Entropie des semi-groupes d’isométries d’un espace Gromov ... · Le premier cas intéressant...

Entropie des semi-groupes d’isométries d’unespace Gromov-hyperbolique

Paul Mercat

Aix-Marseille Université, C.M.I., 39 rue F. Joliot Curie, 13453 Marseille,FRANCE

(e-mail: [email protected])

(Received Décembre 2013)

Résumé. Nous généralisons aux semi-groupes convexes co-compacts un très jolithéorème de Patterson-Sullivan, donnant l’égalité entre exposant critique (c’est-à-dire la vitesse exponentielle de croissance) et dimension de Hausdorff de l’ensemblelimite (c’est-à-dire la taille du plus petit fermé invariant non vide), d’un groupediscret d’isométrie d’un espace hyperbolique. Nous démontrons ce résultat dansle cadre général des semi-groupes d’isométries d’un espace Gromov-hyperboliquepropre à bord compact. Pour cela, nous introduisons une notion d’entropie, quigénéralise la notion d’exposant critique des groupes discrets, et nous montrons quecelle-ci est égale à la borne supérieure des exposants critiques des sous-semi-groupesde Schottky (c’est-à-dire les semi-groupes ayant la dynamique la plus simple). Nousobtenons ainsi plusieurs autres corollaires tels que la semi-continuité inférieure del’entropie, le fait que l’exposant critique d’un semi-groupe séparé, qui est définitcomme une limite supérieure, soit en fait une vraie limite, et enfin l’existence de« gros » sous-groupes de Schottky dans les groupes discrets d’isométries.

Table des matières

1 Introduction 131.1 Présentation de mes résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2 Organisation de l’article . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Le cadre 162.1 Espaces hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Bord d’un espace hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Action d’un semi-groupe d’isométries sur l’espace hyperbolique . . . 212.4 Action sur le bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5 Les ensembles Xγ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

arX

iv:1

602.

0780

9v1

[m

ath.

MG

] 2

5 Fe

b 20

16

Semi-groupes d’isométries d’un espace Gromov-hyperbolique 13

3 Parties contractantes de Isom(X) 29

4 Construction d’une grosse partie contractante 334.1 Construction d’une isométrie contractante . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Support d’un semi-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3 Le cas générique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4 Le cas où le support est un singleton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.5 Le cas où le support est un doublet de points . . . . . . . . . . . . . 424.6 Le cas où le semi-groupe Γ fixe un point au bord . . . . . . . . . . . 444.7 Contre-exemple quand l’ensemble limite du semi-groupe Γ est réduit

à un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5 Semi-groupes de Schottky 48

6 Dimension visuelle 526.1 Lien entre dimension visuelle et entropie . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.1.1 Mesure de Patterson-Sullivan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.2 Semi-groupes de développement β-adique . . . . . . . . . . . . . . . 58

7 Sous-groupes de Schottky 65

8 Caractérisation de l’entropie 68

9 Semi-continuité inférieure de l’entropie 699.0.1 Exemple d’application : les semi-groupes de Kenyon . . . . . 71

1. IntroductionLe premier cas intéressant de la théorie de Patterson-Sullivan, est l’étude des

sous-groupes du groupe SL(2,R). Étant donné un sous-groupe Γ de SL(2,R), ons’intéresse à une donnée dynamique, l’exposant critique, et une donnée géométrique,l’ensemble limite, qui sont définis de la façons suivante :

Définition 1.1. L’exposant critique est le réel noté δΓ, définit par

δΓ := lim supn→∞

1

2nlog(#{γ ∈ Γ| log(‖γ‖) ≤ n}).

Cela correspond à la vitesse exponentielle à laquelle croît le groupe.L’ensemble limite est la partie de R̂ := R∪{∞} notée ΛΓ, qui est le plus petit

fermé invariant non vide pour l’action de Γ sur R̂ par homographie.

Les ensembles limites de sous-groupes discrets de SL(2,R) ressemblent en généralà des ensembles de Cantor, et leur exposant critique est un nombre entre 0 et 1.

On a alors le très joli résultat suivant, qui relie cette donnée dynamique et cettedonnée géométrique, qui n’avaient à priori rien à voir.

Prepared using etds.cls

14 P. Mercat

Théorème 1.2 (Patterson-Sullivan) Si Γ est un sous-semi-groupe de type finiet non élémentaire de SL(2,R), alors on a l’égalité

dimH(ΛΓ) = δΓ.

Bien que l’énoncé ne fasse pas intervenir de géométrie hyperbolique, la preuveutilise de façon cruciale le fait que SL(2,R) agisse par isométrie sur le planhyperbolique H2

R.

Figure 1. Action du groupe SL(2,Z) sur le disque de Poincaré

1.1. Présentation de mes résultats Pour un sous-semi-groupe Γ du grouped’isométries Isom(X) d’un espace Gromov-hyperbolique X propre, nous définissonsune notion d’entropie (par analogie avec l’entropie volumique), qui généralise lanotion d’exposant critique des groupes discrets. L’entropie est une façon de mesurer« l’espace occupé » par l’orbite d’un semi-groupe dans l’espace X, tandis quel’exposant critique mesure la quantité d’éléments. L’énoncé suivant donne unecaractérisation de l’entropie qui justifie son intérêt :

Théorème 1.3. Soit X un espace Gromov-hyperbolique d’adhérence compacte, etsoit Γ un semi-groupe d’isométries de X dont l’ensemble limite contient au moinsdeux points, alors on a

supΓ′<Γ

Γ′ Schottky

δΓ′ = hΓ.

Autrement dit, l’entropie hΓ est la borne supérieure des exposants critiques dessous-semi-groupes de Schottky du semi-groupe Γ (c’est-à-dire des sous-semi-groupesayant la dynamique la plus simple (voir 5 pour une définition précise)).

Nous supposons ici que l’espace est propre et de bord compact), mais nousverrons que cette hypothèse n’est pas beaucoup plus forte que de demanderseulement la propreté de l’espace X (voir le paragraphe 2.2).



Remarque 1.4. Lorsque Γ est un groupe, si l’on remplace les semi-groupes deSchottky par des groupes de Schottky au sens classique, le résultat devient fauxd’après un théorème de P.Doyle (voir [Doy]).

Le théorème 1.3 permet d’étudier la « dimension à l’infini » du semi-groupe,puisque l’on obtient en corollaire une généralisation d’un résultat de F.Paulin (voir[Pau]) :

Corollaire 1.5. Soit X un espace Gromov-hyperbolique propre à bord compact,et soit Γ un semi-groupe d’isométries de X dont l’ensemble limite contient au moinsdeux points. Alors la dimension visuelle de l’ensemble limite radial du semi-groupeΓ est égale à l’entropie du semi-groupe :

dimvis ΛcΓ = hΓ.

La dimension visuelle dimvis est une généralisation naturelle de la dimension deHausdorff au bord d’un espace hyperbolique. Et l’ensemble limite radial ΛcΓ (appeléaussi ensemble limite conique) du semi-groupe Γ est l’ensemble des points ξ du bordqui sont limite d’une quasi-géodésique de l’orbite Γo.

Ceci nous permet de calculer la dimension de Hausdorff de certains ensembleauto-similaires pour lesquels on ne savait pas encore faire à ma connaissance :

Corollaire 1.6. Si β est un nombre de Salem et si Γ est le sous-semi-groupe dugroupe affine de C engendré par les applications

x 7→ x

β+ t

où t ∈ A pour A une partie finie de Q(β), alors on a l’égalité

dimH(ΛΓ) = δΓ.

Le résultat était connu pour un nombre de Pisot, mais semble nouveau pourun nombre de Salem. Une telle égalité est toujours à l’état de conjecture pour lessemi-groupes de Kenyon (voir sections 6.2 et 9.0.1).

Voici d’autres corollaires du théorème 1.3 :

Corollaire 1.7. Soit X un espace Gromov-hyperbolique propre à bord compact etsoit Γ un semi-groupe discret d’isométries de X dont l’ensemble limite contient aumoins deux points. La limite supérieure dans la définition de l’exposant critique dusemi-groupe Γ est une vraie limite :

δΓ = limn→∞

1

nlog(#{γ ∈ Γ|d(o, γo) ≤ n}).

Corollaire 1.8. L’entropie est semi-continue inférieurement en les semi-groupesdont l’ensemble limite contient au moins deux points.

Voir corollaire 9.5 pour un énoncé plus précis. Ce résultat généralise celui quedonne F. Paulin à la fin de son article [Pau], puisque l’on ne fait ni l’hypothèse quele semi-groupe soit un groupe, ni qu’il soit discret, ni qu’il soit de type fini, ni que


16 P. Mercat

l’espace soit géodésique ou quasi-géodésique, et cela fonctionne aussi bien pour laconvergence algébrique que pour la convergence géométrique.

Nos résultats sur les semi-groupes permettent d’obtenir un résultat sur lesgroupes :

Corollaire 1.9. Soit X un espace Gromov-hyperbolique propre à bord compact,et soit Γ un groupe discret et sans torsion d’isométries de X ne fixant pas de pointau bord, alors on a

supΓ′<Γ

Γ′ Schottky

δΓ′ ≥1

2δΓ,

où la borne supérieure est prise sur l’ensemble des sous-groupes de Schottky dugroupe Γ.

1.2. Organisation de l’article Dans la section 2, nous donnons les définitions etoutils qui serviront dans la suite. La section 3 est consacrée à définir et donnerdes propriétés sur les semi-groupes contractants. On y démontre par exemple quel’ensemble limite d’un semi-groupe contractant de type fini est toujours radial.On construit dans la section 4 une grosse partie contractante d’un semi-grouped’isométries. C’est l’étape principale pour démontrer le théorème 1.3. Dans lasection 5, on définit ce qu’est un semi-groupe de Schottky, et l’on démontrel’existence de gros sous-semi-groupes de Schottky. Cela permettra d’avoir unepreuve du théorème 1.3. Les sections 6 à 9 sont consacrées à des corollaires duthéorème. Dans la première, nous obtenons une généralisation d’un résultat de F.Paulin (corollaire 1.5, voir section 6.1), que nous appliquons à l’étude des semi-groupes de développement en base β (voir section 6.2). Dans la deuxième, nousvoyons un résultat sur les sous-groupes de Schottky d’un groupe discret (corollaire1.9, voir section 7). Nous montrons ensuite dans la section 8 que l’exposant critiqueest une vraie limite. Et pour finir nous montrons la semi-continuité inférieure del’entropie des semi-groupes (corollaire 1.8, voir section 9).

2. Le cadreNous définissons ici les objets que nous manipulerons dans tout l’article, en

commençant par les espaces Gromov-hyperboliques et leur bord. Nous verrons enparticulier la définition et des propriétés de l’entropie.

On notera d(x, y) la distance entre deux point x, y ∈ X d’un espace métrique X.

2.1. Espaces hyperboliques Étant donné un espace métrique, on peut définir leproduit de Gromov, qui permet de mesurer le défaut d’égalité triangulaire de troispoints x, y et o :

Définition 2.1. Soit X un espace métrique de point base o. On appelle produitde Gromov de deux points x, y ∈ X le réel

(x|y) :=1

2(d(x, o) + d(y, o)− d(x, y)) .



On peut alors définir la Gromov-hyperbolicité :

Définition 2.2. On dit qu’un espace X est δ-hyperbolique pour un réel δ ≥ 0,si c’est un espace métrique vérifiant l’inégalité

(x|z) ≥ min{(x|y), (y|z)} − δ

pour tous x, y et z ∈ X.On dit qu’un espace X est Gromov-hyperbolique s’il existe un réel δ tel que

l’espace X est δ-hyperbolique.

Un espace Gromov-hyperbolique est un espace qui ressemble, vu de loin, àun arbre. Les arbres sont d’ailleurs des espaces 0-hyperboliques. Dans un espacehyperbolique, un grand produit de Gromov caractérise des points qui sont « prochesvus de o ».

Définissons l’exposant critique. Il s’agit de la vitesse exponentielle de croissanced’une partie de X.

Définition 2.3. On appelle exposant critique d’une partie P ⊂ X d’un espacemétrique X de point base o, le réel (éventuellement infini)

δP := lim supn→∞

1

nlog(#(B(o, n) ∩ P )).

Par inégalité triangulaire, l’exposant critique ne dépend pas du point o choisi.

Remarque 2.4. On peut aussi considérer seulement les éléments d’un anneau. Ona

δP = lim supn→∞

1

nlog(#((B(o, n+ 1)\B(o, n)) ∩ P ))

si P est une partie non bornée.

On va maintenant définir l’entropie de n’importe quelle partie P de X. Celacorrespond à la vitesse exponentielle de croissance du point de vue de l’espaceoccupé, et non plus du point de vu du comptage comme pour l’exposant critique.

Définition 2.5. Soit X un espace métrique. On dit qu’une partie P ⊆ X estséparée s’il existe un réel ε > 0 tel que la partie P soit ε-séparée, c’est-à-dire telque

d(x, y) > ε

pour tous x 6= y ∈ P .On dit qu’une partie P ⊆ X est une partie couvrante de Y ⊆ X s’il existe unréel ε > 0 telle que la partie soit ε-couvrante de Y , c’est-à-dire telle que pour touty ∈ Y , il existe x ∈ P tel que

d(x, y) ≤ ε.

Définition 2.6. On appelle entropie d’une partie P ⊆ X d’un espace métriqueX, le réel (éventuellement infini)

hP := supSδP∩S ,


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où la borne supérieure est prise sur les parties S séparées de X.On pose h∅ = 0 par convention.

La remarque suivante justifie le nom d’« entropie » :

Remarque 2.7. Quand X = HnR, l’entropie d’une partie P ⊆ X est égale àl’entropie volumique de l’ensemble {x ∈ X|d(x, P ) ≤ 1}.

Idée de preuve — On peut trouver une partie S ε-séparée et r-couvrante dela partie P pour un réel 1 > ε > 0 assez petit et un réel r assez grand (voir 2.30),et on peut montrer que son exposant critique est alors égale à l’entropie de P . Soito un point de X = HnR. On a les inégalités

vol(B(o, ε)) ·#B∩S = vol(⋃

x∈S∩BB(x, ε)) ≤ vol(B(o, n+ε)∩{x ∈ X|d(x, P ) ≤ 1}),

vol(B(o, n) ∩ {x ∈ X|d(x, P ) ≤ 1}) ≤ vol(⋃

x∈S∩B(o,n+1+r)

B(x, r + 1))

≤ vol(o, r + 1) ·#B(o, n+ 1 + r) ∩ S.

En passant à la limite après avoir pris le log et divisé par n, on obtient le résultatannoncé. �

Exemple 2.8. Dans l’espace X = H2R muni de la métrique usuelle, l’entropie de

H2R vaut 1 et l’entropie d’une horoboule vaut 1

2 .

Voici quelques propriétés de l’entropie.

Propriétés 2.9. Propriétés de l’entropieSoit une partie A ⊆ X d’un espace métrique X de point base o.1. L’entropie ne dépend pas du point base o ∈ X choisi.2. On a l’inégalité hA ≤ δA.3. Si la partie A est séparée, alors on a l’égalité hA = δA.4. L’entropie est croissante : si A ⊆ B ⊆ X, alors on a

hA ≤ hB ≤ hX .

Preuve —1. Cela découle du fait que l’exposant critique ne dépende pas du point base o

choisi, ce qui découle de l’inégalité triangulaire.2. Pour toute partie séparée S, on a δA∩S ≤ δA. D’où le résultat en passant à la

borne supérieure.3. Si la partie A est séparée, on a hA = supS δA∩S ≥ δA∩A = δA.4. Pour toute partie séparée S on a A ∩ S ⊆ B ∩ S, donc δA∩S ≤ δB∩S . D’où le

résultat en passant à la borne supérieure.�

Définition 2.10. On dit qu’un espace métrique X est propre si ses boules ferméessont compactes.



2.2. Bord d’un espace hyperbolique Nous allons voir qu’à chaque espacehyperbolique on peut ajouter un bord sur lequel le produit de Gromov s’étendnaturellement. L’espace hyperbolique muni de son bord est en quelque sorte une« compactification », puisque nous verrons que cette union est compacte si l’espaceest propre et vérifie une propriété supplémentaire.

Soit X un espace Gromov-hyperbolique.

Définition 2.11. On dit qu’une suite (xi) ∈ XN est convergente si l’on a

limi,j→∞

(xi|xj) =∞.

On définit le bord ∂A d’une partie A l’espace hyperbolique X comme quotient del’ensemble des suites convergentes

∂A := {(xi) ∈ AN| limi,j→∞

(xi|xj) =∞}/∼

par la relation d’équivalence ∼ définie par

(xi)i∈N ∼ (yj)j∈N si limi,j→∞

(xi|yj) =∞.

Remarque 2.12. Si l’on n’avait pas supposé l’espace X Gromov-hyperbolique, larelation ∼ définie ci-dessus ne serait pas nécessairement transitive. Par exempleelle ne l’est pas pour X = R2.

Définition 2.13. On appelle adhérence de Gromov d’une partie A ⊆ X ∪ ∂Xl’ensemble

A := Adh (A)∪∂A,

où Adh (A) est l’adhérence de A dans X.

Remarque 2.14. 1. Le groupe Isom(X) agit naturellement sur le bord ∂X.2. Le produit de Gromov s’étend naturellement à l’adhérence de Gromov :

(ξ|η) := supxi→ξyj→η

lim infi,j→∞

(xi|yj),

pour ξ, η ∈ X.3. Un espace métrique X est propre à bord compact si et seulement si l’adhérence

X est compacte.

Le premier point ci-dessus permet de généraliser la notion de suite convergentesà toute suite de X. Cela définit la topologie que l’on considère sur l’espace X. Voiraussi dans la partie « Compacité de l’adhérence »ci-dessous pour une caractérisationde la topologie de l’adhérence de Gromov de X.

Définition 2.15. Soit X un espace métrique. Étant donné un réel C > 0, on ditque deux parties A et B de X sont C-disjointes si elles sont d’adhérence dans Xdisjointes et que l’on a

sup(a,b)∈A×B

(a|b) < C.


20 P. Mercat

On dit que les parties A et B sont Gromov-disjointes s’il existe une constanteC > 0 telle que les parties A et B sont C-disjointes. Ces notions se généralisent defaçon claire à des partie de l’espace X quand l’espace X est Gromov-hyperbolique.

Remarque 2.16. Si l’espace X est propre et à bord compact, alors des parties Aet B de X sont Gromov-disjointes si et seulement si leur adhérences de Gromov Aet B sont disjointes, mais ceci est faux en général.

Dire que deux partie A et B sont Gromov-disjointes revient à dire qu’elles sontdisjointes en tant qu’ensembles, et « disjointes en l’infini vues du point base o ».Cette notion permettra de définir ce qu’est un semi-groupe contractant (voir 3) etce qu’est un semi-groupe de Schottky (voir 5).

Compacité de l’adhérence Nous aurons besoin de la compacité de l’adhérence Xpour contrôler la façon dont l’entropie part à l’infini (voir la sous-section 4.2).

On muni l’adhérence de Gromov X d’un espace Gromov-hyperbolique X, de labase de voisinages formée des boules ouvertes B(x, r) de X et des boules

β(ξ, r) := {x ∈ X|(x|ξ) > − log(r)},

pour les points ξ ∈ ∂X. Cela définit bien la même topologie que celle donnée parles suites convergentes.

Voici une condition sur l’espace X qui sert à avoir la compacité de l’adhérence :

Définition 2.17. Soit X un espace métrique de point base o. On dit que l’espaceX est C-étoilé si pour tout point x ∈ X, il existe une C-géodésique de o à x,c’est-à-dire une suite finie (xk)nk=1 d’éléments de X telle que x0 = o, xn = x,

d(xk, xk+1) ≤ C,

d(xi, xj) ≤ |d(o, xi)− d(o, xj)|+ C,

pour tous 0 ≤ k ≤ n− 1 et 0 ≤ i, j ≤ n.

Remarque 2.18. Un espace géodésique est C-étoilé pour tout C > 0.

Exemple 2.19. Zn muni de la métrique euclidienne est√n-étoilé.

Dans cet exemple, il suffit de considérer les points xi de Zn qui sont à distanceinférieure ou égale à

√n/2 du segment [o, x] dans Rn.

Proposition 2.20. Soit X un espace Gromov-hyperbolique, propre, et C-étoilé,alors son adhérence de Gromov X est compacte.

Preuve — Il suffit de suivre la preuve du lemme 7.3 dans [Hol]. �

Exemple 2.21. L’ensemble N× [0,∞[ muni de la métrique{d((i, x), (j, y)) = i+ j + x+ y si i 6= j

d((i, x), (i, y)) = |x− y|

est Gromov-hyperbolique, propre, et d’adhérence non compacte (voir figure 2).



Figure 2. Exemple d’espace Gromov-hyperbolique propre dont l’adhérence n’est pas compacte.

12

34

5

Sur la figure ci-dessus, les arêtes grises ne font pas parties de l’espace et indiquentdes distances.

2.3. Action d’un semi-groupe d’isométries sur l’espace hyperbolique Étant donnéun ensemble d’isométries d’un espace métrique X, on définit son exposant critique,respectivement son entropie, qui correspondent aux vitesses auxquelles croît l’orbited’un point sous l’action de l’ensemble d’isométries, d’un point de vue de comptage,respectivement d’un point de vue de l’espace occupé.

Figure 3. Action du groupe SL(2,Z) sur le demi-plan de Poincaré H2R

Soit X un espace métrique de point base o.

Définition 2.22. On appelle exposant critique d’une partie A ⊂ Isom(X),l’exposant critique de l’orbite Ao ⊆ X :

δA := δAo.

Définition 2.23. On dit qu’une partie A ⊆ Isom(X) est séparée (respectivementε-séparée) si l’orbite Ao ⊆ X est séparée (respectivement ε-séparée), et si pourtoutes les isométries γ 6= γ′ ∈ A, on a γo 6= γ′o.


22 P. Mercat

Remarque 2.24. En général, l’exposant critique dépend du point o choisi (parexemple pour un groupe elliptique dense), mais l’exposant critique d’une partieséparée de Isom(X) n’en dépend pas.

Remarque 2.25. Si une partie A ⊆ Isom(X) est séparée et que l’orbite A.o estinfinie, alors l’exposant critique de la partie A est aussi l’exposant critique de lasérie de Poincaré Ps de A :

Ps :=∑γ∈A

e−sd(o,γo).

C’est-à-dire que la série diverge pour s < δA et converge pour s > δA. Voir [Me]pour plus de détails.

Définition 2.26. On dit qu’une partie A ⊆ Isom(X) est une partie couvrante(respectivement ε-couvrante) de B ⊆ Isom(X) si l’orbite Ao ⊆ X est une partiecouvrante (respectivement ε-couvrante) de Bo.

Définition 2.27. On appelle entropie d’une partie A ⊆ Isom(X) l’entropie del’orbite Ao ⊆ X :

hA := hAo.

Remarque 2.28. Quand X = HnR, l’entropie d’une partie A ⊆ Isom(X) est égaleà l’entropie volumique de l’orbite AB(o, 1) d’une boule B(o, 1).

Voici quelques propriétés de l’entropie.

Propriétés 2.29. Propriétés de l’entropieSoit X un espace métrique de point base o, et soit une partie A ⊆ Isom(X). On ales propriétés :1. L’entropie ne dépend pas du point base o choisi.2. On a l’inégalité hA ≤ δA.3. Si la partie Ao est séparée, alors on a l’égalité hA = δA.

Ceci est en particulier le cas si A est un groupe discret.4. L’entropie est croissante : si A ⊆ B ⊆ Isom(X), alors on a

hA ≤ hB ≤ hIsom(X).

5. Si l’espace X est propre, alors pour toute partie S couvrante de A, on al’inégalité hS ≥ hA.

6. Si A, B et C sont des parties de Isom(X) telles que l’on ait A ⊆ B ∪C, alorson a hA ≤ max{hB , hC}.

7. Pour toute isométrie γ ∈ Isom(X), on a hγA = hA = hAγ .8. Si l’espace X est propre, alors en posant A>n := {γ ∈ A|d(o, γo) > n}, on a

hA>n = hA.

Remarque 2.30. Pour toute partie Y ⊆ X d’un espace métrique X, il existe unepartie S ε-séparée et 2ε-couvrante de Y . Ainsi, quand l’espace X est propre, pourcalculer l’entropie d’une partie A de Isom(X), on est ramené à calculer l’exposantcritique d’une partie séparée de A.



Preuve — Les points 2, 3 et 4 sont évidents à partir des propriétés 2.9. Le point1 découle du fait que l’exposant critique d’une partie séparée ne dépende pas dupoint base o choisi.

Montrons le point 5. Soit S une partie couvrante de A et soit S′ une partieséparée de A. Montrons que l’on a δS′ ≤ δS .

Cela va découler du lemme suivant.

Lemme 2.31. Soit X un espace métrique propre de point base o, et Y ⊆ Isom(X)

une partie du groupe d’isométries. Alors, pour tous réels r > 0 et r′ > 0, il existeune constante Cr,r′ telle que pour toute partie r-couvrante S de Y , pour toute partier′-séparée S′ de Y , et pour toute partie Z de Y , on ait l’inégalité

#S′o ∩ Z ≤ Cr,r′#So ∩ Zr,

où Zr := {x ∈ X|∃y ∈ Z : d(x, y) ≤ r} est le r-voisinage fermé de Z.

Preuve —Soit S′′ une partie r′-couvrante et séparée de la boule B(o, r + r′). Posons

Cr,r′ := #S′′ son cardinal, qui est fini par propreté.Pour toute partie r′-séparée S′ de X on a alors

#B(o, r) ∩ S′ ≤ #S′′ = Cr,r′ .

Et comme pour toute isométrie γ ∈ Y , la partie γ−1S′ est encore r′-séparée, on aaussi

#B(γo, r) ∩ S′ = #B(o, r) ∩ γ−1S′ ≤ Cr,r′ .

On a donc, pour toute partie S r-couvrante de Y , et S′ partie r′-séparée de Y ,

#Z ∩ S′o = #Z ∩⋃γ∈S

B(γo, r) ∩ S′o ≤ Cr,r′#Zr ∩ So.

�D’après le lemme ci-dessus, il existe une constante C telle que

#(B(o, n) ∩ S′o) ≤ C ·#(B(o, n+ C) ∩ So).

Ainsi, on a δS′ ≤ δS en passant à la limite. On obtient alors l’inégalité souhaitéehA ≤ δS en passant à la borne supérieure sur les parties séparées S′ de A.

Montrons maintenant le point 6. Si S est une partie séparée de A, alors on a∑γ∈A∩S

e−sd(o,γo) ≤∑

γ∈B∩Se−sd(o,γo) +

∑γ∈C∩S

e−sd(o,γo),

pour tout réel s. Donc

max{∑

γ∈B∩Se−sd(o,γo),

∑γ∈C∩S

e−sd(o,γo)} =∞,

dès que∑γ∈A∩S e

−sd(o,γo) =∞, et donc max{hB , hC} ≥ hA.Montrons le point 7. Soit γ0 ∈ Isom(X), et soit S une partie r-séparée et

couvrante de A, pour un réel r > d(o, γo). Pour tout γ ∈ A, l’inégalité triangulaire


24 P. Mercat

donne d(o, γγ0o) ≤ d(o, γo) + d(o, γ0o). Ainsi la partie Sγ0 est encore une partieséparée et couvrante de Aγ0, et on a

#{γ ∈ A ∩ S|d(o, γo) ≤ n} ≤ #{γ′ ∈ (A ∩ S)γ0| d(o, γ′o) ≤ n+ d(o, γ0o)},

d’où

hA = δA∩S

= lim supn→∞

1

nlog (#{γ ∈ A ∩ S| d(o, γo) ≤ n})

≤ lim supn→∞

1

nlog (#{γ ∈ (A ∩ S)γ0| d(o, γo) ≤ n+ d(o, γ0o)})

= lim supn→∞

1

n+ d(o, γ0o)log (#{γ ∈ (A ∩ S)γ0| d(o, γo) ≤ n+ d(o, γ0o)})

= δAγ0∩Sγ0

= hAγ0.

L’autre inégalité hAγ0≤ hA s’obtient par symétrie, en remplaçant l’élément γ0 par

γ−10 et la partie A par Aγ0. L’égalité hγA = hA s’obtient de la même façon.Le point 8 s’obtient en remarquant que la partie Γ\Γ>no est bornée et que donc

son intersection avec toute partie séparée est finie par propreté. �

Voici un exemple de semi-groupe d’exposant critique strictement supérieur àson entropie à cause d’un phénomène de chevauchements qui n’existe pas pour lesgroupes.

Figure 4. Orbite d’un point sous l’action du semi-groupe de l’exemple 2.32 dans le disque dePoincaré.

Exemple 2.32. Le sous-semi-groupe de SL(2,R) engendré par les matrices(√2π 0

0√

π2

)et

(√2π 1

0√

π2

)et agissant sur le disque de Poincaré D, a pour

exposant critique δ = log(2)log(π/2) > 1 et a pour entropie 1. En particulier il n’est pas

séparé.



L’exposant critique du semi-groupe l’exemple ci-dessus s’obtient facilementpuisque le semi-groupe est libre, et parce-que c’est un semi-groupe dedéveloppement β-adique, ce qui permet d’avoir que la norme d’un élément estcomparable à sa longueur en les générateurs :

δΓ = lim supn→∞

1

nlog(#{γ ∈ Γ|d(o, γo) ≤ n})

= lim supn→∞

1

n log(π/2)log(#{γ ∈ Γ de longueur n})

=log(2)

log(π/2).

Le fait que l’entropie vaille 1 (le maximum pour un semi-groupe d’isométries deD) découle du théorème 1.5, parce-qu’il est facile de montrer que l’ensemble limitede ce semi-groupe est un segment de longueur non nulle (vu dans R), et parce-quel’ensemble limite radial est égal à l’ensemble limite tout entier par la proposition 3.9,puisque le semi-groupe est contractant et de type fini.

2.4. Action sur le bord Les isométries d’un espace X Gromov-hyperboliqueagissent naturellement sur le bord ∂X. Pour étudier cette action sur le bord,commençons par définir l’ensemble limite du semi-groupe.

Définition 2.33. Soit X un espace Gromov-hyperbolique de point base o, et soitΓ un semi-groupe d’isométries de X. On appelle ensemble limite du semi-groupeΓ, et on note ΛΓ le bord de l’orbite Γo : ΛΓ := ∂(Γo).

Remarque 2.34. L’ensemble limite ne dépend pas du point base o choisi.

On va maintenant définir une partie de l’ensemble limite appelée ensemble limiteradial, dont on saura mieux contrôler la dimension visuelle.

Définition 2.35. On dit qu’une partie A ⊆ X d’un espace métrique X est unesous-quasi-géodésique s’il existe une constante C telle que l’on ait

d(x, y) + d(y, z) ≤ d(x, z) + C

pour tous x, y et z dans A tels que max{d(x, y), d(y, z)} ≤ d(x, z).

Remarque 2.36. Si l’espace X est géodésique, alors dire qu’une partie A est unesous-quasi-géodésique revient à dire qu’il existe une géodésique dont tout point deA est à distance bornée.

Définition 2.37. Soit X un espace Gromov-hyperbolique de point base o et Γ unsemi-groupe d’isométries de X. On appelle ensemble limite radial (ou ensemblelimite conique) du semi-groupe Γ, et on note ΛcΓ l’ensemble :

ΛcΓ := {(xi) ∈ (Γo)N| limi,j→∞

(xi|xj) =∞ et {xi}i∈N est une sous-quasi-géodésique}/∼ ⊆ ΛΓ,

où ∼ est la relation d’équivalence vue dans la définition du bord d’un espace Gromov-hyperbolique.


26 P. Mercat

Remarque 2.38. L’ensemble limite radial est une partie de l’ensemble limite quine dépend pas non plus du point base o choisi.

Remarque 2.39. Si Γ est un semi-groupe de type fini d’isométries d’un espaceGromov-hyperbolique, alors son ensemble limite est auto-similaire :

ΛΓ =⋃

g générateur

gΛΓ.

Preuve — On a clairement l’inclusion⋃g générateur gΛΓ ⊆ ΛΓ. Montrons l’autre

inclusion. Soit ξ ∈ ΛΓ et soit (γn)n∈N ∈ ΓN une suite d’éléments de Γ telle que l’onait

limn→∞

γno = ξ.

(Ceci est une notation qui signifie limn→∞(γno|ξ) =∞.)Comme le semi-groupe Γ est de type fini, il existe un générateur g tel que l’on aitune sous-suite (γφ(n)) ∈ (gΓ)N. On a alors ξ = limn→∞ γφ(n)o ∈ ΛgΓ = gΛΓ. �

2.5. Les ensembles Xγ On va associer à chaque isométrie γ d’un espace métriqueX, une partie Xγ de l’espace X qui correspond à un domaine dans lequel l’élémentγ contracte. Ceci nous servira dans toute la suite.

Définition 2.40. Soit X un espace métrique. Pour γ ∈ Isom(X), on définit undomaine Xγ ⊆ X par

Xγ := {x ∈ X|(x|γo) ≥ 1

2d(o, γo)}.

Figure 5. Xγ

o

γo

Xγ

Remarque 2.41. L’inégalité (x|γo) ≥ 12d(o, γo) est équivalente à

d(x, γo) ≤ d(x, o).

Les éléments de Xγ sont donc les points de X qui sont plus près de γo que de o.



Le lemme suivant indique que l’ensemble Xγ est un domaine dans lequel γcontracte, et qu’il est de taille petite vue de o quand l’élément γ est de grandenorme.

Lemme 2.42. Soit X un espace métrique. Pour tout γ ∈ Isom(X), on a1. γ(X\Xγ−1) ⊆ Xγ ,2. Si l’espace X est δ-hyperbolique de point base o, alors pour tout (x, y) ∈ (Xγ)2,

on a(x|y) ≥ 1

2d(o, γo)− δ.

Preuve —1. On a

x ∈ X\Xγ−1 ⇔ d(x, γ−1o) > d(x, o) par la remarque 2.41,

⇔ d(γx, o) > d(γx, γo) parce-que γ est une isométrie

⇒ γx ∈ Xγ .

2. Soient x et y dans Xγ . Par δ-hyperbolicité, on a

(x|y) ≥ min{(x|γo), (y|γo)} − δ.

Or, par définition de Xγ on a pour tout x dans Xγ

(x|γo) ≥ 1

2d(o, γo),

d’où le résultat.�

Définition 2.43. On dit qu’une isométrie γ ∈ Isom(X) d’un espace métrique Xest contractante si les domaines Xγ et X−1

γ sont Gromov-disjoints.

Figure 6. Une isométrie contractante.

o

γo

γ−1o

Xγ

Xγ−1

Remarque 2.44. Si une isométrie γ est contractante, alors la partie γ−1Xγ\Xγ

est un domaine fondamental pour l’élément γ.


28 P. Mercat

Voici un critère de contraction.

Lemme 2.45 (Critère de contraction) Soit X un espace δ-hyperbolique depoint base o, et γ une isométrie de X. S’il existe deux points x et x′ dans Xγ∪Xγ−1 ,tels que

(x|x′) < 1

2d(o, γo)− 3δ,

alors l’isométrie γ est contractante.

Preuve — Par contraposée, supposons que l’isométrie γ n’est pas contractante.Les ensembles Xγ et Xγ−1 ne sont alors pas Gromov-disjoints. Soit alors y ∈ Xγ−1

et y′ ∈ Xγ tels que (y|y′) ≥ 12d(o, γo)− δ.

Soient aussi x et x′ deux points de l’union Xγ ∪ Xγ−1 . Si les points x et x′

étaient tous les deux dans Xγ ou tous les deux dans Xγ−1 , on aurait l’inégalité(x|x′) ≥ 1

2d(o, γo) − δ par le lemme 2.42. On peut donc supposer que l’on a parexemple x ∈ Xγ−1 et x′ ∈ Xγ . Par δ-hyperbolicité et par le lemme 2.42, on a alors

(x|x′) ≥ min{(x|y), (y|y′), (y′|x′)} − 2δ ≥ 1

2d(o, γo)− 3δ.

�Voici une propriété des isométries contractantes.

Lemme 2.46. Soit X un espace métrique propre, et soit h ∈ Isom(X) une isométriecontractante. Alors on a

limn→∞

d(o, hno) =∞.

De plus, si l’espace X est δ-hyperbolique, alors il existe un entier n0 tel que pourtout n ≥ n0, les parties Xhn et Xh−n soient (M + 2δ)-disjointes, où M :=

sup(x,x′)∈Xh×Xh−1(x|x′).

Preuve — Montrons que l’on a limn→∞ d(o, hno) = ∞. Pour cela, choisissonsun réel ε > 0 tel que l’on ait

B(o, ε) ⊆ X\(Xh ∪Xh−1).

Cela est possible puisque la partie X\(Xh ∪Xh−1) est ouverte et contient o.Pour tous entiers n 6= m ∈ Z, les boules hnB(o, ε) et hmB(o, ε) sont disjointes.

En effet, quitte à tout composer à gauche par h−m, on se ramène à m = 0. On aalors B(hno, ε) = hnB(o, ε) ⊆ Xh ∪ Xh−1 . Ainsi, l’orbite (hno)n∈Z est une partieε-séparée de X. Par propreté, on a donc bien limn→∞ d(o, hno) =∞.

Montrons que les parties Xhn et Xh−n sont (M + 2δ)-disjointes. Par δ-hyperbolicité, pour x ∈ Xhn et x′ ∈ Xh−n , on a

(hno|h−no) ≥ min{(hno|x), (x|x′), (x′, h−no)} − 2δ.

Or, on a hno ∈ Xh et h−no ∈ Xh−1 , donc on a (hno|h−no) ≤M . D’autre part, pardéfinition de Xhn , on a (x|hno) ≥ 1

2d(o, hno) et de même (x′|h−no) ≥ 12d(o, hno).

Comme on a limn→∞ d(o, hno) =∞, quitte à choisir n assez grand on a

d(o, hno) > 2M + 6δ.



On obtient donc l’inégalité (x|x′) ≤ M + 2δ. Les ensembles Xhn et Xh−n sontalors disjoints, puisque sinon on aurait pour y ∈ Xhn ∩ Xh−n , par le lemme 2.42,l’absurdité

M + 2δ <1

2d(o, hno)− δ ≤ (y|y) ≤M + 2δ.

�

3. Parties contractantes de Isom(X)Nous voyons ici la définition et des propriétés des parties contractantes. Il s’agit

d’ensemble d’isométries qui contractent toutes dans la même direction, de façoncontrôlée. Cette propriété est très pratique, puisqu’elle est stable par produit, etpermet de contrôler la vitesse à laquelle les produits d’isométries tendent versl’infini. Cela permet par exemple de garantir que l’ensemble limite d’un semi-groupede type fini qui a cette propriété est radial (proposition 3.9).

Définition 3.1. Soit X un espace métrique de point base o. On dit qu’une partieA ⊆ Isom(X) est contractante s’il existe deux domaines Gromov-disjoints X− etX+ de X tels que l’on ait A(X\X−) ⊆ X+, et que l’on ait o ∈ X\

(X+ ∪X−

).

Cette définition dépend à priori du point base o choisi.

Figure 7. Un semi-groupe contractant.

X−

X+

Dans cette partie, nous donnons quelques résultats sur les parties contractantesqui nous seront utiles par la suite.

Voici quelques propriétés simples des parties contractantes.

Propriétés 3.2. Propriétés des parties contractantesSoit X un espace métrique.1. Si γ est une isométrie contractante, alors le singleton {γ} est contractant.2. Si une partie A ⊆ Isom(X) est contractante, alors le semi-groupe engendré

(c’est-à-dire l’ensemble des produits non vides d’éléments de A) l’est aussi.


30 P. Mercat

3. Si une partie A ⊆ Isom(X) est contractante, alors l’inverse A−1 := {γ−1|γ ∈A} l’est aussi.

Preuve —1. Il suffit de prendre X− := Xγ−1 et X+ := Xγ .2. Si γ et γ′ sont deux éléments d’une partie contractante A, alors on a

γγ′(X\X−) ⊆ γ(X+) ⊆ γ(X\X−) ⊆ X+.

3. Si A est une partie contractante pour des domaines X+ et X−, alors la partieA−1 est contractante pour les domainesX− etX+ respectivement. En effet, ona pour tout γ ∈ A, l’inclusion γ−1(X\X+) ⊆ X−, qui se déduit de l’inclusionγ(X\X−) ⊆ X+ par contraposée.

�

Remarque 3.3. La réciproque du point 1 est fausse : une isométrie γ telle quel’ensemble {γ} est contractant n’est pas nécessairement contractante.

Voici un critère de contraction.

Proposition 3.4 (Critère de contraction) Soit X un espace δ-hyperboliquede point base o, et soit une partie A ⊆ Isom(X) telle que l’on ait

supγ,γ′∈A

(γ−1o|γ′o) < 1

2infγ∈A

d(o, γo)− 3δ.

Alors la partie A est contractante.

Preuve — Montrons que les domaines

X+ :=⋃γ∈A

Xγ et X− :=⋃γ∈A

Xγ−1

conviennent.On a déjà bien pour toute isométrie γ ∈ A, l’inclusion

γ(X\X−) ⊆ γ(X\Xγ−1) ⊆ Xγ ⊆ X+.

Montrons maintenant que les domaines X+ et X− sont Gromov-disjoints. Soientx ∈ X− et x′ ∈ X+. Il existe alors deux isométries γ et γ′ de X tels que l’on aitx ∈ Xγ−1 et x′ ∈ Xγ′ . On a ensuite, par δ-hyperbolicité,

M ≥ (γ−1o|γ′o) ≥ min{(γ−1o|x), (x|x′), (x′|γ′o)} − 2δ,

où M := supγ,γ′∈A(γ−1o|γ′o).Or, on a (γ−1o|x) ≥ 1

2d(o, γo) et (γ′o|x′) ≥ 12d(o, γ′o) par définition de Xγ−1 et

Xγ′ . De plus, on a M < 12d(o, γo) − 3δ et M < 1

2d(o, γ′o) − 3δ par hypothèse. Onen déduit que l’on a

M ≥ (x|x′)− 2δ.

Pour vérifier que les domaines X+ et X− sont bien Gromov-disjoints, il ne restedonc plus qu’à montrer qu’ils sont d’adhérences dans X disjointes. On a



inf(x,x′)∈X−×X+

d(x, x′) = inf(x,x′)∈X−×X+

d(o, x) + d(o, x′)− 2(x|x′)

≥(

1

2infγ∈A

d(o, γo)− δ)

+

(1

2infγ∈A

d(o, γo)− δ)− 2(M + 2δ)

> (M + 2δ) + (M + 2δ)− 2(M + 2δ)

= 0,

puisque l’on a d(o, x) = (x|x) ≥ 12d(o, γo)− δ par le lemme 2.42 pour x ∈ Xγ−1 , et

de même d(o, x′) ≥ 12d(o, γ′o)− δ pour x′ ∈ Xγ′ .

Les domaines X− et X+ sont donc bien Gromov-disjoints.Pour finir, l’ensemble X\

(X+ ∪X−

)contient bien le point base o, puisqu’il

contient la boule ouverte B(o,M + 2δ + ε) pour un réel ε > 0 assez petit. �Voici un lemme qui permet de contrôler la taille de l’image du domaine X+

par les éléments d’un semi-groupe contractant. Cela sera utilisé dans la preuve duthéorème 5.3.

Lemme 3.5. Soit X un espace métrique de point base o, soit une partie X+ ⊆ X

et soit une isométrie γ ∈ Isom(X) telles que l’on ait

C := supx∈X+

(γ−1.o|x) <∞.

Alors pour tous x et x′ ∈ X+, on a l’inégalité

(γx|γx′) ≥ d(o, γo)− 2C.

Preuve — Soient x et x′ des éléments de X+. On a

(γx|γx′) =1

2[d(γx, o) + d(o, γx′)− d(γx, γx′)]

=1

2[d(x, o) + d(γ−1o, o)− 2(γ−1o|x)

+ d(γ−1o, o) + d(o, x′)− 2(γ−1o|x′)− d(x, x′)]

= (x|x′)− (γ−1o|x)− (γ−1o|x′) + d(o, γo)

≥ (x|x′) + d(o, γo)− 2C

≥ d(o, γo)− 2C.

�Le lemme qui suit dit que l’on a l’égalité triangulaire à une constante près dans

un semi-groupe contractant.

Lemme 3.6. Soit X un espace métrique de point base o. Si A est une partiecontractante de Isom(X), alors pour tous éléments γ et γ′ de A on a

d(o, γγ′o) ≥ d(o, γo) + d(o, γ′o)− 2M,

où M = supγ,γ′∈A(γ−1o|γ′o).


32 P. Mercat

Preuve — On a l’égalité d(o, γγ′o) = d(o, γo) + d(o, γ′o)− 2(γ−1o|γ′o). �Voici une propriété intéressante des parties contractantes qui permettra de

montrer que l’ensemble limite d’un semi-groupe contractant de type fini est radial.

Lemme 3.7. Si A est une partie contractante du groupe d’isométries Isom(X) d’unespace métrique X de point base o et si (γn)n∈N est une suite de AN, alors l’ensemble{γ0γ1...γno}n∈N est une sous-quasi-géodésique.

Preuve du lemme 3.7 — Montrons que pour a ≤ b ≤ c ∈ N, on a

d(γ0γ1...γao, γ0γ1...γbo) + d(γ0γ1...γbo, γ0γ1...γco) ≤ d(γ0γ1...γao, γ0γ1...γco) +M,

où M = supγ,γ′∈A(γ−1o|γ′o). On se ramène à a = 0, et l’on conclut avec le lemme3.6 avec γ = γ0γ1...γb et γ′ = γb+1γb+2...γc. �

Le lemme qui suit dit que les isométries d’un semi-groupe contractant tendentvers l’infini avec leur longueur quand l’espace est propre.

Lemme 3.8. Si A est une partie contractante du groupe d’isométries Isom(X) d’unespace métrique propre X de point base o et si (γn)n∈N est une suite de AN, alorson a

limn→∞

d(o, γ0γ1...γno) =∞.

Preuve — L’ensemble {γ0...γno}n∈N est une partie séparée de X. En effet, ilexiste un réel ε > 0 tel que la boule B(o, ε) soit incluse dans X\(X+ ∪X−), et sesimages par les éléments γ0...γn sont disjointes, puisque pour toute isométrie γ deA, on a l’inclusion γB ⊆ X+. Le résultat découle alors de la propreté de l’espaceX. �

Proposition 3.9. Soit X un espace métrique propre et Γ un semi-grouped’isométries de X, contractant et de type fini. Alors l’ensemble limite de Γ estradial :

ΛΓ = ΛcΓ.

Preuve — Soit ξ un point de l’ensemble limite ΛΓ. D’après la remarque 2.39, ilexiste un générateur g0 du semi-groupe Γ tel que ξ ∈ g0ΛΓ. Par récurrence, il existeune suite (gi)i∈N telle que pour tout n ∈ N, on ait

ξ ∈ g0...gnΛΓ.

Puis par le lemme 3.8, on a limn→∞ d(o, g0...gno) = ∞. On a donc ξ =

limn→∞ g0...gno par le lemme 3.5 appliqué à l’isométrie g0...gn et à l’ensembleX+ = ΛΓ∪{o}. Or, le lemme 3.7 affirme que l’ensemble {g0...gno}n∈N est une sous-quasi-géodésique, donc le point ξ est dans dans l’ensemble limite radial : ξ ∈ ΛcΓ.On a montré l’inclusion ΛΓ ⊆ ΛcΓ. L’autre inclusion est claire. �

Le fait que le semi-groupe Γ soit de type fini est une hypothèse nécessaire, commele montre le contre-exemple suivant :

Contre-exemple 3.10. Soit Γ le sous-semi-groupe de SL(2,Z) engendré par les

matrices(

1 n

n n2 + 1

), n ≥ 1. Alors le semi-groupe Γ est contractant, mais les

ensembles limite et limite radial diffèrent : ΛΓ 6= ΛcΓ.



En effet, l’enveloppe convexeX+ ⊂ H2R de l’intervalle [− 1

2 , 1] dans H2R (en identifiant

le bord de H2R à R de façon usuelle) est envoyée dans celle de l’intervalle [0, 2

3 ], etdonc le semi-groupe est contractant. Mais le point 0 est dans l’ensemble limite, etn’est pas radial.

4. Construction d’une grosse partie contractanteLe but de cette section est de démontrer le théorème :

Théorème 4.1. Soit X un espace Gromov-hyperbolique propre à bord compact, etsoit Γ un semi-groupe d’isométries de X dont l’ensemble limite ΛΓ contient aumoins deux points. Alors il existe un sous-semi-groupe Γ′ de Γ, contractant et demême entropie :

hΓ′ = hΓ.

Ce théorème est l’étape principale de la preuve du théorème 1.3.La preuve du théorème 4.1 repose sur l’étude du support du semi-groupe Γ, qui

est une partie fermée et Γ×Γ−1-invariante de ∂X×∂X décrivant les directions danslesquelles il y a beaucoup d’isométries qui contractent et dilatent. On montre que cesupport, s’il n’est pas réduit à deux points, fournit un sous-semi-groupe contractantd’entropie hΓ. Et pour cela, on commence par montrer qu’il existe une isométriecontractante dans le semi-groupe Γ, et on effectue un ping-pong entre cet élémentet une « grosse » partie du semi-groupe Γ. Puis l’on montre que dans le cas où lesupport est réduit à deux points, le semi-groupe fixe un doublet de points au bord,ce qui permet de conclure rapidement si le semi-groupe ne fixe pas de point au bord.Enfin, on termine par le cas où le semi-groupe fixe un point au bord. Dans ce cas,on ne peut pas effectuer de ping-pong, mais l’existence d’une isométrie contractantenous permet de démontrer qu’il existe une proportion suffisante des éléments dusemi-groupe qui contractent loin du point fixe. On fera cela en utilisant le lemmedes tiroirs sur une partition en copies d’un domaine fondamental pour l’isométriecontractante.

4.1. Construction d’une isométrie contractante Nous allons montrer qu’un semi-groupe d’isométries d’un espace Gromov-hyperbolique dont l’ensemble limitecontient au moins deux points possède toujours une isométrie contractante. Ona la proposition :

Proposition 4.2. Soit X un espace Gromov-hyperbolique, et Γ un semi-grouped’isométries de X dont l’ensemble limite n’est pas réduit à un point. Alors Γ contientune isométrie h contractante. De plus, si η est un point du bord de X, alors on peutchoisir h tel que η 6∈ Xh.

L’idée de la preuve est de considérer deux grands éléments de Γ qui contractenten deux endroits distincts (près de points distincts de l’ensemble limite). Le produitde ces deux élément est alors contractant parce-que ces deux éléments n’étant pascontractants (sinon il n’y a rien à démontrer) et ayant une grande norme, leur


34 P. Mercat

inverses contractent à nouveau près des mêmes points, et ainsi, le produit contractedepuis l’un des endroits vers l’autre. (voir figure 8.)

Figure 8. Construction d’une isométrie contractante à partir de deux isométries γ et γ′ noncontractantes.

Xγ′Xγ′−1 XγXγ−1

γ′γ

γ′ γ

ξξ′

Preuve —Supposons pour commencer que l’ensemble limite contienne au moins trois

points. Soit η ∈ ΛΓ, et soient ξ 6= ξ′ deux points distincts de l’ensemble limiteΛΓ, et qui sont distincts du point η, et soient γ et γ′ deux isométries de Γ tellesque l’on ait

(ξ|γo) > 2(ξ|ξ′) + 10δ + (ξ|η) et (ξ′|γ′o) > 2(ξ|ξ′) + 10δ + (ξ′|η).

On a alors également d(o, γo) ≥ (ξ|γo) > 2(ξ|ξ′) + 10δ + (ξ|η) et d(o, γ′o) >

2(ξ|ξ′) + 10δ + (ξ′|η).

Si une des isométries γ ou γ′ était contractante, alors elle conviendrait, et lapreuve serait finie. En effet, on a η 6∈ Xγ et η 6∈ Xγ′ , puisque par δ-hyperbolicitéon a

(η|ξ) ≥ min{(η|γo), (γo|ξ)} − δ,

et donc (γo|η) ≤ (η|ξ) + δ < 12d(o, γo), et de même avec γ′. On peut donc supposer

que les éléments γ et γ′ ne sont pas contractants.On a alors le lemme suivant.

Lemme 4.3. Les ensembles Xγ−1 et Xγ′ sont ((ξ|ξ′) + 2δ)-disjoints.

Preuve — Soient x ∈ Xγ−1 et x′ ∈ Xγ′ . Par δ-hyperbolicité, on a

(ξ|ξ′) ≥ min{(ξ|x), (x|x′), (x′|ξ′)} − 2δ.

Or, par le lemme 2.45, on a (ξ|x) ≥ 12d(o, γo)− 3δ > (ξ|ξ′) + 2δ, et de même pour

(ξ′|x′). On conclut donc que l’on a

(x|x′) ≤ (ξ|ξ′) + 2δ.

Pour finir la preuve du lemme, il reste à montrer que les parties Xγ−1 et Xγ′

sont d’adhérences dans X disjointes. Par l’absurde, supposons qu’il existe y ∈



Adh(Xγ-1

)∩Adh (Xγ’) = Xγ−1∩Xγ′ . On a alors d’une part (y|y) ≥ 1

2d(o, γo)−δ >(ξ|ξ′) + 4δ par le lemme 2.42, et d’autre part (y|y) ≤ (ξ|ξ′) + 2δ par l’inégalité ci-dessus. Contradiction. �

Montrons alors que l’isométrie γ′γ est contractante.On a

γ′γo ∈ γ′(Xγ) ⊆ γ′(X\Xγ′−1) ⊆ Xγ′ ,

et de même γ−1γ′−1o ∈ Xγ−1 , donc par le lemme ci-dessus

(γ′γo|(γ′γ)−1o) ≤ (ξ|ξ′) + 2δ <1

2d(o, γo)− 3δ.

Or, on a d(o, γo) ≤ d(o, γ′γo). En effet, on a

d(o, γo) = d(o, γ′γo)− d(o, γ′o) + 2(γ′−1o|γo).

Or, en utilisant le lemme ci-dessus avec γ et γ′ permutés, on obtient (γ′−1o|γo) ≤

(ξ|ξ′) + 2δ, et d’autre part, on a d(o, γ′o) ≥ 2(ξ|ξ′) + 10δ. On obtient donc bien

d(o, γo) ≤ d(o, γ′γo)− 2(ξ|ξ′)− 10δ + 2(ξ|ξ′) + 4δ ≤ d(o, γ′γo),

et donc(γ′γo|(γ′γ)−1o) <

1

2d(o, γ′γo)− 3δ.

Donc l’élément γγ′ est contractant par le critère de contraction (lemme 2.45). Pourfinir, on a η 6∈ Xγ′ ⊇ Xγ′γ d’après ce que l’on a fait ci-avant.

Supposons maintenant que l’ensemble limite ΛΓ soit réduit à deux points :

ΛΓ = {ξ, η}.

Par Γ-invariance de l’ensemble limite, les isométries de Γ fixent le doublet {ξ, η}.Distinguons alors deux cas :1. Si toutes les isométries de Γ fixent chacun des points ξ et η, considérons une

isométrie γ telle que(γo|ξ) > 2(ξ|η) + 6δ.

Celle-ci existe bien puisque l’on a ξ ∈ ΛΓ. On a alors le lemme :

Lemme 4.4. On a η 6∈ Xγ et η ∈ Xγ−1 .

Preuve — Commençons par montrer que l’on a η 6∈ Xγ . Par δ-hyperbolicité,on a

(ξ|η) ≥ min{(ξ|γo), (γo|η)} − δ,

et donc (γo|η) ≤ (ξ|η) + δ < 12d(o, γo), ce qui prouve la première partie du

lemme.On a ensuite η = γ−1η ∈ Xγ−1 , puisque l’isométrie γ fixe le point η. �Pour terminer la preuve de la proposition dans le cas où toutes les isométriesfixent chacun des points ξ et η, il ne reste plus qu’à démontrer le lemme :

Lemme 4.5. L’isométrie γ est contractante.


36 P. Mercat

Preuve — Le point fixe ξ est dans l’union Xγ ∪Xγ−1 , puisque si l’on avaitξ 6∈ Xγ ∪Xγ−1 , alors on aurait ξ = γξ ∈ Xγ , ce qui est absurde.Le fait que l’isométrie γ soit contractante découle alors du critère decontraction 2.45, puisque l’on a

(ξ|η) <1

2d(o, γo)− 3δ.

�2. S’il existe une isométrie γ0 ∈ Γ qui échange ξ et η, c’est-à-dire γ0ξ = η et

γ0η = ξ.La première partie de la preuve permet d’obtenir une isométrie contractanteh ∈ Γ, mais avec η ∈ Xh. En outre, on peut choisir l’isométrie h aussi grandeque l’on veut, et donc demander à avoir l’inégalité

(ho|η) > 2(ξ|η) + 4d(o, γ0o) + 6δ.

Montrons qu’alors l’isométrie γ := γ0hγ0 convient. Pour cela, nous allonsutiliser le critère de contraction 2.45 avec les points ξ et η. On a le lemmesuivant.

Lemme 4.6. On a η 6∈ Xγ et ξ 6∈ Xγ−1 .

Preuve — Montrons que η 6∈ Xγ . On a

(η|γo) = (γ0ξ|γ0hγ0o)

= (ξ|hγ0o)− (ξ|γ−10 o)− (hγ0o|γ−1

0 o) + d(o, γ0o)

≤ (ξ|hγ0o) + d(o, γ0o).

Et par δ-hyperbolicité, on a

(ξ|η) ≥ min{(ξ|hγ0o), (hγ0o|η)} − δ.

Or, le point γ0o n’est pas dans l’ensemble Xh−1 d’après le lemme 2.42, puisquel’on a (γ0o|γ0o) = d(o, γ0o) <

12d(o, ho) − δ. On a donc hγ0o ∈ Xh. Comme

on a aussi η ∈ Xh, le lemme 2.42 donne

(η|hγ0o) ≥1

2d(o, ho)− δ > (ξ|η) + δ.

Ainsi, on obtient

(η|γo) ≤ (ξ|hγ0o) + d(o, γ0o)

≤ (ξ|η) + d(o, γ0o) + δ

<1

2d(o, ho)− d(o, γ0o)

≤ 1

2d(o, γ0hγ0o),

ce qui prouve que η n’est pas dans Xγ .On montre de manière semblable que ξ n’est pas dans Xγ−1 . �



Ainsi, on a ξ = γ0η = γ0hη = γξ ∈ Xγ et de même η ∈ Xγ−1 . Le critère decontraction 2.45 s’applique donc, puisque l’on a bien l’inégalité

(ξ|η) <1

2d(o, ho)− d(o, γ0o)− 3δ ≤ 1

2d(o, γo)− 3δ.

�

4.2. Support d’un semi-groupe Définissons le support d’un ensemble d’isométries,qui correspond aux couples de points du bord pour lesquels il y a beaucoupd’isométries qui contractent dans un voisinage du premier point du couple etdilatent depuis un voisinage du deuxième point du couple. Le support d’un semi-groupe est à relier au support de la mesure de Patterson-Sullivan, mais il est plussimple à définir et à manipuler.

Définition 4.7. Soit X un espace Gromov-hyperbolique de point base o. On appellesupport d’une partie A ⊆ Isom(X) l’ensemble

supp(A) := {(ξ, µ) ∈ ∂X × ∂X| pour tout ε > 0, hAβ(ξ,ε)×β(µ,ε) = hA},

où l’on a posé β(ξ, ε) := {x ∈ X| (ξ|x) > − log(ε)} et

Aβ(ξ,ε)×β(µ,ε) := {γ ∈ A| γo ∈ β(ξ, ε) et γ−1o ∈ β(µ, ε)}.

On peut montrer que le support ne dépend pas du point base o choisi.

Proposition 4.8. Soit X un espace Gromov-hyperbolique propre à bord compact.Alors le support de toute partie Γ ⊆ Isom(X) est non vide.

Preuve — Soit δ > 0 tel que l’espace X soit δ-hyperbolique. Construisons parrécurrence une suite (ξn, ηn)n∈N de couples de points du bord telle que l’on aitl’égalité h

Γβ(ξn,e−2δn)×β(ηn,e−2δn) = hΓ, et que l’on ait

β(ξn, e−2δn)× β(ηn, e

−2δn) ∩ β(ξn+1, e−2δ(n+1))× β(ηn+1, e

−2δ(n+1)) 6= ∅.

Pour n = 0, tous les points ξ0 et η0 ∈ ∂X conviennent puisque l’on aβ(ξ0, 1) = X = β(η0, 1).

Supposons ξn et ηn construits tels que hΓβ(ξn,e−2δn)×β(ηn,e−2δn) = hΓ. Le

carré ∂X × ∂X du bord étant compact, il en va de même du pavé fermé(β(ξn, e−2δn) ∩ ∂X) × (β(ηn, e−2δn) ∩ ∂X), et l’on peut extraire un recouvrementfini du recouvrement par les pavés ouverts β(ξ, e−2δ(n+1))× β(η, e−2δ(n+1)) quand(ξ, η) décrit β(ξn, e

−2δn) × β(ηn, e−2δn). Le complémentaire dans β(ξn, e

−2δn) ×β(ηn, e

−2δn) de ce recouvrement est alors borné. Or, l’entropie d’une partie bornéede X est nulle : on a

hΓB(o,R)×B(o,R) = 0,

pour tout R > 0, par propreté. Par le point 6 des propriétés 2.29 de l’entropie, ilexiste alors un couple (ξn+1, ηn+1) de β(ξn, e

−2δn)× β(ηn, e−2δn) vérifiant

hΓβ(ξn+1,e

−2δ(n+1))×β(ηn+1,e−2δ(n+1)) ≥ hΓβ(ξn,e−2δn)×β(ηn,e−2δn) = hΓ.


38 P. Mercat

La suite(β(ξn, e

−2δn+2δ)× β(ηn, e−2δn+2δ)

)n∈N ainsi obtenue des pavés grossis

de e2δ est alors décroissante. En effet, soit x ∈ β(ξn+1, e−2δ(n+1)+2δ) et soit

y ∈ β(ξn+1, e−2δ(n+1)) ∩ β(ξn, e

−2δn). Par δ-hyperbolicité on a alors

(x|ξn) ≥ min{(x|ξn+1), (ξn+1|y), (y|ξn)} − 2δ > 2δn− 2δ,

ce qui donne bien l’inclusion β(ξn+1, e−2δ(n+1)+2δ) ⊆ β(ξn, e

−2δn+2δ). En faisant demême avec η, on obtient bien la décroissance souhaitée.

La suite converge donc vers un point (ξ, η). Ce point est bien dans le supportsupp(Γ), puisque pour tout ε > 0, on peut trouver par Gromov-hyperbolicité unentier n assez grand tel que l’on ait l’inclusion

β(ξn, e−2δn+2δ)× β(ηn, e

−2δn+2δ) ⊆ β(ξ, ε)× β(η, ε),

et donc tel que l’on ait l’inégalité hΓ = hΓβ(ξn,e−2δn+2δ)×β(ηn,e−2δn+2δ) ≤ hΓβ(ξ,ε)×β(η,ε) .

�

Remarque 4.9. C’est un des seuls endroits de la preuve où l’on utilise la compacitéde l’adhérence de l’espace X (l’autre endroit où l’on utilise cette compacité est pourdéfinir la mesure de Patterson-Sullivan, voir 6.1 6.1.1). Cette hypothèse n’est pasbeaucoup plus forte que de demander seulement la propreté de l’espace X (voir 2.2).

Voici une propriété de Γ-invariance du support :

Proposition 4.10. Soit X un espace Gromov-hyperbolique et soit Γ un semi-groupe d’isométries de X. Le support supp(Γ) est Γ × Γ−1-invariant pour l’actionde Isom(X)× Isom(X) sur ∂X × ∂X donnée par

(γ, γ′−1

)(ξ, η) := (γξ, γ′−1η),

pour toutes isométries γ et γ′ ∈ Isom(X) et (ξ, η) ∈ ∂X × ∂X.C’est-à-dire que l’on a (γξ, γ′−1

η) ∈ supp(Γ) pour tout (ξ, η) ∈ supp(Γ) et tout(γ, γ′) ∈ Γ× Γ.

Preuve — Soient (ξ, η) ∈ supp(Γ) et (γ, γ′) ∈ Γ × Γ. Montrons que l’on a(γξ, γ′−1

η) ∈ supp(Γ). Soit ε > 0. Par le point 7 des propriétés 2.29, on a

hΓ = hΓβ(ξ,ε)×β(η,ε) = hγΓβ(ξ,ε)×β(η,ε)γ′ .

Montrons que l’on a l’inclusion

γΓβ(ξ,ε)×β(η,ε)γ′ ⊆ Γβ(γξ,εed(o,γo)+d(o,γ′o))×β(γ′−1η,εed(o,γo)+d(o,γ′o)).

Soit γ′′ ∈ γΓβ(ξ,ε)×β(η,ε)γ′. On a alors d’une part

(γ−1γ′′o|ξ) ≥ (γ−1γ′′γ′−1o|ξ)− d(o, γ′o) > − log(ε)− d(o, γ′o).

et d’autre part

(γ′′o|γξ) = (γ−1γ′′o|ξ) + (γo|γ′′o) + (γo|γξ)− d(o, γo)

≥ (γ−1γ′′o|ξ)− d(o, γo)

≥ − log(ε)− d(o, γo)− d(o, γ′o).



De la même façon on obtient les inégalités

(γ′′−1o|γ′−1

η) ≥ (γ′γ′′−1o|η)− d(o, γ′o) ≥ (γ′γ′′

−1γo|η)− d(o, γo)− d(o, γ′o),

et donc γ′′ ∈ Γβ(γξ,εed(o,γo)+d(o,γ′o))×β(γ′−1η,εed(o,γo)+d(o,γ′o)).On a donc h

Γβ(γξ,εed(o,γo)+d(o,γ′o))×β(γ′−1η,εed(o,γo)+d(o,γ′o))≥ hΓ, et on a l’autre

inégalitéh

Γβ(γξ,εed(o,γo)+d(o,γ′o))×β(γ′−1η,εed(o,γo)+d(o,γ′o))≤ hΓ

par l’inclusion Γβ(γξ,εed(o,γo)+d(o,γ′o))×β(γ′−1η,εed(o,γo)+d(o,γ′o)) ⊆ Γ. Ceci prouve bienque le point (γ, γ′−1

)(ξ, η) = (γξ, γ′−1η) est dans le support supp(Γ) puisque le réel

εed(o,γo)+d(o,γ′o) parcours R∗+ quand ε parcours R∗+. �

Question . On a l’inclusion supp(Γ) ⊆ ΛΓ × ΛΓ−1 , mais a-t’on l’égalité ?

4.3. Le cas générique On va maintenant montrer que si le support supp(Γ) n’estpas réduit à certains sous-espaces de ∂X×∂X, alors on a la conclusion du théorème4.1, c’est-à-dire l’existence d’un sous-semi-groupe contractant de Γ qui est d’entropietotale hΓ.

Proposition 4.11. Soit X un espace Gromov-hyperbolique, et soit Γ un semi-groupe d’isométries de X. Si le support de Γ n’est pas inclus dans la diagonale de∂X × ∂X, alors il existe un sous-semi-groupe contractant Γ′ de Γ tel que hΓ′ = hΓ.

Preuve — Soit (ξ, µ) ∈ supp(Γ) avec ξ 6= µ. On peut alors trouver un réel ε > 0

assez petit pour que le produit β(ξ, ε)×β(η, ε) soit Gromov-disjoint de la diagonale.D’après le critère de contraction (proposition 3.4), l’ensemble Γ

β(ξ,ε)×β(η,ε)≥n est alors

contractant pour n assez grand, où l’on a posé

Γβ(ξ,ε)×β(η,ε)≥n := {γ ∈ Γ| γo ∈ β(ξ, ε), γ−1o ∈ β(η, ε) et d(o, γo) ≥ n}.

Or, par définition du support et par le point 8 des propriétés 2.29 de l’entropie, ona

hΓβ(ξ,ε)×β(η,ε)≥n

= hΓ.

Le semi-groupe engendré par Γβ(ξ,ε)×β(η,ε)≥n convient donc.

�

Proposition 4.12. Soit X un espace Gromov-hyperbolique propre, et Γ un semi-groupe d’isométries de X. Si le semi-groupe Γ contient une isométrie contractanteh, et que le support supp(Γ) contient au moins trois points, alors il existe un sous-semi-groupe contractant Γ′ de Γ tel que hΓ′ = hΓ.

L’idée de la preuve est de montrer qu’il y a beaucoup d’éléments du semi-groupeavec lesquels l’élément h joue un ping-pong. Cela permet alors de faire contracterces éléments d’un endroit précis vers un endroit précis en les composant à gaucheet à droite avec h. On obtient alors un semi-groupe contractant en ne gardant queles éléments assez grands.


40 P. Mercat

Preuve — Pour une isométrie contractante h d’un espace δ-hyperbolique X,définissons une partie Ih de X ∪ ∂X par

Ih := {ξ ∈ X ∪ ∂X|(ξ|ho) ≥ 1

2d(o, ho)− δ}.

Montrons que si le support supp(Γ) n’est pas inclus dans Ih−1 × ∂X ∪ ∂X × Ih,alors il existe un sous-semi-groupe contractant Γ′ de Γ, avec hΓ′ = hΓ.

Remarque 4.13. L’ensemble Ih contient Xh. Il est un peu plus gros que Xh afinde garantir que les éléments γ ∈ Γ assez grands et tels que l’on ait γ−1o 6∈ Ih soienttels que les parties Xγ−1 et Xh sont disjointes (et idem dans l’autre sens). Cecipermettra alors de faire le ping-pong.

Lemme 4.14. Soit X un espace Gromov-hyperbolique, soit h une isométriecontractante de X et soient Ih et Ih−1 ⊆ X les parties définies ci-dessus. Pourtoute isométrie γ ∈ Isom(X) telle que d(o, γo) ≥ d(o, ho) et γo 6∈ Ih−1 , on a

Xγ ∩Xh−1 = ∅,

et pour toute isométrie γ ∈ Isom(X) telle que d(o, γo) ≥ d(o, ho) et γ−1o 6∈ Ih, ona

Xγ−1 ∩Xh = ∅.

Preuve — Soit γ ∈ Isom(X) tel que d(o, γo) ≥ d(o, ho) et γo 6∈ Ih−1 . Montronsl’inclusion Xγ ⊆ X\Xh−1 .

Soit x ∈ Xγ . Par δ-hyperbolicité, on a

(γo|h−1o) ≥ min{(x|γo), (x|h−1o)} − δ.

Or, par définition de Ih−1 et de Xγ , on a les inégalités1

2d(o, ho)− δ > (γo|h−1o) et (x|γo) ≥ 1

2d(o, γo) ≥ 1

2d(o, ho).

D’où l’inégalité1

2d(o, ho)− δ > (x|h−1o)− δ

qui prouve que le point x n’est pas dans l’ensemble Xh−1 .La deuxième partie du lemme découle de la première en remplaçant h par h−1

et γ par γ−1. �Posons H l’ensemble des isométries satisfaisant les conditions du lemme ci-

dessus :

H := {γ ∈ Isom(X)|d(o, γo) ≥ d(o, ho), γo 6∈ Ih−1 et γ−1o 6∈ Ih}

Faisons alors un ping-pong entre les isométries de H et l’isométrie h pour obtenirune partie contractante.

Lemme 4.15. Soit X un espace Gromov-hyperbolique, soit h une isométriecontractante de X et soit H la partie de X définie ci-dessus. Alors l’ensemble

hHh := {hγh|γ ∈ H}

est une partie contractante de Isom(X).



Preuve — Si γ est un élément de H, alors par le lemme 4.14 on a

hγh(X\Xh−1) ⊆ hγ(Xh) ⊆ hγ(X\Xγ−1) ⊆ h(Xγ) ⊆ h(X\Xh−1) ⊆ Xh,

et l’ensemble X\(Xh ∪Xh−1) = X\(Xh ∪Xh−1) contient bien le point base o.La partie hHh est donc contractante pour les domaines X− := Xh−1 et

X+ := Xh.�

Figure 9. Ping-pong avec l’isométrie contractante h.

Xh−1 XhIh−1 IhXγ−1Xγ

γ

h

hγh

Continuons la preuve de la proposition 4.12. Soit h ∈ Γ un élément contractant.Le semi-groupe engendré par h(H ∩ Γ)h est alors un sous-semi-groupe contractantde Γ d’après le lemme ci-dessus.

Si le support supp(Γ) n’est pas inclus dans Ih−1 ×∂X ∪∂X× Ih, alors l’entropiede H ∩ Γ est égale à hΓ par le point 8 des propriétés 2.29. Or, par le point 7 despropriétés 2.29, l’entropie de h(H ∩Γ)h est égale à celle de H ∩Γ, et donc l’entropiedu semi-groupe engendré est aussi égale à hΓ.

On est donc ramené à ce que le support supp(Γ) soit inclus dans Ih−1×∂X∪∂X×Ih. Par les lemmes 2.46 et 2.45, comme l’espace X est propre, il existe un entier n0

tel que pour tout n ≥ n0, l’isométrie hn soit aussi une isométrie contractante dusemi-groupe Γ. On est alors même ramené à ce que le support supp(Γ) soit inclusdans Ih−n × ∂X ∪ ∂X × Ihn , pour tout n ≥ n0.

Or, le diamètre des ensembles Ihn et Ih−n tend vers 0 : on a

limn→∞

infx,x′∈Ihn

(x|x′) =∞.

On est donc ramené à ce que le support supp(Γ) soit inclus dans un ensemble

({ξ−} × ∂X) ∪ (∂X × {ξ+}) ,

où ξ− et ξ+ sont des points du bord ∂X.De plus, en utilisant la proposition 4.11, on est ramené au cas où le support

supp(Γ) est inclus dans la diagonale de ∂X × ∂X, donc on est ramené à ce que lesupport soit inclus dans le doublet {(ξ−, ξ−), (ξ+, ξ+)}. Ainsi, on a bien démontrél’existence d’un sous-semi-groupe contractant d’entropie hΓ dès que le supportsupp(Γ) contient au moins 3 points.

Ceci termine la preuve de la proposition 4.12. �


42 P. Mercat

Figure 10. supp(Γ)

∂X

∂X

ξ+

ξ−

4.4. Le cas où le support est un singleton On a le lemme :

Lemme 4.16. Soit X un espace Gromov-hyperbolique et soit Γ un semi-grouped’isométries de X. Si le support supp(Γ) est un singleton {(ξ, ξ)}, alors le semi-groupe Γ fixe le point ξ.

Preuve — Cela découle de la propriété de Γ × Γ−1-invariance du support(proposition 4.10). �

Ainsi, on est ramené à ce que le semi-groupe fixe un point au bord(voir sous-section 4.6).

4.5. Le cas où le support est un doublet de points Supposons maintenant que lesupport supp(Γ) soit un doublet de points du bord {(ξ+, ξ+), (ξ−, ξ−)}. On a alorsle lemme suivant.

Lemme 4.17. Soit X un espace Gromov-hyperbolique et soit Γ un semi-groupe d’isométries de X. Si le support supp(Γ) est un doublet de points{(ξ+, ξ+), (ξ−, ξ−)}, alors le semi-groupe Γ fixe le doublet {ξ+, ξ−}.

Preuve — Cela découle de la propriété de Γ × Γ−1-invariance du support(proposition 4.10). �

Montrons maintenant que quitte à multiplier par un élément qui échange lesdeux points du doublet, si l’on se restreint aux éléments de norme assez grande etqui contractent dans un des deux sens (d’un des points du doublet vers l’autre),alors on obtient un ensemble contractant. Et l’un de ces deux sous-semi-groupesengendrés sera forcément d’entropie totale (c’est-à-dire d’entropie hΓ).

Le lemme qui suit dit qu’un point fixe d’une isométrie est toujours dans sondomaine de contraction ou dans son domaine de dilatation.



Lemme 4.18. Soit X un espace Gromov-hyperbolique et γ une isométrie de X. Siξ ∈ X est un point fixe pour l’isométrie γ (i.e. γξ = ξ), alors on a

ξ ∈ Xγ ∪Xγ−1 .

Preuve — Supposons que l’on ait ξ 6∈ Xγ . Alors on a ξ = γ−1ξ ∈ Xγ−1 . Enfaisant de même avec l’inverse γ−1, on conclut. �

Le lemme suivant dit qu’une isométrie assez grande qui fixe deux points contractede l’un des points vers l’autre ou bien échange les deux points.

Lemme 4.19. Si une isométrie γ d’un espace δ-hyperbolique X de point base o fixeun doublet de points du bord {ξ+, ξ−} ⊆ X sans les échanger (i.e. γ(ξ−) 6= ξ+) etvérifie l’inégalité d(o, γo) > 2(ξ+|ξ−) + 2δ, alors on a(

ξ+ ∈ Xγ et ξ− ∈ Xγ−1

)ou

(ξ− ∈ Xγ et ξ+ ∈ Xγ−1

).

Preuve — Comme l’élément γ fixe le doublet {ξ−, ξ+}, et n’échange pas ξ− etξ+, les points ξ− et ξ+ sont fixes par γ. Le lemme 4.18 nous donne donc l’inclusion

{ξ+, ξ−} ⊆ Xγ ∪Xγ−1 .

Or, on ne peut pas avoir {ξ+, ξ−} ⊆ Xγ−1 , puisque par le lemme 2.42 on a

infx,x′∈Xγ−1

(x|x′) ≥ 1

2d(o, γo)− δ > (ξ+|ξ−).

En faisant de même avec Xγ , on obtient donc bien ce qui était annoncé. �Démontrons donc le théorème 4.1 dans le cas où le semi-groupe Γ fixe un doublet

{ξ+, ξ−} ⊆ ∂X, mais ne fixe pas de point au bord. Considérons les parties suivantesdu semi-groupe Γ :

Γ+ := {γ ∈ Γ|ξ+ ∈ Xγ et ξ− ∈ Xγ−1}

Γ− := {γ ∈ Γ|ξ− ∈ Xγ et ξ+ ∈ Xγ−1}

On a alors le lemme suivant.

Lemme 4.20. Les ensembles Γ+>n et Γ−>n sont contractants,

pour tout entier n > 2(ξ+|ξ−) + 10δ, où l’on a posé

A>n := {γ ∈ A|d(o, γo) > n},

pour une partie A ⊆ Γ.

Preuve — Montrons que Γ+>n est contractant. Soient γ et γ′ deux isométries de

Γ+>n. Par δ-hyperbolicité, on a

(ξ+|ξ−) ≥ min{(ξ+|γ′o), (γ′o|γ−1o), (γ−1o|ξ−)} − 2δ.

Or, par définition de Xγ′ , on a (ξ+|γ′o) ≥ 12d(o, γ′o) > (ξ+|ξ−) + 2δ et on a de

même (ξ−|γ−1o) > (ξ+, ξ−) + 2δ, puisque ξ+ ∈ Xγ′ et ξ− ∈ Xγ−1 . On en déduitl’inégalité

(ξ+|ξ−) ≥ (γ′o|γ−1o)− 2δ.


44 P. Mercat

Ainsi, on obtientsup

γ,γ′∈Γ+

(γ−1o|γ′o) ≤ (ξ+|ξ−) + 2δ <∞,

et on a bien pour tout γ ∈ Γ+,1

2d(o, γo)− 3δ >

1

2n− 3δ > (ξ+|ξ−) + 2δ,

donc par le critère 3.4, l’ensemble Γ+>n est contractant. De la même façon, l’ensemble

Γ−>n est contractant. �Pour terminer la preuve du théorème 4.1 dans ce cas, il ne reste donc plus qu’à

démontrer que l’entropie d’une de ces deux parties contractantes est hΓ :

Lemme 4.21. On a max(hΓ+>n, hΓ−>n

) = hΓ, pour n ≥ 2(ξ+|ξ−) + 2δ.

Preuve — Il y a deux cas :1. Il n’existe pas d’élément qui échange ξ− et ξ+. Dans ce cas, par le lemme

4.19, on aΓ>n = (Γ+)>n ∪ (Γ−)>n.

2. Il existe un élément γ0 ∈ Γ qui échange ξ− et ξ+. Dans ce cas, on peut écrire

(γ0 (Γ>n\ (Γ+ ∪ Γ−)))>n ⊆ (Γ+)>n ∪ (Γ−)>n.

Le résultat découle alors des point 6, 7 et 8 des propriétés 2.29 de l’entropie. �Les lemmes 4.20 et 4.21 donnent un semi-groupe contractant d’entropie hΓ parmi

l’un des deux semi-groupes suivants : l’un engendré par Γ+>n et l’autre engendré par

Γ−>n, pour n assez grand.Ceci termine la preuve du théorème 4.1 dans le cas où le semi-groupe Γ ne fixe

pas de point au bord.

4.6. Le cas où le semi-groupe Γ fixe un point au bord Supposons que le semi-groupe Γ fixe un point ξ ∈ ∂X mais ait un ensemble limite ΛΓ contenant au moinsdeux points.

Par la proposition 4.2, il existe alors un élément contractant h tel que le pointfixe ξ ne soit pas dans Xh.

On a alors la proposition suivante.

Proposition 4.22. Soit X un espace métrique propre, soit Γ un semi-grouped’isométries de X, et soit h une isométrie contractante. Si l’on pose

Γ′ := {γ ∈ Γ|γo ∈ Xh},

alors on a l’égalité hΓ′ = hΓ.

Ceci permettra de conclure grâce au lemme suivant.

Lemme 4.23. Soit X un espace Gromov-hyperbolique, soit Γ un semi-grouped’isométries fixant un point ξ ∈ ∂X, et soit h une isométrie contractante telleque ξ 6∈ Xh. Alors il existe un réel r tel que l’ensemble

Γ′>r := {γ ∈ Γ|γo ∈ Xh et d(o, γo) > r}



soit contractant.

Le semi-groupe engendré sera alors encore contractant et aura encore pourentropie hΓ par les points 4 et 8 des propriétés 2.29 de l’entropie, donc on aurabien obtenu la conclusion du théorème 4.1.

Preuve du lemme 4.23 — Soit

C := supx∈Xh

(x|ξ) <∞.

Montrons que les réels r > 2C + 8δ conviennent.Pour toute isométrie γ ∈ Γ′>r, le point ξ est dans Xγ−1 . En effet, on a l’inégalité

(ξ|γo) ≤ C < 12d(o, γo) qui donne que ξ n’est pas dans Xγ , et donc on a

ξ = γ−1ξ ∈ Xγ−1 .

Par δ-hyperbolicité, pour toutes isométries γ et γ′ ∈ Γ′>r on a l’inégalité

C ≥ (ξ|γ′o) ≥ min{(ξ|γ−1o), (γ−1o|γ′o)} − δ.

Or, on a (ξ|γ−1o) ≥ 12d(o, γo) > 1

2r > C + δ, donc on obtient l’inégalité

(γ−1o|γ′o) ≤ C + δ <1

2r − 3δ.

Par le critère de contraction 3.4, on obtient donc que la partie Γ′>r est contractante.�

Pour démontrer que l’ensemble Γ′ est d’entropie hΓ (i.e. la proposition 4.22),nous allons découper les boules B(o,R) en morceaux, selon les copies d’un domainefondamental pour l’élément h, et montrer que quitte à appliquer à chaque morceauune puissance de l’élément h, on peut ramener chaque morceau dans une partieproche deXh, tout en restant dans la boule. Le lemme suivant permettra de ramenerchaque morceaux.

Lemme 4.24. Soit X un espace métrique, et soit h une isométrie contractante deX. Alors il existe une constante C < ∞ telle que pour tout entier n ∈ N et pourtout réel R > 0 on ait l’inclusion

hn(h−nXh−1 ∩B(o,R)

)⊆ B(o,R+ C).

Preuve — Comme l’élément h est contractant, il existe une constante C telleque l’on ait

sup(x,x′)∈Xh−1×Xh

(x|x′) ≤ 1

2C <∞.

En particulier, pour tout entier n ≥ 1 et tout point x ∈ h−nXh−1 , on a

1

2C ≥ (hnx|hno) =

1

2(d(o, hnx) + d(o, hno)− d(o, x)) .

On a alors,d(o, hnx) ≤ d(o, x) + C,

d’où l’inclusion souhaitée. �


46 P. Mercat

Lemme 4.25. Soit X un espace métrique propre, soit Γ un semi-groupe d’isométriesde X, soit h une isométrie contractante de Γ, et soit S est une partie ε-séparée etcouvrante de Γ. Alors il existe une constante C > 0, telle que pour tout rayon R > 0

il existe une partie ε-séparée SR ⊆ Γ telle que l’on ait l’inégalité

#SRo ∩B(o,R+ C) ∩Xh ≥1

CR#So ∩B(o,R).

Ce lemme dit que l’on a une proportion non négligeable des éléments de la bouleB(o,R + C) qui sont dans le domaine Xh. Pour le démontrer, nous allons utiliserle lemme des tiroirs pour trouver un morceau de la boule qui contient beaucoupd’éléments, et ramener ce morceau par le lemme précédent dans le domaine Xh.

Preuve — PosonsDh := h−2 (Xh\hXh) .

Alors Dh est un domaine fondamental pour l’élément h qui est inclus dans Xh−1 .Majorons le nombre de morceaux du découpage de la boule B(o,R) par ce

domaine fondamental.

Sous lemme 4.26. Il existe une constante C0 > 0 telle que pour tout R > 1 ettout n ≥ C0R, on ait

B(o,R) ∩ h−nDh = ∅.Preuve — Si x ∈ h−nDh ⊆ h−nXh−1 , par le lemme 3.5 (pour X+ = Xh−1 etγ = h−n), on a

d(o, x) = (x|x) ≥ d(o, hno)− 2 supy∈Xh−1

(ho|y).

Or, par les lemmes 2.46 et 3.6, il existe des constantes C1 > 0 et C2 > 0 telles que

d(o, hno) ≥ C1n− C2.

Il existe donc une constante C0 > 0 telle que pour tout R ≥ 1 et n ≥ RC0 on ait

d(o, x) ≥ C1n− C2 − 2 supy∈Xh−1

(ho|y) > n/C0 ≥ R.

D’où x 6∈ B(o,R) pour x ∈ h−nDh avec n ≥ RC0. �

Figure 11. Partition de la boule B(o,R) à l’aide d’un domaine fondamental pour une isométriecontractante h.

h4

Xh

Dh



D’après ce sous-lemme, on peut donc partitionner la boule B(o,R) en n =

dC0Re+ 2 morceaux :

B(o,R) = (B(o,R) ∩Xh) tn−3⊔k=−1

(B(o,R) ∩ h−kDh

).

Le lemme des tiroirs nous donne alors que l’un des morceaux du découpage que l’onobtient pour B(o,R)∩ So est de cardinal au moins 1

n#B(o,R)∩ So. Si le morceauen question est B(o,R) ∩ Xh ou B(o,R) ∩ h−(−1)Dh, alors le résultat est clair :SR := hS convient. Sinon, le morceau est B(o,R) ∩ h−kDh pour un entier k ≥ 0.Par le lemme précédent, on a alors

hk(B(o,R) ∩ So ∩ h−kDh

)⊆ B(o,R+ C ′) ∩Dh ∩ hkSo,

pour une constante C ′ assez grande. Et par inégalité triangulaire, on a

h2(B(o,R+ C ′) ∩Dh ∩ hkSo

)⊆ B(o,R+ C ′ + d(o, h2o)) ∩ h2Dh ∩ hk+2So.

Comme on a l’inclusion h2Dh ⊆ Xh, les inégalités précédentes donne l’inégalitéannoncée

#SRo ∩B(o,R+ C) ∩Xh ≥1

CR#So ∩B(o,R),

avec SR = hk+2S, pour tout R ≥ 1, pour une constante C assez grande. �Voici maintenant un lemme d’inversion des quantificateurs.

Lemme 4.27. Soit X un espace métrique propre, soit Γ′ ⊆ Isom(X), et soienth ≥ 0, C > 0 et ε > 0 des réels. Si pour tout réel R ≥ 1, il existe une partieε-séparée SR ⊆ Γ′ telle que l’on ait l’inégalité

#SR ∩B(o,R) ≥ CehR,

alors on a hΓ′ ≥ h.

Preuve — Soit S ⊆ Γ′ une partie séparée et ε2 -couvrante. On a les inégalités

hΓ′ = lim supR→∞

1

Rlog(#So ∩B(o,R)))

≥ lim supR→∞

1

Rlog(#SRo ∩B(o,R))))

≥ h.

�Preuve de la proposition 4.22 — Soit S une partie ε-séparée et couvrante

du semi-groupe Γ. En utilisant le lemme 4.25, on obtient l’inégalité

#SRo ∩B(o,R+ C) ≥ 1

CR#So ∩B(o,R),

pour une partie SR ε-séparée de Γ′, pour tout R > 1 et pour une constante C.Comme S est une partie couvrante de Γ, son exposant critique est minoré par hΓ,ce qui donne

1

CR#So ∩B(o,R) ≥ e(hΓ−εR)R,


48 P. Mercat

avec limR→∞ εR = 0. Le lemme 4.27 nous donne alors l’inégalité hΓ′ ≥ hΓ − εR,puis on obtient l’inégalité hΓ′ ≥ hΓ en faisant tendre R vers l’infini.

L’autre inégalité hΓ′ ≤ hΓ se déduit de l’inclusion Γ′ ⊆ Γ. �Ceci termine la preuve du théorème 4.1 : tous les cas ont été traités, puisque le

support est non vide par la proposition 4.8.

4.7. Contre-exemple quand l’ensemble limite du semi-groupe Γ est réduit à un pointSans l’hypothèse #ΛΓ ≥ 2, les théorèmes 4.1 et 1.3 sont faux en général.

Exemple 4.28. Pour X = H2R muni de sa métrique usuelle, le sous-semi-groupe

de SL(2,R) engendré par les matrices(

1 1y

0 1

)et(

2 0y

0 12

)a pour entropie 1

2 ,

mais ne contient que des sous-semi-groupes contractants d’entropie nulle, donc enparticulier ne contient que des sous-semi-groupes de Schottky d’exposant critiquenul.

Même chose avec le groupe parabolique engendré par la matrice(

1 1y

0 1

).

Figure 12. Orbite d’un point sous l’action du semi-groupe de l’exemple 4.28.

5. Semi-groupes de SchottkyLes semi-groupes de Schottky sont les semi-groupes ayant la dynamique la

plus simple, puisque par définition leurs générateurs jouent au « ping-pong ». Enparticuliers ils sont libres et séparés. Le théorème principal de cette section, quenous démontrons ici (théorème 5.3), affirme que l’entropie d’un semi-groupe estapprochée aussi près que l’on veut par celle de ses sous-semi-groupes de Schottky.

Définition 5.1. Soient X un espace métrique, et Γ un semi-groupe d’isométriesde X. On dit que le semi-groupe Γ est de Schottky pour une partie X+ ⊆ X,s’il admet une partie génératrice finie {g1, g2, ..., gn}, telle que les parties g1X+,



g2X+, ..., gnX+ et X\X+ soient deux à deux Gromov-disjointes, et que l’ensembleX+\(g1X+ ∪ ... ∪ gnX+) soit d’intérieur non vide.

Figure 13. Un semi-groupe de Schottky engendré par deux isométries g1 et g2

X+

g1X+

g2X+

Propriétés 5.2. Soit X un espace métrique et soit Γ un semi-groupe de Schottkyd’isométries de X. On a alors :1. Le semi-groupe Γ est libre.2. Le semi-groupe Γ est séparé (donc en particulier d’orbite discrète).3. Le semi-groupe Γ est contractant.4. Si l’espace X est propre, on a δΓ <∞.

Preuve — Soit B une boule incluse dans l’ensemble X+\(g1X+ ∪ ... ∪ gnX+),alors ses images par les isométries de Γ sont toutes deux à deux disjointes. Donc lesemi-groupe est libre et séparé. Le semi-groupe Γ est contractant pour les domainesX\X+ et g1X+ ∪ ... ∪ gnX+, en choisissant o ∈ X+\(g1X+ ∪ ... ∪ gnX+). Pourobtenir la finitude de l’exposant critique, il suffit d’utiliser le lemme 3.8 pour obtenirun entier k tel que pour tous générateurs γ1, ..., γk, on ait

d(o, γ1...γko) ≥ 2M + 1,

où M est la constante de Gromov-disjonction du semi-groupe contractant Γ. Puison utilise le lemme 3.6 pour obtenir la minoration

d(o, γ1...γno) ≥⌊nk

⌋,

pour tout n, et pour des générateurs γ1, ..., γn. Et on obtient alors la majorationδΓ ≤ k log(N), où N est le nombre de générateurs du semi-groupe Γ. �

Théorème 5.3. Soit X un espace Gromov-hyperbolique propre, et soit Γ un semi-groupe d’isométries de X. Si le semi-groupe Γ est contractant, alors pour tout ε > 0,il existe un sous-semi-groupe Schottky Γ′ ⊆ Γ tel que δΓ′ ≥ hΓ − ε.


50 P. Mercat

Pour construire un « gros » sous-semi-groupe de Schottky, nous considèreronsune partie suffisamment séparée de ce semi-groupe contractant, et montrerons queles éléments de norme donnée assez grande, contractent à des endroits suffisammentécartés les uns des autres pour jouer au « ping-pong » et donc engendrer un semi-groupe de Schottky.

Lemme 5.4. Soit X un espace Gromov-hyperbolique, et soient X− et X+ des partiesde X. Alors il existe un réel r et un entier n0 tels que pour tout semi-groupecontractant Γ d’isométries de X pour les parties X+ et X−, pour toute partie S r-séparée de Γ, et pour tout entier n ≥ n0, l’ensemble S∩An engendre un semi-groupede Schottky pour le domaine X+, où l’on a posé

An := {γ ∈ Isom(X)|d(o, γo) ∈ [n, n+ 1[}.

Preuve — Supposons qu’il existe un semi-groupe contractant pour les partiesX− et X+ (sinon il n’y a rien à démontrer). Montrons que le réel r := 4C + 4δ + 2

convient, oùC := sup

(x,x′)∈X+×X−(x|x′),

et δ est un réel tel que l’espace X soit δ-hyperbolique.Soit Γ un semi-groupe contractant pour les parties X− et X+, et soient γ et γ′

deux isométries de An qui vérifient l’inégalité

d(γo, γ′o) ≥ r.

Montrons qu’alors les domaines γX+ et γ′X+ sont Gromov-disjoints.Soient x ∈ γX+ et x′ ∈ γ′X+. Par Gromov-hyperbolicité, on a alors

(γo|γ′o) ≥ min{(γo, x), (x|x′), (x′, γ′o)} − 2δ.

Or, on a l’inégalité

(γo|γ′o) =1

2(d(γo, o) + d(γ′o, o)− d(γo, γ′o))

< (n+ 1)− r

2= n− 2C − 2δ,

et d’après le lemme 3.5, on a les inégalités

(γo|x) ≥ d(o, γo)− 2C ≥ n− 2C

et de même (x′|γ′o) ≥ n− 2C. On obtient donc l’inégalité

(x|x′) < n− 2C.

Les ensembles γX+ et γ′X+ sont alors disjoints, puisque si l’on avait y ∈γX+ ∩ γ′X+, on aurait l’absurdité

n− 2C − 2δ > (γo|γ′o) ≥ min{(γo|y), (y, γ′o)} − δ ≥ n− 2C − δ.



On a donc montré que les ensembles γX+ et γ′X+ sont (n− 2C)-disjoints. Pourfinir, l’intersection B(o, n − 1) ∩X+ est d’interieur non vide si l’entier n est assezgrand, et elle est incluse dans X+\ (∪γ∈S∩AnγX+).

�Ainsi, pour n assez grand et pour le réel r donné par le lemme, si l’on considère

une partie S r-séparée et couvrante de Γ, alors l’ensemble An ∩ S engendre unsemi-groupe de Schottky. Et par les points 3 et 5 des propriétés 2.29 et la remarque2.4 on a

hΓ = lim supn→∞

1

nln(#(An ∩ S)).

Pour tout ε > 0, on peut donc trouver un entier n tel que

ln(#(An ∩ S)) ≥ n(hΓ − ε).

Montrons alors que le semi-groupe de Schottky Γ′ engendré par An ∩ S a unexposant critique supérieur ou égal à n

n+1 (hΓ − ε). Pour cela, on va utiliser lelemme suivant.

Lemme 5.5. Soit X un espace métrique. Si une partie S du groupe d’isométriesIsom(X) engendre un semi-groupe libre Γ, alors on a la minoration de l’exposantcritique :

δΓ ≥log(#S)

r,

où r = supγ∈S d(o, γo).

Preuve — Cela découle de l’inégalité triangulaire. Pour des générateursγ1, ..., γn ∈ S, on a

d(γ1...γno, o) ≤ d(γ1o, o) + ...+ d(γno, o) ≤ nr,

donc, par liberté du semi-groupe Γ pour la partie S, on obtient

#{γ ∈ Γ|d(o, γo) ≤ nr} ≥ (#S)n.

On a donc


1

nln(#{γ ∈ Γ|d(o, γo) ≤ n})

≥ lim supn→∞

1

nrln((#S)n)

=ln(#S)

r.

�En appliquant le lemme 5.5 à la partie An ∩S, qui engendre un semi-groupe qui

est de Schottky et qui est donc libre, on obtient l’inégalité

δΓ′ ≥log(#(An ∩ S))

n+ 1≥ n

n+ 1(hΓ − ε).


52 P. Mercat

Or, l’entier n pouvait être choisi arbitrairement grand, et le réel ε > 0 est arbitraire.Ceci achève la preuve du théorème 5.3.

On peut maintenant facilement démontrer le théorème 1.3.Preuve du théorème 1.3 — On déduit aisément des théorèmes 4.1 et 5.3

l’inégalitésupΓ′<Γ

Γ′ sous-semi-groupe de Schottky

δΓ′ ≥ hΓ.

L’autre inégalité s’obtient en remarquant qu’un semi-groupe de Schottky est séparé.�

6. Dimension visuelleDans cette section, nous voyons une application du théorème 1.3 à « l’étude

au bord » d’un semi-groupe. Nous obtenons le corollaire 6.4 ci-après qui est unegénéralisation d’un résultat de F. Paulin (voir [Pau]) qui généralise lui-même unrésultat de Coornaert (voir [Coo]).

Soit X un espace Gromov-hyperbolique. Pour définir ce qu’est la dimensionvisuelle d’une partie Λ du bord ∂X, introduisons quelques notations.

On définit la boule β(ξ, r) de centre ξ et de rayon r sur le bord ∂X par

β(ξ, r) := {η ∈ ∂X|(ξ|η) > − log(r)}.

Définition 6.1. On appelle mesure visuelle de dimension s d’une partie Λ ⊆∂X du bord d’un espace X Gromov-hyperbolique, le réel

Hs(Λ) := limε→0

Hsε (Λ),

où Hsε (Λ) est la borne inférieure des sommes∑

i∈Nrsi

sur tous les recouvrements (β(ξi, ri))i∈N de l’ensemble Λ par des boules de rayonsri ≤ ε.

On appelle dimension visuelle d’un ensemble Λ ⊆ ∂X le réel

dimvis(Λ) := inf{s ∈ R+|Hs(Λ) = 0}.

Remarque 6.2. On a aussi

dimvis(Λ) = sup{s ∈ R+|Hs(Λ) =∞}.

Remarque 6.3. La mesure visuelle est une mesure.

La notion de dimension visuelle généralise celle de dimension de Hausdorff.



6.1. Lien entre dimension visuelle et entropie On a le résultat suivant.

Corollaire 6.4. Soit X un espace Gromov-hyperbolique propre à bord compact etsoit Γ un semi-groupe d’isométries de X dont l’ensemble limite contient au moinsdeux points. Alors on a l’égalité

dimvis(ΛcΓ) = hΓ.

F. Paulin a énoncé ce résultat pour les groupes discret, et sa preuve sembles’adapter aux semi-groupes. Cependant, il fait des hypothèses supplémentaires parrapport à notre preuve, qui sont le fait que l’espace X soit géodésique, qu’il soitquasi-géodésique, que le semi-groupe soit séparé, et qu’il ne fixe pas de point aubord (voir [Pau]).

Voici l’inégalité facile entre entropie et dimension visuelle de l’ensemble limite radial.

Proposition 6.5. Soit X un espace Gromov-hyperbolique propre, et soit Γ unsemi-groupe d’isométries de X. On a l’inégalité

dimvis(ΛcΓ) ≤ hΓ.

Preuve — Soit S une partie séparée et couvrante de Γ. Montrons que l’on al’inégalité dim(ΛcS) ≤ δS . Comme on a les égalités ΛcS = ΛcΓ et δS = hΓ, ceci donnerabien l’inégalité souhaitée.

Définissons l’ombre d’une boule B(x, r) par

OB(x, r) := {ξ ∈ ∂X|(o|ξ)x ≤ r}.

On a alors l’inclusionΛcS ⊆

⋃r>0

⋂n≥0

⋃γ∈S≥n

OB(γo, r),

où S≥n := {γ ∈ S|d(o, γo) ≥ n}. En effet, si un élément ξ est dans l’ensemble limiteradial ΛcS , alors il existe un réel r > 0 et une partie A de So qui est une r-sous-quasi-géodésique telle que ξ ∈ ∂A. On a alors pour tout x ∈ A, ξ ∈ OB(x, r), etpour tout n ∈ N, A≥n 6= ∅.

Posons alorsΛr :=

⋂n≥0

⋃γ∈S≥n

OB(γo, r),

pour un réel r > 0 et montrons que pour s > δS , on a Hs(Λr) <∞.On peut recouvrir chaque ombre par une boule de rayon e−d(o,x)+r+δ. En effet,

soient ξ et ξ′ deux points de l’ombre OB(x, r). On a alors

(ξ|ξ′) ≥ min{(ξ|x), (x|ξ′)} − δ ≥ d(o, x)− r − δ,

par δ-hyperbolicité, et par l’inégalité

(ξ|x) = −(o|ξ)x + d(o, x) ≥ d(o, x)− r

et de même avec ξ′.


54 P. Mercat

Ainsi, pour ε > 0, en considérant un recouvrement de l’ensemble Λr par desboules de rayon ≤ ε qui recouvrent les ombres OB(γo, r) pour γ ∈ S assez grand,on obtient

Hs(Λr) = limε→0

Hsε (Λr) ≤

∑γ∈S

e−s(d(o,γo)−r−δ) = es(r+δ)Ps,

où Ps =∑γ∈S e

−sd(o,γo) est la série de Poincaré de S. On a Ps <∞ dès que s > δS ,d’où Hs(Λr) <∞.

On a ensuite Hs(Λr) = 0 pour tout s > δS , puis

Hs(ΛcS) = Hs(⋃r>0

Λr) = 0.

Ainsi, on adimvis(Λ

cS) ≤ s

pour tout s > δS , d’où l’inégalité dimvis(ΛcS) ≤ δS .

�Pour obtenir le corollaire 6.4 à partir du théorème 1.3, il suffit de démontrer le

résultat dans le cas des semi-groupes de Schottky :

Proposition 6.6. Soit X un espace Gromov-hyperbolique propre à bord compact,et soit Γ un semi-groupe de Schottky d’isométries de X. Alors on a l’égalité

dimvis(ΛΓ) = δΓ.

Preuve — Par les propositions 6.5 et 3.9, on a déjà l’inégalité

dimvis(ΛΓ) ≤ hΓ ≤ δΓ.Montrons l’inégalité dimvis(ΛΓ) ≥ δΓ. Pour cela, on va utiliser le lemme suivant,

dû à Frostman, qui ramène le problème à construire une mesure convenable surl’ensemble limite ΛΓ du semi-groupe Γ.

Lemme 6.7. Soit X un espace Gromov-hyperbolique et soit µ une probabilité portéepar une partie Λ du bord ∂X. S’il existe un réel s et une constante C > 0 tels quel’on ait

µ(β(ξ, r)) ≤ Crs,pour toute boule β(ξ, r) du bord ∂X, alors on a l’inégalité

dimvis Λ ≥ s.Preuve — Soit ε > 0, et soit R un recouvrement de l’ensemble Λ par des boules

de tailles inférieures à ε. On a alors les inégalités∑β(ξ,r)∈R

rs ≥∑

β(ξ,r)∈R

1

Cµ(β(ξ, r)) ≥ 1

Cµ(∂X) =

1

C.

On en déduit, en passant à la borne inférieure sur tous ces recouvrements quel’on a l’inégalité Hs

ε (Λ) ≥ 1C , puis en passant à la limite quand ε tend vers 0, que

l’on a Hs(Λ) ≥ 1C . On obtient donc bien l’inégalité souhaitée.

�La mesure à laquelle nous appliquerons ce lemme pour conclure est la mesure µ

de Patterson-Sullivan, que nous allons définir maintenant.



6.1.1. Mesure de Patterson-Sullivan Soit X un espace Gromov-hyperboliquepropre à bord compact et soit Γ un semi-groupe discret d’isométries de X, avecδΓ <∞. Définissons des probabilités µs sur l’espace X, pour des réels s > δΓ, par

µs :=1

Ps

∑γ∈Γ

e−sd(o,γo)Dγo,

où Ps :=∑γ∈Γ e

−sd(o,γo) est la série de Poincaré de Γ, et Dx est le Dirac en x.

Remarque 6.8. La série de Poincaré Ps diverge pour s < δΓ et converge pours > δΓ.

Pour définir la mesure µ, nous aurons besoin que la série de Poincaré soitdivergente en δΓ (i.e. PδΓ =∞). On la rend divergente grâce au lemme suivant.

Lemme 6.9 (Astuce de Patterson) Soit s0 un réel et (an)n∈N une suite de réelspositifs. Si la série de Dirichlet

∑n∈N a

−sn est divergente pour s < s0 et convergente

pour s > s0, alors il existe une fonction croissante k : [0,∞[→ [0,∞[ telle que lasérie ∑

n∈Nk(an)a−sn

converge pour s > s0 et diverge pour s < s0 et pour s = s0, et avec de plus lapropriété : pour tout ε > 0, il existe un réel y0 tel que pour y > y0 et x > 1, on ait

k(xy) ≤ xεk(y).

Voir [Pat] pour une preuve.Pour rendre la série de Poincaré divergente en s = δΓ, il suffit de la remplacer

par :Ps :=

∑γ∈Γ

k(ed(o,γo))e−sd(o,γo),

où k est la fonction fournie par ce lemme, et l’on fait de même pour la définitiondes mesures µs.

Les mesures µs sont des mesures de probabilités. Or, par hypothèse, l’adhérenceX est compacte. Et l’ensemble de probabilités P(X) sur le compact X, muni dela convergence vague, est alors compact (voir par exemple [Rud]). Il existe doncune suite de réels (sk)k∈N, avec pour tout k, sk > δΓ, telle que la suite de mesures(µsk)k∈N converge vaguement vers une mesure de probabilité µ :

sk −−−−→k→∞

δΓ et µsk −−−−⇀k→∞

µ.

La mesure µ est alors portée par le bord ∂X, puisque Γ est une partie discrète,que l’espace X propre et que l’on a lims→δΓ Ps =∞.

Avant de majorer la mesure µ sur toutes les boules, majorons là sur les ensemblesγX+.

Lemme 6.10. Soit X un espace Gromov-hyperbolique propre à bord compact, etsoit Γ un semi-groupe d’isométries de X, de Schottky pour un domaine X+. Alors


56 P. Mercat

il existe un point o tel que si µ est la mesure de Patterson-Sullivan définie ci-dessus(pour ce point o), alors il existe une constante C > 0 telle que pour toute isométrieγ ∈ Γ, on ait l’inégalité

µ(∂(γX+)) ≤ Ce−δΓd(o,γo).

Preuve — On a le lemme suivant.

Lemme 6.11. Soit X un espace métrique, et Γ un sous-semi-groupe de Schottky deIsom(X), pour une partie X+ ⊂ X. Pour un point o ∈ X+\ (∪g générateurgX+), ona les équivalences

γX+ ∩ γ′X+ 6= ∅ ⇐⇒ (γ ∈ γ′Γ ou γ′ ∈ γΓ) ,

γ′o ∈ γX+ ⇐⇒ γ′ ∈ γΓ,

pour toutes isométries γ et γ′ ∈ Γ.

Preuve — Montrons la première équivalence. Soient γ et γ′ deux isométries deΓ telles que l’on ait γX+ ∩ γ′X+ 6= ∅. Soient g et g′ les générateurs tels que γ ∈ gΓ

et γ′ ∈ g′Γ. Étant donné que les ensembles gX+ et g′X+ sont Gromov-disjoints sig 6= g′ et que l’on a les inclusions γX+ ⊆ gX+ et γ′X+ ⊆ g′X+, on a nécessairementg = g′. Par récurrence, on a bien obtenu que γ ∈ γ′Γ ou γ′ ∈ γΓ. La réciproque estclaire.

Montrons la deuxième équivalence. Soient γ et γ′ deux isométries de Γ telles quel’on ait γ′o ∈ γX+. On a γ′o ∈ γ′X+ ∩ γX+ puisque o ∈ X+. Par l’équivalenceprécédente, on a donc γ′ ∈ γΓ ou γ ∈ γ′Γ. Supposons que l’on ait γ′ 6∈ γΓ. On peutalors trouver un générateur g tel que l’on ait γ ∈ γ′gΓ. On a ensuite l’inclusionγX+ ⊆ γ′gX+, donc γ′o ∈ γ′gX+, puis o ∈ gX+, ce qui contredit l’hypothèse.Donc on a bien γ′ ∈ γΓ. La réciproque est claire. �

Choisissons un point o ∈ X+\ (∪g générateurgX+) (i.e. comme dans le lemme6.11).

Supposons que le semi-groupe Γ soit divergent. Pour tout s > δΓ et pour touteisométrie γ ∈ Γ, on a alors

µs(γX+) =1

Ps

∑γ′∈γΓ

e−sd(o,γ′o).

Or, le lemme 3.6 nous donne l’inégalité

d(o, γ′γo) ≥ d(o, γ′o) + d(o, γo)− 2C ′,

où C ′ est la constante de contraction du semi-groupe Γ pour le point o :

C ′ := supγ,γ′∈Γ

(γ−1o|γ′o) <∞.

On obtient alors

µs(γX+) ≤ 1

Pse2sC′e−sd(o,γo)

∑γ′∈Γ

e−sd(o,γ′o) = e2sC′e−sd(o,γo).



D’où l’inégalitéµs(γX+) ≤ Cse−sd(o,γo).

avec Cs = e2sC′ . En passant à la limite, on obtient l’inégalité voulue

µ(∂(γX+)) ≤ Ce−δΓd(o,γo),

où C = e2δΓC′, puisque l’ensemble ∂(γX+) ∩ ΛΓ est isolé (c’est-à-dire ouvert et

fermé) dans l’ensemble limite ΛΓ.Si le semi-groupe n’est pas divergent, on modifie le calcul précédent en conséquent

en utilisant l’astuce de Patterson, et on conclut de la même façon. �Montrons maintenant que la mesure µ est majorée pour toutes les boules.

Lemme 6.12. Soit X un espace Gromov-hyperbolique propre à bord compact, etsoit Γ un semi-groupe d’isométries de X, de Schottky pour un domaine X+. Soito le point donné par le lemme 6.11, et soit µ la mesure de Patterson-Sullivancorrespondante. Alors il existe une constante C > 0 telle que pour toute bouleβ(ξ, r) du bord ∂X, on ait l’inégalité

µ(β(ξ, r)) ≤ CrδΓ .

Preuve— Soit C ′ la constante donnée par le lemme 6.10. Soit β(ξ, r) une boule.Si la boule n’intersecte pas l’ensemble limite ΛΓ, on a µ(β(ξ, r)) = 0, et il n’y a rienà démontrer. Supposons donc que la boule rencontre l’ensemble limite. On peutalors supposer que l’on a ξ ∈ ΛΓ, quitte à recouvrir la boule β(ξ, r) par une boulede rayon 2r centrée en un point de l’ensemble limite ΛΓ, et à multiplier la constanteC par 2δΓ .

NotonsΓk := {γ ∈ Γ|γ de longueur k en les générateurs},

et Γ0 := {id}. Soit n un entier tel que l’on ait

#{γ ∈ Γn|∂(γX+) ∩ β(ξ, r) 6= ∅} = 1, et

#{γ ∈ Γn+1|∂(γX+) ∩ β(ξ, r) 6= ∅} ≥ 2.

Cet entier existe bien, puisque pour n = 0 on a ∂X+∩β(ξ, r) 6= ∅, et puisque l’on a

limn→∞

#{γ ∈ Γn|∂(γX+) ∩ β(ξ, r) 6= ∅} =∞.

En effet, si l’on a γno −−−−→n→∞

ξ pour une suite (γn)n∈N d’éléments de Γ, alors ona ∂(γnX+) ⊆ β(ξ, r) à partir d’un certain rang par le lemme 3.5 et par Gromov-hyperbolicité.

Soit γ ∈ Γn tel que ∂(γX+) ∩ β(ξ, r) 6= ∅. Comme la mesure µ est portéel’ensemble limite ΛΓ, on a

µ(β(ξ, r)) ≤ µ(∂(γX+)) ≤ C ′e−δd(o,γo)

par le lemme 6.10 et par le choix de n. Il reste donc à majorer la quantité ed(o,γo)

en fonction de r.


58 P. Mercat

Pour tout γ′ ∈ Γn+1 tel que ∂(γ′X+) ∩ β(ξ, r) 6= ∅, on a γ′ ∈ γΓ. Soient alorsg 6= g′ deux générateurs tels que l’on ait

∂(γgX+) ∩ β(ξ, r) 6= ∅ et ∂(γg′X+) ∩ β(ξ, r) 6= ∅.

Soit C ′′ > 0 une constante telle que les parties gX+ pour g parcourant lesgénérateurs, et X+, soient deux à deux C ′′-Gromov disjointes. L’image γ−1β(ξ, r)

de la boule β(ξ, r) par l’isométrie γ−1 rencontre les ensembles ∂(gX+) et ∂(g′X+),donc il existe des points η et η′ de γ−1β(ξ, r) tels que l’on ait l’inégalité

(η|η′) ≤ C ′′.

On a alors

C ′′ ≥ (η|η′)= (γη|γη′) + (γ−1o|η) + (γ−1o|η′)− d(o, γo)

≥ − log(r)− δ + 0 + 0− d(o, γo)

d’où l’inégalitée−d(o,γo) ≤ eC

′′+δr.

On obtient donc l’inégalité escomptée avec C = C ′eC′′+δ. �

Les lemmes 6.12 et 6.7 donnent l’inégalité

dimvis(ΛΓ) ≥ δΓ,

ce qui termine cette preuve de la proposition 6.6. �On peut maintenant facilement retrouver la généralisation du résultat de Paulin.Preuve du corollaire 6.4 — Soit ε > 0. Par le théorème 1.3, il existe un sous-

semi-groupe Γ′ de Schottky de Γ tel que l’on ait δΓ′ ≥ hΓ − ε. Par les propositions6.6 et 3.9, on a donc les inégalités

dimvis(ΛcΓ) ≥ dimvis(Λ

cΓ′) = dimvis(ΛΓ′) = δΓ′ ≥ hΓ − ε.

Ceci étant vrai pour tout ε > 0, on en déduit l’inégalité

dimvis(ΛcΓ) ≥ hΓ.

L’autre inégalité est donnée par la proposition 6.5. �

6.2. Semi-groupes de développement β-adique Dans cette sous-section, nousobtenons une application du corollaire 6.4 aux semi-groupes de développement enbase β.

Le semi-groupe de développement en base β ∈ C avec ensemble dechiffres A est le semi-groupe engendré par les applications affines :

x 7→ x/β + t,

où t ∈ A, pour une partie finie A de C.



On peut voir ce semi-groupe comme un sous-semi-groupe de SL2(C). En effet, à

l’application x 7→ x/β+ t, on peut associer la matrice

(1√β

t√β

0√β

), où√β est une

racine carrée de β. On a donc une action par isométrie du semi-groupe sur l’espaceX = H3

R := {z+τj|z ∈ C, τ > 0} (vu comme partie de l’ensemble des quaternions),dont le bord ∂X s’identifie à C ∪ {∞}. L’action de l’application x 7→ x/β + t surH3

R est donnée par

(x 7→ x/β + t).(z + τj) = (z/β + t) + (τ/ |β|)j.

L’ensemble limite du semi-groupe est alors exactement l’ensemble des nombrescomplexes qui admettent un développement β-adique n’ayant qu’un seul chiffreavant la virgule et avec ensemble de chiffres A.

Tout ceci fonctionne également en remplaçant le corps C par R.

Définition 6.13. On appelle nombre de Salem généralisé un entier algébriqueβ ∈ C de module strictement supérieur à 1, dont tous les conjugués sont de modulesinférieurs ou égaux à 1, sauf éventuellement son conjugué complexe. On appellenombre de Pisot généralisé un entier algébrique β ∈ C de module strictementsupérieur à 1, dont tous les conjugués sont de modules strictement inférieurs à 1,sauf éventuellement son conjugué complexe.

Remarque 6.14. Dans la définition classique de nombres de Pisot et de Salem,on demande à ce que le nombre soit un réel β > 1, mais tout ce que l’on verra estvalable pour cette définition plus générale.

Proposition 6.15. Soit Γ le semi-groupe engendré par les applications

x 7→ x/β + t

où t ∈ A pour une partie finie A ⊂ Q(β). Si β est un nombre de Salem généralisé,alors on a l’égalité

dimH(ΛΓ) = δΓ.

Figure 14. Développement en base β = ϕ (le nombre d’or, qui est un nombre de Pisot), avecensemble de chiffres A = {0, 1}.

Avant de démontrer la proposition, on a le lemme suivant.


60 P. Mercat

Le lemme qui suit dit que si l’on regarde l’orbite d’une boule par le semi-groupe,alors le nombre de chevauchements en un point donné n’est pas trop grand parrapport à la distance au point base o.

Lemme 6.16. Sous les hypothèses de la proposition 6.15, il existe un entier r telque l’on ait

#{γ ∈ Γ|d(γj, x) ≤ 1} = Od(j,x)→∞

(d(j, x)r),

pour x ∈ H3R.

Remarque 6.17. Si l’entier algébrique β est de Pisot, alors le semi-groupe Γ estmême séparé (voir la condition de séparation de Lalley [Lal]), et donc on peutprendre r = 0.

Preuve du lemme 6.16 —Le resultat suivant permet de majorer le paramètre de translation des isométries

du semi-groupe Γ.

Sous lemme 6.18. Si Γ est un sous-semi-groupe de Aff(C) engendré par desapplication x 7→ x/β+t, pour t ∈ A, avec A partie finie de C et β ∈ C tel que |β| > 1,alors il existe une constante C telle que pour toute application x 7→ αx+ t ∈ Γ, onait |t| ≤ C.

Preuve — Un élément du semi-groupe Γ s’écrit

x 7→ x/βn +

n−1∑k=0

tkβk,

avec tk ∈ A. On a alors la majoration∣∣∣∣∣n−1∑k=0

tkβk

∣∣∣∣∣ ≤ maxt∈A|t|

n−1∑k=0

1

|β|k≤ maxt∈A |t|

1− 1|β|

.

�Notons

Γx := {γ ∈ Γ|d(γj, x) ≤ 1}.

On a alors les resultats suivants.

Sous lemme 6.19. Il existe une constante C telle que pour tout x ∈ H3R, toute

isométrie de Γx est de longueur au moins d(j,x)−Clog(β) et au plus d(j,x)+C

log(β) en lesgénérateurs.

Preuve — En effet, on a l’inégalité triangulaire

d(j, x)− d(γj, x) ≤ d(j, γj) ≤ d(γj, x) + d(j, x).

Par ailleurs, si l’on écrit γj = |β|−n j + t, on a

d(j, |β|−n j)− d(j, j + t) ≤ d(j, γj) ≤ d(j, |β|−n j) + d(j, j + t)



où n est la longueur de γ. Ensuite, d’après le sous-lemme 6.18, la quantité d(j, j+t)

est bornée par une constante C ′ indépendante de γ et de x. Et on vérifie quel’on a d(j, |β|−n j) = n log(β) pour la métrique usuelle de H3

R. On obtient alorsl’encadrement

d(j, x)− C ′ − 1 ≤ n log(β) ≤ d(j, x) + C ′ + 1.

D’où l’encadrement sur la longueur n de γ avec C = C ′ + 1.�

Posonsnx :=

⌊d(j, x) + C

log(β)

⌋,

la plus grande longueur possible des éléments de Γx. On a alors le resultat suivant.

Sous lemme 6.20. Il existe une constante C telle que pour tout x ∈ H3R on ait

diam (βnxΓx0) ≤ C,

où 0 est le point du bord 0 = 0 + 0j ∈ ∂H3R.

Preuve — L’application y 7→ βnxy étant une isométrie, on a

d(βnxγj, βnxx) = d(γj, x) ≤ 1,

pour tout γ ∈ Γx. D’autre part, si l’on écrit γj = γ0 + |β|−n j, alors on a

βnxγj = βnxγ0 + |β|nx−n j,

où n est la longueur de γ. Or, par le sous-lemme 6.19, il existe une constante Ctelle que pour γ ∈ Γx, on ait |n− nx| ≤ C, où n est la longueur de γ. La distance

d(βnxγ0, βnxx)

est donc bornée indépendamment de x et γ ∈ Γx, par inégalité triangulaire. �Quitte à multiplier la partie A par les dénominateurs (ce qui ne change pas la

conclusion du sous-lemme), on peut supposer que l’on a A ⊆ Z[β]. La quantité

βnxγ0 ∈ C

est alors un polynôme en β à coefficients entiers, pour tout élément γ ∈ Γx.Construisons alors un espace E (indépendant du point x), dans lequel l’anneau

Z[β] sera discret.Soit P l’ensemble des valeurs absolues archimédiennes du corps k := Q(β), à

équivalence près. L’ensemble P est fini (de cardinal majoré par le degré de β), etl’on peut poser

E :=∏v∈P

kv,

où kv est le complété du corps k pour la valeur absolue v.On a alors E = Rr × Cs, où r est le nombre conjugués réels de β, et 2s est son

nombre de conjugués complexes.On a maintenant le résultat suivant,


62 P. Mercat

Proposition 6.21. L’anneau Z[β] est discret dans l’espace E.

qui découle de la formule du produit, qui est un résultat classique de théorie desnombre (voir par exemple [Lang]).

Remarque 6.22. On peut même montrer que Z[β] est un réseau co-compact del’espace E, mais nous n’en aurons pas besoin.

Proposition 6.23 (Formule du produit) Soit k un corps de nombres. Pourtout x ∈ k\{0}, on a ∏

v∈Pk|x|v = 1,

où Pk est l’ensemble des valeurs absolues de k à équivalence près, où l’on a choisisles valeurs absolues « standards » dans chaque classe d’équivalence.

Preuve de la proposition 6.21 — Il suffit de montrer que le point 0 ∈ Z[β]

est isolé. On aura alors bien la discrétude puisque l’ensemble Z[β] est un groupeadditif. Soit B la boule de E de centre 0 et de rayon 1/2. Si un point x est dansB ∩ Z[β], alors on a ∏

v∈Pk|x|v ≤

∏v∈P|x|v ≤ (

1

2)r+s < 1,

puisque pour toute valeur absolue ultramétrique v, on a |β|v ≤ 1 et donc |x|v ≤ 1,étant donné que β est un entier algébrique. D’après la formule du produit, on adonc x = 0. D’où la discrétude de l’anneau Z[β] dans l’espace E. �

L’ensemble de valeurs absolues P peut s’écrire

P := P− ∪ P0 ∪ P+,

où– P+ est l’ensemble des valeurs absolues v ∈ P telles que |β|v > 1,– P0 est l’ensemble des valeurs absolues v ∈ P telles que |β|v = 1,– P− est l’ensemble des valeurs absolues v ∈ P telles que |β|v < 1.On peut alors décomposer cet espace E dans lequel l’anneau Z[β] est discret en

3 morceaux :E = E+ × E0 × E−,

où E− :=∏v∈P− kv, E0 :=

∏v∈P0

kv, et E+ :=∏v∈P+

kv.Le nombre β étant de Salem généralisé, il existe une unique valeur absolue v telle

que |β|v > 1. On a donc E+ = R ou C selon que le nombre β est réel ou complexe.Montrons maintenant que la partie βnΓx0 est suffisamment bornée dans l’espace

E.

Sous lemme 6.24. Il existe une constante C > 0 telle que pour tout point x ∈ H3R,

il existe des compacts K+, K0 et K− respectivement de E+, E0 et E−, de diamètresmajorés par C, tels que l’on ait l’inclusion

βnxΓx0 ⊆ Z[β] ∩K+ × ((nx + 1)K0)×K−.



Preuve — Soit un point x ∈ H3R et une isométrie γ ∈ Γx. L’expression βnxγ0

est un polynôme en β à coefficients dans Z, mais c’est aussi un polynôme en β, dedegré au plus nx, à coefficient dans A.

Pour obtenir le compact K−, il suffit alors de remarquer que si γ est un nombreréel ou complexe avec |γ| < 1, alors pour toute suite (ak)k∈N ∈ AN, on a∣∣∣∣∣

nx∑k=0

akγk

∣∣∣∣∣ ≤ maxa∈A|a|∞∑k=0

|γ|k =maxa∈A |a|

1− |γ|.

Si maintenant γ est un nombre de module 1, alors on a∣∣∣∣∣nx∑k=0

akγk

∣∣∣∣∣ ≤ maxa∈A|a|

nx∑k=0

1 = (nx + 1) maxa∈A|a| ,

pour toute suite (ak)k∈N ∈ AN, ce qui nous donne le compact K0.Pour finir, le lemme 6.20 permet d’obtenir le compact K+ dont le diamètre est

indépendant de x, et les compacts K0 et K− ne dépendent pas du point x ∈ H3R.

�Finissons la preuve de la proposition 6.16. Le groupe additif Z[β] étant discret

dans l’espace E, il existe un réel ε > 0 tel que les boules de E centrées aux pointsde Z[β] et de rayons ε sont disjointes. La quantité

#Z[β] ∩ (K+ × ((nx + 1)K0)×K−) · vol(B(j, ε))

est donc majorée par le volume d’un ε-voisinage du compact K+×((1+n)K0)×K−.On obtient donc la majoration

#Γx0 = #βnxΓx0

≤ #Z[β] ∩ (K+ × ((nx + 1)K0)×K−)

≤ C(nx + 1)p0

vol(B(j, ε)),

pour une constante C, et pour p0 le nombre de conjugués de β de module 1 (encomptant bien les conjugués complexes). D’autre part, on a nx = O(d(j, x)). Par lesous-lemme 6.19, on a alors, pour une constante C,

#Γx ≤nx∑

n=nx−C#Γx0 = (C + 1)#Γx0 = O(d(j, x)p0).

Ceci termine la preuve du lemme 6.16. �Preuve de la proposition 6.15— Le cas où A est de cardinal inférieur ou égal

à 1 est clair : on a facilement δΓ = 0 = dimH(ΛΓ). Supposons donc que l’ensembleA est de cardinal au moins 2. L’ensemble limite contient alors au moins deux points.D’après la proposition 3.9, l’ensemble limite du semi-groupe est radial : ΛΓ = ΛcΓ.Or, d’après le corollaire 6.4, l’ensemble limite radial a une dimension de Hausdorffégale à hΓ (puisque la dimension de Hausdorf coùncide avec la dimension visuelle,voir [GH] pour plus de détails). Il suffit donc de montrer l’égalité hΓ = δΓ pourconclure.


64 P. Mercat

Soit S une partie séparée et 1-couvrante de Γ. D’après le lemme 6.16, il existealors un entier r et une constante C tels que pour tout réel R assez grand on ait

#{γ ∈ Γ|d(γj, j) ≤ R} ≤ CRr#{γ ∈ S|d(γj, j) ≤ R},

On a alors


1

nlog(#{γ ∈ Γ|d(j, γj) ≤ n}

≤ lim supn→∞

1

nlog(#{γ ∈ S|d(j, γj) ≤ n}

= δS ,

puisque lim supn→∞1n log(Cnr) = 0. D’autre part, on a δS = hΓ puisque S est une

partie séparée et couvrante de Γ. On a donc obtenu l’inégalité hΓ ≥ δΓ, et l’autreinégalité hΓ ≤ δΓ est claire. Cela termine la preuve de la proposition 6.15. �

Conjecture 6.25 (Conjecture de Furstenberg modifiée et généralisée)Soit Γ un sous-semi-groupe de type fini de SL(2,R) dont l’ensemble limite n’est pasréduit à un seul point. Alors on a l’égalité

hΓ = min(δΓ, 1).

La conjecture originale posait plutôt la question de l’égalité dimH(ΛΓ) =

min(δΓ, 1). L’avantage de cette formulation, qui est équivalente grâce au corollaire6.4 quand le semi-groupe est contractant, est qu’elle ne fait plus intervenir le bord.

Kenyon attribue cette conjecture à Furstenberg, dans le cas particulier du semi-groupe engendré par les trois applications

x 7→ x/3

x 7→ x/3 + t

x 7→ x/3 + 1

où t est un réel. Cette question, sur cet exemple particulier, est toujours ouverteà ma connaissance, bien que l’on sache dire pas mal de choses (voir [Ken]). Surcet exemple, la conjecture de Furstenberg se résume à déterminer si l’on a l’égalitédimH(ΛΓ) = 1 quand t est irrationnel, puisque dans ce cas le semi-groupe est libre,ce qui donne δ = 1. Le cas où t est rationnel a été résolu par Kenyon (et est aussiconséquence de mes résultats puisque dans ce cas le semi-groupe est séparé). Avecmes travaux, la conjecture de Furstenberg se ramène à déterminer si l’on a l’égalitéhΓ = 1 pour tout t irrationnel.



Figure 15. Développement en base β = 3, avec ensemble de chiffres A = {0, 23, 1}.

7. Sous-groupes de SchottkyLes résultats sur les semi-groupes permettent d’obtenir un résultat sur les

groupes : voir corollaire 7.2 ci-dessous. Plus précisément, nous parvenons àconstruire des sous-groupes de Schottky à partir de sous-semi-groupes de Schottky,et ceci nous donne des groupes de Schottky ayant un « gros »exposant critique.

Les groupes de Schottky sont définit de façon similaire aux semi-groupes deSchottky, il s’agit des groupes de type fini dont les générateurs jouent au « ping-pong » :

Définition 7.1. Soit X un espace métrique. On dit qu’un ensemble G d’isométriesde X engendre un groupe de Schottky si c’est un ensemble fini et qu’il existe desparties X+

γ et X−γ pour tout γ ∈ G qui sont toutes deux-à-deux Gromov-disjointes,et telles que pour tout γ ∈ G on ait γ(X\X−γ ) ⊆ X+

γ , et telles que l’ensembleX\(

⋃γ∈GX

+γ ∪X−γ ) soit d’intérieur non vide.

Figure 16. Un groupe de Schottky engendré par deux isométries g et h.

X+g

X+h

X−g

X−h

Corollaire 7.2. Soit X un espace Gromov-hyperbolique propre et soit Γ ungroupe discret et sans torsion d’isométries de X ne fixant pas de point au bord,


66 P. Mercat

alors on a

supΓ′<Γ

Γ′ groupe de Schottky

δΓ′ ≥1

2δΓ,

où la borne supérieure est prise sur l’ensemble des sous-groupes de Schottky dugroupe Γ.

Ce résultat est à relier à une question dont parle M. Kapovich dans son article[Kap] (voir Problem 10.27, The gap problem). Avec ses notations, mon résultatdonne l’inégalité dn ≥ n/2. La question est de savoir si l’on peut atteindre dn = n

ou non.Preuve du corollaire 7.2 — Le théorème 4.1 permet de trouver un sous-semi-

groupe Γc du groupe Γ qui soit contractant pour des parties X+ et X− ⊂ X, etd’exposant critique δΓc = δΓ. On a alors le lemme suivant.

Lemme 7.3. Soit X un espace métrique de point base o, et soit Γc un sous-semi-groupe d’un groupe discret et sans torsion Γ d’isométries de X, qui soit contractantpour des parties X+ et X− de X. Pour tout ε > 0, et pour un entier n arbitrairementgrand, il existe une partie Sn de Γc telle que

– Sn engendre un semi-groupe de Schottky pour la partie X+,– S−1

n engendre un semi-groupe de Schottky pour la partie X−,– #Sn ≥ en(δΓc−ε),– Sn ⊆ An, où

An := {γ ∈ Isom(X)|d(o, γo) ∈ [n, n+ 1[}.

Preuve — D’après le lemme 5.4, il existe un réel r et un entier n0, tels que pourtoute partie r-séparée S de Γc et pour tout n ≥ n0, le semi-groupe engendré parS∩An soit de Schottky pour la partie X+. En faisant de même pour le semi-groupeinverse (Γc)

−1, on obtient un réel r′ et un entier n′0.Soit S une partie r-séparée et couvrante du semi-groupe contractant Γc. La partie

(S ∩ An)−1 est séparée, puisque faisant partie du groupe discret et sans torsion Γ.Par le lemme des tiroirs, il existe donc une constante C > 0 (dépendant de laséparation du groupe Γ et du réel r′), et une partie r′-séparée S−1

n de (S ∩An)−1,telles que l’on ait

#Sn ≥ C#(S ∩An).

Pour ε > 0 fixé, on peut alors trouver un entier n arbitrairement grand, pour lequelon a l’inégalité

#Sn ≥ en(δΓc−ε),

puisque l’on a hΓc = δΓc , par séparation du sous-semi-groupe Γc du groupediscret Γ. Et par le lemme 5.4 les parties Sn et S−1

n engendrent chacune un semi-groupe de Schottky respectivement pour les parties X+ et X−, puisqu’elles sontrespectivement r-séparées et r′-séparée. �

Construisons alors un groupe de Schottky de la façon suivante :



Figure 17. Construction d’un groupe de Schottky à partir d’un semi-groupe de Schottky dontl’inverse est aussi un semi-groupe de Schottky.

γγ

γ0X− X+

γX+γ−1X−

Lemme 7.4. Soit X un espace métrique, et soit γ0 une isométrie de X telleque l’ensemble {γ0} soit contractant pour des domaines X− et X+. Soit S lesgénérateurs d’un semi-groupe de Schottky pour la partie X+, tel que l’inverse S−1

engendre un semi-groupe de Schottky pour la partie X−. Posons

G := {γγ0γ|γ ∈ S}.

Alors G engendre un groupe de Schottky.

Preuve — Pour toute isométrie γ ∈ S, on a l’inclusion

γγ0γ(X\γ−1X−) = γγ0(X\X−) ⊆ γ(X+) = γX+,

et les parties γ−1X− pour γ décrivant S, et γ′X+ pour γ′ décrivant S, sont toutesdeux à deux Gromov-disjointes. �

Ainsi, en appliquant le lemme 7.4 avec la partie Sn donnée par le lemme 7.3 etavec un élément γ0 ∈ Γc quelconque, on obtient une partie Gn := {γγ0γ|γ ∈ Sn}qui engendre un groupe Γn de Schottky. Il reste maintenant à minorer l’exposantcritique du groupe obtenu.

L’inégalité triangulaire donne d(o, γγ0γo) ≤ 2d(o, γo) + d(o, γ0o) ≤ 2(n + 1) +

d(o, γ0o). Par le lemme 5.5, on a donc la minoration

δΓn ≥1

2(n+ 1) + d(o, γ0o)log(#{Gn}) ≥

n(δΓ − ε)2(n+ 1) + d(o, γ0o)

,

puisque l’ensemble Gn engendre un semi-groupe de Schottky (donc libre) qui estun sous-semi-groupe du groupe Γn.

L’entier n pouvait être choisi arbitrairement grand, et le réel ε > 0 étaitarbitraire, donc on obtient bien l’inégalité annoncée, ce qui termine la preuve ducorollaire 7.2. �

Remarque 7.5. La minoration de la borne supérieure des exposants critiques dessous-groupes de Schottky par 1

2δΓ n’est pas optimale. En pratique, les groupes deSchottky construits dans cette preuve ont des exposants critiques qui se rapprochentmieux que cela de l’exposant critique total δΓ.


68 P. Mercat

8. Caractérisation de l’entropieLe corollaire suivant du théorème 1.3 donne en particulier que l’exposant critique

d’un semi-groupe séparé, qui était définit comme une limite supérieure d’unecertaine quantité, est en fait une vraie limite. Ceci généralise un résultat que Roblina établit pour un groupe discret d’isométries d’un espace CAT(-1) (mais avec uneconclusion plus forte), voir [Robl].

Corollaire 8.1. Soit X un espace Gromov-hyperbolique propre, et soit Γ un semi-groupe d’isométries de X dont l’ensemble limite contient au moins deux points.Alors on a

hΓ = limn→∞

1

nlog(#{γ ∈ S|d(o, γo) ≤ n}),

pour toute partie S séparée et couvrante de Γ.

Preuve — Soit ε > 0. Par définition de la limite supérieure, il existe un entiern0 tel que pour tout n ≥ n0, on ait

1

nlog(#{γ ∈ S|d(o, γo) ≤ n}) ≤ δS + ε = hΓ + ε.

Montrons l’autre sens. D’après le théorème 4.1, il existe un sous-semi-groupe Γc

de Γ qui est contractant et d’exposant critique δΓc = δΓ, puisque les semi-groupesΓ et Γc sont séparés.

Sous lemme 8.2. Soit X un espace métrique et A ⊆ X une partie. Soit S unepartie séparée et couvrante de A et r > 0 un réel. Alors il existe une partie S′ ⊆ Stelle que S′ est une partie r-séparée et couvrante de A.

Preuve — Par récurrence ordinale, on construit une suite (xi) d’éléments de Sindexée par les ordinaux, en choisissant un élément

xi ∈ S\⋃j<i

B(xj , r)

tant que l’ensemble est non vide. Cela termine nécessairement puisque la suite ainsiconstruite ne peut pas avoir un cardinal strictement supérieur à celui de S. La partieS′ constituée des éléments de la suite est alors r-séparée, et elle est (C+r)-couvrantede A, où C est telle que S est C-couvrante de A. En effet, si x ∈ A, il existe unélément y ∈ S tel que d(x, y) ≤ C. Et par construction, il existe un élément z ∈ S′tel que d(y, z) ≤ r. On a alors bien trouvé z ∈ S′ tel que d(x, z) ≤ C + r. �

D’après le lemme 5.4, quitte à remplacer la partie S par une sous-partiesuffisamment séparée et encore couvrante de Γc, il existe un entier k0 tel que pourtout k ≥ k0, l’ensemble S ∩Ak engendre un semi-groupe de Schottky Γk, où

Ak := {γ ∈ Isom(X)|d(o, γo) ∈ [k, k + 1[}.

Pour tout n ≥ k+ 1 ≥ k0 + 1, en utilisant l’inégalité triangulaire et le fait que lesemi-groupe Γk soit libre, on obtient l’inégalité

#{γ ∈ Γk|d(o, γo) ≤ n} ≥ #{γ ∈ Γk|γ de longueur⌊

n

k + 1

⌋} = (#(S ∩Ak))b

nk+1c .



On a donc l’inégalité

1

nlog(#{γ ∈ Γ|d(o, γo) ≤ n}) ≥ 1

n

⌊n

k + 1

⌋log(#(S ∩Ak)),

pour tout n ≥ k.Or, il existe un entier k tel que

1

k + 1log(#(S ∩Ak)) ≥ δS − ε/2.

Et comme S est une partie couvrante de Γc, on a δS = hΓc = hΓ.De plus, on a 1

n

⌊nk+1

⌋(k + 1) ≥ 1− k+1

n , ce qui nous donne l’inégalité

1

nlog(#{γ ∈ Γ|d(o, γo) ≤ n}) ≥

(1− k + 1

n

)(hΓ − ε/2) .

On peut alors trouver un entier nk ≥ n0 tel que pour tout n ≥ nk on ait

hΓ + ε ≥ 1

nlog(#{γ ∈ Γ|d(o, γo) ≤ n}) ≥ hΓ − ε.

Ainsi, on a bien montré que l’on a

limn→∞

1

nlog(#{γ ∈ Γ|d(o, γo) ≤ n}) = hΓ.

�

9. Semi-continuité inférieure de l’entropieNous allons voir que l’entropie est semi-continue inférieurement en un semi-

groupe. Pour cela, commençons par donner une notion de convergence surl’ensemble des semi-groupes d’isométries d’un espace métrique X.

Rappelons la définition de la topologie usuelle compacte-ouverte sur Isom(X).

Définition 9.1. Soit X un espace métrique. On dit qu’une suite d’isométries(γn)n∈N ∈ (Isom(X))N converge vers une isométrie γ ∈ Isom(X) si pour toutcompact K de X, la suite (γn K)n∈N des isométries restreintes à K convergeuniformément vers γ K , et si de même la suite (γ−1

n K)n∈N converge uniformémentvers γ−1

K .

Remarque 9.2. Ici, la convergence uniforme des inverses (γ−1n K)n∈N sur tout

compact K est automatique à partir de la convergence uniforme de la suite(γn K)n∈N pour tout compact K, puisque ce sont des isométries.

Définition 9.3. Soit X un espace métrique. On dit qu’une suite (Γn)n∈N de semi-groupes d’isométries de X converge géométriquement vers un semi-groupe Γ, sil’on a les deux propriétés :

– pour toute isométrie γ ∈ Γ, il existe une suite d’isométries (γn)n∈N, avec pourtout n, γn ∈ Γn et telle que γn converge vers γ.

– pour toute partie infinie P ⊆ N et toute suite d’isométries (γn)n∈P quiconverge vers une isométrie γ ∈ Isom(X), avec γn ∈ Γn pour tout n ∈ P ,on a γ ∈ Γ.


70 P. Mercat

Voir [Hae] pour plus de détails sur la convergence géométrique.

Remarque 9.4. Dans notre résultat de semi-continuité, nous avons besoinseulement de la première de ces deux propriétés.

Voici le résultat de semi-continuité :

Corollaire 9.5. Soit (Γn)n∈N une suite de semi-groupes d’isométries d’un espaceGromov-hyperbolique propre à bord compact X qui converge vers un semi-groupe Γ

dont l’ensemble limite contient au moins deux points. Alors on a l’inégalité

hΓ ≤ lim infn→∞

hΓn .

Autrement dit, l’entropie est semi-continue inférieurement en les semi-groupes dontl’ensemble limite contient au moins deux points.

Remarque 9.6. On pourrait aussi montrer que l’entropie est continue en les semi-groupes de Schottky.

L’idée de la preuve du corollaire 9.5, est de montrer que si l’on a une suite de semi-groupes qui converge, alors on peut approcher un sous-semi-groupe de Schottkydu semi-groupe limite par des sous-semi-groupes des semi-groupes de la suite, entrouvant des éléments qui s’approchent des générateurs. Ces semi-groupes serontalors des semi-groupes de Schottky dont les exposants critiques seront proches decelui du semi-groupe de Schottky de départ, et ainsi on obtiendra l’inégalité voulue.

Preuve du corollaire 9.5 — D’après le théorème 4.1, il existe un sous-semi-groupe contractant Γc de Γ pour des parties X− et X+ ⊂ X, avec hΓc = hΓ. Deplus, on peut supposer que les parties X− et X+ de X sont ouvertes, quitte à lesremplacer chacune par un ε-voisinage ouvert, pour ε > 0 assez petit.

D’après le critère de contraction (proposition 3.4), il existe un réel n0 tel quel’ensemble d’isométries

Isom(X)X−×X+

>n0:= {γ ∈ Isom(X)|γ−1o ∈ X−, γo ∈ X+ et d(o, γo) > n0},

soit contractant, pour des domaines X ′− et X ′+.D’après le lemme 5.4, il existe alors un réel r et un entier n1, tels que pour toute

partie r-séparée S de Isom(X)X−×X+

>n0et pour tout n ≥ n1, le semi-groupe engendré

par S ∩◦An soit de Schottky pour la partie X ′+, où

◦An := {γ ∈ Isom(X)|d(o, γo) ∈]n, n+ 1[}.

Soit S une partie r-séparée et couvrante du semi-groupe contractant Γc.

L’ensemble S ∩◦An étant fini, il existe une suite d’ensembles d’isométries Sk,n de

Γk, avec #S ∩◦An = #Sk,n, qui converge uniformément vers S ∩

◦An.

Les ensembles◦An ∩X− et

◦An ∩X+ étant ouverts, il existe un entier k0 tel que

pour tout k ≥ k0, on ait Sk,no ⊆◦An ∩ X+ et S−1

k,no ⊆◦An ∩ X−. Pour n > n0 et

k ≥ k0, on a donc l’inclusion Sk,n ⊆ Isom(X)X−×X+

>n0. La condition pour une partie



S d’être r-séparée est également une condition ouverte, donc il existe un entierk1 ≥ k0 tel que pour tout k ≥ k1 la partie Sk,n soit r-séparée.

Ainsi, pour n assez grand et pour tout entier k assez grand en fonction de n,la partie Sk,n est incluse dans le semi-groupe contractant Isom(X)

X−×X+

>n0, et est

r-séparée. Elle engendre donc un semi-groupe de Schottky.Par le lemme 5.5, on a donc l’inégalité

hΓk ≥log(#Sk,n)

n+ 1=

log(#S ∩◦An)

n+ 1,

pour tout n assez grand, et pour tout k assez grand en fonction de n.On obtient donc ce que l’on voulait

lim infk→∞

hΓk ≥ lim supn→∞

log(#S ∩◦An)

n+ 1= hΓ.

�

9.0.1. Exemple d’application : les semi-groupes de Kenyon Les semi-groupes deKenyon (voir [Ken]) sont les semi-groupes Γt engendrés par les 3 transformationsaffines

x 7→ x/3

x 7→ x/3 + t

x 7→ x/3 + 1

pour des réels t.D’après le corollaire 9.5, l’application t 7→ hΓt = dim(ΛΓt) est semi-continue

inférieurement. En particulier, pour trouver un contre exemple à la conjecture deFurstenberg (i.e. un réel t pour lequel on a dimH(ΛΓt) < δΓt), il suffit de trouverune suite de rationnels (tn)n∈N qui converge vers un irrationnel et avec pour toutn, δΓtn ≤ C < 1. Mais bien que l’on sache calculer l’exposant critique δΓt du semi-groupe Γt pour tout rationnel t, on ne sait pas s’il existe de telles suites. Voir [Ken]pour plus de détails.

Figure 18. Développement en base β = 3, avec ensemble de chiffres A = {0, π4, 1}.


72 P. Mercat

Remarque 9.7. L’application t 7→ hΓt = dimH(ΛΓt) n’est pas continue. En effet,on sait que l’on a dimH(ΛΓt) = 1 pour t dans une partie dense de R, et on a parexemple dimH(ΛΓ2/3

) = δΓ2/3< 1 (voir figure 15).

Figure 19. Ensemble limite d’un sous-semi-groupe de SL(2,C)

Références

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Birkhäuser, 1990.


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[Pat] S.J. Patterson The Limit Set of a Fuchsian Group, 1975.[Robl] T. Roblin Ergodicité et équidistribution en courbure négative, Mémoires de la SMF,

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Figure 20. Un groupe quasi-Schottky


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http://www.math.u-psud.fr/~mercat/Memoire.pdf

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