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  • Introduction la mthode des lments Finis

    Enseignement Spcialis lcole des Mines Paristech, Novembre 2017

    Nicole Spillane

    Ces notes ont t crites pour le cours denseignement spcialis lments Finisdispens lcole des Mines Paristech en novembre 2017. Elles sont fortement ins-pires des polycopis suivants : [1, 2, 4]. Il sagit de la premire version et elle doitdonc invitablement contenir des erreurs. Vous pouvez me les signaler par mail (ni-cole.spillane@cmap.polytechnique.fr).

    Table des matires1 Introduction sur un exemple 2

    1.1 Domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Problme (dans sa forme dite forte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Oprateurs Direntiels et Formules de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Problme (dans sa forme dite faible ou variationnelle) . . . . . . . . . . . . . . 41.5 lment ni P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Formulation variationnelle approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7 Mise sous forme matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    2 Formulation variationnelle : cadre abstrait 132.1 Thorie de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Retour sur lexemple de la section 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Thorie de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Retour plus fructueux sur lexemple de la section 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5 Approximation interne (ou approximation de Galerkin) . . . . . . . . . . . . 26

    3 Mthode des lments nis de Lagrange : cadre abstrait 293.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 lment ni de Lagrange P1 sur un maillage triangulaire en deux dimension 303.3 lments nis de Lagrange dordre plus levs sur des triangles . . . . . . . . 303.4 lments nis de Lagrange dans R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5 Assemblage de la matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30CNRS, CMAP, cole Polytechnique. Contact: nicole.spillane@cmap.polytechnique.fr

    1

  • 1 Introduction sur un exempleDans cette premire partie du cours on introduit un cas particulier dquation aux

    drives partielles, lquation de raction diusion, sur laquelle on illustrera la m-thode des lments nis.

    1.1 DomaineOn se place en dimension d = 2 despace. Soit un polygone de R2. On note

    le bord de et on suppose quil est divis en deux parties disjointes D et N (commeillustr dans la gure 1) :

    = = D N .Nous allons rsoudre une quation aux drives partielles pose dans avec des

    D

    N

    Figure 1 Le bord de est divis en D et N sur lesquelles on imposera des condi-tions aux limite de deux types dirents.

    conditions aux limites sur . Ces conditions aux limites seront de deux types :Neumannsur N et Dirichlet sur D (ces notions seront prcises dans le prochain paragraphe).

    1.2 Problme (dans sa forme dite forte)Le problme que nous rsolvons est lquation de raction-diusion : trouver une

    fonction u C2() (sous-entendu valeurs dans R) qui vrie

    u (x ) + cu (x ) = f (x ), x ,u (x ) = 0(x ), x D,nu (x ) = 1(x ), x N tel que nu (x ) est dni.

    (1)

    Nous avons introduit les paramtres suivants : c > 0 est une constante,

    2

  • f : R est une fonction que lon suppose continue et appele le terme sourcede lquation,

    0,1 : R sont deux fonctions qui donnent respectivement la valeur impo-se u sur D (condition de Dirichlet) et la valeur impose la drive normalenu sur N (condition de Neumann). On suppose que la fonction 1 est de classeC1.

    Le prochain paragraphe dnit, entre autres, les oprateurs direntiels qui inter-viennent dans lquation ainsi que des rsultats important qui nous permettront dercrire le problme sous sa forme dite variationnelle.

    1.3 Oprateurs Direntiels et Formules de GreenLes formules de Green peuvent tre vues comme une gnralisation de la formule

    dintgration par parties aux fonctions dnies sur des ouverts de Rd pour d = 1, 2ou 3. On considre un ouvert born Rd et on note le bord de . On supposeque est rgulier. Plus prcisment, on suppose que est polygonal (quand d = 2),polydral (quand d = 3) ou de classe C1 mais il nest pas ncessaire de connaitre ladnition dun tel ouvert dans le cadre de ce cours. On dnit en presque tout point xde le vecteur unitaire sortant, not n(x ), qui est orthogonal au plan tangent en ce point. Enn on note dx la mesure de Lebesgue dans et d (x ) la mesure desurface ou mesure de Lebesgue de dimension d 1 sur .

    Soit q C1()d un champ de vecteur et v C1() un champ de scalaire. Onrappelle (dans lordre) les dnitions des oprateurs divergence, gradient et laplacien :

    div q =di=1

    qixi, v =

    *..,

    v/x1...

    v/xd .

    +//-

    et (v ) =di=1

    2v

    x2i. (2)

    On rappelle aussi la dnition de la drive normale nw de w C1(). Elle estdnie en tout les points de auxquels une normale n(x ) est dnie par la formule :

    nw (x ) = w (x ) n(x ). (3)

    Pour les ouverts considrs, on a donc que nw est dnie en presque tout point de (on doit exclure les ventuels coins de ).

    Thorme 1.1 [Formule de la divergence ou formule de Gauss ou formuledOstrogradski] Soit q C1()d un champ de vecteur dni sur . Ona la formule

    div(q(x )) dx =

    q(x ) n(x ) d (x ).

    3

  • Figure 2 Gauche : est de classe C1. Centre : nest pas de classe C1 cause dupoint de rebroussement (la frontire nest pas susamment rgulire). Droite : nestpas de classe C1 cause de la ssure (le domaine nest pas dun seul ct de la frontire).

    On admet la formule de la divergence. On dmontre facilement les deux corollairessuivants qui sont trs utiles pour la mise sous forme variationnelle des quations auxdrives partielles qui est lune des tapes cls de la mthode des lments nis.

    Corollaire 1.2 [Formule de Green] Soit q C1()d et v C1(), on av (x ) div(q(x )) dx =

    q(x ) v (x ) dx +

    v (x ) (q(x ) n(x )) d (x ).

    Dmonstration On combine la formule de la divergence applique vq avec la formuledanalyse vectorielle : div(vq) = v div q + q v .

    La formule suivante est probablement la formule de Green qui nous sera la plus utilepuisquon lutilise dans ltablissement de la formulation variationnelle du problmede raction diusion.

    Corollaire 1.3 [Formule de Green] Soit v C1() etw C2(), on av (x )w (x ) dx =

    v (x ) w (x ) dx +

    v (x )nw (x ) d (x ).

    Dmonstration On applique la formule de Green prcdente au champ de vecteur q =u C1 ()d et on utilise la formule danalyse vectorielle : w = div(w ).

    1.4 Problme (dans sa forme dite faible ou variationnelle)Pour allger les notations on simpliera lcriture des intgrales en notant par

    exemplew =

    w (x ) dx et

    w =

    w (x ) d (x ).

    4

  • Si on applique la formule de Green du corollaire 1.3 une fonction v C1() et la solution u C2() de lquation (1) on trouve

    uv +

    u v =

    nuv =

    N

    nuv +

    D

    nuv .

    On a crit lintgrale sur le bord de comme une somme dintgrales sur D et Nan dinjecter dans lquation la condition aux limites de type Neumann (nu = 1sur N ). On remplace aussi u par son expression donne par lquation direntiellepour obtenir

    u v + c

    uv =

    f v +

    N

    1v +

    D

    nuv .

    On ne connait pas la valeur de nu sur D . An dannuler le dernier terme de lqua-tion, on va se restreindre des fonctions v qui sont nulles sur D . Si u est solution delquation de dpart, on a donc que u est aussi solution du problme suivant :Trouver u C2() tel que

    u = 0, sur D,u v + c

    uv =

    f v +

    N

    1v, v C1() tel que v = 0 sur D .(4)

    Cette quation est appele formulation variationnelle ou formulation faible. Onremarque que le terme de gauche comporte tous les termes qui dpendent de la solutionu, il peut scrire comme une forme bilinaire value en u et en v . Le terme de droitede lquation quant lui dpend des paramtres du problme, il peut scrire commeune forme linaire en v . Ceci apparaitra clairement dans le cadre abstrait que nousintroduirons dans la partie 2 de ce cours.

    Remarque 1.4 [Conditions aux limites naturelles et essentielles] Les conditionsaux limites de Neumann et Dirichlet ne jouent pas le mme rle dans la formulationdu problme :

    Les conditions aux limites de type Dirichlet (valeur de u impose sur le bord)sont appeles essentielles : elles ne sont pas incorpores dans la formulation va-riationnelle puisquelles apparaissent comme une quation spare. Leur versionhomogne est impose aux fonctions v par lesquelles on a multipli lquation(les fonctions tests).

    Les conditions aux limites de type Neumann (valeur de nu impose sur le bord)sont appeles naturelles : elles sont incorpores dans la formulation variation-nelle.

    Attention : le fait de qualier ainsi une condition aux limites ne dpend pas de si cest

    5

  • une condition de Neumann ou de Dirichlet mais du rle quelle joue dans la formu-lation variationnelle.

    Les fonctions v dans la formulation variationnelle sont appele des fonctionstests. On teste lquation de dpart contre ces fonctions par multiplication puis in-tgration. Ceci revient valuer des versions moyennes de lquation o la moyenneest calcule avec les poids donnes parv . Les fonctionsv ne sont pas des inconnues duproblme : lquation doit tre satisfaite pour toutes les fonctions tests. On a le rsultatdquivalence suivant.

    Thorme 1.5 [Equivalence entre les formes faibles et fortes du problme] Soitu C2() on a lquivalence suivante

    u est solution de (1) u est solution de (4).

    Pour montrer que la solution faible est aussi une s