Nombres aléatoires

Azzouz Dermoune

6 février 2017

Table des matières

1 Nombres aléatoires uniformément distribués 31.1 Nombres uniformément distribués sur {1, . . . ,M} . . . . . . . 3

1.1.1 Nombres distribués selon la loi de Bernoulli de para-mètre p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Nombres 2-uniformément distribués sur {1, . . . ,M} . . . . . . 61.3 Nombres d-uniformément distribués sur {1, . . . ,M} . . . . . . 7

1.3.1 La loi binomiale de paramètre (N, p) . . . . . . . . . . 71.4 Nombre aléatoire uniformément distribué sur {1, . . . ,M} . . . 81.5 Nombres (m, d)-uniformément distribués sur {1, . . . ,M} . . . 9

1.5.1 Loi géométrique de paramètre p . . . . . . . . . . . . . 91.5.2 Loi de Poisson de paramètre λ . . . . . . . . . . . . . 10

2 Construction physique des nombres aléatoires 112.1 Nombres aléatoires binaires : les lancers d’une pièce de monnaie 112.2 Construction des nombres aléatoires à l’aide d’un dé . . . . . 12

3 Langage probabiliste, variable aléatoire discrète 133.1 Variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2.1 Probabilité d’un événement . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Moyenne, espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3.1 Variable centrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.4.1 Variable centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Nombres aléatoires uniformément distribués sur [0, 1] 164.1 Echauffements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2 Nombres 1-uniformément distribués . . . . . . . . . . . . . . . 17

1

4.2.1 Fonction de répartition et densité de la loi uniformesur [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2.2 Intégrale de Riemann et la loi uniforme sur [0, 1] . . . 184.2.3 Nombres 1-uniformément distribués sur [a, b] . . . . . 184.2.4 Nombres distribués selon la loi exponentielle de para-

mètre λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3 Nombres 2-uniformément distribués . . . . . . . . . . . . . . . 204.4 Nombres 3-uniformément distribués . . . . . . . . . . . . . . . 214.5 Nombres d-uniformément distribués . . . . . . . . . . . . . . . 234.6 Nombres aléatoires uniformes sur [0, 1] . . . . . . . . . . . . . 23

5 Fonction de répartition et densité d’une loi de probabilitésur R 255.1 Fonction de répartition d’une loi de probabilité sur R . . . . . 25

5.1.1 Interprétation probabiliste de la fonction de répartition 255.2 La densité d’une loi de probabilité sur R . . . . . . . . . . . . 285.3 Formule de changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . 305.4 Loi de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.5 La fonction Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2

Chapitre 1

Nombres aléatoiresuniformément distribués

Soit un entier M ≥ 2 et {1, . . . ,M} l’ensemble des nombres entiers 1,. . . , M.

1.1 Nombres uniformément distribués sur {1, . . . ,M}Définition. Une suite (x0, . . . , xn−1) d’entiers ayant n termes est unifor-

mément distribuée sur {1, . . . ,M} si pour chaque m ∈ {1, . . . ,M}

card{0 ≤ i ≤ n− 1 : xi = 1} = . . . = card{0 ≤ i ≤ n− 1 : xi = m} = . . .

= card{0 ≤ i ≤ n− 1 : xi = M} := qn.

Conséquence. Si la suite (x0, . . . , xn−1) est uniformément distribuée sur{1, . . . ,M} alors forcément

card{0 ≤ i ≤ n− 1 : xi = m} =n

M= qn

et alors M divise n. La suite (x0, . . . , xn−1) visite qn chaque entier m ∈{1, . . . ,M}. C’est-à-dire le pourcentage∑n−1

i=0 1[xi=m]

n=

1

M, ∀m ∈ {1, . . . ,M}.

Définition. Une suite (xi : i = 0, . . .) d’entiers ayant un nombre infinide termes est uniformément distribuée sur {1, . . . ,M} si

limn→+∞

∑n−1i=0 1[xi=m]

n→ 1

M, ∀m = 1, . . . ,M. (1.1.1)

3

Exercice 1. a) On suppose que la suite a seulement n termes x0, . . . ,xn−1 et qu’elle est uniformément distribuée sur {1, . . . ,M}. Dans ce cas∑n−1

i=0 1[xi=m]

n=

1

M, ∀m = 1, . . . ,M.

Donner un exemple avec n = 6 et M = 3.b) On suppose que x0, x1, . . . est une suite ayant un nombre infini de

termes et 1-uniformément distribuée sur {1, . . . ,M}. i) Montrer que, pourchaque 1 ≤ m ≤M ,

νn(m) = qn + o(n),

où o(n) est un entier qui peut dépendre de m et il vérifie o(n)n → 0 lorsque

n→ +∞.ii) On définit pour chaque 1 ≤ m ≤ M l’ensemble {i ∈ N : xi = m}.

Montrer que {i ∈ N : xi = m} est infini et que les égalités suivantes ontlieu :

{i ∈ N : xi ≤ m} =m⋃k=1

{i ∈ N : xi = k},

{i ∈ N : xi > m} =

M⋃k=m+1

{i ∈ N : xi = k}.

Définition : Loi uniforme. Une suite (xi) est uniformément distribuéesur une ensemble E, ayant un nombre fini M d’éléments, si

limn→+∞

∑n−1i=0 1[xi=e]

n=

1

M, ∀ e ∈ E.

Le pourcentage 1M s’interprète comme la probabilité de tirer au hasard l’élé-

ment e dans l’ensemble E.La somme des pourcentages ( 1

M , . . . , 1M ) est égale à 1. La suite ( 1

M , . . . , 1M )

s’appelle la distribution de probabilités uniforme (ou simplement loi uni-forme) sur E.

Exemple : La loi de Bernoulli de paramètre 12 . E = {0, 1} et sa loi

uniforme (12 ,

12).

Exercice 2. a) Transformation linéaire de la loi uniforme. Soit (xi)une suite uniformément distribuée sur {1, . . . ,M}. Soient a, b deux nombresréels avec a 6= 0. Montrer que la suite y0 = ax0 + b, y1 = ax1 + b, . . . est1-uniformément distribuée sur l’ensemble E = {a+ b, 2a+ b, . . . ,Ma+ b}.

4

b) Transformation non linéaire de la loi uniforme. Soit (xi) une suite1-uniformément distribuée sur {1, . . . , 6}. On définit la suite

yi = |xi − 3|, i = 0, 1, . . .

Calculer pour chaque entier m = 0, 1, 2, 3 la limite

limn→+∞

∑n−1i=0 1[yi=m]

n= pm.

Montrer que (p0, p1, p2, p3) est une distribution de probabilités sur l’ensemble{0, 1, 2, 3}. Cette distribution est-elle uniforme ?

1.1.1 Nombres distribués selon la loi de Bernoulli de para-mètre p

Soit (xi) une suite uniformément distribuée sur {1, . . . ,M}. On fixe 1 ≤k < M . On définit la suite

yi = 1[1≤xi≤k], i = 0, 1, . . . .

Montrer l’égalité

limn→+∞

∑n−1i=0 1[yi=1]

n=

k

M.

Les nombres (yi) sont les nombres de Bernoulli de paramètre p = kM . Le

couple (1−p, p) est la distribution de probabilités de Bernoulli de paramètrep sur {0, 1}.

Définition. Soit p ∈]0, 1[ fixé. Une suite (yi) de nombres 0 ou bien 1 estdite 1-distribuée selon la loi de Bernoulli de paramètre p si

limn→+∞

∑n−1i=0 1[yi=1]

n= p.

Interprétation. Soit (yi) une suite de Bernoulli de paramètre p. Le coûtpour envoyer tous les termes qui vérifient yi = 0 est égal à

limn→+∞

∑n−1i=0 1[yi=0]

n= 1− p.

Le coût pour envoyer tous les termes qui vérifient yi = 1 est égal à

limn→+∞

∑n−1i=0 1[yi=0]

n= p.

5

Si on veut envoyer tous les termes, alors le coût est

(1− p) + p = 1.

Exercice 3. Soit (yi) une suite distribuée selon la loi de Bernoulli deparamètre p. Calculer les limites

limn→+∞

∑n−1i=0 yin

= moyenne,

limn→+∞

{∑n−1

i=0 y2i

n− (

∑n−1i=0 yin

)2} = variance.

1.2 Nombres 2-uniformément distribués sur {1, . . . ,M}Exercice 4. Soit (xi) une suite 1-uniformément distribuée sur {1, . . . , 6}.

On définit la suite

yi = xi + xi+1, i = 0, 1, . . . .

Soit 2 ≤ m ≤ 12. Expliquer pourquoi on ne peut pas calculer la limite

limn→+∞

∑n−1i=0 1[yi=m]

n.

Définition. Une suite (xi) de nombres entiers est 2-uniformément distribuéesur {1, . . . ,M} si

limn→+∞

∑n−1i=0 1[xi=m0,xi+1=m1]

n=

1

M2, ∀m0,m1 = 1, . . . ,M. (1.2.1)

Le pourcentage p(m0,m1) = 1M2 est la probabilité de tirer au hasard le couple

(m0,m1). La suite (p(m0,m1) : m0,m1 = 1, . . . ,M) est la distribution deprobabilités uniforme sur l’ensemble des couples {1, . . . ,M}2.

Exercice 3. Soient (xi) des nombres entiers 2-uniformément distribuéssur {1, . . . , 6}. On considère la nouvelle suite

yi = xi + xi+1, i = 0, 1, . . . .

a) Quels sont les valeurs possibles pour le terme général yi.b) Calculer pour chaque entier 2 ≤ m ≤ 12 la limite

limn→+∞

∑n−1i=0 1[yi=m]

n= pm.

6

c) Montrer que la suite (p2, . . . , p12) est une distribution de probabilitéssur {2, . . . , 12}.

c) Soit (xi) une suite 2-uniformément distribuée sur {0, 1}. On définit lasuite

yi = xi + xi+1 + xi+2, i = 0, 1, . . . .

Soit 0 ≤ m ≤ 3. Expliquer pourquoi on ne peut pas calculer la limite

limn→+∞

∑n−1i=0 1[yi=m]

n.

1.3 Nombres d-uniformément distribués sur {1, . . . ,M}Définition. Soit (xi) une suite dont le terme général appartient à {1, . . . ,M}.

Soient d ≥ 1 un entier et (m0, . . . ,md−1) ∈ {1, . . . ,M}d. L’effectif des vec-teurs (x0, . . . , xd−1), (x1, . . . , xd), . . . , (xn−1, . . . , xn−1+d−1) qui visite le vec-teur (m0, . . . ,md−1) est égal à

νn(m0, . . . ,md−1) =n−1∑i=0

1[xi=m0,...,xi+d−1=md−1].

Les nombres entiers (xi) sont d-uniformément distribués, si

limn→+∞

νn(m0, . . . ,md−1)

n=

1

Md, ∀ 1 ≤ m0, . . . ,md−1 ≤M. (1.3.1)

Notation. La fonction indicatrice

1[xi=m0,...,xi+d−1=md−1] = 1, si xi = m0, . . . , xi+d−1 = md−1,

1[xi=m0,...,xi+d−1=md−1] = 0, si pour au moins un indice k xk 6= mk.

1.3.1 La loi binomiale de paramètre (N, p)

Proposition. Soit 0 ≤ m ≤ N un entier. Le nombre des vecteurs(i1, . . . , iN ) ∈ {0, 1}N tels que

N∑k=1

ik = m

7

est égal à (N

m

)=

N !

m!(N −m)!.

Exercice 4 : La loi binomiale de paramètre (N, 12). Soit d ≥ N ≥ 1

deux entiers fixés et (xi) une suite d-uniformément distribuée sur {0, 1}. Ondéfinit la suite

yi = xi + . . .+ xi+N−1, i = 0, 1, . . . .

a) Calculer pour chaque entier 0 ≤ m ≤ N la limite

limn→+∞

∑ni=0 1[yi=m]

n= pm.

b) Montrer que la suite (p0, . . . , pN ) est une distribution de probabilités sur{0, . . . , N}. Le pourcentage pm est la probabilité d’obtenir m piles dans Nlancers d’une pièce de monnaie équilibrée.

Exercice 5 : La loi binomiale de paramètre (N, p). Soit d ≥ N ≥ 1deux entiers fixés et (xi) une suite d-uniformément distribuée sur {0, 1}. Onfixe 1 ≤ k < M et on pose p = k

M .On définit la suite

yi = 1[1≤xi≤k] + . . .+ 1[1≤xi+N−1≤k], i = 0, 1, . . . .

a) Montrer l’égalité

limn→+∞

∑ni=0 1[yi=m]

n=

(N

m

)pm(1− p)N−m := pm.

b) Montrer que la suite (p0, . . . , pN ) est une distribution de probabilités sur{0, . . . , N}. Le pourcentage pm est la probabilité d’obtenir m piles dans Nlancers d’une pièce de monnaie équilibrée.

c) Calculer la moyenne et la variance.

1.4 Nombre aléatoire uniformément distribué sur{1, . . . ,M}

Définition. La suite de nombres entiers (xi) dont le terme générale ap-partient à {1, . . . ,M} est aléatoire et uniformément distribuée sur {1, . . . ,M}si elle est d-uniformément distribué sur {1, . . . ,M}.

Question. Si les nombres (x0, x1, . . .) sont aléatoires et uniformémentdistribués sur {1, . . . ,M}, les nombres (x0, x2, x4, . . .) sont ils aléatoires etuniformément distribués sur {1, . . . ,M} ?

La réponse est donnée dans la section suivante.

8

1.5 Nombres (m, d)-uniformément distribués sur {1, . . . ,M}Soit (x0, x1, . . .) une suite de nombres d’entiers qui prennent des valeurs

entre 1 et M . Soit d,m ≥ 1 un couple de nombres entiers et 0 ≤ j ≤ m− 1.L’effectif des vecteurs (xkm+j , . . . , xkm+j+d−1), k = 0, . . . , n−1 qui coïn-

cident avec (m0, . . . ,md−1) est égal à

νnj (m0, . . . ,md−1) =n−1∑k=0

1[xkm+j=m0,...,xkm+j+d−1=md−1].

Les nombres entiers x0, x1, . . . sont (m, d)-uniformément distribués, si

limn→+∞

νnj (m0, . . . ,md−1)

n=

1

Md, (1.5.1)

pour tout vecteur (m0, . . . ,md−1) ∈ {1, . . . ,M}d et pour tout entier j =0, . . . ,m− 1.

Le résultat suivant a été démontré par Ivan Niven, H.S. Zuckerman, Do-nald E. Knuth.

Theorem 1.5.1. Les nombres aléatoires uniformément distribués sur {1, . . . ,M}sont (m, d)-uniformément distribués pour tous les couples d’entiers m, d ≥ 1.

Exercice 6. Soit (xi) des nombres aléatoires et uniformément distribués.Montrer que les nombres suivants sont aussi aléatoires et uniformément dis-tribués : a) (x2i), b) (x2i+1), c) (x3i), d) (x3i+1) , e) (x3i+2).

1.5.1 Loi géométrique de paramètre p

Soit (xi) des nombres aléatoires et uniformément distribués sur {1, . . . ,M}.On fixe 1 ≤ k < M et on pose p = k

M . On définit yi = 1[1≤xi≤k] et

zi = min{k : yi+k = 1}, i = 0, 1, . . . .

Exercice. 1) Montrer les égalités

limn→+∞

∑n−1i=0 1[zi=0]

n= p,

limn→+∞

∑n−1i=0 1[zi=m]

n= (1− p)m−1p, ∀m ≥ 1.

Montrer que la suite (p, (1 − p)p, (1 − p)2p, . . .) est une distribution de pro-babilités sur N. Si on lance une infinité de fois une pièce de monnaie deparamètre de succès p, la probabilité d’obtenir pile pour la première fois aulancer numéro m est égale à pm.

2) Calculer la moyenne et la variance.

9

1.5.2 Loi de Poisson de paramètre λ

Soit (xi) des nombres aléatoires et uniformément distribués sur {1, . . . ,M}.On fixe 1 ≤ k < M , N ≥ 1 et on pose p = k

M . On définit la suite

yi = 1[1≤xi≤k] + . . .+ 1[1≤xi+N−1≤k], i = 0, 1, . . . .

a) On suppose que Np→ λ lorsque N,M → +∞. Montrer que pour chaqueentier m = 0, 1, . . .,

limN→+∞

(N

m

)pm(1− p)N−m = exp(−λ)

λm

m!:= pm.

b) Montrer que la suite (pm : m = 0, 1, . . .) est une distribution de probabi-lités sur N.

c) Calculer la moyenne et la variance.

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Chapitre 2

Construction physique desnombres aléatoires

2.1 Nombres aléatoires binaires : les lancers d’unepièce de monnaie

Si on lance une infinité de fois une pièce de monnaie, alors on obtientune suite x0, x1, . . . ∈ {0, 1}. La valeur xi = 0 signifie que le i-ème lancer estface. La valeur xi = 1 signifie que le i-ème lancer est pile. Le lancer initialest noté x0. Les chiffres 0 et 1 sont appelés en anglais binary digit (bit).

Le vecteur (b0, . . . , bd−1), où bi est un bit, est appelé un mot de d bits.L’ensemble des mots à d bits est égal à {0, 1}d. Il y a 2d mots à d bits.

Si la pièce est parfaite, alors on admet que les nombres x0, x1, . . . sontaléatoires et uniformément distribués sur {0, 1}.

Exercice. On rappelle que chaque entier m ≤ 2d − 1 a une unique re-présentation (appelée la représentation en base 2) de la forme

m = a0(m)20 + a12 + . . .+ ad−1(m)2d−1,

où a0(m), . . . , ad−1(m) ∈ {0, 1}. Le vecteur (a0(m), . . . , ad−1(m)) ∈ {0, 1}dest la représentation binaire de l’entier m.

Soit (xi) des nombres aléatoires binaires uniformément distribués. Mon-trer que les nombres entiers

yn = xn20 + . . .+ xn+d−12d−1, n = 0, 1, . . . ,

sont 1-uniformément distribués sur {0, . . . , 2d − 1}.

11

2.2 Construction des nombres aléatoires à l’aided’un dé

Si on lance une infinité de fois un dé, alors on obtient une suite x0, x1, . . . ∈{1, . . . , 6}. La valeur xi = j signifie que le i-ème lancer est la face j.

Le vecteur (x0, . . . , xd−1) ∈ {1, . . . , 6}d peut prendre 6d possibilités.Si le dé est parfait, alors on admet que les nombres x0, x1, . . . sont aléa-

toires et uniformément distribués sur {1, . . . , 6}.

12

Chapitre 3

Langage probabiliste, variablealéatoire discrète

3.1 Variable aléatoire

Soit (p1, . . . , pM ) une distribution de probabilités sur {1, . . . ,M}, c’est-à-dire

0 < pm < 1, p1 + . . .+ pM = 1.

Une suite (xi) de nombres entiers appartenant à {1, . . . ,M} est 1-distribuéeselon la distribution de probabilités (pm) si

limn→+∞

∑n−1i=0 1[xi=m]

n= pm, m = 1, . . . ,M.

Un terme de la suite (xi) pris au hasard sera noté par la variable X.Ainsi X = x0, ou bien X = x1, ou bien U = x2, . . . . La variable X est uneapplication

X : i ∈ N→ xi.

Elle appelée variable aléatoire dont la loi est égale à (pm).

3.2 Événements

Pour chaque partie A ⊂ {1, . . . ,M}, l’ensemble

{i ∈ N : xi ∈ A} := [X ∈ A]

13

est appelé événement X ∈ A. L’événement contraire de X ∈ A est égal à

{i ∈ N : xi /∈ A} := {i ∈ N : xi ∈ {1, . . . ,M} \A}= [X /∈ A] = [X ∈ {1, . . . ,M} \A].

3.2.1 Probabilité d’un événement

Si A ⊂ {1, . . . ,M}, alors

P(X ∈ A) = limn→+∞

∑n−1i=0 1A(xi)

n=∑a∈A

pa.

3.3 Moyenne, espérance mathématique

Soit (pm : m = 1, . . . ,M) une distribution de probabilités sur l’en-semble {1, . . . ,M}, et (xi) de nombres entiers appartenant à {1, . . . ,M}1-distribuée selon la distribution de probabilités (pm).

Définition. Moyenne, espérance mathématique :

limn→+∞

∑n−1i=0 xin

= p1 + 2p2 + . . .+MpM = E[X].

Si M = +∞, alors la somme devient une série et elle peut diverger.Exercice.Moyenne d’une variable de Bernoulli de paramètre p. Moyenne

d’une variable binomiale de paramètre (N, p). Moyenne d’une variable géo-métrique de paramètre p. Moyenne d’une variable de Poisson de paramètreλ.

3.3.1 Variable centrée

La moyenne E(X) est un paramètre statistique de la loi (pm). La nouvellevariable X − E(X) : i ∈ N→ xi − E(X) est centrée. Sa moyenne

E(X − E(X)) =M∑k=1

(k − E(X))pk = 0.

3.4 Variance

Définition. Moment d’ordre deux :

limn→+∞

∑n−1i=0 x

2i

n= p1 + 22p2 + . . .+M2pM = E[X2].

14

Si M = +∞, alors la somme devient une série et elle peut diverger.Définition. Variance :

V ar(X) = limn→+∞

∑n−1i=0 (xi − E(X))2

n= (1− E(X))2p1 + . . .+ (M − E(X))2pM .

Exercice. 1) La variance V ar(X) = 0 si et seulement si il existe un seulterme pm = 1 et les autres pk = 0 pour j 6= m. Le pourcentage des termesxi 6= m est nul. Le pourcentage des termes xi = m est égale à pm = 1.

2) Inégalité de Tchebechev : Pour tout entier l non nul

P (|X − E(X)| ≥√lV ar(X)) = lim

n→+∞

∑n−1i=0 1

[|xi−E(X)|≥√

lV ar(X)]

n≤ 1

l.

3.4.1 Variable centrée réduite

La nouvelle variable

X − E(X)√V ar(X)

a pour moyenne nulle et de variance égale à 1. Il est toujours préférable decentrer et de réduire.

15

Chapitre 4

Nombres aléatoiresuniformément distribués sur[0, 1]

4.1 Echauffements

Soit E un ensemble non vide et A ⊂ E. La fonction indicatrice de A estdéfinie par

1A(x) = 1, si x ∈ A,1A(x) = 0, si x /∈ A.

Si A,B ⊂ E sont deux parties de E, alors

A \B = {a ∈ A : a /∈ B}.

Proposition. 1) Si B ⊂ A, alors

1A(x)− 1B(x) = 1A\B(x).

2) Si A, B sont quelconques, alors

1A(x)− 1B(x) = 1A\B(x)− 1B\A(x).

Exemple. Si E = R, a < b sont deux nombres réels, alors

1[0,b] − 1[0,a] = 1]a,b],

1[0,b] − 1[0,a[ = 1[a,b],

1[0,b[ − 1[0,a] = 1]a,b[,

1[0,b[ − 1[0,a] = 1]a,b[.

16

4.2 Nombres 1-uniformément distribués

Une suite 0 ≤ ui ≤ 1, i = 0, 1, . . . de nombres réels est 1-uniformémentdistribuée si

limn→+∞

∑n−1i=0 1[0,t](ui)

n→ t, ∀ t ∈ [0, 1]. (4.2.1)

Exercice. Si la suite 0 ≤ ui ≤ 1, i = 0, 1, . . . est 1-uniformément distri-buée sur [0, 1], alors nous avons pour tous les couples 0 ≤ a < b ≤ 1 :

limn→+∞

∑n−1i=0 1[a,b](ui)

n→ b− a,

limn→+∞

∑n−1i=0 1[a,b[(ui)

n→ b− a,

limn→+∞

∑n−1i=0 1]a,b](ui)

n→ b− a,

limn→+∞

∑n−1i=0 1]a,b[(ui)

n→ b− a.

4.2.1 Fonction de répartition et densité de la loi uniformesur [0, 1]

Exercice. a) Le pourcentage des visites de l’intervalle (−∞, t] par lasuite u0, . . . , un−1 est égal à

Fn(t) :=

∑n−1i=0 1(−∞,t](ui)

n.

Tracer la courbe de la fonction

t ∈ R→ Fn(t).

b) On suppose que la suite (ui) est 1-uniformément distribuée sur [0, 1].Tracer la courbe de la fonction limite

t ∈ R→ limn→+∞

Fn(t) = F (t).

La fonction F est appelée la fonction de répartition de la loi uniforme sur[0, 1].

c) Calculer la fonction f telle que F (t) =∫ t−∞ f(x)dx pour tout nombre

réel t. Tracer la courbe de f appelée la densité de la loi uniforme sur [0, 1].La fonction f est appelée la densité de la loi uniforme sur [0, 1].

17

4.2.2 Intégrale de Riemann et la loi uniforme sur [0, 1]

Théorème. Si la suite (ui) est 1-uniformément distribuée sur [0, 1], alors

limn→+∞

∑n−1i=0 g(ui)

n→∫ 1

0g(t)dt

pour toute fonction g Riemann intégrable sur [0, 1].Exemples de fonctions Riemann intégrables. Les fonctions conti-

nues, les fonctions continues par morceaux, les indicatrices g(t) = 1[a,b](t),les fonctions en escaliers g(t) =

∑ki=1 ci1[ai,bi](t).

Exercice. Soit (ui) une suite 1-uniformément distribuée sur [0, 1]. Cal-culer les limites suivantes :

limn→+∞

∑n−1i=0 1[a,b](ui)

n, où 0 ≤ a < b ≤ 1,

limn→+∞

∑n−1i=0

1√ui

n,

Moyenne m1 = limn→+∞

∑n−1i=0 uin

,

Moment d’ordre deux m2 = limn→+∞

∑n−1i=0 u

2i

n,

Variance σ2 = limn→+∞

∑n−1i=0 (ui −m1)2

n.

Vérifier l’égalité

σ2 = m2 −m21.

4.2.3 Nombres 1-uniformément distribués sur [a, b]

On suppose que la suite (ui) est 1-uniformément distribuée sur [0, 1].Soient a < b deux nombres réels. On pose, pour chaque entier i,

xi = (b− a)ui + a.

Exercice.

18

1) Calculer les limites suivantes :

Moyenne m1 = limn→+∞

∑n−1i=0 xin

,

Moment d’ordre deux m2 = limn→+∞

∑n−1i=0 x

2i

n,

Variance σ2 = limn→+∞

∑n−1i=0 (xi −m1)2

n.

Vérifier l’égalité

σ2 = m2 −m21.

2) Calculer, pour chaque t ∈ R,

limn→+∞

∑n−1i=0 1(−∞,t](xi)

n:= F (t).

3) Tracer la courbe de la fonction t ∈ R → F (t). La fonction F estappelée la fonction de répartition de la loi uniforme sur [a, b].

4) Trouver la fonction f qui vérifie

F (t) =

∫ t

−∞f(u)du, ∀ t.

Tracer la courbe de f . La fonction f est appelée la densité de la loi uniformesur [a, b].

4.2.4 Nombres distribués selon la loi exponentielle de para-mètre λ

Exercice. On suppose que la suite (ui) est 1-uniformément distribuéesur [0, 1]. Soient λ > 0 un nombre réel.

1) Trouver pour chaque i, le nombre réel yi solution de l’équation

1− exp(−λxi) = ui.

2) Calculer, pour chaque t ∈ R,

limn→+∞

∑n−1i=0 1]−∞,t](xi)

n:= F (t).

3) Tracer la courbe de la fonction t ∈ R → F (t). La fonction F estappelée la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre λ.

19

Trouver la fonction f qui vérifie

F (t) =

∫ t

−∞f(x)dx, ∀ t.

Tracer la courbe de f . La fonction f est appelée la densité de la loi exponen-tielle de paramètre λ.

4) Calculer les limites suivantes :

m1 := limn→+∞

∑n−1i=0 xin

,

m2 := limn→+∞

∑n−1i=0 x

2i

n,

σ2 := limn→+∞

∑n−1i=0 (xi −m1)2

n.

Vérifier l’égalité σ2 = m2 −m21.

Mêmes questions pour la suite yi définie par

exp(−λyi) = ui.

Exercice. Soit (ui) une suite 1-uniformément distribuée sur [0, 1]. Soitt ≥ 0 et

∆t = {(x, y) ∈ [0, 1]2 : x+ y ≤ t}.

Peut-on calculer

limn→+∞

∑n−1i=0 1∆t(ui, ui+1)

n?

4.3 Nombres 2-uniformément distribués

Une suite (ui) de nombres réels appartenant à [0, 1] est 2-uniformémentdistribuée si

limn→+∞

∑n−1i=0 1[0,t1]×[0,t2](ui, ui+1)

n→ t1t2, ∀ t1, t2 ∈ [0, 1].

Exercice. On suppose que la suite (ui) est 2-uniformément distribuéesur [0, 1].

20

1) Montrer que les suites suivantes sont 1-uniformément distribuées :

(ui), (ui+1).

2) Montrer l’égalité

limn→+∞

∑n−1i=0 1[a1,b1]×[a2,b2](ui, ui+1)

n→ (b1 − a1)(b2 − a2),

lorsque 0 ≤ a1 ≤ b1 ≤ 1 et 0 ≤ a2 ≤ b2 ≤ 1.Théorème. Si la suite (ui) est 2-uniformément distribuée, alors

limn→+∞

∑n−1i=0 f(ui, ui+1)

n→∫ 1

0

∫ 1

0f(t1, t2)dt1dt2

pour toute fonction f Riemann intégrable sur [0, 1]2.Exemples de fonctions Riemann intégrables. Les fonctions conti-

nues, les fonctions continues par morceaux, les indicatrices f(t1, t2) = 1D(t1, t2)où D est un domaine de [0, 1]2 (triangle, parallélogramme, trapèze, ...).

Exercice. Soit (ui) une suite 2-uniformément distribuée sur [0, 1].a) Calculer la limite suivante :

Covariance = limn→+∞

∑n−1i=0 (ui − 1

2)(ui+1 − 12)

n.

b) On pose yi = ui+ui+1. Calculer, pour chaque t ∈ R, la limite suivante

F (t) := limn→+∞

∑n−1i=0 1[0,t](yi)

n.

Tracer la courbe de la fonction t ∈ R → F (t). La suite (yi) est-elle 1-uniformément distribuée sur [0, 2] ?

c) Peut-on calculer

limn→+∞

∑n−1i=0 1[0,t](ui+ui+1+ui+2)]

n?

4.4 Nombres 3-uniformément distribués

Une suite (ui) de nombres réels appartenant à [0, 1] est 3-uniformémentdistribuée si

limn→+∞

∑n−1i=0 1[ui≤t1,ui+1≤t2,ui+2≤t3]

n→ t1t2t3, ∀ t1, t2, t3 ∈ [0, 1]3,

21

ici pour simpifier nous avons posé

1[ui≤t1,ui+1≤t2,ui+2≤t3] := 1[0,t1](ui)1[0,t2](ui+1)1[0,t3](ui+2).

Exercice. On suppose que la suite (ui) est 3-uniformément distribuéesur [0, 1].

a) Montrer que les suites suivantes sont 2-uniformément distribuées :

(xi), (xi+1).

b) Montrer que les suites suivantes sont 1-uniformément distribuées :

(xi), (xi+1).

Théorème. Si la suite (ui) est 3-uniformément distribuée, alors

limn→+∞

∑n−1i=0 f(ui, ui+1, ui+2)

n→∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 1

0f(t1, t2, t3)dt1dt2dt3

pour toute fonction f Riemann intégrable sur [0, 1]3.Exemples de fonctions Riemann intégrables. Les fonctions conti-

nues, les fonctions continues par morceaux, les indicatrices f(t1, t2, t3) =1D(t1, t2, t3) où D est un domaine [0, 1]3.

Exercice. Soit (ui) une suite 3-uniformément distribuée sur [0, 1]. Onpose yi = ui + ui+1 + ui+2.

a) Calculer, pour chaque t ∈ R, la limite suivante

F (t) := limn→+∞

∑n−1i=0 1[yi≤t]

n.

Tracer la courbe de la fonction t ∈ R → F (t). La suite (yi) est-elle 1-uniformément distribuée sur [0, 3].

b) Peut-on calculer

limn→+∞

∑n−1i=0 1[ui+ui+1+ui+2+ui+3≤t]

n?

22

4.5 Nombres d-uniformément distribués

Une suite (ui) de nombres réels appartenant à [0, 1] est d-uniformémentdistribuée si

limn→+∞

∑n−1i=0 1[ui≤t1,...,ui+d−1≤td]

n→

d∏i=1

ti, ∀ t1, . . . , td ∈ [0, 1]d.

Exercice. On suppose que la suite (ui) est d-uniformément distribuéesur [0, 1].

a) Montrer que les deux suites suivantes sont d− 1-uniformément distri-buées :

(ui), (ui+1).

b) Montrer que les suites suivantes sont 1-uniformément distribuées :

(ui), (ui+1).

Théorème. Si la suite (ui) est d-uniformément distribuée, alors

limn→+∞

∑n−1i=0 f(ui, . . . , ui+d−1)

n→∫

[0,1]df(t1, . . . , td)dt1 . . . dtd

pour toute fonction f Riemann intégrable sur [0, 1]d.Exemples de fonctions Riemann intégrables. Les fonctions conti-

nues, les fonctions continues par morceaux, les indicatrices f(t1, . . . , td) =1D(t1, . . . , td) où D est un domaine de [0, 1]d.

Exercice. Soit (ui) une suite d-uniformément distribuée sur [0, 1]. Cal-culer la limite suivante

limn→+∞

∑n−1i=0 ui . . . ui+d−1

n.

4.6 Nombres aléatoires uniformes sur [0, 1]

Définition. Les nombres (ui) sont aléatoires et uniformes sur [0, 1] s’ilssont d-uniformément distribués sur [0, 1] pour tout entier d ≥ 1.

23

Exercice : Loi géométrique. Soit (ui) des nombres aléatoires et uni-formément distribués sur [0, 1]. On définit, pour t ∈ [0, 1] fixé, la suite

xi = min{k : ui+k ≤ t}, i = 0, 1, . . . .

Calculer pour chaque k ≥ 0, la limite

limn→+∞

∑n−1i=0 1[xi=k]

n= pk

Montrer que la suite (pk : k = 0, 1, . . .) est une distribution de probabilitéssur N.

24

Chapitre 5

Fonction de répartition etdensité d’une loi de probabilitésur R

5.1 Fonction de répartition d’une loi de probabilitésur R

Une fonction F : R→ [0, 1] ayant les propriétés suivantes :1) F est croissante,2) F est continue à droite,3) limx→−∞ F (x) = 0, limx→+∞ F (x) = 1,est appelée fonction de répartition d’une loi de probabilité.

5.1.1 Interprétation probabiliste de la fonction de réparti-tion

Soit (xi) une suite de nombres réels telle que pour chaque x ∈ R

limn→+∞

∑n−1i=0 1]−∞,x](xi)

n= F (x),

C’est le pourcentage des termes xi ≤ x dans la suite (xi).L’application X : i ∈ N→ xi ∈ R est appelée variable aléatoire ayant la

fonction de répartition F . Le pourcentage des termes xi ≤ x dans la suite(xi) s’interprète comme la probabilité

P(X ≤ x) = F (x).

25

Proposition. On admet que

P(X < x) = limt→x−0

F (t) := F (x− 0).

Exercice. Montrer l’égalité

P(a < X ≤ b) = F (b)− F (a), ∀ a < b,

P(a ≤ X ≤ b) = F (b)− F (a− 0), ∀ a < b,

P(a < X < b) = F (b− 0)− F (a), ∀ a < b,

P(a ≤ X < b) = F (b− 0)− F (a− 0), ∀ a < b.

En déduire que si F est continue, alors

P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) = F (b)− F (a).

Exemples. 1) On représente la face d’une pièce d’une pièce de monnaiepar le chiffre 0 et pile par le chiffre 1. Si on lance une infinité de fois cettepièce de monnaie alors on obtient une suite (xi) de nombres appartenant à{0, 1}. L’application X : i ∈ N→ xi ∈ {0, 1} est appelée la variable aléatoirede Bernoulli. La probabilité d’obtenir 1 est égale à

limn→+∞

∑n−1i=0 1{1}(xi)

n:= p = P(X = 1).

Par conséquent la probabilité d’obtenir 0 est égale à

limn→+∞

∑n−1i=0 1{0}(xi)

n:= P(X = 0) = 1− p.

Le couple (1−p, p) est appelée la loi de probabilité de Bernoulli de paramètrede succès p. Sa fonction de répartition est égale à

x ∈ R→ F (x) = P(X ≤ x).

Elle est égale à

F (x) = 0 x < 0,

F (x) = 1− p, 0 ≤ x < 1,

F (x) = 1, 1 ≤ x.

2) Une suite (xi) de durée de vie des êtres humains définit l’application

X : i ∈ N→ xi ∈ [0,+∞)

26

appelée la variable aléatoire durée de vie. La probabilité qu’un être humaindécède avant l’âge t est égale à

limn→+∞

∑n−1i=0 1[0,t](xi)

n:= P(X ≤ t).

Par conséquent la probabilité qu’il reste en vie après l’âge t est égale à

limn→+∞

∑n−1i=0 1[t,+∞[(xi)

n:= P(X ≥ t).

La fonction

F : t ∈ R→ P(X ≤ t)

est la fonction de répartition de la loi de la durée de vie.Si

F (t) = 0, t < 0,

F (t) = 1− exp(−λt), ∀ t > 0,

où λ > 0 est un paramètre indépendant du temps t (par exemple λ = 1),alors la durée de vie suit la loi de probabilité exponentielle de paramètre λ.

Si

F (t) = 0, t < 0,

F (t) =t− ab− a

, ∀t ∈ [a, b],

F (t) = 1, ∀ b ≤ t,

où 0 < a < b sont deux paramètres indépendant du temps t, alors la duréede vie suit la uniforme sur l’intervalle [a, b].

Exercice. SoitX une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètreλ > 0.

1) Absence de mémoire dans la loi exponentielle. Montrer l’égalité

P(X > t+ s |X > t) = P(X > s), ∀ s > 0, t > 0.

2) Moyenne, moment d’ordre 2, et variance de la loi exponentielle. Cal-culer

m1 =

∫ +∞

0tλ exp(−λt)dt,

m2 =

∫ +∞

0t2λ exp(−λt)dt,

σ2 = m2 − (m1)2.

27

3) Vérifier l’égalité

σ2 =

∫ +∞

0(t−m1)2λ exp(−λt)dt.

5.2 La densité d’une loi de probabilité sur R

Soit F la fonction de répartition d’une loi de probabilité sur R.Proposition. Si la fonction F est continue et dérivable alors sa fonction

dérivée t ∈ R→ f(t) = F ′(t) vérifie1) f(t) ≥ 0,2) lima→−∞ limb→+∞

∫ ba f(t)dt :=

∫ +∞−∞ f(t)dt = 1.

Preuve. La croissance de F implique que f(t) = F ′(t) ≥ 0. L’égalité∫ b

af(t)dt = F (b)− F (a)

implique

lima→−∞

limb→+∞

{F (b)− F (a)} = 1 =

∫ +∞

−∞f(t)dt.

Définition. La fonction f(t) = F ′(t) est appelée la densité d’une loi deprobabilité sur R.

Exercice. 1) Vérifier que la loi de Bernoulli n’a pas de densité.2) Soit X une variable aléatoire dont la fonction de répartition F est

dérivable. Montrer les égalités

P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) = F (b)− F (a)

pour touts les couples a < b.Exemples. 1) La fonction de répartition de la loi de probabilité uniforme

sur [a, b] est égale à

F (t) = 0, t < a,

F (t) =t− ab− a

, a ≤ t < b,

F (t) = 1, t ≥ b.

Sa dérivée

f(t) = 0, t < a,

f(t) =1

b− a, a ≤ t < b,

f(t) = 0, t ≥ b,

28

est la densité de la loi de probabilité uniforme sur [a, b]. Si X est la variablealéatoire ayant la fonction de répartition F , alors

P(X ≤ t) = F (t) =

∫ t

−∞f(x)dx = aire occupée par la densité f durant ]−∞, t].

2) La fonction de répartition de la loi de probabilité exponentielle deparamètre λ > 0 est égale à

F (t) = 0, t < 0,

F (t) = 1− exp(−λt), t ≥ 0.

Sa dérivée

f(t) = 0, t < 0,

f(t) = λ exp(−λt), t ≥ 0,

est la densité de la loi de probabilité exponentielle. Si X est la variablealéatoire ayant la fonction de répartition F , alors

P(X ≤ t) = F (t) =

∫ t

−∞f(x)dx = aire occupée par la densité f durant ]−∞, t].

Exercice Médiane de la loi exponentielle. Soit X une variable aléa-toire ayant la loi exponentielle de paramètre λ > 0.

1) Trouver le nombre t1/2 (appelé médiane) tel que

P(X ≤ t1/2) =1

2.

2) Trouver le quartile t1/4 de X solution de l’équation

P(X ≤ t1/4) =1

4.

3) Trouver le troisième quartile t3/4 de X solution de l’équation

P(X ≤ t3/4) =3

4.

29

5.3 Formule de changement de variable

Soit F une fonction de répartition d’une loi de probabilité, ayant unedensité f = F ′. Soit X = (xi) une variable aléatoire ayant la fonction derépartition F .

Proposition. 1) Soit ϕ : R → R une bijection. La variable aléatoireY = (ϕ(xi)) a pour fonction de répartition

y ∈ R→ limn→+∞

∑n−1i=0 1]−∞,y](yi)

n= F (ϕ−1(y)) := FY (y).

2) Si la fonction ϕ est dérivable avec ϕ′(x) 6= 0 pour tout x, alors lafonction de répartition FY a pour dérivée

fY (y) = F ′Y (y) =f(ϕ−1(y))

|ϕ′(ϕ−1(y))|.

Remarque Importante. Méthode pratique. On pose

y = ϕ(x), x = ϕ−1(y),

dy = |ϕ′(x)|dx, dx =1

|ϕ′(x)|dy,

fY (y)dy = fX(x)dx,

implique

fY (y) = fX(x)dx

dy.

Exercice. Soit X = (xi) une suite uniformément distribuée sur [0, 1].On considère la nouvelle suite yi = − ln(xi). Trouver la densité de la loi dela variable aléatoire Y = (yi) en utilisant la densité

5.4 Loi de Weibull

Soit k > 0, λ > 0 fixés. La fonction

f(t) = 0, t < 0,

f(t) =k

λ

(t

λ

)k−1

exp{−(t

λ)k}, t > 0,

est la densité de la loi de Weibull de paramètres (k, λ).

30

Exercice. 1) Vérifier que f est une densité de probabilité sur R.2) Calculer la fonction de répartition de la loi de Weibull

F (t) = 1− exp{−(t

λ)k}, t ≥ 0.

Voir wikipedia.

5.5 La fonction Gamma

Exercice. 1) Soit a > 0. Montrer que

Γ(a) = limt→+∞

∫ t

0xa−1 exp(−x)dx :=

∫ +∞

0xa−1 exp(−x)dx < +∞.

La fonction Γ :]0,+∞[→ Γ(a) est appelée la fonction Gamma.2) Calculer la moyenne, la variance et la médiane de la loi de Weibull de

paramètre (k, λ).

31