Examen dentre 2004-2005 Dure: 2 heures Physique

I- [6 pts] Charge et dcharge d'un conducteur

Dans le but d'tudier la charge et la dcharge d'un condensateur, on considre le circuit de

la figure ci-contre o uPN = E = constante et r = 1 k. A. Charge d'un condensateur

la date t0 = 0 , on bascule l'interrupteur K dans la position (1).

1. tablir l'quation diffrentielle vrifie par la tension uC = uAB.

2. La solution de cette quation est de la forme: uC = D (1 -

t

e ). Dduire les expressions

de D et en fonction de r, C et E . 3. a) L'oscillogramme de la figure 2, donnant les variations de uC en fonction du temps, est

obtenu en poussant le bouton INV de la voie Y2 et le bouton ADD . Justifier.

b) En utilisant cet oscillogramme, dterminer E et C.

4. Dterminer l'expression instantane de l'intensit i du courant. Tracer alors l'allure de la

tension uBM.

B. Dcharge d'un condensateur Le condensateur est compltement charg et les boutons INV de la voie Y2 et ADD

sont toujours pousss. On bascule l'interrupteur dans la position (2) la date t0 = 0. On

obtient l'oscillogramme de la figure 3 qui reprsente les variations de uC = uAB en fonction

du temps.

1. L'volution de uC est donne L par : uC = E 't

e

. Dterminer l'expression de . Vrifier la rponse partir de loscillogramme de la figure (3). 2. Tracer l'allure de la tension uBM en prcisant l'chelle utilise.

II- [6 pts] Le cobalt 60

Le bombardement neutronique du cobalt naturel Co5927 (isotope stable), du nickel Ni60

28 ou de cuivre Cu63

29 produit le

cobalt 60, Co6027 , radiolment utilis dans plusieurs applications ('bombe' au cobalt').

A- Production et dsintgration du cobalt 60 1. crire les trois quations des ractions de production du cobalt 60

2. Le noyau du cobalt 60 se transforme, par mission -, en un noyau fils Ni6028

dans un tat excit d'nergie E2 = 2,50 MeV. Le retour de Ni60

28 l'tat

fondamental d'nergie Ef = 0, s'effectue en 2 tapes, ce qui correspond

lmission de 2 photons (voir figure). a) Calculer l'nergie libre par cette dsintgration.

b) L'nergie cintique EC de la particule - n'est pas quantifie. Pourquoi?

c) Calculer les longueurs d'onde des radiations associes aux deux photons.

B. Dcroissance radioactive du cobalt 60.

On tudie un chantillon contenant seulement, la date t0 = 0 , du cobalt 60 de masse mo = 1mg. Chaque anne, on

mesure l'activit A de cet chantillon. On remarque que le quotient )1t(A

)t(A

a une valeur moyenne de 1,14 o A(t) et

A(t + 1) sont respectivement l'activit de l'chantillon une date t donn et date (t + 1), soit une anne plus tard,

t tant exprime en annes. Soit A0 l'activit de l'chantillon la date t0 = 0.

1. Donner la dfinition de l'activit et crire l'expression de l'activit A(t).

E2 = 2.50 MeV

Co6027

Ef = 0

E1 = 1.33 MeV Ni60

28

-

Fig. 2 SV = 1 V/div

Sh = 2 ms/div

SV = 1 V/div

Sh = 2 ms/div Fig. 3

Fig. 1

(1)

M

+ Y1 A

E C G (2)

P

N

Y2 B r

K

-

r

2. Dterminer la constante radioactive .

3. Calculer la dure au bout de laquelle l'activit devient2

A 0 . Que reprsente alors cette dure?

4. Calculer la masse du Co6027 qui s'est dsintgre au bout d'un an.

Donnes :

h = 6,6310-34 J.s ; c = 3108 m/s ; 1 eV = 1,610-19 J; m( Co6027 ) = 59,9190 u ; m( Ni60

28 ) = 59,9154 u;

m( eo1 ) = 5,510-4

u; 1 u = 1,6610-27 kg = 931,5 MeV/c2.h=6,63xlO-34J.s ; c=3x108rn1s , 1eV=1,6x10-19J

III- [8 pts] Oscillateur mcanique.

Le but de cet exercice est d'tudier le comportement d'un oscillateur mcanique horizontal

vis--vis de l'intensit F de la force de frottement. Un oscillateur mcanique horizontal est

constitu d'un solide (S), de masse m = 0,635 kg, fix l'extrmit libre d'un ressort (R) de

masse ngligeable et de raideur k = 25,0 N/m .

On repre, la date t, l'abscisse x du centre d'inertie G de (S) par rapport un axe horizontal (O, i

), o O est

l'abscisse de G l'quilibre et x = V , la valeur algbrique de la vitesse de (S). Le plan horizontal contenant G est pris comme niveau de rfrence de l'nergie potentielle de pesanteur.

A. Etude exprimentale.

On carte (S), partir de sa position d'quilibre de 4,00 cm vers la gauche et on l'abandonne sans vitesse initiale la

date t0 = 0. Un dispositif appropri permet de visualiser le mouvement de (S) pour diffrentes valeurs de F de la

force de frottement qui s'exerce sur (S). (Voir les figures (a), (b), (c) et (d)).

1) Considrons le cas du schma de la figure (a). Calculer la perte d'nergie subie par le systme [(S), ressort] au

bout de la premire oscillation. En dduire la valeur moyenne de la force de frottement suppose constante au cours

de cette premire oscillation.

2. a) Ordonner, en le justifiant, les schmas par ordre croissant de la valeur de F .

b) Qu'obtient-on si on limine la force de frottement?

c) Quel genre de mouvement effectue (S) quand il n'oscille pas?

3. Comment volue la dure d'une oscillation lorsque F augmente? Comment appelle-t-on la dure d'une telle

oscillation?

4) Dans quel cas peut-on considrer que la dure d'une oscillation est presque gale la priode propre T0 de

l'oscillateur? Pourquoi?

B- Etude thorique

(S), carte partir de sa position d'quilibre de 4,00 cm vers la droite, est lanc la date t0 = 0, avec une vitesse

initiale 0V

= V0 i

o V0 = 0,281 m/s. (S) se met alors osciller sans frottement autour de sa position d'quilibre.

1. En appliquant la loi de conservation de l'nergie mcanique du systme [(S), ressort] :

a) Trouver la valeur xm de l'amplitude des oscillations de (S) .

b) Dterminer l'quation diffrentielle du second ordre qui rgit le mouvement de (S) et calculer T0. La valeur

obtenue est en accord avec l'exprience. Justifier.

2. La solution de cette quation est de la forme: x = xm cos(0T

2t + ). Montrer que peut prendre la valeur -2,30 rd .

3. Calculer le temps t1 au bout duquel (S) passe par O pour la premire fois. Tracer l'allure de x en fonction de t.

(a)

0,5 1 1,5 2 2,5 t(s)

x(cm) 4

2

0

-2

-4

(b)

0,5 1 1,5 2 2,5 t(s)

x(cm) 4

2

0

-2

-4

(c)

0,5 1 1,5 2 2,5 t(s)

x(cm) 4

2

0

-2

-4

(d)

0,5 1 1,5 2 2,5 t(s)

x(cm) 4

2

0

-2

-4

O i

(S)

G

x

Examen dentre 2004-2005 Dure: 2 heures Solution de Physique

Rponses attendues Barme Commentaires

Premier Exercice - Charge et dcharge [6 pts]

A- 1- On a i = et q = C.uC ; alors E = uC + ri par substitution

On obtient E = uC + rC + uC = quation diffrentielle du

deuxime ordre sans deuxime membre.

2- la solution de l'quation diffrentielle prcdente est

uC = D(1

t

e ). En drivant cette quation par rapport au temps, on

obtient:

= ; par substitution dans l'quation diffrentielle on obtient

+ - = on peut montrer que = r C et E = D

3- a- uAM = uAB + uBM uAB = uAM - uBM (INV pour uBM et on obtient uAB)

b- Pour t ; uC = E = (1 V/div 8 div) = 8 V

et = rC = ( div 2ms/div) = 1 ms C= 10-6 F

4- i = C = C = C = .

Alors uBM = ri = E = 8

B- Dcharge du condensateur

1- uC = E 't

e

; uAM = ri = uC + (-ri)

-2ri + uC = 0 ; et i = (dcharge) =

2r C + uC = 0 + uC = 0 = 2rC.

De la figure 3. La tangente la courbe l'origine coupe laxe des temps t

= 1div = 1div 2ms/div = 2 ms = 2 .

2- uBM = - ri et i =

= -C ( ) = + ;

uBM =

E

E

E/2

Rponses attendues barme Commentaires

Deuxime exercice: Le cobalt 60 [6 pts]

A-1-

La production du cobalt 60 est obtenue:

a- ; b-

c-

2-

a- Le dfaut de masse: m = [m(Co) m(Ni) m(-) = 0.00305 u.

L'nergie libre par cette raction est donne par : E = m c2

= 0.00305 931.5 = 2.84 MeV

b- La dsintgration - est accompagne avec l'mission d'un antineutrino qui peut prendre n'importe quelle valeur dnergie.

Ainsi l'nergie cintique de la particule - n'est pas quantifie. La somme des nergies est constante.

c- Les deux photons mis ont respectivement pour nergie:

1er

photon est E1 = 1,33 MeV; mais E1 = h1 = 1 =

= 9.3510-13 m.

la seconde Photon E = E2 E1 = 2,50 1,33 = 1,17MeV

E = h2 = 2 = = 1,0610-12

m.

B-1- L'activit est le nombre de dsintgrations par unit de temps

A(t) = A0e-t

.

2- A(t) = A0e-t

et A(t+1) = A0 e-(t+1)

= e = 1.14

= Ln(1.14) = 0.131 an-1.

3- A(t1) = = A0 e-t

e-t =2 t1 = t1 = 5,2 ans. t1 reprsente

la priode radioactive ou demi-vie.

4- la masse dsintgre en un an: md = m0 m(1 an) = m0 (1- e- 1

)

= 1(1 0.877) = 0,123 mg

Rponses attendues barme Commentaires

Troisime exercice: Oscillateur mcanique [8 pts]

A- tude exprimentale

1- linstant t0 = 0: lamplitude X0 = 4 cm;

l'nergie mcanique = l'nergie potentielle = .

L'nergie perdue = =

< 0 nergie perdue.

La variation de l'nergie mcanique: ME = W( = -Fave .

= . Avec

Fav =8,58 10-2

N.

2- a- d; a; c: b. + justification b- Oscillations non amorties. c- Mouvement non priodique.

3- Lorsque F augmente, la priode d'une oscillation augmente. (Ta > Td).

Dans ce cas, la priode s'appelle pseudo-priode.

4- Dans le cas (d) o l'amortissement est faible, on peut considrer que la

priode est approximativement gale la priode propre.

B- tude thorique

1-a- Em =

xm =6 cm

b- = 0 m devis par x = 0

x = 0 ; quation diffrentielle 0 = =

T0 = 2 = 1 s. Cette valeur est vrifie par la figure (d) o T = 1s

3- x = xm cos ( t =0

x0 = xm cos et V0 = = - xm

En divisant les deux expressions, on obtient tan = 1.12 = - 2,3 rd .

4- linstant t1; x1= 0 cos (2t1 + ) = 0 et

>0

2t1 + = - t1 = 0.116 s.

T0+t1 t1