1 LES FONCTIONS 1. Notion de fonction 2. Applications 3. Représentation graphique d’une fonction...

1

LES FONCTIONS

1. Notion de fonction

2. Applications

3. Représentation graphique d’une fonction

4. Sens de variation d’une fonction

5. Parité d’une fonction

6. Etude de fonctions

OBJECTIFS INTERMEDIAIRES

RESSOURCES

• LIVRE PAGES 140 0 173

• http://maths-lp.chez-alice.fr

2

LES FONCTIONS

1. Notion de fonction

2. Applications

3. Représentation graphique d’une fonction

4. Sens de variation d’une fonction

5. Parité d’une fonction

6. Etude de fonctions

OBJECTIFS INTERMEDIAIRES

RESSOURCES

• LIVRE PAGES 140 à 173

• http://maths-lp.chez-alice.fr

3

OBJECTIF INTERMEDIAIRE 1 : Notion de fonction

a) Activité préparatoire

Comment calcule-t-on son poids idéal ?

4

150)- cm) (en (Taille - 100-) cm (en Tailleidéal Poids

D’après LORENTZ, le poids idéal masculin se calcule par la formule :

Calcule ton poids idéal.

sommaire

4

LINGE SALE LAVER LE LINGE LINGE PROPRE

La fonction de la machine à laver est de laver le linge. Pour cela on procède par étapes :


• Mettre le linge dans la machine• Mettre la lessive

• Choisir le programme.

• Choisir la température.

• Lancer le programme.

• Sortir le linge propre.

MACHINE A LAVER


5

NOMBRE : x NOMBRE : f(x)

a) Activité préparatoire FONCTION f

On choisit x = 175

f (175) = 68,75

Calcule l’image de 175 par la fonction f .

4

150 --100 -

)(x x


6

NOMBRE : x NOMBRE : f(x)


La fonction numérique transforme les nombres. Pour cela, on procède par étapes :

• Soustraire 150 au nombre x• Diviser par 4

• Soustraire 100 et le résultat précédent à x

ANTECEDENT IMAGE

FONCTION f

4

150 --100 -

)(x x


7

b) Notation

Soit f la fonction qui à x associe x2 + x – 1 . On note :

f : x x2 + x - 1

f(x) = x2 + x - 1ou


8

c) Exemple de fonction numérique

Soit f la fonction qui a x associe 3x2 – 5 . On note f : x 3x2 – 5 ou f (x) = 3x2 – 5

• Elever le nombre x au carré.• Multiplier ce résultat par 3.

• Soustraire 5.

On choisit x = 1, calcule f (1)

FONCTION f1 f (1) = - 2

Décompose en français et par étapes la fonction f

ANTECEDENT IMAGE

• Elever 1 au carré :

• Multiplier ce résultat par 3 :

12 = 1

1 × 3 = 3

• Soustraire 5 : 3 – 5 = - 2

9

c) Exemple de fonction numérique

Soit f la fonction qui a x associe 3x2 – 5 . On note f : x 3x2 – 5 ou f (x) = 3x2 – 5

• Elever le nombre x au carré.• Multiplier ce résultat par 3.

• Soustraire 5.

On choisit x = 6, calcule f (6)

FONCTION f6 f (6) = 103

Décompose en français et par étapes la fonction f

ANTECEDENT IMAGE

• Elever 6 au carré :


62 = 36

36 × 3 = 108

• Soustraire 5 : 108 – 5 = 103

10

FONCTION fx f (x)

ANTECEDENT IMAGE

Remarque :

L’ensemble des antécédents constitue l’ensemble de définitionde la fonction f.

sommaire

11

OBJECTIF INTERMEDIAIRE 2 :Applications

a) Exercice 1 Décompose en français et par étapes les fonctions suivantes :

f(x) = 5x3 – 2x + 4

g(x) = 3( x2 – 1 )

• Elever le nombre x au cube

• Soustraire deux fois le nombre x.• Ajouter quatre.

• Multiplier ce résultat par cinq.

• Elever le nombre x au carré.

h(x) = )1(2 x

• Soustraire un à ce résultat.• Multiplier ce résultat par trois.

• Ajouter un au nombre x.• Calculer la racine carrée de ce résultat.• Multiplier ce résultat par deux.

sommaire

12

b) Exercice 2 Soit la fonction f définie sur [ - 2 ; 2 ] par :

f(x) = 5x3 – 2x + 4

Compléter le tableau suivant :

x - 2 -1 0 1 2

f(x)

Si x = - 2

• Elever - 2 au cube :• Multiplier ce résultat par 5 :

( - 2 )3 = - 8

- 8 × 5 = - 40

• Soustraire deux fois - 2 : -40 – 2(- 2) = - 36• Ajouter 4 : -36 + 4 = - 32• reporter (-32) dans le tableau.


13


f(x) = 5x3 – 2x + 4


x - 2 -1 0 1 2

f(x) - 32

Si x = - 2

• Elever (- 2) au cube :


( - 2 )3 = - 8

- 8 × 5 = - 40

• Soustraire deux fois (- 2) : -40 – 2(- 2) = - 36• Ajouter 4 : -36 + 4 = - 32

raccourci• reporter (-32) dans le tableau.


14


f(x) = 5x3 – 2x + 4


x - 2 -1 0 1 2

f(x) - 32

Si x = - 1



( - 1 )3 = - 1

- 1 × 5 = - 5

• Soustraire deux fois (- 1) : -5 – 2(- 1) = - 3• Ajouter 4 : -3 + 4 = 1• reporter 1 dans le tableau.


15


f(x) = 5x3 – 2x + 4


x - 2 -1 0 1 2

f(x) - 32 1

Si x = - 1



( - 1 )3 = - 1

- 1 × 5 = - 5

• Soustraire deux fois (- 1) : -5 – 2(- 1) = - 3• Ajouter 4 : -3 + 4 = 1

raccourci• reporter 1 dans le tableau.


16


f(x) = 5x3 – 2x + 4


x - 2 -1 0 1 2

f(x) - 32 1

Si x = 0

• Elever 0 au cube :


( 0 )3 = 0

0 × 5 = 0

• Soustraire deux fois 0 : 0 – 2(0) = 0• Ajouter 4 : 0 + 4 = 4• reporter 4 dans le tableau.


17


f(x) = 5x3 – 2x + 4


x - 2 -1 0 1 2

f(x) - 32 1 4

Si x = 0



( 0 )3 = 0

0 × 5 = 0

• Soustraire deux fois 0 : 0 – 2(0) = 0• Ajouter 4 : 0 + 4 = 4



18


f(x) = 5x3 – 2x + 4


x - 2 -1 0 1 2

f(x) - 32 1 4

Si x = 1



( 1 )3 = 1

1 × 5 = 5



19


f(x) = 5x3 – 2x + 4


x - 2 -1 0 1 2

f(x) - 32 1 4 7

Si x = 1



( 1 )3 = 1

1 × 5 = 5




20

b) Exercice 2Soit la fonction f définie sur [ - 2 ; 2 ] par :

f(x) = 5x3 – 2x + 4


x - 2 -1 0 1 2

f(x) - 32 1 4 7

Si x = 2



( 2 )3 = 8

8 × 5 = 40



21


f(x) = 5x3 – 2x + 4


x - 2 -1 0 1 2

f(x) - 32 1 4 7 40

Si x = 2



( 2 )3 = 8

8 × 5 = 40




22


f(x) = 5x3 – 2x + 4


x - 2 -1 0 1 2

f(x) - 32 1 4 7 40

sommaire


23

OBJECTIF INTERMEDIAIRE 3 :Représentation graphique d’une fonction

Soit la fonction f définie sur [ 160 ; 180 ] par :

a) Compléter le tableau suivant

x 160 165 170 175 180

f(x)

4

)150(100)(

xxxf

Dans un repère orthogonal, les points de coordonnées ( x ; f(x) )

avec x appartenant à l’ensemble de définition constituent la représentation graphique de la fonction.

sommaire

24


x 160 165 170 175 180

f(x) 57,5 61,25 65 68,75 72,5

Premier point de coordonnées (160 ; 57,5 )

Dans un repère orthogonal les points de coordonnées ( x ; f(x) )


4

)150(100)(

xxxfSoit la fonction f définie sur [ 160 ; 180 ] par :


25


deuxième point de coordonnées (165 ; 61,25 )

Dans un repère orthogonal les points de coordonnées ( x ; f(x) )


x 160 165 170 175 180

f(x) 57,5 61,25 65 68,75 72,5

4

)150(100)(

xxxfSoit la fonction f définie sur [ 160 ; 180 ] par :


26

b) Placer tous les points ainsi obtenus dans un repère

50

55

60

65

70

75

155 160 165 170 175 180 185

27


50

55

60

65

70

75

155 160 165 170 175 180 185

28

50

55

60

65

70

75

155 160 165 170 175 180 185


On constate qu’à chaque antécédent x correspond une image unique f(x).

29

A chaque antécédent x de l’ensemble de définition correspond une image unique f(x).

c) A retenir

A partir des courbes suivantes, déterminer celles qui représentent une fonction numérique.

30

x

y

x

y

x

y

x

y

Graphe d’une fonction

Graphe d’une fonction

O

O

O

O

sommaire

31

OBJECTIF INTERMEDIAIRE 4 : Sens de variation d’une fonction

Soit la représentation graphique d’une fonction f ci-dessous :

x

y

-2-6 5 8

O

sommaire

32



x

y

-2-6 5 8

O

sommaire

33



La fonction f est

décroissante La fonction f est

croissante

La fonction f est

décroissante

x

y

-2-6 5 8

O

sommaire

34



La fonction f est


croissante

La fonction f est

décroissante

x

y

-2-6 5 8

O

sommaire

35

OBJECTIF INTERMEDIAIRE 5 : Tableau de variation

sommaire

x

y

-2

-6 5 8

O

-4

-3

4

8

36sommaire

x

f

Créer un tableau à deux lignes et deux colonnes.

Placer x et f comme indiqué ci-dessous :

Placer les valeurs de l’intervalle de définition comme indiqué ci-dessous :

- 6 8


37sommaire

x

y

-2

-6 5 8

O

-4

-3

4

8

La fonction f est décroissante de -6 à -2

Repérer le premier intervalle de variation.


38

5. Tableau de variation

sommaire

x

f

- 6 8- 2

39sommaire

x

y

-2

-6 5 8

O

-4

-3

4

8

Repérer les valeurs de la fonctioncorrespondants à cet intervalle


40sommaire

x

f

- 6 8- 2

- 4

8


41sommaire

x

y

-2

-6 5 8

O

-4

-3

4

8

La fonction f est croissante de -2 à 5

Repérer l’intervalle suivant


42sommaire

x

f

- 6 8- 2 5

- 4

8


43sommaire

x

y

-2

-6 5 8

O

-4

-3

4

8

Repérer la valeur de la fonctioncorrespondant à cet intervalle


44sommaire

x

f

- 6 8- 2

- 4

8

5

4


45sommaire

x

y

-2

-6 5 8

O

-4

-3

4

8

La fonction f est décroissante de 5 à 8

Repérer l’intervalle suivant


46sommaire

x

f

- 6 8- 2 5

- 4

8 4


47sommaire

x

y

-2

-6 5 8

O

-4

-3

4

8

Repérer la dernière valeur de la fonctioncorrespondant à cet intervalle


48sommaire

x

f

- 6 8- 2

- 4

8

5

4

- 3


49

OBJECTIF INTERMEDIAIRE 6 : Parité de fonction

sommaire

50

x

y

x

y

O O


51

x

y

x

y

Les représentations graphiques des fonctions ci-dessus admettent l’axe des ordonnées (Oy) comme axe de symétrie.

On dit que ces fonctions sont paires.

O O


52

x

y

x

y

OO


53

x

y

x

y

Les représentations graphiques des fonctions ci-dessus admettent le point origine O(0;0) comme centre de symetrie.

On dit que ces fonctions sont impaires.

OO


54

Les représentations graphiques des fonctions ci-dessus ne possèdent aucunes symétries par rapport à l’origine O(0;0) ou par rapport à l’axe des ordonnées.

On dit que ces fonctions sont ni paires ni impaires.

OOx

y

x

y

sommaire


55

1) Exemple 1

Soit la fonction f définie sur [ - 3 ; 3 ] par : xx

xf 3

)(3

x - 3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)

a) Compléter le tableau de valeurs :

• Elever le nombre x au cube.

• Soustraire le nombre x.

• Diviser le résultat par 3.

OBJECTIF INTERMEDIAIRE 7 : Etude de fonction

56

1) Exemple 1

Soit la fonction f définie sur [ - 3 ; 3 ] par : xx

xf 3

)(3

a) Compléter le tableau de valeurs

x - 3 -2 -1 0 1 2 3

f(x) - 6 - 0,7 0,7 0 - 0,7 0,7 6

b) Tracer la courbe représentative de la fonction f

• Elever le nombre x au cube.

• Soustraire le nombre x.

• Diviser le résultat par 3.


57

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 1 2 3-1-2-3x

y

x

y

58La fonction f est

croissante La fonction f est


croissante

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 1 2 3-1-2-3x

y

59

c) Déterminer le sens de variation de la fonction f

Sur [- 3 ; - 1 ], la fonction est croissante.

Sur [- 1 ; 1 ], la fonction est décroissante.

d) Compléter le tableau de variation de la fonction f

x

f

- 3 3- 1

- 0,7

Sur [ 1 ; 3 ], la fonction est croissante.

1

0,7

- 6

6

60

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 1 2 3-1-2-3

e) Déterminer la parité de la fonction f

Sur [- 3 ; 3 ], la courbe représentative de la fonction admet une symétrie de centre O ( 0 ; 0 ), origine du repère .

La fonction f est impaire sur [- 3 ; 3 ]. sommaire

x

y

61

2) Exemple 2

Soit la fonction f définie sur [ - 3 ; 3 ] par : 5)( 2 xxf


x - 3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)


• Soustraire 5.

sommaire


62

7. Etude de fonction

2) Exemple 2

Soit la fonction f définie sur [ - 3 ; 3 ] par : 5)( 2 xxf

x - 3 -2 -1 0 1 2 3

f(x) 4 - 1 - 4 - 5 - 4 -1 4


b) Tracer la courbe représentative de la fonction f


• Soustraire 5.

63

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3 -2 -1 1 2 3x

y

64

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3 -2 -1 1 2 3x

y

65


La fonction f est décroissante

La fonction f est croissante

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3 -2 -1 1 2 3

66


Sur [- 3 ; 0 ] la fonction est décroissante.

Sur [ 0 ; 3 ] la fonction est croissante.

d) Compléter le tableau de variation de la fonction f :

x

f

- 3 30

4 4

- 5

67

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3 -2 -1 1 2 3

e) Déterminer la parité de la fonction f

Sur [- 3 ; 3 ], la courbe représentative de la fonction f admet une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées (Oy).

La fonction f est paire sur [- 3 ; 3 ]. sommaire

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