ロボットソフトウェア特論 (3)suehiro/class2019/presen/lecture...2019年度前学期 電気通信大学大学院情報理工学研究科情報学専攻 ロボットソフトウェア特論
三本木高校SSH Special Lecture 2013三本木高校特別講義2013 2 田中和之 自己紹介...
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三本木高校特別講義 1 数列と漸化式からの 方程式の数値解法への展開 東北大学 大学院情報科学研究科 応用情報科学専攻 田中 和之(Kazuyuki Tanaka) [email protected] http://www.smapip.is.tohoku.ac.jp/~kazu/ 2013年8月5日
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三本木高校特別講義 1
数列と漸化式からの 方程式の数値解法への展開
東北大学 大学院情報科学研究科 応用情報科学専攻 田中 和之(Kazuyuki Tanaka) [email protected]
http://www.smapip.is.tohoku.ac.jp/~kazu/
2013年8月5日
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三本木高校特別講義 2
田中和之 自己紹介
2013年8月5日
1985年3月 東北大学工学部電子工学科卒
1989年3月 東北大学大学院工学研究科電子工学専攻博士課程修了（工学博士）
1989年4月 東北大学工学部助手
1994年7月 室蘭工業大学情報工学科助教授
1997年3月～1998年2月 グラスゴー大学統計学科客員研究員
1999年4月 東北大学大学院情報科学研究科助教授
2007年4月 東北大学大学院情報科学研究科教授(現職)
学部は工学部情報知能システム総合学科の応用数学関連科目を中心に担当．
主な著書 田中和之著: 確率モデルによる画像処理技術入門, 森北出版(2006). 田中和之，林正彦，海老澤丕道共著: 電子情報系の応用数学, 朝倉書店(2007). 田中和之著: ベイジアンネットワークの統計的推論の数理, コロナ社(2009)
http://www.smapip.is.tohoku.ac.jp/~kazu/
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三本木高校特別講義 3
東北大学工学部
2013年8月5日
エネルギーインテリジェンスコース コミュニケーションネットワークコース 情報ナノエレクトロニクスコース メディカルバイオエレクトロニクスコース コンピュータサイエンスコース 知能コンピューティングコース 応用物理コース
機械知能・航空工学科
情報知能システム総合学科(電気情報物理工学科) 化学・バイオ工学科 材料科学総合学科 建築・社会環境工学科
東北大学青葉山キャンパス 情報知能システム総合学科 検索
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三本木高校特別講義 4
東北大学工学部 情報知能システム総合学科における
数学の位置づけ
2013年8月5日
線形代数学 （ベクトル・行列）
解析学
ディジタル信号処理
アルゴリズム
数理統計学 （確率・統計）
ソフトウェア工学
全学教育の数学 専門科目の数学 数学が特に必要となる専門科目の例
離散数学
情報理論 応用数学
複素関数 フーリエ解析 ラプラス変換
論理式 集合論 グラフ理論
通信理論
制御理論
量子力学
電気回路学
電磁気学
計算機学
数列・級数 偏微分・重積分 微分方程式
パターン認識
データマイニング
人工知能
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三本木高校特別講義 5
今日の講義の流れ
2013年8月5日
漸化式
反復計算による方程式の数値解法
数列
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三本木高校特別講義 6 2013年8月5日
数列と一般項
,,,,2,1,0 210 aaanan 数列とはある規則に従って数を順に並べたもの
,11,9,7,5,3
12
54321
aaaaa
nan
n をどんどん大きくすると an もどんどん大きくなる．
,30
32, ,
3
5,2,3
21
30321
aaaa
nan
0
1
2
3
0 10 20 30
020406080
0 10 20 30
n をどんどん大きくすると an は次第に1に近づく．
a1 を初項という．
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三本木高校特別講義 7 2013年8月5日
数列と漸化式
22121)1(2
12
1
nn
n
anna
na
．に対する漸化式という
を一般項 1221 naaa nnn
)(2
2)(
11 nnnn afaaa
xxf
)(
)(
)(
3
34
23
12
1
afa
afa
afa
a
初項を決めた上で漸化式を使うことで 数列の値を順番に計算できる．
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三本木高校特別講義 8 2013年8月5日
数列と漸化式
22121)1(2
12
1
nn
n
anna
na
．に対する漸化式という
を一般項 1221 naaa nnn
同様に
)(
1
21
21)( 1 nn afa
x
xf
1
21
21
21 1
n
nn
a
an
a
)(
)(
)(
3
34
23
12
1
afa
afa
afa
a
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三本木高校特別講義 9
2013年8月5日
数列と漸化式
で与えられる場合初項
，が漸化式数列
25.04
1
)1(2}{ 1
nnnn aaaa
)(
)(
)(
3
34
23
12
1
afa
afa
afa
a
n an an+1 1 0.2500000 0.3750000
2 0.3750000 0.4687500
3 0.4687500 0.4980468
4 0.4980468 0.4999923
5 0.4999999 0.4999999
6 0.5000000 0.5000000
7 0.5000000 0.5000000
-
三本木高校特別講義 10
2013年8月5日
数列と漸化式
で与えられる場合初項
，が漸化式数列
25.04
1
)1(2}{ 1
nnnn aaaa
)(
)(
)(
3
34
23
12
1
afa
afa
afa
a
x
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
xy
)1(2 xxy
),(),( 21 aayx
),(),( 32 aayx
),(),( 43 aayx y
プロットしてみる．
平面上に
を
),(
),(),( 1
yx
aayx nn
-
三本木高校特別講義 11
2013年8月5日
数列と漸化式
で与えられる場合初項
，が漸化式数列
9.0
)1(2}{ 1 nnnn aaaa
)(
)(
)(
9.0
34
23
12
1
afa
afa
afa
a
n an an+1 1 0.9000000 0.1800000
2 0.1800000 0.2952000
3 0.2952000 0.4161139
4 0.4161139 0.4859262
5 0.4859262 0.4996038
6 0.4996038 0.4999999
7 0.4999999 0.5000000
-
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
三本木高校特別講義 12
2013年8月5日
で与えられる場合初項
，が漸化式数列
9.0
)1(2}{ 1 nnnn aaaa
)(
)(
)(
3
34
23
12
1
afa
afa
afa
a
x
xy
)1(2 xxy
),(),( 21 aayx
),(),( 32 aayx
),(),( 43 aayx
y
平面上でのプロットの ),(),(),( 1 yxaayx nn
),(),( 54 aayx
-
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
三本木高校特別講義 13
2013年8月5日
)1(21 nnn aaa
xy
)1(2 xxy
y
平面上のプロットの ),(),(),( 1 yxaayx nn
の解に近づいている．方程式
の交点つまりと
)1(2
)1(2
xxx
xxyxy
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
)1(2 xxy
xy
初期値
初期値
)(1 nn afa を繰返すことで
)(xfx 方程式
の解を求められるかも．
-
三本木高校特別講義 14 2013年8月5日
反復法（Iteration Method）
),3,2,1( )(1 nafa nn
次の操作をanがほとんど変わらなくなるまで繰返す
)(xfx の解のひとつを数値的に計算する
常に解が得られるわけではない
初期値a1による． f(x)のグラフの形による．
（ヒント：解の付近のグラフの接線の傾きが重要）
-
三本木高校特別講義 15 2013年8月5日
課題１
)1(21 nnn aaa 漸化式 の初期値a1を
2
10 1 a 1
2
11 a 11 a01 a
の４つの場合に分けて数列を計算し，
の解に収束する場合としない場合に 分類してみよう．
)1(2 xxx
-
三本木高校特別講義 16 2013年8月5日
課題２
)1(1 nnn aaa 漸化式
の初期値をa1=0.25と設定して
5.1 25.35.0
の５つの場合に分けて数列を計算し，
の解に収束する場合としない場合， 収束しないがどのような振舞いをするかで 分類してみよう．
)1( xxx
58.2
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三本木高校特別講義 17 2013年8月5日
課題３
)sin(2
31 nn aa 漸化式
の初期値をa1=0.25と設定して
数列を計算し，
の解に収束するかどうか確かめてみよう．
)sin(2
3xx
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三本木高校特別講義 18 2013年8月5日
課題４
)sin(1 nn aa 漸化式
の初期値をa1=0.25として
12
1
の４つの場合に分けて数列を計算し，
の解に収束する場合としない場合， 収束しないがどのような振舞いをするかで 分類してみよう．
)sin(xx
52
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三本木高校特別講義 19 2013年8月5日
課題５
n
n
a
a
na
2
2
1101
101
漸化式
の初期値をa1=0.25として数列anを計算し， 様々のβ（>0）の値に対して
の解 x を求めて，横軸に β， 縦軸に解 x をとり，グラフを書いてみよう．
x
x
x
2
2
101
101
