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François Longin 1 www.longin.fr

Cours Corporate finance

Eléments de théorie du portefeuille Le Medaf


Plan

• Notions de rentabilité § Définition § Modélisation

• Eléments de théor ie du por tefeuille § Portefeuille § Diversification

• Le Medaf § Le modèle de marché § La relation du Medaf § Le bêta § Application : calcul du taux d’actualisation


Rentabilité d’un actif (1)

• Définition de la rentabilité § Notations :

§ Calcul

§ Exercice : montrer la rentabilité correspond au TRI de la séquence de flux d’investissement.

i R i actif l' de é rentabilit : t i P i t date la à actif l' de prix :

] 1 , [ période la sur actif l' de revenu : , 1 − − t t i D i t t

i t

i t t

i t

i t i

t P D P P

R 1

1 , 1

−

− − + − =



• Deux éléments dans la rentabilité § Le rendement (yield en anglais) : dividende, intérêts, loyers, etc.

§ La variation en capital (capital gain or loss en anglais) : plusvalue ou moinsvalue à la revente

i t

i t t

P D

1

1 ,

−

−

i t

i t

i t

P P P 1

1

−

− −



• Statistiques impor tantes (1) § La moyenne des rentabilités

w Espérance / anticipation de rentabilité pour le futur

w Mesure de performance

§ La dispersion des rentabilités (autour de la moyenne) w La variance ou l’écarttype des rentabilités

w Mesure sur risque (mesure globale)

( ) ( ) ∑ =

− = T

t

i i t

i R R T

R 1

2 2 ~ 1 ~ σ

∑ =

= T

t

i t

i R T

R 1

~ 1

( ) ( ) ∑ =

− = T

t

i i t

i R R T

R 1

2 ~ 1 ~ σ



• Statistiques impor tantes (2) § Les quantiles de rentabilités

w Probabilité d’observer une rentabilité en dessous d’un seuil donné

w Mesure du risque (mesure locale)

( ) x R P i < ~



• Distr ibution histor ique des rentabilités – Histogramme • Distr ibution paramétr ique des rentabilités Densité § Exemple : la loi normale

w Deux paramètres : la moyenne et la variance (les deux premiers moments de la distribution)


Modèle de Markowitz

• Qu’estce que c’est ? § Modèle mathématique financier de construction de portefeuilles de titres financiers (ou autres) reposant sur l’optimisation du portefeuille en termes de rentabilité et risque

§ Portefeuilles optimaux w Portefeuille de rentabilité maximum pour un niveau de risque donné w Portefeuille de risque minimum pour un niveau de rentabilité donné


Diversification du r isque (1)

• Cas : por tefeuille à deux actifs § Actif 1: µ 1 = 10% et σ 1 = 20% § Actif 2 : µ 2 = 15% et σ 2 = 30%

• Por tefeuille : combinaison d’actifs § x 1 et x 2 : poids de chaque actif dans le portefeuille

• Objectif : trouver le por tefeuille qui minimise le r isque pour un niveau de rentabilité donné



• Por tefeuille efficient § Portefeuille qui, pour une rentabilité anticipée donnée (par exemple 12%), minimise le risque.

§ Portefeuille qui, pour un niveau de risque donné (par exemple 20%), maximise la rentabilité anticipée.

§ Portefeuille optimal au sens moyennevariance • Frontière efficiente § Ensemble des portefeuilles efficients

• Exercice : utiliser l’outil de modélisation sur www.longin.fr



• Cas : n actifs r isqués § Caractérisation de la frontière efficiente § Le portefeuille retenu par l’investisseur dépend de son aversion au risque.

• Cas : 1 actif sans r isque et n actifs r isqués § Caractérisation de la frontière efficiente § Théorème de séparation : les portefeuilles optimaux sont définis comme une combinaison de l’actif sans risque et du portefeuille tangent (portefeuille de marché).

§ Le portefeuille retenu par l’investisseur dépend de son aversion au risque.

• Exercice : utiliser l’outil de modélisation sur www.longin.fr



• Cas : 1 actif sans r isque et n actifs r isqués § Actif sans risque : µ 0 = 5% et σ 0 = 0% § Portefeuille de marché M : µ M = 10% et σ M = 25% § Portefeuille efficient P : µ P et σ P

w Combinaison linéaire de l’actif sans risque (x) et du portefeuille de marché (1x) : µ P = x∙µ 0 +(1x)∙µ M et σ P = (1x)∙σ M

w En remplaçant x par sa valeur il vient :

w Il s’agit de l’équation de la frontière efficiente.

§ Interprétation économique : plus le risque est élevé, plus la rentabilité exigée est élevée.

P M

M P σ

σ µ µ µ µ ⋅

− + = 0

0


Risque d’un actif

• Quel est le r isque associé à un actif ? § Portefeuille existant : µ P et σ P § Projet ou actif risqué : µ i et σ i

• Comment prendre en compte le r isque de cet actif au niveau du taux d’actualisation ? § Risque total de l’actif ? σ i § Contribution de l’actif au risque du portefeuille ?


Le modèle de marché (1)

• Sources de r isque § Le risque sur chaque actif a deux origines :

w Le risque systématique lié au marché : conjoncture affectant tous les actifs

w Le risque spécifique lié au titre considéré : événements propres à l’actif (action, obligation, projet, etc.)

• Modélisation § Rentabilité = Rentabilité anticipée + Erreur § Par définition, l’erreur (le résidu) correspond à l’écart entre la réalisation de la rentabilité et son anticipation.

§ Cet écart est dû à un mouvement général du marché (risque systématique) et à un mouvement propre à chaque actif (risque spécifique).



• Modélisation (suite)

• Notations

( ) i M M i i i S R R ~ ~ ~ + − ⋅ + = µ β µ

i R i actif l' de é rentabilit : ~

( ) i R E i i actif l' de é rentabilit de espérance : ~ = µ

M R M marché de le portefeuil du é rentabilit : ~

( ) M R E M marché de le portefeuil du é rentabilit de espérance : ~

marché du é rentabilit la et actif l' de é rentabilti la entre n covariatio la de intensité encore ou marché au actif l' de é rentabilit de é sensibilit

M i

M i i = β



• Raisonnons sur un por tefeuille P contenant n titres § Composition du portefeuille : x 1 , x 2 , x 3 , … x n

• Modélisation du por tefeuille P

• Notation

( ) P M M P P P S R R ~ ~ ~ + − ⋅ + = µ β µ

n n P R x R x R x R x R ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ = .... ~ 3 3 2 2 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n P R E x R E x R E x R E x R E ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ = .... ~ 3 3 2 2 1 1

n n P x x x x β β β β β ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ = .... 3 3 2 2 1 1

n n P S x S x S x S x S ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ = .... 3 3 2 2 1 1



• Diversification des n r isques spécifiques § Les aléas S 1 , S 2 , S 3 , …, S n sont des variables aléatoires centrées et indépendantes.

§ Pour un portefeuille diversifié (i.e. tous les poids x i sont petits), le risque spécifique du portefeuille disparaît. w Application de la loi des grands nombres

• Approximation pour la rentabilité d’un por tefeuille diversifié

( ) M M P P P R R µ β µ − ⋅ + ≈ ~ ~



• Analyse du r isque d’un por tefeuille diversifié

• Interprétation :

• Approximation pour le r isque d’un por tefeuille diversifié

( ) ( ) ( ) P M P P S R R ~ ~ ~ 2 2 2 2 σ σ β σ + ⋅ =

( ) P R P le portefeuil du global risque du mesure : ~ 2 σ

( ) ble) diversifia (non ue systématiq risque du mesure : ~ 2 2 M P R σ β ⋅

( ) able) (diversifi le portefeuil du spécifique risque du mesure : ~ 2 P S σ

( ) ( ) M P P R R ~ ~ 2 2 2 σ β σ ⋅ ≈



• Contr ibution d’un actif i au r isque du por tefeuille P § Décomposition du risque de l’actif i

§ Le risque spécifique de l’actif i n’apparaît pas dans le risque d’un portefeuille diversifié.

§ Seul le bêta de l’actif i apparaît dans le risque d’un portefeuille diversifié.

• La contr ibution d’un actif i au r isque du por tefeuille P est mesurée par le bêta.

( ) ( ) ( ) i M i i S R R ~ ~ ~ 2 2 2 2 σ σ β σ + ⋅ =

( ) i S ~ 2 σ



• Détermination de la pr ime de r isque de l’actif i § Décomposition de la prime de risque sur l’actif i

§ La prime de risque p i doit être proportionnelle au bêta de l’actif i qui est le seul risque non diversifiable.

§ Démonstration :

i i p r + = µ

λ β λ µ + = ⋅ + = r r M M

r M − = µ λ

( ) r p M i i − ⋅ = µ β

i i p β λ ⋅ =


Le Medaf (1)

• Terminologie § Medaf : modèle d’évaluation des actifs financiers § CAPM : capital asset pricing model

• Rentabilité anticipée de l’actif i

• Relation du Medaf ou CAPM § La rentabilité anticipée d’un actif est égale à la somme du taux sans risque et du bêta de l’actif fois la prime de risque du marché.

( ) r r M i i − ⋅ + = µ β µ


Le Medaf (2)

• Trois éléments à estimer § Le taux sans risque § La prime de risque du marché § Le bêta de l’actif

• Utilité du Medaf § Gestion d’actifs

w Construction de portefeuilles efficients

§ Décisions d’investissement w Calcul du coût du capital


Calcul du coût du capital en pratique

• Les entrepr ises utilisent le Medaf pour calculer le coût du capital.


Le beta (1)

• Définition

• Interprétation § Le beta mesure l’élasticité de l’actif par rapport au portefeuille de marché. w Si un actif a un beta de 1, alors en moyenne il varie dans les mêmes proportions que le marché.

w Un actif avec un beta inférieur à 1 (0,8 par exemple) varie moins que le marché.

w Un actif avec un beta supérieur à 1 (1,5 par exemple) amplifie les variations du marché.

w Le beta est donc aussi une mesure du risque d’un actif.

( ) ( ) var , cov M

M i i R

R R = β

i M

i i

r µ µ

µ β − −

=


Le bêta (2)

• Estimation du beta § Estimation de la régression linéaire de la rentabilité du titre i sur la rentabilité du marché M

§ Le bêta : w Coefficient de la régression linéaire associé à la rentabilité du portefeuille de marché M (variable explicative)

w Pente de la droite de la régression

( ) i M M i i i S R R ~ ~ ~ + − ⋅ + = µ β µ


Limites du Medaf

• Qu’estce que le por tefeuille de marché ? § En théorie, le portefeuille de marché contient tous les actifs : actions, obligations, matières premières, immobilier, objets d’art, capital humain, etc. w Difficulté d’observer le portefeuille de marché et donc à estimer sa rentabilité

• Qu’estce qu’un actif ? § Historique de rentabilités pour un actif de marché § Quid d’un nouveau projet d’entreprise ?

w Difficulté de simuler de TRI sous différentes conditions de marché pour calculer le bêta


Application à l’investissement

• Le taux d’actualisation doit tenir compte du r isque. § Prime de risque

• La pr ime de r isque du projet dépend du projet mais aussi du por tefeuille existant.

• Recherche d’actifs peu corrélés voir négativement corrélés avec le por tefeuille existant § Super diversificateurs

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