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Physique - Résumés de cours PCSI

Harold Erbin

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Table des matières

Table des matières iii

1 Cinématique 11.1 Systèmes de repérage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Vitesse, accélération, trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Dynamique 52.1 Lois de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Forces usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Application du PFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Énergétique 73.1 Définitions et théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Mouvements à un degré de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Mouvement libre d’un oscillateur à un degré de liberté 114.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Régime libre d’un oscillateur non amorti . . . . . . . . . . . . . . 114.3 Régime libre d’un oscillateur amorti . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.3.1 Régime pseudo-périodique (Q > 1/2) . . . . . . . . . . . . 124.3.2 Régime apériodique (Q < 1/2) . . . . . . . . . . . . . . . 134.3.3 Régime critique (Q = 1/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Oscillateurs mécaniques en régime sinusoidal forcé 15

6 Théorème du moment cinétique 176.1 Moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6.1.1 Moment cinétique d’un point matériel . . . . . . . . . . . 176.1.2 Moment d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.1.3 Théorème du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . 19

7 Mouvements à force centrale conservative 217.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.2 Lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.3 Etude des mouvements dans un champ de force . . . . . . . . . . 22

7.3.1 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.3.2 Etude des trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

iii

TABLE DES MATIÈRES

8 Changements de référentiels 258.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.2 Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

9 Dynamique en référentiel non galiléen 27

10 Systèmes formés de deux points matériels 2910.1 Cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2910.2 Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3010.3 Système isolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

11 Référentiels galiléens approchés 33

12 Statique des fluides dans le champ de pesanteur 3512.1 Pression et force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3512.2 Cinétique des fluides dans le champ de pesanteur . . . . . . . . . 36

13 La lumière en optique géométrique 3713.1 Ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3713.2 Milieux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3813.3 Rayons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

14 Formation des images 4114.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4114.2 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

15 Le prisme 4315.1 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4315.2 Conditions d’émergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

16 Miroirs sphériques 4516.1 Caractéristiques et relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4516.2 Rayons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

17 Lentilles minces 4717.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4717.2 Foyers, plans focaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4717.3 Construction des images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4817.4 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

18 Bases de l’électrocinétique 5118.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5118.2 Circuit électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

18.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5118.2.2 Lois de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5218.2.3 Conventions d’étude des dipôles . . . . . . . . . . . . . . . 5218.2.4 Grandeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5218.2.5 Dipôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5318.2.6 Association de dipôles passifs . . . . . . . . . . . . . . . . 5318.2.7 Dipôles linéaires réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5518.2.8 Association de dipôles passifs et actifs linéaires . . . . . . 55

iv

TABLE DES MATIÈRES

19 Réponses libres et réponses à un échelon de circuits R, L, C 5719.1 Considérations énergétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5719.2 Réponse à un échelon indiciel d’un circuit du premier ordre . . . 5819.3 Réponse libre d’un circuit du second ordre . . . . . . . . . . . . . 58

19.3.1 Sans amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5819.3.2 Avec amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

19.4 Réponse à un échelon d’un circuit du second ordre . . . . . . . . 59

20 Amplificateur opérationnel idéal en fonctionnement linéaire 61

21 Régime sinusoidal forcé 6321.1 Formalisme complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6321.2 Etude de circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

22 Filtres du premier et second ordre 6722.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6722.2 Diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

22.2.1 Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6822.3 Filtres du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

22.3.1 Passe-bas du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 6922.3.2 Passe-haut du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . 69

22.4 Filtres du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7022.4.1 Passe-bas du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7022.4.2 Passe-haut du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 7122.4.3 Passe-bande du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . 71

23 Electrostatique 7323.1 Charges et champ électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

23.1.1 Champ créé par une charge ponctuelle . . . . . . . . . . . 7323.1.2 Champ créé par une distribution continue de charges . . . 74

23.2 Symétries et antisymétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7523.3 Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7523.4 Topographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

24 Magnétostatique 7724.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7724.2 Champ magnétique créé par un courant . . . . . . . . . . . . . . 78

25 Mouvement d’une particule chargée dans un champ électriqueou magnétique 7925.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7925.2 Particule soumise uniquement à un champ . . . . . . . . . . . . . 80

25.2.1 Champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8025.2.2 Champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

25.3 Lois locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

26 Dipôle électrostatique et dipôle magnétostatique 8126.1 Dipôle électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

26.1.1 Interaction entre un dipôle et un champ extérieur . . . . . 8226.2 Dipôle magnétostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

v

TABLE DES MATIÈRES

27 Premier principe de la thermodynamique 8527.1 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8527.2 Transformations et transferts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8527.3 Energie interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8627.4 Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8727.5 Travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8727.6 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

28 Second principe de la thermodynamique 8928.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8928.2 Systèmes non calorifugés : entropie d’échange . . . . . . . . . . . 9028.3 Machines thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

28.3.1 Le réfrigérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9128.3.2 La pompe à chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

28.4 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

29 Changements d’état : étude descriptive du corps pur diphaséen équilibre 9329.1 Les changements d’état d’un corps pur . . . . . . . . . . . . . . . 93

29.1.1 Projection dans le plan(p,T) . . . . . . . . . . . . . . . . 9429.2 Equilibre liquide-gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9529.3 Grandeurs thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

30 Gaz parfait monoatomique 9730.1 Modèle du gaz parfait monoatomique . . . . . . . . . . . . . . . . 9730.2 Coefficients thermoélastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

A Résoudre une équation différentielle 101A.1 Premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101A.2 Second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101A.3 Equation sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

B Elements infinitésimaux 103B.1 Déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103B.2 Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103B.3 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

C Constantes et unités 105C.1 Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105C.2 Unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105C.3 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

C.3.1 Mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106C.3.2 Thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106C.3.3 Symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

D Glossaire 107D.1 Général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107D.2 Mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107D.3 Optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107D.4 Thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

vi

TABLE DES MATIÈRES

Index 109

Table des figures 113

vii

TABLE DES MATIÈRES

viii

Chapitre 1

Cinématique

1.1 Systèmes de repérage

Référentiel repère spatial (définit un espace géométrique dans lequel oneffectue des mesures) + repère temporel

Coordonnées cartésiennes (figure 1.1)– M(x, y, z)– −∞ < x, y, z < +∞–−−→OM = x.−→ux + y.−→uy + z.−→uz

Fig. 1.1 – Repérage cartésien

Coordonnées cylindriques (figure 1.2)– M(r, θ, z)– r > 0 0 < θ < 2π −∞ < z < +∞

1

CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE

–−−→OM = r.−→ur + z.−→uz

– remarque : en coordonnées polaires, −→uz disparait

– on ad−→urdθ

= −→uθ

Fig. 1.2 – Repérage cylindrique

Coordonnées sphériques (figure 1.3)– M(r, θ, φ)– r > 0 0 < θ < π 0 < θ < 2π–−−→OM = r.−→ur

Fig. 1.3 – Repérage sphérique

1.2 Vitesse, accélération, trajectoire

Vitesse d’un point : le vecteur vitesse −→v est tangent à la trajectoire de M.

−→v =d−−→OM

dt

2


Accélération d’un point : le vecteur accélération −→a est dirigé vers laconcavité de la trajectoire de M.

−→a =d−→vdt

– −→a .−→v > 0 : accélération– −→a .−→v < 0 : décélération– −→a .−→v = 0 : vitesse constante

Trajectoire équation obtenue en éliminant le temps à partir des équationshoraires.

Exemples :– cercle :

x(t) = R cosωty(t) = R sinωt

– parabole : x(t) = v0t

y(t) = −g2t2

3


4

Chapitre 2

Dynamique

Masse : additive et indépendante du référentiel (en kg).

Quantité de mouvement −→p = m · −→v

2.1 Lois de Newton

1. Principe d’inertie si −→v =−−→cste alors le point a un mouvement recti-

ligne et uniforme (si −→v =−→0 , le point est immobile).

2. Principe fondamental de la dynamique m · −→a =∑−→Fi avec

−→Fi les

forces appliquées au point.3. Loi des actions réciproques soient deux points M1 et M2 en inter-

action, alors−−−−−−→FM1→M2 = −

−−−−−−→FM2→M1 (réaction non causale).

Référentiel galiléen référentiel où peut s’appliquer le principe d’inertie.

2.2 Forces usuelles

– gravitationnelle :−−−−−−→FM1→M2 = −Gm1m2

r2· −→u12

– électrostatique (attractive ou répulsive) :−→F = q

−→E

– de rappel par un ressort :

−→F = −k(l − l0) · −→u

5

CHAPITRE 2. DYNAMIQUE

Avec l0, longueur à vide et k, raideur du ressort. Dans le cas d’un ressort idéal(masse nulle, linéaire), k = cste

– exercée par un fil (attractive) : la tension est inconnue lors d’un problème : ilfaut choisir une base où la force n’intervient pas. On a la relation module dela force = tension. Elle est constante dans le cas d’un fil idéal (masse nulle,raideur infinie).

– de frottements :– visqueux :

−→F = −h · −→v

– fluide :−→F = −A · v · −→v

– de liaison avec un support (réaction) :−→R =

−→RN +

−→RT

– si −→v 6= −→0 :−→R est de même direction que −→v mais de sens opposé. On a

||−→RT || = µ||

−→RN ||, avec µ, facteur de frottement dynamique.

– si −→v =−→0 : |−→RT || 6 µS ||

−→RN || avec µS , facteur de frottement statique.

– il existe deux sortes : uni- et bilatérale.

2.3 Application du PFD

1. définition du système (point, objet...)2. définition du référentiel (galiléen ou non...)3. bilan des forces s’appliquant au système4. application du PFD5. choix d’une base de projection adaptée6. résolution des équations

6

Chapitre 3

Énergétique

Soit−→F une force appliquée au point M.

3.1 Définitions et théorèmes

Puissance P =−→F · −→v (en W)

– P > 0 :−→F motrice

– P < 0 :−→F résistante

– P = 0 :−→F ne travaille pas

Travail élémentaire : δW =−→F · d

−−→OM = P · dt (en J) avec d

−−→OM , le déplacement

élémentaire.

Travail entre deux points

W1→2 =∫ M2

M1

δW

Théorème de la puissance cinétique

P =dEcdt

Théorème de l’énergie cinétique

W1→2 = Ec1 − Ec2

Remarque : les deux théorèmes précédents ne permettent de déterminer l’équa-tion différentielle d’un mouvement que pour les systèmes à un degré de liberté.

7

CHAPITRE 3. ÉNERGÉTIQUE

Force conservative force dont le travail ne dépend pas du chemin emprunté.

Travail d’une force conservative variation d’une fonction (définie à uneconstante près) appelée énergie potentielle

W1→2 = Ep(M1)− Ep(M2)

Exemples d’énergies potentielles :– de pesanteur : Ep = mgz– de rappel d’un ressort :

Ep =12k(x− x0)2

– de gravitation :Ep = −G m1m2

r

Théorème de l’énergie mécanique

Em2 − Em1 = W1→2,nc

Avec Wnc, travail des forces non conservatives. Si Wnc < 0, alors ces forces sontdissipatives.

Système conservatif toutes les forces appliquées sont conservatives.

Intégrale première du mouvement Pour un système conservatif, on a

Em = cste

3.2 Mouvements à un degré de liberté

Dérivée de l’énergie potentielle :– puit de potentiel : état lié (mouvement périodique) (figure 3.1)– barrière de potentiel : état de diffusion (figure 3.2)

Fig. 3.1 – Barrière de potentiel

Un exemple (figure 3.3)

8


Fig. 3.2 – Puit de potentiel

Fig. 3.3 – Exemple d’énergie potentielle

– Em1 : état de diffusion– Em2 : état lié (mouvement périodique)

Positions d’équilibre si

dEp(x0)dt

= 0

Alors x0 est une position d’équilibre (voir figure 3.4), cela correspond à unetangente horizontale :– stable : correspond à un minimum– instable : correspond à un maximum– indifférent

Fig. 3.4 – Positions d’équilibre

9


Approximation parabolique Au voisinnage de xeq, Ep ≈ parabole. On adonc

Ep(x) = Ep(xeq) +k(x− x0)2

2

Si Em = cste, on applique le TEM, et on obient l’équation

x+k

mx =

k

mxeq

Il s’agit de l’équation d’un oscillateur harmonique (solution sinusoïdale).

10

Chapitre 4

Mouvement libre d’unoscillateur à un degré deliberté

4.1 Introduction

Approximation parabolique

mx+ k(x− x0) = 0

On pose ε = x − x0, donc ε = x (valable pour de petits déplacements), et onobtient

ε+k

mε = 0

4.2 Régime libre d’un oscillateur non amorti

x+ ω20x = 0

Solution :x = A cos(ω0t) +B sin(ω0t) = C cos(ω0t+ ϕ)

Portait de phase ellipse (harmonique), trajectoire fermée (oscillateur).

11

CHAPITRE 4. MOUVEMENT LIBRE D’UN OSCILLATEUR À UN DEGRÉ DELIBERTÉ

On aEm =

12k C2

Elle est constante pour des conditions initiales données.

4.3 Régime libre d’un oscillateur amorti

Forme normalisée de l’équation différentielle

x+ 2ξω0x+ ω20x = 0

Avec ξ, coefficient d’amortissement.

On définit le facteur de qualité Q tel que

Q =12ξ

Résolution :– Equation caractéristique

r2 + 2ξω0r + ω2 = 0

– Calcul du discriminant– si ∆ > 0 (ξ > 1) : 2 racines réelles r1 et r2

x = A exp(r1t) +B exp(r2t)

– si ∆ < 0 (ξ < 1) : 2 racines complexes conjuguées r1 = r2 = −ξω0 + jωAavec ωA = ω0

√1− ξ2

x =(A cos(ωAt) +B sin(ωAt)

)exp(−ξω0t) = C cos(ωAt+ ϕ) exp(−ξω0t)

– si ∆ = 0 (ξ = 1) : une racine double r0 = −ω0

x = (A+Bt) exp(ω0t)

4.3.1 Régime pseudo-périodique (Q > 1/2)

– TA : pseudo-période– ωA : pseudo-pulsation (TAωA = 2π)– Enveloppe : exp(−ξω0t)

Temps caractéristique de décroissance (ou temps de relaxation)

τ =1ξω0

12


Décrément logarithmique

x(t0 + TA)x(t0)

= exp(−ξω0TA) = exp(−δ)

δ =2π√1ξ2− 1

=2π√

4Q2 − 1

Décroissance de l’énergie mécanique

Em(t0 + TA)Em(t0)

= exp(−2δ)

Portrait de phase : la trajectoire contourne le point attracteur dans le sensindirect, à t→ +∞, le point retrouve une position d’équilibre stable.

4.3.2 Régime apériodique (Q < 1/2)

Allure : pas d’oscillations, x somme de deux exponentielles décroissantes. Onpose

τ1 = − 1r1

τ2 = − 1r2

La plus grande impose la décroissance.

Portrait de phase : le point est directement attiré malgré une tentative decontournement.

4.3.3 Régime critique (Q = 1/2)

Allure : pas d’oscillations, il s’agit du régime pour lequel le retour à la positiond’équilibre est le plus rapide.

On définit le coefficient de frottement pour régime critique : h = 2mω

Portrait de phase : semblable à celui du régime apériodique.

13


14

Chapitre 5

Oscillateurs mécaniques enrégime sinusoidal forcé

Equation de mouvementmx+ hx+ kx = fa

Où fa correspond à la force d’excitation qui s’applique à M(a), qui peut s’ex-primer ainsi

fa(t) = Fam cos(ωt)

On cherchex(t) = Xm cos(ωt+ ϕ)

Réponse en élongation : on utilise le formalisme complexe pour trouver la solu-tion en régime permanent.

Etude de v(t)v(t) = Vm cos(ωt+ ψ)

Relations :– V = ωX ⇒ ψ = ϕ+ π/2, Vm = ωXm.– Q =

ω0

∆ωoù ∆ω est la largeur de la bande passante.

Il y a toujours résonnance en vitesse (l’intensité dépend de ξ).

Réponse en puissance

P(t) =−→fa · −→v = fav = Fam cos(ωt)Vm cos(ωt+ ψ)

Puissance moyenne

〈P(t)〉 =FamVm

2cosψ

15

CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES EN RÉGIME SINUSOIDAL FORCÉ

Il y a toujours résonnance en puissance pour ω = ω0 car la puissance fourniepar fa(t) vaut

〈P〉 =12hV 2

m

16

Chapitre 6

Théorème du momentcinétique

Soit M un point matériel de masse m, de vitesse −→v dans un référentiel R, et Oun point de l’espace.

6.1 Moment cinétique

6.1.1 Moment cinétique d’un point matériel

Par rapport à un point

Il s’agit du moment de la quantité de mouvement par rapport à O (en kg·m2·s−1)

−→L0 =

−−→OM ∧m−→v

Propriétés :– Si M se déplace radialement par rapport à O ou si le support de −→v passe par

O,−→L0 = 0. Sinon,

−→L0 6=

−→0 .

– Sa direction est perpendiculaire par rapport à −→v et−−→OM .

– Son sens est donné par la règle du tire-bouchon.– Son module vaut ||

−→L0|| = OM ·mv| sin(

−−→OM,−→v )|.

Le moment cinétique renseigne sur le mouvement de rotation de M autour dupoint O.

17

CHAPITRE 6. THÉORÈME DU MOMENT CINÉTIQUE

Expression de−→L0 dans le cas d’un mouvement plan en coordonnées polaires

−→L0 = mr2θ · −→uz

Où θ = ω, vitesse de rotation angulaire.

Par rapport à un axe orienté

Il s’agit de la projection du moment cinétique−→L0 sur un axe ∆ orienté

L∆ =−→L0 · −→u∆

Propriétés :– L∆ est indépendant du point O choisi sur l’axe.– Si le support de −→v est parallèle à l’axe ∆ ou si les supports de −→v et ∆ sontconcourants, L∆ = 0.

Le moment cinétique renseigne sur le mouvement de rotation de M par rapportà l’axe ∆.

6.1.2 Moment d’une force

Par rapport à un point

−→M0(−→F ) =

−−→OM ∧

−→F

Unité : N ·m = J Si le support de−→F passe par O,

−→M0(−→F ) =

−→0

Par rapport à un axe

M∆(−→F ) =

−→M0(−→F ) · −→u∆

Il possède les mêmes propriétés que L∆.

Calcul de M∆(−→F ) à partir du bras de levier (cas où le support de

−→F est per-

pendiculaire à ∆)|M∆(

−→F )| = OH · F = b · F

M∆(−→F ) > 0 si

−→F tend à faire tourner M autour de ∆ dans le sens positif, et

inversement.

18


6.1.3 Théorème du moment cinétique

Théorème du moment cinétique En un point O fixe dans Rg

d−→L0

dt=∑i

−→M0(−→Fi)

Il en découle par projection sur l’axe ∆

dL∆

dt=∑i

M∆(−→Fi)

19


20

Chapitre 7

Mouvements à force centraleconservative

7.1 Définition

Mouvement à force centrale Dans un référentiel donné, une force est ditecentrale si elle pointe en permanence vers un point fixe de ce référentiel, appelécentre de force. La force est de la forme

Soit M soumis à la seule force centrale conservative−→F =

K

r2−→ur

Dérivant de l’énergie potentielle

Ep =K

r

7.2 Lois de conservation

Conséquences (théorème du moment cinétique) :– conservation du moment cinétique ;– le mouvement est plan et mr2θ = cste ;– Loi des aires Durant des intervalles de temps égaux, le rayon vecteur−−→OM balaie des surfaces égales : r2θ =

L0

m= C, où C est la constante des

aires.

Rappel : On a la relation δW = −dEp

21

CHAPITRE 7. MOUVEMENTS À FORCE CENTRALE CONSERVATIVE

Exemples de forces centrales– Force d’interaction gravitationnelle (attractive) : K = −Gm0m

– Force d’interaction électrostatique (attractive ou répulsive) : K = − q0q

4πε0

Il y a conservation de l’énergie mécanique

Em =12mr2︸︷︷︸E∗c

+12L2

0

mr2+K

r︸︷︷︸E∗p

Où E∗p est l’énergie potentielle effective et E∗c l’énergie cinétique effective(ouradiale).

7.3 Etude des mouvements dans un champ deforce

Etude qualitative de la trajectoire :– Interaction attractive :– Em < 0 (état lié) → ellipse.– Em > 0 (état de diffusion) → hyperbole.– Em = 0 (état de diffusion) → parabole.

– Interaction répulsive : on a forcément Em > 0 (état de diffusion)→ hyperbole.

Lois de Kepler ce sont des lois expérimentales1. Les planètes décrivent des trajectoires elliptiques dont un foyer est le Soleil.2. Loi des aires.3. Le carré de la période de révolution T des planètes autour du Soleil est

proportionnel au cube du demi grand-axe de l’ellipse qu’elle parcourt

T 2

a3=

4π2

Gm0= cste

7.3.1 Relations

Première vitesse cosmique Vitesse de rotation dans le cas d’une trajec-toire circulaire

v =

√Gm0

R

Vitesse de libération Appelée aussi deuxième vitesse cosmique, il s’agitde la vitesse minimale que l’on doit fournir à M de masse quand il se trouve àr = r0 de O pour qu’il se libère de son attraction

v =√

2Gm0

r0

22


Relations énergétiques

Ep = −2Ec Em = −12Gm0m

a= −Ec

7.3.2 Etude des trajectoires

Equations liant r à θ (méthode de Binet)

r =−p

1− e cos θsi K > 0

r =p

1− e cos θsi K < 0

Où

p =∣∣∣∣ L2

0

KM

∣∣∣∣ e =∣∣∣∣AL2

0

KM

∣∣∣∣Relation énergie mécanique-excentricité

Em =−|K|

2p(1− e2)

Trajectoires possibles pour K > 0

La trajectoire est une branche d’hyperbole (car e > 1 forcément) de foyer O necontournant pas le centre de force, avec

|θ| < arccos(

1e

)Au péricentre, on a

r = 0 rmin =−p

1− e

Trajectoires possibles pour K < 0

– e > 1 : la trajectoire est une branche d’hyperbole de foyer O contournant lecentre de force, avec

|θ| < arccos(−1e

)Au péricentre, on a

r = 0 rmin =p

1 + e

23


– e = 1 : la trajectoire est une parabole de foyer O. Au péricentre, on a

r = 0 rmin =p

2

– e < 1 : la trajectoire est une ellipse dont l’un des foyers est O. Si e = 0, latrajectoire est un cercle.

Trajectoire elliptique

Fig. 7.1 – Ellipse

A : apocentre, P : péricentre, C : centre, F et F’ : foyer, O : centre de force, p :paramètre, r : rayon, a : demi grand-axe, b : demi petit-axe, c : distance focale.

On peut montrer les relations suivantes

e =c

aa2 − b2 = c2 OP = r(0) = a− c OA = r(π) = a+ c

Vitesse aréolairedS

dt=C

2=πab

T

24

Chapitre 8

Changements de référentiels

8.1 Définitions

Décrire le mouvement de R′ par rapport à R revient à décrire le mouvement dusolide S’ par rapport à R. Pour cela, il suffit de donner :– La vitesse d’un point quelconque de S’ (par exemple O’).– La rotation de S’ par rapport à R, notée

−−−−→ΩR′/R.

Torseur cinématique des vitesses d’un solide

−→vR(P ′) = −→vR(N ′) +−−−−→ΩR′/R ∧

−−−→N ′P ′

Formule de Varignon Aussi appelée formule de dérivation vectorielle

d−→A

dt

)R′

=−−−−→ΩR′/R ∧

−→A

Si R′ est en translation par rapport à R, son mouvement relatif est décrit par :– Une rotation nulle

−−−−→ΩR′/R =

−→0 .

– La vitesse de n’importe laquelle de ses points.

Si R′ est en rotation pure par rapport à un axe fixe de R orienté par le vecteurunitaire −→u∆ auquel appartient le point O’, son mouvement relatif est décrit par :– Une

−−−−→ΩR′/R = ω−→u∆, où ω est la vitesse de rotation angulaire deR′ par rapport

à R.– −→vR =

−→0 .

Point coincident On appelle point coincident avec M à l’instant t le pointP’ fixe dans R′ qui est confondu avec M à l’instant t.

25

CHAPITRE 8. CHANGEMENTS DE RÉFÉRENTIELS

8.2 Lois de composition

Vitesse d’entrainement Vitesse par rapport à R du point P’ fixe dans R′coincidant avec M à l’instant t

−→ve = −→vR(O′) +−−−−→ΩR′/R ∧

−−−→O′M

Loi de composition des vitesses

−→vR(M) = −→vR′(M ′) +−→ve

Accélération d’entrainement Accélération par rapport à R du point P’fixe dans R′ coincidant avec M à l’instant t

−→ae = −→aR(O′) +−→dΩdt∧−−−→O′M +

−−−−→ΩR′/R ∧ (

−−−−→ΩR′/R ∧

−−−→O′M)

Accélération de Coriolis Aussi appelée accélération complémentaire, ellen’existe que que si le point M est mobile par rapport à R′ et si R′ est en rotationpar rapport à R

−→ac = 2−−−−→ΩR′/R ∧ −→vR′(M)

Loi de composition des accélérations

−→aR(M) = −→aR′(M ′) +−→ae +−→ac

Cas particuliers :– Translation pure

−→ve = −→vR′(O′) −→ae = −→aR′(O′) −→ac =−→0

– Rotation pure−→ve =

−−−−→ΩR′/R ∧

−−→HM −→ae = −ω2−−→HM

Où H est le projeté orthogonal de M sur l’axe de rotation et ω la vitesse derotation angulaire. L’accélération d’entrainement est centripète.

26

Chapitre 9

Dynamique en référentiel nongaliléen

Tous les référentiels galiléens sont en translation rectiligne uniforme les uns parrapport aux autres.

Principe fondamental de la dynamique en référentiel non galiléen SoitM(m) auquel s’applique

−→F dans Rg galiléen, et soit R′ un référentiel non gali-

léen.m−→aR′(M) =

−→F +

−→Fie(M) +

−→Fic(M)

Avec−→Fie(M) = −m−→ae(M) la force d’inertie d’entrainement et

−→Fic(M) = −m−→ac(M)

la force d’inertie de Coriolis.

Ces forces d’inertie ne découlent d’aucune interaction fondamentale.

Lorsque l’on s’intéresse à un équilibre, on a−→Fic =

−→0 .

Les différents théorèmes (théorème du moment cinétique, de la puissance ciné-tique, de l’énergie cinétique, de la puissance mécanique, de l’énergie mécanique)peuvent être appliqués

d−→L0

dt

)R′

=−−→MO′(

−→F )+

−−→MO′(

−→F ie)+

−−→MO′(

−→Fic)

dEcR′

dt

)R′

= PR′(−→F )+PR′(

−→F ie)

∆E1→2cR′ = W 1→2

R′ (−→F )+W 1→2

R′ (−→Fie)

dEmR′

dt

)R′

= PR′(−−→FNC) ∆E1→2

mR′ = W 1→2mR′(

−−→FNC)

Remarques :– La force de Coriolis ne travaille pas.

27

CHAPITRE 9. DYNAMIQUE EN RÉFÉRENTIEL NON GALILÉEN

– Généralement, la force d’entrainement n’est pas conservative.– Une force peuvent travailler dans un référentiel et pas dans un autre.

28

Chapitre 10

Systèmes formés de deuxpoints matériels

10.1 Cinétique

Quantité de mouvement totale dans R

−→p = m1−→v1 +m2

−→v2 = M−→vG avec M = m1 +m2

Moment cinétique total par rapport à un point dans R−→LO =

−−−→OM1 ∧ −→p1 +

−−−→OM2 ∧ −→p2

Formule de changement de point pour le moment cinétique

−−→LO′ =

−→LO +

−−→O′O ∧ −→p

Energie cinétique totale dans R

Ec =12m1v

21 +

12m2v

22

Barycentre G de deux points

m1−−−→GM1 +m2

−−−→GM2 =

−→0

−−→OG =

m1−−−→OM1 +m2

−−−→OM2

m1 +m2

29

CHAPITRE 10. SYSTÈMES FORMÉS DE DEUX POINTS MATÉRIELS

Référentiel barycentrique On appelle référentiel barycentriqueR∗ associéau référentiel d’étudeR, un référentiel en translation par rapport àR dans lequelG est fixe. Il n’est pas forcément galiléen.

Quantité de mouvement totale dans R∗−→p∗ =

−→0

Moment cinétique total dans R∗ ou barycentrique indépendant dupoint par rapport auquel il est calculé, il est noté

−→L∗

Théorème de Koenig relatif au moment cinétique−→LO =

−→L∗ +

−−→OG ∧ −→p

Théorème de Koenig relatif à l’énergie cinétique

Ec = E∗c +12Mv2(G)

10.2 Dynamique

– Forces intérieures : forces d’interaction entre M1 et M2 :−−−→F1→2 = −

−−−→F2→1

– Forces extérieures : forces exercées surM1 etM2 n’appartenant pas au système

Théorème de la quantité de mouvement dans R galiléen

d−→pdt

=−−→Fext

Théorème du centre d’inertie (ou de masse) dans R galiléen

M−→aG =−−→Fext

Théorème du moment cinétique dans R galiléen

d−→LOdt

=−−→MO(

−−→Fext)

Travail des forces intérieures δW (−−→Fint) = F1→2dr. Si M1 et M2 forment

un système rigide (M1M2 = cste), ce travail est nul. Son calcul ne dépend pasdu référentiel.

Théorème de l’énergie cinétique pour un système de deux points

∆Ec = W (−−→Fint) +W (

−−→Fext)

30


Théorème de la puissance cinétique pour un système de deux points

dEcdt

= P (−−→Fint) + P (

−−→Fext) avec P (

−−→Fint) = F1→2

dr

dt

Energie mécaniqueEm = Ec + Ep,int + Ep,ext

Théorème de l’énergie mécanique

∆Em = W (−−−−−→Fint,NC) +W (

−−−−−→Fext,NC)

10.3 Système isolé

Comme−−→Fext =

−→0 , R est galiléen, alors on a −→p =

−−→cste, R∗ est galiléen,

−→L∗ =

−−→cste, et, si les forces intérieurs sont conservatives,

−→E∗m = cste.

L’étude du mouvement relatif se ramène à l’étude la particule réduite :– de masse µ =

m1m2

m1 +m2

– situé en M tel que−−→GM = −→r =

−−−−→M1M2

– soumise à la force centrale−→F =

−−−→F1→2 passant par G

– répondant à l’équation µd2−→rdt2

=−→F

Les mouvements de M1 et M2 sont homothétiques (de centre G) de celui de laparticule réduite :

−−−→GM1 = − m2

m1 +m2

−→r−−−→GM2 =

m1

m1 +m2

−→r

31


32

Chapitre 11

Référentiels galiléensapprochés

Champ de gravitation créé en M par A :

−−−→Fgrav

A→B

= m−→Ga(M) avec

−→Ga(M) =

−GmA

r2

Un champ extérieur et uniforme n’a aucune influence sur les mouvements deM1 et M2 dans R∗ et −→aG =

−→GA.

Sinonm2

−−→a∗M2

=−−−→F1→2 +

m1m2

m1 +m2

−→γA

avec −→γA =−→Ga(M2) −

−→Ga(M1), le terme différentiel (ou de marée). La résul-

tante des forces de marées et d’attraction est une force centrale, et le système(non rigide) peut se déformer.

Origine des référentiels :– de Copernic : centre de masse du système solaire ;– héliocentrique : centre du Soleil ;– géocentrique : centre de la Terre.Note : les référentiels hélio- et géocentrique sont en translation par rapport àcelui de Copernic, dont les trois directions sont données par trois étoiles "fixes"(lointaines). Le référentiel terrestre est en rotation uniforme par rapport auréférentiel géocentrique.

Poids En référentiel terreste, le poids est défini comme la force opposée àcelle qui le maintient en équilibre dans le référentiel terrestre et on a

~P = −~R = m−→GT (M) +

−→Fie

33

CHAPITRE 11. RÉFÉRENTIELS GALILÉENS APPROCHÉS

Champ de pesanteur Noté −→g , il est défini tel que−→P = m−→g −→g =

−→GT (M)−m−→ae

L’accélération d’entrainement fait varier g d’environ 0.3%.

Force de Coriolis Expression dans le référentiel terrestre

−→Fic = −2m

−→Ω ∧ −→v = −2m

−ω cosλ0

ω sinλ

∧ x

yz

Si v = 700m.s−1, le rapport entre la force de Coriolis et le poids vaut 1%.

Première approximation : résoudre le problème (PFD) en négligeant−→Fic, puis

on introduit le terme correctif qui correspond à−→Fic, et dans l’expression, on

remplace −→v par celle obtenue juste avant.

34

Chapitre 12

Statique des fluides dans lechamp de pesanteur

12.1 Pression et force

Pression Elle est définie par d−→F = p d

−→S , avec p en Pa, F en N et S en

m2. La force pressante s’interprète comme la force exercée par les chocs desmolécules de fluide sur la surface. Son module est indépendant de l’orientationde la surface.

Autres unités :– 1 bar = 105Pa– 1 atm = 1, 013hPa– mm de Hg, torr, PSI

Equivalent volumique des forces pressantes

−→fv =

d−→F

dV= −dp(z)

dz−→uz

−→F =

∫∫∫ −→fvdV avec dV = dx dy dz

Relation fondamentale de la statique des fluides

dp

dz= −ρg

Modèle de l’atmosphère isotherme Pour T = T0 ∀z. On a l’équation

dp

dz= −pMair

RT0g

35

CHAPITRE 12. STATIQUE DES FLUIDES DANS LE CHAMP DE PESANTEUR

Et la solution estp = p0 exp

(−Mairgz

RT0

)Où Mair est la masse de l’air.

Application aux fluides incompressibles (ρ = cste)

pA − pB = −ρg(zA − zB)

Théorème de Pascal Un fluide incompressible transmet intégralement lesdifférences de pression.

Théorème d’Archimède Un corps entièrement plongé dans un fluide subitde la part de celui-ci une force unique appelée poussée d’Archimède, qui estopposée au poids du volume déplacé, notée

−→FA.

Notes : elle s’applique au centre d’inertie du fluide déplacé par le solide. Le fluidedéplacé et le fluide environnant doivent être à l’équilibre.

12.2 Cinétique des fluides dans le champ de pe-santeur

Densité particulaire Il s’agit du nombre de particules par unité de volume,noté n∗. Dans le cas du modèle de l’atmosphère isotherme, on a la relation

n∗ = n0 exp(−Ep(z)kbT0

)Avec Ep(z) = mgz, l’énergie potentielle d’une particule. Le terme kbT0 rendcompte de l’agitation thermique.

Loi de Boltzmann Dans un système en équilibre, la probabilité de trouverune particule dans un état d’énergie E donné est proportionnel au facteur deBoltzmann

exp(

E

kbT0

)

36

Chapitre 13

La lumière en optiquegéométrique

13.1 Ondes

Onde électromagnétique elle ne nécessite pas de milieu matériel pour sepropager.

Caractéristiques d’une onde monochromatique :– longueur d’onde λ ;– période T ;– fréquence ν ;– célérité v ;– pulsation ω ;– amplitude.

On a les relations suivantes

λ = vT =v

νν =

1T

ω = 2πν

37

CHAPITRE 13. LA LUMIÈRE EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE

Spectre électromagnétique (figure 13.1)

Fig. 13.1 – Spectre électromagnétique

13.2 Milieux

Caractéristique d’un milieu :– homogène ;– isotrope ;– indice de réfraction

n =c

v

– en changeant de milieu, v varie, mais pas ν ;

Quelques indices : nair = 1, neau = 1.33, nverre = 1.5

Milieu dispersif n dépend de la fréquence de l’onde.

38


13.3 Rayons

Fig. 13.2 – Dioptre

Lois des rayons– indépendants : ils n’intéragissent pas entre eux ;– ils se propagent en ligne droite.

Dioptre Surface de séparation entre deux milieux transparents (voir figure13.2).

Plan d’incidence plan contenant le rayon incident et la normale au dioptre.

Rayon réfracté (ou transmis) rayon du second milieu.

Rayon réfléchi rayon renvoyé dans le premier milieu.

Lois de Snell-Descartes

n1 sin i1 = n2 sin i2

i′1 = −i1

Si n2 > n1 alors n2 est plus réfringent et |i2| < |i1|. Le rayon réfracté serapproche de la normale.

Angle limite de réfraction i1 = π/2

|i2,lim| = arcsin(n1

n2

)

Angle de réfraction totale i2 = π/2

|i1,lim| = arcsin(n2

n1

)

39


40

Chapitre 14

Formation des images

14.1 Définitions générales

– Système optique succession de miroirs et/ou de milieux de propagationsséparés par des dioptres.

– Stigmatisme tous les rayons de A convergent en A’, ce dernier est le pointimage de A (on dit que A et A’ sont conjugués).

– Système optique centré système optique qui possède un axe de révolu-tion appelé axe optique.

– Aplanétisme l’image d’un objet perpendiculaire à l’axe l’est aussi.– Point réel intersection des rayons, située après la sortie pour une image,

ou avant l’entrée pour un objet.– Point virtuel intersection du prolongement des rayons, située avant la

sortie pour une image, ou après l’entrée pour un objet.– Foyer image image d’un point A situé à l’infini sur l’axe.– Foyer objet il a pour image un point A’ situé à l’infini sur l’axe.– Plan focal image l’image ϕ′ (foyer image secondaire) d’un point objet

situé à l’infini hors axe est située dans le plan focal image.– Plan focal objet un point ϕ (foyer objet secondaire) appartenant au plan

focal objet a pour image un point situé à l’infini hors axe.– remarque : une image virtuelle n’est pas projetable sur un écran.

Pour déterminer l’emplacement d’un objet à partir de l’image, on utilise leprincipe du retour inverse de la lumière.

Conditions de Gauss– les rayons sont faiblement inclinés sur l’axe optique ;– les rayons interceptent les dioptres à une hauteur faible devant les rayons decourbure.

– remarque : les rayons sont dits paraxiaux.

41

CHAPITRE 14. FORMATION DES IMAGES

Dans ce cas, on a un système optique centré approximativement stigmatique etaplanétique.

14.2 Relations

Relations de conjugaison

– miroir planHA′ = −HA

– dioptre planHA′

n2=HA

n1

Grandissements

– transversal

γ =A′B′

AB

– angulaire

γa =α′

α

– si γ > 0, l’image est droite, sinon, elle est renversée.

42

Chapitre 15

Le prisme

Fig. 15.1 – Prisme

15.1 Relations

sin i = n sin r n sin r′ = sin i′

A = r + r′

DéviationD = i+ i′ −A

Angle limite de réfraction

l = arcsin1n

43

CHAPITRE 15. LE PRISME

15.2 Conditions d’émergence

– si A > r, A 6 r + l et A 6 2l– si A < r, A > r + l– si A = 2l, r = r′ = l et i = i′ = π/2– A− l 6 r 6 l

Pour les petits anglesi = nr i′ = nr′

D = A(n− 1)

44

Chapitre 16

Miroirs sphériques

16.1 Caractéristiques et relations

Le foyer objet est confondu avec le foyer image.

Vergence

v =1f ′

exprimée en dioptrie δ

Relations de conjugaison

– origine au sommet1SA

+1SA′

=2SC

=1SF ′

=1f ′

– origine au centre1CA

+1

CA′=

2CS

=1SF

=1f ′

– origine aux foyersFA · FA′ = f ′2

– grandissement

γ =A′B′

AB=CA′

CA= −SA

′

SA

16.2 Rayons

45

CHAPITRE 16. MIROIRS SPHÉRIQUES

Fig. 16.1 – Miroir concave

Fig. 16.2 – Miroir convexe

46

Chapitre 17

Lentilles minces

17.1 Définitions

La lentille est dite mincce si– e S1C1 ;– e S2C2 ;– e S1C1 − S2C2.Avec e = S1S2.

Aplanétisme et stigmatisme approchés dans les conditions de Gauss.

17.2 Foyers, plans focaux

Un rayon passant par O n’est pas dévié.

Distance focale f ′ = OF ′.– Si f ′ > 0, la lentille est convergente.– Si f ′ < 0, la lentille est divergente.

Vergence

V =1f ′

exprimée en dioptrie δ

Foyer objet Symétrique de F’ par rapport à O (utilisation du principe duretour inverse de la lumière).

47

CHAPITRE 17. LENTILLES MINCES

17.3 Construction des images

Fig. 17.1 – Lentille convergente

Fig. 17.2 – Lentille divergente

17.4 Relations

Relations de conjugaison– Origine au centre

1OA′

− 1OA

=1f ′

– Origine au sommetF ′A′ · FA = −f ′2

Grandissement– Origine au centre

γ =OA′

OA

48


– Origine au sommet

γ =f ′

FA=F ′A′

−f ′

49


50

Chapitre 18

Bases de l’électrocinétique

18.1 Définitions générales

– Courant électrique déplacement de porteurs de charges.– Intensité du courant débit de charge à travers une surface.

i(t) =dq(t)dt

A =C

s

Par convention, le courant se déplace dans le sens contraire des électrons.

– Potentiel état électrique d’un point de l’espace.– Tension différence de potentiels.

Approximation des régimes quasi-stationnaires les retards dus auxphénomènes de propagation sont négligeables par rapport à la durée d’évolutiondes signaux. Cette approximation est valable si

l c

f= λ l : longueur du circuit

18.2 Circuit électrique

18.2.1 Définitions

– Réseau électrique ensemble de conducteurs reliés les uns aux autres etdans lesquels circulent des porteurs de charge. Aussi appelé circuit.

– Dipôle composant dont l’accès de fait par deux bornes (ou pôles).– Multipôle l’accès se fait par plus de deux bornes.

51

CHAPITRE 18. BASES DE L’ÉLECTROCINÉTIQUE

– Fil de connexion fil conducteur dont la résistance est négligeable devantles autres résistances du montage.

– Noeud point de jonction entre tois fils ou plus.– Branche tronçon de circuit compris entre deux noeuds.– Maille ensemble de branches formant un contour fermé (elle peut êtreorientée arbitrairement).

18.2.2 Lois de Kirchhoff

– Loi des noeuds ∑k

ek ik = 0

– Loi des mailles– on a ek = 1 si ik arrive sur le noeud, sinon, ek = −1.∑

k

ek uk = 0

– on a ek = 1 si uk est dans le sens de la maille, sinon, ek = −1.– remarque : ces lois ne sont valables que dans l’ARQS.

18.2.3 Conventions d’étude des dipôles

– Convention récepteur orientations opposées de u et de i.– si p(t) > 0, fonctionnement récepteur ;– si p(t) < 0, fonctionnement générateur.

– Convention générateur même orientations de u et de i. Les fonctionne-ments sont inversés par rapport à la convention récepteur.

18.2.4 Grandeurs

– Puissance instantannée

p(t) = u(t) i(t)

– Puissance moyenne

P = < p(t) >=1Tf

∫ Tf

0

p(t) dt

Caractéristique statique graphe de I = f(U) en régime statique.

a0 I + b0 U = F

Si la caractéristique passe par l’origine, alors on a un dipôle passif.

52


Remarque : en régime statique, on a u(t) = U = cste, i(t) = I = cste, f(t) =cste

Dipôle linéaire la relation entre u et i est une équation différentielle linéaireà coefficients constants.

18.2.5 Dipôles

– Source de tension une source de tension parfaite e(t) (constante ouvariable) impose la tension à ses bornes quelque soit l’intensité.

– Source de courant une source de courant parfaite i(t) (constante ouvariable) impose le courant qui la traverse quelque soit la tension.

– Résistance (ou résistor) caractérisé par sa résistance R en ohms (Ω).On a

u(t) = R i(t)

De plus (on suppose u(t) et i(t) constants)

P = U I = RI2 > 0

La résistance ne peut donc que recevoir de la puissance, qu’elle dissipe à sonenvironnement sous forme de chaleur (effet Joule). On a aussi

P =U2

R

– Bobine caractérisée par son inductance propre (ou autoinductance) L enhenry (H). En régime permanent, la bobine se comporte comme un fil. On a

u(t) = Ldi(t)dt

– Condensateur caractérisé par sa capacité C en farad (F). L’armaturepar laquelle entre le courant porte une charge +q(t). On a

i(t) = Cdu(t)dt

=dq(t)dt

18.2.6 Association de dipôles passifs

Association en série

– RésistanceReq =

∑j

Rj

– BobineLeq =

∑j

Lj

53


– Condensateur1Ceq

=∑j

1Cj

Formule du pont diviseur de tension

u1(t)R1

=u2(t)R2

=u(t)

R1 +R2

Cette formule n’est applicable que si i(t) = 0.

Association en série de dipôle quelconque : pour obtenir la caractéristique sta-tique, il faut additionner les tensions à même intensité.

Association en parallèle

– Résistance1Req

=∑j

1Rj

Parfois, on travaille avec les conductances (Gj =1Rj

). On a alors

Geq =∑j

Gj

– Bobine1Leq

=∑j

1Lj

– Condensateur

Ceq =∑j

Cj

Formule du pont diviseur de courant

i1(t)R2

=i2(t)R1

=i(t)

R1 +R2

Association en série de dipôle quelconque : pour obtenir la caractéristique sta-tique, il faut additionner les intensités à même tension.

54


18.2.7 Dipôles linéaires réels

Fil de connexion

Un câble est résistif. Soit l sa longueur, S sa section, ρ la résistivité du métal(en Ω ·m). On a

R = ρl

S

Source de tension réelle

Soit r sa résistance interne. On a

u(t) = e(t)− r i(t)

En continu, on a U = E−RI. Le terme RI est appelée chute de tension ohmique.Il ne s’agit pas d’une source de tension idéale car U dépend de I. On a

P = UI = (E −RI) I = EI −RI2

RI2 : puissance dissipée par effet Joule.

Source de courant réelle

Soit r sa résistance interne. On a

i(t) = i0(t)− u(t)R

En continu, on a

I = I0 −U

R

U = R(I0 − I)

De plus, on a

P = UI = U

(I0 −

U

R

)= UI0 −

U2

R

18.2.8 Association de dipôles passifs et actifs linéaires

Théorème de superposition La réponse en courant ou en tension d’unréseau linéaire contenant différentes sources indépendantes agissant simultané-ment est égal à la somme des réponses en tension et en intensité dues à chaquesource agissant séparément.

55


Point de fonctionnement Soient D1 et D2 deux dipôles dont on connaitles caractéristiques statiques. On connecte D1 et D2.

I = I1 = I2U = U1 = U2

U et I sont lus au point d’intersection des deux caractéristiques statiques. Cepoint est appelé point de fonctionnement du circuit.

Association de sources uniquement

– Sources de tensione(t) = e1(t) + e2(t)

Remarque : montage en parallèle interdit si e1(t) 6= e2(t). De plus, le montagefermé par un fil (e2(t) = 0) est interdit.

– Sources de couranti(t) = i1(t) + i2(t)

Remarque : montage en série interdit si i1(t) 6= i2(t). De plus, un circuitouvert (i2(t) = 0) est interdit.

Modèles équivalents de Thévenin et de Northon

UAB = ETh −ReqI

I = IN −UABReq

Théorème de Thévenin Méthode pour obtenir ETh et Req :1. on impose I = 0 (le dipôle est à vide) et on calcule UAB = ETh ;2. on procède à la passivation des sources du dipôle ;3. on calcule alors la résistance équivalente entre A et B.

Méthode pour obtenir le modèle équivalent de Norton :1. on court-circuite A et B, on calcule I = IN dans le fil (courant du court-

circuit) ;2. passivation des sources.

56

Chapitre 19

Réponses libres et réponses àun échelon de circuits R, L, C

19.1 Considérations énergétiques

L’énergie (en J) reçue par un dipôle entre t1 et t2 est donnée par

E =∫ t2

t1

u(t)i(t) dt

– Résistance

E =∫ t2

t1

Ri2(t) dt > 0

La résistance ne peut que recevoir de l’énergie de la part du reste du circuit.Cette énergie n’est pas emmagasinée mais restituée à l’environnement sousforme d’effet Joule.

– Condensateur

E =∫ t2

t1

uc(t)Cduc(t)dt

dt =[

12Cu2

c(t)]t2t1

= Ec(t2)− Ec(t1) = ∆Ec

Avec l’énergie du condensateur égale à

Ec =12Cu2

c =12q2

C

Remarque : un condensateur ne peut avoir une tension discontinue à sesbornes.

– Bobine

E =∫ t2

t1

iL(t)LdiL(t)dt

dt =[

12Li2L(t)

]t2t1

= EL(t2)− EL(t1) = ∆EL

57

CHAPITRE 19. RÉPONSES LIBRES ET RÉPONSES À UN ÉCHELON DE CIRCUITSR, L, C

Avec l’énergie du condensateur égale à

EL =12Li2L

Remarque : Le courant ne peut pas subir de discontinuité.

Ec et EL peuvent être positif ou négatif : le condensateur et la bobine peuventdonc recevoir ou donner de l’énergie au reste du circuit. Ils sont des élémentsde stockage de l’énergie.

19.2 Réponse à un échelon indiciel d’un circuitdu premier ordre

En régime libre, on ads(t)dt

+1τs(t) =

S∞τ

Avec τ : constante de temps et S∞ = limt→+∞

s(t).

La solution est

s(t) = (S0 − S∞) exp(−tτ

)+ S∞

Dans le cas d’une réponse libre, on a S∞ = 0.

19.3 Réponse libre d’un circuit du second ordre

19.3.1 Sans amortissement

d2s(t)dt

+ ω20s(t) = 0

Avec ω0 la pulsation propre du circuit.

La solution est

s(t) = A cos(ω0t) + b sin(ω0t) = C cos(ω0t+ ϕ)

58


19.3.2 Avec amortissement

d2s(t)dt

+ 2ξω0ds(t)dt

+ ω20s(t) = 0

Solutions– Si ξ < 1 : régime pseudo-périodique

s(t) =(A cos(ωAt) +B sin(ωAt)

)exp(−ξω0t)

Avec ωA = ω0

√1− ξ2 et TAωA = 2π.

– Si ξ = 1 : régime critique

s(t) = (At+B) exp(−ξω0t)

– Si ξ > 1 : régime apériodique

s(t) = A exp(r1t) +B exp(r2t)

Avec r1 et r2 solutions de

r2 + 2ξω0r + ω2 = 0

19.4 Réponse à un échelon d’un circuit du secondordre

d2s(t)dt

+ 2ξω0ds(t)dt

+ ω20s(t) = ω2

0S∞

59


60

Chapitre 20

Amplificateur opérationnelidéal en fonctionnementlinéaire

Il faut toujours alimenter l’amplificateur opérationnel avant d’imposer des ten-sions à ses bornes d’entrée.

La caractéristique statique fait apparaitre :– Une zone linéaire, où vs = Ad · ε et alors −Vsat < vs < +Vsat. Ad est le gain

différentiel de l’AO.– Une zone non linéaire (fonctionnement saturé), où vs = ±Vsat.

Hypothèses de fonctionnement– AO idéal : Ad →∞ et i+ ≈ i− ≈ 0. Remarque : le courant de sortie est non

nul.– Fonctionnement linéaire : ε = 0. On suppose que l’AO est en fonctionnement

linéaire dès qu’il existe une rétroaction négative sur l’entrée -.

61

CHAPITRE 20. AMPLIFICATEUR OPÉRATIONNEL IDÉAL EN FONCTIONNEMENTLINÉAIRE

62

Chapitre 21

Régime sinusoidal forcé

Décomposition en série de Fourier Sous certaines conditions, un signalpériodique de pulsation ω0 et de valeur moyenne nulle peut se décomposer enune somme infinie de sinusoides de pulsations multiples de ω0

f(t) =∑n

Cn cos(nωt+ ϕn)

21.1 Formalisme complexe

Grandeurs complexes à un signal

f(t) = F cos(ωt+ ϕ)

On peut associer son amplitude complexe

F = F exp(jϕ)

Et la fonction complexe du temps associée est

f(t) = F exp(jωt) exp(jϕu) = F exp(jωt)

Opérations :– Dériver une fonction revient à multiplier par jω la fonction complexe associée.– Intégrer une fonction revient à diviser par jω la fonction complexe associée.

Impédance complexe d’un dipôle linéaire Un dipôle est linéaire si u(t)et i(t) sont liés par une équation différentielle du type

a0u(t) + a1du(t)dt

+ a2d2u(t)dt2

+ · · · = b0i(t) + b1di(t)dt

+ · · ·

63

CHAPITRE 21. RÉGIME SINUSOIDAL FORCÉ

En passant aux amplitudes complexes, on obtient la relation

U =(b0 + b1jω + b2(jω)2 + · · ·a0 + a1jω + a2(jω)2 + · · ·

)I = Z I

Où Z est l’impédance complexe du dipôle (en ohms Ω), et l’impédance dépenddonc de l’impédance du générateur.

On a aussi |U | = |Z||I| ⇒ U = ZI

Impédance de dipôles usuels :– Résistance : Z = R. u(t) et i(t) sont en phase (même argument).– Bobine : Z = jLω. i(t) est en retard de π/2 sur u(t).

– Condensateur : Z =1

jCω. i(t) est en avance de π/2 sur u(t).

Tous les théorèmes vu en continu avec les résistances sont valables.

21.2 Etude de circuits

Phénomène de résonnance Pulsation pour laquelle la tension ou l’inten-sité aux bornes du dipôle est maximale.– Il y a résonnance en tension si ξ 6 1/

√2. Alors

ωr = ω0

√1− 2ξ2

Remarque : si ξ 1/√

2, alors ωr ≈ ω et donc Udipole ≈ QUgenerateur. Q estparfois appelé coefficient de surtension.

– Il y a toujours résonnance en courant pour ω = ω0 et on a

Imax =U

R

– Il y a aussi toujours résonnance en puissance pour ω = ω0.

On utilise la fonction arctan pour obtenir la valeur de la phase ϕ.

Puissance moyenne (ou active) Puissance constante qui donnerait lamême valeur que l’énergie reçue pendant une période entière (de la tension oudu courant)

P = 〈p(t)〉 =1T

∫ T

0

p(t)dt

En sinusoidal, on obtient

P =UmIm cosϕ

2cosϕ est appelé facteur de puissance.

64


I = Ia + Ir Avec Ir la partie réactive (en quadrature par rapport à U) et Ia lapartie active du courant (en phase avec U).

Valeur efficace On pose

Ueff =Um√

2Ieff =

Im√2

L’expression de la puissance devient alors

P = UeffIeff cosϕ

65


66

Chapitre 22

Filtres du premier et secondordre

22.1 Généralités

Fonction de transfert Fonction, notée H ayant un effet de filtrage si elledépend de ω (son effet sera différent selon la fréquence d’entrée).– en jω : isochrone - pour les signaux sinusoidaux.– en p : symbolique - pour les signaux causaux.La fonction de transfert est perturbée par le circuit en aval.

Remarque : on peut écrire H = H1 ·H2 seulement si l’impédance de sortie dupremier quadripôle est négligeable devant celle du second.s

– calcul de Ze :VeIe

– calcul de Zs : détermination de l’impédance équivalente du générateur deThévenin en passivant les sources.

22.2 Diagramme de Bode

H(jω) est une fonction complexe de la pulsation ω

H(jω) = |H(jω)| exp(jϕ(ω)

)Représentation graphique :– le module G = |H(jω)| est appelé gain de la fonction de transfert.– l’argument ϕ(ω) = arg

(H(jω)

)est appelé phase de la fonction de transfert.

67

CHAPITRE 22. FILTRES DU PREMIER ET SECOND ORDRE

Le diagramme de Bode est constitué de deux courbes :– la courbe de gain (en dB), défini par

GdB = 20 logG

– la courbe de phase (en rad).On utilise une échelle logarithmique.

Le diagramme de Bode du produit de deux fonctions de transfert (H = H1 ·H2)est obtenu par :– la somme des courbes en gain (en dB) pour le gain :GdB,H = GdB,H1+GdB,H2 .– la somme des courbes de phase pour la phase, car arg(H1 · H2) = argH1 +

argH2

22.2.1 Caractéristiques

Pulsations de coupure Les pulsations de coupures d’une fonction de trans-fert correspondent aux pulsations pour lesquelles son gain est réduit d’un facteur√

2 par rapport à sa valeur maximale.

G(ωc) =Gmax√

2

On parle aussi de pulsation de coupure à -3 dB car −20 log√

2 = −3.

Bande passante Il s’agit du domaine de pulsation pour lequel le gain estcompris entre Gmax et G(ωc).

Types de filtre :– Un filtre passif n’est constitué que d’éléments passifs.– Un filtre actif comporte au moins un amplificateur opérationnel.Filtres spéciaux :– gain pur (réel)

H(jω) = K > 0 ou < 0

– dérivateur pur (imaginaire pur)

H(jω) = jω

ω0

GdB = 20 logω − 20 logω0

Equation correspondand à une droite croissante passant par 0 dB pour ω = ω0

dont la pente est de 20 dB par décade.

ϕ = +π/2

– intégrateur pur (imaginaire pur)

H(jω) =1

jω

ω0

68


GdB = 20 logω0 − 20 logω

Equation correspondand à une droite décroissante passant par 0 dB pourω = ω0 dont la pente est de -20 dB par décade.

ϕ = −π/2

22.3 Filtres du premier ordre

22.3.1 Passe-bas du premier ordre

H(jω) =1

1 + jω

ω0

Fig. 22.1 – Filtre passe-bas du premier ordre

22.3.2 Passe-haut du premier ordre

H(jω) =jω

ω0

1 + jω

ω0

69


Fig. 22.2 – Filtre passe-haut du premier ordre

22.4 Filtres du second ordre

22.4.1 Passe-bas du second ordre

H(jω) =1

1 + j2ξωω0−ω2

ω20

Fig. 22.3 – Filtre passe-bas du second ordre

70


22.4.2 Passe-haut du second ordre

H(jω) =−ω2

ω20

1 + j2ξωω0−ω2

ω20

Fig. 22.4 – Filtre passe-haut du second ordre

22.4.3 Passe-bande du second ordre

H(jω) =j

2ξωω0

1 + j2ξωω0−ω2

ω20

71


Fig. 22.5 – Filtre passe-bande du second ordre

72

Chapitre 23

Electrostatique

23.1 Charges et champ électrostatique

Loi de Coulomb Soient une charge qA placée en A et une charge qb placéeen B, toutes deux fixes dans le référentiel d’étude. La force exercée par A sur Bs’exprime par

−−−−→FA→V =

qaqb4πε0εr

1r2−−→uAB

Remarque : εr est la permittivité relative du vide.– Dans le vide : εr = 1– Dans l’air : εr ≈ 1

23.1.1 Champ créé par une charge ponctuelle

Champ électrostatique créé par qi située en Pi

−→E (M) =

qi4πε0εr

−−→PiM

||−−→PiM ||3

(V ·m−1)

Il s’agit d’une grandeur locale.

On a donc la relation−→F = q

−→E

Principe de superposition Si, dans une région de l’espace, on dispose den sources, alors le champ en un point M est égal à la somme des champs créés

73

CHAPITRE 23. ELECTROSTATIQUE

séparément en M par les n sources

−→E (M) =

14πε0

n∑i=1

qi

−−→PiM

||−−→PiM ||3

23.1.2 Champ créé par une distribution continue de charges

Densité volumique de charges

%(P ) =dq

dτ(C ·m−3)

La charge totale comprise dans le volume V est

Q =∫∫∫

V

dq =∫∫∫

V

%dτ

Le champ créé par une distribution volumique est donc

−→E (M) =

∫∫∫V

%

4πε0

−−→PiM

||−−→PiM ||3

dτ

Densité surfacique de charges

σ(P ) =dq

dS(C ·m−2)


Q =∫∫

S

dq =∫∫

S

σdS

Le champ créé par une distribution surfacique est donc

−→E (M) =

∫∫S

σ

4πε0

−−→PiM

||−−→PiM ||3

dS

Densité linéique de charges

λ(P ) =dq

dl(C ·m−1)


Q =∫L

dq =∫L

λdl

74


Le champ créé par une distribution surfacique est donc

−→E (M) =

∫L

λ

4πε0

−−→PiM

||−−→PiM ||3

dl

23.2 Symétries et antisymétries

Soient P et P’ deux points (entourés par les volumes élémentaires dτ et dτ ′)symétriques par rapport à un plan de symétrie géométrique Π d’une distributionde charges.

Plan de symétrie électrostatique Π est un plan de symétrie si pour toutcouple (P, P’), la densité de charge vérifie %(P ) = %(P ′). Au contraire, Π estun plan d’antisymétrie si %(P ) = −%(P ′). Un plan de symétrie des charges estaussi un plan de symétrie des champs — de même pour un plan d’antisymétrie.

Direction du champ :– Si Π est un plan de symétrie, alors M ∈ Π⇒

−→E (M) ∈ Π.

– Si Π est un plan d’antisymétrie, alors M ∈ Π⇒−→E (M) ⊥ Π.

Invariance Transformation géométrique qui laisse le champ inchangé.Exemple : si le champ est invariant par rotation, alors E(r, θ, z) = E(r, z).

23.3 Théorème de Gauss

Flux élémentaire Le flux élémentaire dφ de−→E à travers l’élément de surface

orienté dS est défini pardφ =

−→E ·−→dS

φ =∫∫

S

dφ

Si la surface S est fermée, on notera

φ =∮S

dφ

Théorème de Gauss Le flux du champ−→E à travers une surface fermée S

est proportionnel à la charge qint enfermée dans la surface S

φ =qintε0

Méthode :

75


– Chercher les symétries et les invariances.– Chercher une surface de Gauss fermée, perpendiculaire au champ en toutpoint, et la compléter éventuellement par des morceaux de surfaces sur les-quelles le flux est nul pour la refermer.

23.4 Topographie

Equipotentielle Une surface (ou ligne) équipotentielle est définie par l’en-semble des points de même potentiel. Le champ

−→E est perpendiculaire aux

équipotentielles en tout point.

On a −→E = − gradV

Lignes de champ Courbes tangentes au vecteur champ électrostatique.Elles sont orientées dans la direction du champ. On obtient leur équation par

d−−→OM ∧

−→E =

−→0

En un point où se coupent deux lignes de champ,−→E est soit nul, soit indéfini.

76

Chapitre 24

Magnétostatique

24.1 Définitions

La Terre est source d’un champ magnétique, appelée champ géomagnétique. Lepôle nord magnétique correspond au pôle sud d’un aimant droit (et inverse-ment).

Le pôle nord d’une aiguille aimantée pointe vers le pôle nord magnétique.

Champ magnétique Le champ magnétique en un point M peut être repré-senté par un vecteur

−→B (M), qui est caractérisé par :

– une direction (celle d’une aiguille placée en M) ;– un sens : du pôle sud vers le pôle nord de l’aiguille ;– une intensité (en tesla - T).La valeur d’un champ magnétique peut être mesuré avec un teslamètre. Re-marque : 1T représente un champ intense.

Principe de superposition Si, dans une région de l’espace, on dispose den sources, alors le champ en un point M est égal à la somme des champs créésséparément en M par les n sources

−−→Btot(M) =

n∑i=1

−→Bi(M)

Lignes de champ Courbes tangentes au vecteur champ magnétique. Uneligne de champ créée par un aimant est orientée du pôle nord vers le pôle sud.

Spectre magnétique Ensemble des lignes de champ.

77

CHAPITRE 24. MAGNÉTOSTATIQUE

Remarque : Le spectre magnétique d’aimant courbe contient des lignes de champsparallèles entre elles et perpendiculaires aux branches de l’aimant dans l’entre-fer. Le champ a la même valeur en tout point de l’entrefer.

24.2 Champ magnétique créé par un courant

– Composants bobine enroulement de fil conducteur protégé par une gaineisolante.

– Composants solénoïde bobine constituée d’un enroulement en hélice,de spires régulièrement réparties, dont la longueur est grande (au moins 6 à7 fois son diamètre).

Remarques sur le solénoïde :– Les lignes de champs sortent par la face nord et entrent par la face sud.– A l’intérieur, le champ est uniforme. Il est dirigé du sud vers le nord.– Le sens du champ dépend de la circulation du courant.

Soit un circuit filiforme parcouru par un courant d’intensité I. A une petiteportion du circuit

−→dl (orientée dans le sens du courant), située en P, est associée

un élément de courant d−→C = I ·

−→dl .

Loi de Biot et Savart Elle permet d’exprimer la contribution de l’élémentde courant d

−→C situé en P au champ magnétique total au point M

d−→B =

µ0

4πd−→C ∧

−−→PM

||−−→PM ||3

Soit Π, plan de symétrie de la distribution de courant :– Si M ∈ Π, alors

−→B ⊥ Π.

– Π est un plan d’antisymétrie pour−→B .

Soit Γ un contour fermé qui enlace un certain nombre de courant Ik.

Théorème d’Ampère la circulation CΓ du champ magnétique−→B sur le

contour Γ est égaleau produit de µ0 par la somme algébrique des courants enlacéspar Γ

C =∮

Γ

−→Bd−→l = µ0

∑k

εkIk

Avec ek = 1 si I et −→n sont dans le même sens, sinon, ek = −1.

78

Chapitre 25

Mouvement d’une particulechargée dans un champélectrique ou magnétique

25.1 Généralités

Le poids d’une particule chargée peut être négligée car

−→P

−−→Felec

−−−−→Fmagn

Force de Lorentz Force globale que subit une particule en présence de deuxchamps, l’un électrique et l’autre magnétique

−−→Ftot = q

−→E︸︷︷︸−−→Felec

+ q−→v ∧−→B︸︷︷︸

−−−−→Fmagn

Remarque : on a la relation

µ0ε0c2 = 1

79

CHAPITRE 25. MOUVEMENT D’UNE PARTICULE CHARGÉE DANS UN CHAMPÉLECTRIQUE OU MAGNÉTIQUE

25.2 Particule soumise uniquement à un champ

25.2.1 Champ électrique

Le mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme sefait dans un plan définit par :– le point d’entrée O de la charge dans la zone de champ ;– le vecteur vitesse initial −→v0 de la particule ;– le vecteur champ électrique

−→E .

L’application d’un tel champ à une particule chargée permet de faire varier savitesse. Cas particuliers :– Si −→v0 //

−→E alors le mouvement est uniformément varié.

– Si −→v0 ⊥−→E alors le mouvement est un arc de parabole.

25.2.2 Champ magnétique

La vitesse d’une particule chargée dans un champ magnétique reste constantecar la force magnétique ne travaille pas. Le mouvement est :– rectiligne uniforme si −→v0 //

−→E ;

– circulaire si −→v0 ⊥−→E ;

– hélicoïdal sinon.

25.3 Lois locales

Vecteur densité de courant Vecteur dont le flux est défini par l’intensitédu courant traversant une surface S à la date t

I =∫∫

S

−→j d−→S (A ·m−2)

On a donc −→j =

∑k

−→jk =

∑k

nkqk−→vk

Loi d’Ohm Interprétation microscopique

−→j = σ

−→E

Où σ désigne la conductivité du milieu, en S ·m−1.

80

Chapitre 26

Dipôle électrostatique etdipôle magnétostatique

26.1 Dipôle électrostatique

Dipôle électrostatique On appelle dipôle électrostatique un ensemble dedeux charges ponctuelles opposées, placées en deux points N (-q) et P (+q)distants de d, et auquel on associe un moment dipolaire.

Moment dipolaire−→µ = q

−−→NP

Remarque : parfois il est noté −→p

Propriétés (figure 26.1) :– NO = OP– Potentiel total créé en M

Vtot(M) = VN (M) + VP (M) =−q

4πε0

(1r+− 1r−

)Approximation dipolaire

d r, r+, r−

Cette approximaion est fausse au voisinnage du dipôle.

81

CHAPITRE 26. DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE ET DIPÔLE MAGNÉTOSTATIQUE

Fig. 26.1 – Représentation d’un dipôle électrostatique

26.1.1 Interaction entre un dipôle et un champ extérieur

Energie potentielle d’interaction Energie potentielle d’interaction entrele dipôle de moment dipolaire −→µ et le champ électrostatique extérieur

−−→Eext

Ep = −−→p ·−−→Eext

Moment en O (centre du dipôle) de la force du champ extérieur exercé

−→M0 = −→p ∧

−→E

Dans un champ électrostatique, le dipôle tend à s’aligner avec le champ et à seplacer dans le même sens. Une fois aligné, dans le cas d’un champ non uniforme,le dipôle subit une force qui l’amène vers les zones de plus fort champ.

Dans un champ extérieur uniforme, la résultante des forces est nulle.

26.2 Dipôle magnétostatique

Moment magnétique Vecteur associé à un champ créé par une spire

−→M = I · S · −→n (A ·m2)

Approximation dipolaire Elle consiste à dire que la distance r où l’on

82


calcule le champ est très supérieure aux dimensions caractéristiques de la dis-tribution de courant

r R

Le champ créé, dans le cadre de l’approximation dipolaire, par une spire decourant est

−→B (M) =

µ0

4π1r3

(2M cos θ · −→ur +M sin θ · −→uθ)

Les lignes de champ électrostatique ont la même allure que les lignes de champmagnétique créées par une spire de courant.

83


84

Chapitre 27

Premier principe de lathermodynamique

27.1 Energie

Les formes d’énergie :– énergies cinétiques macroscopique et microscopique (E∗c ) ;– énergies potentielles d’interactions externes et internes.

Ainsi, à tout système on associe une énergie interne (U = E∗c + Ep,int), etune énergie mécanique (Em = Ec + Ep,ext) : E = Em + U .

En thermodynamique, l’énergie interne est considérée comme extensive : l’éner-gie interne d’un système composé de deux sous-systèmes vaut la somme desénergies internes de ces derniers.

Premier principe de la thermodynamique pour système isolé Pourtout système qui n’échange ni matière ni énergie avec le milieu extérieur, lafonction énergie est une grandeur conservative.

27.2 Transformations et transferts

L’énergie d’un système ne peut varier que par transfert avec l’extérieur. Il existedeux formes de transfert :– le travail W;– le transfert thermique Q (ou chaleur).

85

CHAPITRE 27. PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE

Premier principe de la thermodynamique pour un système macrosco-pique en mouvement– Entre un instant t et un instant t+ ∆t

∆(Em + U) = W +Q

– Sous forme de différentielle

d(Em + U) = δW + δQ

– note : W est le travail des forces extérieures qui n’ont pas été prises en comptedans Ep,ext. W et Q dépendent du "chemin" emprunté.

– remarque : dans le cas d’un système au repos, Em = 0

Transformations particulières :– cyclique : ∆U = 0 (mais dU 6= 0)– adiabatique : Q = 0 et ∆U = W– pas de travail : W = 0 et ∆U = Q

Le transfert thermique :– par conduction : non contrôlable ; même en calorifugeant le système, on peutralentir le transfert thermique mais pas l’annuler, les températures finironttoujours par s’uniformiser.

– par convection.– par rayonnement.

Le travail est défini comme un transfert d’énergie maitrisable et/ou directementmesurable. Il peut être de nature mécanique, électrique, électromagnétique...

27.3 Energie interne

Gaz parfait On appelle gaz parfait tout gaz dont le comportement est décritpar la fonction d’état

pV = nRT

A basse pression, tous les gaz ont un comportement de gaz parfait.

L’énergie interne de n moles de gaz parfait ne dépend que de sa température :– monoatomique :

U =32nRT

– diatomique :

U =52nRT

Système thermoélastique système dont l’état est décrit par les variablesp, T et V . Il est possible de lier ces trois variables par une équation d’état

86


f(p, V, T ) = 0. L’énergie interne peut alors s’exprimer en fonction de deux va-riables, souvent T et V . Une variation infinitésimale s’écrit :

dU =∂U

∂TdT +

∂U

∂VdV

Capacité thermique à volume constant système subissant une transfor-mation isochore (dV = 0). On a :

dU = Cv(V, T )dT avec Cv =∂U

∂Ten J.K−1

Cas particuliers :– gaz parfait, Cv est une constante (obtenue en dérivant U).– phase condensée : la pression n’influence presque pas le volume, donc Cv ne

dépend que de T .

27.4 Enthalpie

Enthalpie fonction d’état dont la variation ne dépend que de l’état initialet de l’état final (et pas du chemin parcouru). On peut l’exprimer en fonctionde deux des variables d’état, souvent p et T .

H = U + pV

dH =∂H

∂TdT +

∂H

∂pdp

Capacité thermique à pression constante système subissant une trans-formation isobare (dp = 0). On a :

dU = Cp(p, T )dT avec Cp =∂H

∂Ten J.K−1

Relation de Mayer pour les gaz parfaits Cp = Cv + nR. De plus, on

définit le coefficient γ =CpCv

. Dans le cas d’un gaz parfait, l’enthalpie ne dépend

que de la température (dH = CpdT ).

Dans le cas des phases condensées, Cp = Cv = C et dU ≈ dH ≈ CdT

27.5 Travail

Transformations :

87


– brutale : les variables intensives ne sont pas définies à tout instant, non me-surables, et le système n’est pas en équilibre interne. L’expression du travailest de la forme W = −pext∆V , avec pext à déterminer.

– quasi-statique : suite d’états d’équilibres internes. Les variables sont bien dé-finies. Le travail élémentaire vaut : δW = −pdV (qu’il suffit d’intégrer entrel’instant initial et l’instant final pour trouver le travail W).– détente : V augmente, le travail reçu est négatif ;– compression : V diminue, le travail reçu est positif.

Travail reçu par un dipôle électrique (en convention récepteur) : δW = p(t)dt

27.6 Cas particuliers

Transformations :– isochore : W = 0

∆U = Q =∫Cv(T, V )dT

– monobare : W = −p∆V

∆H = Q =∫Cp(T, p)dT

– isotherme d’un gaz parfait : elle implique une transformation quasi-statique.On a ∆U = 0.

Loi de Laplace Pour une transformation quasi-statique adiabatique, on a

pV γ = cste

88

Chapitre 28

Second principe de lathermodynamique

28.1 Définitions

Causes d’irréversibilité :– les phénomènes dissipatifs (frottements, effet Joule...) ;– les phénomènes de diffusion liés à la non uniformité des grandeurs intensives

(température, pression...) ;– les réactions chimiques.Une transformation non quasi statique est forcément irréversible.

Une transformation est réversible si à chaque instant le système est en équilibreinternet et externe.

Second principe de la thermodynamique Pour tout système, il existeune fonction S appelée entropie qui possède les propriétés suivantes :– fonction d’état ;– fonction extensive ;– pour tout système calorifugé (pouvant échanger du travail mais pas de la

chaleur) on a

dS > 0

= 0 pour une transformation réversible> 0 pour une transformation irréversible

Si dS < 0 alors la réaction est impossible.L’entropie d’un système calorifugé ne peut que croitre ou rester constante.

89

CHAPITRE 28. SECOND PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE

Généralement, on choisira d’exprimer S en fonction de U et V. On a

dS =∂S

∂U

∣∣∣∣V

dU +∂S

∂V

∣∣∣∣U

dV

Au voisinnage de l’équilibre thermodynamique, on a

T =1

∂S

∂U

∣∣∣∣∣V

p = T∂S

∂V

∣∣∣∣U

Identité thermodynamique

dU = TdS − pdV

On a une identité semblable avec l’enthalpie

dH = TdS + V dp

28.2 Systèmes non calorifugés : entropie d’échange

Source de travail Une source de travail n’échange pas de chaleur avecl’extérieur et sa variation d’entropie est nulle pendant une transformation quel-conque. Elle n’intervient donc pas dans un bilan d’entropie.

Source thermique Une source thermique n’échange pas de travail avecl’extérieur et est capable d’échanger de la chaleur sans que sa température Tsn’évolue (source idéale) (Cv0 → ∞). On appelle aussi ces sources des thermo-stats.

Echange entre un système et une source thermique à température T0

– Variation d’entropie de la source

dS0 =δQ0

T0= −δQ

T0

– Variation de l’entropie du système en contact avec la source

dS = δSc + δSe

Avec Sc l’entropie de création et Se l’entropie de création (ce ne sont pas desfonctions d’état, et leur valeur dépend du "chemin" emprunté), et on a

δSe =δQ

T0

EtδSc > 0

= 0 pour une transformation réversible> 0 pour une transformation irréversible

90


Une système est à l’équilibre thermodynamique quand il est stationnaire et qu’iln’y a pas de création d’entropie : δSc = 0

28.3 Machines thermiques

Une machine thermique est une machine qui :– décrit des cycles ;– échange du travail et de la chaleur avec le milieu extérieur.Si la machine reçoit du travail, c’est un récepteur, sinon, c’est un moteur.

Méthode d’étude : on applique successivement– le premier principe à la machine ;– le deuxième principe à l’univers.

Inégalité de Clausius ∑sources

QiTi

6 0

Il y a égalité dans le cas de la réversibilité.

28.3.1 Le réfrigérateur

Efficacitéε =

QfW

6Tf

Tc − TfIl s’agit d’une limite supérieure de l’efficacité du réfrigérateur. Elle peut êtresupérieure à 1 si Tc < 2Tf . Cette limite est théorique et ne peut être atteinteque pour une transformation réversible.

28.3.2 La pompe à chaleur

Efficacitéε =−QcW

6Tc

Tc − Tf

28.4 Compléments

Troisième principe de la thermodynamique Lorsque la températureabsolue d’un corps pur parfait tend vers 0 K, son entropie tend vers 0.

91


Nombre de complexion nombre de micro-états qui mènent à un macro-état. Il est noté Ω. Un état final a d’autant plus de chances d’être observé queson nombre de complexion est grand.

A chaque macro-état, on associe une entropie "statistique", liée au nombre decomplexion

S = kb ln Ω

Où kb est la constante de Boltzmann.

92

Chapitre 29

Changements d’état : étudedescriptive du corps purdiphasé en équilibre

29.1 Les changements d’état d’un corps pur

Fig. 29.1 – Les différents changements d’état

Représentation : un corps pur à l’équilibre thermodynamique interne peut exis-ter sous plusieurs formes : une seule phase, deux ou trois phases. L’existence deces phases dépend des valeurs des variables d’état p, V, T.

93

CHAPITRE 29. CHANGEMENTS D’ÉTAT : ÉTUDE DESCRIPTIVE DU CORPS PURDIPHASÉ EN ÉQUILIBRE

Fluide hypercritique Phase où l’on ne peut distinguer s’il s’agit d’unliquide ou d’un gaz.

29.1.1 Projection dans le plan(p,T)

Fig. 29.2 – Diagramme (p,T)

Il n’y a équilibre entre deux phases que si le point est situé sur l’une des courbes.

Point triple Point où le corps pur peut exister sous ses trois phases en mêmetemps. Il se situe à une pression et à une température bien définies caractéris-tiques de chaque corps pur.

Point critique Point au-delà duquel il n’y a plus d’équilibre liquide-vapeur.

Fig. 29.3 – Diagramme (p,T) de l’eau

94


Fig. 29.4 – Diagramme (p,V)

29.2 Equilibre liquide-gaz

On appelle :– courbe de rosée le lieu des points G ;– courbe d’ébullition le lieu des points L ;– courbe de saturation l’ensemble des courbes de rosée et d’ébullition.Fraction massique de vapeur Appelée aussi "titre en vapeur", notée x

x =mG

m

Où mG est la masse de la vapeur.

On peut définir également la fraction massique de liquide

y =mL

m= (1− x)

Théorème des moments Pour un point M sur une isotherme dans lazone d’équilibre liquide-vapeur, les fractions massiques de vapeur et de liquidevérifient

x =LM

LGy =

MG

LG

29.3 Grandeurs thermodynamiques

Enthalpie massique de changement d’état Variation d’enthalpie mas-sique, notée ∆h1→2, quand le corps pur passe d’une extrémité à l’autre d’unpalier de changement d’état. Elle est aussi appelée chaleur latente.

95


Entropie massique de changement d’état Variation d’entropie massique,notée ∆s1→2, quand le corps pur passe d’une extrémité à l’autre d’un palier dechangement d’état. Elle vérifie

∆s1→2 =∆h1→2

T

Ces deux variations sont à considérer lorsque le changement d’état a lieu à unetempérature T constante et donc à la pression d’équilibre constante égale à lapression de vapeur saturante ps(t).

Enthalpie massique On nomme hv l’enthalpie massique au point G et hLl’enthalpie massique au point L. L’enthalpie massique au point M est obtenuepar

h = x · hG + (1− x)hL h = x∆hvap + hL

Entropie massique On nomme sv l’enthalpie massique au point G et sLl’enthalpie massique au point L. L’enthalpie massique au point M est obtenuepar

s = x · sG + (1− x)sL s = x∆hvapT

+ sL

96

Chapitre 30

Gaz parfait monoatomique

30.1 Modèle du gaz parfait monoatomique

Soit un ensemble N de molécules monoatomiques dans un référentiel galiléen,macroscopiquement au repos et de centre d’inertie G. On note m la masse dela molécule, −→v sa vitesse précédant le choc,

−→v′ sa vitesse après le choc, n∗ la

densité particulaire et τ durée du choc.

Hypothèses d’étude :– molécules assimilables à des points matériels ;– aucune interaction à distance ;– les interactions se limitent à des chocs élastiques entre les atomes entre eux

ou avec les parois ;– équilibre interne : la densité moléculaire et la répartition statistique des vi-

tesses des atomes sont homogènes et stationnaire :– isotropie des vitesses.

Pression cinétique La pression cinétique exercée par un fluide sur uneparoi est due aux chocs des molécules du fluide sur la paroi. Elle est liée à lavaleur moyenne des forces exercées par les molécules sur la paroi.

Etude du choc d’une molécule qui se déplace vers une surface dS, perpendicu-lairement à celle-ci, avant de repartir en sens inverse :– Modèle simplifié : seules trois directions orthogonales sont possibles.– Force exercée par la molécule sur la surface pendant le choc :

−→F =

2mvτ

– A cause de la conservation de l’énergie cinétique, on déduit que −→v =−→v′ .

97

CHAPITRE 30. GAZ PARFAIT MONOATOMIQUE

– Le nombre de chocs reçus pendant une durée ∆T est

N =n∗

6dS · v ·∆T

– Force moyenne reçue par l’élément de surface pendant la durée ∆T

〈−→F 〉 =

13mn∗v2dS

– La pression exercée est

p =13mn∗v2

Adaptation du modèle à la réalité : on prend la valeur moyenne de la vitesse surl’ensemble des molécules.

p =13mn∗u2

Où u =√〈v2〉 =

1N

N∑i=1

v2i est la vitesse quadratique moyenne d’une molé-

cule .

Température cinétique Il s’agit de l’image macroscopique de l’agitationthermique microscopique. Elle est liée à l’énergie cinétique moyenne d’une mo-lécule du gaz par

〈Ec〉 =12mu2 =

32kbT

Où kb est la constante de Boltzmann.

Energie interne

U =32nRT

30.2 Coefficients thermoélastiques

Dans un système thermoélastique, ces coefficients permettent de décrire la façondont varient certaines variables d’état par rapport aux autres.

Coefficient de dilatation isobare Il permet de quantifier la variation devolume quand la température varie

α =1V

∂V

∂T

∣∣∣∣p

Coefficient de compressibilité isotherme Il permet de quantifier la va-riation de volume quand la pression varie

χT = − 1V

∂V

∂p

∣∣∣∣T

98


Ces coefficients sont très faibles dans le cas de phases condensées.

99


100

Annexe A

Résoudre une équationdifférentielle

A.1 Premier ordre

y +y

τ⇒ y = A exp

(−tτ

)y + ω2y = 0⇒ y = A cos(ωt) +B sin(ωt)

A.2 Second ordre

Etapes :1. équation sans second membre (ESSM) ;2. solution particulière (S∞) ;3. solution général : solESSM + S∞ ;4. détermination des constantes grâce aux conditions initiales.

Equation différentielle sans second membre :

x+ 2ξω0x+ ω20x = 0

Résolution :– Equation caractéristique

r2 + 2ξω0r + ω2 = 0

101

ANNEXE A. RÉSOUDRE UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE

– Calcul du discriminant– si ∆ > 0 (ξ > 1) : 2 racines réelles r1 et r2

x = A exp(r1t) +B exp(r2t)

– si ∆ < 0 (ξ < 1) : 2 racines complexes conjuguées r1 = r2 = −ξω0 + jωAavec ωA = ω0

√1− ξ2

x =(A cos(ωAt) +B sin(ωAt)

)exp(−ξω0t) = C cos(ωAt+ ϕ) exp(−ξω0t)

– si ∆ = 0 (ξ = 1) : une racine double r0 = −ω0

x = (A+Bt) exp(ω0t)

A.3 Equation sinusoidale

La solution sera du type : x(t) = xESSM (t) + x solutionparticuliere

(t) = transitoire +

regime permanent

102

Annexe B

Elements infinitésimaux

B.1 Déplacement

– Cartésien

d−−→OM =

dxdydz

– Cylindrique

d−−→OM =

drr · dθdz

– Sphérique

d−−→OM =

drr · dθ

r · sin θ · dϕ

B.2 Surface

– CartésiendS1 = dx · dy

dS2 = dx · dz

dS3 = dy · dz

– CylindriquedS1 = r · dr · dθ

dS2 = r · dθ · dz

dS3 = dr · dz

103

ANNEXE B. ELEMENTS INFINITÉSIMAUX

– SphériquedS1 = r · dr · dθ

dS2 = r · sin θ · dr · dϕ

dS3 = r2 · sin θ · dθ · dϕ

B.3 Volume

– Cartésiendτ = dx · dy · dz

– Cylindriquedτ = r · dr · dθ · dz

– Sphériquedτ = r2 · sin θ · dr · dθ · dϕ

104

Annexe C

Constantes et unités

C.1 Constantes

Célérité de la lumière dans le vide c = 2.998 · 108 m · s−1

Charge de l’électron e = 1.602 · 10−19 CCharge d’une mole d’électrons F = NA · e = 96.4 · 103 CConstante de Boltzmann kb = 1.38 · 10−23 J ·K−1Constante des gaz parfaits K = kb · NA = 8.314 J ·K−1 ·mol−1

Constante de gravitation universelle G = 6.67 · 1011 N ·m2 · kg2

Masse de l’électron me = 9.11 · 10−31 kgMasse du proton mp = 1836 ·me

Nombre d’Avogadro NA = 6.022 · 1023 mol−1

Permittivité magnétique du vide µ0 = 4π · 10−7 H ·m−1

Permittivité absolue du vide ε0 = 8.85 · 10−12 F ·m−1

C.2 Unités

Coulomb 1 C = 6.25 · 1018 e où e est la charge élémentaireDebye 1 D = 1/3 · 10−29 C ·m

C.3 Notations

Il s’agit des notations généralement utilisées. Toutefois, elles peuvent être indi-cées ou de casse différente selon les besoins du problème ou de la définition.

105

ANNEXE C. CONSTANTES ET UNITÉS

C.3.1 Mécanique

Energie cinétique Ec

Energie potentielle Ep

Travail W

C.3.2 Thermodynamique

Energie interne UEnthalpie HTransfert thermique QTravail W

C.3.3 Symboles

Le symbole ∆ désigne une différence entre deux valeurs d’une grandeur (parexemple, ∆U). Pour une petite différence, l’on utilisera d (appelé aussi différen-tielle), à ne pas confondre avec le symbole δ, utilisé pour désigner une petitequantité (par exemple, δQ).

106

Annexe D

Glossaire

D.1 Général

Convention récepteur En convention récepteur, est comptée comme positivetoute énergie effectivement reçue.

Homogène (milieu) Milieu dont les propriétés sont identiques en tout point.

Isotropie Autour d’un point, les propriétés sont identiques dans toutes lesdirections.

D.2 Mécanique

Système au repos On a −→v =−→0 .

D.3 Optique

Réfringent Un milieu est plus réfringent qu’un autre lorsque son indice deréfraction est supérieur.

D.4 Thermodynamique

Choc élastique Choc pour lequel il y a conservation de l’énergie cinétique.

Equilibre externe Equilibre d’une sous partie quelconque du système avecl’extérieur.

107

ANNEXE D. GLOSSAIRE

Equilibre interne Equilibre d’une sous partie quelconque du système avec lereste du système.

Equilibre mécanique Il n’y a pas d’échanges d’énergie mécanique.Equilibre thermique Il n’y a pas d’échanges d’énergie thermique.Equilibre thermodynamique Il s’agit d’un équilibre à la fois mécanique et

thermique.Etat d’un système L’état d’un système regroupe l’ensemble de ses caracté-

ristiques perceptibles à l’échelle macroscopique.Etat stationnaire Etat caractérisé par des variables d’état constantes au cours

du temps.Grandeur extensive Il s’agit d’une grandeur définie pour le système entier,

proportionnelle à la quantité de matière contenue dans le système.Grandeur intensive Il s’agit d’une grandeur définie localement, indépendante

de la quantité de matière contenue dans le système.Homogénéité Répartition uniforme des particules dans le volume qui leur est

offert.Isobare La pression du système est constante pendant la transformation.Isochore Le volume du système est constant pendant la transformation.Isotherme La température du système est constante pendant la transforma-

tion.Monobare La pression extéieure est constante pendant la transformation.Monotherme La température extéieure est constante pendant la transforma-

tion.Phase condensée Il s’agit des liquides et des solides.Système fermé Système pouvant échanger de l’énergie, mais pas de la matière.Système isolé Système ne pouvant échanger ni énergie et ni matière.Système ouvert Système pouvant échanger de l’énergie et de la matière.Thermodynamique Etude des échanges d’énergie entre les systèmes.Transformation Evolution d’un système entre un état d’équilibre interne ini-

tial et un état d’équilibre interne final selon un certain "chemin".Transformation adiabatique Il n’y a pas de transferts thermiques entre le

système et l’extérieur pendant la transformation.

108

Index

Accélération, 3d’entrainement, 26de Coriolis, 26

Amplitude, 37Angle

de réfraction totale, 39limite de réfraction, 39, 43

Aplanétisme, 41Approximation

des régimes quasi-stationnaires, 51dipolaire, 81, 82parabolique, 10, 11

Bande passante, 68Barrière de potentiel, 8Barycentre, 29

Célérité, 37Capacité

thermique à pression constante, 87thermique à volume constant, 87

Caractéristique statique, 52Centre de force, 21Chaleur latente, 95Champ

électrostatique, 73de gravitation, 33de pesanteur, 33magnétique, 77

Circuit, 51branche, 52maille, 52noeud, 52réseau électrique, 51

Coefficientd’amortissement, 12de compressibilité isotherme, 98de dilatation isobare, 98de surtension, 64

Complexeamplitude, 63grandeurs, 63impédance, 63

Composantsamplificateur opérationnel, 61bobine, 53, 57, 78condensateur, 53, 57dipôle, 51dipôle linéaire, 53fil de connexion, 52filtres, 68multipôle, 51résistance, 53, 57résistor, 53solénoïde, 78source de courant, 53source de tension, 53

Conditions de Gauss, 41Convention

générateur, 52récepteur, 52

Coordonnéescartésiennes, 1cylindriques, 1sphériques, 2

Courant électrique, 51

Décomposition en série de Fourier, 63Décrément logarithmique, 13Déplacement élémentaire, 7Dérivateur pur, 68Déviation, 43Densité

linéique de charges, 74particulaire, 36surfacique de charges, 74volumique de charges, 74

Diagramme de Bode, 67

109

INDEX

Dioptre, 39Dipôle électrostatique, 81Distance focale, 47

Effet Joule, 57Efficacité

d’un réfrigérateur, 91d’une pompe à chaleur, 91

Energiecinétique, 29cinétique effective, 22cinétique radiale, 22enthalpie, 87

massique, 96massique de changement d’état,

95interne, 85, 98mécanique, 31, 85potentielle, 8, 36potentielle d’interaction, 82potentielle effective, 22

Entropie, 89massique, 96massique de changement d’état, 95

Equipotentielle, 76Equivalent volumique des forces pres-

santes, 35Etat

de diffusion, 9lié, 9

Facteurde Boltzmann, 36de puissance, 64de qualité, 12

Fluide hypercritique, 93Flux élémentaire, 75Fonction de transfert, 67Fonctionnement linéaire, 61Force

électrostatique, 5, 22, 73centrale, 21conservative, 7d’inertie

d’entrainement, 27de Coriolis, 27, 34

d’interaction gravitationnelle, 22de choc d’un atome sur une sur-

face, 98de frottements, 6

de Lorentz, 79de réaction, 6de rappel par un ressort, 5extérieure, 30gravitationnelle, 5intérieure, 30magnétique, 78

Formulede changement de point, 29de dérivation vectorielle, 25de Varignon, 25du pont diviseur de courant, 54du pont diviseur de tension, 54

Foyerimage, 41objet, 41, 47

Fréquence, 37Fraction massique de vapeur, 95

Gain pur, 68Gaz parfait, 86

Indice de réfraction, 38Intégrale première du mouvement, 8Intégrateur pur, 68Intensité du courant, 51Invariance, 75Irréversibilité, 89

Lignes de champ, 76, 77Loi

d’Ohm, 80de Biot et Savart, 78de Boltzmann, 36de composition des accélérations,

26de composition des vitesses, 26de Coulomb, 73de Kepler, 22de Kirchhoff, 52de Laplace, 88de Newton

loi des actions réciproques, 5principe d’inertie, 5principe fondamental de la dy-

namique, 5, 27de Snell-Descartes, 39des actions réciproques, 5des aires, 21des mailles, 52

110

INDEX

des noeuds, 52des rayons, 39

Longueur d’onde, 37

Machine thermique, 91Milieu dispersif, 38Modèle de l’atmosphère isotherme, 35Moment

cinétique, 29, 30d’un point matériel, 17d’une force, 18

dipolaire, 81magnétique, 82

Mouvement à force centrale, 21

Nombre de complexion, 91

Onde électromagnétique, 37Oscillateur harmonique, 10

Période, 37Particule réduite, 31Permittivité relative du vide, 73Phénomène de résonnance, 64Plan

d’incidence, 39de symétrie électrostatique, 75focal image, 41focal objet, 41

Poids, 33Point

coincident, 25critique, 94de fonctionnement, 55réel, 41triple, 94virtuel, 41

Portait de phase, 11Positions d’équilibre, 9Potentiel, 51Pression, 35

cinétique, 97Principe

d’inertie, 5de superposition, 73, 77fondamental de la dynamique, 5premier principe de la thermody-

namique, 85second principe de la thermodyna-

mique, 89

troisième principe de la thermody-namique, 91

Pseudo-période, 12Pseudo-pulsation, 12Puissance, 7

instantannée, 52moyenne, 15, 52, 64

Puit de potentiel, 8Pulsation, 37

de coupure, 68propre, 58

Quantité de mouvement, 5, 29, 30

Référentiel, 1barycentrique, 29de Copernic, 33géocentrique, 33galiléen, 5héliocentrique, 33terrestre, 33

Résonnance, 15Réversibilité, 89Rayon

paraxial, 41réfléchi, 39réfracté, 39transmis, 39

Relationde conjugaison, 42, 45, 48de Mayer pour les gaz parfaits, 87fondamentale de la statique des fluides,

35grandissement, 42, 48identité thermodynamique, 90inégalité de Clausius, 91

Sourcede travail, 90thermique, 90

Spectre électromagnétique, 38Spectre magnétique, 77Stigmatisme, 41Système

conservatif, 8optique, 41optique centré, 41thermoélastique, 86

Système calorifugé, 89

Température cinétique, 98

111

INDEX

Temps caractéristique de décroissance,12

Temps de relaxation, 12Tension, 51Terme

de marée, 33différentiel, 33

Théorèmede la puissance cinétique, 31d’Ampère, 78d’Archimède, 36de Gauss, 75de Koenig

relatif à l’énergie cinétique, 30relatif au moment cinétique, 30

de l’énergie cinétique, 7, 30de l’énergie mécanique, 8, 31de la puissance cinétique, 7de la quantité de mouvement, 30de Pascal, 36de superposition, 55de Thévenin, 56des moments, 95du centre d’inertie, 30du moment cinétique, 19, 30

Thermostats, 90Torseur cinématique des vitesses d’un

solide, 25Trajectoire, 3Transfert thermique, 86Transformation quasi-statique, 88Travail, 86

élémentaire, 7d’une force conservative, 8des forces intérieures, 30entre deux points, 7

Valeur efficace, 65Vecteur densité de courant, 80Vergence, 45, 47Vitesse, 2

aréolaire, 24d’entrainement, 26de libération, 22deuxième vitesse cosmique, 22première vitesse cosmique, 22quadratique moyenne, 98

112

Table des figures

1.1 Repérage cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Repérage cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Repérage sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3.1 Barrière de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 Puit de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3 Exemple d’énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.4 Positions d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

7.1 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

13.1 Spectre électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

13.2 Dioptre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

15.1 Prisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

16.1 Miroir concave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

16.2 Miroir convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

17.1 Lentille convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

113

TABLE DES FIGURES

17.2 Lentille divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

22.1 Filtre passe-bas du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

22.2 Filtre passe-haut du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

22.3 Filtre passe-bas du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

22.4 Filtre passe-haut du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

22.5 Filtre passe-bande du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

26.1 Représentation d’un dipôle électrostatique . . . . . . . . . . . . . 82

29.1 Les différents changements d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

29.2 Diagramme (p,T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

29.3 Diagramme (p,T) de l’eau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

29.4 Diagramme (p,V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

114

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