Mécanique Analytique

1

MOUVEMENTS PARALLELES A UN PLAN

Définitions

Centre Instantané de Rotation (C.I.R.)

Détermination des champs de vitesses

Détermination du C.I.R.

Détermination graphique des vecteurs vitesses

Base et roulante

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CENTRE INSTANTANE DE ROTATION (1)

Le vecteur de rotation instantané est constamment dirigé perpendiculairement au plan du mouvement

ω

'z

'y

'x

y''

x

'z

x''

z

'y 11.

dt1d11.

dt1d11.

dt1d

+

+

=ω

01.dt1d

et 0dt1d :avec '

z

'y

'z ==

x

y

z

(fixe)

x1y1

z1

x'

y'

z'

'1x

'1y'1z

O A

(mobile)

ω

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CENTRE INSTANTANE DE ROTATION (2)

Le mouvement instantané général du solide est un mouvement hélicoïdal

Centre Instantané de Rotation (C.I.R.) = intersection de l'axe de rotation instantané et du plan de mouvement :

En particulier :

0vI =

:solideP∈∀

IPxv

IPxvv

P

IP

ω=

ω+=

QPxv 0k(t) ,Ici

QPx)t()t(kv

p

p

ω=⇒=

ω+ω=

A

B

A'

B'

I

'Av 'Bv

Av

Bv

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DETERMINATION DES CHAMPS DE VITESSES (1)

Si deux points A et B sont fixes, à l'instant t, tous les points sont fixes à cet instant.

Si deux points A et B ont des vitesses équipollentes, différentes de zéro, à l'instant t, tous les points ont la même vitesse à cet instant.

0APxv

0)t( AB et 0AB

0ABx0vv

p

BA

=ω=⇒

=ω⇒ω⊥≠

=ω⇒==

AAp

AB

vAPxvv

0)t(0ABx0vv

=ω+=⇒

=ω⇒=ω⇒=−

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DETERMINATION DES CHAMPS DE VITESSES (2)

Si un point I est fixe et un point A a une vitesse différente de zéro :

Si deux points A et B ont des vitesses différentes et non nulles :

)t(IPx)t(vIA.IAvxIA

)IA(

IA).IA()IA.IA(

)IAx(xIAvxIA

IAxv

pA

2

A

A

ω=⇒=ω⇒

ω=

ω−ω=

ω=

ω=

)t(APx)t()t(vvAB.AB

)vv(xAB)t(

ABxvv

ApAB

AB

ω+=⇒−

=ω⇒

ω=−

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DETERMINATION DU C.I.R. (1)

Il suffit de connaître les directions des vitesses de deux points du plan: I est à l ’intersection des perpendiculaires de ces vitesses.

B

A

C

I

x

yBv

Cv

AvI

B

A

O1 O2

C

Av

BvCv

O

manive

lle

A

B

C

I

I

bielle piston

Av

Cv

Bv

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7

DETERMINATION DU C.I.R. (2)

Dans le cas d'une courbe roulant sans glisser sur une autre courbe, le C.I.R. est le point de contact de ces deux courbes.

Analytiquement : 2

pp

vxPIIPxv

ωω

=⇒ω=

A

C

I

Av

Cv

mobile

fixe

A

O I

C

fixe

mobile

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BASE ET ROULANTE (1)

Soient

A l ’instant t, considérons trois points qui coïncident en I :un point lié à un point lié à un point géométrique : point fictif (indicateur) qui joue le rôle de C.I.R. et qui change de position dans quand le temps s'écoule.

Base (b) : lieu des points du plan fixe qui servent successivement de C.I.R., trajectoire absolue du point indicateur.Roulante (r) : lieu des points du plan mobile qui viennent successivement se placer sur le C.I.R. : trajectoire relative du point indicateur.

solide au lié mobile plan fixe plan

2

1

=π=π

21 et ππ

0)aet 0v(1 ==π

0)aet 0v(2 ≠=π

I

I'

I1

I'1

base

roulante(t)

roulante(t+∆t)

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BASE ET ROULANTE (2)

Exemple :

Point indicateur :

la base et la roulante ont à chaque instant une tangente communeen I

la roulante roule sans glisser sur la base en I

uvvvvv relabsentrrelabs ==⇒+=

C

I'2 (t2)

I'1 (t1)

I1 (t1) I2 (t2)I (t) base

roulante

I

géométrique!

géométrique!

ττ1

r

b

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BASE ET ROULANTE (3)

Exemple : tige AB où A et B sont assujettis à se mouvoir perpendiculairement sur les axes ox et oy.

Géométriquement :

Base : lieu des points équidistants de 0Roulante : lieu des points tels que

Analytiquement :

2BIA π

=∧

==

=θ=

0'A

'0A

y 0y

xsinlx

θ=θ=

lcosysinlx

: Base

222 lyx =+⇔

θ=

θθ=2cos lY

sincoslX : Roulante

4l)

2lY(X

222 =−+⇔

x

y

b

rA

B

O

I

x

y

Xl

A

O

O'

θ

θ

Y

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COMPAS ELLIPTIQUE OU ELLIPSOGRAPHE

Tout point C lié rigidement à A et B décrit une ellipse dans le plan Oxy :

⇒

θ+α=θ+α−θ=

)sin(by)cos(bcoslx

θα+θα=θα+θα−=

sincosbcossinbysinsinbcos)cosbl(x

+=θ

+=θ⇒

ykxksinykxkcos

'2

'1

21

1)ykxk()ykxk( 2'2

'1

221 =+++⇒

1dl

ydx

d)sin-(lycosdx

: sur ABest C Si22

=

−

+

⇒

θ=θ=

x

y

A

B

l

b

a

l-d

dP

C (x,y)

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BASE ET ROULANTE (4)

Détermination analytique de la base et de la roulante :

Equations paramétriques de la roulante :

Equations paramétriques de la base :

θ+θ+=

θ−θ+=

cosYsinXyy

sinYcosXxx

'0

'0

θθ−θ+=

θθ+θ−=

dtd)sinYcosX(

dtdy

0

dtd)cosYsinX(

dtdx

0

'0

'0

θθ

+θθ

=

θθ

−θθ

=

sind

dycos

ddx

Y

cosd

dysin

d

xX

'0

'c

'0

'0

θ+=

θ−=

ddxyy

ddyxx

'0'

0

'0'

0

x

y

O

X

Y

O'

P (X,Y)

θ

)( 1π

)( 2π

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EXEMPLE 1 : MOUVEMENT ABSOLU

Une roue de rayon r roule sans glisser sur une surface plane. Questions : déterminerle mouvement angulaire de la roue en fonction du mouvement linéairede son centre O.l’accélération d’un point de la circonférence extérieure quand cepoint vient en contact avec la surface de roulement.

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EXEMPLE 2 : MOUVEMENT RELATIF

La roue de diamètre r=300 mm roule sans glisser vers la droite. Son centre O a une vitesse de 3 m/s.

Question : calculer la vitesse du point A au moment où la roue est à la position représentée ci-dessous.

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EXEMPLE 3 : CENTRE INSTANTANE DE ROTATION

Prenons le même cas que l’exemple 2 (roue se déplace vers la droite, vO= 3 m/s).

Question : utiliser le centre instantané de rotation afin de trouver la vitesse du point A pour la position représentée à la figure ci-dessous.

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EXEMPLE 4 : ACCELERATIONS

La roue de rayon r roule sans glisser vers la gauche et, à l’instantconsidéré, le centre O a une vitesse et une accélération , dirigées versla gauche.

Question : déterminer l’accélération des points A et C de la roue à l’instant considéré.

Ov Oa

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EXEMPLE 5 : CENTRE INSTANTANE DE ROTATION

Le bras OB du mécanisme à 3 barres a une vitesse angulaire de 10 rad/s dans la position représentée ci-dessous (θ = 45°).

Question : déterminer la vitesse de A, la vitesse de D et la vitesseangulaire du bras AB au moment où le mécanisme est à la position représentée ci-dessous.

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EXEMPLE 6 : MECANISME A 3 BARRES

Le bras CB oscille autour de C avec une amplitude limitée, provoquantl’oscillation de OA autour de O. Quand le mécanisme arrive à la position représentée ci-dessous (CB est horizontal et OA vertical), la vitesseangulaire de CB est de 2 rad/s dans le sens anti-horlogique.

Question : déterminer les vitesses et les accélérations angulaires de OA et AB à cet instant.

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EXEMPLE 7 : SYSTEME BIELLE-MANIVELLE

La manivelle OB a une vitesse de rotation de 1500 tour/min.Question : déterminer, pour la position correspondant à θ = 60°, la

vitesse du point A, la vitesse du point G et la vitesse angulaire de la bielleainsi que les accélérations correspondantes.

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EXAMPLES DE SYSTEMES PLANS (1)

Mécanique Analytique

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EXAMPLES DE SYSTEMES PLANS (2)