12 Olympiade Pan Africaine de Mathmatiques

Pretoria, Afrique du Sud 6 14 AVRIL 2002

Premier jour : 10 Avril 2002 Dure : 4 h 30

INSTRUCTIONS

1. Les instructions de calcul (micro-ordinateurs, calculatrices, rgles calculer etc) Et les documents (notes manuscrites ou extraits de livres) ne sont pas autoriss en salle dexamen.

2. Seuls les stylos, crayons, rgles et compas peuvent tre utiliss.

Problme 1

Trouver toutes les fonctions f : N0 N0 ( ou N0 = }{ .;.......2;1;0 est lensemble des entiers naturels) tels que }{ 1)()( += nfnff pour tout n N0 et le minimum de lensemble }{ 1.;...)2(;)1(;)0( estfff .

Problme 2

Soit AOB un triangle rectangle dangle droit AOB ; C et D sont des points mobiles sur les droites AO et BO respectivement tels que AC = BD. Montrer quil existe un point P par lequel passe la mdiatrice de CD.

Problme 3

Montrer que pour tout entier n > 0 il existe un entier k >0 tel que kn2 admette une reprsentation dcimale ne contenant que les chiffres 1 et 2.

12 Olympiade Pan Africaine de Mathmatiques

Pretoria, Afrique du Sud 6 14 AVRIL 2002

Deuxime jour : 11 Avril 2002 Dure : 4 h 30

INSTRUCTIONS

3. Les instructions de calcul (micro-ordinateurs, calculatrices, rgles calculer etc..) Et les documents ( notes manuscrites ou extraits de livres ) ne sont pas autoriss en salle dexamen.

4. Seuls les stylos, crayons, rgles et compas peuvent tre utiliss.

Problme 4

Sept tudiants dune classe comparent leurs notes dans les 12 matires tudies. Ils observent que deux tudiants quelconques nont pas toutes leurs notes identiques sur lensemble des 12 matires. Montrer quon peut choisir six matires telles que deux quelconques des tudiants aient des notes diffrentes dans lune au moins de ces six matires.

Problme 5

Soit ABC un triangle dont les angles sont aigus. Le cercle de diamtre AB coupe les cots AC et BC en E et F respectivement. Les tangentes menes au cercle aux points E et F se rencontrent en P. montrer que P se trouve sur la hauteur issue du sommet C.

Problme 6

Montrer que si a1 a2 .. an 0 et a1 + a2 +..+ an = 1, alors 1)12(......53 2232221 ++++ nanaaa