Notes de cours sur les suites et séries de fonctions

8/3/2019 Notes de cours sur les suites et séries de fonctions

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Chapitre II: Les suites et séries de fonctions(Notes du cours)

1 Les suites de fonctions

1.1 Dé…nition 1

SoitA(I; E ) l’ensemble des applications de l’ensemble I (qui peut être l’ensembledes réels ou des complexe) vers l’ensemble E (réel ou complexe).

Une suite d’application de I dans E , c’est à dire une suite de A(I; E ),est une application de N dans A(I; E ). Une suite de fonctions est donc unesuite dont le terme général est une fonction de la variable réelle ou complexex. Une telle suite se note (f n)n2N, où chaque f n est une fonction dé…nie sur unsous-ensemble non vide I de R (ou de C) et à valeurs réelles ou complexes.

Exemple 1:Soit la suite (f n)n2N de fonctions dé…nie par

(f n)n2N telleque (1)

f n : R! R

x 7! f n(x) = (1)nx:

Les courbes représentatives des fonctions de la suite (f n)n2N sont alternative-ment la première et la deuxième diagonale.

Par contre on ne peut pas dé…nir une suite de fonctions réelles du type(ln(x n))n2N car ces fonctions ne peuvent être dé…nies sur un même sousensemble de R.

1.2 Les di¤érents types de convergence

1.2.1 La convergence simple

Dé…nition 2 Soit (f n)n2N une suite de fonctions dé…nies sur un intervalleI et à valeurs réelles ou complexes. On dit que la suite (f n)n2N converge sim-plement sur I si et seulement si pour tout x de I , la suite numérique (f n(x))n2N

est convergente. Si la suite (f n)n2N converge simplement sur I , sa limite est lafonction dé…nie sur I , par

f (x) = limn!1

f n(x) (2)

et on note (f n)n2NCV S ! f

n!1

Cette dé…nition de la convergence simple s’exprime par la phrase mathéma-tique suivante

8x 2 I; 8 > 0; 9N 0 2 N telque 8n N 0 alors jf n(x) f (x)j <

avec N 0 = N 0(x; "): (3)

1



Exemple 2: Etudier la convergence simple des suites de fonctions suivantes:

La suite (f n)n2 dé…nie sur R par f n(x) = sin(nx)n + cos(nx)

: (4)

La suite (gn)n2N dé…nie sur R+ par gn(x) =enx

1 + nx2:

Théorème 1 (critère de Cauchy pour la convergence simple) Soit(f n)n2N une suite de fonctions dé…nies sur I et à valeurs dans R ou C. Pourque la suite (f n)n2N converge simplement sur I , il faut et il su¢t que, pour toutx de I , la suite numérique (f n(x))n2N soit une suite de Cauchy. En d’autrestermes

8x 2 I; 8 > 0; 9N 0 2 N telque 8n; m N 0 alors jf n(x) f m(x)j < (5)

Mais la convergence simple ne permet pas certaines opérations, par exempleintervertir les limites sur n et sur x.

1.2.2 La convergence uniforme

Dé…nition 3 Soit (f n)n2N, une suite de fonctions dé…nies sur I et soit f

une fonction dé…nie sur I . On dit que (f n)n2N converge uniformément vers f

sur I si et seulement si la suite numérique

n = Supx2I

jf n(x) f (x)j (6)

converge vers 0 lorsque n tend vers 1: Et on note

(f n)n2NCV U ! f

n!1

(7)

Cette dé…nition se traduit par les phrases mathématiques suivantes

8x 2 I; 8 > 0; 9N 0 2 N telque 8n N 0 alorsSupx2I

jf n(x) f (x)j < (8)

ou d’une manière équivalente

8 > 0; 9N 0 2 N telque8x 2 I; 8n N 0 alors jf n(x) f (x)j <

ou encore (9)

8 > 0; 9N 0 2 N telque 8n N 0 alors jf n(x) f (x)j < , 8x 2 I (10)

ainsi N 0 = N 0("): (11)

Notons que cette dé…nition n’a de sens que si les fonctions sont bornées(f n f 2 B(I; X = R ou C):

Exemple 3: Etudier la convergence simple et uniforme des suites de fonc-tions de l’exemple 2.

2



Théorème 2 Si la suite (f n)n2N converge uniformément vers f sur I alorselle converge simplement vers f sur I . En d’autres termes

(f n)n2NCV U ! f

n!1

sur I ) (f n)n2NCV S ! f

n!1

sur I (12)

Théorème 3 (critère de Cauchy pour la convergence uniforme)Soit (f n)n2N une suite de fonctions dé…nies sur I et à valeurs dans R ou C.Pour que la suite (f n)n2N converge uniformément sur I , il faut et il su¢t que

8x 2 I; 8 > 0; 9N 0 2 N telque 8n; m N 0 alors Supx2I

jf n(x) f m(x)j < (13)

ou bien (14)

8 > 0; 9N 0 2 N telque8x 2 I; 8n; m N 0 alors jf n(x) f m(x)j < (15)

Théorème 4 Soit (f n)n2N une suite de fonctions dé…nies sur I et soit f une fonction dé…nie sur I . S’il existe une suite numérique positive (an)n2N,telleque

8n 2 N; n = Supx2I

jf n(x) f (x)j an (16)

et limn!1

an = 0

alors la suite de fonctions (f n)n2N converge uniformément.Exemple 4: Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (hn)n2N

de fonctions dé…nie sur R+; telleque

hn(x) =x

enx(17)

Théorème 5 Soit (f n)n2N une suite de fonctions dé…nies sur I et soit f

une fonction dé…nie sur I . Alors la suite (f n)n2N converge uniformément versf sur I si et seulement si, pour toute suite de réels (xn)n2N dans l’intervalle I ,on a

limn!1

jf n(xn) f (x)j = 0 (18)

Remarque: On utilise plus facilement cette proposition mais sous la formesuivante: Pour que la suite (f n)n2N ne converge pas uniformément sur I , il su¢tde trouver une suite (xn)n2N d’éléments de I telleque

limn!1

jf n(xn) f (x)j 6= 0 (19)

Exemple 5: Etudier la convergence simple et uniforme de la suite (in)n2N

de fonctions dé…nie sur R; telleque

in(x) =sin x

1 + n2x2(20)

3



1.2.3 Comment pratiquement, prouver la convergence?

La convergence simple: On …xe x 2 I et on étudie la suite numérique(f n(x))n2N.La convergence uniforme: On …xe n 2 N et on étudie la fonction f n

f où f est déterminée préalablement par la convergence simple. On calculeSupx2I

jf n(x) f (x)j, ou on l’estime, puis on applique les théorèmes précédents.

1.3 Propriétés des suites de fonctions convergeant unifor-mément

1.3.1 Propriété 1

Théorème 6 Soit (f n)n2N une suite de fonctions de I R et à valeursdans C et soient gn et hn les fonctions réelles dé…nies par gn = Re(f n) et

hn = Im(f n) : Alors la suite (f n)n2N converge simplement (uniformément) versf = g +ih si et seulement si les suites (gn)n2N et (hn)n2N convergent simplement(uniformément) vers, g et h respectivement.

1.3.2 Propriété 2: la continuité

Théorème 7 Si une suite (f n)n2N de fonctions continues et bornées sur I

converge uniformément vers f alors f est continue et bornée sur I .Ce théorème se ramène à l’égalité des limites suivantes (on parlera "d’inversion

des limites":

8a 2 I; f (a) = limn!1

f n(a) = limn!1

(limx!a

f n(x)) = limx!a

(limn!1

f n(x)): (21)

Remarque:i- Ce théorème est parfois utilisé pour montrer qu’il n’y a pas de convergence

uniforme, "si la suite de fonctions (f n)n2N converge simplement vers f sur I , siles fonctions f n sont continues en un points a 2 I et que f n’est pas continueen a, alors il n’y a pas de convergence uniforme de (f n)n2N vers f sur I (c’est

le cas pour la suite (f n)n2N; f n = enx

1+nx2dé…nies sur R+).

ii- Si une suite de fonctions (f n)n2N converge simplement vers f , alors f n’estpas nécessairement continue. (Même si on n’a pas de convergence uniforme, lalimite d’une suite de fonctions continues peut être continue, c’est le cas pour lasérie (in)n2N de fonctions dé…nie sur R; telleque in(x) = sin x

1+n2x2).

iii- Dans le cas où l’intervalle I est un intervalle borné de R, le théorème deDini fournit une condition nécessaire de convergence uniforme: Soit (f n)n2N

une suite monotone de fonctions continues dé…nies sur I R et à valeurs réelles.Si (f n)n2N converge simplement vers une fonction f continue sur I alors (f n)n2N

converge uniformément vers f sur I .

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1.3.3 Propriété 3: l’intégration

Théorème 8 Soit (f n)n2N une suite de fonctions continues sur un inter-valle [a; b] de R et x0 un élément de [a; b]. Soit (F n)n2N la suite de fonctions

dé…nies sur [a; b] par F n(x) =xR

x0

f n(t)dt et F la fonction également dé…nie sur

[a; b] par F (x) =xR

x0

f (t)dt . Si la suite (f n)n2N converge uniformement vers f

sur [a; b] alors la suite de fonctions (F n)n2N converge uniformement vers F sur[a; b].

Cette propriété peut s’écrire

limn!1

xZ

x0

f n(t)dt =

xZ

x0

limn!1

f n(t)dt (22)

Remarque:

i- L’application F n : x 7!xR

x0

f n(t)dt est la primitive de f n qui s’annule en

x0. De même l’application F : x 7!xR

x0

f (t)dt la primitive de f qui s’annule en

x0:

ii- Ce théorème donne une condition su¢sante de convergence uniforme.

Corollaire 1 Soit (f n)n2N une suite de fonctions continues sur un inter-valle [a; b] de R et à valeurs dans E . Si la suite de fonctions (f n)n2N converge

uniformement vers f sur [a; b] alors la suite numérique (b

R a

f n(t)dt)n2N converge

versbR

a

f (t)dt. C’est à dire

limn!1

bZ

a

f n(t)dt =

bZ

a

limn!1

f n(t)dt (23)

Exemple 6Considérons la suite (f n)n2N de fonctions continues de I = [0; 2] vers C,

dé…nies par

f n(t) =neit

1 + n; t 2 [0; 2] (24)

Montrer que la suite (gn)n2N de fonctions dé…nies sur [0; 2] par

gn(x) = in

n + 1(1 eix) (25)

converge uniformément sur I .

5



1.3.4 Propriété 4: la dérivation

Théorème 9 Soit (f n)n2N une suite de fonctions dérivables sur un inter-valle I R et soit (f 0n

)n2N la suite de fonctions obtenue en dérivant les termesde la suite de fonctions (f n)n2N par rapport à la variable réelle. Supposons que:

i- (f 0n)n2N converge uniformément vers une fonction g sur I;

ii- il existe un x0 2 I telque la suite numérique (f n(x0))n2N convergevers un réel y0 (CVS de (f n)n2N),

alors la suite (f n)n2N converge uniformément sur I vers la fonction f dériv-able où f est la primitive de la fonction g sur I telleque f (x0) = y0.

Cette propriété peut s’écrire

( limn!1

f n(x))0 = g(x) = limn!1

f 0n(x) = f 0(x) (26)

De plus, siSoit (f n)n2N une suite de fonctions de classe C 1 sur un intervalle I R.

Supposons que:i- (f 0

n)n2N converge uniformément vers une fonction g sur I;

ii- Il existe un x0 2 I telque la suite numérique (f n(x0))n2N convergevers un réel y0 (CVS de (f n)n2N),

alors la suite (f n)n2N converge uniformément sur I vers la fonction f declasse C 1où f est la primitive de la fonction g sur I telleque f (x0) = y0.

Il existe de nombreuses variantes du théorème 9, à savoir

Corollaire 2 Soit (f n)n2N une suite de fonctions dérivable sur un intervalleI R. Supposons que:

i- (f 0n

)n2N converge uniformément vers une fonction g sur I;

ii- la suite (f n)n2N converge simplement sur I vers une fonction f

alors la fonction f est dérivable sur I et véri…e f 0 = g, c’est à dire

( limn!1

f n(x))0 = limn!1

f 0n

(x) (27)

Corollaire 3 Soit (f n)n2N une suite de fonctions dé…nies sur [a; b] R età valeurs dans R ou C. On suppose que les f n sont continument dérivables sur[a; b]. Si la suite des (f n)n2N converge uniformément vers f sur [a; b] et si lasuite des (f 0

n)n2N converge uniformément vers g sur [a; b], alors f est continument

dérivable sur [a; b] et f 0 = g.

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