Chapitre 1 : Plancher

I. GénéralitésI. GénéralitésI. GénéralitésI. Généralités : : : :

I.1I.1I.1I.1 InfrastructureInfrastructureInfrastructureInfrastructure : : : :

C’est la structure se

trouvant en dessous du niveau

naturel du sol tel que :

Semelles superf iciel les

(semelles isolées, semelles

f ilantes et radiers) ;

Longrines ;

Les semelles profondes (puits et pieux).

I.2I.2I.2I.2 SuperstructureSuperstructureSuperstructureSuperstructure : : : :

C’est toute l ’ossature de résistance qui se trouve au dessus

du niveau naturel du sol (± 0,00). Elle comporte :

a. les murs porteurs ;b. les poteaux ;c. les poutres ;d. les planchers ;e. les escaliers etf . les refends (Murs, Voiles)

Su p ers t ru c t u re

In f ra s t ru c t u re

±±±±0 , 0 0

I.3I.3I.3I.3 Les ChargesLes ChargesLes ChargesLes Charges : : : :

Le rôles des planchers est de

transmettre les charges au poutres

qui les transmettrons aux poteaux qui

font à leur tour la même chose pour

les fondations et ces dernières

transmettent la totalité des charges

au bon sol.

I.3.aI.3.aI.3.aI.3.a Les Charges verticalesLes Charges verticalesLes Charges verticalesLes Charges verticales : : : :

Elles proviennent essentiellement des charges permanentes

et des surcharges d’exploitation.

I.3.b Les Charges horizontalesI.3.b Les Charges horizontalesI.3.b Les Charges horizontalesI.3.b Les Charges horizontales

Dans les bâtiments, les charges

horizontales sont dues aux vents et aux

séismes.

Remarque :les planches sont considérés comme étant inf iniment rigides.

I.3.c Charges permanentesI.3.c Charges permanentesI.3.c Charges permanentesI.3.c Charges permanentes : : : :

a. Poids propre des éléments Pp ;

b. Poussée des terres Pt ;

c. Poids de l’eau Pe

Les poids propres est évalué d’après le volume théorique des

matériaux et des poids volumiques dans les condit ions les plus

défavorables d’emploi

R

P -P

Pt

Pe Pe

h 0

h 1

b = 6 0

Poids volumiques de quelques matériaux de construction :

Matériaux Poids volumiquesen KN/m3

Sable 17 – 19Gravier 17Terre

Sèche 18Humide 21

Acier 78,5Fonte 72,5Aluminium 27Plomb 89Béton non armé 22Béton armé 25Béton de granulats légers(argile ou schiste expansé)

7,5 – 15,5

Maçonnerie en moellons sans enduits 23Maçonnerie en briques pleines sans enduits 19Maçonnerie en briques perforées sans enduits 13Maçonnerie en briques creuses sans enduits 9Maçonnerie en blocs de béton sans enduits

Blocs pleins en granulats lourds 21Blocs creux en granulats lourds(parois épaisses) 13

Maçonnerie en pierre de taille sans enduits 27Blocs de liège 4Planches de plâtre 10Asphalte coulé 18Béton bitumineux 22Verre 25

Planches à corps creux :

h1 h0 Poids sufaciqueKN/m2

12 4 2,50 – 2,6016 4 2,75 – 2,8520 4 3,10 – 3,3025 5 3,60 – 4,00

I.3.d Surcharge d’exploitation :I.3.d Surcharge d’exploitation :I.3.d Surcharge d’exploitation :I.3.d Surcharge d’exploitation :

Les charges d’exploitation sont celles qui résultent de l ’usage

des locaux par opposit ion au poids des ouvrages qui constituent

ces locaux, ou à celui des équipements f ixes. Elles correspondent

au mobil ier, au matériel, aux matières en dépôts et aux personnes

et pour un mode normal d’occupation.

Les valeurs des charges d’exploitation sont fonction :

des surfaces auxquelles elles sont appliquées ;

des dégressions horizontales ou verticales retenues l iées aux

types et caractères des charges en cause ;

de leur mode de prise en compte etc…

Quelques valeurs de charges d’exploitationQuelques valeurs de charges d’exploitationQuelques valeurs de charges d’exploitationQuelques valeurs de charges d’exploitation : : : :

a. Planchers terrassesa. Planchers terrassesa. Planchers terrassesa. Planchers terrasses : : : :Terrasses non accessibles 100 Kg/m2

Terrasses accessibles privées 150 Kg/m2

Terrasse accessible aux publics 500 Kg/m2

b. Locaux à usage d’habitationb. Locaux à usage d’habitationb. Locaux à usage d’habitationb. Locaux à usage d’habitation : : : :- Logements 150 Kg/m2

- Balcons 350 Kg/m2

- Escaliers et halls d’entrée 250 Kg/m2

c. Locaux à usage de bureauxc. Locaux à usage de bureauxc. Locaux à usage de bureauxc. Locaux à usage de bureaux : : : :- Bureaux proprement dits 250 Kg/m2

- Bureaux paysagers 350 Kg/m2

- Circulat ions et escalier 250 Kg/m2

- Halls de réception 250 Kg/m2

Halls de guichet 400 Kg/m2

- Salles de projection et de conférence à nombre de placelimité(<=50m²) 350 Kg/m2

- Cantines 250-350 Kg/m2

- Salles de réunions avec tables 250 Kg/m2

- Zone de dépôts 350 Kg/m2

- Salles d’ordinateurs et de reprographie 250 Kg/m2

d. Bâtiments scolaires et de bureauxd. Bâtiments scolaires et de bureauxd. Bâtiments scolaires et de bureauxd. Bâtiments scolaires et de bureaux : : : :- Salles de classe 250 Kg/m2

- Amphithéâtre 350 Kg/m2

- Ateliers et laboratoires 250 Kg/m2

- Circulat ion et escaliers 400 Kg/m2

- Salles de réunion 400 Kg/m2

- Bibliothèques 400 Kg/m2

- Dortoir collect if 250 Kg/m2

- Hébergement individuel 150 Kg/m2

- Dépôts et l ingerie 350 Kg/m2

- Cuisines collectives 500 Kg/m2

- Dépôts des cuisines collect ives 600 Kg/m2

- Salles à manger de petites dimensions 250 Kg/m2

- Cantines 350 Kg/m2

- Sanitaires collectifs 250 Kg/m2

e. Bâtiments hospitaliers et dispensairese. Bâtiments hospitaliers et dispensairese. Bâtiments hospitaliers et dispensairese. Bâtiments hospitaliers et dispensaires : : : :Locaux médicaux techniques

f. Locaux d’hébergementf. Locaux d’hébergementf. Locaux d’hébergementf. Locaux d’hébergement- Chambre 150 Kg/m2

- Circulat ion interne 250 Kg/m2

- Salle d’opérat ion 350 Kg/m2

g. Autres locauxg. Autres locauxg. Autres locauxg. Autres locaux : : : :- Halls 400 Kg/m2

- Circulation Gle 400 Kg/m2

- Bureaux 250 Kg/m2

- Salles de cours 250 Kg/m2

I.4 combinaison d’actionsI.4 combinaison d’actionsI.4 combinaison d’actionsI.4 combinaison d’actions : : : :

I.4.a Combinaison d’actions à considérer pour lesI.4.a Combinaison d’actions à considérer pour lesI.4.a Combinaison d’actions à considérer pour lesI.4.a Combinaison d’actions à considérer pour les

états limites ultimesétats limites ultimesétats limites ultimesétats limites ultimes : : : :

I.4.a.1 Situation durables ou transitoires :

La combinaison d’act ion à considérer est comme suit :

1,35 Gmax + Gmin + γγγγQ1.Q1 + ΣΣΣΣγγγγQ1 Qi

Gmax : L ‘ensemble des act ion permanentes dont l ’effet est

défavorable pour la justif icat ion d’un élément donné ;

Gmin : L ‘ensemble des act ion permanentes dont l ’effet est

favorable pour la justif icat ion d’un élément donné ;

Q1 : Action variable dite de base ;

Qi : Autres act ions variables dites d’accompagement (i>1)

I.4.a.2 Situations accidentelles :

Gmax + Gmin + Fa + ΣΣΣΣγγγγai .Qi

Fa :Valeur représentative de l ’act ion.

I.4.b Combinaisons d’actions à considérer pour lesI.4.b Combinaisons d’actions à considérer pour lesI.4.b Combinaisons d’actions à considérer pour lesI.4.b Combinaisons d’actions à considérer pour les

états limites de serviceétats limites de serviceétats limites de serviceétats limites de service : : : :

Gmax + Gmin + Q1 + ΣΣΣΣϕϕϕϕ 0, i .Qi

I.5 Combinaisons d’actions à considérer dans leI.5 Combinaisons d’actions à considérer dans leI.5 Combinaisons d’actions à considérer dans leI.5 Combinaisons d’actions à considérer dans le

cas des bâtiments courantscas des bâtiments courantscas des bâtiments courantscas des bâtiments courants : : : :

! Combinaisons fondamentales :

E.L.U : 1,35 G + 1,5 Q

E.L.S : G + Q

! Combinaisons accidentelles:

G + Q ± E

Pour les poutres :

0,8 G ± E

G + Q ± 1,2 E

Poteaux :

0,8 G ± E

IIII .6 Les planchers .6 Les planchers .6 Les planchers .6 Les planchers : : : :

Se sont des pièces minces et planes dont la largeur est

nettement supérieure à l’épaisseur ; i ls l imitent les dif férents étages

et i ls ont deux fonctions principales

a. Fonction de résistancea. Fonction de résistancea. Fonction de résistancea. Fonction de résistance : : : :

Les planchers supportent les charges permanentes et les

surcharges d’exploitat ion.

b. Fonction d’isolationb. Fonction d’isolationb. Fonction d’isolationb. Fonction d’isolation : : : :

I ls isolent thermiquement et acoustiquement les dif férents

étages. On peut distinguées deux grandes classes de planches :

planches coulés sur place (Tradit ionnels)

planches préfabriqués

• partiellement

• totalement

Planchers coulés sur placePlanchers coulés sur placePlanchers coulés sur placePlanchers coulés sur place

a. Planchers nervuré : composé d’ une dalle mince ( ep = 4

÷7 cm ) ou hourdis reposant sur des nervures.

b. Poutrelles enrobées :dans laquelle, l ’armature est

constituée par des prof iles métall iques.

c. Planchers à corps creux : composés d’une dalle très

mince de 4 à 6 cm et de nervures parallèles, avec un remplissage

intermédiaire en corps creux préfabriqués de céramique où de

béton.

Dal l e mi n c e

n er vu r e

ep = 4 ÷7 c m

d. Dalles épaisses : ep = 12 ÷ 30 cm.

e. Planchers champignons : avec ou sans chapiteaux.

P

f. Planchers translucides : se sont des dalles minces ou

épaisses ou des planchers nervurés dans lesquelles on incorpore

des pavées de verre.

Planchers dalles :

Plancher dalle à poutres apparentePlancher dalle à poutres apparentePlancher dalle à poutres apparentePlancher dalle à poutres apparente : : : :

Un plancher à poutres apparentes se compose comme suit :

Chap i t eau

Da l l e ep = 7 ÷ 1 2 c m

Pot ea u Pou t r e p r i n c i p a l e

Pou t r e s ec on d a i re

Dalle ou hourdis

Pou t r e p r i n c i p a l e

Pou t r e s ec on d a i re (p ou t r e l l e )

P o te a u

a = (1 ,5 à 2 ) h 0

(0 , 2 0 à 0 , 25 ) • L (0 , 2 0 à 0 , 25 ) • L

! D’un hourdis (épaisseur h0 = 7 ÷ 12 cm )reposant sur

des poutrelles (poutres secondaires ) et sur des poutre

principales.

! De poutrelle ( espacées de 1,50 ÷ 2,50 m ).

! De poutres principales ( espacées de 4 ÷ 6 m ) recevant

les poutrelles et reposant sur des poteaux ou bien sur

des mûrs porteurs en maçonnerie.

Lorsqu’un hourdis de hauteur h0

repose sur un mûr porteur, la profondeur

d’appui est au moins égale à 1,5 h0.

La disposit ion construct ive des

armatures au niveau des appuis est

comme suite :

Remarque :

l x ≤ l y

lx : la plus petite dimension du panneau.

ly : la plus grande dimension du panneau.

Dans un site sismique, si on a un bâtiment à

étage mult iple, on uti l ise dans les étages courant un plancher à

corps creux.

Au niveau inférieur, on uti l ise un plancher dalle, car a ce

niveau, on a concentrat ion des efforts sismiques et le plancher est

considéré inf iniment rigide horizontalement.

l x

L y

Méthode de calcul :

a. Calcul de dallea. Calcul de dallea. Calcul de dallea. Calcul de dalle : : : :

l x ≤ l y .

! Les dalle sont calculées

panneau par panneau

! En générale, les panneaux

de dalle sont appuyés sur

4,3 ou 2 appuis.

! Pour le calcul des dalles, on

a 2 cas :

1. Dalle portant dans un seul sens : ( )( )xLh 301

351

0 ÷=

une dalle porte dans un seul sens, lorsque les deux

conditions suivantes sont vérif iées :

! Le rapport 4,0 ll

yx ≤=ρ ;

! La charge est uniformément répart ie.

Les moments f léchissant sont évalués en prenant en comptela f lexion uniquement suivant la pet ite dimensions lx.

Le calcul se fait comme pour une poutre de section

rectangulaire de largeur b = 1 m et de

hauteur h0 et de portée lx.

Les armatures calculées sont

parallèle à lx (Ax) et suivant le sens de ly,

on place des armatures de répartit ion

(Ay)

Ax cm2/m

Pour la détermination des moments f léchissant d’une dalle

continue et lorsqu’il s’agit d’un plancher à charge d’exploitation

d on n é e

1 0 0

A x

A y

modérée et en considérat ion semi-encastrement au niveau des

appuis de rive, on a :

Moment en travée : 0

2

8.010

MqL

M xt ==

Moment en appuis : 0

2

5,016

MqL

M xa −=−=

Avec : 8

2

0xqL

M = : moment pour une dalle sur deux appuis l ibre.

ExempleExempleExempleExemple :

Soit une dalle continue sur plusieurs appuis d’épaisseur h0 =10 cm et de dimensions en plan lx = 3 m et ly = 8,00 m. On

considère que cette dalle est partiellement encastrée sur les

poutres de rive.

La charge d’exploitation q =350 daN/m2.

Descente de charges :Vérif icat ion si la dalle porte dans un sens.

sens 1 0,4 0,375 ll

yx ⇒<==ρ

! poids propres : g = 0,10 × 1,00 × 2500 = 250 daN/m2.

! P = 1,00 × 350 = 350 daN/m2.

Combinaison fondamentale:

q = 1,35g + 1,5 P = 862,50 daN/m.

Moment de la dalle sur deux appuis l ibre : M0 = ⇒82xqL

M0 = 862,5 × 83

2

= 970,31 daN/m

D’où : Moment en travée : Mt = 0,8×M0 = 776,25 daN/m

Moment en appui : Ma = - 0,5 M0 = - 485,16 daN/m

-0 ,2 M 0

+0 ,8M 0

-0 ,2 M 0

Dalle portant sur deux directionsDalle portant sur deux directionsDalle portant sur deux directionsDalle portant sur deux directions : : : : ( )( )yLh 401 50

10 ÷=

On considère q’une dalle porte suivant les deux sens si :

! Le rapport yx

ll=ρ est : 0,4 < ρ ≤ 1 et

! La dalle est uniformément chargée

Ou :

! la dalle est soumise à une charge concentrée ∀ ρ .

Remarque :

La bande (1) de la f igure ci-contre est

soulagée par la bande (2) et inversement, donc

les moment en travée des deux bandes doivent

être affecter d’un coeff icient réducteur.

(*) Pour une dalle reposant librement sur sont pourtour :2xxx lqM ⋅⋅=µ → suivant la direction de lx

xyy MM ⋅=µ → suivant la direction de ly

µx, µy = ƒ (ρ= y

x

ll ; υ ).

υ : coeff icient de poisson

υ = 0,2 : Pour un béton non f issuré.

υ = 0 : Pour un béton f issuré.Remarque :En pratique, pour le cas des dalles de planchers on prendra υ = 0.Les formules précédentes sont données pour un panneau

simplement appuyé mais en réalité on trouve :

L y

L x

(1 )

(2 )

(a) : appui de rive ; (b) : appui intermédiaire.

Si le panneau de dalle fait partie d’un hourdis continue ou s’i l

existe un semi-encastrement aux appuis calculera les moments Mx

et My par les coeff icient suivants :

a. Panneau considéré continu au delà de ses appuis :

Moments en travée :

Mt x = 0,75 • Mx

Mty = 0,75 • My

Moments en appui :

Max = - 0,5 • Mx

May = - 0,5 • My

Max = 0 M ax = 0

Max = 0

Max = 0

M x

M y

Da l l e r ep osan t l i b re m en tsu r son p ou r t ou r

Ma = 0 M a = 0

M t

Pou t r e

s i mp l em en t

Ma ≠ 0 M a ≠ 0

M t

Pou t r e r ée l l e

Pan n ea u

i n t erm éd i a i r e

Pan n ea ud e r i v e

(a )

(b ) (a )

(b )(b )

(a )

(a )

b. Panneau de rive dont au moins un appui peut assuré

un encastrement partiel :

Moments en travée :

Mt x = 0,85 × Mx

Mty = 0,85 × My

Moment sur appuis de rive :

Max = - 0,3 • Mx

May = - 0,3 • My

Moments sur appuis intermédiaires :

Max = - 0,5 • Mx

May = - 0,5 • My

Remarque :

On doit toujours effectuer la vérif ication suivante pour la

portée lx ( lx ≤ ly ) :

xet MMMM ⋅≥++ 25,12ω

Mt : Moment pris compte en travée.

Mω et Me : valeurs absolues pour les moments d’appui de

gauche et droite.

Mx : moment pour une dalle simplement appuyée.

Transmission des charges : La poutre

principale porte la charge provenant du

trapèze CDEF et la poutre secondaire

porte la charge provenant du tr iangle AED.

l x

l y

A

B C

D

E

F

4 5 °

Disposit ion des armatures :

• - si ϑ ≤ 0,4 (ϑ = yx

ll ) ⇒ les armatures principales seront Ax

// à lx et Ay // à ly seront des armatures de répartit ion.

Ay = 4xA : lorsque la charge est uniformément répart ie.

Ay = 3xA : lorsque la charge est concentrée.

• - L’écartement des armatures ≤ min ( 3h0 et 33 cm ) dans la

direction la plus soll icitée.

- Dans la direction : l ’écartement ≤ min ( 4h0 et 45 cm ).

Le diamètre maximal des armatures principales est : φma x ≤ 100h

Cas d’une dalle chargée excentriquement :

Quand le rectangle de répart it ion

de la charge n’est pas concentrique à la

plaque ⇒ on uti l ise l ’art if ice de résal.

On prend un rectangle symétrique

au rectangle chargé ABCD et on

calculera les moments comme suit :

DDCCAABBDCBAABCD MMMM 11111111 −=+

par raison de symétrie : MABCD = MA1B1C1D1 ⇒

21111 DDCCAABBABCD MMM −=

Dans le cas où le rectangle

ABCD a une posit ion quelconque :

4321321321321 CCCCDDDDBBBBAAAAABCD MMMMM +−−=

B C C1 B1

A D D1 A1

Fig - a

A1 D1 D2 A2

B1 C1 C2 B2

B C C3 B3

A D D3 A3

Disposit ion Constructive :

Les aciers inférieurs de chaque sens

peuvent être arrêté par moit ié.

La longueur du lit arrêté est égale à

0,8 • l x pour le sens principal ( // à lx ) ; et

égal à ( l y – 0,2 • l x ) dans le sens y.

L’autre moitié est totalement ancré au delà de

la l igne d’appui.

Les chapiteaux sont arrêtés à ( 0,20 ÷ 0,25 )

L (lx ou ly ) au delà du nu d’appui.

S’i l y a des charges concentrées importantes, les 100% des

armatures doivent être ancrées au delà de la l igne d’appui.

La distance entre l ’armature de la paroi extérieur de la dalle

est :

• pour un plancher exposé aux intempéries → a = 2 cm

• pour un plancher non exposé aux intempéries → a = 1cm

M t x

~ Mtxl y

l x

0 , 8 • l x

n u d ’a p pu i

(0 , 2 0 à 0 , 25 ) • L

(0 , 2 0 ÷ 0 , 25 ) • l x (0 , 2 0 ÷ 0 , 25 ) • l x

l x

p ou t re l l e

Ar x

At x

Aa i x

At y

h 0

p ou t re l l e

Aa i y

φ

a

Pa r o i ex t ér i eu r

Ex :

• plancher terrasse : a = 2 cm.

• plancher étage courant : a = 1 cm.

(*) Vérif ication des contraintes de cisail lement :

dbTu

u ⋅=τ

Aucune armature transversale n’est nécessaire si : la dalle

est bétonnée sans reprise sur toute son épaisseur,

2805.0 cuu f⋅=≤ ττ

Cas particuliersCas particuliersCas particuliersCas particuliers : : : :

Dalles sur 3 appuis : (Ex : Balcons).

lx / / au côte non appuyé,

ly ⊥ au côte non appuyé.

1. ly ≥ 2xl

Mx = q 82xl ( ly -

2xl ) + q 48

3xl

Mx = q. 243xl ; q : en [kg/m2]

2/- ly < 2xl

Mx = q. 6

3yl

; My = q

⋅− y

xy l .ll

32

2; q:en[kg/m2]

Calcul des poutres secondaires et poutres principales :

Les poutres et les poutrelles se calculent suivant la méthode

forfaitaire (cas des planchers à charge d’exploitat ion modéré) ou

bien suivant les méthodes d’RDM (pour le cas des planchers à

forte surcharge).

l y

l y

a. Planchers à charge d’exploitation modéréa. Planchers à charge d’exploitation modéréa. Planchers à charge d’exploitation modéréa. Planchers à charge d’exploitation modéré : : : :Méthode forfaitaire un planchers est dit à charge

d’exploitat ion modéré si :

La surcharge Q ≤ min ( 2 G ; 5000 N/m2)G : charge permanente.

Les moments d’inertie sont les mêmes dans les dif férentes travées,Les portées successives des travées sont dans un rapport

compris entre 0,8 et 1,25,

La f issurat ion est considérée comme non préjudiciables.

Méthode de calculMéthode de calculMéthode de calculMéthode de calcul : : : :Soit M0, la valeur maximale du moment f léchissant dans la

travée indépendante, de même portée que la travée considérée, et

soumise aux mêmes charges M0 = 8lq

α = B

b

QGQ+ ; Qb : Charge d’exploitat ion ;

G : Charge permanente

Mt + 2MeMw+ ≥ Max [ ( 1 + 0,3 α ) ; 1,05 ]. M0

Mt ≥ ( 2.3,02,1 α+ ) .M0 → dans le cas d’une travée de rive

Mt ≥ ( 2.3,01 α+ ) .M0 → dans le cas d’une travée intermédiaire.

Moment en appui :Ma ≤ 0,60 M0 : cas d’une poutre à deux travées.

Ma ≤ 0,50 M0 : pour les appuis voisins des appuis de rive

d’une poutre à plus de deux travées.

Ma ≤ 0,40 M0 : pour les autres appuis intermédiaires.

Pour le calcule des sect ions en appui ; on prend la valeur

maximale du moment de part et d’autre de l’appui.

0 , 6 M 0 0 , 5 M 0 0 , 5 M 0 0 , 5 M 00 , 4 M 00 , 4 M 00 , 5 M 0

B. Planchers à charge d’exploitation relativement

élevée :

Lorsque l ’une des condit ion précédentes pour les planchers à

charge d’exploitation modérée n’est pas vérif iée ;on dira que ces

derniers sont à forte surcharge.

Et dans ce cas, on appliquera l ’une des méthodes d’RDM

(Méthode des trois moments ; méthode des déplacements ;

méthode des forces ; …etc. ).

Dalle portant dans un seul sens :

h ≤ 0,4 :Dans ce cas, on suppose que les charges

permanentes et les surcharges d’exploitation des panneaux de

dalles se transmettent exclusivement aux poutrelles sous forme

d’efforts tranchant, les quelles les transmettent à leur tour aux

poutres principales sous forme de charges concentrées.

Les poutrelles supportent alors les charges transmises par

les dalles sur une largeur correspondant à un entre-axe des

poutrelles. Pou t r e l l e .

Pou t r e p r i n c i p a l e .

L 1 : en t r e – a x e

d es p ou t r e l l es

L1

q =

q1 *

L1

l x

l y

Pou t r e

p r i n c i p a le

p ou t re l l e

Dalle portant suivant deux directions :

Les charges transmisent par les panneaux de dalle se

divisent en charges trapezoïdales supportées par les poutrelles et

charges tr iangulaires supportés par les poutrelles principales.

Moment f léchissant pour des poutres stat iques :

Charge triangulaires :

Ta = Tb = 4Lxρ ;

2Lxq=ρ ; q : [kg/m2]

Mma x = 122xLρ

Charge trapézoïdales :

TA = TB = 2aly−ρ ;

P = q 2Lx : en [kg/m2]

Mma x = 24ρ [3 L2

y – 4a2 ]

ρ

A Bl x / 2 l x l x / 2

l x

a = l x / 2A B

l y

ρ

Disposition constructive des armatures longitudinales :a. Armature longitudinale inférieure :

le nombre de f i les des barres est conditionn

diamètre des barres et par la longueur de la poutr

Gle :

une seule f i le de barres dans les poutre de 8

Deux f i les dans les poutres de (8 ÷ 16) cm d

largeur.

Trois f i les de barres dans les poutres de (16

25) cm de largeur.

On admet toujours :

n f i les de φ 32 dans une poutre de n 10 cm

n f i les de φ 25 dans une poutre de n 8 cmDans les poutres où les effort sont très impo

2 ou 3 lignes de barres exceptionnellement d’avan

3 nappes de barres au maximum).

Le lit inférieur est prolongé jusqu’aux appui

avec le l i t inférieur de la travée voisine et où i l es

d’un appui de rive. Les autres nappes sont arr

appuis.

T y

Arma t u r e su p ér i eu r e

(M <0 )

M a 1

M 1

A 1

M 2

A 2

M 3

A 3

M a 2 M a 3

Chapeau

é à la fois par le

e. On dispose en

cm de largeur.

e

÷

rtant, on dispose

tage ( on uti l ise

s où i l se croise

t ancré s’ i l s’agit

êtées avant les

(8 ÷ 16 ) cm

≤8 c m

T d

M a 4

Explication :

On fait un recouvrement si on a une grande dif férence de

diamètre.

L’arrêt des barres : (armatures inférieures)

Les armatures sont calculée par rapport au moment

f léchissant maximum ⇒ A c a lcu lé ≤ A ef fec t i ve ⇒ on peut tracer le

diagramme des moments résistants des aciers de levier.

Z : bras de levier

On trace une courbe // à la

courbe des moments f léchissant

et puis on trace la courbe des

moments résistant décaler de

Z/2 ⇒ nous donne des barres.

Remarque 1 :

Les arrêts de barres ne doivent pas être déterminer par la

seule condition que le diagramme enveloppe des moments

résistants des barres soit extérieurs du diagramme enveloppe des

moments f léchissant posit ifs.

La condit ion à vérif ier est plus complexe par suite de la

possibil ité d’existence de f issures inclinés à 45° sous l ’effet de

l’effort tranchant.

Remarque 02 :

Le diagramme doit être extérieur à la courbe obtenue en

décalant tous les points du diagramme des moments f léchissants

C ou rb e d es

mom en t s

f l éch i s san t s)

Z/ 2

M m a x

Le rec ou v r em en t s e fa i t l à où M t = 0

φ 1 2φ 1 6

5 0 φ

parallèlement à l ’axe de la poutre et dans le sens le plus

défavorable d’une quantité 2z (z : bras de levier).

Cette condition ⇒ l ’existence d’armatures transversales

intervenant eff icacement au travers d’une f issure inclinée à 45°.

Remarque 03 :

Pour tracer le diagramme des moments résistant, on a :

ld : longueur de scellement droit.

Ces remarques sont valables pour tous les planchers.

- Pour tracer le diagramme des moments résistants on admet

que les barres inférieures qui ne se prolongent pas jusqu’aux

appuis se mettent progressivement en charge à part ir de leurs

extrémités et leurs contraintes croient l inéairement de zéro à la

limite admissible sur une longueur égale à la longueur de

scellement droit si les extrémité ne sont pas munies de disposit ifd’arrêt (crochet) et sur la moitié de cette longueur (ld) si les barres

sont terminées par des crochets normaux.

b. Armatures longitudinales supérieures :

On appelle chapeaux, les armatures supérieures qui ne

s’étendent pas sur la totalité de la longueur de la poutre et ont

pour objet de résister aux efforts de traction produit par les

moments f léchissant négatif .

Les arrêts des barres pour les armatures supérieures sont

déterminées suivant le même principe que pour les armatures

inférieures.

l d / 2 Ar rê t t h éo l d

M omen t r é s i s t an t

Quand les poutres ne sont pas soll icitées sur toute leur

portée par des moments de f lexion négatifs. I l est d’usage de

disposer à leur partie supérieure des barres de faible diamètre

qu’on appelle barre de montage et qui servent uniquement à la

f ixat ion des armatures transversales.

Explication sur l ’arrêt des barres :

- Réellement, on prend les 6T20 en 2 nappes et on arrête la

nappe supérieure.

⇒ On cherchera la distance où on n’en a besoin que d’une

seule nappe.

⇒ On calcule le moment résistant et on cherche l ’ intersection

avec le moment de f lexion décalé de (z/2).

- Sous l’effet de l’effort tranchant ⇒ créat ion de f issures

inclinées à 45° ⇒ présence d’effort de traction (F1, F2).

L’effort F2 est repris par les armatures longitudinales et F1

par les armatures transversales ⇒ on doit ut i l iser des armatures de

montage pour le maint ien de ses armatures.

Armatures transversales :

Dans les poutres et les poutrelles, les At sont normalement

constituée de cadres ou cadres et étriers. L’espacement des

cadres et des étriers est déterminé en fonction de la valeur de

l’effort tranchant dans les dif férentes sect ions. On se sert souvent

de règles simples qui permettent de déterminer les espacements

successifs dans les poutres supportant uniquement des charges

F 1

F 2

uniformément réparties à partir de l ’espacement minimal calculé

dans les sect ions d’appui (ex : règle de caquat). Si les poutres

supportent des charges concentrées, i l convient de déterminer

l’espacement des At en fonction du diagramme de l’effort

tranchant.

2. Planchers nervurés ou planchers à poutrelles2. Planchers nervurés ou planchers à poutrelles2. Planchers nervurés ou planchers à poutrelles2. Planchers nervurés ou planchers à poutrelles

parallèles rapprochéesparallèles rapprochéesparallèles rapprochéesparallèles rapprochées : : : :

L’exécution de ces dalles se fait avec un coffrage métall ique

ou bien avec un coffrage en bois.

Pour les immeubles industriels; l ’épaisseur de la dalle est

ep=15÷30 cm.

• • • •• • • • • • •

T r ei l l i s sou d é sDa l l e

4 ÷ 6 cm

Poutrel lFau x

Pl f d Ln Ln = 50 ÷ 80

3. Planchers à corps creux3. Planchers à corps creux3. Planchers à corps creux3. Planchers à corps creux : : : :

Ln = 50 ÷ 80 cm, en Algérie → Ln = 60 cm.

Les poutrelles supportent leurs poids propres et les

surcharges ; qu’elles transmettent aux poutres principales qui les

transmettent à leurs tours aux poteaux.

Les poutres secondaires (chaînages) vont reprendre leur P-P

et les efforts horizontaux dus au séisme.

Les poutres principales supportent la totalité des charges.

Poutre secondaire :

Coupe transversale d’un plancher à corps creux :

Pou t r e p r i n c i p a l e

Pou t r e S ec on d a i r e Pot eau

Si

S i

Ln

Ax e d e P ou t r e l l e

Su rch a rg e

P-PSi

P-PSi

h 0 = 4 e t 5 cm

1 2 , 1 6 , 2 0 e t 2 5

Ln = 50 ÷ 8 0 c m

Remarque :

! Le remplissage en corps creux est considéré comme un

poids mort.

! Les efforts transmis par les poutrelles se traduisent par

des efforts tranchants sur les poutres principales.

! Dans le calcul, on suppose que les charges sont

uniformément réparties sur les poutres principales.

Pour le calcul des poutrelles :

q′ : en [kg/m²] →

60.0⋅′= qq en [kg/ml]

Prédimensionnement :

pour avoir un plancher f lexible ⇒ 5,22

1≥lth

ht : hauteur totale du plancher = hauteur de la poutrelle =

hauteur de la dalle de compression + la hauteur du corps creux.

l : portée de la poutrelle

La fonction de la dalle de compression :

! Limiter les risques de f issurat ion par retrait ;

! Résister aux surcharges sur des surfaces réduites et

! Réaliser une bonne répartit ion des efforts entre les

nervures voisines (poutrelles voisines).

Armatures de la dalle de compression : 4,0 ⟨=ylxlρ

q

T

M t s

L’épaisseur minimale de la

dalle de compression est ho

(min) = 4 cm.

La dalle de compression

est armé d’un quadri l lage de

barres dont les dimensions des

mailles ne doivent pas

dépasser :

! 20 cm pour les armatures ⊥ aux nervures ;

! 30 cm pour les armatures ⁄ ⁄ aux nervures.

- Armatures ⊥ aux nervures :

feAcmLn 20050 ≥⇒≤

feLnAcmLn 408050 ≥⇒≤<

fe : en [Mpa]A : en [cm²/ml]Ln : entre axe des nervuresLn : en [cm]

Armatures ⁄ ⁄ aux nervures :

2AA//

⊥≥

IIIIIIIIIIII. Planchers champignons et planchers dalles Planchers champignons et planchers dalles Planchers champignons et planchers dalles Planchers champignons et planchers dalles

Un plancher champignon est constitué de :! Une dalle continue sans nervure ni poutre (plancher

dalle) ;! Un renforcement au niveau des poteaux pour augmenter

la rigidité ⇒ plancher champignon (chapiteaux).

Remarque :Ce type de construction est à éviter en zone sismique car la

rupture est brutale.

Plancher dalle :

Plancher champignon :

I l y a plusieurs types de chapiteaux et on peut avoir :

25,1

..4,0

≤

=

x

y

yx

ll

et

llc

Méthode de calcul

! On considère que le tout travail le comme un portique.

! La dalle va reprendre la totalité des charges.

4 5 °

C

2yl

2yl

2xl

2xl

(A)

Ferrail lage au niveau du nœud :

Ferrail lage au niveau des chapiteaux :

Remarque :

Les armatures de couture uti l isées si les chapiteaux ont une

grande dimensions.

Armat u r es d e c ou t u re .

Etude des déformations (calcul deflèche)

La vérif ication de f lèche se fait sous la combinaison (G + P).

Planchers des bâtiments courantsPlanchers des bâtiments courantsPlanchers des bâtiments courantsPlanchers des bâtiments courants : : : :

a. Cas où la vérification de la flèche n’est pas nécessairea. Cas où la vérification de la flèche n’est pas nécessairea. Cas où la vérification de la flèche n’est pas nécessairea. Cas où la vérification de la flèche n’est pas nécessaire : : : :

La vérif ication de la f lèche d’une poutre n’est pas nécessaire

si cette poutre est associée à un hourdis et si les conditions

suivantes sont vérif iées.

e

t

fdbA

MM

Lh

Lh 2,4

.;.

101;

161

00

≤≥≥ (fe : en MPa)

L : portée entre murs d’appuis ;

h : hauteur de la poutre ;

d : hauteur ut i le de la section ;

bo : la largeur de la nervure ;

Mt : moment f léchissant maximal en travée ;

Mo : moment f léchissant maximal dans la travée supposée

indépendante et reposant sur deux appuis l ibres ;

A : sect ion des armatures tendues ;

fe : l imite élastique en [Mpa] de l’acier uti l isé.

Pour un hourdis (dalle pleine) portant sur quatre côtés ; la

vérif ication de f lèche n’est pas nécessaire si :

ex

tx

x fdbA

MM

Lh 2

.;

.20≤≥ (fe en MPa) avec :

Mx = µx .q.L2x : moment pour une bande de 1 m de largeur

d’une dalle reposant l ibrement sur son pourtour.

Mt : moment en travée prenant en compte l’effet de

l’encastrement ou de la continuité.

b. Calcul de flècheb. Calcul de flècheb. Calcul de flècheb. Calcul de flèche : : : :

Les f lèches sont calculées en ut il isant les méthodes R.D.M.

en faisant certaines modif icat ions pour prendre en compte les

f issures dans les zones tendues.

Par exemple ; le moment d’inert ie d’une section homogène

est remplacé par un moment d’inert ie f ict if I f (déterminé

empiriquement).

Soit :

µλ .1;

.0

01

iif

IIdb

Ae+

== : Moment d’inert ie f ict if pour les

déformations instantanées.

µλ .10

vvf

II+

= : Moment d’inert ie f ict if pour les déformations de

longue durée.

Avec :

I0 : Moment d’inertie de la section homogène avec n = 15, par

rapport à un axe passant par son centre de gravité

( )0..4

.75,11

52

..32

02,0;..32

05,0

281

28

10

28

10

28

≥+

−=

=

+

=

+

=

µσ

µ

λλλ

ts

t

it

It

I

flf

lbbf

lbbf

Les courbes sont données par :

IfiEM

r ii .1 = : pour les charges de faible durée d’application ;

fvvv IEM

r .1 = : pour les charges de longue durée d’applicat ion.

M : le moment de f lexion dans la section étudiée, par l ’état

de service envisagé ;

Ei : module de déformation instantanée (durée

d’application ≤ 24h) ;

Ev : module de déformation dif férée )31( iv EE = ;

r : rayon de courbure

Evaluation forfaitaire des flèchesEvaluation forfaitaire des flèchesEvaluation forfaitaire des flèchesEvaluation forfaitaire des flèches : : : :

a. Poutre et dalles calculées dans le sens de lx :

vfvv

ifii IE

MLfIE

MLf..10²;

..10² ==

f i : La f lèche maximale sous charges de faible durée

d’application ;

fv : La f lèche maximale sous charges de longue durée

d’application

L : La portée de la travée

b. Consoles (flèche à l’extrémité de la console)

vfvv

ifii IE

MLfIE

MLf..4²;

..4² ==

Cas d’un plancher supportant des cloisons :

Pour la détermination de la f lèche ; on regarde l ’ordre

d’intervention des diverses charges.

f

Soit :

j : la charge permanente avant mise en place des cloisons ;

g : la charge permanente après mise en place des cloisons ;

p : la charge totale ( p = g + charge d’exploitat ion) ;

fg i et fg v : les f lèches dues aux charges g ;

f j i : la f lèche due aux charges j ;

fp i : la f lèche due aux charges p.

Remarque :

La f lèche définit ive due à l’ensemble des chargespermanentes est fg v ; mais au moment de la mise en place des

cloisons, les charges j avaient déjà provoquées une f lèche f j i . La

f lèche nuisible due aux charges permanentes sera (fg v – f j i).

La f lèche nuisible due aux charges d’exploitation sera (fp i –

fg i) et la f lèche totale ∆f t sera :

∆f t = fgv – f j i + fpi- fg i

Valeurs limites de Valeurs limites de Valeurs limites de Valeurs limites de ∆∆∆∆ffff tttt : : : :

a. Eléments reposant sur deux appuis :

mLsiLft 00,5:500max ≤=∆

m00.5:5,0500max >+=∆ LsicmLft

b. Eléments en console :

[cm]en:L00,2:250max mLLft ≤=∆

Remarque :

Pour le calcul des f lèches fg v ; f j i ; fp i et fg i ; on prendra en

compte dans le calcul de µ, la valeur de σs correspondant aux cas

de charge envisagé.

=→== ρρρρ

βσ 100

.100

.. 1111

avecdbAet

AdM ser

s

ApplicationApplicationApplicationApplication

Calculer le ferrail lage et vérif ier la f lèche de la poutrelle

appartenant à un plancher à corps creux (étage courant) suivant ;

avec :

La charge permanente : G = 470 kg/m²

La surcharge d’exploitation : Q = 250 kg/m²

Acier Fe E400, Fissuration peut nuisible ; fc2 8 = 20 MPa

a. Ferraillage de la poutrellea. Ferraillage de la poutrellea. Ferraillage de la poutrellea. Ferraillage de la poutrelle

Détermination des diagrammes de Mf et T :

Vérif icat ion des condit ions d’uti l isation de la méthode forfaitaire :

a. (( →>=×→≥ )Kg/m 250Kg/m 5004702min2min 22PG Condit ion vérif iée

b. Les moments d’inert ie sont les mêmes dans les dif férentes

travées → Condition vérif iée.

c. Le rapport entre deux portées successives doit être compris

entre 0,80 et 1,25.

25,1120,320,3

180,0 <==

+<

LiLi → Condit ion vérif iée.

d. La f issurat ion est considérée comme peu nuisible → C.V.

6 0

1 2

4

1 6

3 . 2 0 3 . 2 0 3 . 2 0 3 . 2 0 3 . 2 0 3 . 2 0 3 . 2 03 . 2 0 3 . 2 0 3 . 2 0 3 . 2 0 3 . 2 0 3 . 2 0 3 . 2 0

Conclusion :

Les quatre conditions sont vérif iées ⇒ on peut ut i l iser la

méthode forfaitaire.

E.L.U : qu = 0,6 × (1,35 G + 1,5 Q) = 605,70 kg/mlE.L.S : qser = 0,6 × (G + Q) = 423 kg/ml

Moment en appui :

Moment en travée :

)320(avec; ≤≤

+= αα

QGQ

→≤≤⇒=+

=32347,00(347,0

250470250α Condit ion vérif iée)

Moment en travée de rive AB et ν j:

( )[ ]⇒

+≥

+≥+

+

0

0

.2

3,02,1

.05,1;3,012

MM

MMaxMM

M

t

gdt

α

α

[ ]

≥≥

=≥++

0

0

000

621,0.7,0

05,1.05,1;104,12

.5,0.2,0

MMMM

MMaxMMM

t

t

t

⇒

Donc on prendra Mt 1 = 0,70 × M0

Moment en travée intermédiaire BC et HI :

=

+≥

≥⇒≥++

00

0000

.521,0.2

3,01

60,0.05,12

.4,0.5,0

MMM

MMMMMM

t

tt

α

0.2 M 0 0 .5 M0 0 .4 M0 0 .4 M0 0 .4 M0 0 .4 M0 0 .4 M0 0 .4 M0 0 .5 M0

A B C D E F G H

3 . 2 0 3 . 2 0 3 . 2 0 3 . 2 0 3 . 2 0 3 . 2 0 3 . 2 0 3 . 2 0 3 . 2 0

On prendra : Mt 2 = 0,60 × M0

Moment en travées intermédiaires CD, GH, DH, EF et FG :

≥

≥⇒≥++

0

0000

.521,0

.65,0.05,12

.4,0.4,0

MM

MMMMMM

t

tt

⇒ On prendra Mt 3 = 0,65 × M0

E.L.U : ²/296,7758

²20,3.7,6058².0 mkgLqM u ===

Mt 1 = 0,70 ×. M0 = 542,707 kg.m ;

Mt 2 = 0,60 × M0 = 465,177 kg.m ;

Mt 3 = 0,65 × M0 = 503,942 kg.m ;

Les moments en appuis :

MA = Mj = - 0,20 × M0 = - 155,059 kg.m ;

MB = Mi = - 0,50 × M0 = - 387,648 kg.m ;

MC = MD = ME = MF = MG = MH = -0,40 M0 = - 310,118 kg.m ;

Diagramme des moments fléchissants :

Détermination des armatures longitudinales :

a. Travées :

a.1 – E.L.U : Mt ma x = 542,707 kg.m

Vérification de l’étendu de la zone comprimée :

( ) NmhdhbM b 2,43507218.4.60.33,112

... 000 =−=

−=σ

NmMNmM t 07,54272,43507 max0 =>=⇒

5 4 2 . 70 7 5 4 2 . 70

7

4 6 5 . 11 7 4 6 5 . 11 75 0 3 . 94 2 5 0 3 . 94 2 5 0 3 . 94 2 5 0 3 . 94 2 5 0 3 . 94 2

1 5 5 . 05 9 1 5 5 . 05 93 8 7 . 64 8 3 8 7 . 64 83 1 0 . 11 8 3 1 0 . 11 8 3 1 0 . 11 8 3 1 0 . 11 8 3 1 0 . 11 8 3 1 0 . 11 8

⇒ La zone comprimée se trouve dans la table et la section en

‘Te’ sera calculée comme une section rectangulaire de dimensions

(b * h)

Vérification de l’existence de A′ :

Ls 10001000etpasexisten'A'392,0025,0²18.60.33,11

07,5427²..

εεµσ

µ >⇒=<=== Lb db

M

MPaf

s

e 348s ==⇒γ

σ

987,0.4,01;0316,098

211;

..=−==

−−== αβα

βσu

dMA

s

⇒ A = 0,87 cm² Choix : 3T10 → A = 2,36 cm²

a.2. Vérification à l’E.L.S :

⇒ Aucune vérif icat ion pour l ’E.L.S.

E.L.S.l'pour pour on vérificatiaucune1002

1

nuisiblepeu n Fissuratio; FeE400Acier

; irerectangulaSection ; simpeFlexion

b28 ⇒⇒+−≤⇒

σγα cfsi

mkgMMet

mkgLqMMM

sertser

serserser

u

.072,387.7,0

.96,5528

²320.4328².;

0

0

==

====γ

4,0100

282

140,1 =+−= fcet γγ

→=+−<=⇒ 4,0100

282

10316,0 fcγα Condit ion vérif iée

Donc ; les armatures calculées à l ’E.L.U. sont retenues

b. Armature en appuis :

b.1. E.L.U :Ma u ma x = - 3876,48 N.m

La table se trouve dans la zone tendue ⇒ la sect ion en ‘Te’ sera

calculée comme une sect ion rectangulaire de dimensions (bo * h)

Vérification de l’existence de A′ :

²65,0..

9539,0.4,01;1151,08,0

211;348

10001000etpasexisten'A'

0879,0²18.12.33,11

78,3876²..

cmd

MA

MPa

fdbb

Ma

s

a

s

s

esLSL

==

=−==−−

==⇒

=⇒>⇒<

===

βσ

αβµ

ασ

γσεεµµ

σµ

Choix : 1T10 → A = 0,79 cm²

b.2. E.L.S :

2828

s

6,01002

1

)pour ion vérificat(aucune nuisiblepeu n Fissuratio; FeE400Acier

; irerectangulaSection ; simplelexion

cbbc ff

F

=≤⇒+−≤⇒

σσγα

σ

⇒ aucune vérif ication pour l ’E.L.S.

bbcc

seraserser

u

ff

mkgMMMM

σσγαγγ

γα

<⇒+−<⇒=+−=

−=−=−===

10021401,0

10021;402,1

.48,27696,552.5,0.5,0;;1151,0

2828

0

⇒ les armatures calculées à l ’E.L.U sont maintenues.

Vérification de flèche :

C.N.V01050400

2,40109018.1236,22,4

.- c

.VNC.07,00625,007,0.7,0

.101.

101- b

.C.V0625,032020;0625,0

161 - a

0

0

0

0

?

→=>=⇒≤

→<⇒==≥

→==≥

,,fdb

AM

MMM

LhLh

e

t

t

Calcul de flèche :j : Charge permanente avant mise en place des cloisons ;j = G – 75 = 470 – 75 = 395 kg/m² = 3950 N/m².

g = Charge permanente après mise en place des cloisons ;g = 4700 N/m²P : Charge totale (g + charge d’exploitat ion)P = 2500 + 4700 = 7200 N/m²

A

2

1

Calcul des moments Mg, Mj et Mp :

mNLpMM

mNLgMM

mNLjMM

ptp

gtg

jtj

.72,38706,0.8

²20,3.7200.7,06,0.8²..7,0.7,0

.72,25266,0.8

²20,3.4700.7,06,0.8²..7,0.7,0

.52,21236,0.8

²20,3.3950.7,06,0.8²..7,0.7,0

0

0

0

=

=

==

=

=

==

=

=

==

Moment d’inertie de la section I0 :

Coordonnées du centre de gravité G :

36,21516124601836,2151216122460;

.11 ⋅+⋅+⋅

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==∑

∑ VA

yAV

i

ii

⇒ V1 = 7,32 cm ; V2 = h – V1 = 12,68 cm

( ) ( ) ( )2333

268,12.36,2.15368,12.12

3432,7.1260

321,7.60 −++−−−=OI

⇒ I0 = 19452 cm4

( )0.4

.75,11

.1;

.1

270,152;176,3

0109,0.6012.32

8,1.05,0

..32

.05,0

0109,018.1236,2

.

281

28

00

10

28

01

≥+

−=

+=

+=

===

+

=

+

=

===

µσ

µ

µλµλ

λλλ

ts

t

vfi

if

ivt

i

flf

vIIII

lbbf

dbAl

ρ1 = 100 × ρ1 = 1,09 → β1 =0,856 ;

MPadA

M jjs 40,58

18.856,0.36,252,2123

.. 1

===β

σ

1 2

6 0

4

1 6

V1

V2

g g’

511,0..4

.75,11

348,08,149,69.0109,0.4

80,1.75,11..4

.75,11

;275,08,140,58.0109,0.4

80,1.75,11..4

.75,11

45,10618.856,0.36,2

72,3870..

49,6918.856,0.36,2

72,2526..

281

28

281

28

281

28

1

1

=+

−=

=+

−=+

−=

=+

−=+

−=⇒

===

===

tsp

tp

tsg

tg

tsj

tj

ps

ggs

flf

flf

flf

MPadA

Mp

MPadA

M

σµ

σµ

σµ

βσ

βσ

Modules de déformations longitudinaux :

MPafE

MPafE

cv

ci

35,10043.11000

59,29858.110003

28

328

==

==

Calcul des différentes flèches :

a. Calcul de f j i :

cmf

cmIIIELM

f

ji

jiif

fii

jji

07,026,383.10.59,29858.10

²320.52,2123

26,10383275,0.176,31

19452.1

;..10

². 400

==⇒

=+

=+

==µλ

b. Calcul de fg i :

cmIE

LMf

cmII

fii

ggi

giif

094,077,2399.59,29858.10

²320.72,2526..10

².

77,9239348,0.176,31

19452.1

40

===

=+

=+

=µλ

c. Calcul de fg v :

cmIE

LMf

cmII

fvv

ggv

gvfv

191,097,13489.35,10043.10

²320.72,2526..10

².

97,13489348,0.27,11

19452.1

40

===

=+

=+

=µλ

d. Calcul de fp i :

cmIELM

f

cmII

ifi

ppi

pifi

179,012,7416.59,29858.10

²320.72,3870..10

².

12,7416511,0.176,31

19452.1

40

===

=+

=+

=µλ

Et enfin ; la f lèche totale est donnée par :

∆f t = (fg v – f j i ) + (fp i – fg i) ⇒ ∆f t = (0,191 – 0,07) + (0,179 – 0,094)

⇒ ∆f t = 0,206 cm

Flèche maximale :

cmLfmL t 64,0500320

50000,5 max ===∆⇒<

Donc : ∆f t = 0,206 cm < ∆f t ma x = 0,64 cm ⇒ la f lèche est vérif iée