NOUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

SARRAUNotions sur la théorie de l’élasticitéNouvelles annales de mathématiques 3e série, tome 7(1888), p. 503-552<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1888_3_7__503_0>

© Nouvelles annales de mathématiques, 1888, tous droitsréservés.

L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales demathématiques » implique l’accord avec les conditionsgénérales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).Toute utilisation commerciale ou impression systématiqueest constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ouimpression de ce fichier doit contenir la présente men-tion de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

( 5o3

NOTIONS SUR LA THÉORIE DE L'ÉLASTICITÉ ;PAR M. SARRAU,

Membre de l'Institut.

L'exposé qui suit est la reproduction de Leçons pro-fessées à l'École Polytechnique. La théorie de l'élasticitéa été récemment introduite dansles programmes de cetteÉcole et le nombre des leçons qui lui sont consacréesest nécessairement fort restreint. On a pensé qu'il ne se-rait pas sans intérêt pour l'enseignement de publier unrésumé qui, en raison de sa brièveté même, offre Tav a n-tage de ne présenter que les parties strictement essen-tielles d'une théorie dont les éléments sont épars dansun grand nombre de Traités et de Mémoires originaux.

I. — THÉORIE DES TEJVSIOJNS INTÉRIEURES.

1. Définition. — Soit un système de points matériels,infiniment rapprochés, dans lequel on suppose des forcesintérieures. Imaginons, dans ce système, un élémentplan dont l'aire soit oj} le plan P de cet élément, indé-finiment prolongé, partage le système en deux partiesA et B. Considérons, parmi les actions exercées par Asur 13, celles dont la direction traverse w et supposonsque l'on opère leur réduction comme si B était un solideinvariable. On admet que le sjstème de ces forces estréductible à leur résultante appliquée au centre de gra-vité M de l'élément plan (* ), et cette résultante R est ce

(i) En fait, le système des forces considérées est réductible à larésultante R appliquée au centre de gravité de l'élément plan et àun couple dont l'ordre infinitésimal est supérieur de deu\ unités àcelui de la résultante; on ne tient pa*> compte de rc couple.

(jue Ton appelle la tension elementaire sur celle deslaces de l'élément plan qui est contiguê à A.

La resultante R est généralement oblique à l'élément.Si elle est normale à cet élément et dirigée \evs A, ellereprésente une fraction; si, encore normale à cet élé-ment, elle est dirigée vers B, elle représente une pression ;si elle est comprise dans le plan de l'élément, on l'ap-pelle tangentielle.

L2. La tension élémentaire,, sur celle des laces de l'élé-ment qui est contiguè à B, s'obtiendrait de même encomposant celles des actions exercées par B sur À dontla direction traverse o>. En vertu du principe de Factionet de la réaction, cette nouvelle résultante est égale etopposée à la précédente, de sorte que les tensions élé-mentaires sur les deux faces d'un élément plan quel-conque sont égales et opposées.

3. Il résulte immédiatement de la définition précé-dente que, si l'on considère dans le système un volumeV limité par une surface quelconque, le système desactions exercées par les points extérieurs à V sur lespoints intérieurs est équivalent au système des tensionsélémentaires exercées sur les faces extérieures de tousles éléments de la surface limite.

i . Divisons la résultante R par Faire OJ; on admetque le quotient tend vers une limite finie quand co tendvers zéro, et cette limite E est ce que l'on appelle la tensionpar unité de surface, ou simplement, la tension au pointJM sur le plan P. En considérant co comme infinimentpetit, on peut poser R = Eco, de sorte que la tensionélémentaire s'obtient en multipliant la tension par Fairede l'élément.

<v>. La tension E, sur des plans P parallèles, menés

( 5o5 )par tous les points d'un système, varie d'un point à unautre en intensité et en direction ; de plus, en un mêmepoint M, elle varie avec l'orientation du plan P; enfin,s'il y a mouvement intérieur, pour un point et uneorientation déterminés, la tension varie avec le temps.

Si donc ou désigne par

a\ jr, z les coordonnées du point M ;a, p, y les cosinus directeurs de la normale au plan P

dirigée vers la région contiguë à celle des faces de ceplan à laquelle se rapporte la tension ;

X, Y, Z les composantes de la tension \

les quantités X, Y, Z sont, en général, des fonctions desvariables (.r, y, z\ a, p, y; t) qui, si elles étaient déter-minées, feraient connaître à chaque instant la directionet l'intensité de la tension élémentaire sur un élémentquelconque.

Nous allons établir que la détermination de ces troisfonctions revient à celle de six nouvelles fonctions dequatre variables seulement (x, y, z, t) et que, de plus,ces nouvelles fonctions sont liées entre elles par troiséquations aux dérivées partielles, linéaires du premierordre.

Ces diverses relations résultent de la nécessité qu'uneportion quelconque du système soit en équilibre sousl'action des tensions élémentaires exercées sur sa sur-face et des forces qui sollicitent sa masse.

6. Afin d'exprimer les conditions de cet équilibre,nous considérons un point quelconque M du système etun élément de volume TZ dont ce point fasse partie. Ladensité en M étant p, nous désignerons par ptüX0,psrYo, praZo les composantes, suivant les axes coordon-nés, de la résultante des forces extérieures qui solli-

( 5<>6 )

citent Ia masse de l'élément tn. Si le système est onmouvement, les composantes Xo , Yo, Zo doivent com-prendre, d'après le principe de d'Alembert, les forcesd'inertie dont les valeurs sont, pour l'unité de masse,

d2a? d2y d2z~ ~dt*y Ht*' ~dF'

JNous désignerons, en outre , par les indices i , 2, 3les valeurs que prennent les composantes X, Y, Z de latension lorsque la direction de la normale au plan surlequel elle s'exerce se confond successivement avec lesdirections positives des axes O X , OY, OZ. Les neufquanti tés

X„ Y„ Z,,

X2, Y2, Z2,

X8, Y,, Z3

sont , 'a insi que X o , Y o , Z o et p, des fonctions de qua t re

var iab les , qui sont le temps / et les coordonnées xy r , z

d u point M.d u point M.

7. Equilibre du parallélépipède élémentaire. —Cela posé, imaginons que l'élément TÜ soit un parallélé-

Fig. 1.

V'

/

'B

. 0

M

» c'

/

A

pipède dont les arêtes <7, 6, c soient parallèles aux axes

et dont le point M soil le centre.

On sait que les forces extérieures qui agissent sur cetélément satisfont aux six conditions d'équilibre d'un so-lide invariable, suivant lesquelles :

i° La somme des projections des forces sur trois axesest nulle pour chaque axe ;

2° La somme des moments des forces par rapport àtrois axes est nulle pour chaque axe.

Le système de ces forces est équivalent aux tensionsélémentaires agissant aux centres des six faces dont lesaires sont bc, ca, ab, et aux forces praX0, praY0, p^Z0

appliquées au point M.Évaluons d'abord la somme des composantes de toutes

les forces suivant Taxe des x, les faces A et A' donnentà cette somme les deux termes

a dX\\ y /,_„ a dXi\2 d*r / \ 'i dx J

dont l'ensemble se réduit à TÜ —J—* •

Le groupe des faces B, B' et celui des faces C, C/ don-j . ^X2 ^X3 r

nent de même, respectivement, w—-j— et rn — —; entin,les forces qui agissent sur la masse ajoutent un dernierterme praXo. En égalant à zéro la somme de ces forceset en divisant par ET, on a la première des équations sui-vantes ; les deux autres résultent d'une sommation sem-blable des composantes parallèles à OY, puis des com-posantes parallèles à OZ :

PX, dX, dX,~. 1 r H 7 H p X 0 = O,dx dy dz l

v ' dx dy dz l

dZt dZ2 ^ r/Zdx dy dz

pZ0 = o.

( 5o8 )8. Ecrivons maintenant l'équation des moments par

rapport à un axe parallèle à OX passant par le point M.La résultante des forces pT*yX0, pwY0, praZ0, étant appli-quée au point M, donne un moment nul. Les compo-santes des tensions élémentaires rencontrent l'axe ou luisont parallèles, à l'exception des deux composantes, pa-rallèles à OZ, appliquées en R, W et des deux compo-

Fig. 2.

/ •

santés, parallèles à OY, appliquées en C, C'. Les deuxpremières sont dirigées en sens contraires et leurs valeursne diiîèrent de la composante caZ2 relative au point Mque de quantités infiniment petites par rapport à elles-mêmes; elles forment un couple dont Je bras de levierest égal à h et dont le moment est

caZ-2 X b = abc Z.2= ÜT Z2.

De même, les forces appliquées en C, C' constituent unautre couple dont le moment est — ^Y;J. L'équation desmoments est, par conséquent, 7Ü(Z2—Y3) = o; d'oùA o = Y ;} .

On a deux équations analogues en rapportant les mo-ments h des axes parallèles à OY et OZ passant par lepoint M, ce qui donne le système

( 5o() )les équations expriment que, des neuf composantes, sixsont égales deux à deux. Afin de préciser les composanteségales, désignons les neuf composantes par la lettre Eaffectée de deux des indices .r, y, z; le premier indi-quant l'axe perpendiculaire au plan sur lequel s'exercela tension, le second Taxe parallèle à la composante. Ona ainsi

I '\ \ / V 17 V 17 "7 17(>) < A 2 — ny,z, l 2 = %,)) ^2 = &},Z*

f Y r? v |? <j 1?\ A 3 — *^Z,Xi 13 = ft;,)'i A» = li;,3,

et les relations (2) deviennent

Elles expriment que, si Ton intervertit les deux indices,la composante conserve la même valeur.

9. Introduction des N, T. — Nous poserons désor-mais

D'après cette notation, les IN donnent les composantesnormales de la tension pour les trois plans perpendicu-laires aux axes et les T donnent les composantes tangen-tielles qui sont égales deux à deux. Le système des neufcomposantes est alors représenté par le tableau suivant

\ j , T;i, T2,

A 3 J J-N2» M '

T2, T,, I\3,

et les équations (1) peuvent s'écrire

1 dNt â?T3 dT2

dx dy dz l

dx dy dzdT2 dTi dX:

dTi v

10. Équilibre du tétraèdre élémentaire. — Suppo-sons, en second lieu, que l'élément de volume TS, dontle point M fait partie, soit un tétraèdre dont les arêtesAB, AC, AD sont parallèles aux axes. Désignons par a,

[i, y les cosinus directeurs de la normale extérieure à laface BCI), par (o Taire de cette face, par co,, co2, (o3 lesaires des trois faces triangulaires respectivement per-pendiculaires à OX. OY, OZ.

D'après un théorème sur la projection des aires,on a

Cela posé, les tensions élémentaires sur les quatrefaces du tétraèdre et les forces qui sollicitent sa massese faisant équilibre, les sommes des projections de cesforces sur chaque axe doivent être nulles.

En projetant les forces sur Taxe des x, les faces w,(o,, to2, w3 donnent respectivement les termes wX,— tO|]N4, —to 2T 3 , —co3T2*, les forces qui agissent surla masse donnent le terme praX0, xn étant le volume dutétraèdre qui est un infiniment petit du troisième ordrenégligeable par rapport aux autres qui sont du second.En égalant à zéro la somme de tous ces termes et en

ayant égard aux équations (6), on a la première deséquations suivantes

(7) j . -

les deux autres équations résultant d'une sommationsemblable des composantes parallèles à OY, puis paral-lèles à OZ.

Les équations (7) montrent comment X, Y, Z dépen-dent de a, j3, y; il résulte de ces équations que la déter-mination de X, Y, Z se réduit à celle des six fonctionsN,T, lesquelles sont à quatre variables .r, y, z, t et doi-vent vérifier les trois équations (5), qui sont aux déri-vées partielles linéaires du premier ordre.

11. Composante de la tension suivant une directionquelconque. — Soit MN(a, (3, y) la normale à un planP passant par le point M; projetons la tension corres-pondante sur une direction quelconque MS(a', j3;, y').Désignons cette projection par E//?ç, le premier indice serapportant à la normale au plan et le second à la direc-tion suivant laquelle on estime la tension. On a

et, en remplaçant X, Y, Z par leurs valeurs (7), onobtient

Cette expression ne changeant pas quand on permuteles deux systèmes de variables (a, j3,y), (a', [3', y'),on a

ce qui démontre un théorème général dont la récipro-cité des composantes taugentielles (n° 8) n'est qu'uncas particulier.

12. Surface directrice. — En particulier, la compo-sante de la tension, normale au plan sur lequel elles'exerce, s'obtient en confondant la direction MS avecla direction MN. En désignant cette composante par JN',la formule (8) donne

(cj) N =N1a«-+-Nf?*-+-N8Y«-+-2T1p7-haTj,Ya-i-9.T3ap,

et cette composante sera une traction ou une pressionsuivant que sa valeur sera positive ou négative.

Supposons maintenant qu'à partir du point M onporte, sur la normale au plan, une longueur MN dont

le carré représente la valeur absolue de — et, le point M

étant pris comme origine, désignons par j?, y, z lescoordonnées du point A1. On aura

(I0) » = ?y

en prenant le signe -+- ou — suivant que N est positif'ou négatif. En portant dans l'équation (9) les valeursa, [3, y tirées des équations (10), il vient

( i i ) N ^ 2 + N2j2_4_ N3-32-+- y ,

de sorte que le lieu du point N est une surface du seconddegré; cette surface est dite directrice.

Lorsque la valeur de N conserve le même signe,quelle que soit la direction (a, J3, y) , cette surface estun ellipsoïde-, mais, si cette valeur change de signe,l'ellipsoïde est remplacé par le système de deux hyper-boloïdes, dont l'un correspond au signe -f-, l'autre ausigne —. Ces deux hyperboloïdes, dont l'un est à une

nappe et l'autre à deux nappes, sont conjugués, c'est-à-dire qu'ils ont le même centre avec les mêmes axes etun même cône asymptote.

La composante J\ est nulle pour les plans qui so~ ",perpendiculaires aux génératrices du cône asymptote e"l'on a, sur ces plans, des tensions tangentiellcs.

13. Tensions principales. — Si l'on prend pour axescoordonnés les axes principaux de la surface directrice,les rectangles disparaissent de son équation, de sorteque l'on doit avoir T i = o, T 2 = o, T3 = o j les compo-santes tangentielles sont donc nulles sur des plansperpendiculaires aux nouveaux axes, et les tensions surces plans se réduisent à leurs composantes normales.Donc, en tout point du système, il y a trois plans surlesquels les tensions sont normales.

Les trois tensions, normales aux plans sur lesquelselles s'exercent, sont dites principales.

14. Ellipsoïdes des tensions. — On obtient uneautre surface du second degré, qui est toujours un ellip-soïde, en portant, à partir du point M, sur la directionmême de la tension, une longueur ME égale à sa gran-deur.

Eu effet, les coordonnées du point E sont alors lescomposantes X, Y, Z de la tension et l'on déduit desrelations (7), pour a, J35y, des valeurs linéaires en X,Y, Z. En portant ces valeurs dans l'équation

a»-•-?* +-,.»=.,

on a l'équation d'un ellipsoïde.Les directions des axes de cet ellipsoïde se confondent

avec celles des tensions principales; car, en prenantcelles-ci pour axes coordonnés, on a

Ann. de Mathémat., 3* série, t. VII. (Novembre 1888.) 33

( 5.4 )

et, des équations (7) réduites aux suivantes

X = lN1a, Y=:N23, Z

ou<ti'rc l'équation

qui est oells d'un ellipsoïde rapporté à ses axes.

io . Formules de transformation des tensions. —Supposons que l'on change la direction des axes coor-

soient

les formules de transformation, dans lesquelles les lettresa, [3, Y atlectées des indices i., 2 3 représentent, suivantla règle connue, les cosinus des angles que les nou-veaux axes font avec les anciens.

JNous avons désigné par (N, T) les composantes destensions exercées, au point M, sur des plans perpendi-culaires aux anciens axes} appelons de même

V T" T'

1 5, i \ 2 , 1 j ,

les composantes, suivant les nouveaux axes, des tensionsexercées, au même point M, sur des plans perpendicu-laires aux x\ 7', z'.

Les (jV, T') sont les coefficients de l'équation de lasurface directrice rapportée à des parallèles aux nou-veaux axes, menées par le point M, et il suffit de porterles valeurs précédentes de x^y, z dans l'équation (11),pour obtenir les expressions suivantes qui donnent les

(~V, T') en fonction des (N, T),

(12)

N2' = \ i

N'3 = N , a§ - h N 2 ? ; -f- Ï\T3 Y3 •+- '> T ! t33 Y3

- 2 T 2 Yi a<* •+" ° T 3 a 3 p3 •

T; = N, a2 a3 + \ 2 3 , p3 -+- N3 Ï 2 Ys -*- ^

T' = N

T 3 = N, a t a2 -f- N2 ^ t32 + N3 7 , Y2

If. DÉPLYCEMEJVT GÉJVÉR1L D?U]\ SYSTEME DE POINTS.

10. Formules fondamentales. — Considérons un

système de points infiniment rapprochés rapporté à trois

axes rectangulaires. Concevons ce système déplacé de

telle manière que les projections //, i>, cr du déplacement

d'un point quelconque M soient des fonctions continues

des coordonnées primitives x, y^ z de ce point.

Pour un point N(.r H- h, y-t- ky z •+- /) , infiniment

voisin de M, les projections du déplacement sont

, du du , dv ,u = n H — h H k H — /,

dx dy dz

£'•dw div

7~ h -\- -j-dx dy

Imaginons, par le point M, des axes parallèles à OX,

OY, OZ; par rapport à ces axes, les coordonnées de N

sont //, £, /avant le déplacement-, après le déplacement,

( w>i6

ees coordonnées deviennent

[ est-à-dire, d'après les formules ( i 3 ) ,

, , / fi II \ , IV IV y KHz J

h' S= I — - , - ) h -4- y - A -1- / ,

A'_ 7 - A H - i n - - ' - AH- ~ /.aj" \ dv J dz

!'=-.- h - rllv A - ( i ~ c^-\l.dr dv x dz J

Ces expressions sont linéaires en /?, /r, / ; par suite,

les points iN situés, dans le voisinage de M, sur une

Miiface F(//, /«, /) = o, seront après le déplacement sur

une surface du môme degré. Ainsi, les points d'une

sphère viendront sur un ellipsoïde; les points d'un plan

sur un plan-, de même, les points qui étaient sur une

droite restent sur une droite.

17. Dans ce qui suit, nous considérerons exclusive-

ment des déplacements tels que les différences h'—A,

h' — A, 1'—/ soient très petites par rapport à A, Â, /.

Dans cette hypothèse, les neuf dérivées partielles qui

entrent dans les formules (i3) et (i j ) ont des valeurs

très petites que nous traiterons comme des infiniment

petits. Nous désignerons par S la variation très petite

qu'éprouve une quantité quelconque par suite du dé-

placement et nous traiterons les S comme des différen-

tielles.

18. Décomposition du déplacement. —Les formules

( i i ) montrent que le déplacement d'un eléaient entou-

rant le point M est déterminé par les valeurs que pu -sentent en ce point les neuf dérivées partielles d% ?'.y, w par rapport à jr. y, z.

On peut substituer à ces dérivées neuf nouveaux < < ( i-fîcients dont l'interprétation géométrique est plus COIP-

mode ; en posant

du dv dw1 ~~ dx' 2~ dy' 3 ~~ dz'

, dw dv du dw . dv ce(16) ?bl= — 1—=-> 2ö 2 — -; 1—j— > 2 ^ 3 ~ ^ h /

aj' a£ cte dx dx r__ dw dv du dw __ dv (" >

P\ — j j~} }p*> — 7 ~ Î ? ^Pz — » ~ "r dy dz r dz dx dx \

les expressions ( i 3 ) peuvent s'écrire

! \£ — U -*- p-%1 — />3 h -r- Cly II -H &3 />. -f- è 2 / ,

( 17 ) ^ « = ( -\-p*h—/?i / -r bsh - h a>/t -1- & i / ,

( wf = (v -f-/?j — p 2 h -\- b2h -+- b]_k — « j / .

On en conclut que le déplacement (//, v\ w') dpoint N s'obtient en composant :

i° Le déplacement (w, v, w)\i° Le déplacement dont les composantes sont

/ ?/i=- p2l —p3A,

vi=pzh—pll(18)

3° Le déplacement dont les composantes sont

1 2 1 3 »• - r - 2

(19) / v2= b^h-*-a?A.-{-bil,

[ w<i— b2h -r- b\ L 4- a3 /.

Le premier de ces déplacements composants est iden-tique au déplacement du point M.

Le deuxième est une rotation, aux composantes an-

( 5 i8 )gulaires (p^ f>z, /7a) autour d'un axe passant par lepoint M.

Le troisième peut se représenter comme il suit.

19. Soit la série des surfaces liomothétiques ayantpour équation

(20) a ^ - h a ^ - t - a-dz2-\- ib^yz -f- 'ib%zx -J- -ib3xy — X.

Supposons le centre au point M et considérons cellede ces surfaces qui passe par le point IN, ce qui déter-mine \ par la condition

( •> 1 ) a{ h2 + ö 2 l 2 + a3l'

2-\- ibt kl -+- 2 b2 Ih -+- 2 &3 hk = 1.

D'après les valeurs (19), le plan tangent à cette sur-face au point N a pour équation

( 22 ) n1x H- v-2y -h w2 z = 1.

Par suite, le déplacement («o, ^o, Wa) du point JN estnormal à la surface qui passe par ce point. De plus, sil'on désigne par 0 la grandeur de ce déplacement etpar 775 la perpendiculaire abaissée du point M sur leplan tangent, 011 a

X À

d'où il résulte que la grandeur du déplacement est

donnée par la formule 3 = - •

20. En résumé, on peut dire que le déplacement d'unélément environnant le point M se compose d'une traus-lation, d'une rotation autour d'un axe et d'une déforma-tion.

La translation est déterminée par les composantes «,v, tr du déplacement du point M.

( 5 î 9 )La rotation est déterminée par les quantités p^ /?2>/ 3?

que nous appellerons rotations élémentaires.La déformation est déterminée par les six quantités

<7j, a2, az, biy &2, l>3, que nous appellerons déforma-tions élémentaires.

Les rotations et déformations élémentaires sont défi-nies par les relations (16).

11 est à remarquer que, d'après ces relations, les rota-tions disparaissent lorsque uy v, w sont les dérivées par-tielles d'une fonction cp(.r,j^, z) des coordonnées.

21. Dilatation linéaire. — On appelle dilatationlinéaire le rapport de l'accroissement d'une longueur àsa valeur primitive.

Cherchons la variation très petite de la distance /' dupoint M au point N dont les coordonnées relatives sont7z, k, L De la relation r~ = h2 -+- À"2 H- /2, on tire

r or = h oh •+- /«. ok -+- l o/.

L e s r e l a t i o n s ( i 4 ) e t ( 1 7 ) d o n n e n t

< ok = p3 h—pil -4- 63 /i-f- a2 + 61 Z,( o/ = ƒ>! ^ —^2 h _|- b2h -{- bi k -h «3 /,

et l'on a, par suite,

( 24 ) /• or = «i A2 -r- a2 k2-\- a3l

2-±- ibi kl-+- 'ib2lh^r 2 3

Désignons par a la dilatation linéaire et par a, [3, yles cosinus directeurs de MN" -, on a

ora = —,r a = — j

r

k: — j

rY ^^ —1 r

et la formule ( ? 4 ) devient

(25) a = rt1a^-f-nr2p2-f-r?3Y2-r- 2 6 ^ 7 H-

( 520 )

Celte formule donne la dilatation linéaire dans la direc-tion (a, [3, y). La dilatation se réduit aux valeurs al7

a2, az lorsque la direction (a, (3, y) devient successive-ment parallèle aux axes OX, OY, OZ.

22. Dilatation angulaire. — Soient N n N2 deuxpoints infiniment voisins de M5 désignons parles lettres;•, /i, A\ /, affectées des indices 1 el 2, les distances deces points au point I\i et leurs coordonnées relatives. Enappelant V l'angle NjlNIiN'o, on a

r{ r2 cos V = h{ lu — kt k2 H- h h',

d'où, par diliérentiation,

cosVo^/1! j'.> ) — /'1 /'o si n \ r . 0 V= //2 ^hx -h /{2 ô/c! + l2 o/i -\- hx oh.> -h kx oÂ2 - r l\ 8/2-

Cette formule se simplifie lorsque l'angle V est droit et,en ayant égard aux formules (17), il vient alors

— 2 ri ri• ^ = a\ hi h2-h a2kik2 -1- a3 /j l2-\- bt(k^ l2 -h 1 ^2)

ou, en posant — 3V = b et en introduisant les cosinusdirecteurs de MN«, MX2,

» ^ — ^ 1 ^ , 1 «s . 2 , < 2 p i |J2 ' °^3Yl"

Cette formule donne la moitié de la diminutionqu'éprouve, par la déformation, l'angle primitivementdroit des deux directions (a<, j3o y, ), (a8, (32> ^'2)-

Cette quantité se réduit à biy b<±, Z>3 lorsque les deuxdirections dont il s'agit sont successivement parallèles à(OY, OZ), (OZ, OX), (OX, OY).

23. Dilatations et glissements. — Ces propositionsdéfinissent la signification géométrique des six défor-mations élémentaires.

Imaginons un parallélépipède élémentaire dont lesarêtes soient parallèles aux axes coordonnés 5 le dépla-cement général du système transporte ce parallélépipèdeen le déformant. Il résulte de ce qui précède que lesquantités a,, a2, a3 représentent les dilatations des arê-tes et que les quantités ihK, 2&2>

2&3 représentent lesdiminutions des angles, primitivement droits, comprisentre les arêtes prises deux à deux.

Ou appelle fréquemment dilatations les quantités a<,rt2, a2 et glissements, ou distorsions, les quantités cihM

24. Surface des dilatations. — Reprenons la formule(25) qui donne la dilatation linéaire dans une directionquelconque. Si l'on porte, à partir du point M, dans ladirection (a, jî, y), une longueur MA égale à la valeurabsolue de la dilatation a et si, le point M étant priscomme origine, on appelle x^y, z les coordonnées dupoint À, on a

x _ y

le signe étant -f- ou —, suivant que a est positif ou né-gatif. En éliminant a, [3, y entre ces équations et l'équa-tion (26), il vient

( -?-) a{x2 -f- a2y

2 -+- azz- -1- ibxyz 4- 'ib^zx -f- r>.bzxy = rr: 1,

de sorte que le lieu du point A est une surface du seconddegré. Cette surface est un ellipsoïde s'il y a, en toussens, ou dilatation ou condensation autour du point M.S'il y a dilatation dans certaines directions et condensa-tion dans d'autres, l'ellipsoïde est remplacé par deuxhyperboloïdes conjugués.

23. Dilatations principales. — Si Ton prend pour

( 522 )

axes coordonnés les axes principaux de la surface des di-latations, les rectangles disparaissent de son équation,de sorte que l'on a bK = o, b2 = o, £3 = 0. Donc, entout point d'un système qui subit une déformation, ilexiste trois directions rectangulaires telles que les an-gles de ces directions, prises deux à deux, restent droitsaprès la déformation.

Les dilatations, dans ces directions, sont dites princi-pales.

26. Formules de transformation des déformationsélémentaires. — Quand on change la direction des axescoordonnés, les déformations élémentaires «,, a2, a3,Z><, Z>2, b% deviennent ^ , «!-,, Ö'P b'{, 4'.,, b[r Pour avoirles nouvelles valeurs en fonction des anciennes, il suffitde transformer l'équation (27) de la surface des dilata-tions parla substitution

Les coefficients de l'équation transformée donnent,pour les nouvelles déformations élémentaires, des ex-pressions qui ne diiïèrent de celles que l'on a obtenues,au n° lo, pour les (.IV, T'), que par la substitution de(«, £ ) à ( N , T ) .

11 est à remarquer que les formules que l'on obtientainsi donnent la relation

(•28) a\ -i- a.2 -1- a'.6 = a{ ~ a2 -f- «3,

de sorte que la somme des dilatations suivant les axesest un invariant.

27. Dilatation cubique. — La déformation change le

( 023 )

volume d'un élément environnant le point M. Le rap-port de l'accroissement de ce volume à sa valeur pimitiveest la dilatation cubique au point M. Tout volume étantdécomposable en tétraèdres, il suffit d'évaluer la dilatationd'un tétraèdre.

Considérons avec le point M trois points infinimentvoisins Nj, N2, N3. Désignons leurs coordonnées rela-tives par les lettres //, k, l affectées des indices i, 2, 3.Le volume du tétraèdre dont ces quatre points sont lessommets est

hx *, lx

V = l lu k% kh, h, h I

En désignant par (//, À', l') les valeurs de (//, Â, /) aprèsla déformation, ce volume devient

V' = lh\ k\ l\

En ajant égard aux formules (i5) qui expriment(//', //, l') en fonction de (//, À, / ) , on voit immédiate-ment, par la règle de Ja multiplication des déterminants,que V est le produit de Y par le déterminant

4

du^dx

dvdx

du-dx

dudy

dv

diV

du"dz

dvdz

dw1 ~*~ dz

On a donc \ 7 / = VA, et la dilatation cubique 0, égale à

—~—? est donnée par la formule

= A — 1 .

Cette expression, ne dépendant pas de l'orientation du

tétraèdre, s'étend à un volume quelconque ; elle s'ap-

plique à des déplacements quelconques u, v, w, sans res-

triction relative à l'ordre de grandeur des neuf dérivées

partielles.

Quand ces dérivées sont très petites, l'expression

trouvée se réduit à la suivante :

(3o, o= fA' + ^ + ^ .< dx dy dz

28. Cette dernière formule peut s'établir comme il

suit : soit un élément parallélépipédique, ayant un

sommet au point M, dont les arêtes soient dans les direc-

tions des dilatations principales. Désignons par a\, a'.2,

az ces dilatations principales.

Par la déformation, les arêtes sont respectivement

multipliées par i -f- an i -f- a[y, i -f- a.s; de plus les angles

restent droits. Donc le volume de l'élément est multiplié

par ( i -f- a\ ) ( i -f- a'2 ) ( i -f- a3 ), ou par i-h a\-+- a'2 -h a.3,

en négligeant les quantités très petites d'un ordre supé-

rieur au premier. Il en résulte que la dilatation cubique

est0 = a\ -i- a'2 -i- «3 .

On a donc, pour un système d'axes quelconques,

d'après la relation (28),

6 = «j-r- a2-r- a3.

ce qui donne la formule (3o).

III . — EXPRESSIONS DES TENSIONS DANS UN SYSTÈME

ÉLASTIQUE DÉFORMÉ.

29. Expiassions des (N, T) en fonction des (a, b).

— Nous appellerons état naturel d'un système matériel

( 5,5 )celui où il n'existe aucune tension. Si, h partir de cetétat, on déforme le système par l'application des forcesextérieures, les tensions cessent d'être nulles par suitede la variation des forces intérieures.

L'hypothèse fondamentale de la théorie de l'élasticitéconsiste à admettre que Vaction mutuelle de deuxpoints matériels devient insensible dès que la distancede ces points dépasse une limite très petite.

Par suite de cette hypothèse, la valeur que la tension,sur un plan quelconque, en un point quelconque M,acquiert après le déplacement de ce point, dépend uni-quement de la déformation subie par la portion du sys-tème comprise dans un volume très petit autour du pointque l'on considère. Or nous avons vu que la déformationde cet élément est complètement déterminée par les va-leurs que présentent au point M, par suite de son dé-placement, les six déformations élémentaires («, b)\ doncles (N, T) sont des fonctions des («, b).

Supposons que ces fonctions puissent être représentéespar la série de iMaclaurin et ne conservons, à cause dela petitesse des variables, que les termes du premierordre. En remarquant en outre que, dans l'état naturel,les tensions sont nulles avec les déformations, on estconduit à ce résultat : lorsqu'un sjstème élastiquesubit une petite déformation à partir de son état na-turel, les six composantes (A, T) sont des Jouet ionslinéaires et homogènes des six déjormalions élémen-taires (V/, b).

30. Les coefficients de ces fonctions, au nombre totalde 36, dépendent de la constitution du système, autourdu point M, avant la déformation. Us peuvent être, sicette constitution est variable d'un point à un autre, desfonctions des coordonnées x^y, z de ce point, ils se ré-

(luisent à des constantes si, comme nous le supposeronsdans ce qui suit, le système est homogène.

Nous écrirons comme il suit les valeurs des (N, T) :

a2, a3, bu b,, b3),

T = ty(at, a2, a3, bi, b,, &3),

en nous rappelant que les caractéristiques cp et ó, quenous affecterons successivement des indices i, 2, 3, re-présentent des fonctions linéaires et homogènes.

Le nombre des coefficients se réduit beaucoup, lorsquele système possède, dans son état naturel, certains élé-ments de symétrie.

31. Principe de la réduction. — Supposons que lesystème présente, dans son état nature], la même dispo-sition par rapport à deux systèmes distincts d'axes coor-donnés (S) et (S'). Il est évident que, relativement à(S'), les expressions des (V, T') en (a', b') doivent êtreles mûmes que celles des (N, T) en («, &), relativementà (S).

Pour exprimer les conditions que cette identité deforme des fonctions impose aux variables dont elles dé-pendent, on opère comme il suit :

i° On exprime les (JV, T') en fonction des (JN, T) parles formules de transformation du n° lo.

2° Dans les expressions ainsi obtenues, on substitueaux (A", T) leurs valeurs (3i);

3° On remplace enfin les (a, b) par leurs valeurs enfonction des (a', Z/) en se servant des formules de trans-formation du n° 26.

Les expressions fournies par ces trois opérations doi-vent se confondre, quand on supprime les accents, avecles formules (3i) qui donnent les (JN, T) en fonctiondes (a, b).

Nous allons appliquer cette méthode à quelques casparticuliers.

31. Plan de symétrie. —Supposons d'abord que,dans l'état naturel, le système soit distribué symétrique-ment, autour d'un point quelconque M, par rapport àun plan mené par ce point dans une orientation déter-minée. Prenons l'axe des x perpendiculaire à ce plan;puis, conservant les axes OY, OZ, remplaçons Taxe OXpar son prolongement. Les relations qui lient les (JN', T')aux (N, T) deviennent

Ti = T!, T'2 = — T2, T'3 = — T3.

On a de même, entre les (a, b) et les («', &'), les re-lations

a j — a \, et 2 = ci,, «3=a3,

bx=.b\< b.y^ — b'.y, b3 = —b'z.

Donc les relations (3i) doivent rester les mêmesquand on y change à la fois les signes de T2 , T3 ; /^, b%.11 faut, en conséquence, que les coeflicients de i 2 , b.isoient nuls dans INl7 JNT

2, N3, T4 et que les coefficients derti, a*, <Ï3, bs soient nuls dans T2 , T3 .

On a ainsi les formules suivantes, qui sont à vingtcoefficients,

J N1=«?2(flr1,a2,a3,6i),( 3 2 ) J ?( T 3 =

32 Trois plans de symétrie. — S'il y a, au mêmepoint M, un second plan de symétrie perpendiculaire àO Y, les équations (32) doivent rester les mêmes quandon y change à la fois les signes de T{, T3 ; è n b3. Celamontre qu'il y a alors nécessairement un troisième plan

( 5*8 )

de symétrie perpendiculaire à OZ, et les formules seréduisent aux suivantes, qui renferment douze coeffi-cients,

(33 )

/^, A2, /*3 désignant des constantes.On voit que les composantes T<, T2 , T3 s'annulent

avec bK^ Z>2, Z>3; il en résulte que, dans ce cas, les direc-tions des tensions principales se confondent avec cellesdes dilatations principales.

32. Isotropie. — Pour un système isotrope, les re-lations (3i) doivent se transformer en elles-mêmeslorsqu'ou substitue aux axes coordonnés tout autre sys-tème d'axes rectangulaires. Pour simplifier le calcul desconditions qui en résultent, nous attribuerons d'abordaux nouveaux axes certaines directions particulières, enremarquant de plus que les équations (33) doivent déjàcomprendre, en particulier, celles qui sont relatives àl'isotropie.

33. Supposons d'abord que l'on permute eirculaire-meut les axes OX, OY, OZ. Ce changement d'axes pro-duit les substitutions

lj -V>? ^3» T , , T 2 , T 3

2' ^ 3 , "N'i. T 2 , T 3 , T i

et les équations (33) doivent alors rester les mêmes.Il en résulte d'abord que les trois constantes hn A2,

7/3 ont une même valeur A, ensuite que A2, JV3 se dé-duisent de N en y permutant circulairement les varia-

(blesj de sorte que l'on a

\ 2 = o(a2, «j, «i)i T 2 =/ iô 2 ,

N 3 =

33. Supposons maintenant que, conservant l 'axe O X ,

on permute les axes OY, OZ, ce qui change a2, CL% en

<73, a2 . La valeur de JN, devant rester la même, la fonc-

tion cp doit être symétrique eu a2, (1% : elle est donc de la

formeA a!-

ce cjue l'on peut écrire

B ( ! -4- a.2 -+- a3 ) -+- ( A — B ) rt!ou ])ien

en désignant par 0 la dilatation cubique et par ),, ;JL deux

constantes. Les formules (3>i) deviennent ainsi

(35)

34. Supposons enfin que l'on fasse un changement

quelconque d'axes coordonnés; on doit trouver les

mûmes formes (35) et les mêmes coefficients pour les

(JV, T;) en fonction des (a', b')\ par exemple, on doit

avoir

(36) Ni = /OH-ci|i.ai.

Or, en désignant par a,, [j l 7 ^i ^ e s cosinus des anglesque OX' fait avec OX, OY, OZ, on a (n° 15)

( ' ^ ( -r- '2T, ?! Y, + 2 T 2 Ï 1 a -r- îTjûtj ?!

e Mathemat.y > série, t. VIT. (Novembre 1888.)

( 53o

et Ton a aussi (n° 20)

Cela posé, si l'on porte les valeurs (35) dans l'expres-sion (°>^), on trouve

Y t — ÀO - - -2 ;JL( c/i a J - l - « 2 3 f -h a 3 7 f )

ou bien, d'après la relation ( 38 ),

Donc, pour que cette valeur se réduise à l'expression(36), il faut que l'on ait // — 2 p . = o. Le calcul desautres (A', T' ) conduit au même résultat.

3o. En résumé, dans le cas des systèmes homogèneset isotropes, on obtient, pour les (N, T) , les valeurssuivailles renfermant deux coefficients constants / , u,

i \ i — À 0 - >, 'x a |, T i •= ') JJ. b i,

( 'if) ) < \ -2 — ÀO -'- > ;JL a.y. T 2 — 2 ;JL />_,.

' \ 3 — ÀO -t- u a w 3 ; T-j — 'i\jJ)^.

La méthode qui a conduit à ce résultat repose sur lesprincipes employés par Lamé dans ses Leçons sur lathéorie mathématique de Vélasticité des corps solides(i856). Les expressions des tensions dans les milieuxisotropes déformés ont été données pour la première foispar Cauchy (1827), en calculant directement la résul-tante des forces intérieures considérées comme fonctionsdes distances des points entre lesquels elles s'exercent.Cette autre méthode, qui permet de supposer que Tétatprimitif ne soit pas ce que nous avons appelé un étatnaturel, conduit à admettre que, lorsque la déformationa lieu à partir de cet état naturel, on a ), = ut, de sorte

( 53, )

que les formules sont à un seul coefficient; mais cepoint est encore l'objet de controverses.

36. Expressions des (IN, T) en fonction des déplace-ments M, v, iv. — En remplaçant dans les expressions(39) les déformations élémentaires (a, b) par leurs va-leurs (16) du n° 18, il vient

I ^ « ft du / div dvx

* * ' ' ' dx ' ] ' \ ~<ty c

. . dv _ f du c

et l'on a, dans ces formules,

. . . < ?/ r/c d\r

Ces valeurs des (IN, T) se rapportent à la position dupoint M après son déplacement, c'est-à-dire au pointdont les coordonnées sont x -f- 11, y-\- i', z -4- (V ; mais,quand le déplacement est très petit, on peut? commenous le ferons dans les calculs qui suivent, rapporter lescomposantes des tensions au point (.r\ ) , z).

I\ . — EQUATIONS DE L'ÉQUILIBRE 1 T DU MOUVEMENT

INTÉRIEUR POUR LES SYSTEMES ISOTROPES.

37. Équations indéfinies. — Les six fonctions(?s, T) doivent vérifier les trois équations (5) du 11 ° 9}dans ces équations, les quantités Xo, Yo, Z() représen-tent, rapportées à l'unité de masse, les forces exté-rieures qui sollicitent le point M et elles comprennent,

( 53a )

si le système se déforme ou vibre, les forces d'inertie, ! d2u d2v d2iv -r

qui ont aioi s pour valeurs . 2 ? — -— ? j - r * Lu

dégageant les foi ces d'inertie et représentant encoie par

Xo , Yo, Zo ' e s composantes des forces extérieures qui

agissent sur la masse du point M, les équations (5) de-

viennentr/T9 xr d2 u

- — p \ 0 == p ——,dx dy d.(Ih (Eïl (H± - d2ç

dx "^ dy """ dz """ ? ° ~ p dr- '

r/r r/y r/ ^ ° "" ^ //

(«>)

p étant la densité du sjstème au point M.

En substituant les valeurs (4o) et en ayant égard à

l'expression ( i i ) de 6. on obtient les trois équations

suivantes :

.. . 6 / 0 / d1 u d2 u d1 if \ _r cl1 ux ^ dx ' \<^r2 d}1 dz1 J ' l

Ö?/2

^ d2i dy

. /0 fd'-iv d*w d2i\\ ,, dlwI À -r- 'X ) -= h [JL -7—p -A 7-— - h - ) -f- p Z o = p - 7 — - .v ' ^ l \ <:/r2 dy2 dz2 J { ' <;/

L'expression diiïérentielle

^ F _ ^ F d^Fdot2 d}2 " ^ r/j^

est ce que Lamé a appelé le pat amètre différentiel

du second ordre delà fonction F. !Nous représenterons

ce paramètre par AF, en posant symboliquement

d2 d2 d2

r//- c/i 2 dz2

( 533 )elles équations ({3) prennent ainsi la forme simple

A -T- |JL) - T - ->- [J- AÏV — pZu — ? -77,- •

Ces équations, dites indéfinies, sont applicables, in-distinctement, à tous les points du système.

38. Equations définies. — En général, des e (Tortsextérieurs donnés agissent sur la surface du systèmeque l'on considère. 11 en résulte de nouvelles équationsqui doivent être satisfaites aux limites du corps, c'est-à-dire sur la surface seulement. On obtient ces nou-velles équations, dites équations définies ou équationsà la surface, en écrivant que, pour un point quel-conque de la surface limite, l'effort extérieur s'exerçantsur un élément plan de cette surface a la même gran-deur et la même direction que la tension correspon-dante.

Soient, pour un point quelconque (x,j,z) de lasurface limite,

F l'eflbrt extérieur par unité de surface ;l, m, n les cosinus directeurs de la force F ;a, p, Y les cosinus directeurs de la normale extérieure à

la surface ;X, Y, Z les composantes de la tension.

Les équations à la surface sont

( 5 3 4 )

o u b i e n , e n r e m p l a ç a n t X , Y , Z p a r l e s v a l e u r s (y) d u

n ° 1 0 ,

| VI - N^-f-Tap-TsY,

<V>) < Vm = T 3 a ~ N 2 3 -r- T^',

( Fn = T 2 a - t - T 1 p - - \ 3 T .

Les premiers membres de ces équations, ainsi que a,pj y, doivent èlre considérés comme des fonctions don-nées de x, y, z. En remplaçant les (N, T) par leurs va-leurs en fonction des u, v, w, spécialement par les va-leurs (4o) dans le cas des milieux isotropes, on a troiséquations auxquelles doivent satisfaire sur la surfacelimite les déplacements M, ^, w, fonctions de .r, y, z, t.

Les mêmes fonctions doivent satisfaire, dans toutel'étendue du milieu, aux équations indéfinies (/\i).

39. Equilibre d'élasticité. — Quand il s'agit del'équilibre, les fonctions u, r, w sont indépendantes dutemps et les seconds membres des équations (44) sontégaux à zéro.

Si l'on suppose de plus que les seules forces exté-rieures sont celles qui s'exercent sur la surface du mi-lieu, les quantités Xo, \ 0 , Zo disparaissent des équa-tions ( \/\ ) qui se réduisent aux suivantes :

, dO( À — JJL) r- ,u lit = ofdx

( X -i- ;x) — 'r- ;j. \ç = o.

( A -+- JJL) •—- -f- ja. At^ = o.

On a ainsi trois équations différentielles auxquellessatisfont les déplacements u, ç\ ( fonctions de x , ) , zet il s'agit de trouver des solutions de ces équationstelles que les équations à la surface ( fô) soient égale-ment satisfaites.

( 535 )

40. Cas particulier. — Supposons que les déplace-ments soient les dérivées partielles d'une fonction descoordonnées

I l =

On en tire

et, par suite,

doy

dz*

w

Aç

d'ï~dz

K ( h i l , Cli)

dr dx ' dr

On a donc, dans ce cas particulier,d() dO d()

\u — -y-, A t ' = - . - - » A(r = - -dx dy dz

et, en supposant A -+- 'i p. diHerent de zéro, les équations( 46 ) se réduisent aux suivantes

— O , —z - - *> . ——- — C ) .

dx dy dzPour qu'elles soient satisfaites, il faut et il suffit que

ladilatation cubique soit constante dans toute Vétenduedu système déforme.

V. — EXEMPLES D'ÉQUILIBRE.

a. — Compression normale et uniforme.

i l . Soit un système élastique soumis, sur toute sasurface, à une pression normale et uniforme P. La di-rection (/, m. 71) de cette pression étant opposée à la di-rection (a, jj, y) de la normale extérieure, les équationsdéfinies (4<->) deviennent

( 536 )

Supposons maintenant que, l'origine des coordonnéesrestant iixc, les déplacements M, y, w soient représentéspar les valeurs

(^8) u = — ax, ç = — ay, w~—az,

a étant un coefficient à déterminer.Par ces valeurs, les équations indéfinies (4^) s o n t

évidemment satisfaites*, les T sont nuls et les N se ré-duisent à —(3 A-f- 2fji). Donc, pour satisfaire aux équa-tions (47), il suffit de prendre

P_~~ 3

3X -h 7. [x *

Les déplacements (48) satisfont alors à toutes lesconditions de l'équilibre d'élasticité.

h. — Extension longitudinale (Vun prisme.

12. Considérons un solide prismatique dont les arêtessoient parallèles à OZ : soit F la traction, rapportée àl'unité de surface, qui agit sur chacune de ses bases.Nous allons vérifier que, dans l'équilibre d'élasticité, lesdéplacements peuvent être représentés par les valeurs

(49) u = — ajr, v=—ay< w = cz,

a et c étant des constantes convenablement détermi-nées.

En eilet, ces valeurs vérifient d'abord les équations(46)} déplus, d'après les formules (4°)? elles donnent,pour les T? des valeurs nulles et, pour les ZS, des valeursconstantes dans toute l'étendue du milieu

N1 = X2 = ( c — 'i a) X — 2 a [Ji,

N3 = (c — 1 a)X -T- ic\x.

Or X,, No sont nuls à la surface latérale du prisme et N.,

est égal à F sur ses bases ; on a donc les équations

X c — '2(X -+- ;x)a = o,{X H - 2 JJL) c — -2 X a = F ,

d'où l'on tireX X

(5o) c = {X~ F , a = - - r - ^ F .3 X -r- '2 [A '2 3 X -T- 2 JJL

Avec ces valeurs, les déplacements (4j)) satisfont à toutesles conditions d'équilibre.

c. — Équilibre d'une couche spherique.

43. Soit un solide homogène et isotrope limité pardeux sphères concentriques. Ce solide est soumis, surchacune des surfaces sphériques, à une pression normaleet uniforme 5 on se propose de déterminer l'état d'équi-libre.

Plaçant l'origine au centre de figure, considérons unpoint quelconque M-, désignons par x, y, z ses coor-données dans l'état naturel et par /• sa distance à l'origine,de sorte que

(51) 7 . 2 = a , 2_ r . J 2^_ -2.

Les forces appliquées nu solide sont évidemment telles(jue, par suite de la déformation, le point M se déplacesur le rayon mené de l'origine à sa position primitiveet la grandeur du déplacement e est la même pour tousles points primitivement situés à la même distance del'origine. On a donc

(52) 11=--, V=*£-, (V = * - ,

£ étant une fonction de r à déterminer.

( 538 )

44. Remarquons d'abord que ces valeurs de w, v, wsont les dérivées partielles d'une fonction o de .r, y, .z*On a, en effet,

7 rr âfcr -i- y <^r -r- £ dzu dx -r v dy -r- w dz = z —

Or la relat ion ( 5 i ) donne

x dx -*- y dy -r- >s dz = rdr,

donc l'expression précédente est égale à e dr et elle est,par suite, la différentielle totale de la fonction

Jl eu résulte (ii° 40) que, pour satisfaire aux équationsindéfinies de l'équilibre, il suffit d'exprimer que la dila-tation cubique est constante. Or on déduit des va-leurs ( J2)

du x- dz ;*2 — x2

dx ~ r2 dr ' rs ~'dv y2 dz r2 — -y 2

aydwdz

11 en résulte

{55)

r

r

*-

- ar

~2 ~dr

dz'' dr

et Ton a, par conséquent, enstante,'

L'intégrale générale

l57)

dzdr

de

£ =

£-i- 2 -

cette

- cr -

r*

?">

r

désignant par c une con-

= 3c.

équation est

br2

b étant une nouvelle constante arbitraire.Par cette valeur des, les déplacements (02) satisfont

aux équations indéfinies} nous allons maintenant déter-miner b et c, de manière à satisfaire aux équations dé-finies.

45. Substituant à cet efïet les valeurs (52) dans lesexpressions (4°) des IN, T, il vient

On simplifie l'étude des tensions autour d'un pointvn faisant passer par ce point l'axe des J : ; on a ainsix = r,y = o, z = o et les valeurs (58) donnent

— i \x - , -

Les composantes tangentiellcs étant nulles, on voit queles tensions N l ? N2, N3 sont principales; la conditionJNO = N3 montre que l'ellipsoïde des tensions est de ré-volution autour du rayon rn^né du centre au pointconsidéré.

Eu remplaçant enfin £ par sa valeur (57), les ex-pressions des tensions N deviennent

(59)

Désignons maintenant par r05 V\ les rayons des surfacessphériques qui limitent intérieurement et extérieure-ment le solide et par P n , P, les pressions qui s'exercent

normalement ri uniformément sur ces surfaces; en ex-primant que JN\ se réduit à — Po sur la surface intérieureet à — P , sur la surface extérieure, on a deux équations

(fio)

qui déterminent Z>, c, et, par les valeurs quel'on obtientainsi, toutes les conditions d'équilibre sont satisfaites.

On tire des équations (60)

et, en portant ces valeurs dans le* formules (à'7) et( j()), on obtient la solution complète? du problème.

d. — Equilibre d'une couche cj lindrique.

Ai). Soit un solide homogène et isotrope limité pardeux cylindres de révolution concentriques et par deuxplans perpendiculaires aux arêtes. Ce solide est soumis,sur chacune des surfaces cylindriques, à une pressionnormale et uniforme, et sur chacune des bases à unetraction parallèle aux arêtes; on se propose de déter-miner l'état d'équilibre.

Plaçant l'origine au centre de figure, prenons l'axeOZ parallèle aux arêtes; soient, dans l'état naturel x,jr, z les coordonnées d'un point M du solide et /' ladistance de ce point à l'axe OZ, de sorte que

(69.) r2 = ^î-4-^2.

Par suite de la déformation, le point M se déplace évi-demment dans le plan méridien passant par sa positionprimitive, cl l'on peut décomposer son déplacement en

deux : l'un s suivant la direction de la distance /•,l'autre w parallèle aux arêtes.

Nous supposerons que i ne dépend que de r, et que west proportionnel à z. Posant, en conséquence,

OC "V(63) u~ z — > ç — z—, wz=cz,

nous allons vérifier que l'on satisfait à toutes les condi-tions de l'équilibre par des valeurs convenables de lafonction £ et de la constante c.

il. Les valeurs (63) donnent d'abord

7 7 7 x dJ' •+- Y dy _u dx -T- v ay -\- w dz — z —-—h cz dz,

et l'on a, par la relation (62),

x dx -\-y dy = r dr.

11 en résulte que l'expression précédente est égale às dr H- cz-, et qu'elle est par suite la différentielle totalede la fonction •

(64) <?= A dr

Les valeurs (63) des déplacements sont donc les dé-rivées partielles de la fonction ç et il suffit, pour satis-faire aux équations indéfinies de l'équilibre, d'exprimerque la dilatation cubique est constante. Or on déduitdes valeurs

(Ü5

dudx ~dv

dw~dl~'

x-

y'2

c.

dz

dz

( H » )Jl en résulte

(66) °-£+7J-C'

et, par suite, en désignant par a une constante, on peutécrire

(67) -y1 -h - = 9.(1.J dr r

L'intégrale générale de cette équation est

(68)

et, en adoptant cette valeur, les déplacements satisfontaux équations indéfinies, quelles que soient les con_stantes arbitraires a, Z>, c; nous allons déterminer cesconstantes de manière à satisfaire aux équations définiesou conditions à la surface. %

48. Substituons les valeurs (63) dans les expres-sions (4o) (les (N, T) . En remarquant que, d'après lesrelations (66) et (67), 011 a

0 — ia -+- r,on trouve

' i ^ - ' — sV r.-o./ y'2 d- r'2 \

( 6 q ) / N > - X(2^r -t- r ) - f - a ; W ^ - - ^ -«- — £ , T , - - o,v .* / ' \ /•- dr H ]

., — X (2 <7 -^ c) -1- 1 [JL c T 3 = •> a ^ 1 ( —- —r 2 \« / / -

Pour simplifier l'étude des tensions autour d'un point,faisons passer par ce point le plan XOZ; on a alors

a =-- t\ y =-. o,

et les valeurs

N2

N3

ci-dessus

= X(2a-J-

= X ( 2 a —

= X ( 2 a -r-

(

de

c)

c)

c)

543 )viennent

dz-1- 2 a -7- »

l /•

- r 2 'JL C',

T2 =

np

0 ,

O,

O.

Les composantes tangentielles étant nulles, les tensionsN u N2, ^3 sont principales. En remplaçant t par sa va-leur (68), les expressions de ces tensions peuvent s'é-crire

\i= 2 ( À -4- ;JL ) a -h À r LT - 5

l , . 2

M3 — 2 X a - h ( X -4- 2 ;JL ) c.

Désignons maintenant par 7*0, /'< les rayons des sur-faces cylindriques qui limitent intérieurement et exté-rieurement le solide, et par Po , P1 les pressions quis'exercent normalement et uniformément sur ces sur-faces } soit enfin F la traction appliquée sur l'unité desurface de chacune des deux bases. En exprimant quel'on a :

i° Sur la surface cylindrique intérieure, JN < — — Po î>° Sur la surface cylindrique extérieure, N4 = — P, ;3° Sur la base, A-} = F , on a trois équations

2( A -h ;JL) a r- A c Î — — — Po,

f .? X a -+- ( X - I - 2 ;JL ; c = V,

(jui déterminent «, Z>, c, et, par les valeurs que l'on ob-tient ainsi, toutes les conditions d'équilibre sont satis-faites.

( 544 )La première et la deuxième des équations (71 ) don-

nen t d'abord

( 7 2 ) ) 7, .= Ü J L - ' V ^ îI " zpCri-rï)-'

et ces relations donnent les valeurs définitives de N u

No. Enfin la troisième équation (71) et la première (72)donnent a et c, de sorte qu'on a le système de valeurs

A - ' -

3 | A ( J X

JL fJ!»

À H-

9 [JL

-T--2

J

I1

.2

'o —21

>

riÖ

>1

«2 p' i l 1

A

3 À

0 —

H- '2 jx )

\x{ 3 À -f- •>. ;o. j [J.(3 À - i - '2 (a) /-f — /*ö

qui donne la solution complète du problème.

\I. iVIoiVEMK.NTS JJNTKRIEl US DES SYSTÈMES ISOTROPES.

49. Équations des mouvements intérieurs. — Consi-dérons un système élastique homogène, isotrope, sous-trait à toute force extérieure et indéfini dans tous lessens; supposons que les points de ce système, ayant étédéplacés, soient abandonnés avec des \itesses initiales àl'action des forces intérieures. Le milieu se mettra enmouvement, et, si Ton désigne par */, r, w les projec-tions du déplacement du point dont les coordonnéesétaient j?, j , z dans 1 état d'équilibre, ces projectionsdevront être considérées comme des fonctions de x,

j ' , z et du temps t.Ces fonctions satisfont aux équations (44) 4U'> c n

faisant abstraction des forces extérieures Xo, Yo, Zo,

( 545 )deviennent

dl) d*u( A - h »Jt ) — -1- U l l l = 0 —7—- i

rAr dt-

Le problème général des mouvements vibratoires con-siste à trouver des fonctions «, ç>, w satisfaisant à cestrois équations aux dérivées partielles du second ordre,et telles que leurs valeurs initiales, ainsi que celles de, -, , . r du dv div -, r -, ,leurs dérivées -=-, -r-? —r-> soient des ionctions donnéesdt dt dtdes coordonnées x, y, z.

Nous nous bornerons à montrer, par un exemplesimple, comment on peut, à laide des équations (j4)iétudier les propriétés de mouvements particuliers pourlesquels on connaît a priori la forme des fonctions quireprésentent les déplacements.

50. Mouvements simples. — On appelle mouvementsimple ou mouvement par ondes planes tout mouvementdans lequel les déplacements sont de la forme

' u ==p co^^ax — by-T c z — st-~ z> ),

(~5) v = q co^(a.T -+- by — cz — sf-\-o),? w = r OOS(«.T* -f- by -r- cz — st -1- o),

ƒ?, «7, r\ a, b, c\ 5, <p désignant des constantes.Examinons d'abord les propriétés générales de ces

mouvements que l'on a à considérer dans un grandnombre de théories physiques.

o l . Les formules (JJ) montrent d'abord que l'on aconstamment

// r \vp~ q ' /' '

Ann. de Mathémat.. 3e série, t. Vf!. (Décembre 1888.) 3«J

( 346 )

de sorte que, pour un point quelconque, le mouvementest rectîligne.

Désignons par p la distance du point (.r, j ' , 3) auplan, passant par l'origine, représenté par l'équation

(76) aX + 6Y + cZ = o.

En posant

( 7 7 ) /*2— « 2 - ^ h*-±- r2 ,

on a

7/ p = a x -f- />j' - - <" c,

et les formules ( 70) peuvent s'écrire

/ u = p ct)*(hp — s f — o )*(78) e:' w = 7^co^(hp — 67 -r- o).

On en conclut que tous les points situés à la memo

distance du plan représenté par l'équation (76') sont, au

même instant, déplacés de la même manière : de là la

dénomination de mouvements par ondes planes donnée

aux mouvements dont il s'agit.

52. Pour une valeur donnée de t, les déplacements

it, y, w prennent les mêmes valeurs lorsque p s'accroît

d'une quantité /, telle que /// = ^TZ-, cette quantité, dé-

terminée par la relation

(79) /-x'

représente ce que l'on appelle la longueur d'ondula-

tion.

Pour une valeur donnée de p, les déplacements w, p,

w prennent les mêmes valeurs lorsque t s'accroît d'une

quantité T, telle que S'z = 2~; cette quantité, déterminée

par la relation

< 80 ) z = — ,

représente ce que l'on appelle la durée de la vibra-tion.

Enfin, les valeurs des déplacements restent les mêmes

si l'on fait croître t de It et p de Ap, pourvu que l'on

suppose

par conséquent\o _It ~ t0'

la valeur de 10 étant

{ S? ) to = -^ — - •

La quanti té to, déterminée par J«i relation (3 ' i ) , repré-sente la vitesse de propagation.

53. Mouvements simples compatibles. — Cherchons

maintenant les conditions auxquelles doivent satisfaire

les déplacements d'un mouvement simple pour que ce

mouvement puisse se propager dans un milieu isotrope

donné, c'est-à-dire soit compatible avec la constitution

de ce milieu.

Les expressions (yj) doivent alors satisfaire aux équa-

tions (74)5 si l'on pose, pour simplifier,

ax — by — c z — st — o = <{/,

les valeurs (78) donnent

6= —{ap -1- bq -*- cr) ind>, -.- =— a(ap -+- bq -r- cr) cos<]>,

dï u

( 548 )

et la substitution de ces valeurs, dans la première des

équations (74)? donne, en supprimant le facteur com-

mun cos'j», la première des équations

/ (X -h ix)a(ap -4- bq -4- cr)-4-( JJI/I2— p<*2)/> = o,

(83 ; < (X-t- [i)b(ap -+- bq -+- cr)-h([j.h2— ps*)q = o,

' (X -+- \L) c(ap -+- bq -±- cr)-\-(\kh2— ps2) r = o,

les deux autres résultant de la substitution des valeurs

(^5), faite de la même manière, dans la seconde, puis

dans la troisième des équations (74)-

54. Si l'on ajoute les trois équations (83), respecti-

vement multipliées par a, Z>, c, 011 trouve

(84) (ap-+-bq -hcr;[(X 4-•; IJL)/*2— p^2J = o.

Il faut donc que Ton ait, ou (\ ~h (x [x) h'2 — os2=. o,

ou ap -f- bq -h cr = o.

55. Vibrations longitudinales. — Dans le premier

cas, la relation(X -\~ 2{x)h2— ps2 = o

donne, pour la vitesse de propagation co = 1,

( 8 5 ) . . . _ . / - • • ? * .

De plus, puisque pi//2—ps2 =—(À- f - J JL) A2, les équa-tions (83) donnent

Or />, <7, /• sont proportionnels à u, ç>, w\ a, &, c sont

proportionnels aux cosinus directeurs de la normale au

plan fixe représenté par l'équation (61); donc les rela-

tions (86) expriment que la vibration est perpendicu-

laire au plan de l'onde.

( 5 4 9 )Les vibrations si.mples, normales à l'onde plane, se

propageant avec la vitesse (85), sont dites longitudi-nales.

56. Vibrations transversales. — Dans le second cas,l'équation ap -h bq -h cr = o exprime que la vibrations'effectue dans le même plan de l'onde j de plus, lesrelations (83) se réduisent à

ce qui donne, pour la vitesse de propagation,

La dilatation cubique, donnée par la formule0 = — ( a p -\-bq -J-c/')cos^, est égale à zéro, de sorteque le mouvement a lieu sans que la densité du milieuhoit altérée.

Les vibrations simples, parallèles à Tonde plane, sepropageant avec la vitesse (87), sont dites transver-sales.

57. En résumé, les mouvements simples qui peuventse propager dans un milieu homogène et isotrope ap-partiennent nécessairement à l'un des deux systèmes devibrations, longitudinales ou transversales. Les vitessesde propagation, différentes pour les deux systèmes, ont,pour chaque système, une valeur déterminée restantla môme quelles que soient les durées et les amplitudesdes vibrations propagées. Enfin il est à remarquer que,dans tout mouvement longitudinal, la direction de lavibration est déterminée*, le mouvement est polarisé.Au contraire, dans tout mouvement transversal, la vi-bration n'est assujettie qu'à être dans le plan de l'onde}son orientation dans ce plan peut être quelconque.

( :>5o )58. Propagation de la lumière dans un milieu

isotrope. <— Dans la théorie des ondulations, on attribueles phénomènes lumineux aux vibrations d'un milieuélastique particulier. On admet que, dans les corps noncristallisés, ce milieu peut être considéré comme isotropeet l'on suppose que ses vibrations sont régies par leséquations (74)? avec la condition spéciale A -+- 2 u. = o.

En posant - = <?, les équations peuvent alors s'écrire

d* w _ ^ / _ dO "dt2 ~ 6 \ W ~~ ~dz) *

La condition A -f- i • JL = o attribue une valeur nulle àla vitesse de propagation des ondes longitudinales, desorte que, par suite de l'hypothèse admise, le milieu nepeut propager que des ondes planes transversales, nonpolarisées avec la vitesse co = yV, la même dans toutesles directions.

59. Propagation de la lumière dans un milieu cris-tallisé. — On peut rattacher la théorie physique de ladouble réfraction cristalline à la théorie de l'élasticité enadmettant que, dans un cristal transparent, il existetrois directions telles qu'en rapportant à ces directionsles vibrations de l'éther, ces vibrations soient régies parles équations

dx Iclt- \ dx

U* - • ' \ ~~ dy

\ -dn^^i1" dz

(\)o) \ s2q=f[h1q— b(ap -+- bq -f- cv)],

r — <-*(«/? -\-bq -\- cr)\.

( 55, )qui ne cîiilerent de celles des corps isotropes que par lasubstitution de trois coefficients distincts e, ƒ , g au coef-ficient unique e.

Pour qu'un mouvement, représenté par les formules(^5), puisse se propager dans le milieu, il faut que lesdéplacements w, y, w satisfassent aux équations (89); enopérant comme au 110 53, on trouve les trois conditions

/ s-p — e [h2p — a(ap -+- bq H- c/-)],

\ **/•=,Désignons par /, m, n les cosinus directeurs de la

normale à l'onde plane, de sorte que

a b ch h k

En divisant par //* les équations (90) et observant que

"- = o), il vient

/ (OJ2 — c)p — — cl (lp -\- mq -T- nr).

( 9 1 ) ( to2 — f )q — — f m ( //:> -î- mq -\- nr),

\ (oj2 — g)r — — ,^/t( lp H- mq -\- nr).

Ces équations sont linéaires et homogènes en p , y, r,et, en éliminant ces trois quantités, ou a une équationdu troisième degré en to2 donnant les vitesses différentesavec lesquelles une onde plane petit se propager dans ladirection (/, /;/, 11). Pour (aire l'élimination, il suffitd'écrire les équations de la manière suivante :

On en déduit immédiatement l'équation

eV fJ ; co2— e w2 — / w2— 4'

eV-.2—

qui admet une racine nulle.

( 552 )

Pour cette racine, les équations (92) donnent

E - 1. - L'l ~ m~ n'

ces équations correspondent à un mouvement simplelongitudinal; mais la condition t o 2 = o montre que cemouvement ne peut pas se propager.

Les deux autres racines o>2 sont fournies par l'équa-tion, /x l* m* n*

qui coïncide avec l'équation aux vitesses des ondesplanes trouvée par Fresnel.

À chacune de ses racines correspond, d'après les équa-tions (77), une direction déterminée de la vibration, desorte que, dans chaque direction, se propagent, avec desvitesses différentes, deux ondes planes polarisées.