Phm - Observatoire de Lyon – avril 2014 Autour du Soleil, de la Terre et des noyaux de comètes.

Phm - Observatoire de Lyon – avril 2014

Autour du Soleil, de la Terre

et des noyaux de comètes

Gravité à la surface et dans l'environnement des astres : étoiles, planètes, etc 2

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Gravitation à la surface d’un astre

satellisation autour d’un corps céleste

Titre un peu plus sérieux


►

La force due à la gravitation qui retient les objets à la surface d’un astre habituellement sphérique, s’exprime de façon simple par la loi de Newton :

f GM m

R

2

Si l’on applique cette force sur un objet de masse unité, on a la valeur de la gravité à la surface de ce corps appelée sur Terre.

Préambule

Deux paramètres la masse du corps et son rayon apparaissent dans l’expression.

pesanteur

M R


►

Cette force quoique moindre s’exerce toujours en s’éloignant du corps, mais tout objet peut être satellisé si l’accélération centrifuge due à la vitesse de rotation de l’objet autour du corps compense la gravité

Préambule (suite)

L’expression de la vitesse de satellisation à une distance d du centre est donnée par la formule :

VG M

d

.

qui s’obtient facilement en égalant l’accélération centrifuge due à la rotation, à la pesanteur :

V

d

G M

d

2

2.

A une certaine vitesse, l’objet se libère de sa tutelle gravitationnelle. Cette vitesse, à la surface de l’astre est :

VGM

R0

2

.


►

Lorsque l’objet est satellisé, les lois de Kepler sont toutes applicables et permettent d’avoir les caractéristiques des orbites :

période, demi-grand axe, etc.

Préambule (fin)


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Gravité à la surface

La valeur de la gravité g à la surface de la Terre est bien connue, facile à retrouver connaissant son diamètre et sa masse.

Il en est de même de la plupart des objets du système solaire.

Les vitesse de libération sont des données essentielles dans le cas des sondes à envoyer vers leur cible. Elles sont aussi capitales pour comprendre l’évolution des atmosphères des planètes.

Ces calculs peuvent faire l’objets de nombreux exercices qui présentent un intérêt pratique pour comprendre les conditions qui règnent à la surface des astres.


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Gravité à la surface

La température à la surface d’un astre conditionne la vitesse d’agitation moyenne des particules gazeuses.

Si celle-ci est proche de la vitesse de libération, il est facile de comprendre la présence d’atmosphère ou sa perte, ou encore l’évaporation sélective des gaz plus légers.

1

2

3

22m v kT.

vmTk

v itesse m o y en n e d ' ag ita tio n m asse d e la p a rticu le

T em p éra tu re ab so lu eco n stan te d e B o ltzm an n 1 ,3 8 0 6 6 2 1 0 J. K-2 3 1


►

- gravité à la surface d’un corps- vitesse de satellisation à la surface- vitesse et période de satellisation à la distance d- vitesse d’évasion à la surface

Travail et calculs

Pour faire les calculs avec ces formules, on peut faire appel à un tableur dans lequel on rentre toutes les caractéristiques des différents corps.

Geogebra nous donne cette commodité par l’utilisation de curseurs afin de faire varier R et M et obtenir :

Pour parler d’actualité, nous regarderons ce qui va se passer lors de la rencontre de la sonde Rosetta avec la comète

Comme les masses, les rayons peuvent varier dans des proportions importantes, avoir des variables continues est une facilité.

67P/Churyumov–Gerasimenko.


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Travail et calculs

Remarques sur la façon de procéder

Les noms des variables utilisés ne sont pas imposés. La commodité de lecture et de construction conseille de les garder tels quels.

Ce document et le texte accompagnateur permet de construire le TD pas à pas

La construction des objets et équation n’est pas absolu.

Penser à sauvegarder régulièrement.

Les textes en gras et en police Arial sont les variables et les expressions à rentrer et utiliser dans Geogebra avec la syntaxe telle qu’elle est écrite.

en gras et en police Arial

Geogebra permet souvent de construire les mêmes objets par des procédés différents.

A vous de choisir ce qui vous convient.


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Travail et calculs

Pour les personnes qui débutent dans Geogebra vous pouvez consulter le fichier elements_geogebra.pdf téléchargeable à la page et les fichiers accompagnateurs :

Pour les personnes qui débutent dans Geogebra vous pouvez consulter le fichier elements_geogebra.pdf téléchargeable à :

Cette icône indique un travail avec Geogebra :

http://cral.univ-lyon1.fr/labo/fc/cdroms/cdrom2013/Lumetexo/index.html

cral.univ-lyon1.fr/labo/fc/cdroms/cdrom2014/gravitation/elements_geogebra.pdf.

construit comme initiation à Geogebra.

http://cral.univ-lyon1.fr/labo/fc/cdroms/cdrom2013/Lumetexo/index.html

http://cral.univ-lyon1.fr/labo/fc/cdroms/cdrom2014/gravitation/elements_geogebra.pdf


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Calculs gravitationnels

Dans la partie Tableur de ce fichier sont données pour information, les rayons et masses des principaux corps du système solaire.

► Ouvrir Geogebra 2D

Dans la fenêtre de saisie rentrer la valeur de G :

Valeurs prises sur le site de l’IMCCE

Pour calculer les paramètres gravitationnels des différents objets on utilisera les valeurs de leurs masses et leurs rayons que l’on prendra dans le tableur.

De l’unité astronomique (en km) ua :

G = 6.6738 * 10^-11

ua = 150000000

G

► Charger le fichier astro_data.ggb

www.imcce.fr

http://www.imcce.fr/


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Illustrations

Le système solaire


►

Illustrations

http://www.jmmasuy.net

http://www.astrosurf.com

http://www.sciencesetavenir.fr

Dimensions d’étoiles


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Illustrations

Diagramme HR donnant une idée de la diversité des rayons des étoiles.

Les masses stellaires vont de 0.01 à 100 masses solaires. Cette grande valeur semblant exceptionnelle.


►

Un curseur simple n’est pas adapté à ces calculs parce que l’étendue des plages de valeurs peut être très grande.

La création de curseurs variant de façon continue simplifiera la manipulation de ces valeurs.

Il suffira d’ajuster les curseurs sur les valeurs des rayons et masses du corps trouvées dans la partie tableur.

Curseur double

Exemple : l’étendue des masses allant de kg pour la Lune à kg pour le Soleil et plus.

7.34 1022 2 1029

Curseurs


►

Pour palier cette difficulté, on scinde chaque curseur en deux : • un pour les chiffres significatifs • un deuxième pour les puissances de dix.

Curseur double

On vient donc d’utiliser la notation scientifique.

Comment l’adapter aux curseurs ?

Une variable ( pour le rayon et pour la masse) fait la synthèse de ces curseurs.

R M

Curseurs


►

► Création des variables par et quatre curseurs

Curseurs

M R

Variable Objet Curseur Plage incrément

Masse

Rayon

M = curs_M*10^curs10_M curs_M 0 – 10 0.01

curs10_M 0 - 40 1

R = curs_R*10^curs10_R curs_R 0 - 10 0.01

curs10_R 0 - 9 1

Sauvegarder en donnant un nouveau nom personnalisé.


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g = M / (R 1000)^(2)

► Ecrire l’expression de

sous forme GeoGebra en tenant compte des unités :

g GM

R 2

► L’afficher dans un Texte et par ses « propriétés » le mettre en taille moyenne.

1 - Gravité à la surface d’un corps


►


2 - Vitesse de satellisation à la surface.

Son expression est VG M

d

.

Ecriture Geogebra

V_S = sqrt(G * M / (R * 1000)) / 1000

Vitesse d’évasion ou de libération.

3 - vitesse d’évasion à la surface VG M

d

2

V_E = V_S * sqrt(2)

► Affichage dans le texte précdédent.


►

Caractéristiques des corps du système solaire

► Remplir le tableau ou mettre les données dans la partie tableur :

– gravité à la surface col. 2– vitesse de satellisation col. 3– vitesse d’évasion col. 4

Sauvegarder.

► Donner successivement, avec l’aide des quatre curseurs, les valeurs de et des astres inscrits dans le tableur.M R


►

Satellisation à la distance a

Valeur exprimée en kilomètres.

► Calculer :

- la gravité à cette distance

- la période de rotation

- la vitesse sur l’orbite.

Plage de variations : de quelques km à plusieurs unités astronomiques.

► Construire une variable avec deux curseurs et comme précédemment qui permettra de mettre un satellite en orbite circulaire à la distance a du centre de l’objet.

a curs_a curs10_a


►


a

P

GM

3

2 24

Soit :

Pa

GM

4 2 3

P = sqrt( 4 * π^2 / G * (a * 1000)^3 / M )

g_a = G * M / (a * 1000)^(2)

► La période de rotation

► La force de gravité à la distance ga

Le demi-grand axe vaut donc et sa période s’exprime à partir de la 3ème loi de Kepler en négligeant la masse de l’objet :

a P


►


a) par la circonférence du cercle divisée par la périodeb) par la formule de satellisation

VG M

a2 .

► Vérifier que les deux valeurs sont égales.

► Calculer la vitesse sur l’orbite.

V_1 = 2 * π (a * 1000) / P

V_2 = sqrt(G * M / (a * 1000))

Dans un deuxième objet texte faire afficher

• la gravité

• la distance

• la période de rotation

• la vitesse sur l’orbite.

Sauvegarder.

ga

a

P


►


On peut donc simuler tous les corps en orbites :

- satellites autour de la terre

- la Lune

- les planètes du système solaire, etc.


►

La sonde Rosetta

Projet ambitieux, la sonde Rosetta doit accompagner le noyau de la comète 67P/Churyumov–Gerasimenko.

La mission comporte deux volets :

a) satelliser la sonde autour du noyau pour l’observer et suivre son dégazage et dépoussiérage lors de son passage au périhélie prévu pour le 13 août 2015.

b) faire atterrir un petit engin (Philae) sur le sol même du noyau pour l’étude du sol.

Le problème principal de la satellisation est l’extrême faiblesse de l’amplitude de la force gravitationnelle qui va lier les deux corps.

Avec notre programme Geogebra universel, nous allons faire une simulation des conditions de pesanteur dans lesquelles va plonger la sonde Rosetta.


Les protagonistes

La comète La sonde Rosetta

►

Le module Philae


Le noyau de la comète

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Les observations actuelle donnent :

- dimensions : corps non sphérique approximativement de 5 km sur 3 km.

- estimations de sa masse volumique : de 100 à 370 kg / m3

- période de rotation 17.3 heures environ



►

Pour faire les calculs de gravité, il faut une masse estimée du noyau.

Masse du noyau

On simplifie le problème, en assimilant le noyau de la comète à un ellipsoïde de révolution :

On prendra une masse volumique de 100 kg M / m3

Volume : V a b4

32

et si sa masse volumique est , sa masse totale sera :

M a b V 4

32

- grand axe km2 aC = 5

- petit axe km.2bC = 3



►

V_{comete} = 4 / 3 π * a_c * 1000 (b_c * 1000)^2

a_c = 2.5 b_c = 1.5► dans Geogebra :

M_{comète} = V_{comète} * 100

► Donner la gravité à sa surface et comparer la à celle de la Terre

Masse volumique r = 100 kg/m3 r = 370 kg/m3

Grand axe Petit axe Grand axe Petit axe

Gravité Comète

Rap. Terre/comète


Satellisation de la sonde

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La sonde devrait être satellisée à environ 25 km.

► Faire le même calcul au cas ou la sonde aurait été satellisée juste au dessus de la surface du noyau de la comète.

► Calculer la force de gravité exercée par le noyau sur la sonde, sa période de rotation et sa vitesse sur son orbite.

a = 25 km a = 3 km

Force de gravité exercée par le noyau

Période de rotation

Vitesse sur son orbite


Satellisation de la sonde

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La période de rotation de la comète sur elle-même est de 12.7 heures environ.

► Trouver à quelle distance devrait-elle être placée pour avoir une orbite “géostationnaire” ?

Pour la dernière fois SAUVEGARDER.

► Autre question et calcul :

Sous quel angle la sonde voit-elle le noyau ?

Comparer au diamètre angulaire de la Lune vue de la Terre.


►

Sous quel diamètre la sonde voit-on le noyau de la comète ?

La sonde est placée à une distance variable grâce à un curseur dist.

Calcul complémentaire

Voir le fichier : diametre_angulaire_noyau.ggb

De ce point on construit les deux tangentes au cercle représentant la dimension la plus grande de l’ellipsoïde noyau.

L’angle cherché est l’angle des deux droites.


►


►

Nucleus properties of Comet 67P/Churyumov–Gerasimenko estimated from non-gravitational force modeling

AbstractBy considering model comet nuclei with a wide range of sizes, prolate ellipsoidal shapes, spin axis orientations, and surface activity patterns, constraints have been placed on the nucleus properties of the primary Rosetta target, Comet 67P/Churyumov–Gerasimenko. This is done by requiring that the model bodies simultaneously reproduce the empirical nucleus rotational lightcurve, the water production rate as function of time, and non-gravitational changes (per apparition) of the orbital period (ΔPΔP), longitude of perihelion (Δϖ), and longitude of the ascending node (ΔΩ). Two different thermophysical models are used in order to calculate the water production rate and non-gravitational force vector due to nucleus outgassing of the model objects. By requiring that the nominal water production rate measurements are reproduced as well as possible, we find that the semi-major axis of the nucleus is close to 2.5 km, the nucleus axis ratio is approximately 1.4, while the spin axis argument is either 60°±15°60°±15° or 240°±15°240°±15°. The spin axis obliquity can only be preliminarily constrained, indicating retrograde rotation for the first argument value, and prograde rotation for the second suggested spin axis argument. A nucleus bulk density in the range 100–370 kg m−3 is found for the nominal ΔPΔP, while an upper limit of 500 kg m−3 can be placed if the uncertainty in ΔPΔP is considered. Both considered thermophysical models yield the same spin axis, size, shape, and density estimates. Alternatively, if calculated water production rates within an envelope around the measured data are considered, it is no longer possible to constrain the size, shape, and spin axis orientation of the nucleus, but an upper limit on the nucleus bulk density of 600 kg m−3 is suggested.

Icarus Volume 176, Issue 2, August 2005, Pages 453–477

http://www.sciencedirect.com/science/journal/00191035

http://www.sciencedirect.com/science/journal/00191035/176/2


Orbite de la comète 67P/Churyumov–Gerasimenko

L’orbite d’une planète, astéroïde ou comète se définit par rapport au plan de l’écliptique par des paramètres.

Voir glossaire de l’IMCCE : http://www.imcce.fr/langues/fr/grandpublic/systeme/promenade/pages2/221.html


Orbite de la comète 67P/Churyumov–Gerasimenko en 3D avec GeoGebra

Le tracé en 3 dimensions de la trajectoire de la comète et l’orbite de la Terre peut être fait avec Geogebra 3D sur la période du passage au périhélie.

Cet exercice a été fait à l’identique pour la comète ISON fin 2013.

Les fichiers du TD (explications et Geogebra) sont à la page de la Formation Continue :

http://cral.univ-lyon1.fr/labo/fc/cdroms/cdrom2014/astrobases/index.html

Les éphémérides de la comète sont à trouver en ligne à la page de l’IMCCE : http://www.imcce.fr/fr/ephemerides/formulaire/form_ephepos.php

avec la désignation : P/Churyumov-Gerasimenko

http://cral.univ-lyon1.fr/labo/fc/cdroms/cdrom2014/astrobases/index.html

http://www.imcce.fr/fr/ephemerides/formulaire/form_ephepos.php


Orbite de la comète 67P/Churyumov–Gerasimenko en 3D avec GeoGebra

Trajectoire comète Ison.


FIN

Phm - Observatoire de Lyon – avril 2014 Autour du Soleil, de la Terre et des noyaux de comètes.

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