Vérification et dépliages de réseaux de Petri temporels paramétrés
Pastravanu Aplicatii Retele Petri
-
Upload
razvan-pantelimon -
Category
Documents
-
view
306 -
download
3
Transcript of Pastravanu Aplicatii Retele Petri
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
1/256
OCTAVIAN PSTRVANU
MIHAELA MATCOVSCHI CRISTIAN MAHULEA
APLICAII ALE REELELOR PETRIN STUDIEREA
SISTEMELOR CU EVENIMENTE DISCRETE
Editura Gh. ASACHI
2002
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
2/256
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
3/256
OCTAVIAN PSTRVANU
MIHAELA MATCOVSCHI CRISTIAN MAHULEA
APLICAII ALE REELELOR PETRIN STUDIEREASISTEMELOR CU EVENIMENTE DISCRETE
Editura Gh. ASACHI
2002
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
4/256
Editura GH. ASACHI
Universitatea Tehnic IaiBd. D. Mangeron nr. 67
6600, Iai, RomaniaTel: 0232 23.13.43
Fax: 0232 21.42.90
Director editur:Prof. univ. dr. ing. Mihail VOICU
Redactor:
Prof. Georgeta ANICULESEI
Refereni tiinifici:Prof. univ. dr. ing. Mihail Voicu
Prof. univ. dr. ing. Doru Pnescu
Colecia: Automatici informatic industrial
Octavian PSTRVANU, Mihaela MATCOVSCHI, Cristian MAHULEAUniversitatea Tehnic Gh. Asachi IaiFacultatea de Automatici CalculatoareBd. D. Mangeron 53A, 6600 Iaiemail: [email protected]
Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a RomnieiPSTRVANU, OCTAVIAN
Aplicaii ale reelelor Petri n studierea sistemelor cuevenimente discrete / Octavian Pstrvanu, Mihaela Matcovschi,Cristian Mahulea Iai: Editura Gheorghe Asachi, 2002.
p.: cm. 16,5 x 22,5
ISBN: 973-8292-86-7
I. Matcovschi, Mihaela
II. Mahulea, Cristian
517.938
681.5
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
5/256
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
6/256
Aplicaii ale reelelor PetriO. Pstrvanu, M. Matcovschi, C. Mahuleaiigeneroase. Modul de organizare al lucrrii nu oblig la parcurgerea integral a textului,permind o lectur selectiv , orientat n conformitate cu nivelul de pregtire i problematica de interes a fiecrui cititor n parte, ghidarea realizndu-se cu multuurin pe seama cuprinsului anume elaborat cu un grad relevant de detaliere. Pe lngacest cuprins, o imagine general despre modul de integrare a capitolelor crii neconomia de ansamblu rezult din parcurgerea Capitolului 1.
n particular, lucrarea de fa (n totalitate, ori anumite poriuni ale ei) poateservi i drept suport pentru cursuri destinate studenilor sau pentru cursuri de
perfecionare destinate absolvenilor, stilul de prezentare bazndu-se pe principiileinstruirii graduale, cu acordarea unei ponderi importante exemplelor, studiilor practiceiutilizrii facilitilor software.
Pentru a reproduce soluiile asistate de calculator din lucrare, sau pentru adezvolta noi aplicaii sub Petri Net Toolbox, cititorii se pot adresa autorilor crii sprea intra n posesia unei versiuni de testare a acestui pachet, n regim gratuit.
Rod al unei colaborri de lung durat dintre trei cadre didactice de la Catedrade automatici informatic industrial a Universitii Tehnice "Gh. Asachi" din Iai,
prezenta lucrare pune n valoare att viziunea proprie a autorilor, creat n urmaconsultrii unui vast material bibliografic, ct i experiena dobndit de acetia nutilizarea reelelor Petri pentru modelarea, analiza i proiectarea sistemelor cuevenimente discrete. Cartea reflect totodat i preocuprile educaionale ale celor trei
autori care au preg
tit cursuri
i
edin
e de aplica
ii dedicate disciplinei Sisteme dinamicecu evenimente discrete existent din anul 1996 n planurile de nvmnt ale Facultiide Automatici Calculatoare din Iai.
n ncheiere, autorii doresc s i exprime gratitudinea fa de cei doi refereni, alecror personaliti academice marcante au girat apariia acestei cri, precumi fa decolectivul Editurii "Gh. Asachi" care a inclus volumul n planul su editorial.
Publicarea crii s-a bucurat de suportul financiar al Consiliului Naional pentru Finaarea nvamntului Superior, prin intermediul proiectului LICAP("Laborator de instruire n domeniul conducerii asistate de calculator a proceselor").
Mulumiri anticipate sunt adresate tuturor cititorilor, care, prin observaiile ce le
vor formula n urma consultrii acestei cri, vor contribui la ndeprtarea unor posibileneajunsuri ale textuluii la mbuntirea calitii.
Noiembrie 2002
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
7/256
Cuprins
Prefaa.............................................................................................................................. i
Cuprins........................................................................................................................... iiiAbstract and Contents................................................................................................... vii
Simboluri i notaii......................................................................................................... xi
Cap. 1.Introducere ..........................................................................................................1
Cap. 2. Modele de tip reea Petri netemporizat.............................................................7
Breviar teoretic ........................................................................................................................... 7
BT2.1. Conceptul de reea Petri netemporizat ..................................................................... 7
BT2.2. Terminologie uzual.................................................................................................. 8
BT2.3. Validarea i executarea tranziiilor n reele cucapacitate infinit evoluia strilor............................................................................... 9
BT2.4. Unele extensii pentru reele Petri netemporizate..................................................... 10
BT2.4.1. Reele Petri cu capacitate finit ....................................................................... 10
BT2.4.2. Reele cu probabiliti i prioriti ................................................................... 10
BT2.4.3. Reele cu arce inhibitoare ................................................................................ 11
BT2.5. Modelarea cu reele Petri ordinare .......................................................................... 11
BT2.5.1. Structuri tipice utilizate n modelare................................................................ 11
BT2.5.2. Capacitatea de modelare a unor subclase de reele Petri ordinare................... 12
Aplicaii (AP2.1 AP2.5)........................................................................................................ 14
Cap. 3. Studierea proprietilor comportamentale........................................................27
Breviar teoretic ......................................................................................................................... 27
BT3.1. Definirea proprietilor comportamentale ............................................................... 27
BT3.1.1. Accesibilitate ................................................................................................... 27
BT3.1.2. Mrginire ......................................................................................................... 27
BT3.1.3. Viabilitate ........................................................................................................ 28
BT3.1.4. Reversibilitate .................................................................................................. 28
BT3.2. Producerea fenomenului de deadlock n sistemele cu resurse partajate.................. 28
BT3.3.Arbori i grafuri de acoperire/accesibilitate ............................................................. 29
BT3.3.1. Arbori de acoperire/accesibilitate .................................................................... 29BT3.3.2. Grafuri de acoperire/accesibilitate ................................................................... 30
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
8/256
Aplicaii ale reelelor PetriO. Pstrvanu, M. Matcovschi, C. MahuleaivBT3.4. Ecuaia de stare........................................................................................................ 30
BT3.5. Proprieti ce decurg din apartenena reelelor la anumite subclase
de reele Petri ordinare .................................................................................................. 32
BT3.5.1. Criterii de viabilitate i siguran a mainilor de stare .................................... 33
BT3.5.2. Criterii de viabilitate i siguran a grafurilor marcate.................................... 33
Aplicaii (AP3.1 AP3.6)........................................................................................................ 34
Cap. 4. Controlul procedural al sistemelor cu evenimente discrete..............................49
Breviar teoretic ......................................................................................................................... 49
BT4.1. Specificaii de proiectare pentru structurile de conducere ...................................... 49
BT4.2. Proiectarea structurilor de conducere prin tehnici de sintez hibrid...................... 50
BT4.2.1. Rafinarea operaiilor prin sintez descendent ................................................ 50
BT4.2.1.1. Prezentarea general a procedurii de rafinare .......................................... 50
BT4.2.1.2. Module standard utilizate n rafinare ....................................................... 52
BT4.2.2. Ataarea resurselor prin sintez ascendent .................................................... 55
BT4.2.2.1. Prezentarea general a procedurii de ataare a resurselor........................ 55
BT4.2.2.2. Detalierea Pasului 1 (ataarea resurselor specifice nepartajate) .............. 55
BT4.2.2.3. Detalierea Pasului 2 (ataarea resurselor de stocare)............................... 56
BT4.2.2.4. Detalierea Pasului 3 (ataarea resurselor specifice partajate) .................. 58
BT4.3. Proprieti caracteristice ale structurilor de conducere rezultate din sintez .......... 65
BT4.4. Funciuni de bazi consideraii de proiectare ale controlerului procedural .......... 66
BT4.4.1. Funciuni de baz ............................................................................................. 66
BT4.4.2. Consideraii de proiectare ................................................................................ 66
Aplicaii (AP4.1 AP4.3) ....................................................................................................... 67
Cap. 5. Studierea proprietilor structurale ..................................................................85
Breviar teoretic ......................................................................................................................... 85
BT5.1. Definirea proprietilor structurale i criterii de caracterizare ................................ 85
BT5.1.1. Mrginire structural ....................................................................................... 85
BT5.1.2. Conservativitate ............................................................................................... 86
BT5.1.3. Repetitivitate.................................................................................................... 86
BT5.1.4. Consisten....................................................................................................... 87
BT5.1.5. Relaii ntre proprietile structurale ................................................................ 87
BT5.2. Invariani ................................................................................................................. 88
BT5.2.1. Definiia invarianilor ...................................................................................... 88
BT5.2.2. Invariani n reele duale i/sau inversate......................................................... 89
BT5.2.3. Criterii de caracterizare a invarianilori conexiuni cu
proprietile structurale ............................................................................................ 90
Aplicaii (AP5.1 AP5.4)........................................................................................................ 91
Cap. 6. Modelede tip reea Petri cu temporizare determinist...................................103
Breviar teoretic ....................................................................................................................... 103
BT6.1. Reele cu tranziii temporizate............................................................................... 103
BT6.2. Reele cu poziii temporizate ................................................................................. 104
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
9/256
Cuprins v
BT6.3. Transformarea unei reele temporizate Tntr-o reea temporizatP..................... 105
BT6.4. Transformarea unei reele temporizatePntr-o reea temporizatT..................... 106
BT6.5. Comportarea periodic a reelelor Petri acoperite de invarianiP,
(parial) consistente, temporizate T............................................................................. 107
BT6.6. Comportarea periodic a reelelor Petri acoperite de invarianiP,
(parial) consistente, temporizateP............................................................................. 109
Aplicaii (AP6.1 AP6.8) ..................................................................................................... 110
Cap. 7. Modele de tip reea Petri cu temporizare stohastic......................................129
Breviar teoretic ....................................................................................................................... 129
BT7.1. Principiile temporizrii stohastice ......................................................................... 129
BT7.2. Variabile aleatoare - scurt trecere n revist ........................................................ 130
BT7.2.1. Variabile aleatoare ......................................................................................... 130
BT7.2.2. Funcie de repartiie. Densitate de repartiie.................................................. 130
BT7.2.3. Funcii de variabile aleatoare......................................................................... 132
BT7.2.4. Caracteristici ale distribuiilor de probabilitate ............................................. 132
BT7.2.4.1. Valoare medie ........................................................................................ 132
BT7.2.4.2. Dispersie (varian) ................................................................................ 133
BT7.2.4.3. Moment de ordin p ................................................................................. 134
BT7.2.4.4. Covarian ............................................................................................. 134
BT7.2.5. Legea numerelor mari. Legi limit ................................................................ 135
BT7.2.6. Distribuii frecvent folosite n temporizarea stohastic ................................. 137
BT7.3. Procese stohastice.................................................................................................. 137
BT7.4. Modele de tip reea Petri cu temporizare stohastic .............................................. 138
Aplicaii (AP7.1 AP7.5) ..................................................................................................... 138
Cap. 8. Modele de tip reea Petri stohastic................................................................153
Breviar teoretic ....................................................................................................................... 153
BT8.1. Reele Petri stohastice............................................................................................ 153
BT8.2. Proprieti ale legii de distribuie exponenial ..................................................... 154
BT8.3. Lanuri Markov omogene, continue n timp.......................................................... 155
BT8.3.1. Concepte de baz ........................................................................................... 155
BT8.3.2. Analiza tranziiilor de stare a unui lan Markov continuu i omogen............ 157
BT8.4. Proprieti ale reelelor Petri stohastice................................................................. 157
BT8.4.1. Construcia lanului Markov asociat unei reele Petri stohastice................... 157
BT8.4.2. Evaluarea performanelor unei reele Petri stohastice ................................... 158
BT8.4.3. Proprieti de conservare ............................................................................... 159
BT8.5. Reele Petri stohastice generalizate ....................................................................... 160
Aplicaii (AP8.1 AP8.4) ..................................................................................................... 161
Cap. 9. Modelede tip max-plus ...................................................................................175
Breviar teoretic ....................................................................................................................... 175
BT9.1. Proprieti fundamentale ale algebrei (max, +) ..................................................... 175BT9.2 Operaii cu matrice i vectori definii pe algebra ( { },max, ) + ................... 176
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
10/256
Aplicaii ale reelelor PetriO. Pstrvanu, M. Matcovschi, C. MahuleaviBT9.3 Reprezentri de stare n algebra max-plus pentru reele Petri de tip graf marcat,
temporizateP.............................................................................................................. 178
BT9.4. Rezolvarea ecuaiei de stare .................................................................................. 181
BT9.5. Rezolvarea ecuaiei de ieire ................................................................................. 185
Aplicaii (AP9.1 AP9.4)...................................................................................................... 186
Cap. 10.Petri Net Toolbox descriere i utilizare /
Learning about Petri Net Toolbox ......................................................................201
Introduction Petri Net Toolbox at a First Glance................................................................ 201
Part I. Describing the Graphical User Interface (GUI) .......................................................... 204
I.1. Overview ..................................................................................................................... 204
I.2. Menu Bar..................................................................................................................... 204
I.3. Quick Access Toolbar ................................................................................................. 208
I.4. Drawing Area .............................................................................................................. 208
I.5. Drawing Panel ............................................................................................................. 208
I.6. Draw/Explore Switch .................................................................................................. 208
I.7. Simulation Panel ......................................................................................................... 209
I.8. Status Panel ................................................................................................................. 209
I.9. Message Box ............................................................................................................... 209
Part II. Exploiting the Toolbox .............................................................................................. 210
II.1. Building a Model ....................................................................................................... 210
II.2. Exploring Properties .................................................................................................. 216
II.3. Running a Simulation ................................................................................................ 217
II.4. Analyzing Simulation Results ................................................................................... 221
II.5. Max-Plus Models....................................................................................................... 222
II.6. Design ........................................................................................................................ 223
Appendix 1: XML file-format of a file containing a PN model............................................. 225
Appendix 2: Configuration File for the Petri Net Toolbox.................................................... 229
Bibliografie ..................................................................................................................231
Index i dicionar romn-englez ................................................................................. 235
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
11/256
APPLICATIONS OF PETRI NETS
IN STUDYING DISCRETE EVENT SYSTEMS
Abstract andContents
The book constructs a theoretical and practical framework, based on Petri net models, for
exploring event-driven dynamics. This framework encompasses both untimed and timed Petri
nets, the usage of the key concepts and results being illustrated by problems with analytical or
computer-aided solutions. For computational approaches, the software environment Petri Net
Toolbox, developed by the authors to ensure full compatibility with MATLAB, has been
used. The last chapter creates an overview of the capabilities and exploitation of this software.
The book is self-contained, but the bibliographic list suggests numerous works recommended
for getting a deeper insight into this field. The book was designed to answer the instructional
needs for a large area of potential beneficiaries, namely people interested in a gradual and
methodological training in discrete-event systems, which obviously includes undergraduate,
postgraduate and doctoral students, as well as research workers and practitioners.
Preface ............................................................................................................................. i
Contents (in Romanian) ................................................................................................. iii
Abstract and Contents (in English)............................................................................... vii
Symbols and Notations................................................................................................... xi
Chapter 1.Introduction ................................................................................................... 1
Chapter 2. Untimed Petri Net Models..............................................................................7
Theory ........................................................................................................................................ 7
BT2.1. The concept of untimed Petri net .............................................................................. 7
BT2.2. Terminology and basic concepts ............................................................................... 8
BT2.3. Transition enabling and firing in infinite-capacity Petri nets State evolution........ 9
BT2.4. Extensions of untimed Petri nets............................................................................. 10
BT2.4.1. Finite-capacity Petri nets ................................................................................. 10
BT2.4.2. Nets with probabilities and priorities............................................................... 10
BT2.4.3. Nets with inhibitor arcs.................................................................................... 11
BT2.5. Modeling with ordinary Petri nets ........................................................................... 11
BT2.5.1. Typical structures used in modeling with Petri nets........................................ 11
BT2.5.2. Some subclasses of ordinary Petri nets and their modeling power ................. 12
Applications (AP2.1 AP2.5) ................................................................................................. 14
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
12/256
Aplicaii ale reelelor PetriO. Pstrvanu, M. Matcovschi, C. MahuleaviiiChapter 3.Analysis Techniques for Behavioral Properties...........................................27
Theory ...................................................................................................................................... 27
BT3.1. Definitions of the behavioral properties.................................................................. 27
BT3.1.1. Reachability ..................................................................................................... 27
BT3.1.2. Boundedness .................................................................................................... 27
BT3.1.3. Liveness ........................................................................................................... 28
BT3.1.4. Reversibility..................................................................................................... 28
BT3.2. Deadlock in systems with shared resources ............................................................ 28
BT3.3. Coverability/accessibility trees and graphs ............................................................. 29
BT3.3.1. Coverability/accessibility trees........................................................................ 29
BT3.3.2. Coverability/accessibility graphs..................................................................... 30
BT3.4. State equation .......................................................................................................... 30
BT3.5. Behavioral properties induced by membership in some subclasses
of ordinary Petri nets ..................................................................................................... 32
BT3.5.1. Criteria for liveness and safeness of state machines........................................ 33
BT3.5.2. Criteria for liveness and safeness of marked graphs ....................................... 33
Applications (AP3.1 AP3.6) ................................................................................................. 34
Chapter 4.Procedural Control of Discrete Event Systems............................................49
Theory ...................................................................................................................................... 49
BT4.1. Design specifications for the control structure........................................................ 49
BT4.2. Hybrid synthesis techniques.................................................................................... 50
BT4.2.1. Refinement of the operation places by topdown synthesis............................ 50
BT4.2.1.1. Overview of the procedure....................................................................... 50
BT4.2.1.2. Standard modules used in the refinement ................................................ 52
BT4.2.2. Addition of the resource places by bottom-up synthesis ................................. 55
BT4.2.2.1. Overview of the procedure....................................................................... 55
BT4.2.2.2. Detailing Step 1 (addition of the nonshared resource places).................. 55
BT4.2.2.3. Detailing Step 2 (addition of the buffer places)....................................... 56
BT4.2.2.4. Detailing Step 3 (addition of the shared resource places)........................ 58
BT4.3. Characteristic properties of the control structures resulted from synthesis............. 65
BT4.4. Basic actions and design issues of the proceduralcontroller .................................. 66
BT4.4.1. Basic actions .................................................................................................... 66
BT4.4.2. Design issues ................................................................................................... 66
Applications (AP4.1 AP4.3) ................................................................................................ 67
Chapter 5.Analysis Techniques for Structural Properties ............................................85
Theory ...................................................................................................................................... 85
BT5.1. Definitions of the structural properties and criteria for their characterization ........ 85
BT5.1.1. Structural liveness............................................................................................ 85
BT5.1.2. Conservativeness ............................................................................................. 86
BT5.1.3. Repetitiveness.................................................................................................. 86
BT5.1.4. Consistency...................................................................................................... 87
BT5.1.5. Relationships between the structural properties .............................................. 87
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
13/256
Abstract and Contents ix
BT5.2. Invariants ................................................................................................................. 88
BT5.2.1. Definition of the invariants .............................................................................. 88
BT5.2.2. Invariants in reverse-dual nets ......................................................................... 89
BT5.2.3. Criteria for the characterization of invariants and their relationships
to structural properties.............................................................................................. 90
Applications (AP5.1 AP5.4) ................................................................................................. 91
Chapter 6.Deterministic Timed Petri Net Models.......................................................103
Theory .................................................................................................................................... 103
BT6.1. Transition-timed nets............................................................................................. 103
BT6.2. Place-timed nets .................................................................................................... 104
BT6.3. Transforming a T-timed net into aP-timed net ..................................................... 105
BT6.4. Transforming aP-timed net into a T-timed net ..................................................... 106
BT6.5. Periodic behavior ofT-timed, (partially) consistent Petri nets, covered byP-
invariants..................................................................................................................... 107
BT6.6. Periodic behavior ofP-timed, (partially) consistent Petri nets, covered byP-
invariants..................................................................................................................... 109
Applications (AP6.1 AP6.8) .............................................................................................. 110
Chapter 7. Stochastic Timed Petri Net Models ............................................................129
Theory .................................................................................................................................... 129
BT7.1. Principles of stochastic timing............................................................................... 129
BT7.2. Random variables overview ............................................................................... 130
BT7.2.1. Random variables .......................................................................................... 130
BT7.2.2. Cumulative distribution function. Probability density function .................... 130
BT7.2.3. Functions of random variables....................................................................... 132
BT7.2.4. Characteristics of probability distributions.................................................... 132
BT7.2.4.1. Mean value (expectation)....................................................................... 132
BT7.2.4.2. Variance ................................................................................................. 133
BT7.2.4.3. k-th order moment .................................................................................. 134
BT7.2.4.4. Covariance ............................................................................................. 134
BT7.2.5. Law of large numbers. Limit Theorems ........................................................ 135
BT7.2.6. Probability distributions frequently used in stochastic timing ...................... 137
BT7.3. Stochastic processes. ............................................................................................. 137
BT7.4. Stochastic timed Petri nets .................................................................................... 138
Applications (AP7.1 AP7.5) .............................................................................................. 138
Chapter 8. Stochastic Petri Net Models .......................................................................153
Theory .................................................................................................................................... 153
BT8.1. Stochastic Petri Nets.............................................................................................. 153
BT8.2. Properties of the exponential distribution ............................................................. 154
BT8.3. Continuous time homogenous Markov chains ...................................................... 155
BT8.3.1. Basic concepts ............................................................................................... 155
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
14/256
Aplicaii ale reelelor PetriO. Pstrvanu, M. Matcovschi, C. MahuleaxBT8.3.2. Analysis of state transitions for continuous time homogenous
Markov chains ........................................................................................................ 157
BT8.4. Properties of stochastic Petri nets.......................................................................... 157
BT8.4.1. Construction of the Markov chain associated with a stochastic Petri net...... 157
BT8.4.2. Performance evaluation of a stochastic Petri net........................................... 158
BT8.4.3. Conservativeness properties .......................................................................... 159
BT8.5. Generalized stochastic Petri nets........................................................................... 160
Applications (AP8.1 AP8.4) .............................................................................................. 161
Chapter 9. Max-plus Models ........................................................................................175
Theory .................................................................................................................................... 175
BT9.1. Basic properties of the (max, +) algebra ............................................................... 175
BT9.2. Operations with vectors and matrices over the ( { }, max, ) + algebra ........ 176
BT9.3. State-space representations over the max-plus algebra
forP-timed marked graphs ......................................................................................... 178
BT9.4. Solving the state equation...................................................................................... 181
BT9.5. Solving the output equation................................................................................... 185
Applications (AP9.1 AP9.4) .............................................................................................. 186
Chapter 10.Petri Net Toolbox overview and utilization /
Learning about Petri Net Toolbox ......................................................................201
Introduction Petri Net Toolbox at a First Glance................................................................ 201
Part I. Describing the Graphical User Interface (GUI) .......................................................... 204
I.1. Overview ..................................................................................................................... 204
I.2. Menu Bar..................................................................................................................... 204
I.3. Quick Access Toolbar ................................................................................................. 208
I.4. Drawing Area .............................................................................................................. 208
I.5. Drawing Panel ............................................................................................................. 208
I.6. Draw/Explore Switch.................................................................................................. 208
I.7. Simulation Panel ......................................................................................................... 209
I.8. Status Panel ................................................................................................................. 209
I.9. Message Box ............................................................................................................... 209
Part II. Exploiting the Toolbox .............................................................................................. 210
II.1. Building a Model ....................................................................................................... 210
II.2. Exploring Properties .................................................................................................. 216
II.3. Running a Simulation ................................................................................................ 217
II.4. Analyzing Simulation Results ................................................................................... 221
II.5. Max-Plus Models ....................................................................................................... 222
II.6. Design ........................................................................................................................ 223
Appendix 1: XML file-format of a file containing a PN model............................................. 225
Appendix 2: Configuration File for the Petri Net Toolbox.................................................... 229
Bibliography ................................................................................................................231Index and Romanian-English Dictionary ....................................................................235
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
15/256
Simboluri i notaii
mulimea numerelor reale
mulimea numerelor naturale (inclusiv 0)
mulimea numerelor ntregi
apartenen
incluziune strict
incluziune cu posibilitate de egal
*T transpusa matricei *
rang* rangul matricei *
|*| cardinalitatea mulimii *
x< y inegaliti < pe toate componentele
vectorilorx, y
x y inegaliti pe toate componentelevectorilorx, y
x)
P= {p1,..., pm} mulimea poziiilor unei
reele Petri
T= {t1,..., tn} mulimea tranziiilor unei
reele Petri
W(ti,pj) ponderea arcului de la ti lapj
W(pj, ti) ponderea arcului de lapj la tim
vectorul de marcaj
( )jM p marcajul poziieipj
0
mM vectorul marcajului iniial
0( )jM p marcajul iniial al poziieipj
N topologia unei reele Petri
(N, M0) topologia unei reele Petri cu un
marcaj iniial dat
suportul invariantului * ( de tip Psau
T) al unei reele Petri* mulimea predecesor (mulime de tranziii,
respectiv poziii) a mulimii * (mulime de
poziii, respectiv tranziii)
* mulimea succesor (mulime de tranziii,
respectiv poziii) a mulimii * (mulime de
poziii, respectiv tranziii)
= ti1 ti2... tik secven de executri de
tranziii fr precizarea vectorilor de
marcaj accesai
= ti1M1ti2M2... tikMk secven de executri
de tranziii, cu precizarea vectorilor de
marcaj accesain
vectorul numrului de executri de
tranziii din secvena
( )t numrul de executri ale tranziiei ti
din secvena
R(M0),R(N, M0) mulimea de accesibilitate
corespunztoare unui marcaj iniial dat
L(M0), L(N, M0) mulimea tuturor secven-elor de executri de tranziii, pornind
dintr-un marcaj iniial dat.
M0[>Mk vectorul de marcaj Mk este
accesibil din vectorul de marcaj M0 prin
secvena de executri de tranziii
K(pj) capacitatea poziieipj
simbol utilizat n construcia arborilor
sau grafurilor de acoperire pentru reelele
nemrginite
C(ti1, ti2) capacitatea de jetoane dintre
tranziiile ti1, ti2
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
16/256
Aplicaii ale reelelor PetriO. Pstrvanu, M. Matcovschi, C. Mahuleaxiin m
A matricea de inciden de intrare
asociat unei reele Petrin m+ A matricea de inciden de ieire
asociat unei reele Petrin m+
= A A A matricea de inciden
asociat unei reele Petri
uk vector de executare (de control)
C circuit orientat
( )kC numrul total de jetoane aflate pe
circuituluik
C n marcajul M
0( )
kC numrul total de jetoane aflate pe
circuitului kC n marcajul iniial M0
( )k
D C ntrzierea total pe circuitulk
C
spaiul eantioanelor (mulimea tuturor
realizrilor posibile ale unui experiment)
E spaiul evenimentelor
P funcia de probabilitate
( ), ,P E cmp de probabilitate
[ | ]P A B probabilitatea condiional de
apariie a evenimentului A n ipoteza c
s-a produs evenimentulB
X variabil aleatoare
F funcia de repartiie a unei variabile
aleatoare
p densitatea de repartiie a unei variabile
aleatoare discrete
f densitatea de repartiie a unei variabile
aleatoare continue
M[ ]X valoarea medie a variabilei aleatore
X
Var[ ]X dispersia (variana) variabilei
aleatoareX
deviaie standard a variabilei aleatoare
X
operaie definit pe { } prin
{ }max ,a b a b =
operaie definit pe { } prin
a b a b = +
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
17/256
Capitolul1
Introducere
La nivelul introductiv pe care i-l propune acest capitol, convenim ca, n funcie decontextul exprimrii, prin sistem cu evenimente discrete s nelegem fie un sistem real,fie un model matematic (ce descrie funcionarea unui sistem real), a crui evoluie esteraportat la apariia unor evenimente. Astfel, producerea evenimentelor joac rolul decauz pentru dinamica sistemului i are drept efect modificare strilor sistemului,evideniind o cert similitudine cu aa-numita tratare pe stare a sistemelor continue saudiscrete n timp. Mai mult chiar, i n cazul unui sistem cu evenimente discrete se poatevorbi despre o funcie de tranziie a strilor, care formalizeaz riguros faptul c sistemultrece dintr-o stare n alta numai ca urmare a producerii unui eveniment i c sistemul
pstreaz starea n care se afl pn la producerea unui nou eveniment.Analogia cu sistemele continue sau discrete n timp, pe care le vom referi sub
numele de sisteme clasice trebuie ns utilizat concomitent cu nelegerea corect icomplet a deosebirilor privind interpretarea cauzal a comportrii. Dac n cazulsistemelor clasice, cauzele i efectele sunt valorile unor semnale, care, cel puin sub raport
teoretic, prin variaii acoper intervale (adic mulimi cu aceeai cardinalitate ca ), ncazul sistemelor cu evenimente discrete, mulimea evenimentelorce pot aprea, precum imulimea strilor n care poate tranzita sistemul sunt discrete (adic au cel multcardinalitatea lui ). Dac dinamica sistemelor clasice este raportat la un ceas sincronce msoar scurgerea uniform a timpului (continuu, sau discret - eantionat cu o anumit
perioad), dinamica sistemelor cu evenimente discrete se raporteaz la un ceas asincron,care marcheaz succesiunea evenimentelor i, nu n mod obligatoriu, momentele de
producere a lor. n cosecin, modelele de tip ecuaii difereniale sau cu diferene cepopuleaz literatura sistemelor clasice s-au dovedit neadecvate pentru descrierea
dinamicilor pilotate de evenimente, motiv pentru care a fost necesar s se recurg lainstrumente matematice de alt factur.
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
18/256
Aplicaii ale reelelor PetriO. Pstrvanu, M. Matcovschi, C. Mahulea2Sistemele cu evenimente discrete s-au individualizat ca direcie proprie de
cercetare n ultimii 10 15 ani, avnd un impact considerabil asupra dezvoltriitehnologice din diverse arii ale ingineriei, cum ar fi: sisteme de fabricaie, sisteme detransport, sisteme de comunicaii, sisteme de operare i platforme software dedicate,
precum i asupra controlului de tip procedural a numeroase clase de procese automatizate.n perioada mai sus amintit, domeniul Sistemelor cu evenimente discrete s-a fondat dintr-un nucleu interdisciplinar, construit prin aportul a grupuri de cercettori cu formaiitiinifice diferite i alimentat de o serie de resurse distincte din spaiul informaticiiteoretice i a matematicilor aplicate, dintre care cele mai importante ar fi: teoriaautomatelori a limbajelor formale, teoria reelelor Petri, teoria sistemelor de ateptare,teoria algebric a sincronizrii, analiza perturbaiilor (Cao and Ho, 1990). n acest
context heterogen, este dificil i poate chiar hazardat a localiza, n timp, un anumitmoment sau o anumit lucrare, de ale cror semnificaii s se lege actul de natere alnoului domeniu. Exist ns cteva contribuii de pionierat care au precizat fermconexiunile cu descrierile i principiile generale ce guverneaz sistemele dinamice i care,astfel, au deschis perspectiva ca ansamblul preocuprilor din domeniu s poat fi ncadratn amplul edificiu al tiinei sistemelor, drept o nou entitate, recte Sisteme cu evenimentediscrete. Dintre respectivele lucrri amintim: (Ho and Cassandras, 1983), (Cohen et al.,1985), (Ramadge and Wonham, 1987).
Astzi, n urma unui proces de maturizare alert, nsoit de numeroase succese pe plan teoretic i aplicativ, domeniul Sistemelor cu evenimente discrete a dobndit orecunoatere general ca direcie de cercetare pe deplin conturat, figurnd la poziia93C65 n clasificarea comun realizat n anul 2000 de ctre prestigioasele publicaiiZentralblatt MATH i Mathematical Reviews. Cu toate acestea, istoria relativ recenta domeniului face ns ca nici n prezent s nu dispunem de un suport teoretic unificat,capabil de a asigura compatibilitatea ntre metodologiile de sorginte matematic diferit,enumerate n paragraful anterior. n sensul unei atare unificri, pai notabili au fostrealizai de (Bacelli, 1992), (Cassandras, 1993), (Cassandras et al., 1995), (Lewis et
al., 1995).Cum era de ateptat, drumul pn la conturarea unui punct de vedere teoreticatotcuprinztor scoate la lumin multiple dificulti n construirea punilor de legtur, unrol nsemnat jucndu-l i inerenta atitudine de conservare a tradiiilor de cercetaremanifestat de diferite colective. Dei la nivel general, atare puni deja exist, preferina
pentru un anumit instrument de investigare este uzual motivat de specificul problematiciii de experiena acumulat n abordarea acelei problematici.
Concomitent cu progresul Sistemelor cu evenimente discrete ca domeniu decercetare, acest domeniu i-a fcut apariia i ca obiect de studiu n planurile denvmnt ale universitilor occidentale, americane i japoneze, fiind binecunoscut
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
19/256
Cap. 1. Introducere 3
dinamismul lor n preluarea i diseminarea noutilortiinifice. Urmare a heterogenitii
domeniului nsui, cursurile respective se caracterizeaz printr-o varietate destul de mare amodalitilor de tratare. Totodat, edinele de aplicaii ce acompaniaz orele de predare anoiunilor teoretice sunt orientate pe diferite medii software ce permit simularea, analizai sinteza sistemelor cu evenimente discrete. Fiecare dintre aceste medii exploateaz unanumit suport teoretic, actualmente existnd instrumente fiabile, produse de firme cuexperien, care se bazeaz pe teoria automatelor (ca de exemplu State-Flow (MathWorks,1997)), pe teoria reelelor Petri (ca de exemplu software-urile prezentate n (Mortensen,2003)), pe teoria sistemelor de ateptare (ca de exemplu ARENA (Kelton et al., 2002), peteoria algebric a sincronizrii (ca de exemplu Scilab (Cohen et al., 2001)).
Pornind de la realitatea curent a domeniului (att din perspectiva tiinific ct ididactic), am considerat c elaborarea unei lucrri cu caracter monografic, care sasigure, deopotriv, accesibilitatea lecturii pentru cititorii nefamiliarizai cu problematicastudiat, trebuie s permit o incursiune ct mai complet n universul Sistemelor cuevenimente discrete, realizat gradual, ghidat ntr-o manier unic sub raportulinformaiilori al limbajului de exprimare. Astfel, am decis s structurm materialul pefundamentul teoretic al reelelor Petri, care, pe parcursul celor patru decenii scurse de la
prezentarea tezei de doctorat a matematicianului german Carl Adam Petri (Petri, 1962), audemonstrat o deosebit flexibilitate n abordarea a numeroase tipuri de probleme practice,
precum i o mare capacitate de extindere ca sfer de operare, prin nglobarea unor punctede vedere tot mai complexe.
Reelele (grafurile) propuse n (Petri, 1962) dispuneau de un mecanism capabil dea guverna, pe principiile algebrei boolene, evoluia unui vector cu elemente numerenaturale, avnd semnificaie de stare, fr precizarea momentelor efective de timp cndaveau loc modificrile strii. Cercetrile ulterioare au condus i la ncorporareainformaiilor temporale (Ramamoorthy and Ho, 1980), (Ajmone Marsan et al., 1985),astfel nct, n prezent, pentru studierea sistemelor cu evenimente discrete, avem la
dispoziie modele de tip reea Petri netemporizat (care permit studii calitative) i,respectiv, de tip reea Petri temporizat (care permit studii cantitative). Introducereatemporizrii s-a realizat de aa manier nct s permit nuanrile de model deterministsau stohastic, binecunoscute din cazul sistemele clasice.
Aceste rafinri ale conceptului iniial formulat de Petri (rafinri care nu includ, ntotalitate, extinderile propuse n literatur) evideniaz att resursele oferite pentrumodelare, ct i compatibilitatea cu alte instrumente i tipuri de modele. Reelele Petri potmodela fenomenele specifice sistemelor cu evenimente discrete, cum ar fi succesiunea (oevoluie succede alteia), alegerea sau conflictul (selectarea uneia din mai multe posibilitide evoluie), concurena (startarea unor evoluii paralele), sincronizarea (ncheierea unorevoluii paralele), excluderea mutual (condiionarea reciproc a unor evoluii), care pot fi
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
20/256
Aplicaii ale reelelor PetriO. Pstrvanu, M. Matcovschi, C. Mahulea4formulate n contexte temporizate sau netemporizate. Pe de alt parte, informaiile
coninute de alte modaliti de descriere a dinamicii sistemelor cu evenimente discrete(automate, sisteme de ateptare, reprezentri de stare max-plus) pot fi grefate cu uurin pe arhitectura modelelor de tip reea Petri. n plus, studiul reelelor Petri este uzualacompaniat de o abordare la nivel vizual, prin reprezentri grafice expresive. Drepturmare, literatura de specialitate raporteaz o larg utilizare a reelelor Petri n modelare,analizi proiectare, acoperind o arie semnificativ de procese controlate secvenial, de ladinamica unor entiti individuale (David et Alla, 1992), (Zurawski and Zhou, 1994), ladinamica unor entiti colective (sisteme mari eng. large scale systems), ca de exemplu,sisteme hardware i software (Peterson, 1981), (Levi and Agrawala, 1990), procesechimice (Yamalidou et al., 1990), sisteme de fabricaie (Desrochers and Al-Jaar, 1993),
(Zhou and DiCesare, 1993), (Lewis et al., 1995), roboi i sisteme de transport (Freedman,1991), (Cassandras et al., 1995), sisteme de comunicaii (Nissanke, 1997).
Lucrarea noastr caut s ilustreze pe parcursul a opt capitole cele mai importantedintre aspectele punctate anterior. Modul de nlnuire al capitolelor a avut n vederecreterea treptat a complexitii problematicii, precum i posibilitatea stabilirii unorconexiuni relevante inter-capitole. S-a reuit, astfel, o acoperire a elementelor definitorii
pentru formalismul reelelor Petri i utilizarea acestuia n practic, contextuluinetemporizat fiindu-i alocate primele cinci capitole, iar contextului temporizat,
urmtoarele trei capitole.Contextul netemporizat trateaz modelarea, analiza i proiectarea din perspectiva
dinamicilor coordonate doar la nivel logic, momentele de apariie a evenimentelor fiindordonate ca succesiune, dar fr precizarea lor concret i fr utilizarea unor durateconcrete de timp. n context temporizat, modelarea, analiza i proiectarea includinformaii concrete privind momentele i/sau duratele de timp, considerate de naturdeterminist sau stohastic.
n linii mari vorbind, proprietile calitative ce fac obiectul tehnicilor de analizisintez pe modele netemporizate sunt robuste n raport cu orice variaie de factur
temporal i se refer la funcionarea ansamblului sistemic fr incidente de procedurtehnic (ntr-o manier repetabil, fr aglomerri sau blocri n realizarea serviciilor). Pede alt parte, analiza i sinteza pe modele temporizate vizeaz proprietile cantitative nsensul de indici de performan asociabili unor criterii de eficien economic (de tipulservicii realizate n unitatea de timp, grad de ocupare a prestatorilor de servicii etc.).
Fiecare din cele opt capitole conine un breviar teoretic urmat de un numr deaplicaii ce exemplific conceptele, rezultatele i metodele din breviar. n aplicaii se faceapel att la reele Petri fr semnificaii de modele ale unor dinamici reale (ce permitexersarea noiunilor teoretice), ct i la reele Petri care modeleaz funcionarea unorsisteme fizice (ce asigur ancorarea cunotinelor teoretice pe terenul intuiiei
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
21/256
Cap. 1. Introducere 5
fenomenologice). Pentru aceleai sistemele fizice sunt construite iniial modele
netemporizate concentrnd atenia asupra proprietilor comportamentale i structurale, iarulterior se adaug informaii legate de timp, spre a utiliza modelele temporizate ninvestigaii cantitative. Soluiile prezentate pentru aplicaii au n vedere, deopotriv,varianta analitic i cea asistat de calculator; n general, pentru aplicaiile decomplexitate redus sunt date rezolvri analitice, pentru aplicaiile de complexitate mediesunt date rezolvri analitice i asistate de calculator, iar pentru aplicaiile de complexitatemare sunt date numai rezolvri asistate de calculator.
Pentru studiile prin simulare precum i pentru rezolvarea asistat de calculator aaplicaiilor se utilizeaz software-ul Petri Net Toolbox(Mahulea et al., 2001), (Matcovschi
et al., 2002), (Matcovschi et al., 2003), proiectat, implementat i testat n cadrul Catedreide Automatic i Informatic Industrial a Facultii de Automatic i Calculatoare dinIai. Acest software a fost anume conceput pentru exploatare sub mediul MATLAB careeste familiar instruirii n Automatic. Ajuns deja la versiunea 2.0, el ofer o interfa cuutilizatorul foarte prietenoas ce asigur definirea reelelor sub form grafic, simulareacu faciliti multiple de animaie i accesul la instrumente de analizi sintez ce acopertoate dezvoltrile teoretice din prezenta lucrare.
Ultimul capitol al lucrrii realizeaz o trecere n revist a principalelorcaracteristici ale software-uluiPetri Net Toolbox, n limba englez, urmrind structura de
informaii disponibil n Help-ul on-line al produsului. Dup cunotinele noastre, PetriNet Toolboxeste singurul produs disponibil sub MATLAB care utilizeaz reelele Petri nexplorarea sistemelor cu evenimente discrete, exceptnd dou pachete elaborate recent, ianume (Svdov and Hanzlek, 2001), care nu posed interfa grafic proprie, utilizndinterfaa software-ului Petri-Maker (Mortensen, 2003), i (Iordache and Antsaklis, 2002),care nu are nici un fel de interfa grafic, topologiile reelelor fiind descrise directmatriceal.
Elaborat n spiritul tendinelor actuale de cercetare i educaie din domeniul
sistemelor cu evenimente discrete, cartea are un pronunat caracter de originalitate pentruliteratura tehnic din Romnia, raportat la lucrrile existente cu tematic asemntoare(Stnescu et al., 1996), (Leia i Atilean, 1998), (Jucan i iplea, 1999), (Mnzu iCernega, 2001). Acest caracter rezult din ponderea acordat aplicaiilor, din maniera lorde prezentare detaliat (menit s ilustreze att tratarea analitic, ct i modul de implicarea software-ului) i din rolul jucat de Petri Net Toolboxca instrument ce extindesubstanial aria de exploatare a MATLAB-ului. Totodat precizm faptul c tehnicileilustrate prin aceste aplicaii nu fac uz de ntreaga instrumentaie pus la dispoziie de teoriareelelor Petri, ci, ca urmare a unei selecii judicioase, se concentreaz pe acele abordri acror eficien a fost validat de un numr mare de implementri practice, raportate nliteratur. Consecveni ideii de a menine accesibilitatea i complexitatea noiunilor teoretice
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
22/256
Aplicaii ale reelelor PetriO. Pstrvanu, M. Matcovschi, C. Mahulea6la un nivel mediu, am procedat la excluderea unor tematici mai dificile, care sunt referite
frecvent drept extensii ale formalismului de baz al reelelor Petri, cum ar fi: reele Petricolorate (pentru care recomandm cititorului lucrrile (Jensen, 1992, 1994, 1997)), reele Petriinterpretate, continue i hibride (pentru care recomandm cititorului lucrarea (David et Alla,1992)), reele Petri n supervizare (pentru care recomandm cititorului lucrarea (Antsaklisand Moody, 1998).
n conceperea, structurarea i realizarea acestei cri, o contribuie major a avutlucrarea (Pastravanu, 1997) pe baza creia s-au organizat cursul i edinele de aplicaii ladisciplina Sisteme dinamice cu evenimente discrete de la Facultatea de Automatic iCalculatoare din Iai. edinele de aplicaii respective au oferit i cadrul necesar pentru
verificarea robusteii software-ului Petri Net Toolbox i pentru validarea pe o baterielarg de teste a algoritmilor implementai.
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
23/256
Capitolul2Modele de tip reea Petri netemporizat
Breviar teoretic
BT2.1. Conceptul de reea Petri netemporizat
O reea Petri (eng. Petri net) se compune dintr-un tip particular de graf orientatnotatNi ostare iniial 0 , denumitmarcaj iniial(eng. initial marking).
GrafulNal reelei Petri este orientat, ponderat i bipartit, constnd din dou tipuri denoduri, denumite poziii sau locaii (eng. place) i respectiv tranziii (eng. transition); arceleorientate (eng. arc) unesc fie o poziie cu o tranziie, fie o tranziie cu o poziie. Nu exist arcecare s conecteze dou poziii ntre ele, sau dou tranziii ntre ele. Ca simbolizare grafic,
poziiile se reprezint prin cercuri, iar tranziiile prin bare sau dreptunghiuri. Arcele suntetichetate cu ponderile lor (eng. weight) (valori ntregi, pozitive); un arc cu ponderea kpoate fi
privit ca o mulime de karce paralele cu pondere unitar. Etichetele pentru pondere unitar seomit n reprezentrile grafice uzuale.
Un marcaj sau ostare atribuie fiecrei poziii un numr ntreg mai mare sau egal cu 0.Dac un marcaj atribuie poziiei p ntregul 0k , se spune cp este marcat cu kjetoane(eng. token). Din punct de vedere grafic, n cercul corespunztor poziiei p se vor plasa kdiscuri. Orice marcaj Meste un vector coloanmdimensional, unde m noteaz numrul total
al poziiilor. Componenta i a vectorului [ ]1 2( ) ( ) ( )T
mM M p M p M p= , notat ( )iM p
reprezint numrul de jetoane din poziia pi. Din motive de concizie a scrierii, n unelecapitole ale acestei cri un marcaj M va fi, de asemenea, reprezentat prin m-uplul( )1 2( ), ( ), , ( )mM p M p M p= .
Aspectele prezentate anterior se formalizeaz matematic prin urmtoarea definiie.
O reea Petri este un cvintuplu, ( )0, , , ,P T F W M =PN n care:
{ }1 2, , , mP p p p= este mulimea poziiilor sau locaiilor (finit); { }1 2, , , nT t t t = este mulimea tranziiilor (finit); ( ) ( )F P T T P este mulimea arcelor; { }: 1, 2,3,W F este funcia de ponderare a arcelor; { }0 : 0,1,2,3,M P este funcia de marcaj iniial.
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
24/256
Aplicaii ale reelelor PetriO. Pstrvanu, M. Matcovschi, C. Mahulea8Cteva comentarii sunt necesare pentru a aprofunda detaliile acestei formalizri:
1. MulimilePi Tsunt disjuncte, P T= .2. Pentru a asigura obiectul definiiei de mai sus, mulimile P i T satisfac condiia
P T .3. Definiia funciei de ponderare se poate extinde pe mulimea tuturor perechilor ordonate
din ( ) ( )P T T P , considernd ( ) ( ) { }: 0,1,2,3,...W P T T P , cu observaia c,
pentru acele perechi care nu sunt n mulimea F, valoarea funciei W este 0 i acesteperechi nu sunt reprezentate grafic. Mulimea Fcorespunde perechilor a cror pondereeste nenuli numai acestea sunt reprezentate grafic.
4. Definiia unei reele Petri consider implicit c toate poziiile reelei pot conine un numrorict de mare de jetoane. Se spune c reeaua este cu capacitate infinit.
5.
O structur de reea PetriN= (P, T,F, W) fr nici o specificaie referitoare la marcaj seva nota cuN, notaie care desemneaztopologia reelei.6. O reea Petri cu un marcaj iniial 0 se va nota prin 0( , )N .7. O reea Petri cu un marcaj oarecare Mse va nota prin ( , )N .n problemele de modelare ce utilizeaz conceptele de condiii i evenimente, poziiilereprezint condiii i tranziiile reprezint evenimente. O tranziie (eveniment) posed unnumr de poziii de intrare i ieire, care reprezintpre-condiii i respectiv post-condiii
pentru evenimentul n cauz. Prezena unui jeton ntr-o poziie trebuie neleas ca valoarelogic adevrat pentru condiia asociat respectivei poziii.
BT2.2. Terminologie uzual
Dac o poziie p este att poziie de intrare, ct i de ieire pentru o tranziie t, atunci pi tformeaz o buclautonom (eng.self-loop). O reea Petri care nu conine bucle autonome senumete pur (eng. pure). O bucl autonom poate fi ntotdeauna transformat ntr-o buclneautonom prin adugarea simultan a unei poziii i a unei tranziii formale (eng. dummy).Orice reea impur poate fi transformat ntr-o reea pur.
O reea Petri se numete ordinar (eng. ordinary) dac toate arcele sale au pondereunitar. Dac ntr-o reea Petri exist cel puin un arc a crui pondere este mai mare dect 1,atunci se spune c reeaua respectiv estegeneralizat.
Fie F mulimea tuturor arcelor unei reele Petri N. Se numesc mulimepredecesor(eng.pre-set) i mulimesuccesor(eng.post-set) a tranziiei t(fig. BT2.2.1.(a)) dou mulimide poziii definite prin:
{ }| ( , )t p p t F = = mulimea tuturor poziiilor de intrare ale lui t;
i, respectiv, prin:{ }| ( , )t p t p F = = mulimea tuturor poziiilor de ieire ale lui t.
Se numesc mulimepredecesori mulimesuccesora poziiei p (fig. BT2.2.1.(b)) doumulimi de tranziii definite prin:
{ }| ( , )p t t p F = = mulimea tuturor tranziiilor de intrare ale luip;
i, respectiv, prin:{ }| ( , )p t p t F = = mulimea tuturor tranziiilor de ieire ale luip.
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
25/256
Cap. 2. Modele de tip reea Petri netemporizat 9
Fig. BT2.2.1.Ilustrarea grafica mulimilor predecesori succesor(a) Mulimile de poziii t i t ; (b) Mulimile de tranziii p i .
Acelai mod de notare, i anume { } , { } , se utilizeaz pentru a desemna mulimeapredecesori, respectiv, succesor a unei mulimi de tranziii sau a unei mulimi de poziii,notat generic{ } . Evident, mulimile predecesori succesor ale unei mulimi de tranziii sunt
dou mulimi de poziii, iar mulimile predecesori succesor ale unei mulimi de poziii suntdou mulimi de tranziii.
BT2.3. Validarea i executarea tranziiilorn reele cu capacitate infinit evoluia strilor
Marcajul unei reele Petri are semnificaia de stare a reelei i se poate modifica nconformitate cu urmtorul procedeu denumit regula tranziiei (validare i executare) (ilustraren AP2.1).
a) Se spune c o tranziie teste validat (eng. enabled) dac fiecare poziie de intrare(predecesor) p a lui t este marcat cu cel puin ( , )W p t jetoane, unde ( , )W p t
noteaz ponderea arcului de lap la t.b) O tranziie validat poate sau nu s fie executat sau declanat (eng. fired), dup
cum evenimentul asociat tranziiei are sau nu loc.c) Executarea unei tranziii validate ndeprteaz ( , )W p t jetoane din fiecare poziie de
intrare (predecesor) p a lui t i adaug ( , )W t p jetoane la fiecare poziie de ieire
(succesor)p a lui t, unde ( , )W t p este ponderea arcului de la tlap.
O tranziie fr nici o poziie de intrare se numete tranziie surs (eng. source). Otranziie fr nici o poziie de ieire se numete tranziie receptor (eng. sink). Modul deoperare al acestor tranziii este urmtorul:
a) O tranziie surs este necondiionat validat (fr a fi obligatoriu ca s se execute).Executarea ei produce jetoane.
b) Executarea unei tranziii receptor consum jetoane, fr a produce jetoane.
n teoria reelelor Petri netemporizate se consider c executarea unei tranziii nuconsum timpi cjetoanele pot rmne n poziii pentru orice duratde timp (orict de mic
sau orict de mare). ntruct executarea unei tranziii este instantanee, se consider ctranziiile se execut numai secvenial, adic nu se poate vorbi de dou tranziii executate
t
t t
poziii de intrarepentru t
poziii de ieirepentru t
(a)
tranziii de intrarepentrup
tranziii de ieirepentrup
p p
p
(b)
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
26/256
Aplicaii ale reelelor PetriO. Pstrvanu, M. Matcovschi, C. Mahulea10simultan (sau n paralel). Aceste presupuneri fac ca modelul de tip reea Petri netemporizat sfie utilizat numai pentru investigarea proprietilor logice, calitative, care nu depind de timp.
Pentru o reea Petri N cu un marcaj iniial M0, urmrind executarea secvenial atranziiilor, se pot determina marcajele succesive ale reelei. Procesul de modificare amarcajului (strii) reelei poate fi descris ntr-o manier sintetic printr-un arbore sau printr-ungraf (diferit de graful reelei Petri!), ce poart denumirea de arbore, respectiv, graf deaccesibilitate (eng. reachability tree/graph) (ilustrare n AP2.4). Aceste concepte sunt detaliaten BT3.3 din capitolul 3, cu referire la situaia mai general a arborelui/grafului de acoperire(eng. coverability tree/graph).
BT2.4. Unele extensii pentru reele Petri netemporizate
BT2.4.1. Reele Petri cu capacitate finit
Pentru regula de validare a unei tranziii prezentat anterior s-a presupus c fiecare poziie arecapacitate infinit. n modelarea sistemelor fizice este firesc a considera o limit superioar anumrului de jetoane pe care l poate conine fiecare poziie, asociind fiecrei poziii pcapacitatea sa (eng. capacity), notatK(p), definit ca numrul maxim de jetoane ce pot ficoninute np. O astfel de reea se numete cu capacitate finit.
ntr-o reea cu capacitate finit, pentru validarea unei tranziii t este necesarurmtoarea condiie suplimentar: numrul de jetoane n fiecare poziie de ieire p a lui tnu
poate s depeasc capacitatea poziiei respective,K(p), atunci cnd ts-ar executa (ilustrare n
AP2.1). n acest caz, regula tranziiei se va numi regula stricta tranziiei spre a o deosebi decea enunat n paragraful BT2.3, care mai este uneori referit drept regula simpla tranziiei.
Fiind dat o reea Petri de capacitate finit (N, M0) este posibil de aplicat fie regulastrict a tranziiei direct pentru reeaua (N, M0), fie regula simpl a tranziiei pentru o reeatransformat adecvat, notat ( 0, N ). Presupunnd c reeaua N este pur, urmtorul
algoritm permite construcia reelei ( 0, N ) plecnd de la (N, M0), prin metoda poziiilor
complementare:Pas 1. Pentrufiecare poziiep, se adaug o poziie complementarp', al crei marcaj iniial
este dat de 0 0( ) ( ) ( )p K p M p = .
Pas 2. ntrefiecare tranziie ti unele poziii complementare p'se traseaz arce suplimentare,(t,p') sau (p',t), cu ponderile W(t, p') = W(p,t), respectiv W(p',t) = W(t,p), astfel nctsuma jetoanelor n poziiapi n poziia complementar corespunztoarep's fie egalcu capacitateaK(p), att nainte, ct i dup executarea tranziiei t(adic s se asiguresatisfacerea condiiei ( ) ( ) ( )p M p K p + = ).
Subliniem faptul cmetoda nu adaugtranziii suplimentare (ilustrare n AP2.2). Grafurile deaccesibilitate ale reelelor (N, M0) i ( 0, N ) sunt izomorfe n sensul c prezint aceleai
secvene posibile de executare a tranziiilor.
BT2.4.2. Reele cu probabilitii prioriti
n unele modele de tip reea Petri dou sau mai multe tranziii modeleaz evenimente dintrecare unul i numai unul se poate produce la un moment dat (n conflict). Implicit se consider
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
27/256
Cap. 2. Modele de tip reea Petri netemporizat 11
c probabilitile de apariie a acestor evenimente sunt egale. n cazul n care aceast presupunere nu este n conformitate cu sistemul fizic modelat, probabilitile de apariie a
evenimentelor n conflict pot fi asignate n mod explicit ca probabiliti de executare atranziiilor care modeleaz evenimentele respective (ilustrare n AP2.5).
De asemenea, atunci cnd se dorete a impune modul de alegere a tranziiei careurmeaz a fi executat dintre dou sau mai multe tranziii validate simultan se poate utiliza oreea Petri cuprioriti care const dintr-o reea Petriobinuiti o relaie de ordine parialntre tranziiile reelei (ilustrare n AP2.3).
BT2.4.3. Reele cu arce inhibitoare
Introducerea arcelor inhibitoare extinde capacitatea de modelare a reelelor Petri. Un arc
inhibitor conecteaz o poziie la o tranziie i are rolul de a inversa logica de validare iexecutarea a acesteia. Tranziia respectiv este validat numai dac numrul de jetoane dinpoziia de intrare a arcului inhibitor este strict mai mic dect ponderea arcului. Arcul inhibitorse reprezint grafic printr-un segment ce conecteaz cele dou noduri, avnd un mic cerc lacaptul dinspre tranziia inhibat. Nu exist arce inhibitoare care conecteaz o tranziie la o
poziie (ilustrare n AP2.3).
BT2.5. Modelarea cu reele Petri ordinare
BT2.5.1. Structuri tipice utilizate n modelare
Structurile tipice utilizate n modelarea sistemelor cu evenimente discrete prin intermediulreelelor Petri sunt prezentate sintetic n fig. BT2.5.1.
Fig. BT2.5.1.Structuri tipice utilizate n modelarea cu reele Petri
(a) Conflict, decizie sau alegere liber; (b) Alegere liberextins;
(c) Alegere asimetric; (d) Paralelism sau concuren; (e) Confuzie simetric;(f) Confuzie asimetric; (g) Sincronizare; (h) Post-condiie comun.
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
28/256
Aplicaii ale reelelor PetriO. Pstrvanu, M. Matcovschi, C. Mahulea12BT2.5.2. Capacitatea de modelare a unor subclase de reele Petri ordinare
Reelele Petri ordinare pot fi organizate n subclase definite pe baza unor considerentetopologice. Apartenena unei reele la o anumit subclas este reflectat n capacitatea demodelare, n sensul c reeaua nu va putea conine toatestructurile tipice definite n seciunea
precedent, ci numai o parte din acestea (n funcie de subclasa creia i aparine). Aceastpartajare pe subclase va servi, n seciunea BT3.5 din capitolul 3, la formularea unor tehnicidedicate analizei anumitor proprieti comportamentale pentru aceste tipuri de reele.
Maina de stare (eng.state machine) este o reea Petri ordinar n care fiecare tranziie tare o singur poziie de intrare i o singur poziie de ieire. Formaliznd, avem:
: | | | | 1t T t t = = , (BT2.5.1)
unde | | noteaz cardinalitatea (numrul de elemente al) mulimii .
Referindu-ne la structurile tipice ilustrate n fig. BT2.5.1, se constat c o main destare conine numai alegeri libere i post-condiii comune (ilustrare n AP2.5).
Graful marcat(eng. marked graph) sau graful de evenimente (eng. event graph) este oreea Petri ordinar n care fiecare poziie p are o singur tranziie de intrare i o singurtranziie de ieire. Formaliznd, avem
: | | | | 1p P p p = = . (BT2.5.2)
n termenii structurilor tipice ilustrate n fig. BT2.5.1, se constat c un graf marcatconine numai concurene i sincronizri (ilustrare n AP2.4 i AP2.5).
Termenul de graf marcat sau graf de evenimente se datoreaz faptului c acest tip dereea Petri poate fi reprezentat printr-ungraf orientatunipartit(care posed un singur tip denoduri!) n care nodurile corespund tranziiilor (adic evenimentelor), arcele corespund
poziiilor, iar jetoanele se plaseazpe arce (adic arcele sunt marcate) (ilustrare n AP2.4).Astfel regula tranziiei se aplic nodurilor grafului orientat, o executare constnd, n aceastreprezentare grafic, n ndeprtarea unui jeton de pe fiecare din arcele de intrare ale noduluin cauzi adugarea unui jeton pe fiecare din arcele de ieire.
Reeaua cu alegeri libere (eng.free choice net) este o reea Petri ordinar n care oricearc ce iese dintr-o poziiep este caracterizat prin una din urmtoarele dou situaii:
(i) estesingurularc care pleac dinp,sau:
(ii) estesingurularc care intr ntr-o anumit tranziie (adic n acea tranziie nu maiintr nici un alt arc, n afara celui ce pleac dinp).
Avem urmtoarea formalizare:
: | | 1 sau ( ) { }p P p p p = . (BT2.5.3)
Aceast descriere matematic este echivalent cu implicaia:
1 2 1 2 1 2, : | | | | 1p p P p p p p
= = . (BT2.5.4)
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
29/256
Cap. 2. Modele de tip reea Petri netemporizat 13
Condiia (BT2.5.4) trebuie privit ca o relaxare a condiiei (BT2.5.2). Totodat,condiia (BT2.5.4) relaxeazi condiia (BT2.5.1).
Examinnd aceste particulariti prin prisma structurilor tipice ilustrate n fig. BT2.5.1,se constat c o reea cu alegeri libere conine numai alegeri libere, post-condiii comune,concurene i sincronizri.
Reeaua cu alegeri libere extinse (eng. extended free-choice net) este o reea Petriordinar n care este satisfcut condiia:
1 2 1 2 1 2, :p p P p p p p
= . (BT2.5.5)
Condiia (BT2.5.5) trebuie privit ca o relaxare a condiiei (BT2.5.4).n termenii structurilor tipice discutate, ilustrate n fig. BT2.5.1, se constat c o reea
cu alegeri libere extinse conine numai alegeri libere, alegeri libere extinse, post-condiiicomune, concurene i sincronizri.
Reeaua cu alegeri asimetrice (eng. asymmetricchoice net), sau reeaua simpl, este oreea Petri n care este satisfcut condiia:
1 2 1 2 1 2 1 2, : ( sau )p p P p p p p p p
. (BT2.5.6)
Condiia (BT2.5.6) trebuie privit ca o relaxare a condiiei (BT2.5.5).Referindu-ne la structurile tipice ilustrate n fig. BT2.5.1, se constat c o reea cu
alegeri asimetrice conine numai alegeri libere, alegeri libere extinse, alegeri asimetrice, post-condiii comune, concurene, sincronizri i confuzii asimetrice (ilustrare n AP3.5 i AP3.6).
Examinnd definiiile subclaselor de reele Petri ordinare formulate mai sus, seconstat c ntre acestea exist relaiile de incluziune reprezentate grafic n fig. BT2.5.2.
Fig. BT2.5.2.Relaiile de incluziune ntre subclasele de reele Petri ordinare.
Mainide stare
(BT2.5.1)
Grafurimarcate
(BT2.5.2)
Reele cu alegeri libere(BT2.5.4)
Reele cu alegeri libere extinse(BT2.5.5)
Reele cu alegeri asimetrice(BT2.5.6)
Reele Petri ordinare
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
30/256
Aplicaii ale reelelor PetriO. Pstrvanu, M. Matcovschi, C. Mahulea14Tabelul BT2.5.1. sintetizeaz informaiile referitoare la capacitatea de modelare a
diferitelor subclase de reele Petri ordinare n raport cu structurile tipice ce au fost prezentate
n seciunea BT2.5.1.
Tab. BT2.5.1.Prezentare sintetica capacitii de modelare a diferitelor subclase de reele Petri.
Structur
Clas
Alegeri
libere
Alegeri
libere
extinse
Alegeri
asimetrice
Concu-
rene
Confuzii
simetrice
Confuzii
asimetrice
Sincro-
nizri
Post-
condiii
comune
Main de stare DA DA
Graf marcat DA DA
Reea cu alegeri
libereDA DA DA DA
Reea cu alegeri
libere extinseDA DA DA DA DA
Reea cu alegeri
asimetriceDA DA DA DA DA DA DA
Reea Petri
ordinarDA DA DA DA DA DA DA DA
Capacitatea de modelare crete n sensul acceptrii de noi structuri tipice, aceastcretere fiind perfect compatibil cu relaiile de incluziune stabilite ntre subclase n
paragraful anterior (vezi i fig. BT2.5.2). Dar, dup cum va reiei din seciunea urmtoare,creterea capacitii de modelare face ca criteriile de analiz a proprietilor comportamentales devin tot mai complexe i mai dificil de aplicat. Din acest motiv, insistm asupranecesitii elaborrii unor modele ct mai puin sofisticate, care s fie capabile s surprindacele detalii de funcionare ce trebuie avute n vedere pe parcursul analizei sau proiectrii.
Aplicaii
AP2.1.
Pentru reelele Petri cu topologia i marcajul iniial indicat n fig. AP2.1.1, s se precizezecare dintre tranziii sunt validate i marcajul ce rezult dup executarea fiecreia din acestetranziii n cazurile urmtoare:1. reelele au capaciti infinite;2. reelele au capaciti finite dup cum urmeaz:
(i) pentru reeaua din fig. AP2.1.1.(a): 1 3( ) ( ) 2K p K p= = , 2( ) 1K p = ;(ii)pentru reeaua din fig. AP2.1.1.(b): 1 2 3( ) ( ) ( ) 1K p K p K p= = = ;(iii)pentru reeaua din fig. AP2.1.1.(c): 1( ) 2K p = , 2( ) 3K p = , 3 4( ) ( ) 1K p K p= = .
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
31/256
Cap. 2. Modele de tip reea Petri netemporizat 15
p1
t1
p2
t2
p3t3
t4
p1
t1
p2
t2p3 t3
p1
t1
p2
p3
t3
t4
p4t2
t52
2
23
wObs. noteaz arc cu pondere w>1
(a) (b) (c)
Fig. AP2.1.1.Reelele Petri studiate n AP2.1.
Soluie
1. Aplicnd regula simpl a tranziiei reelei din fig. AP2.1.1.(a) cu marcajul iniial
( )0 2,1,0M = se obine:
tranziia t1 este validat deoarece ( ) ( )0 1 1 1,p W p t > ; prin executarea lui t1 se ajungedin 0 la marcajul ( )1 1,2,0M = ;
tranziia t2 este validat deoarece ( ) ( )0 2 2 2,p W p t = ; prin executarea lui t2 seajunge din 0 la marcajul ( )2 3,0,0M = ;
tranziia t3 este validat deoarece ( ) ( )0 1 1 3,p W p t > i ( ) ( )0 2 2 3,p W p t = ; prinexecutarea lui t3 se ajunge din 0 la marcajul ( )3 1,0,1M = .
Analog, pentru reeaua din fig. AP2.1.1.(b) cu marcajul iniial ( )0 1,1,0M = rezult:
tranziia t1 este validat deoarece ( ) ( )0 1 1 1,p W p t > ; prin executarea lui t1 se ajungedin 0 la marcajul ( )1 1,2,0M = ;
tranziia t2 este validat deoarece ( ) ( )0 2 2 2,p W p t = ; prin executarea lui t2 seajunge din 0 la marcajul ( )2 3,0,0M = ;
tranziia t3 este validat deoarece ( ) ( )0 1 1 3,p W p t > i ( ) ( )0 2 2 3,p W p t = ; prinexecutarea lui t3 se ajunge din 0 la marcajul ( )3 1,0,1M = .
Pentru reeaua din fig. AP2.1.1.(c) cu marcajul iniial ( )0 2,0,0,1M = , aplicarea regulii simple
a tranziiei conduce la: tranziia t1 este validat deoarece ( ) ( )0 1 1 1,p W p t > ; prin executarea lui t1 se ajunge
din 0 la marcajul ( )1 0,3,0,2M = ;
tranziia t5 este validat deoarece ( ) ( )0 4 4 5
,p W p t = ; prin executarea lui t2 se
ajunge din 0 la marcajul ( )2 4,0,0,0M = .
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
32/256
Aplicaii ale reelelor PetriO. Pstrvanu, M. Matcovschi, C. Mahulea162. innd cont de marcajele la care s-ar ajunge prin executarea tranziiilor validatedeterminate la punctul 1 i de capacitile finite precizate ale poziiilor, prin aplicarea regulii
stricte a tranziiei se obine:(i) pentru reeaua din fig. AP2.1.1.(a), singura tranziie validat este t3 deoarece
( ) ( )0 1 1 3,p W p t > , ( ) ( )0 2 2 3,p W p t = i ( ) ( ) ( )3 0 3 3 3,K p M p W t p> + ; prin
executarea lui t3 se ajunge din 0 la marcajul ( )3 1,0,1M = ;
(ii)pentru reeaua din fig. AP2.1.1.(b) sunt validate: tranziia t2 deoarece ( ) ( )0 2 2 2,p W p t = ; prin executarea lui t2 se ajunge
din 0M la marcajul ( )2 3,0,0M = ;
tranziia t3 deoarece ( ) ( )0 1 1 3,p W p t > , ( ) ( )0 2 2 3,p W p t = i( ) ( ) ( )3 0 3 3 3,K p M p W t p= + ; prin executarea lui t3 se ajunge din 0 la
marcajul ( )3 1,0,1M = ;
(iii)pentru reeaua din fig. AP2.1.1.(c) nici una dintre tranziii nu este validat.
AP2.2.
Transformai reeaua Petri cu capacitate finit din fig. AP2.2.1, ntr-o reea Petri cu capacitateinfinit.
( )
( ) ( ) ( )3
1 2 4
1K p
K p K p K p
=
= = =
Fig. AP2.2.1.Reeaua Petri cu capacitate finitstudiatn AP2.2.
Soluie
Utiliznd metoda poziiilor complementare cu referire la poziia p3, se adaug poziia 3p
astfel nct s fie satisfcute urmtoarele relaii:( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3 3 3
3 3 3 3
0 3 3 0 3
, , 1,
, , 1,
1 1 0.
W t p W p t
W t p W p t
M p K p M p
= =
= =
= = =
p2
p1
p3 t5
t3
p4
t2
t4
t1
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
33/256
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
34/256
Aplicaii ale reelelor PetriO. Pstrvanu, M. Matcovschi, C. Mahulea18ca n fig. AP2.3.2.(a), n lipsa altor precizri, cei doi consumatori vor avea drepturi egale de aconsuma, ceea ce nseamn c modelul nu rspunde n totalitate cerinelor din enun. Pentru a
include n model i informaiile referitoare la disciplina de consum, se va asigna prioritate 0tranziiei t3i, respectiv, prioritate 1 tranziiei t5.
O variant echivalent cu alocarea prioritilor o constituie controlul tranziiei t5printr-un arc inhibitor conform figurii AP2.3.2.(b); astfel, dacp3 conine jeton/jetoane, t5 vafi validat numai cndp5 nu conine jeton (adic primul consumator nu solicit produs).
(a) (b)
Fig. AP2.3.2. Modelul de tip reea Petri al sistemului cu un productori doi consumatori:
(a) asignnd tranziiei t3 prioritate mai mare dect tranziiei t5;(b) utiliznd arc inhibitor pe tranziia t5.
AP2.4.
Se consider un protocol de comunicaii, adaptat dup (Desrochers and Al-Jaar, 1993),reprezentat prin modelul din fig. AP2.4.1. Semnificaiile poziiilor i tranziiilor sunt
prezentate n tabelele AP2.4.1, respectiv AP2.4.2.1. S se precizeze succesiunea de executri de tranziii care, plecnd din marcajul iniial din
fig. AP2.4.1, asigur revenirea la acest marcaj.2. S se specifice succesiunea de evenimente corespunztoare transmiterii complete a unui
mesaj.3. S se precizeze clasa de reele Petri creia i aparine acest model.
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
35/256
Cap. 2. Modele de tip reea Petri netemporizat 19
t1
t5
t4
t6
t3
t2
p1 p2
p8p7
p3
p6
p4 p5
Fig. AP2.4.1. Modelul de tip reea Petri al unui protocol de comunicaii.
Tab. AP2.4.1. Semnificaiile poziiilor din modelul prezentat n fig. AP2.4.1.
Poziie Condiie
p1 Emitorul (E) pregtete mesajul.
p2 Buffer-ul de comunicaie (B) conine mesajul.
p3 Receptorul (R) este pregtit pentru recepie.
p4 (E) ateapt semnalul de confirmare (acknowledge ACK).
p5 (R) primete mesajul.
p6 (E) primete semnalul de confirmare (ACK).
p7 (B) conine semnalul de confirmare (ACK).
p8 (R) proceseaz mesajul primit.
Tab. AP2.4.2. Semnificaiile tranziiilor din modelul prezentat n fig. AP2.4.1.
Tranziie Eveniment
t1 (E) ncepe transmisia mesajului.
t2 (R) ncepe primirea mesajului
t3 (E) termin de primit semnalul de confirmare (ACK) i ncepe pregtirea unuinou mesaj.
t4 (R) termin primirea mesajului i ncepe transmisia semnalului de confirmare(ACK) i procesarea mesajului.
t5 (R) termin procesarea i ncepe pregtirea pentru recepionarea unui nou mesaj.
t6 (E) ncepe primirea semnalului de confirmare (ACK).
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
36/256
Aplicaii ale reelelor PetriO. Pstrvanu, M. Matcovschi, C. Mahulea20Soluie
1. Arborele de accesibilitate furnizat de Petri Net Toolboxn mod grafic i semnificaiamarcajelor sunt prezentate n fig. AP2.4.2. Se poate observa c, plecnd din marcajul iniialM0, succesiunea de executri de tranziii 1 2 4 5 6 3t t t t t t = asigur revenirea la acesta.
Fig. AP2.4.2.Arborele de accesibilitate pentru reeaua Petri din fig. AP2.4.1.
2. Pe baza semnificaiei fizice a tranziiilor din modelul studiat, succesiunii de tranziii determinat la punctul precedent i corespunde urmtoarea succesiune de evenimente care auloc la transmiterea complet a unui mesaj:
(E) ncepe transmisia mesajului (t1). (E) ncepe primirea semnalului de confirmare (ACK) (t2). (R) ncepe primirea mesajului (t
4).
(R) termin primirea mesajului i ncepe transmisia semnalului ACK i procesareasemnalului (t5).
(R) termin procesarea i ncepe pregtirea pentru recepionarea unui nou mesaj (t6). (E) termin de primit semnalul ACKi ncepe pregtirea unui nou mesaj (t3).
Observaie: Se poate observa c, n afar de secvena precizat anterior, mai exist ncdou secvene de executri de tranziii care, plecnd din marcajul iniial, asigur revenirea laacesta, i anume 1 2 4 6 5 3t t t t t t = i 1 2 4 6 3 5t t t t t t = . Deoarece duratele operaiilor care au
loc n sistemul fizic nu sunt implicate n modelul logic reprezentat de reeaua Petri
netemporizat, nu se poate preciza ordinea n care se vor executa tranziiile t5i t6. (Pentruinterpretarea n context temporizat, vezi AP6.2.)
-
8/6/2019 Pastravanu Aplicatii Retele Petri
37/256
Cap. 2. Modele de tip reea Petri netemporizat 21
3. Reeaua Petri prezentat n fig. AP2.4.1 face parte din clasa grafurilor marcate Datorittipului particular de reea, drept reprezentare grafic se poate utiliza un graf unipartit, conform
fig. AP2.4.3.
Fig. AP2.4.3. Modelul de tip graf marcat al protocolului de comunicaiireprezentat sub formde graf orientat unipartit.
AP2.5.
Se consider reeaua Petri avnd topologia din fig. AP2.5.1. Poziiile au capacitile
1( ) 1K p = i 2( ) 1K p = .
Fig. AP2.5.1. Topologia reelei Petri utilizatn AP2.5.
1. Pentru marcajul iniial 0 1( ) 1M p = i 0 2( ) 0M p = , s se execute simularea n variantaSteppentru 4 evenimente nregistrnd rezultatele simulrii ntr-un fiier de tip jurnal. Se va citijurnalul i