, l’ensemble du viseur peut coulisser dans son supportau moyen d’un bouton moleté et pivoter légèrement autour d’un axe vertical.

2.3 Le micromètre objectif

Le micromètre objectif est une échelle graduée sur une plaque de verre, indé-pendante du viseur, et qui servira d’objet vis à vis du viseur. Cet objet fragile doitêtre manipulé en le prenant par la bague métallique le supportant et pas par lapartie en verre.

Attention : Il ne faut pas confondre le micromètre oculaire (situé dans le viseur)avec le micromètre objectif (indépendant du viseur).

3 Manipulations

Pour mesurer la charge des gouttelettes d’huile, il est nécessaire de mesurerdeux grandeurs : la vitesse vl des gouttelettes et la tension V qui permet d’im-mobiliser ces dernières (cf rappels théoriques). La vitesse est estimée en mesurantles distances que parcourent les gouttelettes et le temps nécessaire pour effectuerce parcours. Pour ce faire, on utilise d’une part un chronomètre et d’autre part lemicromètre oculaire. Dans un premier temps, il est donc nécessaire d’étalonnerle micromètre oculaire c’est-à-dire de déterminer la distance correspondant à unegraduation de ce micromètre.

3.1 Étalonnage du micromètre oculaire

1. Adapter le viseur à la vue en déplaçant par rotation la bague qui porte lalentille L2 de façon à voir nettement la graduation M du micromètre oculaire.On ne devra plus modifier ce réglage dans la suite de la manipulation.

2. Pour viser le micromètre objectif, ôter le capot (on débranchera au préalableles fils de connexion au générateur) puis retirer le condensateur en le sou-levant. Insérer le micromètre objectif dans le trou prévu sur le support ducondensateur. Éclairer le micromètre avec la lanterne fixée sur le support

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et l’orienter de façon à voir nettement, par action sur le bouton moleté duviseur, les graduations du micromètre. Superposer les graduations des deuxmicromètres, éventuellement en faisant tourner légèrement le viseur autourd’un axe vertical. On pourra placer une feuille de papier de couleur clairederrière l’objectif de manière à obtenir une meilleure luminosité et faciliterainsi la lecture simultanée des deux échelles. Il est également possible de ré-gler l’orientation du faisceau éclairant la lampe en jouant sur les vis du capotde celle-ci.

3. Sachant que les divisions du micromètre objectif (échelle grise) sont dis-tantes de eobj = 0, 1 mm , mesurer la distance réelle eoc correspondant à unedivision du micromètre oculaire (échelle noire).

Attention : ne pas modifier ce réglage afin de garder le même grandissementpour la suite du TP.

3.2 Observation des gouttelettes d’huile

On introduit les gouttelettes d’huile dans la chambre en appuyant vivement surla poire d’injection d’un nébuliseur placé devant des trous très fins percés dans lecapot de l’appareil. On éclaire les gouttelettes à l’aide de la lanterne qui réalise unéclairage transversal par rapport à la direction d’observation. Le viseur permet alorsd’observer les gouttelettes dans la chambre qui apparaissent comme des pointsbrillants sur un fond sombre.

Attention, le viseur renverse l’image. Les gouttelettes qui tombent à l’intérieurde l’appareil sont vues en train de monter à travers le viseur et inversement lesgouttelettes qui montent à l’intérieur de l’appareil sont vues en train de tomber.

1. Oter le micromètre objectif, remettre en place le condensateur, repéré parun ergot, le capot et connecter les plaques à l’alimentation en respectant lespolarités (borne rouge positive).

2. Introduire des gouttelettes en amenant le bec du nébuliseur juste devant lesdeux petits trous du capot et en pressant une ou deux fois la poire.

3. Si on n’a pas changé le réglage du viseur, on observe les gouttelettes, extrê-mement fines, qui se détachent sur le fond sombre de la chambre.

4. S’exercer à les regarder. En absence de différence de potentiel appliquéeentre les plaques du condensateur, les gouttelettes montent à vitesse constante.On doit pouvoir distinguer à la fois les gouttelettes et la graduation M.

5. Établir la tension. On ne touchera plus alors aux plaques. Les gouttes sontfreinées. Certaines s’arrêtent ou même rebroussent chemin.

6. Vérifier que l’on modifie la vitesse des gouttelettes en agissant sur la tension.Indiquer dans votre compte rendu pourquoi certaines gouttelettes montent etd’autres descendent.

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3.3 Mesures

1. Repérer une gouttelette se trouvant vers le bas de la graduation, puis réglerla tension V pour quelle soit immobilisée. Noter la valeur de cette tensionV1. Attention : si cette tension est inférieure à 150 Volts rechercher une autregouttelette car la détermination de la charge serait trop imprécise.

2. Faire chuter la gouttelette en ramenant la tension à zéro. A laide du chrono-mètre, mesurer le temps de parcours entre deux graduations oculaires les pluséloignées possibles (quelques dizaines). Estimer l’incertitude sur la distanceparcourue et le temps de parcours.

3. A la fin du parcours, stabiliser la gouttelette afin d’estimer de nouveau latension, que nous appellerons V2.

4. On pourra retoucher légèrement au tirage du viseur pour mettre constammentau point sur la gouttelette repérée et à son orientation pour que la gouttelettesoit en face de la graduation.

5. A partir des mesures précédentes, déduire la vitesse vl de la gouttelette, entenant compte du grandissement du viseur. On estimera l’incertitude vl àpartir des incertitudes sur la mesure du temps et de la distance parcourue.

6. Calculer son rayon R à l’aide de l’équation 2.7.7. Connaissant V et ∆V et R, déduire la valeur de la charge q en utilisant

l’équation 2.9. On prendra pour valeur de la tension, V = V1+V22 , et comme

incertitude ∆V = |V1−V2|2 .

8. Recommencer l’expérience avec plusieurs gouttelettes différentes. Les résul-tats des mesures seront consignés dans le tableau ci dessous. On indiqueraoutre le numéro de la gouttelette :– n le nombre de divisions oculaires parcourues par la gouttelette,– ∆n l’incertitude sur n,– t le temps – mesuré au moyen d’un chronomètre – mis par la gouttelette

pour parcourir les n divisions,– ∆t l’incertitude sur t ,– V1 et V2 deux mesures de la tension appliquée pour immobiliser la gout-

telette.

n n ∆n t ∆t vl ∆vl R ∆R V1 V2 V ∆V q ∆q...

......

......

......

......

......

......

......

4 Résultats et analyse

1. Le rayon des gouttelettes d’huile est typiquement de l’ordre de R = 1 µm.Calculer τ , le temps caractéristique du mouvement, à partir de la relation 2.5.

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Comparer ce temps avec la durée typique de la mesure de la vitesse d’unegouttelette. Les gouttelettes atteignent-elles leur vitesse limite ?

2. Donner les valeurs des grandeursA etB et leurs incertitudes respectives ∆Aet ∆B . On ne considère que l’incertitude sur la masse volumique de l’huile.

3. Donner l’expression littérale de l’erreur relative ∆R/R. Il faut considérerles incertitudes sur la masse volumique de l’huile et la vitesse de la goutted’huile.

4. Donner l’expression littérale de l’erreur relative ∆q/q. Il faut considérer lesincertitudes sur la masse volumique de l’huile, sur la vitesse de la goutted’huile et sur la tension V .

5. Compléter le tableau et déterminer le rapport q/e pour chaque mesure.

6. Conclure.

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(PMM) - Année 2010-2011


TP 3 : Action de champs magnétique et électrique sur un faisceaud’électrons

Objectif de la séance :– Mesure du rapport e/m

1 Rappels théoriques

1.1 Accélération d’une particule chargée sous une différence de po-tentiel

Toute particule chargée soumise à une différence de potentiel ∆V est accélérée.D’après le théorème de l’énergie cinétique : l’énergie cinétique Ec acquise par uneparticule de charge q et de massem sous une différence de potentiel ∆V est donnéepar

Ec = q∆V =1

2mv2 (3.1)

Dans le dispositif que vous utiliserez, des électrons sont émis par une cathodechaude (filament) avec une vitesse très faible. Ils sont attirés par une anode portéeà un potentiel positif (VA ) par rapport au potentiel de la cathode (VC ). Ils sont parconséquent accélérés par la différence de potentiel ∆V = VA − VC = UAC (cffigure 3.1).

Si l’anode présente une petite ouverture, les électrons peuvent franchir celle-ci.Ils sont alors animés d’un mouvement rectiligne uniforme de vitesse ~v et le modulede leur vitesse reste constant si le potentiel électrique reste constant sur toute leurtrajectoire ultérieure.

Les électrons pénètrent alors dans une région où il est possible de créer unchamp électrique ~E et un champ magnétique ~B.

1.2 Action d’un champ magnétique uniforme sur une particule char-gée

Supposons qu’un électron, animé d’un mouvement rectiligne uniforme de vi-tesse pénètre dans une région où règne un champ magnétique uniforme ~B. L’élec-tron est alors soumis à la force magnétique ~F = −e~v∧ ~B. Dans le cas particulier

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2

1

avec ~B

avec ~E

plaques

écran

anode

filament(cathode)

FIGURE 3.1 : Dispositif expérimental

FIGURE 3.2 : Règle des trois doigts. Attention : si q est négatif q~v estnécessairement orienté dans le sens opposé à ~v.

où ~B est perpendiculaire à ~v, son mouvement est circulaire et uniforme, et la tra-jectoire circulaire, de rayon r, est située dans un plan perpendiculaire à ~B. On a :

Ec = 12mv

2 = eUAC

F = mv2

r = evB

⇒

v2 = 2 e

mUAC

v = emrB

(3.2)

De ce système de 2 équations dans lequel les deux inconnues sont e/m et r, ontire :

e/m =2UAC

B2r2(3.3)

v =2UAC

Br(3.4)

On rappelle la règle des trois doigts sur la figure 3.2 pour trouver la directionde la force magnétique.

Plus de détails sur l’équation de la trajectoire dans l’annexe 5.

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x

y

z

~v

~E

FIGURE 3.3 : Trajectoire d’un électron dans une champ électriqueuniforme.

1.3 Action d’un champ électrique uniforme

Si un électron de vitesse ~v est soumis à l’action d’un champ électrique uniforme~E, la force électrique qui lui est appliquée est égale à :

~F = −e ~E (3.5)

Supposons que ~E soit perpendiculaire à la vitesse à l’entrée de la zone d’actionet rapportons le mouvement à un trièdre rectangle Oxyz, orienté comme il estindiqué sur la figure 3.3. L’électron décrit alors, dans le plan xOy, une paraboled’équation :

y =e

2m

E

v2x2 (3.6)

où E est le module du champ.

2 Matériel utilisé

2.1 Production et visualisation du faisceau d’électrons

Des électrodes, la cathode et l’anode, situées à l’intérieur d’une ampoule deverre dans laquelle règne un vide poussé (figure 3.1), fournissent un faisceau platd’électrons mono-cinétiques. Un écran luminescent, placé sur la trajectoire desélectrons et incliné de 15 sur l’axe du tube, rend visible leur trajectoire. Une gra-duation en centimètre, dessinée sur l’écran, permet de repérer les coordonnées desdifférents points de la trajectoire. L’origine de la graduation correspond à la posi-tion de l’anode.

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R

R

~B

~v

z

x

y

FIGURE 3.4 : Bobines de Helmholtz

2.2 Production du champ électrique

Le tube contient aussi deux plaques métalliques (1 et 2 sur la figure 3.1), paral-lèles, formant un condensateur plan, entre lesquelles on peut établir une différencede potentiel VP1P2 . On obtient ainsi un champ électrique perpendiculaire à la vi-tesse ~v des électrons qui ont traversé l’anode. La distance séparant les deux plaquesest d = 5, 2± 0, 1 cm.

2.3 Production du champ magnétique

Les bobines d’Helmholtz, du nom d’Hermann Ludwig von Helmholtz, sont undispositif composé de deux bobines circulaires de même rayon R et constituées den spires, parallèles, et placées l’une en face de l’autre à une distance égale à leurrayon R (figure 3.4). Un tel dispositif est ici situé à l’extérieur du tube et contrecelui-ci. Quand les bobines sont parcourues par un courant I , le champ magnétiqueau voisinage d’un point situé sur l’axe des bobines et à égale distance de celles-ci est sensiblement uniforme. On montre qu’en ces points le module du champmagnétique est donné par :

B =32π 10−7 nI

5√

5 R(3.7)

2.4 Protection

L’ampoule et les bobines décrites ci-dessus sont placées dans une boîte, enbois et plexiglas, qui contient également une partie du câblage électrique et untransformateur, suivant le schéma de la figure 3.6. L’étudiant a donc accès à lacathode, à l’anode, aux deux plaques et aux bobines.

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3 Manipulations

3.1 Montage électrique

IL EST INDISPENSABLE DE FAIRE VÉRIFIER LE MONTAGE PARL’ENSEIGNANT AVANT DE BRANCHER LES ALIMENTATIONS

HAUTE TENSION ET CONTINUER.

Le filament (cathode) est alimenté par le secteur, par l’intermédiaire d’un trans-formateur (cf figure 3.6), ce dernier étant situé dans la boîte de protection.

On utilise deux alimentations Haute Tension (H.T.). La première (H.T. n1)fourni la tension d’accélération UAC entre l’anode et la cathode (il faut impérati-vement utiliser la sortie 2 mA), la seconde (H.T. n2) permet de fournir la tensionVP1P2 qui crée le champ électrique entre les plaques P1 et P2.

Pour déterminer le rapport e/m avec une bonne précision, il est nécessaire queles électrons aient un vitesse constante dans la zone d’observation (écran). Pour cefaire, il faut que le potentiel de l’anode soit nul. Sinon les électrons restent attiréspar celle-ci lorsqu’ils pénètrent dans la zone d’observation et sont par conséquentralentis. Certaines alimentations possèdent trois bornes de sortie : une borne +, uneborne− et un point milieu. Le branchement de l’anode au point milieu (VP1P2 = 0)de l’alimentation n2 permet d’obtenir un potentiel électrique approximativementnul le long de l’axe du système.

Les tensions UAC et VP1P2 seront comprises entre 3000 V et 5000 V ; on pren-dra donc grand soin au branchement des appareils de mesure et au choix de leurcalibre.

3.2 Mesures préliminaires

Fermer l’interrupteur placé sur le circuit du filament et laisser celui-ci chaufferquelques minutes. Appliquer une tension UAC entre l’anode et la cathode compriseentre 3000 et 5000 V. ~E et ~B étant nuls, la trajectoire des électrons est rectiligne.On observe sur l’écran un trait bleuté horizontal. Il est possible que le faisceaud’électrons ne soit pas correctement aligné par rapport à l’écran d’observation.Dans ce cas, le trait n’est pas parfaitement horizontal. Afin d’estimer correctementla trajectoire du faisceau dans les paragraphes suivants, relever la position (x, y)du faisceau sur l’écran, pour x = 5, 6, 7, 8, 9, 10 cm. Les mesures ultérieures de latrajectoire du faisceau devront être corrigées de cette déviation initiale.

3.3 Action du champ électrique seul

Identifier les plaques P1 et P2 du condensateur dans le tube. La tension VP1P2

est fournie par l’alimentation HT2. On prendra soin de vérifier que le commuta-teur noir de l’alimentation correspond à la mise en fonction de la bonne sortie (0,+5 kV).

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NE JAMAIS DÉPASSER 5 KV POUR VP1P2

Appliquer une tension VP1P2 comprise entre 3000 et 5000V sur les 2 plaquesdu condensateur. La trajectoire des électrons observée sur l’écran a l’allure d’uneparabole. Soit x et y les coordonnées d’un point de la trajectoire. On peut montrerque l’équation de cette trajectoire est, en admettant qu’elle débute au point (0, 0),

y =

(1

2

e

m

E

v2

)x2 =

(E

4UAC

)x2 ∝

(VP1P2

4UAC

)x2 (3.8)

1. Indiquer le sens et la direction du champs électrique ~E ainsi que ceux dela force électrique ~Fe. Faire un schéma représentant ~E, ~Fe, et le faisceaud’électrons. Quelle est la plaque qui possède le plus petit potentiel ? Justifierle schéma et vos réponses.

2. Comment évolue la courbure de la trajectoire si VP1P2 augmente ou si UAC

diminue. Commenter.

Remarque : on mesurera la tension VP1P2 sur le cadran de l’alimentation HT2.Incertitude de mesure sur VP1P2 : 50 V.

3.4 Action d’un champ magnétique seul

Éteindre l’alimentation créant le champ électrique et mettre sous tension les bo-bines. Ces dernières sont branchées en série entre les bornes B. L’inverseur permetde changer le sens du courant dans les bobines, donc le sens du champ magnétique.

NE JAMAIS FAIRE PASSER PLUS DE 1 AMPÈRE DANS LES BOBINES

On crée un champ magnétique ~B en fermant le circuit des bobines. Identifierles bobines de Helmholtz qui créent le champ magnétique dans le tube. Vérifierl’effet de l’inversion du sens du courant dans les bobines.

On observe sur l’écran une courbe ayant la forme d’un arc de cercle. Indiquerle sens et la direction du champ magnétique ainsi que ceux de la force magné-tique. Faire un schéma représentant ~B, ~Fmag, et le faisceau d’électrons. Justifier leschéma. En déduire le sens de circulation du courant dans les bobines.

Pour différentes valeurs de UAC > 3000 V et de I (au minimum 5 combinai-sons) :

1. Déterminer les rayons des arcs de cercle correspondant aux trajectoires desélectrons. Pour ce faire, on utilisera les résultats présentés dans l’annexe 5 : ilest nécessaire de mesurer les coordonnées d’un point sur chaque trajectoirepour calculer r. On ajustera les valeurs de UAC et I de telle sorte que lefaisceau passe par un point de coordonnées x et y entières. Prendre y grand.

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2. Estimer les incertitudes ∆x et ∆y sur la mesure des coordonnées x et y dece point. En déduire l’incertitude ∆r sur la mesure de r.

On présentera les résultats sous la forme d’un tableau dans lequel on trouve :UAC, ∆UAC, I , ∆I , x, ∆x,y,∆y,r,∆r.

Attention : faire la lecture de UAC pendant que le faisceau d’électrons fonc-tionne (c’est-à-dire en maintenant le bouton enfoncé).

3.4.1 Détermination de la vitesse des électrons

Déterminer la vitesse des électrons à l’aide de la relation 3.4. Des valeurs de I ,on déduira l’intensité du champ magnétique à l’aide de la relation : il sera commodede calculer une fois pour toutes la constante :

32π10−7n

5√

5R= 4, 295 10−3 ± 0, 065 10−3 (Tesla par Ampère) (3.9)

Estimer ∆v en fonction de ∆r,∆UAC et ∆B.

3.4.2 Mesure du rapport e/m

1. Pour une dizaine de valeurs de I et UAC ≥ 3000V (on pourra utiliser les 5valeurs déjà mesurées dans la question précédente), déterminer le rayon descercles observés.

2. De chaque mesure, déduire e/m à l’aide de la relation 3.3. Estimer l’incerti-tude sur e/m. Pour ce faire on utilisera 2 méthodes : le calcul différentiel etl’analyse statistique. Dans le premier cas, il suffit d’exprimer e/m en fonc-tion deUAC,B et r. Dans le deuxième cas, on déterminera la valeur moyenneet l’écart type sur la distribution des valeurs de e/m.

Rappel : l’écart type est donné par σ =√〈(e/m)2〉 − 〈e/m〉2. L’écart type

mesure la dispersion autour de la valeur moyenne. C’est une deuxième estimationpossible de l’erreur sur la mesure d’une grandeur physique.

3. Comparer la valeur mesurée de e/m à la valeur théorique en tenant comptedes incertitudes et conclure.

Rappel : m = 9, 1 10−31 kg et e = 1, 6 10−19 C.

4 Actions simultanées du champ magnétique et du champélectrique

1. Choisir le sens du courant dans les bobines de manière à ce que les déviationsélectrique et magnétique soient de sens contraires.

2. Faire un schéma représentant les forces électrique ~Fe et magnétique ~Fmag.

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Pour une certaine valeur de I (donc deB) les forces électriques et magnétiquesse compensent tel que ~Fe + ~Fmag = ~0. On en déduit : Fe = Fmag d’où eE = evBet donc E = vB. En utilisant la relation vB = 2UAC

r , on montre donc que :E = 2UAC

r .Or l’intensité E du champ électrique dépend linéairement de VP1P2 tel que

E = αVP1P2 , d’où

αVP1P2 =2UAC

r. (3.10)

3. Déterminer α à partir de la relation 3.10. Pour ce faire, il est nécessaire d’an-nuler la déviation du faisceau en faisant varier VP1P2 . Afin de ne pas mesurerune nouvelle fois r, utiliser exactement les mêmes valeurs de I et deUAC quedans le paragraphe précédent dans lequel le calcul de r a été déjà effectué.

4. Exprimer et calculer en fonction ∆r, ∆UAC et ∆VP1P2 .

Remarque : la trajectoire des électrons devrait être rectiligne ; en réalité on ob-serve une courbe très aplatie en raison de la non uniformité de ~E et de ~B ; parcontre il est possible d’annuler rigoureusement la déviation pour un point particu-lier (prendre le point central x = 6, y = 0 par exemple et tenir compte éventuelle-ment du décalage du faisceau incident par rapport à Ox).

5. En déduire la valeur expérimentale du champ électriqueEexp. Estimer ∆Eexp.Comparer cette valeur à la valeur théorique du champ électrique pour uncondensateur plan “infini” :

Eth = VP1P2/d. (3.11)

6. Estimer l’incertitude ∆Eth en fonction de ∆VP1P2 et ∆d (= 0.1 cm). Com-parer la valeur théorique et la valeur expérimentale compte tenu des incerti-tudes. L’écart observé entre les 2 valeurs peut être expliqué par les effets debords du condensateur. Expliquer.

5 Annexe : équation de la trajectoire observée avec le champmagnétique seul

Les électrons pénètrent sur l’écran avec une vitesse parallèle à l’axe (Ox) (cffigure 3.5). Le champ magnétique crée par les bobines a la direction de l’axe (Oz).Il est perpendiculaire à la vitesse des électrons. La trajectoire des électrons est parconséquent circulaire dans le plan (Ox,Oy).

Selon le sens du champ magnétique sur l’axe (Oz), il y a 2 possibilités : lesélectrons parcourent un arc de cercle orienté soit vers le haut (C1) soit vers le bas(C2). En admettant que la trace débute au point de coordonnées (0, 0), l’équationde la trajectoire est de la forme :

x2 + (y ± r)2 = r2. (3.12)

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(C1)

(C2)

2r

x2 + (y − r)2 = r2

−2r

x2 + (y + r)2 = r2

y1

x1O x

y

z

~B2

~B1

FIGURE 3.5 : Trajectoire d’un électron dans un champ magnétique

On reconnaît ici l’équation d’un cercle dont le centre a pour coordonnées (xc =0, yc = ±r). La concavité est directement reliée aux signe + ou − de l’équation :

– concavité > 0, courbe tournée vers le haut : x2 + (y − r)2 = r2

– concavité < 0, courbe tournée vers le bas : x2 + (y + r)2 = r2

La connaissance d’un couple (x, y) et le sens de la concavité permettent decalculer r.

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Plaq

ues

(P1

)

1 2

(P2

)–+

Alim. HT 2

Ano

de(A

)

Bob

ines

(B)

(B)

6V

A

Cat

hode

(C)

≈220

V

–+

Alim. HT 1

FIGURE 3.6 : Circuit

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(PMM) - Année 2010-2011


TP 4 : Étude des lentilles minces

Objectifs :– Mesure de la distance focale de lentilles selon plusieurs méthodes.

1 Rappel des formules fondamentales

1.1 Distance focale d’une lentille L

L1

F1 F′1

L1

F1F′1

(a) (b)

FIGURE 4.1 : Exemple de construction pour une lentille convergente (a)et divergente (b) avec objet à l’infini

La distance focale image F′ est la distance algébrique entre le centre optique Ode la lentille L et l’image F′ donnée par cette lentille d’un objet situé à l’infini : ona OF′ = f ′

– f ′ > 0 si lentille convergente– f ′ < 0 si lentille divergenteF′ est le foyer image de la lentille.Inversement, lorsque l’objet est placé au foyer objet F de la lentille, l’image est

rejetée à l’infini et les rayons émergents sont parallèles entre eux (cf Principe duretour inverse de la lumière).

F et F′ sont symétriques l’un de l’autre par rapport à O.

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L1

F1 F′1

L1

F1F′1

(a) (b)

FIGURE 4.2 : Exemple de construction pour une lentille convergente (a)et divergente (b) avec objet au foyer

1.2 Formule de conjugaison et de grandissement

Dans les conditions de l’approximation de Gauss, i.e. lorsque les angles d’in-cidence des rayons sont faibles et que le point d’incidence sur la lentille est prochede l’axe optique, une lentille mince de centre optique O donne d’un objet AB uneimage A′B′ satisfaisant aux formules de conjugaison 1.2 et de grandissement 4.2suivantes :

1

OA′− 1

OA=

1

OF′(4.1)

γ =A′B′

AB=

OA′

OA(4.2)

Ces formules sont alors valables quelle que soit la nature de la lentille, conver-gente ou divergente, à condition d’orienter les axes (figures 4.3).

Remarque : tout rayon passant par le centre optique O de la lentille n’est pasdévié.

Cas limites : vérifier qualitativement la formule () dans les cas particuliers oùl’objet ou l’image sont à l’infini.

L1

F1 F′1

L1

F1F′1

(a) (b)

FIGURE 4.3 : Exemple de construction pour une lentille convergente (a)et divergente (b)

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1.3 La vergence

La vergence C d’une lentille mince est l’inverse de la distance focale image f ;elle s’exprime en dioptries de symbole δ.

Pour une lentille convergente, f et C sont positives ; pour une lentille diver-gente, f ′ et C ′ sont négatives.

On rappelle par ailleurs que quand on accole plusieurs lentilles minces de dis-tances focales f1, f2, f2 . . . fn (les centres optiques Oi sont supposés confondus)la distance focale f ′ de l’ensemble est donnée par :

1

f ′=

n∑i=1

1

f ′i(4.3)

et la vergence C par :

C =n∑i=1

Ci (4.4)

2 Matériel utilisé. Mise en place des éléments

Les composants du système sont montés sur un banc d’optique muni d’unerègle graduée. Sont utilisés :

– un objet constitué par deux lettres F et A noires, collées sur un écran trans-lucide, et rendues lumineuses par un éclairage en lumière blanche.

– un écran recouvert de papier millimétré.– deux lentilles convergentes L1 et L2 utilisées seules ou associées par accole-

ment sur un support prévu à cet effet.– un miroir plan M.La lampe et le support de l’objet restent fixes, à une extrémité du banc. La

lampe sera accolée à l’écran portant les objets F et A. Ceux-ci seront placés du côtéopposé à la lampe pour éviter la diffusion de la lumière à travers le support. Veillerà ce que le plan de l’objet et celui de l’écran soient perpendiculaires à l’axe du bancet à ce que l’axe des lentilles soit parallèle à celui du banc. Régler éventuellementla hauteur des éléments pour que l’axe du système optique soit parallèle à celui dubanc.

3 Focométrie des lentilles convergentes

Dans un premier temps, nous allons chercher à déterminer la focale de lentillesen utilisant différentes méthodes expérimentales.

3.1 Méthode d’auto-collimation

Principe : On utilise la propriété que si l’objet est à l’infini, l’image est situéedans le plan focal image et réciproquement. Donc dans ces conditions, en plaçant

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L

FIGURE 4.4 : Principe d’auto-collimation

un miroir plan sur le trajet du faisceau transmis, l’image se forme dans le plan del’objet.

Protocole : Accoler le miroir plan M à la lentille L1 et déplacer l’ensemblejusqu’à observer nettement l’image de la source dans le plan de celle-ci.

1. En déduire la distance focale f1 de L1.

2. Estimer l’incertitude de position de L1 et donc ∆f 1.

3. Refaire la même mesure pour la lentille L2 et déterminer f2 et ∆f2 .

3.2 Application de la formule de conjugaison

Pour tous les différents cas illustrés ici il est demandé de représenter sur unschéma les rayons, les images et les objets.

3.2.1 Cas d’un objet réel (figure 4.5)

O O1

A

B

A′1

B′1

A′2

B′2

XA′

FIGURE 4.5 : Objet réel : exemple

La lettre F constituant l’objet AB étant en place :

1. Positionner la lentille L1, montée sur un support, à 50 cm environ de A.

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2. Déplacer l’écran depuis O1, centre optique de L1, jusqu’à l’obtention d’uneimage nette.

3. Relever les positions de A, O1 et A′ ainsi que la grandeur de l’image .

4. Noter également la plage d’incertitude pour A′ (points extrêmes A′1 et A′2entre lesquels l’image paraît nette), ainsi que les valeurs extrêmes corres-pondantes de l’image (figure 4.5).

5. Déduire de ces mesures, en utilisant les relations 1.2 et 4.2 :

(a) la distance focale f ′1 et la vergence C1 de L1

(b) les incertitudes correspondantes (négliger les incertitudes sur la posi-tion et la taille de l’objet AB)

(c) les rapports A′B′

ABet OA′

OAet les incertitudes correspondantes ; la grandeur

de l’objet, AB = 24 mm, est indiquée sur son support, la vérifier.

Conclusion : la formule du grandissement est-elle vérifiée en tenant comptedes incertitudes ?

Cas limites : que devient le grandissement quand l’objet est placé au foyer objetF et quand l’objet est situé à l’infini par rapport à la lentille ?

3.2.2 Cas d’un objet virtuel (figure 4.6)

A

B

A′

B′

A′′

B′′

L2

F2 F′2

L1

F1 F′1

FIGURE 4.6 : Objet virtuel : exemple

La lentille convergente L2 donne de AB une image réelle A′B′ qui constitue unobjet virtuel pour la lentille L1 dont on cherche à mesurer la distance focale f ′1 .

1. Placer L2, déterminer et noter la position et la grandeur de l’image A′B′.

2. Intercaler L1 entre L2 et A′ et rechercher l’image définitive A′′B′′ : si lesupport de l’écran vient au contact de celui de L1, recommencer en modifiantla position de L1 par rapport à L2

3. Noter les positions de L1, L2, A, A′, A′′ et la grandeur de l’image A′′B′′.

34/55

4. Calculer f ′1 à partir de 1.2 en considérant que A est l’objet et A′′ l’image,puis la convergence C1 et vérifier si cette nouvelle valeur de f ′1 s’insère dansles résultats précédents.

5. Vérifier que la formule du grandissement est encore satisfaite.

4 Réalisation d’une lunette astronomique

Les lunettes astronomiques sont utilisées pour observer à l’œil des objets trèséloignés (considérés à l’infini). Avant de réaliser une lunette, il est nécessaire desimuler un objet à l’infini et un œil.

4.1 Réalisation d’un objet situé à l’infini

Les rayons provenant d’un objet situé à l’infini sont parallèles entre eux. Si l’onplace un objet dans le plan focal objet d’une lentille convergente, alors les rayonstransmis seront parallèles entre eux (figure 4.4). Cette disposition permet donc desimuler la présence d’un objet à l’infini sur le banc d’optique (cf figure 4.5). Pourla réaliser, utiliser la méthode d’auto-collimation (cf 3.1) avec la lentille L0.

4.2 Réalisation d’un l’œil observant un objet à l’infini

Le cristallin est l’un des éléments optiques essentiel de l’œil. Il est assimilableà une lentille convergente de distance focale variable. L’objet observé à travers lecristallin forme une image sur la rétine. L’image est nette si la distance focale ducristallin est exactement égale à la distance entre le cristallin et la rétine. L’œilobserve sans effort d’accommodation les objets situés à l’infini. Il doit en revanchetravailler (s’accommoder) pour observer les objets proches.

C’est pourquoi les lunettes sont construites de manières à produire des imagesà l’infini : on parle de lunette afocale. Il est ainsi moins fatiguant pour l’œil d’ob-server longuement des objets à travers la lunette.

Réaliser un œil fictif à l’aide d’une lentille convergente LCr (jouant le rôle ducristallin) et un écran (correspondant à la rétine). Choisir une lentille ayant une dis-tance focale d’environ 25 cm pour LCr. Régler la distance entre la lentille conver-gente LCr et l’écran de manière à ce que l’image de l’objet à l’infini s’observenettement sur l’écran (cf figure 4.4). Ce réglage permettra d’observer par la suitenettement sur l’écran tout objet à l’infini.

On peut considérer maintenant que l’ensemble lentille LCr et écran forme unobjet qui est l’œil fictif. Par commodité, laisser un bon mètre entre l’œil ainsi forméet l’objet à l’infini.

4.3 Réalisation d’une lunette astronomique

La lunette astronomique est constituée de deux lentilles convergentes : unelentille L1 qui constitue l’objectif (située près de l’objet) et une lentille L2 corres-

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L0

Cristallin

LCr

Object à l’infini Oeil fictif

A

B

Rétine

Écran

FIGURE 4.7 : Modélisation d’un œil

pondant à l’oculaire (accolée à l’œil). L’image d’un objet observé à travers cettelunette est renversée et grossie (cf TP 2).

A1B1 est l’image de l’objet AB à travers l’objectif. L’objet AB étant à l’infiniindiquer où se situe A1B1 par rapport au centre O1 de la lentille L1. A2B2 estl’image A1B1 à travers l’oculaire. Pour que l’image A2B2 soit à l’infini, il estnécessaire que A1B1 soit situé dans le plan focal objet de la lentille L2. Le réglagede la lunette consiste à ajuster la distance entre les lentilles L1 et L2 de manière à ceque A1B1 soit positionné dans le plan focal de la lentille L2. Dans ces conditions,une image nette se forme sur l’écran (rétine) de l’œil fictif. Représenter le trajetdes rayons lumineux issus de l’objet AB une fois que la lunette est correctementréglée. Vérifier que la distance entre les 2 lentilles est en accord, compte tenu desincertitudes de mesure, avec la somme des distances focales

L0

Cristallin

LCr

L1 L2

Object à l’infini

A

B

Rétine

Écran

FIGURE 4.8 : La lunette astronomique

36/55

Expliquer pourquoi il doit en être ainsi.

4.4 Mesure du grossissement de la lunette

Le grossissement permet d’estimer l’aptitude d’une lunette à observer des ob-jets éloignés. Sa définition est :

G =α′

α(4.5)

où α est l’angle sous lequel l’objet (situé à l’infini) est observé sans lunette etα’ est l’angle sous lequel on observe l’objet à travers la lunette (cf les figures 4.9et 4.10 de l’annexe). Il est démontré en annexe que :

G =A′B′

A0B0(4.6)

où A′B′ correspond à la taille de l’image qui se forme sur la rétine en présence dela lunette et A0B0 la taille de l’image sur la rétine sans lunette. Mesurer la taille desimages observées sur l’écran et en déduire le grossissement de la lunette ainsi queson incertitude ∆G. Comparer la valeur mesurée avec la valeur théorique donnéepar

G =f1

f2(4.7)

On prendra la valeur moyenne sur toutes les mesures de f1. Donner un moyensimple permettant d’augmenter le grossissement d’une lunette.

5 Annexe

Le grossissement optique est une grandeur sans dimension qui correspond aurapport de l’angle sous lequel est vu l’objet observé à travers l’instrument d’optiquepar rapport à celui sous lequel il est vu à l’œil nu. Contrairement à la notion degrandissement angulaire, le grossissement ne relie pas une grandeur de l’objet àson équivalent pour l’image, mais deux grandeurs se rapportant à deux imagesdistinctes d’un même objet.

Sans lunette, l’image qui se forme sur l’écran (rétine de l’œil fictif) est notéeA0B0.

Le tracé d’un rayon lumineux provenant de B∞ (voir figure 4.9)nous permetd’écrire :

tanα =A0B0

OA0≈ α (4.8)

Avec la lunette (figure 4.10), l’image observée sur l’écran (rétine de l’œil fic-tif) est notée A′B′. Le tracé d’un rayon lumineux provenant de B∞ nous permetd’écrire :

tanα′ =A′B′

OA′≈ α′ (4.9)

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Cristallin

LCr

Rétine

Écran

B∞

B0

A0Oα

α

FIGURE 4.9 : Grandissement sur l’œil

L1 L2

Cristallin

LCr

Rétine

Écran

B∞ B′

A′Oα′

α′

FIGURE 4.10 : Grandissement de la lunette

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TP 5 : Principe des Appareils de Mesures Electriques :Ampèremètre et Voltmètre

Objectifs :– Élaborer deux de ces appareils à l’aide d’un galvanomètre.– Appliquer les lois de Kirchoff à quelques montages de base.– Comprendre le principe d’étalonnage d’un instrument de mesure.

1 Introduction

Le galvanomètre à cadre mobile que vous allez manipuler ici peut être utilisépour réaliser des appareils de mesure électrique en courant continu tel que l’am-pèremètre (mesure d’intensité), le voltmètre (mesure de tension) ou l’ohmmètre(mesure de résistance). Son fonctionnement est détaillé dans l’annexe 4 et il seprésentera sur les différents schémas de montage avec le symbole de la figure 5.1,où r représente sa résistance interne.

rG

FIGURE 5.1 : Symbole du galvanomètre de résistance interne r

AVANT TOUTES CHOSES : REMARQUER QUE DURANT CETTESÉANCE DE TP LE COURANT QUI TRAVERSERA VOTRE

GALVANOMÈTRE NE DEVRA JAMAIS EXCÉDER 1 MA, FAUTE DEQUOI, CE DERNIER SERAIT IRRÉMÉDIABLEMENT ENDOMMAGÉ.

2 Réalisation d’un ampèremètre

2.1 Principe

Le galvanomètre, en soit, est un ampèremètre. Son aiguille se déplace sur lecadran en indiquant la valeur du courant qui le traverse. Il ne peut cependant pas

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mesurer un courant de plus d’un milliampère, ce qui oblige son utilisateur à adapterson circuit s’il veut pouvoir s’en servir comme tel. Mais avant toutes choses, il estnécessaire de bien comprendre comment limiter le courant qui va traverser votregalvanomètre pour ne pas l’endommager.

2.1.1 Cas du galvanomètre parfait

Soit le montage décrit ci-dessous (cf figure 5.2), avec :– G un galvanomètre parfait sans résistance interne.– s une résistance communément appelée ‘shunt’.– U la tension au borne de AB.– I l’intensité qui traverse la branche AA′.

A I A′

Gi

s

B

U

FIGURE 5.2 : Galvanomètre parfait en parallèle d’une résistance

Faire le schéma équivalent du circuit dans les deux cas suivants :

1. s 7→ +∞ ?

2. s = 0 ?

En déduite ce que vaudrait (en fonction de I, U et s) l’intensité i dans labranche du galvanomètre dans ces deux cas.

2.1.2 Cas du galvanomètre réel

Considérons maintenant le galvanomètre réel, celui que vous utiliserez durantcette séance. Sa résistance interne n’est pas nulle. Il peut donc être assimilé à unerésistance r en série avec un galvanomètre parfait. Le montage précédant (cf fi-gure 5.2) revient donc à la figure 5.3)

Faire le schéma du circuit équivalent dans les cas suivants :

1. s 7→ +∞ et r 7→ +∞ ?

2. s = 0 et r 7→ +∞ ?

3. s 7→ +∞ et r = 0 ?

4. s = 0 et r = 0 ?

40/55

A I A′

Gi r

s

B

U

FIGURE 5.3 : Représentation d’un galvanomètre réel en parallèle d’unerésistance

Que vaudrait (en fonction de I, U, s et r) l’intensité i dans la branche du galva-nomètre dans les précédents cas ?

En utilisant la loi d’Ohm, exprimer la tension UG aux bornes du galvanomè-treen fonction de I , i, et d’un r et d’un s quelconque. En déduire l’expression 5.1suivante :

I = (r

s+ 1)× i . (5.1)

De ce fait, si l’on connaît les valeurs de r et de s, et que l’on lit l’intensité i surle cadrant du galvanomètre, il devient possible de remonter à la valeur de l’intensitéI . Cette portion de circuit (figure 5.3) constitue donc un ampèremètre.

2.2 Montage d’un ampèremètre

Il s’agit maintenant de réaliser le montage de la figure 5.4 en respectant lapolarité des appareils de mesure et de la source de tension. Faire vérifier le montagepar l’enseignant et choisir s et R tel que le courant soit minimum dans la branchedu galvanomètre.

+E−

K

s

r−G

+

A −+R

FIGURE 5.4 : Montage pour l’ampèremètre

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– E : source de tension continue (E = 2 Volts ou E = 5 Volts : pour cettepartie de la manipulation mettre le commutateur 2 V— 5 V sur la position2 V).

– R : résistance variable montée en série, respectivement multiple de 1 ohm,de 10 Ω, de 100 Ω et de 1000 Ω.

– K : interrupteur simple. Rappelons que par convention lorsque l’interrupteurest ouvert, comme sur la figure 5.4, le courant ne passe pas ; lorsqu’il estfermé le courant passe.

– A : multimètre utilisé comme ampèremètre de référence.– G : galvanomètre à cadre mobile.– s : shunt variable identique à R.

2.3 Mesure

2.3.1 Remarques préliminaires

Il ne faut jamais faire passer une intensité trop importante au travers du galva-nomètre ou de l’ampèremètre. Pour éviter cela :

– Placer ce dernier sur le plus gros calibre avant de le réduire jusqu’au calibrele plus approprié.

– La valeur de R devra toujours être maximale au commencement de la me-sure, de façon à ce que l’intensité I qui traverse le circuit soit minimale.

– Prendre soin de choisir la valeur du shunt pour que le courant dans la branchedu galvanomètre soit lui aussi minimum avant de le faire varier par la suite.

– Les résistances variables sont très sensibles et leur valeur peut avoir varié. Ilest préférable de vérifier au multimètre la valeur lue.

Il faut considérer toutes les sources d’incertitudes :– La précision d’une mesure faite par un appareil dépend de la classe de celui-

ci. Un appareil de classe 2 présentera par exemple une erreur de plus oumoins 2% sur la mesure qu’il effectuera.

– L’incertitude de lecture s’ajoute à la précédente (valeur du dernier digit pourles appareils à affichage numérique, une demi graduation dans le cas d’unaffichage analogique)

2.3.2 Contrôle du bon fonctionnement du galvanomètre

Débrancher le shunt s (s 7→ ∞) : le multimètre de contrôle A et le galvano-mètre G sont donc traversés par le même courant.

En faisant varier R à partir de sa valeur maximale, vérifier que les intensitéstraversant G et A sont identique aux incertitudes de lecture et d’étalonnage près.

On effectuera au moins 3 contrôles répartis sur l’ensemble de la graduation eton dressera un tableau des résultats où l’on indiquera les valeurs R choisis et leurincertitudes ainsi que les valeurs de I et i et leurs incertitudes correspondantes.

A la fin de la série de mesures remettre R à sa valeur maximum et ouvrirl’interrupteur K. Rebrancher le shunt s.

42/55

2.3.3 Détermination de la résistance interne r du galvanomètre

A partir de la formule 5.1 il est facile d’obtenir l’expression 5.2 :

I

i=r

s+ 1 . (5.2)

Dans ce cas, si l’on fait en sorte que i soit égale à 1, la fonction I = f(1s )

est une droite affine de coefficient directeur r et d’ordonnée à l’origine 1. Il estalors possible en choisissant différentes valeurs de s de tracer cette courbe et d’endéduire r. Procédure :

1. Pour s = 5 Ω, diminuer progressivement la valeur de R jusqu’à ce quel’intensité qui parcourt le cadre soit juste égale à 1 mA.

2. L’intensité qui parcourt le circuit principal est alors égale à IM . Noter IM ets et calculer leurs incertitudes.

3. Effectuer ainsi une dizaine de mesures en faisant varier s de 5 Ω à 120 Ω (encommençant par les petites valeurs de s), en maintenant le courant dans legalvanomètre à 1 mA et en faisant en sorte que la grandeur 1/s soit réguliè-rement distribuée sur le domaine de mesure 1.

4. Dresser un tableau des résultats obtenus et tracer la courbe IM = f (1/s) enfaisant apparaître les incertitudes.

5. A l’aide de la méthode des pentes extrêmes, déterminer une valeur de larésistance interne r du galvanomètre ainsi que son incertitude ∆r associée.

2.3.4 Étalonnage de l’ampèremètre pour un shunt donné

Avant de poursuivre, faire vérifier la valeur de la résistance interne parl’enseignant.

1. Donner à s la valeur entière (en Ω) la plus proche de la valeur trouvée pourr.

2. En ajustant la résistance R à partir de sa valeur maximum déterminer l’in-tensité I (lue sur le multimètre A) qui doit parcourir le circuit principal pourque la déviation de l’aiguille du galvanomètre soit égale à n centièmes de ladéviation maximum. On fera varier n de 0 à 100 par pas de 20.

3. Dresser le tableau des résultats contenant n, I et i avec leurs incertitudes.

4. Tracer le graphe I = f (n).

5. Quelle est la nature de la relation entre i et I ?

6. En repartant de la relation 5.1, déduire l’expression de i = f(r, s, I).

1. Attention : Des mesures régulièrement espacées en valeur de s (ex s = 1, 2, 3 ⇒ écartconstant) ne le sont pas en 1

s(ex 1

1, 1

2, 1

3⇒ écart non constant)

43/55

7. Que devient cette équation quand s = r ?

8. Quelle devrait être la valeur de s pour pouvoir mesurer à l’aide de ce galva-nomètre une intensité i = 1 mA correspondant à un courant dans le circuitprincipal I = 30 mA ?

9. Quelle sera alors la valeur d’une division du galvanomètre ?

10. Indiquer pourquoi un bon ampèremètre doit avoir une faible résistance in-terne.

3 Réalisation d’un voltmètre

3.1 Principe

La loi d’ohm permet, en connaissant la résistance d’un appareil et le courantqui le traverse, d’en déduire la tension à ses bornes. De ce fait, la tension aux bornesdu galvanomètre vaut :

U = r i . (5.3)

En utilisant seulement le galvanomètre réel, il est alors possible de mesurerune tension maximum Umax = r × 10−3 V, ce qui, compte tenu de la valeur de r,est faible. Pour pouvoir mesurer des tensions plus grandes, il suffit de placer unerésistance en série avec le galvanomètre (cf figure 5.5) de sorte que :

Umax = (R+ r) i . (5.4)

A iR

rG

B

FIGURE 5.5 : Galvanomètre utilisé pour mesurer une tension

où R est une résistance telle que R r.

3.2 Montage

Réaliser le montage de la figure 5.6 en respectant les polarités. Faire vérifierle montage par l’enseignant avant de commencer les mesures.

– E : source de tension continue (E = 2 V ou E = 5 V : pour cette partie dela manipulation mettre le commutateur 2 V— 5 V sur la position 5 V ).

– R : résistance variable montée en série, respectivement multiple de 1 Ω, de10 Ω, de 100 Ω et de 1000 Ω.

– R1 : résistance de protection de quelques centaines d’Ohm placée dans lecircuit pour limiter l’intensité du courant.

– R2 : résistance variable identique à R.

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+E−

K

R2

V −+

r−G

+

R

R1

FIGURE 5.6 : Montage pour le voltmètre

– K : interrupteur simple.– V : multimètre utilisé comme voltmètre de référence.– G : galvanomètre à cadre mobile.Le multimètre de référence V et le voltmètre réalisé à l’aide du galvanomètre

et de la résistance R sont placés tous les deux en dérivation (ou en parallèle) surla résistance R2. Ils permettent de déterminer la différence de potentiel aux bornesde R2, en fonction de l’intensité I qui parcourt le circuit.

3.3 Mesure

1. Fixer la valeur de R de façon que R + r = 3000 Ω. Quelle est alors Ladifférence de potentiel maximum mesurable ?

2. Régler R2 de façon à ce que la déviation de l’aiguille du galvanomètre soitégale à n centièmes de la déviation maximum, et, pour chaque valeur n choi-sie, que l’on fera varier n de 0 à 100 par pas de 20, noter la tension V sur lemultimètre de référence et calculer l’incertitude ∆V.

3. Tracer la courbe U = f (i).

4. Le voltmètre réalisé est-il linéaire ?

5. Examiner si le fait de débrancher le voltmètre réalisé à l’aide de G et deR, sans toucher au multimètre de référence, fait varier la tension lue par cedernier. Faire de même avec le voltmètre de référence.

6. Expliquer vos observations.

7. Comment modifier la résistance du voltmètre pour pouvoir mesurer une dif-férence de potentiel de 10 V ?

45/55

8. Quelle sera la valeur d’une division du voltmètre ?

9. Pourquoi un bon voltmètre doit-il avoir une résistance interne élevée ?

4 Annexe : description et fonctionnement du galvanomètre

FIGURE 5.7 : Schéma de principe d’un galvanomètre à cadre mobile.

Un galvanomètre à cadre mobile comprend essentiellement un cadre rectangu-laire sur lequel on a bobiné N spires d’un fil conducteur très fin et qui peut tournerautour d’un de ses axes de symétrie entre les pôles d’un aimant permanent en “ferà cheval”. Une aiguille solidaire du cadre et se déplaçant devant un cadran permetd’en apprécier les rotations.

En l’absence de courant circulant dans le fil du cadre, deux ressort spiraux dontlune des extrémités est solidaire du cadre et l’autre du pivot supportant l’extrémitéde l’axe de rotation imposent une certaine position d’équilibre au système mo-bile. L’aiguille est alors devant la division zéro du cadran. Lorsque le cadre n’estpas dans cette position d’équilibre, les ressorts spiraux tendent à l’y ramener endéveloppant un couple de rappel de module proportionnel à l’angle de déviationθ : Γ = Cθ. La liaison électrique du cadre avec le circuit extérieur s’effectue parl’intermédiaire des ressorts spiraux (figure 5.7).

Les pôles de l’aimant permanent sont taillés de façon à laisser entre eux unecavité de forme cylindrique au centre de laquelle est fixé un noyau cylindrique defer doux. Une telle disposition des matériaux magnétiques permet de réaliser unchamp d’induction magnétique à lignes de forces radiales, l’induction ayant mêmeintensité B en tout point de l’entrefer (figure 5.8).

Le cadre est installé de façon que son axe soit confondu avec l’axe du cylindrede fer doux et que ses côtés «actifs» (côtés de longueur L sur la figure ) se dé-placent, lors de la rotation, dans l’entrefer laissé libre entre les pièces polaires et lenoyau central (figure ).

Quelque soit la position du cadre, l’induction ~B est perpendiculaire aux côtésactifs du cadre et située dans le plan du cadre. Lorsque le cadre est parcouru par un

46/55

N S

Pièces polaires

Noyau de fer doux

FIGURE 5.8 : Disposition des matériaux magnétiques.

N S

~f

~f

cadre

l

FIGURE 5.9 : Disposition du cadre.

courant d’intensité i, il se trouve soumis à un système de forces électromagnétiqueséquivalent à un couple. D’après la loi de Laplace, la résultante ~f des forces quis’exercent sur chacun des brins de fils des côtés actifs du cadre a pour module f :

f = iLB (5.5)

et cette force est normale au plan défini part le conducteur L et l’induction~B, c’est-à-dire normale au plan du cadre. Si le cadre comporte N spires de fil, larésultante des forces agissant sur chacun des côtés actifs, également normale auplan du cadre, a pour module F :

F = Nf = NiLB (5.6)

47/55

i

i~f

~f

~B

~BL

l

FIGURE 5.10 : Forces magnétiques.

Lorsqu’on passe d’un côté actif à l’autre, ~B ne change pas de sens au contrairedu courant i. Les résultantes des forces agissant sur les deux côtés actifs sont égalesen module mais opposées en sens ; elles forment un couple dont le moment parrapport à l’axe de rotation a pour module M :

M = Fl = NiLlB (5.7)

où l désigne la longueur des côtés “inactifs” du cadre. Sous l’action de cecouple, le cadre dévie de sa position d’équilibre et le couple de rappel développépar les ressorts spiraux tend à s’opposer à cette déviation. Le nouvel état d’équilibredu cadre correspond à l’égalité des modules des deux couples opposés :

CΘ = NiLlB (5.8)

La déviation du cadre, donc celle de l’aiguille, est alors proportionnelle à l’in-tensité du courant qui le parcourt.

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TP 6a : Mesure de la pression dans un fluide

Objectifs de la séance :– Observer que la pression est une grandeur scalaire qui augmente avec la

profondeur.– Vérifier la loi d’évolution de la pression avec la profondeur.

1 Description du matériel

On utilise essentiellement un manoscope dont le schéma est représenté ci-dessous :

h

membrane élastique

FIGURE 6a.1 : Schéma du manoscope

49/55

La pression s’exerce sur la membrane en caoutchouc et provoque une dénivel-lation mesurable h du liquide placé dans le tube en U. Un pressiomètre électroniqueest également à disposition pour effectuer une mesure absolue de pression.

2 Étalonnage du manoscope

On souhaite tout d’abord vérifier que la dénivellation h évolue linéairementavec la pression qui s’exerce sur la membrane.

1. Placé dans l’air ambiant, le manoscope est soumis à la pression atmosphé-rique. Mettre h à zéro en soulevant le tube en caoutchouc qui se trouve enhaut du tube plastique. Pour référence, mesurer avec le manomètre électro-nique la pression atmosphérique.

2. Placer une rondelle sur la membrane. Si vous observez une dénivellation hmesurez celle-ci et pesez la rondelle (m0).

3. Ajouter sur la rondelle des masses marquées m, sans dépasser 200 g, devaleurs croissantes (par exemple : 50, 100 et 200 g) et déterminer h à chaquefois. Quelle est selon vous l’utilité de la rondelle ?

4. Tracer la courbe donnant l’évolution de la surpression ∆P = 4(m+m0)gπd2

avech. Cette surpression est équivalente au poids de la masse totale placée sur lamembrane de diamètre d = 38± 1 mm. Estimer l’incertitude sur les massesm et sur h. En déduire, l’incertitude sur ∆P . On représentera les incertitudessur le graphe.

5. Etablir et commenter la relation donnant ∆P en fonction de h .

3 Vérification de la relation fondamentale de l’hydrosta-tique

On plonge le manoscope dans une cuve remplie d’eau :Conformément à la loi fondamentale des fluides au repos, la surpression ∆P (z)

exercée par le liquide à une profondeur est alors donnée par :

∆P (z) = P (z)− P0 = ρgz (6a.1)

ρ étant la masse volumique du fluide.

3.1 Expérience préliminaire

1. Mettre à zéro la dénivellation à la surface du liquide. Constater qu’elle aug-mente lorsqu’on enfonce la capsule dans l’eau.

2. Modifier l’orientation de la membrane en restant à la même profondeur. Y-a-t-il variation de h ? Que peut-on en conclure sur la pression exercée par leliquide ?

50/55

0

z

FIGURE 6a.2 : Définition des coordonnées

3.2 Dépendance de la pression vis à vis de la profondeur z

1. Déplacer la capsule dans un plan horizontal. Comment évolue la dénivella-tion ?

2. Mesurer h pour différentes profondeurs z. Estimer l’incertitude z. A l’aidede la courbe d’étalonnage établie précédemment, déterminer la surpression∆P correspondant à chaque dénivellation h.

3. Vérifier que la courbe donnant ∆P en fonction de z est une droite passantpar l’origine. Déterminer la pente de cette droite. Pour ce faire on utilisera laméthode des pentes extrêmes. Comparer à la pente théorique et commenter lerésultat. On déterminera également l’incertitude sur la pente avec la méthodedes pentes extrêmes.

3.3 Pression absolue au fond du récipient

1. Rappel : Un litre d’eau pèse 1 kg. En déduire la masse volumique de l’eauen kg/m3.

2. Exprimer P (zfond) en fonction de ρ, g, zfond et P (0) et donner sa valeur(théorique).

3. Comparer avec la valeur donnée par le pressiomètre relié au tube plastiquede faible diamètre. Comment peut-on expliquer la différence ?

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4. En conclusion, donner les avantages et inconvénients de la membrane dumanoscope comme capteur de pression.

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TP 6b : Potentiel électrique et champ électrique

Objectifs :– Mesure du potentiel électrique dans un conducteur à deux dimensions– Détermination des courbes d’équipotentielles et des vecteurs champs élec-

triques

1 Principe de la méthode

On se propose de mesurer puis de tracer les équipotentielles et les vecteurschamps électriques ~E présents dans un milieu conducteur sur lequel on appliqueune différence de potentiel. Le milieu conducteur utilisé ici sera de l’eau.

1.1 Rappels théoriques : champ et potentiel électrostatique

La relation entre le champ électrostatique ~E et le potentiel électrostatique Vest donnée par :

~E = −−−→grad V (6b.1)

Dans un espace à 2 dimensions, une courbe équipotentielle est définie parV (x, y) = Constante. Elle est constituée de l’ensemble de points de même po-tentiel. Par définition, la variation élémentaire du potentiel lors d’un déplacementd~l du champ électrostatique s’écrit : ~Ed~l = −dV . Si ce déplacement s’effectue lelong d’une équipotentielle, nous avons ~Ed~l = −dV = 0, ce qui implique que lechamp électrostatique ~E est perpendiculaire aux lignes équipotentielles.

Les lignes de champ sont tangentes aux vecteurs champs électrostatiques ~E.Elles sont donc orthogonales aux lignes équipotentielles. Ces lignes de champ sontdes courbes orientées dans le sens du champ électrostatique.

1.2 Méthode de mesure

Le champ électrique et le potentiel électrique sont mesurés dans un conducteurreliés à deux électrodes. On établit une différence de potentiel U0 entre ces élec-

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trodes. En tout point du papier ou de l’eau, il existe alors un champ électrique ~Eresponsable de la conduction.

A l’aide d’une sonde S, amenée au contact du conducteur, on mesure la dif-férence de potentiel existant entre une des deux électrodes et un point quelconquede la surface. On peut ainsi déterminer les lignes équipotentielles. Pour mesurer lepotentiel Vi, on opère comme indiqué dans la figure ci-dessous :

Électrode au potentiel U0Électrode au potentiel nul

U0

V

FIGURE 6b.1 : Montage

2 Manipulations

3 Dispositif expérimental

La source de tension utilisée est une alimentation stabilisée délivrant une dif-férence de potentiel U0 tel que U0 = 6 V. On dispose de deux sondes et d’unmultimètre permettant de relever la tension en un point donné du conducteur. Unedes deux sondes sera reliée à l’électrode de potentiel nul, l’autre permettra de me-surer le potentiel Vi.

4 Mode opératoire pour le tracé des équipotentielles

On cherchera, par contacts successifs de la sonde sur le papier ou dans l’eau,les positions des points associés à plusieurs (≈ 5) potentiel Vi entre 0 et 6 V. Onnotera ensuite la position de ces points sur une feuille de papier millimétré. Laprocédure détaillée est la suivante :

– Placer sur votre feuille de papier millimétré la position des électrodes.– Chercher la position d’un point sur le conducteur où le voltage est égal à Vi.– Relever ce point sur la feuille de papier millimétré.

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– Déplacer la sonde de quelques mm autour de ce point et chercher un autrepoint pour lequel le multimètre mesure la même valeur de potentiel Vi. Notersa position sur la feuille de papier millimétré.

– Procéder ainsi jusqu’à avoir un ensemble de points permettant de tracer lacourbe d’équipotentielle associée au potentiel Vi.

– Tracer plusieurs courbes d’équipotentielles (≈ 5) entre les deux électrodes.

5 Mode opératoire pour le tracé des vecteurs champsélectriques

Pour estimer l’intensité du champ électrique, on utilisera la relation suivante :∥∥∥ ~E∥∥∥ =∆V

∆r(6b.2)

où ∆V correspond à la différence de potentiel entre deux points distants de∆r. Pour une différence de potentiel ∆V donnée, l’intensité du champ électriqueest élevée (faible) lorsque les points sont proches (éloignés) les uns des autres.

On rappelle que le champ électrique est orienté dans la direction correspondantà la plus grande diminution du potentiel électrique. Il est par conséquent perpen-diculaire aux lignes d’équipotentielles. Utiliser cette propriété pour tracer les vec-teurs champs électriques entre deux équipotentielles. Dans ce cas, ∆r correspondà la distance qui sépare les deux équipotentielles.

Choisir une région sur votre feuille de papier millimétré où les équipotentiellessont proches les unes des autres et dessiner plusieurs vecteurs (≈ 3) du champ élec-trique dans cette région. Pour cela, il faut estimer l’intensité du champ électrique àl’aide de la relation (6b.2). Puis définir une échelle qui vous permettra d’effectuerla correspondance entre l’intensité du champ électrique et la longueur des vecteursreprésentés sur le papier millimétré.

Effectuer la même opération dans une région où les équipotentielles sont éloi-gnées.

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Travaux Pratiques de Physiques

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