Sixièmes Olympiades de Mathématiques du Mali Bamako, 05 au 08 mai 2005

Première Journée Jeudi 05 mai 2005

Epreuve N°1 Durée : 4 h 30 Exercice 1 Soit le triangle de Pascal suivant : N° de ligne Ligne 0 1 Ligne 1 1 1 Ligne 2 1 2 1 Ligne 3 1 3 3 1 Ligne 4 1 4 6 4 1 ……… .. .. .. .. … Trouver 4 lignes sur lesquelles il y a 3 termes consécutifs d’une suite arithmétique. Exercice 2 Trouver tous les entiers relatifs k tels que (k4 + k3 + k2 + k + 1) soit un carré parfait ; c'est-à-dire de la forme q² où q est un entier relatif. On pourra montrer que :

(2k2 + k)2 < 4q2 ≤ (2k2 + k + 2)2.

Exercice 3 Le plan étant rapporté à un repère orthonormé direct ( )vuO ;; , on considère un point P de coordonnées (p ; 0) et un point Q de coordonnées (0 ; q) telles que (p + q) reste égal à un réel constant. On construit le carré PRQS de sens direct et de diagonale [PQ] . Montrer que l’un des points R ou S reste fixe et trouver le lieu géométrique de l’autre point lorsque P et Q varient.

Sixièmes Olympiades de Mathématiques du Mali Bamako, 05 au 08 mai 2005

Deuxième Journée Vendredi, 06 mai 2005

Epreuve N°2 Durée : 4 h 30 Exercice 4

Soit p et q deux réels supérieurs à 1 tels que : 111 =+qp

Montrer que ∀x , y ∈ ℝ *+ ,

q

y

p

xxy

qp

+≤ .

Exercice 5 Soient trois cercles de même rayon ayant un point commun O et trois intérieurs à un triangle ABC. On suppose que chaque cercle est tangent à deux côtés du triangle. Démontrer que les centres des cercles inscrit et circonscrit au triangle ABC et le point O. Exercice 6 Un cycle de trois conférences a connu un succès constant. Chaque séance a compté le même nombre d’auditeurs. Cependant, la moitié de ceux qui ont suivi la première conférence, ne sont plus revenus ; un tiers des auditeurs de la seconde conférence n’ont assisté qu’à cette séance. Un quart des auditeurs de la dernière conférence n’ont assisté à aucun des deux autres. Il y a eu un total de 300 inscrits et chaque inscrit a suivi au moins une conférence. Dénombrer les auditeurs qui ont suivi chaque conférence et combien y en a-t-il qui ont suivi trois ; deux ; ou une seule conférence.