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Optique quantique en régime femtoseconde

Nicolas Treps

Laboratoire Kastler BrosselUniversité Pierre et Marie Curie

École Normale SupérieureCNRS

Ecole prédoctorale des HouchesImpulsions femtosecondes : des concepts fondamentaux

aux applications

De l’intérêt du régime femtoseconde

La très grande puissance crête permet une non-linéaritépar photon très importante.La localisation spatio-temporelle permet de bien contrôleret/où utiliser les états produitsLes peignes de fréquence permettent d’adresser les deuxrégimes de l’optique quantique : photons uniques etvariables continues

Ce dont on va parler

Absorption à 2 photons

Barak Dayan, AviPe’er, Asher AFriesem, YaronSilberberg, Phys.Rev. Lett. 93 023005(2004)

Métrologie

B. Lamine, C. Fabre et N. Treps, Phys. Rev. Lett. 101123601 (2008)

Réduction de bruit quantique

R. Dong, J. Heersink, J.F. Corney, P.D. Drummond,U.L. Andersen, G. Leuchs, Opt. Lett. 33, 116 (2008)

Chats de Schrödinger

A. Ourjoumtsev, HJeong, RTualle-Brouri, PGrangier, Nature 448784 (2007)

Sommaire général

Partie I : Des impulsions faîtes de photons

1 Le champ électromagnétique est quantique2 Processus à deux photons en régime quantique

Partie II : Mesure et lumière non-classique

3 Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique4 Mesure et métrologie

Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique

Menu

1 Le champ électromagnétique est quantiqueLa notion de photonGénération de paires de photons via l’optique non linéaireL’expérience d’Hong, Ou et MandelMise en forme de photons par accord de phase

2 Processus à deux photons en régime quantiqueContrôle cohérent et absorption à deux photonsSomme de fréquence et lumière comprimée


Introduction : de l’existence du photon

La nature quantique du champ électromagnétique :Einstein, par des arguments thermodynamiques (1905)Kimble, Dagenais, Mandel : photon uniques créés parfluorescence atomique.

Comment prouver que l’on a des photons uniques ?

Kimble, Dagenais, Mandel, Phys. Rev. Lett. 39 (1977)


Fonctions d’autocorrélation

Premier ordre

g(1)(τ) ∝ 〈E∗(t + τ)E(t)〉Signal de l’interféromètre :

1 + g(1)(τ) ∝ 〈|E(t + τ) + E(t)|2〉

Fluctuations de phase

Deuxième ordre

τ

g(2)(τ) = 〈I(t + τ)I(t)〉/〈I(t)〉2

Fluctuations d’intensité

Handbury-Brown and Twiss, Nature jan 7 1956, p. 27


Interprétation du g(2)

En physique classique, et pour un phénomène stationnaire, on a :

g(2)(τ) = I(t)I(t + τ)/I(t)2

g(2)(τ →∞) = 1 car pas de corrélations aux temps longs

g(2)(0) = I(t)2/I(t)2≥ 1 (car (I − I)2 = I2 − 2II + I

2= I2 − I

2 ≥ 0).

g(2)(0) ≥ 1 (1)

Le g(2) d’une source classique présente une bosse en τ = 0. La largeur decette bosse correspond à la longueur de cohérence.En physique quantique, g(2)(0) correspond aux coïncidences de photons surles deux photodétecteurs : il peut être égal à zéro !


Un seul photon ?

Source Thermique

1

2

τ

g(2)

Groupement de photons

Source laser

1

2

τ

g(2)

Photons aléatoires

Photon unique

1

2

τ

g(2)

Dégroupement de photons


Kimble, Dagenais, Mandel

Mesure de la fluorescence d’atomes de sodium


Générer des photons corrélés via l’optique non linéaire

Idée générale

ωp = ωs + ωi~kp = ~ks + ~ki

PDC produit directement des photons intriqués

Photons émis en même temps = corrélés en temps

Accord de phase : corrélés en impulsion

En type II : corrélation en polarisation


Fréquences générées

Accord de phase

Les fréquences produitesdépendent de :

la fréquence de la pompe etdonc de sa largeur spectraleα(ωs + ωi)

la courbe d’accord de phaseφ(ωs, ωi)

Produit de la largeur de la pompepar la courbe d’accord de phase


Comme source de photons uniques

Hong et Mandel,Expermimental realization of alocalized one-photon state,Phys. Rev. Lett. (1986) vol. 56pp. 58-60


Utilisé comme source d’intrication : en type II

|ψ〉 =1√2

(|H〉 |V 〉+ |V 〉 |H〉)P Kwiat, K Mattle, H Weinfurter, A Zeilinger, NewHigh-Intensity Source of Polarization-EntangledPhoton Pairs, Phys. Rev. Lett. (1995)


La lame semi-réfléchissante

1

2

3

4 E3 =1√2

(E1 + E2)

E4 =1√2

(−E1 + E2)

Le champ électromagnétique est quantique

le champ électrique E = iE aannihilation et création [a, a†] = 1

l’énergie H = ~ω(a†a + 12 )

le nombre de photons N = a†aDe plus, on travaille en représentation de Heisenberg (ce sont les opératerusqui évoluent, pas la fonction d’onde).


Toute l’optique quantique dans une lame

La lame séparatrice “quantique”

Les opérateurs champ électriquesuivent les transformations deschamps classiques

1

2

3

4a3 = 1√

2(a1 + a2)

a4 = 1√2(−a1 + a2)

Fonction de corrélation = taux de coïncidences

i3 = a†3a3 =12

(a†1a1 + a†2a2 + a†1a2 + a†2a1)

i4 = a†3a3 =12

(a†1a1 + a†2a2 − a†1a2 − a†2a1)

i3 + i4 = i1 + i2

w34 = a†3a†4a3a4 =14

(−a†21 + a†2

2 )(−a21 + a2

2) Taux de coïncidences


Intérférences à 2 photons

|ψ〉 = |1, 1〉〈ψ|i3|ψ〉 = 〈ψ|i4|ψ〉 = 1

〈ψ|w34|ψ〉 = 0

Il y a interférence destructive entre les deux chemins croisés : il fautfaire la somme des amplitudes de probabilité

Ne peut être observée que si les deux photons arrivent en même tempset sont dans le même mode (spatial et temporel).


Hong Ou Mandel

τ=50fs

Pompe : continue à 351nm

Coïncidence si différence detemps d’arrivée des photons< 7,5 ns

C.K. Hong, Z.Y. Ou et L. Mandel, PRL 59, 2044(1987).


Génération paramétrique : bonne source ?

Accord de phase

Conservation de l’énergie + accord de phase :le photon annoncé n’est jamais le même

filtrage spatio-temporel

mise en forme de la courbe de gain

État produit : |ψ〉 = |0, 0〉+RR

dωidωsf (ωi , ωs)a†i a†s |0, 0〉 6= |0, 0〉+ κ |1, 1〉

Pompe large : réduire la contrainte sur l’énergie


Mettre en forme la courbe d’accord de phase

Accord de phase “vertical” et pompe large

La fonction se factorise

|ψ〉 = |0, 0〉+RR

dωidωsh(ωi)g(ωs)a†i a†s |0, 0〉 = |0, 0〉+ κ |1, 1〉

P. J. Mosley, J. S. Lundeen, B. J. Smith, A. B. U’Ren, C. Silberhorn, I. A. Walmsley, PRL 100, 133601 (2008).


"Bons" photons uniques

HOM sans filtrage spectral

P. J. Mosley, J. S. Lundeen, B. J. Smith, A. B. U’Ren, C. Silberhorn, I. A. Walmsley, PRL 100, 133601 (2008).


Absorption à deux photons

g

e

g

e

Probabilité de transition :

pf (∞) ∝˛Z

E(ω)E(ωfg − ω)

˛2

Deux photons coïncidents :impulsion courteSomme des fréquences bien définie :spectre étroit

)Impulsion limitée par trans-formée de Fourier !

Mais...

Sensible à la somme des phases

Mise en forme d’impulsion

lumière paramétrique !


Lumière paramétrique et absorption à deux photons

Accord de phase

kp = ki + ks

Largeur spectrale très grande∼ 100nm

Équivalent à une impulsioneffective de 20fs

Pour une pompe monochromatique

Ep(ωp) →Z

δ

f (δ)hEs(

ωp

2+ δ)e−i(

ωp2 +δ)t + Ei(

ωp

2− δ)e−i(

ωp2 −δ)t

idδ

avec Es(ωp

2+ δ) ∝ E∗

i (ωp

2− δ)


Absortion à deux photons en régime quantique

Impulsion pompe :3ns (0, 04nm)

Résolutiontemporelle : 23fs

Largeur spectrale :100nm

Barak Dayan, Avi Pe’er, Asher AFriesem, Yaron Silberberg, Phys.Rev. Lett. 93 023005 (2004)


Contrôle cohérent quantiqueMise en forme spectrale du signal par une fonction carrée


Somme de fréquence

Processus Expérimentalement

Somme de fréquence à bas flux

Les deux photons doivent être coïncidentsOn mesure denouveau la largeurspectrale de la“fonction d’onde” duphoton.

Ressemble à uneautocorrélation


Sauf que...

Lumière paramétrique ressemble à :

Et si on l’atténue

L’atténuation du flux de paires et l’atténuation du faisceaudoivent produire des résultats différents ! !


Dépendance avec l’intensité incidente

Atténuation d’un état non-classique : change la statistiqueAtténuation d’un état classique : la statistique reste poissonienne

Dayan et al. Nonlinear Interactions with an Ultrahigh Flux of Broadband Entangled Photons. Physical Review Letters(2005)


Conclusion du premier cours

La lumière est quantiquel’optique non-linéaire permet de créer des sources dephotons uniques ou de paires de photonsLes largeurs spectrales associées sont très grandeson peut utiliser des techniques de mise en forme similairesà ce qui se fait pour les impulsionspeut être mis directement en évidence par des processusd’absorption à 2 photons

Que se passe-t-il quand on n’est plus sensible au photon ?Quand on détecte le champ ?

Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie

Menu

3 Beaucoup de photons : lumière classique et non-classiqueConcepts généraux, réduction de bruit quantiqueFonction de Wigner, états non-gaussiens

4 Mesure et métrologieMétrologie des fréquences et du tempsMesure de temps au delà de la limite quantique standard


Le régime des variables continues

Quand il y a beaucoup de photons

Faisceau de 1mW ∼ 1016photons/s

Il n’est plus possible de compter les photonsLa nature quantique du champ se manifeste comme unbruit dans les mesures


Mesurer le champ

La photodéctection

Représentation de Fresnel

E(t) = Ex cosωt + EY sinωt

EX et EY sont les quadratures du champ

On peut définir les observablesquantiques associées, qui ne commutentpas : ∆Ex∆EY ≥ E0


Mesurer le champ

La photodéctection

Les fluctuations quantiques

i = a†a : le bruit quantique se manifeste dans la variance de i

∆2 i = 〈i2〉 − 〈i〉2 : on définit δ i = i − 〈i〉

〈δ i〉 = 0〈δ i2〉 = ∆2 i

Pour un état cohérent (produit par un laser), les photons suivent unestatistique poissonienne :

〈δ i2〉 = 〈i〉 ∆Nombre de photons =p

Nombre de photons


Photons Jumeaux

Génération paramétrique intra-cavité

J. Mertz, T. Debuisschert, A. Heidmann, C. Fabre,and E. Giacobino, Opt. Lett. 16 1234 (1991)


La détection homodyne

Oscillateur local

Champ àmesurer

34

1

2

Si le champ à mesurer est levide, on mesure lesfluctuations du vide ! !

i3 − i4 = a†1a2 + a†2a1

δ(i3 − i4) = δa2〈a†1〉+ δa†2〈a1〉+ δa1〈a†2〉+ δa†1〈a2〉

si : 〈a1〉 >> 〈a2〉E1 = iE a1

considéré comme classiqueon écrit 〈a1〉 = αeiθ

δ(i3 − i4) = α(δa2e−iθ + δa†2eiθ) = α√

2δX θ

Il vient :δX θ=0 proportionnel à EX

δX θ=π/2 proportionnel à EY

Les opérateurs de quadrature

Il est possible de les mesurer

Ils ne commutent pas : [δX θ=0, δX θ=π/2] = 1


Bruit quantique standard et états comprimés

Le bruit quantique standard

Etat cohérent : champ moyen + fluctuationsdu vide : ∆X+ = ∆X− = 1

Fluctuations d’intensité en√

N

États non-classiques


Mesurer la réduction de bruit quantique

Le bruit quantique standard

Oscillateur local

34

1

i(t)

Expérience

Le bruit du champ incident

Oscillateur local

34

1

i(t)

Expérience

Les intensités mesurées sont analysées à l’analyseur despectreOn compare les spectres de bruit, et on donne le résultaten dB


Réduction de bruit par effet Kerr

Ruifang Dong, Joel Heersink, Joel F. Corney, Peter D.Drummond, Ulrik L. Andersen, Gerd Leuchs,Experimental evidence for Raman-induced limits toefficient squeezing in optical fibers. Optics Letters,Vol. 33, Issue 2, pp. 116-118


Fonction de Wigner en optique quantique

On peut représenter l’état quantique du champ par une fonction de Wigner.La probabilités de mesure Pθ(x) selon une quadrature X θ s’écrit :

Pθ(x) =

ZW (x cos θ − p sin θ, x sin θ + p cos θ)dp

Pour un état gaussien

En toute généralité : W (x , p) = 12π

Reiνp〈x − ν/2|ρ|x + ν/2〉dν


Fonction de Wigner en optique quantique

On peut représenter l’état quantique du champ par une fonction de Wigner.La probabilités de mesure Pθ(x) selon une quadrature X θ s’écrit :

Pθ(x) =

ZW (x cos θ − p sin θ, x sin θ + p cos θ)dp

Quelques propriétés

W (x , p) est une fonction de “quasi-probabilité” qui permet de prédiretous les résultats de mesure

Quand elle est partout positive, W (x , p) est une densité de probabilitéqui se comporte comme une statistique classique.

Mais, comme une fonction de Wigner classique, elle peut-être négative :la mécanique quantique est basée sur des amplitudes de probabilités.

Fonction de Wigner d’un état cohérent ou comprimé :

W (x , p) =1π

e−(x−〈x〉)2

s − (p−〈p〉)21/s


Fonction de Wigner pour un photon unique

La fonction de Wigner est négative : elle ne peut plus être considérée commeune distribution de probabilité, seules ses projections le sont.

La fonction de Wigner peut-être reconstruite à partir de la mesure de toutesles probabilités marginales

Source : manuscrit de thèse d’Alexeï Ourjoumstev


Tomographie d’un ou deux photons


Tomographie d’un ou deux photons

A. Ourjoumtsev, R. Tualle-Brouri, and P. Grangier, Phys. Rev. Lett. 96, 213601 (2006).


Le chat de Schrödinger

Expériences de pensée : superposition de deux états macroscopiquesorthogonaux

En optique

On superpose deux états cohérents discernables

|ψ〉 =|α〉+ |−α〉√

2


Vers les "chats de Schrödinger"


Vers les "chats de Schrödinger"

A. Ourjoumtsev, H Jeong, R Tualle-Brouri, P Grangier, Nature448 784 (2007)


Le peigne de fréquence : un outil métrologique

Groupe de François Biraben, Laboratoire Kastler Brossel


Et pour le temps (ou la distance), aussi

J. Ye, “Absolute measurement of a long, arbitrarydistance to less than an optical fringe” Opt. Lett. 29,1153 (2004).

Cui et al. Experimental demonstration of distancemeasurement with a femtosecond frequency comblaser. Journal of the European Optical Society-Rapidpublications (2008)


Limite ultime dans le positionnement "spatio-temporel"

Limite de Cramer Rao

On partage une impulsion entre un point A et un point B : la quantitéconservée est

u = t − x/c

porteuse : ω0

L’impulsion est caractérisée par largeur spectrale : ∆ωc’est une gaussienne

Le bruit dans la mesure vient de la nature quantique du lien lumineux

Pour du bruit poissonnien, la variance minimale de tout estimateur de u est

∆u =1

2√

Nqω2

0 + ∆ω2

Avec 10mW, 10fs et un temps d’intergration d’une seconde :

∆u ≈ 5.10−23s = 50yoctosecondes


Comment atteindre cette limite ?

Soit une impulsion gaussienne : E = E0v0(u) = g0(u)e−iω0u

Supposons que cette impulsion acquiert un retard ∆u petit :

v0(u −∆u) ≈ v0(u)−∆udv0(u)

du

˛u=0

= v0(u) +∆uu0

w1(u)

avec w1(u) ∝ iω0v0(u) + ∆ωv1(u), v1(u) ∝ dg0(u)

due−iω0u ,

1u0

=qω2

0 + ∆ω2

En image :


Extraire l’information du champ

Vive la détection homodyne !

Dans la détection homodyne, la mesure projette sur le mode de l’oscillateurlocal

Les impulsions du signal et de l’oscillateurlocal doivent être cohérentes

La mise en forme de l’oscillateur localpermet de choisir le mode signal analysé

Comme pour toute détection homodyne, ona accès à la valeur de la quadrature duchamp dans le mode et avec la phasedéterminée par l’oscillateur local


Résultat de la mesure

On atteint la limite de Cramer Rao

Le signal mesuré est 2E0∆u/u0 = 2√

N∆u/u0

Le bruit dans la mesure est le bruit sur le mode mesuré : le bruit du videpour un état cohérent : 1

Un rapport signal à bruit de 1 est donc atteint pour

∆u =u0

2√

N=

1

2√

Nqω2

0 + ∆ω2

On peut aller au delà de cette limite

En modifiant le bruit quantique du mode mesuré : état comprimé !

B. Lamine, C. Fabre and N. Treps, Quantum Improvement of Time Transfer between Remote Clocks. PhysicalReview Letters (2008) vol. 101 (12)


Mesure sans signal

Origine du bruit dans la mesure

En absence de signal, la détectionhomodyne mesure un mode vide.Le bruit dans la mesure est le bruit dans cemode.Résultat très général : toute mesure sur lechamp est sensible à un seul mode(potentiellement compliqué) du champPour améliorer la mesure, il faut modifierles propriétés quantique de ce mode


État comprimé avec un OPAL’amplification paramétrique insensible à la phase

L’injection se faituniquement sur le signal.

L’amplification paramétrique sensible à la phase

L’injection se fait sur lesdeux champs.

Génération d’état comprimé, même si le faisceau injecté est le vide.Un état comprimé est fait de paires de photons


Intermède : fonction de Wigner négative

Principe

Résultat

A. Ourjoumtsev, R. Tualle-Brouri, J. Laurat,and P. Grangier, Science 312, 83 (2006)


Lumière comprimée avec un peigne de fréquence

Oscillateur Paramétrique Optique pompé en mode Synchrone

Les modes comprimés

ddz

aωi =X

j

g(ωi , ωj)Ap(ωi + ωj)a†ωj → ddz

bj = Λj b†j

G. de Valcarcel, G. Patera, N.Treps and C. Fabre, Multimodesqueezing of frequency combs.Phys Rev A (2006) vol. 74 pp.061801


Contrôle cohérent des fluctuations quantiques ?


Faut-il conclure ?

La lumière est “aussi quantique” avec beaucoup dephotons qu’avec peu de photonsIl est possible de dépasser les limites données par le bruitquantique du videIl est possible de réaliser une zoologie d’état quantiques,utiles en particulier pour l’information quantiqueDes applications pratiques restent à trouver...

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