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Physique - 7 ème année - Ecole Européenne

Ecole Européenne de Francfort 59

Approfondissement n° 2 : MOUVEMENT DES PLANETES I) La pomme et la Lune

- Les prédécesseurs de Newton et notamment Képler, pensaient à tort que le mouvement d'une planète est dû à une action mécanique exercée dans la direction du mouvement.

:

- Tout le monde connaît l'histoire de la pomme de Newton : une pomme se détache de la branche sur laquelle elle est accrochée et tombe. D'une façon générale tout objet situé près de la Terre et privé d'attache ou de support tombe vers le centre de la Terre. Qu'en est-il de la Lune ? Dépourvue d'attache elle doit également tomber vers la terre !

- Analogie avec la "fronde" : la pierre tenue par la fronde tourne autour de la main du lanceur. Le mouvement est pratiquement circulaire uniforme. Si le lanceur lâche un brin de la fronde, la pierre quitte tangentiellement sa trajectoire circulaire. De même, si la Lune n'était pas attirée par la Terre elle poursuivrait son chemin tout droit dans l'espace.

- Newton pense que c'est l'attraction terrestre qui incurve la trajectoire de la Lune. La Lune "tombe" vers la Terre mais sa vitesse tangentielle est si grande que sa chute incurve juste assez sa course pour la maintenir à la même distance de la Terre.

- Traitement mathématique du problème : Les données numériques sur le mouvement de la Lune et les expériences réalisées sur la chute des corps permettent à Newton de montrer que :

L'attraction terrestre est inversement proportionnelle au carré de la distance de l'objet (la pomme ou la Lune) au centre de la Terre. Newton érige en loi universelle ses conclusions énoncées pour la terre. Les lois de Képler trouvent leur explication dans cette loi. Des mesures de la constante de gravitation ont été effectuées par Cavendish en 1798 à l'aide d'une balance de torsion. Plus tard, des mesures plus précises ont été effectuées par Boys en 1895.

II) Le mouvement des planètes1)

: Les principaux éléments d'une orbiteLa plupart des orbites sont elliptiques. Les orbites des planètes sont presque circulaires. Celles des comètes sont souvent des ellipses très allongées (par exemple celle de la comète de Halley), quelques unes sont même paraboliques ou légèrement hyperboliques.

:

On appelle périhélie le point de l'orbite le plus rapproché du Soleil. Le point le plus éloigné, qui y est diamétralement opposé, est l'aphélie. Dans le cas de l'orbite de la Lune autour de la Terre, les points correspondants portent les noms de périgée et apogéeL'orientation de l'orbite d'une planète dans l'espace est déterminée par les trois éléments suivants :

.

- l'inclinaison

- la

i de l'orbite sur le plan de l'orbite terrestre (l'écliptique). Pour Mars i = 2°, pour Mercure 7°, pour Pluton 17°.

longitude

Soit N1N2 l'intersection du plan de l'orbite avec celui de l'écliptique (ligne des nœuds).

Ω du nœud ascendant est l'angle compris entre la direction du point vernal (longitude 0°) et la direction du nœud ascendant, vu du Soleil. Cet angle est mesuré dans le plan de l'écliptique.

Mouvement des planètes

Page 160 Christian BOUVIER

Si la planète traverse le plan de l'écliptique au point P, en allant du Sud vers le Nord, ce point P, (ou N) est appelé le nœud ascendant. Le point P2 (ou N2) qui lui est diamétralement opposé, et où se trouve le corps lorsqu'il passe du Nord au Sud de l'écliptique, est le nœud descendant.

- l'argument du périhélie

Le mouvement de chaque planète est soumis à des perturbations dues à l'attraction des autres planètes. On distingue des perturbations séculaires et des variations périodiques, de plus courte période. Par exemple, l'excentricité de l'orbite de la Terre est égale à 0,0161 en 2000 et sera de 0,01662 en 2200 !

est l'angle ω vu du Soleil, entre la direction du nœud ascendant et celle du périhélie. Cet angle est mesuré dans le plan de l'orbite. Le Soleil se trouve à l'un des foyers de l'orbite elliptique. La vitesse d'une planète est maximale au périhélie, minimale à l'aphélie.

2) Les lois de Képler

Tycho Brahé (1546-1601) a rassemblé, au cours de sa vie, un grand nombre de données précises sur la position des planètes. Il a obtenu ces mesures, avant la découverte de la lunette astronomique, grâce aux grands instruments dont il équipa l'observatoire astronomique qu'il fit édifier à partir de 1576 sur l'île de Hveen au Danemark.

:

Johannes Képler (1571-1630) qui fut l'assistant de Tycho, établît, à partir des données recueillies, trois lois sur le mouvement des planètes : - 1ère loi établie en 1609 :

La trajectoire de chaque planète est une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers. - 2ème loi établie en 1609 :

Les aires balayées par le rayon vecteur sont proportionnelles aux temps mis à les balayer. - 3ème loi établie en 1619 :

Les carrés des durées de révolution sont proportionnels au cube des demi grands axes. Le soleil occupe un foyer de l'ellipse décrite par la planète. Les aires A et A' balayées en des intervalles de temps égaux sont égales : la planète se déplace donc plus vite vers son périhélie que vers son aphélie. Newton pense que les planètes suivent une trajectoire elliptique sous l'influence de l'attraction du Soleil.

3) La loi de NewtonLa trajectoire étant plane, la force sous l'action de laquelle la planète la décrit est située dans son plan. Dans le plan où a lieu le mouvement, utilisons des coordonnées polaires :

:

r = SM et θ = (→i ,

→r ). On a d'une part :

→r = r.

→

ru La 2ème loi de Képler exprime que l'aire balayée par le rayon vecteur par unité de temps (vitesse aréolaire) est une constante. Notons dA l'aire du triangle SMM', M' étant la position de la planète à l'instant de date t + dt. On a :dA =

21 .r.(r + dr).sin(dθ) ≈

21 .r2.dθ

d'où 2ème loi de Képler ⇐⇒ dt

dA = 21 .r2.

dtdθ =

2C = cte

En particulier, l'aire de l'ellipse est A = π.a.b et elle est décrite par la planète en une période

T, on en déduit que 2C =

Tb.a.π :

La valeur de la constante aréolaire est C = T

b.a..2 π


Ecole Européenne de Francfort Page 161

Dans le référentiel héliocentrique de Képler RS, considéré comme galiléen, le moment

cinétique de la planète est : →L = m.

→r Λ

→v

→v =

→

dtrd =

dtdr .

→

ru + r.→

dtud r =

dtdr .

→

ru + r.dtdθ .

→

θu donc →

mL = r.

→

ru Λ (dtdr .

→

ru + r.dtdθ .

→

θu ) = r2.dtdθ .

→

zu

La deuxième loi de Képler qui implique que r2.dtdθ = C donne donc

→L = m.C.

→

zu = →

0L

Le moment cinétique →L de la planète est constant.

La dérivée du moment cinétique est donc nulle : →

dtLd = m.

→

dtrd Λ

→v + m.

→r Λ

→

dtvd = m.

→v Λ

→v + m.

→r Λ

→a =

→0

→r Λ (m.

→a ) =

→0 , le théorème du centre d'inertie s'écrit : m.

→a =

→F soit

→r Λ

→F =

→0

On en déduit que la force ne peut être que dirigée suivant →r , c'est-à-dire suivant

→

ru .

La force que subit la planète de la part du Soleil est une force centrale : →F = f(r).

→

ru

Nous allons essayer de déterminer l'expression de f(r). L'ellipse C est caractérisée par (§ : V) :

- un demi-grand

- un demi-petit axe OB = OB' =b,

axe OA = OA' = a,

- une distance OF = OF' = c = 22 ba − ,

- une excentricitéac e = < 1,

- un paramètreab2 p = = a.(1 − e2)

- une aire A = π.a.b

L'équation de l'ellipse en coordonnées cartésienne est : 2

2

ax +

2

2

by = 1.

Avec x = OF + FN = a.e + r.cosθ et y = NM = r.sinθ En portant ces valeurs dans l'équation cartésienne de l'ellipse, on obtient :

2

2

a)cos.re.a( θ+ +

)e1.(a)sin.r(22

2

−θ = 1 soit a2.(1 − e2).(a.e + r.cosθ)2 + a2.r2.sin2θ = a4.(1 − e2)

r2.(cos2θ + sin2θ) = a2.(1 − e2)2 − 2.a.(1 − e2).e.r.cosθ + e2.r2.cos2θ r2 = [a.(1 − e2) − e.r.cosθ]2

et enfin r = a.(1 − e2) − e.r.cosθ que l'on peut écrire

r1 =

)e1.(acos.e1

2−θ+ [1]

Dérivons deux fois cette expression en fonction de θ : 2

2

d)r/1(d

θ =

)e1.(acos.e

2−θ− [2]

La formule de Binet (§ : IV) nous indique que lorsqu'un corps de masse m est soumis à une force centrale

→F = f(r).

→

ru , il existe une relation faisant intervenir les coordonnées polaires du corps, l'intensité de cette force f(r), la masse m et la constante aréolaire C .

f(r) = − 2

2

rC.m .[

2

2

d)r/1(d

θ +

r1 ]



En remplaçant par [1] et [2], on a : f(r) = −

2

2

rC.m .

)e1.(a1

2−

La constante aréolaire donne : C2 =2

222

Tb.a..4 π =

2

242

T)e1.(a..4 −π

D'où f(r) = − 2r.m .

2

32

Ta..4 π

D'après la 3ème loi de Képler, 2

32

Ta..4 π = k prend la même valeur pour toutes les planètes.

f(r) = − k.2r.m

Ainsi, il résulte des trois lois de Képler que les planètes sont soumises à des forces dirigées vers le Soleil, proportionnelles à leurs masses, et inversement proportionnelles au carré de leurs distances au Soleil.

4) Attraction universelleOn considère deux objets ponctuels (A) et (B), de masses mA et mB et placés en des points A et B à une distance r l'un de l'autre.

:

L'objet (A) exerce sur l'objet (B) une force attractive →

→BAF et l'objet (B) exerce sur l'objet (A)

une force attractive →

→ ABF Ces deux forces sont appelées forces gravitationnelles.

D'après le principe d'interaction : →

→ BAF = − →

→ ABF et →

→ BAF et →

→ ABF sont colinéaires. L'intensité commune des deux forces gravitationnelles est donnée par l'expression :

FA B→ = FB A→ = K.2

BA

rm.m

K est la constante de gravitation universelle : K = 6,67.10−11 N.m2.kg−2 Désignons par

→ABu le vecteur unitaire de la droite (AB) orienté de A vers B.

La force →

→BAF qu'exerce l'objet (A) sur l'objet (B) s'écrit : →

→ BAF = − K.2

BA

rm.m .

→

ABu = mB.→

)B(GA

→)B(GA = − K.

2A

rm .

→

ABu est le champ de gravitation créé au point B par l'astre placé en A.

Soit un objet "étendu" sphérique (M) et homogène ou constitué de couches sphériques concentriques et homogènes (cas de la plupart des astres). Nous admettrons que (M) est équivalent, du point de vue des forces de gravitation qu'il exerce ou qu'il subit, à un objet quasi-ponctuel de même masse, placé en son centre.

III) Mouvement d'un satellite1)

: Système isoléOn considère le système formé de deux astres en interaction. Les deux astres étant très éloignés de tout autre astre nous pouvons considérer que le système est isolé.

:

Soit Rg un référentiel galiléen auquel on lie un repère (O, i→

, j→

, k→

), et soit RG le référentiel

lié au barycentre G du système. Le repère (G, →

Gi , →

Gj , →

Gk ), lié à RG, est tel que, à chaque

instant →Gi = i

→,

→

Gj = j→

et →

Gk = k→

, RG est donc en translation par rapport à Rg (on peut toujours le choisir ainsi).



On démontre alors que : Pour un système isolé, le référentiel barycentrique RG, en translation par rapport à un référentiel galiléen Rg, est, en fait, en translation rectiligne uniforme par rapport à Rg : Le référentiel barycentrique RG, en translation par rapport à un référentiel galiléen Rg, est un référentiel galiléen.

2) Réduction canoniqueOn considère le système isolé formé de deux astres (M1) et (M2) de masses m1 et m2, centrés en des points M1 et M2 et en interaction.

:

On désigne par F1 2→

→ la force que subit (M2) sous l'action de

l'astre (M1) et par F2 1→

→, la force que subit l'astre (M1) sous

l'action de l'astre placé (M2). D'après le principe de l'action et la réaction on a, bien sûr, F1 2→

→ = − F2 1→

→.

Soit G le centre d'inertie du système et soit R* le référentiel barycentrique et galiléen

Soit

. →u le vecteur unitaire ayant pour direction la droite (M1M2) et dirigé de M1 vers M2.

On appelle réduction canonique du problème à deux corps (M1) et (M2), l'opération qui consiste à étudier, dans le référentiel R* barycentrique et galiléen

- de masse m =

, le mouvement d'un point matériel "fictif" M :

21

21

mmm.m

+, appelée masse réduite du système,

- de vecteur position →

GM = →r =

→

21MM ,

- de vecteur vitesse →v égale à la vitesse relative de M2 par rapport à M1,

- en mouvement sous l'action de la force centrale F1 2→

→ = f(r).

→

ru .

Par définition du centre d'inertie, d'une part : m1.→

1GM + m2.→2GM =

→0 [1]

D'autre part →

GM = →

21MM = − →

1GM + →2GM [2]

En combinant [1] et [2], on a : →

1GM = − 21

2

mmm+

.→

GM et →2GM = +

21

1

mmm+

.→

GM

3) Cas d'un satellite

Si la masse m2 de l'un des deux astres est très petite devant la masse m1 de l'autre, on parlera d'un satellite en orbite autour d'un astre.

:

Si m2 << m1 : -

→2GM = +

21

1

mmm+

.→

GM ≈ →

GM , M2 est pratiquement confondu avec M,

- →

1GM = − 21

2

mmm+

.→

GM ≈ →0 , M1 est pratiquement confondu avec G,

- m = 21

21

mmm.m

+ =

1

2

2

mm1

m+

≈ m2, m est pratiquement égal à m2.



4) Etude du mouvement d'un satellite dans le champ de gravitation d'un astreOn considère donc un satellite centré en S, de masse m, dans le champ de gravitation d'un astre centré en O, de masse M. On admettra que M >> m et que le satellite n'est soumis qu'à l'influence de cet astre (le système satellite-astre est donc considéré comme isolé).

:

La répartition de masse de l'astre est à symétrie sphérique et le centre de gravité du système satellite-astre est au point O. On étudie le mouvement dans un référentiel R, lié à O, "barycentrique" et galiléen.

Le satellite est soumis à la force de gravitation de l'astre : →

→SOF = − K.2rm.M .

→OSu ,

où r est la distance entre les centres O de l'astre et S du satellite, et →OSu est le vecteur

unitaire porté par la droite OS et dirigé de O vers S. La force

→→SOF est centrale (direction OS à chaque instant) et newtonienne

2r1 (en ).

On écrira dans la suite : →F = − K.

2rm.M .

→

ru = f(r).→

ru

A l'instant initial le rayon vecteur du satellite est →

)0(r = →

0r et sa vitesse est →

)0(v = →

0v . On

rapporte le référentiel R à un repère (O, i→

, j→

, k→

), dont l'origine est le centre de l'astre et tel

que le plan défini par les vecteurs i→

et j→

, contiennent les vecteurs →

0r et →

0v .

A chaque instant, on peut écrire : →

)t(OS = →

)t(r = r(t). →

OSu = r.→

ru Le moment cinétique du satellite dans le référentiel R, est donné par :

→L = m.

→r Λ

→v

La dérivée du moment cinétique : →

dtLd = m.

→

dtrd Λ

→v + m.

→r Λ

→

dtvd = m.

→r Λ

→a =

→r Λ (m.

→a )

Théorème du centre d'inertie : m.→a =

→F

d'où →

dtLd =

→r Λ

→F = r.

→u Λ f(r).

→u =

→0

Le moment cinétique du satellite est constant.

En particulier →L =

→

0L = m.→

0r Λ →

0v →

0L , constant, a, en particulier, une direction fixe et les vecteurs →r et

→v sont constamment

dans le même plan : le satellite a un mouvement plan. Dans le plan où a lieu le mouvement, utilisons des coordonnées polaires : r = OS et θ = ( i

→,

→r ). On a d'une part :

→r = r.

→

ru

et →v =

→

dtrd =

dtdr .

→

ru + r.→

dtud r =

dtdr .

→

ru + r.dtdθ .

→

θu →

mL0 = r.

→

ru Λ (dtdr .

→

ru + r.dtdθ .

→

θu ) = r2.dtdθ .

→

zu

On en déduit que : r2.dtdθ = C = cte (constante aréolaire)

Notons dA l'aire du triangle OSS', S' étant la position du satellite à l'instant de date t + dt :

On a dA = 21 .r.(r + dr).sin(dθ) =

21 .r2.dθ d'où

dtdA =

21 .r2.

dtdθ =

2C = cte (vitesse aréolaire)



Sur des intervalles de temps égaux, le vecteur position →

OS = →r balaye des aires égales.

C'est l'expression de la deuxième loi de Képler qui est ainsi démontrée à partir de la loi de la gravitation de Newton et des lois de la mécanique. Nous avons vu que la trajectoire du satellite est plane, dans un plan défini par les conditions initiales : le plan de la trajectoire contient les vecteurs

→

0r et →

0v . Dans le référentiel R barycentrique et galiléen dans lequel on étudie le mouvement du satellite, on peut appliquer le théorème du centre d'inertie :

m.→

dtvd =

→F soit m.

→a = − K.

2rm.M .

→

ru

La force de gravitation est centrale et →a =

→

ra . Posons : − K.2rm.M .

→

ru = − 2rk .

→

ru

Soit f(r) = − 2rk

La formule de Binet (§ : IV) nous indique que lorsqu'un corps de masse m est soumis à une force centrale

→F = f(r).

→

ru , il existe une relation faisant intervenir les coordonnées polaires du corps, l'intensité de cette force f(r), la masse m et la constante aréolaire C :

f(r) = − 2

2

rC.m .[

2

2

d)r/1(d

θ +

r1 ]

Le théorème du centre d'inertie peut donc s'écrire :

m.ar = − 2rk soit −

2

2

rC.m .[

2

2

d)r/1(d

θ +

r1 ] = −

2rk

d'où 2

2

d)r/1(d

θ +

r1 =

2C.mk

L'intégration de l'équation différentielle du second ordre en )(r

1θ

, donne : )(r

1θ

= u1 + u2(θ)

* où u1 = 2C.m

k est la solution particulière de l'équation complète

* et u2(θ) = A.cos(θ – φ) est une solution de l'équation homogène (A et φ : ctes d'intégration) On a donc :

r1 =

2C.mk + A.cos(θ – φ) =

2C.mk .[1 +

kC.m.A 2 .cos(θ – φ)]

La trajectoire du satellite S de masse m est une conique.

Le paramètrekC.m 2 est p = , son excentricité

kC.m.A 2 est e = p.A = et l'un de ses foyers est le

point O. En prenant l'axe de symétrie de la conique comme axe polaire Ox, le changement de θ en − θ laisse invariant la fonction r(θ), ce qui implique φ = 0, on peut alors écrire :

r =θ+ cos.e1

p

Suivant les valeurs de e on distingue :

e = 0 e < 1 e = 1 e > 1

cercle ellipse parabole hyperbole

(§ : V)



5) Discussion

a) Astres en interaction, de masses comparables : :

Si la masse m2 de l'un des deux astres n'est pas petite devant la masse m1 de l'autre, on doit étudier le mouvement dans le référentiel du centre d'inertie G du système.

→2GM = +

21

1

mmm+

.→

GM et →

1GM = − 21

2

mmm+

.→

GM

Les deux astres décrivent alors des orbites homothétiques de la trajectoire du point fictif M (§ : III) 2). Le mouvement d'un satellite artificiel autour de la Terre pourra être étudié dans un référentiel géocentrique RT, que l'on pourra considérer comme galiléen. Le mouvement de la Lune autour de la Terre devra être étudié dans un référentiel barycentrique Terre-Lune RG. Le référentiel géocentrique RT, en translation elliptique dans RG n'est donc pas galiléen : c'est précisément parce que le référentiel RT n'est pas galiléen qu'apparaît le deuxième bourrelet de marée ("Phénomènes de marée" § ) ! Le mouvement d'une planète autour du Soleil peut être étudié dans un référentiel héliocentrique RK considéré comme galiléen (on l'appelle référentiel de Képler). Le référentiel le plus galiléen du système Solaire serait le référentiel de Copernic dont l'origine est prise au centre d'inertie du système solaire.

b) Influence des autres astres : On peut considérer que chaque planète n'est en interaction qu'avec le Soleil. En fait, sur de très grandes périodes, la stabilité des trajectoires peut être affectée par la présence des autres planètes. C'est l'influence de Jupiter sur les astéroïdes de la ceinture principale qui explique la modification de la trajectoire de certains d'entre eux.

c) Points de Lagrange : Les points de Lagrange sont des points situés dans le plan orbital d'un système de deux corps en rotation autour de leur centre d'inertie, où peut se maintenir, sous l'attraction conjuguée des deux corps, un troisième corps de masse négligeable. Ils sont au nombre de 5 : L1, L2 et L3 sont instables alors que L4 et L5 sont stables. L4 et L5 forment avec les deux astres deux triangles équilatéraux. En 1906, 588 Achille fut découvert en L4 et 617 Patrocle en L5 du système Soleil-Jupiter. On en connaît désormais 249 à proximité de L4 et 167 près de L5, on les appelle les Troyens. Les sondes Voyager ont révélé l'existence de trois satellites de Saturne situés en des points de Lagrange : Dioné B, Télesto et Calypso.



6) Satellites artificiels de la Terrea) Eléments de l'orbite d'un satellite :

:

- Plan orbital : plan dans lequel se trouve l'orbite. Ce plan contient le centre de la Terre qui est l'un des foyers de l'orbite elliptique.

- Sous-Point (s.p.) : projection du satellite sur la surface terrestre par la droite allant du satellite au centre de la Terre.

- Trace du satellite : ensemble des sous-points correspondant aux différentes positions du satellite.

- Périgée : point de l'orbite le plus rapproché de la Terre. Le satellite est habituellement injecté sur son orbite au voisinage de son périgée.

- Apogée : point de l'orbite le plus éloigné de la Terre.

- Révolution : un tour complet du satellite sur l'orbite.

- Période : durée d'une révolution. La période est d'autant plus grande que l'orbite est plus éloignée de la Terre.

- Nœud ascendant (N.a.) : point où le satellite franchit le plan équatorial terrestre en allant du Sud vers le Nord.

- Nœud descendant (N.d.) : point où le satellite franchit le plan équatorial terrestre en allant du Nord vers le Sud.

- Ligne des nœuds : droite d'intersection entre le plan équatorial et le plan orbital. - L'orbite peut être :

* Directe si le satellite tourne dans le même sens que la Terre donc d'Ouest en Est, * Rétrograde si le satellite tourne dans le sens inverse, * Polaire si le satellite tourne dans un plan contenant les pôles.

- Inclinaison de l'orbite : angle i compris entre 0 ° et 180 ° formé par le plan orbital et le plan équatorial : * 0 < i < 90 ° pour une orbite directe, * 90 ° < i < 180 ° pour une orbite rétrograde, * i = 90 ° pour une orbite polaire.

b) Satellite géostationnaire :

- Un satellite géosynchrone est un satellite qui accomplit une révolution en un jour sidéral (23 h 56 min). Son orbite peut être inclinée et elliptique. La trace du satellite est un arc de méridien ou une sorte de 8 centré en un point de l'équateur.

- Un satellite géostationnaire est un satellite géosynchrone qui possède une orbite équatoriale (inclinaison nulle) et circulaire. Un satellite géostationnaire reste toujours à la verticale d'un même point de l'équateur.

Les satellites géosynchrones sont utilisés pour observer une portion de méridien terrestre (satellite de météorologie). Les satellites géostationnaires sont utilisés pour les télécommunications et la télévision par satellite (l'antenne à terre garde une direction fixe).



IV) Formule de Binet

On considère un champ de forces centrales. Un point M est donc soumis à une force dirigée suivant la droite OM, où O est le centre de force. On peut écrire :

:

→F = f(r).

→

ru

En coordonnées polaires, le vecteur accélération s'écrit : →a = ar.

→

ru + aθ.→

θu + az.→

zu

Le théorème du centre d'inertie →F = m.

→a = f(r).

→

ru = m.ar.→

ru , montre que l'accélération n'a plus qu'une seule composante : ar On montre, en cinématique, que l'expression de ar est : ar =

2

2

dtrd − r.(

dtdθ )2

Posons alors r1 = u, on a donc

dtdu =

drdu .

dtdr = −

2r1 .

dtdr ou

dtdr = − r2.

dtdu

La loi des aires s'écrit r2.dtdθ = C ou

dtdθ = C.u2

dtdr = − r2.

dtdu = − r2.

θddu .

dtdθ = − C.

θddu

Soit dtdr = − C.

θddu

2

2

dtrd = − C.

dtd (

θddu ) = − C.

2

2

dud

θ.

dtdθ = − C2.u2

2

2

dud

θ

Soit 2

2

dtrd = − C2.u2

2

2

dud

θ

D'où la formule de Binet : ar = 2

2

dtrd − r.(

dtdθ )2 = − C2.u2

2

2

dud

θ −

u1 .C2.u4 = − C2.u2 [

2

2

dud

θ + u]

m.ar = f(r) = − m.2

2

rC [

2

2

d)r/1(d

θ +

r1 ]

Et enfin f(r) = − 2

2

rC.m [

2

2

d)r/1(d

θ +

r1 ]

V) Les coniques

1) :

Excentricité et paramètreDans un plan, on appelle conique, de foyer F, d'excentricité e et de directrice ∆, la courbe C, ensemble des points M tel que :

:

),M(cetandisMFcetandis

∆ = cte = e

Suivant les valeurs de e on distingue :

e = 0 e < 1 e = 1 e > 1

cercle ellipse parabole hyperbole

La perpendiculaire en F à l'axe de symétrie Fx de la conique coupe la conique en I :

FI = p est le paramètre

On a

de la conique

MKMF = e =

IJIF =

FHp d'où FH =

ep



2) Equation polaire d'une conique avec origine au foyer

Soit F l'origine des coordonnées, FM = r et (

: →

Fx ,→

FM ) = θ, l'axe de symétrie Fx étant axe polaire. La définition d'une conique donne

MKMF =

NHr = e d'où NH =

er . On sait que

FH = ep . Sur l'axe Fx, on a NH = FH − FN =

ep − r.cosθ soit

er =

ep − r.cosθ

r = θ+ cos.e1

p

3) Cas de l'ellipse et du cercle

Pour l'ellipse on a : r =

:

θ+ cos.e1p et

Une ellipse C est caractérisée par :

e < 1

- un demi-grand- un demi-petit axe OB = OB' =b,

axe OA = OA' = a,

- une distance OF = OF' = c = 22 ba − , - une excentricité

ac e = < 1,

- un paramètreab2 p = = a.(1 − e2), en effet, on a d'une part rmin = FA = rθ = 0 =

e1p+

, et

d'autre part rmax = FA' = rθ = π = e1

p−

, or 2.a = FA + FA' = e1

p+

+ e1

p−

= 2e1

p.2−

- une aire A = π.a.b

Pour un cercle : OA = OB = a = b = R (rayon du cercle), OF = OF' = c = 0 d'où e = 0 et p = R. aire A = π.R2

4) Cas de la parabole et de l'hyperbole

:

r = θ+ cos.e1

p et e = 1θ+ cos.e1

p r = et

direction asymptotique parallèle à Fx asymptote d'équation cosθ = −

e > 1

e1

l'équation polaire, d'origine F, de la branche

d'hyperbole en pointillés s'écrit r = 1cos.e

p−θ



5) Définition géométrique

Une conique et une courbe plane représentant l'intersection d'un plan Π avec un cône de révolution.

:

Soit D l'axe de révolution du cône, on peut s'intéresser à 4 cas différents : a) Cercle :

L'intersection d'un plan Π, orthogonal à D, avec le cône est un cercle.

b) Ellipse :

L'intersection d'un plan Π, faisant un angle quelconque avec D, avec le cône est une ellipse.

c) ParaboleL'intersection d'un plan Π, parallèle à une génératrice du cône, avec le cône est une parabole.

:

d) Hyperbole :

L'intersection d'un plan Π, parallèle à l'axe D du cône, avec le cône est une hyperbole.

Physique - 7 ème année - Ecole Européenne - esffm.org · argument du périhélie Le mouvement de...

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