Plasticité FluagePlasticité Fluage

A Plasticité à Basse Température B Origine de la Plasticité C Plasticité à Haute Température

J.C. Charmet © 2005

Plasticité à Basse Plasticité à Basse TempératureTempérature

A-I Comportement Plastique A-II Frontières de PlasticitéA-III Critères de PlasticitéA-IV Equations de la PlasticitéA-V Chargement Radial

A-I Comportement PlastiqueA-I Comportement Plastique

A-I -1 Seuil de Plasticité A-I-2 Déformations PlastiquesA-I-3 Plasticité PureA-I-4 Instabilité Plastique

I-1I-1 Le Seuil de Plasticité Le Seuil de Plasticité

Limite d’élasticité Conventionnelle ou Seuil de Plasticité C(P)correspond à la contrainte C produisant une déformation Plastique Permanente P (conventionnellement 2% après décharge élastique)

C

Limite d’élasticité Vraie V : Plastification du premier grain de la microstructureValeur inaccessible à la mesure

V

Charge élastique

Plastification commençante

Décharge élastique

P

Déformation plastique permanente P

Déformation totaleÉlasto-Plastique T

T

I-2I-2 Les Déformations Plastiques Les Déformations Plastiques

Faible variation de la Texture (structure interne du matériau) Modules élastiques inchangés

Déformation plastique modérée

Forte variation de la Texture Anisotropie et Modification des Modules élastiquesDéformation plastique intense

Effet Bauschinger

V Réduction de la Ductilité

Réduction progressive de l’Allongement plastique encore possible avant

Rupture et Diminution progressive de la Capacité de durcissement P2

2C<0

P

Ecrouissage : DurcissementElévation du Seuil de Plasticité au cours de l’écoulement plastique C

P

C>0

C

’C

Diminution du Seuil de Plasticité pour les Contraintes opposées à celles provoquant l’Ecoulement plastique

I-3I-3 Plasticité Pure Plasticité PureLa Plasticité pure est Indépendante du temps, Absence d’effets visqueux

Plasticité Parfaite

Plasticité Ecrouissante

C

P

Ecoulement plastique libre = C P indéterminé

P e

Elasticité < C e= – P =

E

e

C

Elasticité < C e= =

C

K

Ecoulement plastique contenu

=f( )

d

Elasticité d<0 d=E’d = Ede

Plasticité d>0 d=E’d = KdP

Chaque point de la courbe de charge est un point de bifurcation

équations incrémentales

Ce

E

Elasticité < C e= =

e

C

II

= C + I

I Contrainte interne de contention

= P + e

P

P e

E

e =

E module élastique

E

=f( )

=P+e= ( + )- = -C

1

1

’

C

ddE’=

E’ module tangent K<<E E’K

E’

I

P = = -C

K module plastique

P

K

I-4I-4 Instabilité Plastique Instabilité Plastique

n ou dl

n ou F

Courbe de charge : n=f(n)

Striction stable

(polymères)

Loi de comportement : =f()

=Ln(1+n)

= n Ln(1+n)

Déformation plastique à volume constant

V=S0l0=Sl

F=nS0=S Instabilité dF=0Striction

dn

dn=0

dd

==

dSS

dll

dVV

+ =0

dSS

=-d

=dSS

d

dFF

+ =0

d =-d

Re

Re Limite élastique

Allongement uniformément

réparti

Au

RP

RP Limite de Résistance

Au Allongement uniformément réparti

Rupture

Ar

Ar Allongement à rupture

A-II Frontières de PlasticitéA-II Frontières de Plasticité

A-II -1 Frontière Elastique A-II-2 Patin Elasto PlastiqueA-II-3 Elasticité vs PlasticitéA-II-4 Frontière d’EcoulementA-II-5 Chargement Limite

Pour un Incrément de Charge d dirigé vers l’Extérieur de la Surface de Charge, celle-ci est Entraînée par le Point de Charge (Ecrouissage Plastique) et devient la Frontière Elastique Ecrouie f( ,)=0, étant le paramètre caractérisant l’écrouissage

=

=

II-1II-1 Frontière Elastique Frontière Elastique

Le Domaine Elastique f( )<0 est intérieur à la Surface de Charge=

=le Point de Charge 0 décrit dans le Domaine Elastique un Trajet de Charge

jusqu’au Point de Plastification Naissante 0 =

=

Surface de charge f( )=0=

La Frontière Elastique ou Surface de Charge f( )=0 est constituée de l’ensemble des Points de Plastification Naissante correspondant à tous les Trajets de Charge possibles

1

2

3 Dans l’Espace des Contraintes (1 , 2, 3) =partant de l’Etat initial =0

Frontière Elastique Initiale

Frontière Elastique Ecrouie

Les Points de Charge sont confinés à l’ Intérieur ou Sur la Surface de Charge f( ) 0=

1

2

3

Tout Point de Charge situé sur la Frontière Elastique Initiale f( )=0 est un Point de Bifurcation=

Pour un Incrément de Charge d dirigé vers l’Intérieur de la Surface de Charge, celle-ci n’est Pas Modifiée (Elasticité)

=

InitialeX2+Y2=S2

E

E E Raideur élastique isotrope

KK

K Raideur plastique isotropeX

Y F(X,Y) Force Externe

F0(X0,Y0) Force Interne de contention plastique

Ue(x,y) Allongement élastique yx

II-2II-2 Patin Elasto Plastique Patin Elasto Plastique

y0

x0 UP(x0,y0) Glissement plastique

Frontière Elastique Initiale

X2+Y2=S2

F(Scos,Ssin)

UP(x0,y0)=0

X

Y

O

S

S Seuil de glissement isotrope du patin

Au delà du point de plastification F=S+F0 induit :

Frontière Elastique Ecrouie UP(x0,y0)0

Un Allongement élastique Ue(x= ,y= ) XE

YE

Ue

Un Glissement plastique UP(x0,y0) // F (Loi du Frottement) associé à la Force Interne F0(X0=Kx0,Y0=Ky0) entraînant la Surface de Charge dans la direction de F (écrouissage isotrope)

UP

Après retrait de F :

La frontière élastique écrouie est centrée en C(X0,Y0)

Le patin soumis à la Force Interne de Contention -F0

Matériau Isotrope à Ecrouissage Isotrope

(X-X0)2+(Y-Y0)2=S2

F0(X0,Y0)

CX

Y

O

X2+Y2=S2

II-3II-3 Elasticité vs Plasticité Elasticité vs Plasticité

L’Incrément de déformation élastique dUe est parallèle à l’Incrément de charge dF appliqué au patin

L’Incrément de déformation plastique dUP est parallèle à la Charge Plastifiante R appliquée au patin

C

(X-X0)2+(Y-Y0)2=S2

La Surface de Charge Initiale a été Translatée de OCdF

L’Incrément de Force dF induit :

dUe

L’Incrément de déformation élastique dUe // dF

dUP

L’Incrément de déformation plastique dUP // R (Loi du Frottement)

dont l’amplitude est fonction de la direction et du module de dF

Traction F Torsion dC d’un fil en régime élasto plastique

Elastique Plastique

l

F

F Ue =l // F

F

dC

dC dUe = // dC

F dC

l

dC dUP =l // F

Torsion élastique sousl’action de dC

Etirement plastique sous l’action de dC

Puis passage progressif à la Torsion Plastique

Matériau isotrope à écrouissage isotrope

X

Y

O

L’écrouissage a généré la Force Interne de Contention F0

F0

Par application d’une Force externe F conduisant au Point de Plastification F Le Patin est soumis à la Résultante R =F-F0 (Module S)

R

F

lF UP =l // F

Frontière Elastique Initiale : f( )=0=

II-4II-4 Frontière d’Ecoulement Frontière d’EcoulementTout Matériau admet une Limite de Résistance au delà de laquelle la Déformation Plastique

ne peut plus être contenue. Ce Seuil d’Ecoulement est fonction de l’Etat de Contrainte appliqué

1

2

O

Dans l’Espace des Contraintes

Point d’Ecoulement Plastique Libre : Limite de Résistance Ecrouissage Insuffisant pour Contenir la Déformation Plastique

le long d’un Trajet de Charge

Frontière Elastique Ecrouie : f( ,)=0=

Frontière d’Ecoulement

La Frontière d’Ecoulement F( )=0 est la Surface Enveloppe de toutes les Frontières Ecrouies ayant atteint le Seuil d’Ecoulement Plastique Libre

=

Point de Plastification Naissante : Limite Elastique Initiale

Frontière d’Ecoulement et Frontière Elastique sont Confondues en l’absence

d’écrouissage : Plasticité Parfaite

Entraînement par Ecrouissage : Limite Elastique Ecrouie

Surface de Chargement Limite

La Surface de Chargement Limite F( )=0 est la Surface Enveloppe de toutes les Frontières Ecrouies ayant atteint le Seuil d’Ecoulement Plastique Libre

Q

Toute Structure admet un Chargement Limite

le long d’un Trajet de Charge

Frontière Elastique Ecrouie de la Structure: f( ,)=0Q

Tant qu’il reste des Zones Elastiques, elles contiennent l’écoulement des Zones en Déformation PlastiqueLorsque toute la structure est plastifiée l’écoulement plastique devient libre, la structure a atteint son Chargement

Limite

ML MLmax= Re

Chargement Limite

Points d’Ecoulement Plastique Libre : Limite de Chargement

II-5II-5 Chargement Limite Chargement Limite

Mmax= ReEcrouissage

M

Pour une répartition inhomogène de contrainte la Plastification (même Parfaite) envahit progressivement la structure.

Extension des zones plastifiées : Ecrouissage de la Structure

Me Memax= Re

Frontière Elastique

Points de Plastification Naissante : Limite Elastique de la Structure

Frontière Elastique de la Structure : f( )=0Q

Dans l’Espace des Chargements

OQ1

Q2

M Mmax< Re

Domaine Elastique

Toute la Structure est en Domaine Elastique

A-III Critères de PlasticitéA-III Critères de Plasticité

A-III -1 Domaine de Résistance A-III-2 Matériaux DuctilesA-III-3 Tresca et Von MisèsA-III-4 Mohr, Caquot et CoulombA-III-5 Ductilité et Fragilité

III-1III-1 Domaine de Résistance Domaine de RésistanceMatériau à Comportement Plastique Isotrope sous Contrainte Homogène

Critères de Plasticité et d’Ecoulement

f( ,)=0 Critère de Plasticité (Frontières Elastiques Initiale ou Ecrouie) et F( )=0 Critère d’Ecoulement ou Limite

de Résistance sont des fonctions des 3 Invariants ou des 3 Contraintes Principales de=

==

Domaine de Résistance ou Domaine des Déformations Plastiques Contenues F( ) < 0=

• N’est Pas Limité du coté des Pressions (m < 0) Une pression hydrostatique ne provoque pas de Rupture

Exemple de Domaines de Résistance Limités du coté des Pressions

Pour des Matériaux Homogènes (sans vide) le Domaine des Déformations Plastiques Contenues borné par la Surface

• Est Limité par la Surface ( associée à la Rupture en Traction) du coté des Tractions (m > 0)

*Cf. Contraintes- Déformations Représentation des Contraintes Critères de Plasticité et de Rupture

1

2

3

Dans l’Espace des Contraintes, ce sont des Surfaces* à symétrie Ternaire autour de l’axe des Contraintes Isotropes

Tissus

Matériaux Inhomogènes Poreux

Résistance Limitée à la Compression

(Ecrasement des Pores)

Faible Cohésion

(Résistance à la Traction)

Faible Résistance à la Compression

(Flambement)

Forte Résistance en Traction

Pour les corps à forte ductilité, l’expérience montre que seul intervient le Déviateur des Contraintes D= -m

avec m Contrainte Normale Moyenne telle que 3m=I1=Tr( ).=

== =III-2III-2 Matériaux Ductiles Matériaux Ductiles

On peut donc substituer aux invariants I2 et I3 de les invariants J2= Tr( D2)/2 et J3= Det( D) correspondants de son

déviateur D, J1= Tr( D)=0 par définition. Le critère se met alors sous la forme : (J2,J3)=g(m)=====

*Cf. Contraintes- Déformations Représentation des Contraintes Espace des Contraintes

Dans le Plan du Déviateur* perpendiculaire à à la cote m les projections du vecteur HM représentatif de l’Etat du

Déviateur sur les perspectives des trois axes O1,O2,O3 sont donc HMi= (i-m), son module vérifiant

HM2=2J2=Tr( D2). =

32

Aux fortes pressions la fonction g(m) devient une constante indépendante de m et la surface se rapproche d’un

cylindre de génératrices parallèles à .

Traction ou Compression Pure

=3

+

3

Cisaillement Pur

=

déviateur1

3

2

HM=3

32

2-1-1

2J2= 2

Compression

Traction

3

HM=32

10-1

2J2= 22

Cisaillement

H

M

Dans l’Espace de Mohr (,), le critère de Tresca se réduit à une bande de largeur 2k

k

Compression Traction

Dans l’Espace des Contraintes

H

1 2

3

, la base circulaire de Von Misès est inscrite dans la base hexagonale de Tresca

III-3III-3 Tresca et Von Misès Tresca et Von Misès

Critère de Von Misèsf( )=J2-k2=0=

Les Matériaux Ductiles cèdent par Cisaillement lorsque le Cisaillement Maximal atteint la Limite de Résistance au Cisaillement k caractéristique du Matériau. Dans le cas des Métaux kCte ne dépend pas de m.

f( )=Sup(|i-j|)-2k=0=Critère de Tresca

A Résistance au Cisaillement k fixée

En traction uniaxiale , pour une même Résistance au Cisaillement k :

Tresca Sup(|i-j|)=La Résistance à la Traction (telle que =k) vaut RP=2k Von Misès J2= 2 La Résistance à la Traction (telle que J2=k2) vaut RP= k 1

3 3

, ce sont deux cylindres à base hexagonale et à base circulaire d’axe .

Elastique

Plastique

RP

III-4III-4 Mohr, Caquot et Coulomb Mohr, Caquot et CoulombPour les autres Matériaux la Résistance au Cisaillement k dépend de la contrainte normale moyenne m. k=f(m)

Critère de Von Schleicherf( )=J2-f(m)=0= f( )=Sup(|i-j|) -f(m)=0=

Critère de Tresca généraliséRoches : f(m)=A| m | et 1

Frottement Sec C=C=0 ||=-µ

Critère Non Rigoureux ne prenant pas prendre en compte l’influence de la Contrainte Principale intermédiaire 2

2

Critère de Mohr||=f()

Aux Fortes Pressions, m<< 0, tend vers une limite finie (critère de Tresca). le matériau : Grandes Déformations Plastiques (même les plus fragiles : roches, verres,….)

k

13

La plastification intervient sur la facette dont les composantesNormale et de Cisaillement vérifient ||=f()

Dans l’espace de Mohr , la courbe ||=f() dite courbe de Résistance Intrinsèque ou Courbe Intrinsèque de Caquot délimite le domaine de résistance du matériau

||=f()Au voisinage du sommet S la Rupture intervientAvant la Déformation Plastique

S

C Rupture en traction hydrostatiqueC Cohésion Cisaillement critique à =0

généralement faible}

C

C

Critère de Coulomb||=µ(C - )=tg(C - )=C-µ

Matériaux Ductiles

k

S

OS > 2k

Matériaux Fragiles

k

O

OS < 2k

S

O

III-5III-5 Ductilité et Fragilité Ductilité et FragilitéLes Matériaux diffèrent Seulement par la Position de l’origine O

des Contraintes par rapport à la Courbe Intrinsèque

L’action d’un compression hydrostatique revient à déplacer l’origine O des Contraintes Déviatoriques. Les Matériaux Fragiles deviennent Ductiles sous forte pression

T

Plastification avant Rupture en Traction Simple

T 2k

T

Rupture avant Plastification en Traction Simple

T < 2k

CC

Plastification en Compression Simple Plastification en Compression Simple

C T 2k C 2k 10 à 100 T

A-IV Equations de la PlasticitéA-IV Equations de la Plasticité

A-IV-1 Forme Incrémentale A-IV-2 Condition d’Ecoulement Plastique A-IV-3 Potentiel PlastiqueA-IV-4 Plasticité AssociéeA-IV-5 Module d’EcrouissageA-IV-6 Lévy Von Misès

IV-1IV-1 Forme Incrémentale Forme IncrémentaleEquation Fonctionnelle de la Plasticité

La Plasticité étant indépendante du temps, le Temps Conventionnel t caractérise l’Etat Actuel tandis que le Temps conventionnel {- < < t} caractérise l’Histoire de Déformation Plastique du Matériau

P= (t)=F[ (t), ()] - < < t à (t) peut correspond re une infinité d’états de contrainte (t)= = P= =

Equations Incrémentales de la Plasticité

ddP= =0

=0Régime Elastique

A partir de l’Etat Actuel l’évolution de l’Etat de Déformation plastique est caractérisée sous forme incrémentale par

ddP= =Y( , )= d=

=K( , )= d=Régime Plastique

Y Loi d’Ecoulement PlastiqueK Loi d’Ecrouissage

Ecoulement Plastique La caractérisation de l’Evolution Plastique nécessite à tout instant la connaissance de

=La Fonction de Charge f( , ) caractérisant le Seuil d’Ecoulement Plastique

=f( , )=0

La Fonction d’Ecoulement Y( , ) caractérisant l’Evolution de la Déformation Plastique du Matériau=

=f( , )=0

d=dP= =Y( , )= d=

La Fonction d’Ecrouissage K( , ) caractérisant l’Evolution de la Forme de la Fonction de Charge=

d =K( , )= d=

d=

=f( + , + )=0d= d

L’Histoire de Déformation Plastique du Matériau est caractérisée dans l’Etat Actuel t par les Variables Cachées

(t) fonctionnelles de () {- < < t} nommées Variables d’Ecrouissage. =

IV-2IV-2 Condition d’Ecoulement Plastique Condition d’Ecoulement Plastique

Le Point de Charge doit se trouver sur la Frontière de Charge pour que l’Ecoulement Plastique soit Possible : Condition Nécessaire

f=

f( , )=0=

f( , )<0=

La Frontière de Charge de normale extérieure délimite le Domaine Elastique

f( , )=0= f( , )<0=

f=

Ecoulement Plastique

Pas d’Ecoulement Plastique

d=f=

d=}{

l’Ecoulement Plastique Effectif n’aura lieu que si l’Incrément de Charge est dirigé vers l’Extérieur de la Frontière soit : scalaire > 0

d=f=

d=}{

Charge Plastique

f( , )=0= f=

d=}{ Charge Plastiqueet >0

d=

Régime Elastique

f( , )<0= d= Régime Elastique

d=Décharge Elastique

Décharge Elastiquef( , )=0= f=

d=}{et <0

d= Charge Neutre

f=

d=}{ Charge Neutref( , )=0= et =0

Condition de Cohérence de la Loi d’Ecrouissage

Au cours de l’Ecoulement Plastique : f=0 et df=0 conduisant à df=f=

f

dd= =0+

Avec

La Condition d’Ecoulement Plastique Effectif s’écrit

d =K( , )= d=

} =0f( , )=0= et et f=

d=}{ >0 df={f=

f

d=+K

La Direction de l’Ecoulement Plastique est celle de fonction de l’Etat Actuel de Contrainte et d’Ecrouissageh= =

h=

IV-3IV-3 Potentiel Plastique Potentiel PlastiqueCharge Neutre Déplacement le long de la Surface de Charge sans Plastification Ni Ecrouissagef=

d=}{ =0 dP= =Y( , )= d= =0 d =K( , )= d= =0 Y= h= f= et K=

f=k

dP= = ( , )= h= f=

d=}{

d = ( , )= kf=

d=}{Pour tout Incrément de Charge Plastifiante tel que >0

d=

f=

d=}{

d= f=

d=}{

L’Amplitude de l’Ecoulement Plastique est fonction de l’Incrément de Charge via le scalaired= f=

d=}{

dP= = ( , )= h= f=

d=}{

Potentiel Plastique

Le Scalaire d est une fonction de et de la sensibilité de la Surface de Charge à se

distordre quand varie, sensibilité liée à la Loi d’Ecrouissage par la Condition de Cohérence

d= f

= 1+k ( , ) =0= f=

g=

g( , )=0= Potentiel

est proportionnel au gradient d’une Surface Potentiel Plastique

qui fixe la Direction de

l’Ecoulement Plastique

h=g=

g( , )=0=

}= ddP= = ( , )= h= f=

d={ g=

L’Amplitude de l’Ecoulement Plastique étant fixée par d

f( , )=0=

f=

Charge

La Condition d’Ecoulement Plastique Effectif se réduit à :

f( , )=0= et et f=

d=}{ >0 1+k ( , ) =0= f=

f=

f( , )=0=

=dP2 d=

=dP3

d=

d==dP

1

IV-4IV-4 Plasticité Associée Plasticité AssociéeLoi d’Ecoulement Plastique Y

Plasticité Non Associée

Plasticité Associée

L’établissement de la Loi Incrémentale nécessite d’exprimer Y en fonction des trois informations :dP= =Y( , )= d= Surface de Charge définissant la Condition d’Existence de la Déformation Plastiquef( , )=0= Potentiel Plastique précisant la Direction de la Déformation Plastiqueg( , )=0=

Loi d’Ecrouissage définissant L’Amplitude de la Déformation Plastique et l’Evolution de la Surface de Chargek ( , )=

Surface de Charge Potentiel Plastique (Sables et Sols)f( , )=0= g( , )=0=

Surface de Charge Potentiel Plastique (Matériaux Cristallins Ductiles)f( , )=0= g( , )=0=

En liant l’Incrément d’Ecrouissage à l’Incrément de Déformation Plastique

la Condition de Cohérence de la Loi d’écrouissage s’écrit avecdP= g== d

f=

f

dd= =-=-f

ddP= dP= =-

f{ }d

dP=g=

d=- d M( , )=

d dP=

M scalaire =-f{ }d

dP=g=

f=

d=}{d = M( , )=

1

D’où la Loi d’Ecoulement Plastique

f=

d=}{ M( , )=

1}= d= ( , ) f=

d==h= { g=

dP= =Y( , )= d= =g= M( , )=

1 ( , )=h= = g=

Matériaux Isotropes à Ecrouissage isotrope

Le tenseur symétrique admet les mêmes directions principales que

et ont Mêmes Directions Principales

f=

=

= dP=

dP= g== d f

== d est à la Surface de Charge

f( , )=0=

dP=

=

mais et ont des Directions Principales Différentes dP= =

IV-5IV-5 Module d’Ecrouissage Module d’EcrouissageEn Plasticité Associée, la Loi d’Ecoulement ne nécessite que la connaissance de la Fonction de Charge

d ( , )==f=

dP= = f=

d=}{ M( , )=

1f= si f( , )=0= et f

=d=}{ >0

dP= =0 si f( , )<0= ou f=

d=}{ =0

M( , )= contenant la Loi d’Ecrouissage

Le Module Plastique ou Module d’Ecrouissage est le scalaire K tel que M=K{ }f=

f=

Traction Simple*

*Cf*Cf. I-3 Plasticité Pure. I-3 Plasticité Pure

dll

La Contrainte produit une Déformation Totale (élastique et plastique) =E+P dont l’Incrément est

L’évolution du Seuil d’Ecoulement S en Zone Plastique ( au delà de la Limite Elastique Initiale e E << P ) est directement représentée par la Courbe de Première Mise en Charge =() :

S (P)

e

S

=()

E

Incrément de Déformation Elastique dE= dE

La Déformation Plastique Cumulée P étant prise comme variable d’Ecrouissage , la Fonction de Charge f(, )=-S= -(P)=0

f =1 f

=1f

f d=d

Incrément de Déformation Plastique dP= dK

Module d’Ecrouissage K= =MddP

Module Tangent E’= =tg

dd

E’

1E

1K

1E’

= + E’ K

IV-6IV-6 Lévy Von Misès Lévy Von MisèsRelation de Maurice Lévy

Le Critère de Von Misès s’écrit en présence d’Ecrouissgae = d2-( )=0

32=Tr( D

2)f( )=J2-( )== 12 -( )

f= = =D Le Loi d’Ecoulement se réduit à d ( , )==dP= = f

=d=}{

M( , )= 1=D

=D si et f=

d=}{ >0J2-( )=0

Intensité de Contraintes I

*Cf. III-2 Matériaux Ductiles

En Traction Simple* J2= 212

Avec I2

=3J2= Intensité des Contraintes ou Contrainte équivalente de Von

Misès un Etat de Contrainte Complexe est assimilable à une traction simple équivalente d’amplitude I

32 =Tr( D

2)

=

Ecrouissage IsotropeL’écrouissage isotrope est généralement caractérisé par le scalaire avec M fonction de seulement. Son Evolution

est contenue dans le critère lui même via la condition de cohérence 1+k =0 d=k(

f=

d=}{f

L’Evolution Plastique est Complètement définie par la donnée de la Seule Fonction de Charge

La Fonction de Charge Initiale de Von Misès s’écrit alors simplement fe( )=I-e=0 e limite d’élasticité initiale en traction simple

=

=La Fonction de Charge de Von Misès évolue par écrouissage selon f( )= fe( )-=I--e=0 =

Loi d’Ecoulement Plastique=

f= = =

32I

=DI2

= 32 =Tr( D

2) f= d==

32I

=D d==dI f( )=0 = I-e d=dI=

En posant =()=(I) Les Lois d’Ecoulement et d’Ecrouissage se réduisent à1M()

d=dI si I--e=0 et dI >0dP= = 32I

=D dI(I)3

2I= =Dd

A-V Chargement RadialA-V Chargement Radial

A-V-1 Déformation Plastique Cumulée A-V-2 Loi d’Hollomon A-V-3 Loi de Hooke généraliséeA-V-4 Le Travail Elasto-PlastiqueA-V-5 Le Travail PlastiqueA-V-6 Théorème de la Décharge

V-1V-1 Déformation Plastique Cumulée Déformation Plastique CumuléeParamètre d’Ecrouissage

Travail de Déformation Plastique

Elasto-Plasticité de Prandtl-Reuss

Au Potentiel Plastique g=f sont associées les grandeurs énergétiques duales et = ddP== f=

Au Paramètre d’Ecrouissage associons le Flux d’Ecrouissage tel que =- d p dpf

Ecrouissage Isotrope =-1 et dp=d=(I )dI

f

32Comme et I

2 = dp2=d2dI

2dP= 32I

= =Dd =D=D Tr( 2)2

3dP=

dp s’identifie alors à l’Incrément dI de l’Intensité des Déformations

La Plastification s’effectuant à Volume Constant, en Traction Simple :

d2

dP= = dD= = et dI=d de la même manière que I=

I=23

Tr( 2)dP=

0

P=

I Intensité des Déformations définit au sens de l’équivalence de Von Misès la notion de Déformation Plastique Cumulée

dW= = = I dI=DdP= 3

2I

=D(I)=D dI

Ce Travail est Dépensé et non Dissipé car une partie est Bloquée sous forme de Travail Elastique de Contention de la Déformation Plastique

dP= = =D()d32I

si I--e=0 et dI >0 P EdE= = d=1+E

E

- dTr( )= =

P

=()

Matériau Isotrope à Ecrouissage Isotrope

dP=d= dE== + I=

I=(I) généralise, au sens des grandeurs I et I associée à une

Traction Simple Equivalente la notion de Module Plastique Tangent pour I >e

dd

dI= dI=(I)dI

P =()

Au delà la Déformation Plastique P La Plasticité est entièrement caractérisée par () obtenue expérimentalement par la Courbe de Traction P =() avec I= et I= qui fournit

e P

E

Au voisinage de e la Contention limite la Déformation Plastique P E

P s’accompagne d’une variation de volume allant décroissante tandis que ½

V-2V-2 Loi d’Hollomon Loi d’HollomonDéformation Simple1) Les Charges Externes (Traction, flexion, torsion,…) varient de manière proportionnelle entre elles, le tenseur garde une Orientation Fixe (Radiale dans l’Espace des Contraintes) .

==

2) Le Matériau est Isotrope à Ecrouissage Isotrope, et ont mêmes directions propres == dP=

Il en va de même pour et les Equations Incrémentales sont IntégrablesP=

=d = I=D = 3

2= dP= = =Dd

32I

dd

dd

d=12

I= =()23

Tr( 2)dP=

0

P=

Tr( 2)=3 =

Loi de Hencky Misès P= = =D(32I

dd

d=12

e

e

=

Loi d’Hollomon Métaux et Alliages RP (Mpa) A (MPa) Acier doux recuit 210 500 0,28 Acier 0,6% C trempé revenu 520 1270 0,15 Acier allié laminé 15 630 100 0,14 Acier inoxydable recuit 590 1280 0,45Cuivre recuit 60 320 0,54 Laiton (70-30) recuit 80 900 0,49 Aluminium recuit 40 180 0,20 Al Cu Mg (2024) 310 700 0,16

Ecrouissage linéaire

Plasticité Parfaite

traduit l’égalité = ===D

d=

=D

I2

23 ==

=D

I

=D

d=

conduisant à 23

=D

I

=D

I=

32

=D

I

=D

I=1 et liant à tout instant les grandeurs actuelles etP= =

23

=23

par le Module Sécant

I =

23 =Tr( D

2)

23

=23

I=()

En Déformation Simple I=() est Universelle pour tous les Chargement Radiaux Monotones :

L’Elasto-Plasticité se réduit à la Traction Simple d’une éprouvette équivalente soumise à la Contrainte

présentant une Déformation Cumulée dans l’Etat Actuel

I =

32 =Tr( D

2)

I =

23 =Tr( D

2)

Ecrouissage

eI

e

V-3V-3 Loi de Hooke généralisée Loi de Hooke généraliséeEcoulement Plastique à Volume Constant P= S

=D= == -

23=

23=Hencky-Misès =D

=D S==-( )

Elasticité Pure =3GD= D

= d=2Gd I=3GI

I

IO

Hooke

S= S

=Compressibilité m=3Km=K=3K =KTr( )= =

Ecrivant I=f(I) Caractéristique du Matériau sous la forme I=3G(1-(I)) I

Matériau Ecrouissable

e

e

3G

dd

Modules Elastique Sécant Tangent

0 3G

d

d

I=f(I) I=() Inversibilité

Ecrivant I=() Caractéristique du Matériau sous la forme 3G I= (1+(I))I

(I) = 1-

Caractérise l’écart relatif en terme de Déformation par rapport à un Comportement purement Elastique

Par Inversion

Avec et S=D

== = + =D= + 1

3 =Tr( )=

32

12

==( - )Tr( ) += = =13K

S=D

== = +23

29

==(K- )Tr( ) += = =

==1

3KS= + 1

2GD= +

()2G D

=

Partition des déformations

P=E== = +Elastique E= = 1

3K + 12GD

=S= I

2GIE=

Plastique P= =()2G D

=(I)2GI

P=

I

M

M’

M’’

3G(I)I

(I) = 3G I-I

3G I

MM’M’’M’= Caractérise l’écart relatif en terme de Contrainte

par rapport à un Comportement purement Elastique

I

V-4V-4 Le Travail Elasto-Plastique Le Travail Elasto-PlastiqueExpression générale

Déformation Simple

S= D

== = + m +d= = =S= D

== = + m +d= = = Travail Elasto-Plastique des Forces

Internes W=Tr( )=mmTr( )+mdTr( )+dmTr( )+ddTr( )== = = = == =3mm+ddTr( )==

== === Tr( 2)=3= =3m II=3dd W=dW Différentielle Exacte

dW=dWF+dWV dWV=3dd = IIdWF=3mdm=md

Le Travail Elasto-Plastique des Forces Internes Ne Dépend Plus du Chemin Suivi

W=WF=Cte+WV=Cte WF=Cte= md0

WV=Cte= IdI

0

I

W(, I) est le Potentiel des Contraintes I =WI

m= W== W

= ==D

WV=Cte

D=

Potentiel WF=Cte

Potentiel WV=Cte

Changement de Volume à Forme Constante action de la Contrainte Normale Isotrope Moyenne m

Nature Purement Elastique (Plastification à Volume Constant) m=3Km=K WF=Cte = K212

Changement de Forme à Volume Constant action de la Contrainte Déviatorique Moyenne d

Nature Elasto Plastique WV=Cte =WE+WP

WE Purement Elastique Récupérable Changement de Forme Réversible

WP Purement Plastique Dépensé Changement de Forme Irréversible

WV=Cte

Surface OSMM’’O

M’’

WPSurface OSMO’O

V-5V-5 Le Travail Plastique Le Travail Plastique

Partie Elastique Récupérable WE Changement de Forme Réversible

d < k Limite de Résistance au Cisaillement d=2Gd I =3GI WE = I21

6G

Partie Plastique Dépensée WP Changement de Forme Irréversible

Plasticité Parfaite I = e

Plasticité Ecrouissante I avec la Progression de la Plastification et WE mais le Module Tangent et rapidement WP >> WE

Le Potentiel W V=Cte =WE+WP Changement de Forme à Volume Constant

est lié à la Courbe d’Ecrouissage I=f(I) et Indépendant du Chemin Suivi

WE Récupérable sature à WEmax = e21

6G

O’

M

M’’

I

I

e

eO

3G

=WE+WPWV=Cte= IdI0

IWP = IdI

0

I - I

216G

Ce Travail est Dépensé et non Dissipé car une partie est Bloquée sous forme de Travail Elastique de Contention de la Déformation Plastique

Potentiel des Déformations Plastiques (hors Changement de Volume)

W*V=Cte= II-WV=Cte= II- IdI= IdI0

I

0

I

O’’

W*

Surface OSMO’’O

II =

W*D=

W*V=Cte==D

WE = I21

6G

O’

Surface O’MM’’O’

3G

I

I

I

e

O

M

S

WE

Surface O’MM’’O’

V-6V-6 Le Théorème de la Décharge Le Théorème de la DéchargeChargement Plastifiant OSM

23

29

=M=(K- )Tr( M) + M = = = I

I

e

O

M

S

3G

=MIM

=M

IM

Décharge Elastique Partielle MN

N

=N

IN

=NIN

Selon la Loi Elastique I=3GI

23

==(K- G)Tr( )+2G =+2G= = ==

Décharge Elastique Totale MZ

- =(MN) +2G( - )=M =N =M =N=

2G = M +2G -=PM = =M =M

Charge Elastique Fictive OSM’

M’=fM

Pour obtenir la Déformation avec un Matériau Purement Elastique il aurait fallu une charge

=M

=fM

=M +2G =fM =M=

2G = -=PM =M=fMThéorème de la Décharge

La Déformation Plastique résultant d’un chargement Réel s’obtient à partir de la différence entre la Contrainte Fictive solution du problème Elastique Linéaire et la Contrainte Réelle du problème Elasto-Plastique

I=rM

Rétablir la forme initiale et annuler une décharge jusqu’au point I

=PM=rM =-2G =-( - )=PM MfM

Contrainte Interne de Contention Plastique =rM

DivD( )=0=rM Champ de Contrainte Autoéquilibré associé à l’Energie Elastique Bloquée=rM

Z=ZIZ

=PM

=ZIZ = 0 = 0 Z = 0 =Z =PM=

Donne la Déformation Plastique en M

Origines de la PlasticitéOrigines de la Plasticité

B-I Le Glissement Plastique B-II Les DislocationsB-III Les InteractionsB-IV Les Obstacles IntrinsèquesB-V Les Obstacles Etrangers

B-I Le Glissement PlastiqueB-I Le Glissement Plastique

B-I-1 Origine des Déformations PermanentesB-I-2 Paradoxe de la Contrainte Théorique

I-1I-1 Origine des Déformations Permanentes Origine des Déformations Permanentes

Sols

Polymères

Métaux

Monocristaux

Les grains ne se déforment quasiment pas (sauf aux hautes pressions où ils se cassent). Le Glissement s’effectue par Roulement des Grains

La Rupture des Liaisons Faibles (Hydrogène, Van der Waals ) provoquele Glissement relatif des Macromolecules

A Haute Température (Changements de Structure et de Phase) : Glissement Inter-GrainsA Basse Température : Glissement Intra-Grains

A Basse Température la Déformation Plastique résulte de Glissements le long de

Directions Particulières dans les Plans cristallographiques les Plus Denses

Contrainte Théorique de Glissement dans un Monocristal

Les Déformations Permanentes ont toujours pour origine des Mécanismes de Glissement

Le Glissement est relié au DéplacementRelatif x des Plans Atomiques = xb

th sin2xa

th

2

ba << 1

ab2th =

xL’Instabilité de GlissementPlastique se produit lorsque

a2x = = th

th

x

a2x =

Le Réseau Atomique retrouve une Positiond’Equilibre pour un Glissement Plastique

x = a

x

x = a

bx

a

x = 0

Comportement Elastique x << a =

th

sin2

ba

10

th

E10

Rth

I-1I-1 Paradoxe de la Contrainte Théorique Paradoxe de la Contrainte Théorique

Le Mécanisme du Glissement Progressif

La Résistance à la Traction RP des matériaux est toujours inférieure à la Résistance Théorique Rth

Les Données Expérimentales

RP (Gpa) Rth (Gpa

Monocristaux

Al (CFC) 0,0010 7 7000 Zn (Hexagonal) 0,0016 5 3125Polycristaux Al 0,04 7 175 Fe 0,21 21 100Alliages Acier doux 0,3 21 70 Duralumin 0,35 7 20 Acier spéciaux 1,5 21 14

Rth

RP

(Gpa) RP Rth

Graphite 19,6 69 3,5Al2O3 15,4 53 3,4SiC 40 70 1,8Fe 12,6 20 1,6

Rth

RP

Trop petits pour contenir des Dislocations, ilsont une Résistance proche de la Limite Théorique

Les Trichites

Whiskers Cristaux filamentaires 1 µm

Photo D. Chambolle

Taylor (1934)

Le Glissement des Plans Atomiques ne s’effectue pas d’un Bloc mais Progressivement par Propagation d’un Défaut appelé Dislocation dans l’arrangement des atomes. Son Déplacement n’intéressant qu’un petit nombre d’atomes se fait sous Contrainte Plus Faible et conduit à la Même Déformation de Glissement lorsqu’il a Balayé tout le Plan Atomique

B-II Les DislocationsB-II Les Dislocations

B-II-1 Dislocations Vis et CoinB-II-2 Le Champ de Contrainte InterneB-II-3 Energie libre et Tension de LigneB-II-4 Densité de dislocations

II-1II-1 Dislocations Vis et Coin Dislocations Vis et CoinDislocation

S

l

Découpe selon S en appui sur l

b

Translation des lèvres de Vecteur de BürgersbDéplacement de matière et Recollage Crréation d’un Champ Contraintes Internes Indépendant de S

Caractérisé par la Ligne de Dislocation l orientée ( ) et son vecteur

t

t b

t

b

b

t

t

t

b

t

b

Réseau sans défaut

du =0

déplacement d’un atome par rapport au réseau sans défautdu

t

Insertion d’un demi Plan atomique

Dislocation Coin tb

Dislocation Vis // tb

Une Ligne de Dislocation se termine à la Surface, en Boucle ou sur un Noeud

bdu =-= uGrad dx

t1

b1 t2

t3

b2

b3

b

Loi des Nœuds tous convergents ou divergentsti

II-2II-2 Le Champ de Contrainte Interne Le Champ de Contrainte InterneDislocation Vis // tb

Dislocation Coin tb

Invariance par Translation uz=f(r,)

r

z

r

2r

t

b

z

r

z

xrb

t

Glissement Simple Sans variation de Volume

u =

00b

2

==0 0 00 0 10 1 0

b4

1r

==0 0 00 0 10 1 0

µb2

1r

Sans variation de Volume

ur

u

u =ur= { sin+2cos- Lnrsin}b

41

1-1 -21-

u=- {2sin+ Lnrcos}b4

1 -21-

y

r

x

z

b

t

tb

x

yz

=-bD= sin -cos 0-cos sin 0 0 0 2sin

1r

=-=(1-2)sin –2cos 0 –2cos (1-2)sin 0 0 0 0

b4

1r

11-

µ2(1-)D =

Invariance par Translation uz=0

b2r=

µb2r=

µ=

II-3 II-3 Energie Libre et Tension de LigneEnergie Libre et Tension de LigneEnergie Libre

Tension de Ligne

Réseaux Auto Stabilisés

Cœur de Dislocation

E = Tr( )dV12 = = Dislocation Vis E = 2rr2rddr=1

2µb2

4drr Divergence logarithmique

lD

r0 b 10-10 m

F = Ln µb2µb2

4lDr0

12

Par unité de longueur de ligne de dislocation

lD 10-4 cm

r0 Elasticité

Lb

Distance moyenne Energie libre F et Entropie de Configuration S par atome

Nombre Positions Dislocation L,b L3

Lb2L2

b2=Nombre Atomes sur L

Lb

Entropie (Boltzmann) S = k LnbL

L2

b2

Energie E = µb2L = µb3bL

12

12

Energie Libre F = E-ST = µb3- Ln kT12

bL

L2

b2

Cu : b=2,5.10-10 m , µ=40 Gpa, L= 10-4 cmS = 4.10-3 k, T=300 °K et kT= 2,5.10-2 eV E = 2 eV et F=E

Une dislocation Isolée est thermodynamiquement Instable. Mais elles forment toujours des Réseaux Auto Stabilisés qui les rendent fortement Métastables. En moyenne leurs champs de contraintes s’annihilent (statistiquement il y a autant de dislocations de chaque signe) à une distance de l’ordre de lD générant un Champ de Contraintes Internes Autoéquiibré

L’Energie d’une dislocation est très grande devant son Entropie. Une dislocation augmente fortement l’ Energie Libre

L

L’>LCourber un segment de dislocation sa longueur L et son Energie W=FL.

T= =F= µb2dWdL

12

T T= µb212 Force de Rappel : Tension de Ligne

II-4 II-4 Densité de DislocationsDensité de DislocationsDéfinition de la Densité

Estimation de la Densité

Variation de Volume

Densité de Dislocation D = Longueur Totale de Dislocation par Unité de Volume (cm-2)

L

b

l

Un cube d’arête L<<l contient N Segments de Dislocations de Vecteur de Bürgers b

Densité de Dislocation D = Nombre de Dislocation traversant Unité d’Aire

Mais Cœur de Dislocation Tube Vide de Rayon r0 b, Section S b2

Variation Relative de Volume VV

SLV= = Db2

Négligeable justifiant l’hypothèse des Déformations Plastiques à Volume Constant de la Mécanique des Solides Cohérents

Le Champ de Contraintes Internes crée par les Dislocations étant Autoéquilibré < > = 0 V = 0=

Etat D (cm-2)

Monocristaux solidifiés avec précaution 10-2 - 10-3 Monocristaux recuits 10-5 - 10-6 Polycristaux recuits 10-6 - 10-7 Polycristaux fortement écrouis 10-9 - 10-12

V/V (b=3,1.10-10 m)

10-13 - 10-12 10-10 - 10-9 10-9 - 10-8

10-6 - 10-3

Par comptage

D = NLV

NLL3

NL2

NS= ==

B-III Action d’une Contrainte B-III Action d’une Contrainte ExterneExterne

B-III-1 Action d’une Contrainte ExterneB-III-2 Force de Peach-KöhlerB-III-3 Interactions entre DislocationsB-III-4 Déformation Plastique MacroscopiqueB-III-5 Multiplication des Dislocations

III-1 III-1 Action d’une Contrainte ExterneAction d’une Contrainte Externe

Dislocation Existante

Création d’une Dislocation

E = ED + ET

Une Mesure des Constantes Elastiques Ne Permet Pas de Détecter les DislocationsIl faut que la Dislocation se Déplace induisant une Déformation Plastique

l

V

V

tET

Les Efforts Externes créent Energie de Déformation Elastique ET indépendante de ED

T

T

L’Equilibre Mécanique de la Dislocation = =0 sur VD=fD n

fDn

Avant coupure selon SD l’Energie de Déformation vaut ET

SD

n

bTD

Le Travail Dépensé pour Translater de les Lèvres par l’action de imposée est égal à l’Energie de Dislocation ED TDb

L’Energie de Déformation vaut alors E = ED + ET

uD

=

Le Travail des Efforts Externes et du Champ de Contrainte Externe

dans le Champ de Déplacement induit par la Création de la Dislocation

T =

uD

est Nul WT+W=0

Travail des Efforts Externes WT= dS

V

T uD

Lorsque varie T

du

dW= ( + ) dS= dS=dETV

fD T duVT du

D=

ED

La Contrainte Interne de la Dislocation piège une Energie de Déformation Elastique ED

D=

Travail du Champ de Contrainte Externe W= ( )(- )dS=- ( ) dS=SD

n bSD

b= nV

T uD dS= ( ) dSSD

b= n

=b( ) = b ( ) = bnF tf = =n n =n t n n = v

III-2 III-2 Force de Peach-KöhlerForce de Peach-KöhlerMouvement d’une Dislocation

Déplacement (s), s abscisse curviligne de la ligne l x uD

uD

x

Travail des Efforts Externes

W= dS V

T uD

D’aprèsV

T uD dS= ( ) dSSD

b= n

=dS SD

b= n = ( )( )dsl=b t x = ( ) ds

l=b t x

l

V

V

t

T

b

=Force de Peach-Köhler

En écrivant ce travail sous la forme W= dslxF = =b tF

F

F est la Force par Unité de Longueur de Ligne de Dislocation traduisant l’action du Champ de Contrainte Externe sur la Dislocation=

Plan de Glissement et Cission résolue

F t

Le Plan de Glissement est le Plan défini par les vecteurs et Unique pour les Dislocations Coin b t tb

b

t

Cission résolue : Composante de Cisaillement dans la direction du Glissement

v =

n

t

v

T crée sur la Facette de de normale le vecteur contrainte = vT =

F

l

v

Forces de Montée et de Glissement

La composante fM est appelée Force de Montée

La composante f Force de Glissement est la Seule Partie Active de à Basse TempératureF

La relation entre la Cission résolueet la Force de Glissement f=b

n = v =dont la composante dans la Direction du Glissement est

= fM +f vF n fM

f

La Direction Effective du Glissement imposée par la structure atomique dans le Plan est celle de =b b n

n

µb1b2

8(1-)hf =b2xy = sin4f0

sin4

b1b2>0

b1b2<0

ff0

xh

0

Attraction

Répulsion

hy

xz

vn

Plans de Glissement (x,z) // de normale y

III-3 III-3 Interactions entre DislocationsInteractions entre DislocationsInteraction Vis-Vis //

Interaction Vis // Surface Libre

Interaction Coin-Coin //

Joints de Grains

// deux dislocation Vis // admettent toujours un Plan de Glissement Commun : Interaction à Symétrie Radialetb

b1

t2

b2

t1

r

z

2rµb1b2f=

La Dislocation 1 crée au niveau de la Dislocation 2 un champ de contrainte

==0 0 00 0 10 1 0

µb1

2r

= =b2 t2F

f

exerçant sur 2 une force = dirigée selon rf00

Répulsive si b1b2>0 Attractive si b1b2<0

Equilibre Surface libre =0 =x-b1t2 Dislocation Vis - Image dans Miroir Surface

b1hz

xb1

t14hµb1

2

f=-f

Toujours AttractiveLes Dislocations Vis et Coin

Sont attirées par la Surface Libre

b1

b2

t

La Dislocation 1 crée au niveau de la Dislocation 2 un champ de contrainte

==xx xy 0xy yy 00 0 zz

f

exerçant sur 2 une Force de Glissement selon x f = b2n = v

rµb1

2(1-)rxy = coscos2

l

= bl

b1b2<0

Attraction |x|>|y|

Répulsion |x|<|y|Répulsion |x|>|y|

Attraction |x|<|y|

b1b2>0

Dipôles

Stable x=y

4=

Empilement Stable x=0

2=

III-4 III-4 Déformation Plastique MacroscopiqueDéformation Plastique MacroscopiqueGlissement Macroscopique Moyen

L

L

l

Grain de Polycristal Recuit=100 µm D=108 cm-2 b=2,5.10-10 m = 2,5 %

la Dislocation se déplace induisant Glissement Macroscopique

SLorsque la Dislocation a balayé la surface S=Ll

belle a produit un décalage b

et un Glissement Macroscopique Moyen =bL

Travail de : Ll b = fl L : Travail de f f = b

xS

=b =b =lxlL2

xL2

bSV

Si V contient N Dislocations de longueur l se déplaçant d’une Distance Moyenne lD =N = blD=blDD NLV

Nécessité de Mécanismes de Création de Nouvelles Dislocations

Dislocations d’Accommodation géométrique

G Densité de dislocations nécessaire pour courber une poutre au rayon R

Poutre Non Déformée Circuit de Bürgers ABCD

B

CD

A

B

C

B’

D

A

Poutre Déformée Circuit de Bürgers ABB’CD

b

} BB’=Nb

G = =NS

NABxCD

R

= =BB’AB

ABR G =

1Rb

Avec b=2,5.10-10 m et D=105 cm-2 R 1 m 10 cm 1 cmG (cm-2) 4.105 4.106 4.107 G / D 4 40 400

=

bSV =blDD

Sous l’action de la Cission induisant la Force f

f

III-5 III-5 Multiplication des DislocationsMultiplication des Dislocations

A

B

Le Moulin de Frank – Read est un des mécanismes efficaces de Multiplication des Dislocations

Moulin de Frank – Read

Un segment de Dislocation de longueur L vecteur de Bürgers b est ancré en deux points A et B

A

B

L

b B

R

Sous l’action de la Cission réduite qui s’exerce dans le plan de glissement il se courbe (Rayon R)

A

fds

T

L’arc ds est en équilibre sous l’action de la Force fds=bds et des Tensions de Ligne T fds=2Tsin 2T=TdsR

A

B

FR

jusqu’à R= pour = FR Contrainte Critique d’Activation du Moulin L2 T= µb21

2 FR = µbL

où la recombinaison des portions de signes opposés éjecte une boucle qui se propage par glissement

A

B

et un nouveau segment AB

Un tel moulin peut produire jusqu’à 500 boucles

Photos J.M. Marchon, G. Wyon

A

B

Lorsque R

qui démarre un nouveau cycle

B-IV Les Obstacles IntrinsèquesB-IV Les Obstacles Intrinsèques

B-IV-1 La résistance du Réseau AtomiqueB-IV-2 Ecrouissage et Réseau de FrankB-IV-3 Résistance des Joints de GrainsB-IV-4 Ecrouissage et Restauration

A la barrière de potentiel EPN entre vallées correspond une Cission Critique PN Résistance du Réseau pour faire basculer les liaisons atomiques

PN

IV-1 IV-1 La Résistance du Réseau AtomiqueLa Résistance du Réseau AtomiqueForce de Peierls - Nabarro

Céramiques

Métaux

L’Energie de Cœur est minimale lorsque la Dislocation suit une rangée atomique dense Vallée de Peierls

EPN

Si les vallées sont peu profondes le Passage ne s’effectue pas d’un bloc mais Progressivement par la Propagation d’un Décrochement

Liaison Ionique

Liaison Covalente

+ + + + + +

+ + + + + +

+ + + + + +

La Liaison Métallique est délocalisée peu sensible au rapprochement d’ions de même signe. Vallées de Peierls peu profondes Force de Traînage Faible PN E/1000

Faible Friction du Réseau

+ - + - + -

- + - + - +

+ - + - + -

Le Glissement amène des ions de même signe face à face Forte Dépense d’Energie Coulombienne

Vallées de Peierls très profondes Force de Traînage Forte PN E/30

Forte Friction du Réseau

Les Céramiques sont intrisèquement fragiles mais Dures (abrasifs, …).

Les Dislocations restent Rectilignes et leur Déplacement Quasi Impossible à

l’ambiante.

La Rupture Brutale intervient Toujours avant la Plastification

Les Métaux sont intrinsèquement ductiles

Très Rigide et Directive Forte Dépense de Rupture des Liaisons

IV-2 IV-2 Ecrouissage et Réseau de FrankEcrouissage et Réseau de FrankLe réseau de Frank

Dislocations mobiles : les Vis

Interaction avec la Forêt

Réseau Tridimensionnel de Densité D formé par les Dislocations interagissant entre elles en se plaçant en position d’énergie minimale Distance Moyenne des Dislocations lD telle que lD

2 D =1

Certaines sont dans des Plans de Glissements // à , d’autres percent ce sont les Arbres de la Forêt

Les Dislocations Coin se bloquent en formant des Dipôles Stables

Les Dislocations Vis changent facilement de Plans de Glissements au sein de la Forêt. Elles sont Mobiles

2rµb2

f=D’après leur loi d’interaction Avec f= b et r = lD la Cission qui s’oppose à leur Mouvement Cµb2D

Deux Dislocations qui s’intersectent se combinent pour former une Dislocation de vecteur de Bürgers +et d’Energie

b1 b212

| + |2 b1b2µ

La Distance Moyenne entre deux Arbres Attractifs étant 2lD la Contrainte d’Activation des Moulins de Frank – Read

FR = µb2lD

D C = µb2

Lorsque D augmente C augmente traduisant l’Ecrouissage du Matériau à l’Echelle Macroscopique

Déplacer une Dislocation dans son Plan de Glissement implique de lui faire franchir les collines d’Interaction avec ses voisines

b1 b2• >0 Jonction Attractive et Stable Points d’ancrage des Moulins de Frank - Read

Attractif

Ancrage

b1 b2• >0 Jonction Répulsive et franchissement par un Cran

Répulsif

Cran

IV-4 IV-4 La Résistance des Joints de GrainsLa Résistance des Joints de Grains

Lorsque - PN atteint le Seuil d’Activation FR des Sources de Dislocations, les Dislocations crées viennent s’accumuler aux Joints de Grains jusqu’à ce que les Forces en Retour exercées par ces Empilements sur les Sources viennent les Tarir Contention par les grains voisins moins bien orientés travaillant en régime élastique

A Basse Température le Durcissement par les Joints est d’autant plus Elevé que les Grains sont plus Petits

Limite Elastique d’un Grain Y

Le Polycristal est constitué de Grains de taille moyenne d’orientations différentes séparées par des Joints de Grains

Limite Elastique Initiale

Y = PN

Limite élastique Ecrouie

Lorsque la Contrainte appliquée devient supérieure à la Résistance de Réseau PN le Glissement des Dislocations s’amorce dans les Grains les plus favorablement orientés vis à vis de

= PN = Y = PN + FR

=b

Source

> PN

FR µbµb Ecrouissage

Loi de Petch Y - PN = µ = kb1

1

caractérisant la Résistance JG des Joints de Grain

Lorsque - la Concentration de Contrainte au Joint active les Sources proches des Grains voisins et le Glissement se propage progressivement de Grains en Grains

Photo P. Mussot Cu écroui à 20%

IV-4 IV-4 Ecrouissage et RestaurationEcrouissage et RestaurationEcrouissage

Restauration

< PN Dislocations Immobiles Comportement Parfaitement Elastique

> FR D Densification du Réseau de Frank, Formation d’écheveaux fortement stabilisés, Ecrouissage Durcissement par Freinage du Mouvement au sein de la Forêt, Déformation Plastique Croissante jusqu’au Blocage provoquant la Rupture

PN < < FR Formation d’arcs entre points d’ancrage Balayage Réversible avec Hystéresis élastique supplémentaire Comportement Anélastique Dissipatif

Ecroui à 15% formation d’amasEcroui

1 µm

 Hastalloy Recuit

Photos CEA-SRMA

Déblocage du Réseau par Diffusion des Atomes sous Activation Thermique provoquant le Désancrage des Dislocations qui quittent leur plan de glissement par Montée avec Annihilation des Dipôles et

Formation de Parois de Dislocations Création de Sous Grains Polygonisation suivie d’une Recristallisation si l’Ecrouissage a été suffisant Nouvelle Structure de Grains à Faible Densité de Dislocation à Dureté Abaissée et à Capacité d’Ecrouissage Restaurée

C’est tout l’Art du Forgeron qui alterne Ecrouissage Mécanique et Recuit de Restauration

La Taille des Grains Recristallisés est une fonction de T de Recuit et du Taux d’Ecrouissage Préalable

B-V Les Obstacles EtrangersB-V Les Obstacles Etrangers

B-V-1 Durcissement Solutions Solides et PrécipitésB-V-2 Vers la Plasticité Macroscopique

V-1 V-1 Durcissement Solutions Solides et PrécipitésDurcissement Solutions Solides et PrécipitésSolution Solides

Contrainte Critique SSR c concentration en soluté

c

La différence de diamètre entre les atomes de la Solution et du Soluté crée des Contraintes qui rendent le plan de glissement Rugueux, augmentant la Résistance au mouvement des Dislocations. (Laiton : Cu-Zn jusqu’à 30%)

Efficace à l’ambiante ce Durcissement perd son efficacité à chaud par diffusion du Soluté Désancrage et Fluage

PrécipitésFormation de Précipités Stables Petits et Durs par trempe d’une solution Solide Sursaturée

La Contrainte Critique lorsque la distance entre précipités , Le Durcissement maximal est produit par des précipités à dispersoïdes durs et rapprochés.

Cisaillement des petits précipités Contournement des gros précipités

ORL

R

avec abandon de boucles

Mécanisme d’Orowan analogue à celui du Moulin de Frank - Read

OR =µb

L-2R

CP

L

w

T

K

En Limite d’Arrachement

K - CP b w = 2 T cos K Résistance du Précipité

Equilibre de l’Arc CPb b (L-w) = 2 T cos

CP =KLb

V-2 V-2 Vers la Plasticité MacroscopiqueVers la Plasticité MacroscopiqueCourbe de Consolidation

La Limite d’Ecoulement Y résulte des diverses contributions à la Résistance au Mouvement des Dislocations

Y = Max{PN, SS, CP , OR}+k + µb1

Durcissement de Joints de Grain k

Durcissement d’Ecrouissage µb1

Résistance du Réseau Atomique PN

Durcissement de Solution Solide SS

Durcissement de Précipités et Particules CP , OR

Monocristal

Polycristal

Critère de PlasticitéLoi d’Ecrouissage

Loi d’Ecoulement Plastique

Echelle Microscopique

Echelle Mésoscopique

Echelle Macroscopique

Même si le Passage Quantitatif Micro – Macro se heurte à de Nombreuses Difficultés, la Compréhension Qualitative des Mécanismes de Glissement Plastique est un Guide précieux pour l’élaboration de Nouveaux Matériaux

Plusieurs Systèmes de Glissement Facile Plusieurs Fonctions de ChargeLoi d’évolution des Contraintes Critiques C (Paramètres d’écrouissage) et des Densités de Dislocation avec l’Ecoulement Plastique

Caractérisation de la Fraction m et de la Vitesse Moyenne v des Dislocations Mobiles et de leur évolution avec la Contrainte Appliquée

Aux Difficultés Précédentes s’ajoutent celles liées à la Présence des Joints de Grains

Nature des Interactions entre Dislocation de Réseau et Défauts constituant le Joint Site privilégié de Ségrégation d’impuretés, Précipités, …

Hétérogénéité de Comportement du Grain. La Zone Cristalline Proche du Joint étant Riche en Défauts et Plus Ecrouie que l’Intérieur du Grain

Frontière d’Orientation entre Grains, Déformations Plastiques Incompatibles Fluctuation Importante des Contraintes Locales

Plasticité à Haute Plasticité à Haute TempératureTempérature

C-I Le Fluage C-II Origines du Fluage

C-I Le FluageC-I Le Fluage

C-I-1 Fluage et Température de FusionC-I-2 Fluage et Contrainte VisqueuseC-I-3 Le Fluage Secondaire

I-1 I-1 Fluage et Température de FusionFluage et Température de Fusion

Sous l’action de Charges qui, à Température Ambiante ne provoquent pas de Déformations Permanentes, les Matériaux commencent à Fluer de manière Irréversible lorsque la Température Augmente

Basse Température

Haute Température

La Déformation est Indépendante du Temps : Plasticité

La Déformation est fonction du Temps et de la Température : Visco-Plasticité

La Température à laquelle un Matériau commence à Fluer est une fonction de sa Température de Fusion Tf (°K) ou de sa Température de Ramollissement (Transition Vitreuse Tg )des Polymères

Le Fluage est une Déformation Lente et Continue fonction du Temps, de la Température et de la Contrainte Appliquée

Le Fluage

La Température de Fusion

Fluage Métaux Céramiques Polymères T > 0,3-0,4 Tf 0,4-0,5 Tf Tg

Plomb

Tungstène

Glace

Tf > 3000 °K Ambiante T = 300 °K Très Basse Température

Ampoule Electrique T = 2000 °K Haute TempératureFluage du filament sous poids propre l’ampoule grille par court circuit entre spires

Tf = 600 °K Ambiante T = 300 °K Haute Température

Fluage Lent sous poids propre

Tf =273 °K T < Tf Très Haute Température Fluage des Glaciers et Calottes Glaciaire

=f( ,t,T)=V=

=f( )P= =

I-2 I-2 Fluage et Contrainte VisqueuseFluage et Contrainte VisqueuseEssai de Fluage Traction Simple sous Charge et Température Constantes

t

V

Fluage Primaire tandis que le Matériau se DurcitV•

Observable Seulement à Basse Température T < 0,3 Tf

Loi empirique V =ALn(1+t/t0)Secondaire

Fluage SecondaireV•= Cte Fluage Stationnaire V•

Prépondérant dès que T > 0,3 Tf

Loi empirique de Norton

V• =( )M-S

K

Rupture

Fluage Tertiaire tandis que le Matériau s’Endommage Rapidement (Cavités, Déformations Localisées,…)V•

Contrainte Visqueuse

L’Elasto-Visco-Plasticité présente, comme l’Elasto-Plasticité, une Déformation Permanente après Décharge

A

A

B

B

C

C

La Viscosité Interdit les Déformations Plastiques Instantanées =E+V avec V=f(t) ou V=f( ) Vitesse de Charge•

V

•0

Plasticité Ecrouissante

0 Plasticité Ecrouissante Classique•

t

La Viscosité se manifeste également par le Retard à la Déformation lors des Changements de Vitesse de Charge

Plasticité Instantanée

• Plasticité Instantanée à Grande Vitesse

Saturation

Avec Paramètre d’Ecrouissage

(V, )= P(V, )+ V(, )V•P

P(V, ) Contrainte Plastique

V

V(, ) Contrainte Visqueuse 0 quand 0 •V•

I-3 I-3 Le Fluage SecondaireLe Fluage SecondaireLe palier Athermique

La Dépendance en Contrainte

La Dépendance en Température

La Dépendance en Temps

La Conception des pièces de fluage

Expérimentalement =f(T, ) Constante pour T > TC 0,2-0,3 TfERP •

Loi empirique de Norton V• =( )M-S

K0,3 Tf < T < Tf

Lorsque T > 0,5 Tf S = 0 =( )MV• K

M = 3-8 fonction du Matériau

A Cte et T > 0,5 Tf suit une Loi d’Arrhenius V•

Lorsque T > 0,7 Tf et faible M =1 Matériau

ERP

Tf

T0,1 0,2 0,3 0,4

•

TC

V• =Cexp(- )QRT

R Cte des Gaz parfaits et Q énergie d’activation thermique égale à l’énergie d’autodiffusion QA pour les métaux purs

Métal M Q QA (kcal/mole)

Al 4,4 34 34 Cu 4,8 48,4 47,1 Ni 4,6 66,5 66,8 Zn 6,1 21,6 24,3

T = Cte

M

Ln

Ln V• Ln V• = Cte

T1R

Q-

=( )MV• K

exp(- )QRTLoi de Monkman - Grant

( )qtR=CMG Cte du Matériau q 1V•

Durée de Vie à Rupture tR CMG( )M

K exp( )

QRT

Pour une Durée de Vie Prévue t et des conditions de fonctionnement données en Température et en Contrainte :• La Déformation de Fluage f doit être compatible avec la fonction e la pièce (Ex. Ailettes de Turbo Réacteurs)• La Ductilité en Fluage fR (Déformation à rupture) doit être Supérieure à f • La Durée de Vie à Rupture tR doit être Supérieure (avec un facteur de Sécurité) à la Durée de Vie Prévue t

C-II Origines de FluageC-II Origines de FluageC-II-1 Les Mécanismes du FluageC-II-2 La Diffusion dans les Solides C-II-3 Les Modes de Fluage C-II-4 Le Fluage Dislocation Montée-Glissement

C-II-5 Le Fluage Dislocation Ecrouissage-Restauration C-II-6 Le Fluage DiffusionC-II-7 Les Cartes de Fluage

II-1 II-1 Les Mécanismes du FluageLes Mécanismes du FluageUne Bonne Tenue au Fluage nécessite une Température de Fusion Tf élevée

Basse Température T < 0,3 Tf : Domaine de la Plasticité Le Fluage est Négligeable :

Le Matériau ne peut se Déformer de manière Permanente que si la Contrainte appliquée est Suffisante pour que les Dislocations, assujetties à Rester dans leur Plan de Glissement, puissent franchir les Obstacles

Intrinsèques (Friction de Réseau, Forêt de Frank) ou Etrangers (Solutés, Précipités).

Moyenne Température 0,3 Tf < T < 0,7 Tf : Domaine du Fluage Dislocation

Haute Température T > 0,7 Tf : Domaine du Fluage Diffusion

La Dépendance en Température du Fluage est toujours contrôlée par la Diffusion (Thermiquement Activée)

La Dépendance en Contrainte du Fluage est contrôlée par :

• Les Obstacles à Franchir en Fluage Dislocation (Loi de Norton d’exposant M)• Le Contrôle du Flux de Diffusion d’atomes par la Contrainte en Fluage Diffusion ( ~ , M=1)V•

Création de Déformations Permanentes par Modification de la Forme des Grains sous l’action d’une Diffusion Rapide d’Atomes au sein des Grains, Diffusion Anisotrope Dirigée par la Contrainte Appliquée

Les Dislocations Libérées par la Diffusion des Atomes peuvent Franchir les Obstacles par Changement de Plan de Glissement sous l’action de la Force de Montée. Leur Mouvement est responsable de la Déformation Permanente et Continue du Fluage Secondaire qui intervient sous l’action d’une Contrainte appliquée Plus

Faible que celle nécessaire en Plasticité à Basse Température en l’absence d’Activation Thermique

II-2 II-2 La Diffusion dans les SolidesLa Diffusion dans les SolidesLe Coefficient de Diffusion

Dans les Solides les atomes peuvent sauter d’un site atomique à l’autre lorsqu’ils acquièrent, par agitation thermique, une énergie supérieure à la barrière énergétique séparant deux sites voisins.

Le Coefficient de Diffusion D varie avec la Température selon une Loi d’Arrhenius caractéristique des processus thermiquement activés

D=D0exp(- )QRT

Les Chemins de Diffusion en Volume

Les Chemins de Diffusion Rapide

Pour une Classe de Matériaux donnée D0 Cte et Q proportionnel à Tf

Matériaux D0 m2s-1 Q/RTf

Cubique Centré W, Mo, Fe <911°C,… 1,6.10-4 17,8Hexagonaux Zn, Mg, Ti,… 5.10-5 17,3Cubique Face Centrée Cu, Al, Ni, Fe >911°C,… 5.10-5 18,4

Oxydes MgO, FeO, Al2O3,… 3,8.10-4 23,4

Le Fluage st un phénomène Diffusif contrôlé par la Température de Fusion T

TfV• =Cexp(- )QRTf

Diffusion Interstitielle despetits Atomes C, O, N, B, H

Fe

C

Cu Zn Diffusion Lacunaire des Atomes de taille comparable au constituant majeur vers les

sites cristallins vides

Le Joint de Grain se comporte comme un canal plan de largeur ~2-4b

Le Cœur de Dislocation se comporte comme un tube de section ~2b2

Le Coefficient de Diffusion Local est très Supérieur au Coefficient de Diffusion en Volume

La Contribution des Chemins Rapides au Flux de Diffusion est fonction de la Densité de Joints et de Dislocations Lorsque les Grains sont Petits et les Dislocations Nombreuses leur contribution peut devenir prépondérante dans

certains domaines de Température T et de Contrainte appliquées

II-3 II-3 Les Modes de FluageLes Modes de FluageFranchissement des Obstacles

Les Dislocations doivent Franchir des Obstacles caractérisés par leur Barrière Energétique q0, et leur Portée L

Le Fluage est contrôlé par les Obstacles Forts Précipités et Réseau de Frank

Sous Agitation Thermique T >0,3 Tf

le Franchissement des Obstacles

Forts à longue portée est IrréversibleFaibles à courte portée est Réversible

q0 L Obstacles

Faible < 0,2 µb3 ~1-10 b Friction réseau Solutions solidesMoyen 0,2 –1 µb3 ~100-1000 b Réseau de Frank Précipités cisaillésFort > µb3 ~100-1000 b Précipités contournés

Fluage Dislocation

Contrainte InterneUn fois les Obstacles Franchis, le Glissement ne peut se produire que si la Contrainte appliquée > S

Contrainte Interne Moyenne résultant des actions à longue portée des Autres Dislocations

S est fonction de la Température T (par l’intermédiaire des Modules Elastiques) et du Taux de Déformation qui contrôle l’évolution des Cellules de Dislocation du Réseau de Frank

V•

L’action d’une Contrainte fournit à l’atome de volume une Energie Mécanique , induisant un Flux de Diffusion en Facilitant

le Saut dans la Direction de la Contrainte Appliquée

<v> = v+ - v- = 2 v0 exp(- ) sh( )kT

qkT

<v> = v+ - v- = 0

Fluage Diffusion

La Contrainte appliquée contrôle le Flux de Diffusion

v- = v0 exp(- )q+

kT

q+

v+ = v0 exp(- )q-

kT

q-

v = v+ = v- = v0 exp(- )q

kT

v+

v-

Distance

q

Energie

D = D0 exp(- ) sh( )kT

QRT

Sous l’action de l’Energie d’agitation thermique kT, les Fréquences de Saut v+ et v- de la barrière énergétique q sont égales v+

v-

II-4 II-4 Le Fluage Dislocation Le Fluage Dislocation ((MontéeMontée GlissementGlissement))

Obstacle Fort : PrécipitéLa Réaction f0 d’un Précipité sur une Dislocation Ancrée équilibre

f0

fM

• La Force fM qui tend à faire Monter la Dislocation Hors de son Plan

Diffusion des AtomesT > 0,3 Tf Agitation Thermique

Montée des Dislocation sous l’action de fM

La Répétition du Mécanisme Montée–Glissement traduit la nature Continue et Progressive du Fluage Macroscopique

0,3 Tf <T< 0,7 Tf Diffusion des Atomes dans le Tube de la Dislocation : Domaine de Fluage Dislocation par Diffusion de Cœur

T> 0,7 Tf Diffusion des Atomes dans le Volume du Cristal : Domaine de Fluage Dislocation par Diffusion en Volume

Plus appliquée plus fM plus Grand est le Flux de Dislocations Désancréesplus Grande est leur Vitesse de Glissement et plus est Elevée V•=( )MV•

Kexp(- )

QRT

Le Fluage Dislocation n’est Important que dans un Domaine de Contrainte proche de la Limite Elastique

Vitesse de Déformation Macroscopique de Fluage V•

M >> 1 lorsque alors Très Rapidement V•

Mécanisme de Montée

T < 0,3 Tf Plasticité Classique > OR Franchissement par Contournementdans le Plan de Glissement avec abandon d’une boucle

fG

• La Force fG= b qui tend à faire Glisser la Dislocation Dans son Plan

Mécanisme de Glissement

Puis Glissement si > S Contrainte Interne Moyenne résultant des actions à longue portée des Autres Dislocations

II-5 II-5 Le Fluage Dislocation Le Fluage Dislocation ((EcrouissageEcrouissage RestaurationRestauration))

Taux de Consolidation

Fluage Stationnaire : Réseau de Frank

Le Régime Stationnaire résulte de la Compétition entre l’Ecrouissage associé à de la Densité de Dislocations D et la Restauration associée à sa par recombinaison de paires (+-) se rapprochant au cours du Mouvement régi par la Diffusion

V• = Cte S = Cte dS

dtS

t

S

t = + =0V•

S

tTaux de Consolidation h =

S

t Vitesse de Restauration r =-

hrV• =

Vitesse de Restauration

Réseau de Frank : Cellules de Dislocations de Taille Moyenne l S =µbl

Les Dislocations mobiles glissent sur une distance l et la Déformation Macroscopique = mbl = Dbl

Avec Dl2 = 1 = bl

S = µ

S

th = = = Cte

µ

Ecrouissage Linéaire

Vitesse de Déformation Macroscopique de Fluage V•

Pour Minimiser l’Energie, le Réseau de Frank tend à le Nombre de ses Cellules en leur Taille l

S

t

S

l r =- =-

dldt

La Croissance des Cellules s’effectuant par Montée d’ Arcs de Dislocation par Diffusion de Lacunes sur la distance l

dldt

1l

= D0exp(- ) QRT

Sb3

kTS

l - = µb

l2r = exp(- )

QRT

D0bkT

S4

µ2

= exp(- )

QRT

D0bkT

4

µ3hrV• =

correspondant à un exposant de Norton M = 4

D

l

dldt

lt =La loi de Diffusion l2=Dt

Volume des Lacunes b3

sh( ) SkT

Sb

kT

A et T fixés, prend une valeur telle que S(T, )=V•V•

D = D0 exp(- ) sh( )SkT

QRT

contrôlant le Flux de Lacunes

D(S,T) étant le Coefficient de Diffusion sous Contrainte

II-6 II-6 Le Fluage DiffusionLe Fluage Diffusion

Diffusion Lacunaire

Diffusion en Volume T > 0,7 Tf

Diffusion aux Joints 0,5 Tf < T < 0,7 Tf

n n n

Création d’une Lacune Ejection d’un Atome

Équilibre ThermiqueBarrière q

Concentration c0

Face en TractionBarrière q-

Concentration c+=c0exp(

Face en CompressionEnergie q -

Concentration c-= c0exp(-

Diffusion des Lacunes et des Atomes

Monocristal : cube d’arête d sans dislocations et en Cisaillement pur

d

c+

c-

Vitesse de Fluage

c0 = =NV

n0

b3n0 fraction atomique de lacunes à l’équilibre thermique

Flux de Lacunes Flux opposé d’Atomes (Coefficient de Diffusion D = DL n0 = DL c0b3)

Un atome (volume b3) sortant par une face en Tension (aire d2) V d

d = = b3

d3et une déformation élémentaires

b

kTc+ - c-

d sh( ) 2c0DL à Faible Contrainte

kT

= SDLc SDL = 2c0DLSd

Sd

} b

kT= D sh( ) S

db3

S = d2 V• ~ Dd2

b

kT

V• ~ DJ

d3

b

kT

V• ~

Comportement Visqueux Newtonien (Norton M=1)

D = D0 exp(- )Q

RTV• ~ Vitesse de Fluage avec T

V• ~1

d2 Vitesse de Fluage quand la Taille d du Grain

Fluage Diffusion

Loi de Fick : Flux en nombre de Lacunes (Coefficient Diffusion DL) traversant S

S

S = ddJ

J

S

b3

d2d =

d

produit un allongement

A correspond la Vitesse de Fluage VV• =

b3

d3

II-7 II-7 Les Cartes de FluageLes Cartes de Fluage

0,30 0,5 0,7 1

10-1

10-2

10-3

10-4

10-5

10-6

Cartes adimensionnelle indiquant les domaines de Contrainte et de Température des Mécanismes de Fluage

TTf

En abscisse : Température réduite TTf

En ordonnée : Contrainte équivalente réduite

=

12 =Tr( D

2) avecPlasticité

Résistance théorique

Résistance au Fluage

Température de fusion Tf élevée

En fluage dislocation, important sous forte contrainte : Multiplier les obstacles au mouvement des dislocations (précipités stables à la température d'usage) et matériaux à forte friction intrinsèque de

réseau (liaisons covalentes de nombreux oxydes, silicates, carbures et nitrures)

Le fluage diffusion est important quand les grains sont petits et la pièce soumise à de faibles contraintes à haute température (les céramiques se déforment de manière prépondérante par ce mécanisme les grains étant de petite

taille et la friction intrinsèque de réseau, qui supprime le fluage en loi puissance, importante)

Accroître la taille de grain par des traitements thermiques adaptés (afin que les distances de diffusion soient élevées et la diffusion aux joints négligeable) et forcer une précipitation intergranulaire pour bloquer le

glissement aux joints améliore la résistance au fluage diffusion.

Fluage Dislocation

Fluage DiffusionElasticité

Palier athermiqueLignes de Vitesse de Déformation Constante

V• Tr( 2)= 2

=• (s-1)

10-2

10-4

10-6

10-0

10-9

10-7

10-10

Coeur

Volume

VolumeJoints deGrains