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Plan du cours

Mecanique des fluides geophysiques

Mahdi Ben Jelloul

Laboratoire de Physique des OceansUniversite de Bretagne Occidentale

Master 2eannee. Annee universitaire 2005–2006

Mahdi Ben Jelloul Mecanique des fluides geophysiques

Plan du cours

Plan

1 Entropie, energie interne et conservation de l’energie

2 Fluide stratifie

3 Effets combines de la rotation et de la stratification

4 Dynamique lente de grande echelle

5 Stabilite des ecoulements


Ondes internes d’inertie-graviteCas des enveloppes fluides minces

Fluides stratifies dans un referentiel tournant

1Ondes internes d’inertie-gravite1 1.1Stratification et rotation :mouvement en bloc1 1.2Ondes d’inertie-gravite2 2Cas des enveloppesfluides minces3 2.1Approximation hydrostatique3 2.2Multi-couches32.3Continuement stratifie7



Stratification et rotation : mouvement en blocOndes d’inertie-gravite

Etude dynamique la plus simple : etude lineaire que l’on saittoujours conduire.

Etat de base : etat de repos a l’equilibre hydrostatique.

u =0

v =0

w =0

∂z p =b(z)




Mouvement spatialement homogenes

Considerons tout d’abord le cas particulier les mouvementshomogenes d’un fluide stratifie au repos dans un referentieltournant selon un axe k.

Seul le champ de densite moyen admet des variations selon laprofondeur represente par b(z) mais ∂z b = N2 constant.

Equations lineaires (f = 2Ω)

∂tu − fv = 0,

∂tv + fu = 0,

∂tw − b = 0,

∂tb + w∂z b = 0,

Oscillation due a la stratification : ∂ttw + N2w = 0

Oscillation inertielles : ∂ttu + f 2u = 0 Film








∂tu − fv + ∂xp = 0,

∂tv + fu + ∂yp = 0,

∂tw + ∂zp − b = 0,

∂tb + w∂z b = 0,

∇ · u = 0.










∂tu − fv = 0,

∂tv + fu = 0,

∂tw − b = 0,

∂tb + w∂z b = 0,






Ondes internes dans un referentiel tournant

Equations lineaires :

∂tu − fv + ∂xp = 0,

∂tv + fu + ∂yp = 0,

∂tw + ∂zp − b = 0,

∂tb + wN2 = 0,

∇ · u = 0.

Dans un domaine infini homogene (N2 = cst), il est legitimechercher des solutions sous forme d’ondes planesmonochromatiques (e i(k·r−ωt)).




Equation d’onde et relation de dispersion

L’equation d’ondes s’ecrit (N2 constant) :

∂t

[(∂2

tt + N2)∇2p − (∂2tt + f 2)∂zzp

]= 0.

puis la relation de dispersion

ω2 =f 2m2 + N2k2

h

k2= N2 cos2 θ + f 2 sin2 θ

ou θ est l’angle du vecteur d’onde k avec l’horizontale.




Proprietes des ondes d’inertie-gravite

Proprietes

f ' 10−4 s−1 ≤ ω ≤ N ' 10−2 s−1.La frequence ne depend pas de la norme du vecteur d’onde.les ondes internes sont anisotropes (cone de dispersion)les ondes sont transversales i.e. k · u = 0 (car ∇ · u = 0)

Rotation vs. Stratification

ω2 =f 2m2 + N2k2

h

k2

Les deux effets ont des influences comparables pour desechelles verifiant :

m f

N k' f L

N H' 1



Approximation hydrostatiqueMulti-couchesContinuement stratifie

Limite de l’eau peu profonde

L’ocean et l’atmosphere sont des fluides

stratifies (mais N2(z) pas forcement constant) et soumis a lagravite

en referentiel tournant

en couches minces, le rapport d’aspect δ = H/L 1.




Adimensionalisation


∂tu − v + ∂xp = 0,

∂tv + u + ∂yp = 0,

∂tw + ∂zp − b = 0,

∂tb + w N2(z) = 0,

∂xu + ∂yv + ∂zw = 0.




Adimensionalisation


U

T∂tu − f Uv +

P

L∂xp = 0,

U

T∂tv + f Uu +

P

L∂yp = 0,

W

T∂tw +

P

H∂zp − Bb = 0,

B

T∂tb + N2 W w N2(z) = 0,

U

L(∂xu + ∂yv) +

W

H∂zw = 0.




Adimensionalisation


U

T∂tu − f Uv +

P

L∂xp = 0,

U

T∂tv + f Uu +

P

L∂yp = 0,

W

T∂tw +

P

H∂zp − Bb = 0,

B

T∂tb + N2 W w N2(z) = 0,

U

L(∂xu + ∂yv) +

W

H∂zw = 0. =⇒ U

L=

W

H




Adimensionalisation


U

T∂tu − f Uv +

P

L∂xp = 0, =⇒ P = f U L

U

T∂tv + f Uu +

P

L∂yp = 0,

W

T∂tw +

P

H∂zp − Bb = 0,

B

T∂tb + N2 W w N2(z) = 0,

U

L(∂xu + ∂yv) +

W

H∂zw = 0. =⇒ U

L=

W

H




Approximation hydrostatique

Apres avoir utilise UL = W

H et P = f U L :

1

f T∂tu − v + ∂xp = 0,

1

f T∂tv + u + ∂yp = 0,

W H

T f U L∂tw + ∂zp −

B H

f U Lb = 0,

B

T∂tb + N2 W w N2(z) = 0,

∂xu + ∂yv + ∂zw = 0






H et P = f U L :

1

f T∂tu − v + ∂xp = 0,

1

f T∂tv + u + ∂yp = 0,

1

f T

H2

L2∂tw + ∂zp −

B H

f U Lb = 0,

B

T∂tb + N2 W w N2(z) = 0,

∂xu + ∂yv + ∂zw = 0

ou δ = HL , B = f U L

H






H et P = f U L :

1

f T∂tu − v + ∂xp = 0,

1

f T∂tv + u + ∂yp = 0,

δ2

f T∂tw + ∂zp −

B H

f U Lb = 0,

B

T∂tb + N2 W w N2(z) = 0,

∂xu + ∂yv + ∂zw = 0


H






H et P = f U L :

1

f T∂tu − v + ∂xp = 0,

1

f T∂tv + u + ∂yp = 0,

δ2

f T∂tw + ∂zp − b = 0,

f U L

H∂tb + N2 W w N2(z) = 0,

∂xu + ∂yv + ∂zw = 0


H et Bu = N2H2

f 2L2






H et P = f U L :

1

f T∂tu − v + ∂xp = 0,

1

f T∂tv + u + ∂yp = 0,

δ2

f T∂tw + ∂zp − b = 0,

1

f T∂tb + Bu w N2(z) = 0,

∂xu + ∂yv + ∂zw = 0


H et Bu = N2H2

f 2L2






H et P = f U L :

1

f T∂tu − v + ∂xp = 0,

1

f T∂tv + u + ∂yp = 0,

δ2

f T∂tw + ∂zp − b = 0,

1

f T∂tb + Bu w N2(z) = 0,

∂xu + ∂yv + ∂zw = 0


H et Bu = N2H2

f 2L2

Pour Bu ' 1 et δ 1 : l’acceleration verticale est negligeable.




Modele bi-couches en eau peu profonde (Saint-Venant)

H2ρ2

ρ1H1

z

η2

η1

0

∂tuhi + uhi ·∇huhi + f k ∧ uhi = −∇hpi

ρi,

∂thi + ∇h · (uhihi ) = 0,

−∂zp + ρg = 0,




Gravite reduite

Integrons l’equilibre hydrostatique :

p1(z) = p0 − [ρ1gz ]zη1= p0 − ρ1gz + ρ1η1,

p2(z) = p0 − [ρ1gz ]−H1+η2η1

− [ρ2gz ]z−H1+η2

= p0 − (ρ2 − ρ1)gH1 + (ρ2 − ρ1)gη2 − ρ2gz + ρ1gη1

= p0 − ρ2g′H1 + ρ2g

′η2 − ρ2gz + ρ1gη1

ou g ′ = g ρ2−ρ1ρ2

est la gravite reduite.




Modele bi-couches en eau peu profonde : equationsnonlineaires

∂tuh1 + uh2 ·∇huh1 + f k ∧ uh1 = −∇hp1

ρ1= −g∇hη1,

∂th1 + ∇h · (uh1h1) = 0, ou h1 = (η1 + H1 − η2)

∂tuh2 + uh2 ·∇huh2 + f k ∧ uh2 = −∇hp2

ρ2= −g ′∇hη2 + g∇hη1,

∂th2 + ∇h · (uh1h2) = 0, ou h2 = (η2 + H2)




Modele bi-couches : equations lineaires

∂tuh1 + f k ∧ uh1 = −g∇hη1,

∂t(η1 − η2) + H1∇h · uh1 = 0,

∂tuh2 + f k ∧ uh2 = −g ′∇hη2 − g∇hη1,

∂tη2 + H2∇h · uh2 = 0,




Modele bi-couches : equations lineaires (2)

En passant en variables :

vorticite (verticale) : ζ = ∂xv − ∂yu,

divergence : ∇h · uh,

∂t (∇h · uh1)− f ζ1 = −g∇2hη1,

∂tζ1 + f ∇h · uh1 = 0,

∂t(η1 − η2) + H1∇h · uh1 = 0,

∂t (∇h · uh2) + f ζ2 = −ρ1

ρ2g∇2

hη1 − g ′∇2hη2,

∂tζ2 − f ∇h · uh2 = 0,

∂tη2 + H2∇h · uh2 = 0,




Modele bi-couches : equations lineaires (3)

∂t

[(∂tt + f 2

)(η2 − η1) + gH1∇2

hη1

]= 0,

∂t

[(∂tt + f 2

)η2 −

ρ1

ρ2gH2∇2

hη1 − g ′H2∇2hη2

]= 0.

En eliminant le mode vortical (ω = 0), les ondesmonochromatiques ηi = ηie

i(ωt−k·br) verifient :(−ω2 + f 2

)(η2 − η1) + gH1∇2

hη1 = 0,(−ω2 + f 2

)η2 −

ρ1

ρ2gH2∇2

hη1 − g ′H2∇2hη2 = 0.

On cherche des solution sous la forme : ω2 = f 2 + c2k2h.

On notera c2i = gHi .




Modele bi-couches : relation de dispersion

(c21 − c2)η1 + c2η2 = 0,

ρ1

ρ2c2

2 η1 + (g ′H2 − c2)η2 = 0.

Solutions non triviale si et seulement si :

c4 − c2(c21 + c2

2 ) + c21g ′H2 = 0.

Solutions de la relation de dispersion :

c2 =1

2

[(c2

1 + c22 )±

√(c2

1 + c22 )2 − 4c2

1g ′H2

].




Structure des modes

En phase

g ′ g

En opposition de phase




Cas limite g ′

g = ρ2−ρ1

ρ2 1

Solutions de la relation de dispersion :

c2 =1

2

[(c2

1 + c22 )±

√(c2

1 + c22 )2 − 4c2

1g ′H2

].

Mode barotrope

c2+ ' c2

1 + c22 = g(H1 + H2),

h1 = (η1 − η2) ' c21

c22

η2

Mode barocline

c2− '

2c21g ′H2

c21 + c2

2

= g ′H1H2

H1 + H2

.η1 ' 0, h1 = (η1 − η2) ' −η2




Rayon de deformation de Rossby

Rayon de deformation barotrope :

R+d =

√gH

f' 6000 km

ω2+ = f 2(1 + k2

hR+2d )

Rayon de deformation barocline :

R−d =

√g ′H1H2

H

f' 40 km

ω2− = f 2(1 + k2

hR−2d )




Conditions aux limites en surface libre

Condition aux limites a la surface :

w |z=η = ∂tη + uh∇h · η,p|z=η = patm et ∂zp = −ρ0g − ρ(z)g − ρ′g

=⇒ p|z=0 = ρ0gη + patm

La pression ne depend que de l’elevation a la surface.

On peut donc ecrire la conditions aux limites :

Dp

Dt= ρ0gw en z = η(x , y , t)




Equation primitives linearisees

∂tu = −∂xp + fv

∂tv = −∂yp − fu

0 = −∂zp + b

∂tb = −N2w

∂xu + ∂yv + ∂zw = 0

Conditions aux limites linearisees a la surface :

w |z=η ' w |z=0 + ∂zw |z=0η ' w |z=0 = ∂tη,

p|z=0 = gη + patm, =⇒ ∂tp = gw

A la surface :w = g−1∂tp =⇒ N−2∂tzp + g−1∂tp = 0, (z = 0)Au fond : w = −N−2∂tzp = 0, (z = −H).





0 = −∂zp + b

∂tb = −N2w


w |z=η ' w |z=0 + ∂zw |z=0η ' w |z=0 = ∂tη,


A la surface :w = g−1∂tp =⇒ N−2∂tzp + g−1∂tp = 0, (z = 0)

Au fond : w = −N−2∂tzp = 0, (z = −H).





0 = −∂zp + b

∂tb = −N2w =⇒ w = −N−2∂tb = −N−2∂t∂zp


w |z=η ' w |z=0 + ∂zw |z=0η ' w |z=0 = ∂tη,


A la surface :w = g−1∂tp =⇒ N−2∂tzp + g−1∂tp = 0, (z = 0)

Au fond : w = −N−2∂tzp = 0, (z = −H).




Equation d’onde

L’equation d’ondes s’ecrit :

∂t

[(∂2

tt + f 2)∂z(N−2∂zp) +∇2p]

= 0.

Il est possible de separer les variables horizontales et verticales etchercher des solution sous la forme :

p(z) = p0φ(z)e i(k x+l y−ω t)

L’equation d’onde devient :

∂zN−2∂zφ

φ=

k2 + l2

f 2 − ω2

Il faut trouver la structure des modes propres φ associes auxfrequences ω.




Approximation du toit rigide

L’equivalent de la gravite reduite en continuement stratifie :

g ′ = g∆ρ/ρ = −gH∂zρ/ρ0 ' N2H g

Pour des faibles gravite reduites,

g ′ = N2H g ,

on a des faibles deviations de l’interface.

Traduction en terme de conditions aux limites a la surface :

w = ∂tη ' 0 =⇒ N−2∂tzp = 0, (z = 0)




Modes propres : N2(z) quelconque

Pour N(z) donne, l’operateur ∂zN−2∂z est auto adjoint pour le

produit scalaire

〈f |g〉 =

∫ 0

−Hdz f (z) g(z)

dans l’espace des fonctions verifiant les conditions aux limites :

∂zφ = 0 en z = −H

∂zφ+ φN2/g = 0 en z = 0

L’operateur est donc diagonalisable dans une base orthonormee devecteurs propres φn(z) verifiant

∂z(N−2∂zφn) = − 1

c2n

φn = − 1

f 2R2n

φn∫ 0

−Hφn(z)φm(z) dz = δn,m




Modes propres : Cas particulier de N2 constant

La resolution dans le cas N(z) = cste nous conduit a

∂zzφn +N2

c2n

φn =⇒ φn(z) ∝ cos(N

cn(z + H))

et la relation de dispersion (issue des cond. aux lim. verticales)

tan

(HN

cn

)=

Ncn

g 1 = 0 toit rigide

avec ω(ω2 − f 2 − c2n(k2 + l2) = 0

mode barotrope c20 ∼ gH R0 ∼

√g H/f

modes baroclines n = 1, 2, . . . cn ∼ NH/(nπ), Rn ∼ NH/(fnπ)On a egalite en toit rigide




Modes propres (faible N2)




Modes propres (fort N2)


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