Huitièmes Olympiades de Mathématiques du Mali Bamako, 20 au 22 mars 2007

Concours de Présélection Première journée - Mardi 20 mars 2007

ÉPREUVE N° : I Durée : 4h30

Exercice 1 ...............................................................................................................................................................(7 points)

Résoudre dans IR l’équation : 3443 2 +− xx + 1143 2 −− xx = 9

Exercice 2 ...............................................................................................................................................................(7 points)

Déterminer deux suites numériques, l’une arithmétique, l’autre géométrique, ayant chacune quatre termes et telles que la somme des premiers termes des deux suites soit égale à 13 ; celle des seconds égale à 25 ; celle des troisièmes à 53 et celle des quatrièmes à 129.

Exercice 3 ...............................................................................................................................................................(7 points)

On considère la figure ci-dessous : ABCD est un carré, BCE et CDF sont des triangles équilatéraux. Démontré que les points A, E, F sont alignés.

A D

F

C B

E

Septièmes Olympiades de Mathématiques du Mali Bamako, 20 au 22 mars 2007

Concours de Présélection Deuxième journée - Mercredi 21 mars 2007

ÉPREUVE N° : II Durée : 4h30

Exercice 4 ...............................................................................................................................................................(7 points)

Soient a, b, c trois entiers naturels non nuls tels que : a2 + b2 = c2

Démontrer que le produit abc est divisible par 60

Exercice 5 ...............................................................................................................................................................(7 points)

Deux cercles (C) et (C ’’’’ ) de même rayon se coupent en P et Q. D’un point O de C on mène les droites (OPR) et (OQS) qui coupent respectivement (C ’’’’ ) en R et S.

Montrer que l’orthocentre du triangle OPQ est le centre du cercle circonscrit au triangle ORS.

Exercice 6 ...............................................................................................................................................................(7 points)

Résoudre dans IR l’équation : cos2x + cos22x + cos23x = 1 puis porter sur le cercle trigonométrique (C) les points images des solutions.

Septièmes Olympiades de Mathématiques du Mali

Bamako, 20 au 22 mars 2007

Concours de Sélection – Dernière journée Mercredi 28 mars 2007

Exercice 1 :

1°) Soit m unentier naturel non nul. On cherche à déterminer des entiers naturels non nuls x , y , z , t

tels que : mx

t

t

z

z

y

y

x =+++ .

a) Montrer que le problème n’a pas de solution pour m ∈ { 2 ,3}.

b) Déterminer x , y , z , t pour m = 4 .

2°) Soit n réels strictement positifs a1 , a2 , ……, an tels que ∑=

=n

iia

1

1

Montrer que : )1(1

ii

n

iaa −∏

=≤ ( )

n

n

n

n2

1− .

Exercice 2 :

1°) Soit l’équation définie pour tout réel a, dans ℝ par :

3x4 – 4x3 – 6(1 + a2)x2 + 12(1 – a2)x + 4a + 12 = 0.

Démontrer que, si a >6, toutes les racines sont réelles.

2°) En considérant la figure ci-dessous, déterminer les entiers naturels m et n qui n’ont pas de diviseur commun.

Exercice 3 :

Soit un polynôme de degré n à coefficients positifs et n nombres réels x1 , x2 ,…, xn strictement positifs ; k un entier compris entre 0 et n. Montrer que :

1°) nx

x

x

x

x

xkn

n

knkn

≥

++

+

−−−

13

2

2

1 ......... .

2°) )1(......13

2

2

1 Pnx

xP

x

xP

x

xP n ≥

++

+

.

3°) [ ] 2

2

1

2

3

2

2

2

1 )1(....... Pnx

xP

x

xP

x

xP n ≥

+

+

.

B

A

C

AB = 3m + n BC = 2m + n AC = m + n

AD = n

D