Partie 4 B: Homogénéisation des milieux aléatoires Bornes et estimations d’ordre deux

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S. DRAPIER 1

Méthodes de Changement d’Échelle : Homogénéisation des Milieux Aléatoires - Bornes et estimations d’ordre 2_______________________________________________________________________________________________________________________________

Partie 4 B: Homogénéisation des milieux Partie 4 B: Homogénéisation des milieux aléatoiresaléatoires

Bornes et estimations d’ordre deuxBornes et estimations d’ordre deux• 1 Principes généraux• 1.1 Microstructure et information statistique• 1.2 Chargement macrohomogène

• 2 Matériaux biphasés• 2.1 Polarisations locales et moyennes par phases• 2.2 Estimations de Hashin et Shtrikman• 2.3 Bornes de Hashin et Shtrikman• 2.4 Estimation de Mori et Tanaka• 2.5 Estimation autocohérente

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1.1 Microstructure et information statistique• Milieux aléatoires :Volume V fini constitué de r phases linéaires et homogènes occupant des volumes Vr disjoints et complémentaires.

Probabilité d’ordre deux (ou covariances) : Crs(h)

rc : fractions volumiques des diverses phases

probabilité que y phase r et que y+h phase s.

1cn

1rr

• Information statistique : isotropie de distribution des phases

1. Inclusion dans un milieu

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S. DRAPIER 3


1.2 Chargement macrohomogène V soumis à un chargement macrohomogène : et ont 2 échelles de variation : – fluctuent à l’échelle locale (microscopique) – des domaines R(x) connexes, translatés en x d’un domaine de référence R (volume élémentaire), tel que :

Champs macroscopiques quasi uniformes ou fluctuant à une échelle supérieure à celle de V.

).x((x) ),x((x) : taille(R)xx si,avec

,(x) ,(x) V x )x(R)x(R

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S. DRAPIER 4


Chargement et champs macroscopiques

(x),u(x)uu(x) V x

• Déplacement macro : u

• Écart entre déplacement réel u et ce champ macro :

u

.x(x)u V x

sont considérés uniformes à l’échelle de V.

,

S passant par x et de normale n :

u´ fluctuation locale d’intensité bornée avec .0)x(R

-u(x) = E.x

(x) = E+ ’(x)

<(x)> = E

<(x)> = (x).n = .n + ’(x).n

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S. DRAPIER 5


Conséquences de la macrohomogénéité : Indépendance des fluctuations du champ local vis à vis du détail des conditions aux limites : Calcul de et loin du bord de V sans connaître le détail des conditions aux limites sur V.

Lemme de Hill (relation de macrohomogénéité)

s. variationde échellesdeux avec C.A. .,A.S

,::vvv

= E

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Modules effectifs• Tenseur de localisation A(x) :

Un domaine V formé de constituants hétérogènes, soumis à un chargement macrohomogène se comporte comme un domaine homogène soumis à un même chargement, de même géométrie, et de modules effectifs équivalents LH (MH).

• Tenseur de concentration B(x) :

ij = Aijkl <

ij>

ij = Bijkl <

ij>

LH =<L:A>

MH =<M:B>

et par définition énergétiquew(E)=12 Eh : Lh: Eh Lh= <tA:L:A>

et par définition énergétique w()=12 h : Mh: h Mh= <tB:M:B>

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r

r

v

v

rr

n

rrrr

n

rrv

h

rr

n

rrrr

n

rrv

h

B

A

B:]MM[cMB:McB:MM

A:]LL[cLA:LcA:LL

r

r

12

11

12

11

B

A n][1, r

• Il ’suffit’ de connaître les moyennes des tenseurs de localisations des (n-1) phases de V pour calculer les propriétés linéaires effectives de V.

Malheureusement cette opération est impossible :description incomplète et complexe de la microstructure.

ESTIMATIONS - Infos STATISTIQUES

Ici: Approches en LOCALISATION

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S. DRAPIER 8


2. Matériaux biphasés

Champ local dans V biphasé est solution d’un problème de thermoélasticité :

On considère V constitué du matériau de référence (L0), homogène, soumis aux mêmes conditions aux limites que le milieu biphasé (L(x)) mais qui subit en plus des déformations de transformation hétérogènes caractérisées par un champ de polarisation (x) :

2.1 Polarisations locales et moyennes par phases

(x)= L0:(x) (x)

matériau de référencecontrainte dans le matériau

courant générée par une transformation, ou contrainte

résiduelle

(x) = [L(x) - L0] :(x)(si L(x) = L0 , polarisation nulle-> polarisation homogène dans inclusion HS)

Idée :

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S. DRAPIER 9


2211

2211

2211

cccc

ccE

• Moyennes par phases de la déformation, de la contrainte ou de la polarisation sont uniformes dans V c’est à dire macroscopiques :

E:]LL[:]LL[c

E:]LL[:]LL[c

h

h

11

122

2

21

211

1

1

1

• Moyenne de la polarisation sur une phase (i) :

,:L:]LL[ iiiiii 00

, ii contrainte et déformation moyennes dans la phase (i).

On vérifie

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S. DRAPIER 10


2.2 Estimation de Hashin et ShtrikmanObjet : estimer le champ local dans V, , par le champ

apparaissant dans le problème thermoélastique, *, sur le milieu homogène de référence L0 dans le cas où la polarisation est homogène par phase.

*0 :][ rrr LL ** ccE 2211

En supposant que l’on sache calculer ces moyennes par phases en fonction du chargement macro et des polarisations par phases :

][:c:P:PE

][:c:P:PE

120

120221

021

*2

210

220

1210

11*1

P

P

P0 tenseur d’ordre 4 dépendant de L0 et de la répartition des phases, dont dérivent les polarisations P0

ij.

Linéarité superposition des solutions élémentaires

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S. DRAPIER 11


Tenseurs de Hashin et Shtrikman 010* ][ LPL Soit le tenseur d’influence de Hill :

• On peut estimer les tenseurs de localisation pour chaque phase :

11*2

1

1* ]][[:][

rr

rrHSrr LLcLLAA

• Ce tenseur permet de calculer une estimation du tenseur des modules effectifs appelé tenseur des modules de Hashin et Shtrikman :

2

1

11*1*2

1

]][[:]][:[r

rrrrr

rHS LLcLLLcL

rr

rrH ALLcLL :][

2

211

112

11

*11221

HS ]]LL[:]LL[cI[:]LL[cLL

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S. DRAPIER 12


Hashin et Shtrikman : modules de compressibilité et cisaillement isotropes

Reste à préciser le milieu de référence

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S. DRAPIER 13


Polarisation homogène par phase

E:L:EE:L:EE:L:E HShHS

LHS- calculé à partir du plus grand minorantdes tenseurs des modules des constituants

2.3 Bornes de Hashin et Shtrikman

Encadrement du tenseur des modules effectifs tel que :on montre que

LHS-= LHS({3 inf(k1,k2), 2 inf(1,2)})

Si L10 L2

0 alors LHS(L10) LHS(L2

0)(au sens de l ’énergie potentielle macroscopique associée)

LHS+= LHS({3 sup(k1,k2), 2 sup(1,2)})LHS+ calculé à partir du plus petit majorantdes tenseurs des modules des constituants

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S. DRAPIER 14


1

11

n

rrr

n

rrrr

HS Tc:T:LcL

Matériau isotrope à phases isotropes [BOURGEOIS 94]

Généralisation à n phases,

• Tenseur de localisation des déformations :

• Tenseurs de Hashin et Shtrikman :

1

1

n

rrrrr Tc:TA 111

E

rmaxErmaxrr S:L:IS:LLTavec

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S. DRAPIER 15


Quelques propriétés

Les tenseurs de Hashin et Shtrikman sont les meilleures estimations

des modules effectifs avec des champs de polarisation homogènes par phase• Milieu de référence beaucoup plus souple que les constituants

LHS = LR

• Milieu de référence beaucoup plus rigide que les constituants

LHS = LV

VHShHSR LLLLL

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S. DRAPIER 16


Module d'Young pour un matériau composite isotrope de type Al/SiCp

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

fraction volumique (%)

E co

mpo

site

/E m

atric

e

Eshelby (FC)

EF

ReussVoigt

HS+

HS-

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2.4 Estimation de Mori et Tanaka

Ti=[Li-Lo]:[L*+Li]-1:[Po]-1

LHS=Lo+<T>:[I-Po:<T>]-1

• Matériau biphasé et polarisation homogène par phase :

Théorie de l'inclusion d'Eshelby avec le milieu infini ayant les propriétés de la matrice

avec<T>=ciTi

Si Lo=Lm LMT=Lm+ciTi:[I-ciPm:Ti]-1

Faibles concentrations :LMT = LFC

(renfort sphérique, répartition isotrope)

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S. DRAPIER 18


1

00

n

rrr

n

rrrr

MT Tc:T:LcL



• Estimation de Mori et Tanaka :

Lo : tenseur des modules de la matrice


1

0

n

rrrrr TcTA 111

Ero

Erorr S:L:ISLLTavec

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S. DRAPIER 19


Quelques propriétés

Si la matrice = phase la plus raide LMT=borne supérieure

Si la matrice = phase la plus souple LMT=borne inférieure

MT exact si faibles intéractions entre les phases

MT prend en compte la polarisation due à l'ensembledes inclusions voisines

Résultats satisfaisants jusqu'à ci # 10 à 20%

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S. DRAPIER 20


2.5 Estimation autocohérente

LAC=LHS(LAC)

Calcul par itération + critère de convergence

o)i(

HSo)i( LLL 1

• Hashin et Shtrikman :Hashin et Shtrikman :tenseur des modules

effectifs

Le milieu de référence Lo est le Milieu Homogène Equivalent,l'estimation du tenseur des modules effectifs est solution de :

• Estimation autocohérente :Estimation autocohérente :

définition implicite du tenseur des modules

Lo LHS(Lo)

tenseur des modules du milieu de référence

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S. DRAPIER 21


n

rrorro

AC A:LLcLL1



• Estimation autocohérente :

Lo : tenseur des modules de la matrice


11 AC

rACE

rr LL:L:SIA

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S. DRAPIER 22


Module d'Young pour un matériau composite isotrope de type Al/SiCp

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

fraction volumique (%)

E co

mpo

site

/E m

atric

e

Eshelby (FC)

ReussVoigt

HS+

HS-

EF

AC

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