DÉRIVATION ARITHMÉTIQUEPartie 2

Clément Boulonne

28 février 2015

RésuméUn article [1] dans la brochure APMEP no 501 de Novembre-Décembre

2012 m’a fortement intéressé sur la construction d’une dérivée arithmé-tique d’un nombre. L’auteur de l’article commence son article par uneerreur « classique » d’élèves quand vient la dérivation des fonctions etconclut sur l’impossibilité de deriver tous les nombres réels.

Je vais essayer, dans cet article, d’appuyer cet argument d’impossibi-lité de dériver tous les nombres réels par une propriété liant les nombresrationnels et les nombres irrationnels.

A Limites de suites et dérivée arithmétiqueA.1 Intuition

Mon intuition première lorsque que j’ai eu l’idée d’écrire cet article étaitd’approcher la dérivée d’un nombre réel par son développement décimal. Ainsi,tout le monde sait que l’on peut approcher π avec la précision que l’on souhaite.

Exemple A.1.

3 < π < 43,1 < π < 3,2

3,14 < π < 3,153,141 < π < 3,142

. . .

Est-ce que l’on peut espérer que :

(3,141)′ < (π)′ < (3,142)′

et voir plus, jusqu’à passage à la limite (et en utilisant le théorème des gen-darmes), si l’on désigne (πn)n∈N la suite des décimales de π :

( limn→+∞

(πn)′) = ( limn→+∞

(πn))′ = (π)′

1

?Essayons tout d’abord sur un exemple de suites rationnelles tendant vers un

nombre entier.

A.2 Dérivée arithmétique et suite rationnelleA.2.1 Introduction d’un exemple

Considérons les suites (an)n∈N∗ et (bn)n∈N∗ définie de la manière suivante :

∀n ∈ N∗, an = 1− 1n

et bn = 1 + 1n.

On peut montrer que les suites (an) et (bn) sont deux suites adjacentes,c’est-à-dire :

1. (an) est croissante ;2. (bn) est décroissante ;3. limn→+∞(an − bn) = 0.

Elles ont même limite 1.La dérivée de 1 est 0. Essayons de calculer la dérivée de chaque terme des

suites (an) et (bn).

A.2.2 Premier cas : n < 50

Liste des 50 premiers termes de la suite (an) (sous format liste) :

[0,− 14 ,

19 ,−

12 ,

1625 ,−

1936 ,

2949 ,−

1916 ,

2027 ,−

3100 ,

67121 ,−

4136 ,

196169 ,−

103196 ,

23225 ,−

118 ,

528289

−113108 ,

381361 ,−

109100 ,

304441 ,−

53484 ,

277529 ,−

247144 ,

172125 ,−

115676 ,−

1127 ,−

27196 ,

900841 ,−

869900 ,

931961

−15364 ,

21921089 ,−

1511156 ,

2571225 ,−

139108 ,

21841369 ,−

7391444 ,

2111521 ,−

503400 ,

27481681 ,−

16391764 ,

17211849

−505484 ,

148675 ,

6692116 ,

11292209 ,−

16372 ,

688343 ,−

301500 ]

Liste des 50 premiers termes de la suite (bn) (sous format liste) :

[1,−14 ,

89 ,−1,19

25 ,−2936 ,

7649 ,−

1516 ,

127 ,−

67100 ,

164121 ,−

4936 ,

103169 ,−

23196 ,

352225 ,−

3316 ,

339289 ,−

127108

436361 ,−

1925 ,

53441 ,−

277484 ,

988529 ,−

215144 ,

23125 ,

297676 ,

427 ,−

225196 ,

869841 ,−

931900 ,

2448961 ,−

13764 ,

1511089

− 2571156 ,

16681225 ,−

9154 ,

7391369 ,−

2111444 ,

20121521 ,−

687400 ,

16391681 ,−

17211764 ,

20201849 ,−

111484 ,−

223675

−11292116 ,

52162209 ,−

301144 ,

215343 ,−

259500 ]

Il serait peut-être préférable de visualiser la variation des termes de la suite(an) et (bn) à l’aide d’un graphique que voici (figure 1).

2

Figure 1 – Représentation graphique des suites (an) (en bleu) et (bn) (enrouge), pour 1 ≤ n ≤ 50

A.2.3 Graphique pour n = 200, n = 1000

On peut agrandir le nombre de termes observés pour les suites (an) et (bn).Voici les représentations graphiques des suites (an) et (bn) dans le cas où 1 ≤n ≤ 200 (figure 2) et dans le cas où 1 ≤ n ≤ 1000 (figure 3).

Figure 2 – Représentation graphique des suites (an) (en bleu) et (bn) (enrouge), pour 1 ≤ n ≤ 200

A.2.4 Analyse des graphiques

Les résultats obtenus sont assez decevants : la suite des dérivées (a′n) et (b′n)se comportent très aléatoirement et il est impossible d’en déduire une quelconquelimite à l’infini.

L’argument du théorème des gendarmes pour donner une éventuelle valeurde la dérivée de π n’est donc pas valable. Ceci termine donc notre recherche

3

Figure 3 – Représentation graphique des suites (an) (en bleu) et (bn) (enrouge), pour 1 ≤ n ≤ 1000

sur une valeur de la dérivée de π par limites de développement décimal et lethéorème des gendarmes. Néanmoins, nos recherches ne se terminent pas là !

B Approximations de dérivées arithmétiquesJ’ai réfléchi un peu sur la question : « Comment donner une valeur exacte

de la dérivée de π ? ». Apparament, on ne peut pas. Alors, on va procéder au-trement, par approximation. Il existe deux manières principales pour approcherun réel :

— par troncature de son développement décimal ;— par la suite des réduites de sa fraction continue.Mais ne laissons pas tomber les suites étudiées dans la section précédente.

Nous allons tenter d’approximer la dérivée de la limite des suites (an) et (bn)en faisant une moyenne des n premiers termes des deux suites séparement..

B.1 Par la moyenne des suites dérivéesDéfinition B.1 (Approximation de la dérivée d’une suite d’ordre n). Soit A =(ak)k∈N (avec pour tout k ∈ N, ak ∈ Dart) et n ∈ N. On appelle approximationde la dérivée de la suite A d’ordre n, le terme :

DMSD,n(A) =∑n

i=1 a′i

n.

Propriété B.2. Soit a ∈ Dart. La suite constante A = (a)n∈N a pour DMSD,n(A) =a′, pour tout n ∈ N.

Démonstration. Soit a ∈ Dart et la suite constante A = (a)n∈N. On considère

4

n ∈ N :DMSD,n(A) =

∑ni=1 a

′i

n.

Or, pour tout 1 ≤ i ≤ n, ai = a, donc a′i = a′, d’où :

DMSD,n(A) =∑n

i=1 a′

n= na′

n= a′.

On donne une procédure (implémentable sur XCas) qui permet de donnerla liste dont le ne terme est égal : ∑n

i=1 Li

n

où Li est le ie terme de la liste L (qui représente les termes d’une sute parexemple).

moyennesuite (L) := {local M,j,s,k;M := [];pour j de 1 jusque nops(L) faire

s := 0;pour k de 1 jusque j faire

s := s + L(k);fpour

M := [op(M),s/j]fpourretourne (M)}:;

moyennesuite ([1 ,2 ,3])[1 ,3/2 ,2]

On rappelle que :

A = (ak)k∈N∗ défini par ak = 1− 1k, ∀k ∈ N∗;

B = (bk)k∈N∗ défini par bk = 1 + 1k, ∀k ∈ N∗;

limn→+∞

(ak) = limn→+∞

(bk) = 1 et 1′ = 0.

On a calculé les DMSD,n(A) et DMSD,n(B), pour 1 ≤ n ≤ 50 (avec 3 chiffressignificatifs, voir figure 4).

On voit sur les graphiques 5 que les DMSD,n(·) pour les suites A et B fluctuentautour de 0, cela provient du fait que majoritairement que les termes de la suitesoient alternés.

Le résultat est plus convaincant que dans la section précédente mais cepen-dant, on ne peut pas conclure sur la valeur de :

`A = limn→+∞

DMSD,n(A) et `B = limn→+∞

DMSD,n(B)

5

Pour (an) :[0.0 , -0.125 , -0.0463 , -0.16 ,0.000222 , -0.0878 ,0.00931 , -0.14 , -0.0424 , -0.0412,0.0129 , -0.0831 ,0.0125 , -0.0259 , -0.0174 , -0.102 ,0.0113 , -0.0475 ,0.0106 ,-0.0445 , -0.00952 , -0.0141 ,0.00932 , -0.0625 , -0.005 , -0.0114 , -0.026 , -0.03 ,0.00793 , -0.0245 ,0.00752 , -0.0674 , -0.00438 , -0.0081 , -0.00187 , -0.0376 ,0.00656 , -0.00708 , -0.00334 , -0.0347 ,0.00602 , -0.0162 ,0.00578 , -0.0181 ,-0.0128 , -0.00564 ,0.00536 , -0.0419 , -0.000129 , -0.0122]

Pour (bn) :[1.0 ,0.375 ,0.546 ,0.16 ,0.28 ,0.0989 ,0.306 ,0.151 ,0.138 ,0.0574 ,0.175 ,0.0473 ,0.0906 ,0.0757 ,0.175 ,0.0351 ,0.102 ,0.0311 ,0.093 ,0.0504 ,0.0537 ,0.0252 ,0.105,0.0387 ,0.0445 ,0.0597 ,0.063 ,0.0198 ,0.0547 ,0.0184 ,0.1 ,0.03 ,0.0333 ,0.0257 ,0.0639 ,0.0153 ,0.0295 ,0.0249 ,0.0582 ,0.0138 ,0.0372 ,0.0131 ,0.0382 ,0.0321 ,0.0241 ,0.0119 ,0.0619 ,0.0171 ,0.0295 ,0.0186]

Figure 4 – Valeurs de DMSD,n(A) et DMSD,n(B), pour 1 ≤ n ≤ 50

et encore moins affirmer que les égalités :

`A = 1′ = 0 = `B

soient vraies (car il existe des pics même pour des très grandes valeurs de n).Bien entendu, nous avons vu que les suites A et B ont pour limite 1 et que

leur DMSD,·(·) sont proches de zéro donc proche de 1′. Mais que se passe-t-il sion prend deux suites adjacentes ayant pour limite 4, est-ce que leur DMSD,·(·)se rapproche de 4′ = 4.

On considère les suites :

C = (cn) telle que cn = 4− 1n

E = (en) telle que en = 4 + 1n

On calcule les DMSD,n(C) et DMSD,n(E) pour 1 ≤ n ≤ 50, pour 1 ≤ n ≤ 200 et1 ≤ n ≤ 1000. Nous avons représenté sur la figure 6, la représentation graphiquedes six suites.

Chose surprenante, les valeurs ne se stabilisent pas à 4 (comme 4′ = 4) maisse rapprochent de plus en plus d’une valeur qui semble être −2

Conclusion : On ne peut pas du tout conclure que (si elles existent) :

limn→+∞

DMSD,n(C) = limn→+∞

DMSD,n(E) = 4′ = 4.

Perspectives de recherche : Étudier d’autres suites et trouver une relationsur la limite des DMSD,·(·).

6

Figure 5 – Représentation graphique des valeurs de DMSD,n(A) (en bleu) etDMSD,n(B) (en rouge) pour 1 ≤ n ≤ 50 (premier graphique), 1 ≤ n ≤ 200(deuxième graphique) et 1 ≤ n ≤ 1000 (troisième graphique) .

7

Figure 6 – Représentation graphique des valeurs DMSD,n(C) et DMSD,n(E) pour1 ≤ n ≤ 50 (premier graphique), pour 1 ≤ n ≤ 200 (second graphique), pour1 ≤ n ≤ 1000 (troisième graphique).

8

B.2 Par le développement décimalB.2.1 Quelques résultats

Chaque nombre réel a un développement décimal, certains finis (les nombresdécimaux), d’autres infinis périodique (1/3, 1/7 par exemple) et enfin infini nonpériodique (ce sera le cas de nombres réels non arithmétiquement dérivables).

Définition B.3 (Troncature). Soit x ∈ R dont le développement décimal est :

x = ±a0a1 . . . ak,b1 . . . bt . . .10,

telle que 0 ≤ ai ≤ 9, pour tout 1 ≤ i ≤ k et 0 ≤ bn ≤ 9, pour tout n ∈ N∗ Onappelle troncature décimale d’ordre n du réel x, le nombre :

TrDn(x) = a0a1 . . . ak10 + b1 . . . bn

10

10n.

Exemples B.4. — TrD4(√

3 +√

5) = 2,2882— TrD3(π) = 3,141— TrD4(e) = 2,7182

Remarques B.5. 1. Pour n = 0,

TrD0(x) = E (x) .

2. Si x s’écrit :x = ±a0 . . . ak,b1 . . . bn

10

alors TrDk(x) = x quand k ≥ n

Dans toute la suite, on considérera un réel x s’écrivant comme à la définitionB.3

Propriété B.6. Soit x ∈ R. Pour tout n ∈ N, TrDn(x) ∈ Q.

Démonstration. Évidente car a0 . . . ak10 ∈ N et b0 . . . bn

10 ∈ N.

Remarque B.7. En fait,

TrDn(x) = E (10nx)10n

La formule présentée en remarque B.5-1 est un cas particulier de cette formule(cas où n = 0).

Cette propriété nous servira pour la suite pour dériver les nombres TrDn(x)pour un réel x donné.

Propriété B.8. Soit x ∈ R et n ∈ N. Alors :

|x− TrDn(x)| ≤ 10−n.

9

Démonstration. En reprenant la formule de la remarque B.7 et que le nombre|E (()x)− x| étant la partie décimale du nombre x est toujours inférieur à 1 :

|x− TrDn(x)| =∣∣∣∣x− E (10nx)

10n

∣∣∣∣=∣∣∣∣10nx− E (10nx)

10n

∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ 110n

∣∣∣∣ ≤ 10−n.

Remarque B.9. Cette propriété permet de conclure que la suite des tronca-tures d’un réel x tend vers x.

B.3 Comportement des dérivées successives des tronca-tures

Dans cette section, nous allons considérer les dérivées successives des tron-catures du développement décimal (DSTDD) du nombre 4

7 .Rappelons que : (

47

)′= 4× 7− 4

49 = 2449 ≈ 0,489.

Avant de donner les DSTDD de 47 , voici la fonction qui permettra de récu-

pérer les résultats.derivdevdec (r,k):={

retourne (evalf( derivarthQ (ceil(trunc(r,k )*10^( k)) ,10^(k))))}:;

Voici les dix premières DSTDD de 47 .

seq( derivdevdec (4/7 ,k),k =0..12)[0.0 , -0.25 ,0.136 , -0.578 , -1.57704 , -1.71424 , -1.1457936 , -2.68274295 ,-2.318010536 , -2.994581672 , -3.9999771417 , -3.95068897602 , -3.54007932294]

Remarque B.10. Pour certaines valeurs de k, le programme derivdevdec metun certain temps à s’exécuter d’où le fait que l’on ne peut pas aller plus loinque k = 12.

Voici les temps d’exécution pour les 14 premières valeurs de k (0 ≤ k ≤ 13).[0.000397576252 ,0.00127969487 ,0.00162291237 ,0.00202002367 ,0.00285738637 ,0.091086583 ,0.00275026666 ,0.0229207919 ,0.854375404 ,0.01408066697 ,0.573589977 ,0.924126106 ,0.0378726025 ,178.422171636]

et pour k = 14, le temps d’exécution est supérieur à 200 secondes.On remarque que, pour certaines valeurs de k, le temps d’exécution du pro-

gramme derivdevdec est très court alors que, pour d’autres, très long !

10

Remarque B.11. Après plusieurs heures de recherche, je me rends compteque le programme de départ pour calculer la dérivée arithmétique des nombresentiers n’est pas très bien optimisé.

Dans la suite de ce document, nous allons travailler avec le code suivant pourcalculer la dérivée arithmétique des nombres entiers.derivarthN (n):={local m,p,L,D,N,s;L := ifactors (n)si n == 0 ou n==1 alors

retourne (0)sinon

s := 0;D := []; N:=[];

tantque nops(L) <> 0 faireD := [op(D),L(1)]N := [op(N),L(2)]pour k de 1 jusque 2 faire

L := tail(L)fpour

ftantquepour k de 1 jusque nops(D) faire

s := s + N(k)/D(k)fpour

retourne (n*s)fsi }:;

On recalcule les cinquante premières DSTDD (dérivées successives des tron-catures du développement décimal) du nombre 4

7

seq( derivdevdec (4/7 ,k),k =1..50)[ -0.25 , -0.578 , -1.1981 , -1.31402 , -1.71424 , -1.1457936 , -2.68274295 ,-2.994581672 , -3.5183673373 , -3.9999771417 , -4.01904761883 , -4.70703104635 ,-4.54692850828 , -4.74285714286 , -5.23432850252 , -4.78095238095 ,-3.94285675705 , -2.76551088449 , -2.7376146789 , -1.97515340161 ,-1.97515340161 , -0.224268615844 , -0.224268615844 , -0.224268615844 ,0.330511879233 ,0.509090909091 ,1.20804828974 ,2.5294050154 ,2.5294050154 ,2.76275243257 ,4.15782435447 ,4.15782435447 ,4.66150311345 ,5.08571428571 ,5.67144434441 ,6.07716751454 ,6.62892924234 ,7.37323118522 ,8.24043408759 ,8.79981544975 ,9.89126785382 ,9.89126785382 ,10.1634085213 ,11.1426421089 ,11.1426421089 ,11.9638754597 ,13.6058062191 ,13.6058062191 ,13.6058062191 ,13.9094662324]

On construit le graphique montrant l’évolution des valeurs des dérivées suc-cessives (figure 7).

On remarque, qu’à partir du rang 15, les valeurs de dérivées augmententincessament. Peut-on dire que si on calcule la dérivée arithmétiue d’une « trèsgrande » troncature du développement décimal de 4

7 , elle tend vers l’infini.Regardons ce qui se passe au rang 300 (figure 8).

11

Figure 7 – Evolution des dérivées successives des 50 premières troncatures dudéveloppement décimal du nombre 4

7

Figure 8 – Evolution des dérivées successives des 300 premières troncatures dudéveloppement décimal du nombre 4

7

12

Clairement, il y a un problème car plus la troncature du développementdécimal est grande, plus sa dérivée est grande (alors que 0 < 4

7 < 1). Et ceproblème vient de la précision de la valeur de la troncature du développementdécimal.

Regardez plutôt ce graphique :

On a tracé la valeur entre le nombre 2 et la partie entière de sa troncature(au rang k) de son développement décimal (2,0000 . . .), pour des valeurs de kcomprises entre 21 et 150.

Normalement, le graphique nous tracerait une ligne qui rejoint le point (0,21)et le point (0,150) en ligne droite. Ici, nous avons une courbe qui oscille entre2×10−15 et 1,2×10−14, assez pour perturber les valeurs des dérivées successivescalculées sur les graphiques précédents (note : on considère que le phénomèneest identique pour tous les nombres, qu’ils soient entiers ou rationnels) car, pourun nombre r > 0 :

∀ε > 0, ∃η > 0, (r + ε)′ = r′ + η.

Remarque B.12. Pour k ≤ 20,∣∣∣∣2− ⌈2,00000 . . .× 10k

10k

⌉∣∣∣∣ = 0

Ainsi, nous sommes limités aux vingt premières valeurs des DDTSD (tab.1).

Comme nous l’avons remarqué en début de paragraphe :(47

)′= 4× 7− 4

49 = 2449 ≈ 0,489.

On est très loin du compte !

B.4 Par les fractions continuesB.4.1 Résumé de la théorie

[2]

13

k DDTSD(4/3,k)1 −0,252 −0,5783 −1,19814 −1,314025 −1,714246 −1,14579367 −2,682742958 −2.9945816729 ,− 3.518367337310 −3.999977141711 −4.0190476188312 −4.7070310463513 −4.5469285082814 −4.7428571428615 −5.2343285025216 −4.7809523809517 −3,9428567570518 −2,7655108844919 −2,737614678920 −1,97515340161

Table 1 – Dérivées arithmétiques des vingt premières troncatures du dévelop-pement décimal du nombre 4

9 .

14

Définition B.13. Soit A un sous-ensemble de N (A ⊆ N) et (ak)k∈A une suitede nombres réels.

— Quand A = {1, . . . ,n}, l’expression :

a0 + 1

a1 + 1

a2 + 1. . . + 1

an−1 + 1an

est appelée fraction continue finie. On la note [a0,a1, . . . ,an−1,an].— Quand A = N, l’expression :

a0 + 1

a1 + 1

a2 + 1. . . + 1

ak−1 + 1

ak+. . .

est appelée fraction continue infinie. On la note [a0,a1, . . . ,ak−1,ak, . . .].— Si tous les éléments de la suite (ak)k∈A appartiennent à Z, la fraction

continue est dite simple.

Définition B.14. Pour une fraction continue infinie de coefficients (an)n∈N, onappelle la ke réduite de la fraction continue, le terme [a0,a1, . . . ,ak] (avec k ∈ N).

Exemples B.15. 1. On prend r = 3415 . On remarque que : 34 = 15× 2 +4

donc :r = 34

15 = 2 + 415 = 2 + 1

154.

Puis on a : 15 = 4× 3 + 3 donc :

r = 3415 = 2 + 1

3 + 34

et ainsi de suite :r = 34

15 = 2 + 1

3 + 11 + 1

3

On a enfin : r = [2,3,1,3].2. Le nombre d’or ϕ est bien connu pour sa propriété remarquable : ϕ2 =ϕ + 1, sa valeur exacte est ϕ = 1+

√5

2 . Or, si ϕ2 = ϕ + 1, une simpledivision par ϕ (ϕ 6= 0) dans les deux membres de l’égalité nous donne :

ϕ = 1 + 1ϕ

15

et ainsi :ϕ = 1 + 1

1 + 1

ϕ+. . .

.

On en conclut donc que ϕ = [1,1,1, . . .].

Comment trouver le développement en fraction continue du nombre√

2 ?Il faut tout d’abord remarquer que E

(√2)

= 1 donc :√

2 = 1 + (√

2− 1) (1)

= 1 + 11√

2− 1︸ ︷︷ ︸:=R

. (2)

Ensuite, de l’identité (√

2)2 = 2, on en tire :

(√

2)2 − 1 = 1⇔ (√

2 + 1)(√

2− 1) = 1⇔√

2 + 1 = 1√2− 1

= R

On réinjecte ce que l’on a trouvé dans l’équation (2) :√

2 = 1 + 11 +√

2

Or, d’après (1),√

2 = 1 + (√

2− 1), d’où :√

2 = 1 + 11 + 1 + (

√2− 1)

= 1 + 12 + [

√2− 1]

et par récurrence,√

2 = [1,2,2, . . .] = [1,2].

Remarques B.16. Soit (ai)i∈N une suite de réels et α = [a0,a1, . . . ,an, . . .].— Pour tout n ∈ N, il existe deux nombres entiers pn et qn tels que :

[a0,a1, . . . ,an] = pn

qn.

— La suite ( pn

qn) associée à la suite (ai)i∈N est appelée suite des réduites

associée à la suite (ai).— On peut montrer que la suite des réduites associée à la suite (ai) converge

vers α.

Exemple B.17.

1 [p0 = 1, q0 = 1]

1 + 12 = 3

2 [p1 = 3, q1 = 2]

1 + 12 + 1

2= 1 + 1

52

= 1 + 25 = 7

5 [p2 = 7, q2 = 5]

16

Plus généralement, pour α =√

2 et pour tout n ≥ 2 :

pn = 2pn−1 + pn−2 et qn = 2qn−1 + qn−2.

Remarque B.18. Plus généralement, les suites (pn) et (qn) des réduites peuvents’obtenir par récurrence à partir de la suite (an).

p0 = a0

p1 = a0a1 + 1∀n ≥ 2, pn = anpn−1 + pn−2

q0 = 1q1 = a1

∀n ≥ 2, qn = anqn−1 + qn−2

B.4.2 Fractions continues et dérivées arithmétiques

Le paragraphe précédent nous a permis de montrer qu’avec les fractionscontinues, on peut approximer n’importe quel réel par une fraction.

On va prendre trois exemples : α1 = 3415 , α2 = ϕ (le nombre d’or vu à

l’exemple B.15-2) et α3 =√

2. Nous allons, dans un premier temps, calculerla suite des réduites associée au développement en fractions continues des troisnombres et, à partir des suites des réduites, calculer les dérivées arithmétiquesdes premiers termes de la suite des réduites et voir leur comportement (conver-gence ?).

Avant toute chose : les programmes Voici un programme implémentablesur XCas qui permet de déterminer le développement en fractions continuesd’un rationnel :

devfraccontQ (a,b):={local c,q,r,A;A := []c := aq := br := irem(c,q);tantque r <> 0 faire

A := [op(A),iquo(c,q)]c := qq := rr := irem(c,q)ftantque

A := [op(A),iquo(c,q)]retourne (A)

}:;

et un exemple d’utilisation :devfraccontQ (34 ,15)

[2 ,3 ,1 ,3]

On donne ensuite un programme (toujours implémentable sur XCas) quipermet de donner la ke réduite du développement en fractions continues d’unréel.

17

devfraccontR (r,k):={local c,q,A,t,n;A := []

c := r;q := floor(r)t := r-floor(r);

pour n de 1 jusque k faireA := [op(A),q]

c := 1/t;q := floor(c)t := c-floor(c);fpour;

retourne A;}:;

On teste le programme avec√

2 :devfraccontR (sqrt (2) ,10)

[1 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2]

Pour finir, on donne le code du programme qui permet de donner les suites( pn

qn) des réduites associée (an).

suitereduites (A):={local P,Q,k,n,R;

P := []Q := []pour k de 0 jusque nops(A)-1 faire

si k==0 alorsP := [op(P),A[k]]Q := [op(Q),1]

sinonsi k==1 alors

P := [op(P),A[k -1]*A[k]+1]Q := [op(Q),A[k]]sinon

P := [op(P),A[k]*P[k -1]+P[k -2]]Q := [op(Q),A[k]*Q[k -1]+Q[k -2]]fsi

fsifpour

R := seq(P[k]/Q[k],k=0.. nops(P) -1);retourne R;

}:;

et on teste le programme pour la suite (1,1,1,1) :suitereduites ([1 ,1 ,1 ,1])

(1 ,2 ,3/2 ,5/3)

Peut-être qu’on préférera la version avec deux listes P et Q, ce n’est juste qu’unelégère modification du programme :

18

suitereduitesPQ (A):={local P,Q,k,n,R;

P := []Q := []pour k de 0 jusque nops(A)-1 faire

si k==0 alorsP := [op(P),A[k]]Q := [op(Q),1]

sinonsi k==1 alors

P := [op(P),A[k -1]*A[k]+1]Q := [op(Q),A[k]]sinon

P := [op(P),A[k]*P[k -1]+P[k -2]]Q := [op(Q),A[k]*Q[k -1]+Q[k -2]]fsi

fsifpour

suitereduitesPQ ([1 ,1 ,1 ,1])retourne P,Q;}:;

ce qui nous donne :suitereduitesPQ ([1 ,1 ,1 ,1])

([1 ,2 ,3 ,5] ,[1 ,1 ,2 ,3])

et pour récupérer l’une ou l’autre des listes, on fait :suitereduitesPQ ([1 ,1 ,1 ,1])[0]

[1 ,2 ,3 ,5]suitereduitesPQ ([1 ,1 ,1 ,1])[1]

[1 ,1 ,2 ,3]

On peut maintenant s’attaquer aux calculs pour les dérivées arithmétiques.

Premier exemple : 3415 1) Convergence des réduites vers 34

15

plotlist ( suitereduites ( devfraccontQ (34 ,15)) , couleur =bleu );plotlist (seq (34/15 ,k=0..3) , couleur =rouge );

19

2) Calcul de la dérivée arithmétique de 3415

derivarthQ (34 ,15)13/225

3) Calcul des derivées arithmétiques des réduites du développement en frac-tions continues de 34

15

seq( derivarthQ ( suitereduitesPQ ( devfraccontQ (34 ,15))[0 ,k],suitereduitesPQ ( devfraccontQ (34 ,15))[1 ,k]),k =0..3)(1 , -4/9 , -3/4 ,13/225)

4) Représentation graphique de la suite des dérivées arithmétiques et visua-lisation de la convergence.plotlist (seq( derivarthQ ( suitereduitesPQ ( devfraccontQ (34 ,15))[0 ,k],suitereduitesPQ ( devfraccontQ (34 ,15))[1 ,k]),k=0..3) , couleur =bleu );plotlist (seq( derivarthQ (34 ,15) ,k=0..3) , couleur =rouge );

Deuxième exemple : ϕ 1) Convergence des réduites vers ϕplotlist ( suitereduites ( devfraccontR ((1+ sqrt (5))/2 ,30)) , couleur =bleu );plotlist (seq ((1+ sqrt (5))/2 ,k=0..30) , couleur =rouge );

20

2) Calcul des derivées arithmétiques des réduites du développement en frac-tions continues de ϕ(seq( derivarthQ ( suitereduitesPQ ( devfraccontR ((1+ sqrt (5))/2 ,50))[0 ,k],suitereduitesPQ ( devfraccontR ((1+ sqrt (5))/2 ,50))[1 ,k]),k =0..49)Evaluation time: 18.160 ,1 , -1/4 , -2/9 ,52/25 , -37/16 ,109/169 ,59/441 , -501/1156 , -1369/3025 ,34032/7921 , -1861/432 ,9409/54289 ,139129/142129 , -131809/372100 ,-783140/974169 ,6647324/2550409 , -4255521/1669264 ,17331478/17480761 ,-5134183/45765225 , -109153003/119814916 , -8235505/313679521 ,4455314736/821223649 , -213992165/44791488 , -717893981/1125750125 ,13844993331/14736260449 , -8649933649/38580030724 ,-73263944735/101003831721 ,787071904612/264431464441 ,-514527172303/173072640400 ,1453717376890/1812440220361 ,102621232649/4745030099481 , -10258780854099/12422650078084 ,14525258893861/32522920134769 ,391798088349264/85146110326225 ,14280665705136/583600122205489 , -1237770795530501/1114577054219524 ,4099211925346751/8267970471281161 , -23352146403193717/11582284376324484 ,1717594181509307284/542659871523267169 ,-13464985664844266/8068068751460041 , -84522838155157705/9763046158864384 ,1904174879377841377/15308740443291870125 ,-430960931521089167857/426823685295868029316 ,1040412888111461725467/864867954959841531241 ,-34578462876163668683109/21110172650204263802500 ,26837538650559065757217948/17734528197075578594958747 ,40856438895923486415487705/64329154042360085924898241 ,510582924897139713918524755/544530169395330509713893169 ,-1551450516939887247555568013/983180923924462654453096356)

3) Représentation graphique de la suite des dérivées arithmétiques.plotlist (( seq( derivarthQ ( suitereduitesPQ ( devfraccontR ((1+ sqrt (5))/2 ,50))[0,k],suitereduitesPQ ( devfraccontR ((1+ sqrt (5))/2 ,50))[1 ,k]),k=0..49) ,couleur =bleu );

Troisième exemple :√

2 1) Convergence des réduites vers√

2plotlist ( suitereduites ( devfraccontR (sqrt (2) ,30)) , couleur =bleu );plotlist (seq(sqrt (2),k=0..30) , couleur =rouge );

21

2) Calcul des derivées arithmétiques des réduites du développement en frac-tions continues de

√2

(seq( derivarthQ ( suitereduitesPQ ( devfraccontR (sqrt (2) ,50))[0 ,k],suitereduitesPQ ( devfraccontR (sqrt (2) ,50))[1 ,k]),k =0..49)0 , -1/4 , -2/25 , -65/36 , -12/841 , -591/4900 , -465/2197 , -111259/41616 ,-78476/970225 , -1247237/5654884 ,2150497/32959081 , -11550169/4002075 ,22639237/1119638521 , -222115393/501979348 , -2220815634/7606950125 ,-23453133469/6927586632 ,4299552076/1292061882721 ,2739562837317/7530688524100 , -1677982191877/43892069261881 ,1373799812536148/511643454094369 , -110488639162305/855249319665316 ,-722601449328319/1225513363772889 , -9862680831374901/1698349817881600 ,26368581848103519104/49482030527373665763 ,-569993892747488254295/626354116358975770276 ,89260397938321404191716/45113924359092898574281 ,-1478235073450775036505448/2285629271712085579425369 ,107108430823616174996001748/39184088106718907102977249 ,10972877495446914759169/4109967046267985754565172449 ,-566563203759773/17592186044416 ,-117921412958244456757678895926352/13010019986216044758241036100230369 ,13840387300461771965471001967032465/52072190347528843836786523414688644 ,-19586970214121584160916237980245579/325411046716964285833616697978098169,-320148056032541967242051430993992129/234300770667031200449221883857962962,-631894506995993355996596933852316243/1563859124274077229042881760113474383,3258828607995538250574881138309037271/63781689129556986748636120260312023716 ,3220524622601568458948480833828967040943/8309855759987735884758607413417990005409 ,-2230516458251665753282965357332856951122/9829682279189494029756359696641479352249 ,513007772639046976039540161618322367161856/83780097576841057859316708179582222082289 ,-209584519135765171084184978452078666652341/151004265322836200935864837652588776177476 ,

22

17646867479091778943888765304055628323463449/37434060004522302739910282972044999645627129 ,117995167120030379073319831432860511571082112/42340146910150712733687518125410781226036401 ,-444121332785826257715801910798150977248089039/657364990143929255161083754880151606966412900 ,-17654546209614734409689801742259210494781842/1033369221164334423569558318017830267644153761 ,117290189730803248656048832379253706861920652433/99195818484038034258267898507277543126603639881 ,430728245856351727452665438521942046514404/438314723248028736637139160905315034596017309201 ,-327839524158287893156528507774896519139514362705/954542855713575040518727657720796266140014806564 ,347649398962494710420660479948720839669418321772/895506446479723173351155246248315019448486863883 ,410564627956757752567750343257155855631359724714/6843809667057460384507247632026167614374933487225 ,-6374004248319876110806952109572177395483226994545/4526528789319921192150674770955357269825193337796

3) Représentation graphique de la suite des dérivées arithmétiques.plotlist (( seq( derivarthQ ( suitereduitesPQ ( devfraccontR (sqrt (2) ,50))[0,k],suitereduitesPQ ( devfraccontR (sqrt (2) ,50))[1 ,k]),k=0..49) ,couleur =bleu );

B.5 Quelques exemples sur des réels non dérivables arith-métiquement

B.5.1 Le cas de 1√3+1

plotlist (seq( derivdevdec (1/( sqrt (3)+1) ,k),k =0..20))

23

plotlist (seq( derivarthQ ( suitereduitesPQ ( devfraccontR (1/( sqrt (3)+1) ,50))[0,k], suitereduitesPQ ( devfraccontR (1/( sqrt (3)+1) ,50))[1 ,k]),k =0..49))

B.5.2 Le cas de√

3 +√

5

plotlist (seq( derivdevdec (sqrt (3+ sqrt (5)) ,k),k =0..20))

24

plotlist (seq( derivarthQ ( suitereduitesPQ ( devfraccontR (sqrt (3+ sqrt (5)) ,50))[0,k], suitereduitesPQ ( devfraccontR (sqrt (3+ sqrt (5)) ,50))[1 ,k]),k =0..49))

B.5.3 Le cas de π

plotlist (seq( derivdevdec (pi ,k),k =0..20))

plotlist (seq( derivarthQ ( suitereduitesPQ ( devfraccontR (pi ,25))[0,k], suitereduitesPQ ( devfraccontR (pi ,25))[1 ,k]),k =0..24))Temps mis pour l’é valuation : 67.22

25

Remarque B.19. Le calcul des 50 derivées arithémtiques des premières ré-duites du nombre π a pris, sur mon ordinateur, plus de 6 minutes.

B.5.4 Le cas de e

plotlist (seq( derivdevdec (exp (1),k),k =0..20))

plotlist (seq( derivarthQ ( suitereduitesPQ ( devfraccontR (exp (1)) ,50))[0,k], suitereduitesPQ ( devfraccontR (exp (1)) ,50))[1 ,k]),k =0..49))

26

C Vers une dérivée arithmétique des nombrescomplexes

Que se passe-t-il pour les nombres complexes ?

Définition C.1. Tout élément de l’ensemble C des nombres complexes se notea+ ib avec i2 = −1.

Quelle est la dérivée du nombre imaginaire i ? On sait que i2 = −1 et que ladérivée du nombre −1 est 0.

De la formule (z2)′ = 2zz′, on obtient :

(i2)′ = 2ii′ = (−1)′ = 0⇔ i′ = 0.

Assez surprenant, en fait !

Prenons maintenant a ∈ Dart. Que se passe-t-il si l’on dérive ai ?D’après la formule de dérivation d’un produit :

(ai)′ = a′i + ai′ =i′ = 0 a′i.

Ainsi, si l’on note :Dart[i] = {ai, a ∈ Dart} ,

la dérivée d’un élément de Dart[i] est un élément de Dart[i].

Par contre, on ne peut pas dériver un élément de C qui s’écrit sous la formea+ ib car on n’a pas de formule de dérivation pour l’addition.

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Références

[1] R. Choulet, Dérivée arithmétique d’un nombre, brochure APMEP no 501,Novembre-Décembre 2012.

[2] C. Boulonne, M209 : Approximation et fractions continues, Université desSciences et Techonologies de Lille, L2 de Mathématiques, 2007-2008.

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