OLYMPIADES DE LA PHYSIQUE 2009

Peut-on produire un son cuivré à l’aide

d’un tuyau d’arrosage ?

Marine Delanoë Alexandre Janvier Valentin Magniez

Simon Roger Jérémy Rousseau

Lycée D.ROUSSEAU LAVAL

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Attirés par la musique, nous sommes allés à la rencontre de chercheurs du Laboratoire d’Acoustique Universitaire du Maine. Jean-Pierre Dalmont et Joël Gilbert, après une visite du laboratoire et la découverte des différents pôles de recherche en acoustique, ont orienté notre choix. Alors notre groupe a décidé de traiter un sujet du domaine de l’audible : l’origine de la cuivrabilité (timbre propre aux instruments appartenant à la famille des cuivres). Afin de répondre au sujet, nous allons d’abord étudier la propagation d’une onde dans l’air, et plus particulièrement de la propagation du son dans une colonne d’air. Pour ce faire, nous avons anticipé sur le programme de spécialité de physique-chimie. Dans un second temps, nous devrons définir la notion de timbre, notamment à travers la décomposition d’un son en série de Fourier. Nous avons, par la suite, étudié les particularités de différents capteurs afin de déterminer lesquels seront préférables aux mesures que nous allons effectuer. Finalement, après avoir étudié les sons émis par divers cuivres, nous avons tenté de reproduire le phénomène physique observé à l’aide d’un simple tuyau d’arrosage. Etant dans l’incapacité de produire la vibration des lèvres nécessaire à l’obtention du son recherché, nous fîmes appel à Alexandre, tubiste confirmé.

Alexandre

Jérémy

Valentin

Simon

Marine

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Peut-on produire un son cuivré à l’aide

d’un tuyau d’arrosage ? I/ Comment se propage le son dans un tuyau ? A. La propagation d’une onde sonore progressive B. La réflexion d’une onde progressive sinusoïdale : ondes stationnaires.

II / Analyse mathématique d'un signal sonore et notion de timbre

A. Les différents sons B. Les propriétés générales d’une onde progressive sinusoïdale. C. La composition d'un son et séries de Fourier III/ Quel capteur utiliser ? A. Comment fonctionne un microphone ? B. Le capteur de pression. IV/ La cuivrabilité A. Son émis par un tuyau d’arrosage B. Un trombone cuivre-t-il plus qu’un tuba ? C. Explication du phénomène de distorsion du signal Bibliographie et Remerciements

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I/ Comment se propage l’air dans un tuyau ? A. Propagation d’une onde sonore Le son est une onde produite par la vibration mécanique d'un support fluide ou solide. Cette vibration provoque une brève compression-dilatation du milieu environnant. L’onde est propagée grâce à l’élasticité de ce milieu, dans le cas de notre exposé, l’air. Cette perturbation résulte d’un déplacement local et temporaire des molécules composant le fluide, dans la même direction que la propagation de l’onde : les ondes sonores sont dites longitudinales. Lors de la propagation d’une perturbation, il y a transfert d’énergie de proche en proche d’un point du milieu à un autre, mais il n’y a pas transport de matière. Comme toute onde mécanique, une onde sonore ne peut pas se propager dans le vide : l’existence d’un milieu matériel est nécessaire pour que la perturbation se propage.

L’onde sonore est donc une onde progressive sinusoïdale. En effet lorsque l’on enregistre à l’aide d’un microphone et d’un diapason un son émis par ce dernier, la courbe délivrée par l’oscilloscope est une sinusoïde : la pression de l’air varie en tout point sinusoïdalement en fonction du temps.

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Les propriétés générales d’une onde progressive sinusoïdale. Célérité

Lorsqu’une onde se propage dans un milieu, on peut définir, dans un référentiel terrestre, une vitesse de propagation de la perturbation. Pour la distinguer de la vitesse d’un point matériel, on la nomme célérité que l’on notera v. Cette célérité est toujours positive, et dépend du milieu de propagation. La célérité v d’une onde est le quotient de la distance d parcourue par la perturbation, sur l’intervalle de temps ∆t que dure ce parcours. D’où :

tdv

Avec d en m ; ∆t en s ; v en m.s-1

Périodicité temporelle : période T La périodicité temporelle de l’onde correspond à la période T de la source. C’est aussi la période

de la fonction sinusoïdale qui décrit la perturbation. En tout point du milieu, la perturbation est donc

sinusoïdale de période T et de fréquence TF 1

Périodicité spatiale : longueur d’onde λ

Une onde progressive sinusoïdale de période temporelle T possède également une périodicité spatiale. A un instant t, la perturbation est une fonction sinusoïdale de la variable de position.

La période spatiale de la perturbation est la longueur d’onde λ. La célérité de l’onde relie période et longueur d’onde :

vT Avec λ en m ; v en m.s-1 ; T en s

Ou Fv

Avec F en Hz B. Réflexion d’une onde progressive sinusoïdale : ondes stationnaires Cas d’une corde élastique : corde de Melde

On agite verticalement une corde attachée à un moteur alimenté par un GBF, dont on peut modifier la fréquence. L'autre extrémité de la corde est attachée à un support fixe. Pour certaines fréquences spécifiques, on observe l'apparition de « ventres » et de « nœuds ». Ceux-ci apparaissent pour des fréquences données proportionnelles à la longueur de la corde. Ce phénomène s'explique par la réflexion de l'onde provoquée par l'agitation. En construisant à chaque instant l'onde résultante obtenue par addition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie, on observe une courbe sinusoïdale d'amplitude

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variable. On a l’impression que l’onde se « gonfle » et se « dégonfle » sur place. L’amplitude de ce signal varie, mais on observe des « nœuds », points d’amplitude constamment nulle. Ces nœuds se situent entre chaque « ventres », là où l’amplitude est la plus forte (en sommet de crête). L’onde ne semble pas se propager. Pour cette raison, elle est appelée onde stationnaire.

Condition d’existence : On observe ce phénomène de superposition si et seulement si la longueur de la corde L est un multiple

de la demi-longueur d’onde 2 : les perturbations doivent être en phase pour se superposer.

Soit2nL . Dans le cas contraire, le phénomène d’addition est destructif et n’engendre pas de

phénomène particulier (on observe une corde « plate »).

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Cas du son : expérience du tube de Kundt

On retrouve le même phénomène pour un tube. Cette fois-ci l’onde est une onde sonore, et la perturbation est générée par un haut parleur dont on peut faire varier la fréquence, que l’on a placé à une entrée du tube. On déplace un micro à l’intérieur du tube. A l’aide de GTSII, une carte d’acquisition, on peut visualiser en direct les variations de pression à l’intérieur du tube. On observe alors des ventres, points où l’amplitude est maximale, et des nœuds points où l’amplitude est minimale (quasi-nulle). La pression au niveau des ventres varie, alors qu’elle est constante au niveau des nœuds. Ce phénomène d’ondes stationnaires peut également être observé en captant le son émis par le haut parleur à des distances haut-parleur/micro variables, et en superposant ces résultats.

Condition d’existence : L’onde sonore doit être réfléchie à l’extrémité du tube. Comment expliquer cette réflexion ? On sait qu’une onde se propage de proche en proche, et cette propagation est due à l’agitation des molécules (ici d’air) qui transfèrent leur énergie aux molécules voisines. A l’extérieur du tube, le volume d’air est très grand devant celui à l’intérieur du tube. La propagation de l’onde est donc stoppée et reflétée par ce « mur » : les molécules ne possèdent pas assez d’énergie pour pouvoir provoquer l’agitation des molécules voisines, elles transfèrent alors leur énergie aux molécules à l’intérieur du tube. Il y a ainsi réflexion de l’onde. Pour un tuyau de longueur L comme ici fermé à l’une de ses extrémités on observe soit 0,5 fuseau, soit

1,5 fuseau, soit 2,5 fuseaux etc… Le nombre de fuseaux observés est donc2

12 k . Ce nombre de

fuseaux est un multiple de la demi-longueur d’onde.

Soit 22

)12(

kL

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Vérification expérimentale : Notre tuyau mesure 89,7 cm soit 8,97.10-1 m. Selon les conditions d’existence, il y a résonance pour les fréquences suivantes :

-On observe n fuseau(x) où n =2

12 k avec k entier positif.

nL2

Pour calculer la fréquence en fonction de , on prendra v = 343 m.s-1

D’où vF (voir périodicité temporelle)

-On observe 0,5 fuseaux :

5,010.97,82 1

= 3,588 m Soit F = 95,6 Hz

-On observe 1,5 fuseaux :

5,110.97,82 1

= 1,196 m Soit F = 286,8 Hz

-On observe 2,5 fuseaux :

5,210.97,82

1

= 0,719 m Soit F = 478,5 Hz

-On observe 3,5 fuseaux :

5,310.97,82 1

= 0,513 m Soit F = 669,2 Hz

-On observe 4,5 fuseaux :

5,410.97,82 1

= 0,399 m Soit F = 860,4 Hz

A l’oreille, on entend bien le phénomène de résonance : le son est plus intense et plus « propre ».

Lorsqu’un instrumentiste souffle dans une embouchure (de tuba par exemple), il doit prendre en compte le phénomène de résonance : ses lèvres doivent vibrer à une fréquence de résonance propre à la longueur de l’instrument pour produire un son propre et clair, et pour faciliter « l’auto-oscillation » de ses lèvres grâce au retour de l’onde ainsi produite et réfléchie.

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II / Notions de timbre et analyse mathématique d'un signal sonore.

A. Les différents sons : Deux sortes de sons sont à distinguer. Tout d'abord il y a les sons purs qui sont caractérisés par une fonction sinusoïdale, et les sons complexes qui sont représentés par une fonction périodique mais non sinusoïdale. Par exemple : Nous avons enregistré le son émis par le diapason et enregistré à l’aide d’un micro placé à la sortie de la caisse de résonance et relié à une carte d’acquisition GTS2

La courbe est parfaitement sinusoïdale. Le diapason émet un son pur. La durée de 4 périodes sur cet enregistrement est 9,1 ms. La période du son émis est donc et sa fréquence F = 1/(9,1.10-3/4) = 440Hz. Il s’agit bien sur du LA3 qui sert de note de référence pour les musiciens. Nous avons enregistré le son émis par une flûte dans les mêmes conditions que précédemment.

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Cette courbe n'est pas sinusoïdale mais périodique par conséquent le LA de flûte n'est pas un son pur. Il s’agit d’un son complexe. Remarque : lorsque l’on n’observe aucune périodicité, il ne s'agit plus d'un son mais d'un bruit. La durée de 5 périodes sur cet enregistrement est 5,7 ms. La période du son émis est donc et sa fréquence F = 1/(5,7.10-3/5) = 880Hz. La note que nous avons jouée est donc le LA4.

B. Décomposition d'équation de fonctions non-sinusoïdales : A l’aide du logiciel « Régressi », nous allons démontrer qu'un son complexe est en fait mathématiquement la somme de plusieurs sons purs, ce qui revient à montrer qu'une fonction non-sinusoïdale mais périodique est une somme de fonction sinusoïdale. On sait qu'une fonction u(t) sinusoïdale a pour équation :

u(t) = ksin(2ft) k étant un réel strictement positif. f étant la fréquence en Hz t étant le temps en s

On pose d'abord une fonction u1 d'équation :

u1(t) = 5sin(2100t)

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On obtient ainsi une courbe sinusoïdale de fréquence f1 =100Hz

On crée ensuite une fonction u2 d'équation :

u2 (t)= 4sin(2200t)

: La courbe obtenue est une fonction sinusoïdale de fréquence f=200Hz On fait alors la somme de ces deux fonctions et on pose : u=u1+u2

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On obtient ainsi une courbe non-sinusoïdale et périodique

u(t) = 5sin(2100*t)+4sin(2200*t) La durée de 3 périodes sur cet enregistrement est 30 ms. La période de la tension est donc 10 ms et sa fréquence F = 1/10= 100Hz soit la plus petite des deux fréquences.

C. La composition d'un son et séries de Fourier : Chaque fonction sinusoïdale est caractérisée par son amplitude k et sa fréquence f. Le spectre de Fourier permet la décomposition d’un signal périodique non sinusoïdale et présente en ordonnée l’amplitude et en abscisse la fréquence pour chaque fonction. Ainsi le spectre de Fourrier pour la fonction u représentée au paragraphe précédent est :

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Les spectres de Fourier des sons enregistrés en 1°) sont les suivants :

Pour le LA3 du diapason

Et pour le LA4 de la flûte.

Un son est composé d'un mode fondamentale (ou fréquence fondamentale) qui détermine la note

jouée. Par exemple pour un LA3 du diapason, cette fréquence est de 440Hz. Quant au LA4 de la flûte, il est composé d'un mode fondamental à 880Hz, qui se trouve toujours le plus à gauche avec la fréquence la plus faible, ici de 880Hz correspondant à un LA de flûte et de plusieurs harmoniques. Ce spectre correspond donc à un son complexe. Les harmoniques sont responsables du timbre d'un instrument. Celui-ci dépend donc de l'instrument lui-même. Les fréquences des harmoniques sont des multiples entiers de la fréquence du mode fondamental : Ainsi ici, f2=2f1 ; f3=3f1 etc… ou plus généralement fn=nf1

f1 étant la fréquence fondamentale

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III/ Quel capteur utiliser ?

Au cours de nos enregistrements avec les micros, nous avons rencontré une difficulté liée aux performances des capteurs. En effet très souvent avec le microphone l’enregistrement ressemblait à celui-ci :

Le micro semblait incapable de reproduire le signal dans son intégralité. De plus se posait la question pour nous du sens donné à la tension de sortie du micro et dont l’évolution dans le temps est enregistrée à l’aide de la carte d’acquisition.

A. Comment fonctionne un microphone ?

Le micro comporte essentiellement : - une membrane rigide et très légère, fixée sur son pourtour, comportant des ondulations lui

permettant de se déformer. - un aimant (qui génère un champ magnétique). - une bobine très légère, pouvant coulisser dans l’entrefer de l’aimant, reliée à la membrane. La membrane du micro va vibrer selon les ondes reçues, entraînant ainsi des oscillations de la bobine dans le champ magnétique de l’aimant et créant donc une tension électrique aux bornes de celle-ci. Lorsqu’une onde sonore atteint la membrane ; celle-ci est sensibles aux surpression et des zones de dilatation. Ainsi la pression P de l’air en un point devant la membrane peut s’exprimer ainsi

P = Pmoy + p Où Pmoy est la pression moyenne et p la pression acoustique

La pression acoustique est donc la différence entre la pression en un point à la date t et la pression moyenne en ce point. Remarque : Lors d’une discussion, p vaut seulement quelques Pascal. A partir de 20 Pa, le seuil de douleur est atteint.

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On comprend bien que la membrane et la bobine sont limitées dans l’amplitude de leurs oscillations et donc la tension aux bornes de la bobine aussi. Il faut donc songer pour visualiser des signaux de grandes amplitudes comme c’est le cas pour les sons émis par des instruments à vent, d’utiliser un autre type de capteur.

B. Le capteur de pression. Contrairement à un micro, le capteur de pression n’est pas sensible à la pression acoustique mais à la pression P d’un gaz. Une variation de la pression peut provenir d’une onde sonore. Nous avons à l’aide du montage représenté ci dessous, mesurée la tension U apparue aux bornes de ce composant pour différentes pressions.

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La courbe obtenue est la suivante :

La courbe est une droite affine d’équation : U= aP + b Avec, d’après le logiciel a = 2,549.10-5 (en PaV ) et b = -2,853 (en V)

On peut donc écrire :

U = 2,549.10-5 P -2,853

P est en Pa et U est en Volt.

Comment exprimer la pression acoustique p en fonction de la tension U aux bornes du pressiomètre ? Lorsque la valeur mesurée par le pressiomètre est Pmoy alors la tension est Umoy. est telle que :

Umoy = 2,549.10-5 Pmoy -2,853

Lorsque la valeur mesurée à un instant t est P, la tension U est U= 2,549.10-5 P -2,853 A un instant t, on a donc : U-Umoy = 2,549.10-5 P -2,853-(2,549.10-5 Pmoy -2,853) = 2,549.10-5 (P- Pmoy)

La pression acoustique est donc 510.549.2

moy

moy

UUPPp

U = f(P)

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

Pression P en hPa

Tens

ion

en V

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IV. Le son cuivré Lorsque l’on joue à l’aide d’un trombone, le son émis est « cuivré » lorsque le trombone est complet, et non cuivré lorsque celui-ci est raccourci. Le son cuivré n’est donc pas lié au métal « cuivre », mais semble être lié à la longueur du tuyau. Nous avons donc modifié la nature du tuyau et choisit d’étudier le son émis à l’aide d’un tuyau d’arrosage. A. Son émis par un tuyau d’arrosage.

a) Choix et explication du montage On munit le tuyau d’arrosage d’une embouchure de tuba (pour reproduire la même perturbation, instrument « ouvert-fermé ») ainsi que d’un entonnoir qui permet un meilleur rayonnement du son. Pour étudier le signal à l’entrée et à la sortie, on place à l’entrée un microphone et un pressiomètre, de même à la sortie. On s’est rendu compte que le micro d’entrée saturait, et que le micro de sortie, lorsqu’il était placé sur le tuyau, saturait également : nous l’avons donc placé à l’extérieur, devant l’entonnoir. Nous nous sommes également rendu compte que le pressiomètre à la sortie, placé sur le tuyau, filtrait certaines hautes fréquences (filtre passe-bas). Pour résumer, on place à l’entrée un pressiomètre, et à la sortie à l’extérieur, un micro. On a ainsi réalisé une série d’enregistrements à l’aide d’un tuyau de 1 mètre, puis avec un tuyau de 4 mètres, à différentes nuances.

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b) Enregistrements et interprétation

Interprétation des courbes : Dans chaque situation, la fréquence du fondamental ne varie pas au cours de la propagation de l’onde : on retrouve la même fréquence à la sortie qu’à l’entrée (en l’occurrence 350Hz). Cette fréquence correspond à la fréquence de vibration des lèvres du musicien. A l’oreille, le son semble uniquement « cuivrer » dans le cas du grand tuyau en mezzo-forte et à plus forte raison en forte. Sur les enregistrements, cela se traduit par une forte et brusque variation de l’amplitude du signal de sortie. Cette variation est d’autant plus élevée que le niveau sonore est élevé, et que le tuyau est long.

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c) Timbre cuivré Les spectres de Fourier correspondant au signal de sortie du grand tuyau sont les suivants :

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On remarque que plus le niveau sonore est élevé (et donc plus le son est cuivré), plus on observe un spectre riche en harmoniques de rang élevé. Le timbre cuivré est donc un timbre qui se caractérise par des harmoniques de fréquence élevée.

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d) Et le niveau sonore ? Le niveau sonore L s’exprime ainsi :

0

log20PP

L e L s’exprime en décibel (dB).

avec Pe , valeur efficace de la surpression acoustique et P0 pression de référence égale à 2. 10-5 Pa en dessous de laquelle, l’oreille ne perçoit pas de son. Pour l’enregistrement effectué à l’aide d’un grand tuyau en fortissimo, le logiciel « Régressi » nous informe de la tension efficace égale à environ78mV et de la tension moyenne égale à environ15mV La pression efficace est donc :

510.549.2

moyUUe

Pe 2471 Pa

Le niveau sonore à la sortie de l’embouchure est donc

510.22471log20

L 162 dB

Quelques exemples de niveaux sonores.

Niveau sonore en décibel (dB) Seuil d’audibilité 0

Pièce calme 40 Conversation normale 50

Seuil de danger 90 Près d’une enceinte de concert 120

Maximum 191 Le niveau sonore à la sortie de l’embouchure est donc très élevé. Il reste très élevée à la sortie de l’entonnoir comme peut nous le confirmer un sonomètre. B. Un Trombone cuivre-t-il plus qu’un tuba ?

a) Enregistrement du signal de sortie d’un trombone

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Le signal à la sortie, en forte, est le suivant :

La décomposition de Fourier donne le graphique suivant :

t (ms)5 10 15 20

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

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b) Enregistrement du signal de sortie d’un tuba

On réalise le même montage en remplaçant le trombone par un tuba.

A l’oreille, on distingue clairement une différence avec le trombone. Le tuba donne en effet un son beaucoup moins métallique, moins caractéristique du «son cuivré ». Le signal de sortie, en forte, est le suivant :

t (ms)5 10 15 20

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

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La décomposition de Fourier donne le graphe suivant :

c) Interprétation : Les graphes précédents confirment notre perception sonore : le tuba cuivre moins que le trombone. Pourquoi ? Le tuba présente un évasement (augmentation du diamètre du tuyau) plus rapide que le trombone. Le trombone présente, lui, peu d’évasement. La longueur du tuyau contribue beaucoup, comme on l’a vu précédemment, à la formation du son cuivré, mais la forme de la perce (tube de l’instrument) a aussi beaucoup d’importance. C. Explication du phénomène de distorsion du signal Les expériences précédentes ont démontré qu'un « son cuivré » n'est pas nécessairement obtenu par un instrument en cuivre, mais également que ces instruments ne sont pas nécessaires à l’obtention de « sons cuivrés ». La longueur et la forme du tube est primordiale pour l’obtention d’un son cuivré. Au fur et à mesure de sa propagation dans le tuyau, le signal se déforme. En effet, la progression des maximums du signal est supérieure à celle des minimums. Ainsi, lorsque le phénomène de distorsion peut s’effectuer sur une assez longue distance, cela engendre une déformation de l’onde sonore, comparable à une vague dont le sommet bascule devant la base pour former un rouleau, qui se brise. Ici, ce n’est pas un rouleau qui se forme mais une onde de choc.

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Conclusion : Origine de la cuivrabilité On peut obtenir un « son cuivré » à l'aide d'un autre matériau que le cuivre ou l’un de ces alliages. Le son, c'est-à-dire, la sensation auditive produite par une vibration acoustique, obtenu lorsqu'on envoie un « buzz » dans une embouchure (positionnée une extrémité d'un tuyau de 4 mètres) a les mêmes caractéristiques physiques, et donc auditives, que celui du « son cuivré » produit par un tuba, et plus généralement d'un instrument en cuivre. Cette sonorité singulière résulte en fait de brusques variations de pression dans la colonne d'air. L'acquisition d'une courbe non linéaire en sortie est due à une propagation non linéaire de l'onde de pression dans le tuyau : l'onde acoustique se distord car son maximum se propage plus rapidement que son minimum. L'onde peut ainsi devenir une «onde de choc », qui provoque une variation brutale de la pression acoustique et qui génère des harmoniques de rang élevé (visualisable sur un spectre). Rayonnés à l'extérieur du tuyau, ces harmoniques sont à l'origine des timbres particuliers des cuivres. Mais, l'obtention de « sons cuivrés » dépend également de la longueur de la colonne d'air. Les expériences effectuées à l'aide d'un trombone d'une longueur tubulaire de 1 mètre ou d'un tuyau de 1 mètre ne produisent pas de son possédant les caractéristiques propres au son cuivré : sur le spectre, on note l'absence d'harmoniques de rang élevé que nous obtenons lors d'expérience avec un tuba ou un tuyau d'une longueur de 4 mètres. Le fonctionnement d'un trombone à coulisse, à « buzz » constant, démontre clairement que la longueur du tuyau est l'origine de la diversité des sons obtenus par le tube. Effectivement, le déplacement de la coulisse modifie la distance parcourue par l'air insufflée et entraîne ainsi un changement du son obtenu en sortie.

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BIBLIOGRAPHIE : Livre de spécialité Physique-Chimie Term.S, Bordas, édition 2007 Livre de Physique-Chimie Seconde, Nathan. Ancienne édition. Articles de Joël Gilbert et/ou Jean-Pierre Dalmont : - Shock waves in trombones. (A. HIRSCHBERG), J. GILBERT, (R. MSALLAM, A.P.J. WIJNANDS). J. Acoust. Soc. Am. 99 (1996) -Pour la Science numéro spécial : « Sons et Musique » n°373 novembre 2008. -Pour la Science n°244 février 1998 -Pour la Science n°238 août 1997 « Des instruments à vent harmoniques » « Comment les tuyaux résonnent-ils ? », mémoire d’un lycée d’Avignon pour les Olympiades. REMERCIEMENTS : Un grand merci au Laboratoire d’Acoustique Universitaire du Mans, et notamment à Joël Gilbert et Jean-Pierre Dalmont qui nous apporté une précieuse aide dans notre travail, sans oublier nos professeurs de physique-chimie, Patrice Michel et Jean-Luc Cancouët, qui nous on fait découvrir les Olympiades et qui nous ont soutenu tout au long de l’aventure.