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Electromagnétisme 5

Mouvement de particules chargées

dans les champs électrostatique et magnétostatique

I. Le champ magnétique et ses effets

I.1. Les aimants

I.1.1. Action sur une aiguille

• Orientation de l'aiguille au voisinage d'un aimant

⇒ L'aiguille subit une force qui dépend de sa position → elle subit un champ de force créé par l'aimant.

La force subie affecte l'orientation de l'aiguille : elle agit par rotation. L'aiguille subit un couple.

⇒ L'aimant modifie l'espace qui l'entoure en créant en tout point M de l'espace un champ nommé champ magnétostatique car indépendant du temps et noté

€

B (M) .

⇒ On constate que la force donc le champ sont d'autant plus intense que la distance entre l'aimant (source) et l'aiguille (qui subit) est courte.

I.1.2. Champ magnétique terrestre

L'orientation de l'aiguille en l'absence d'aimant n'est pas quelconque

⇒ Il existe donc un champ magnétostatique à la surface de la Terre dit "champ magnétique terrestre".

I.1.3. Nord et Sud

Par définition on appelle Nord l'extrémité de l'aiguille qui montre le Nord géographique.

Par convention le vecteur champ magnétique terrestre est orienté du Sud vers le Nord.

Deux aiguilles proches l'une de l'autre s'orientent mutuellement : le nord de l'une proche du sud de l'autre. On peut dire que des pôles de noms contraires s'attirent.

On appellera Sud d'un aimant, le pôle montré par le Nord d'une aiguille.

I.1.4. Spectres magnétiques

On peut observer les cartes du champ magnétostatique créé par un aimant à) l'aide de limaille de fer : chaque grain de limaille se comporte comme une aiguille de boussole et donne la direction Sud Nord du champ local.

I.2. Les courants

I.2.1. Action d' un courant sur une aiguille

• Courant filiforme

Le passage d'un courant dans un fil conducteur, modifie l'orientation de l'aiguille aimantée. L'aiguille permet de déterminer la direction et le sens de ce champ.

⇒ Le fil traversé par un courant continu crée un champ magnétostatique orthoradial dont le sens est donné par la règle du tire-bouchon.

• Bobine parcourue par un courant

Faces Nord et Sud de la bobine.

I.2.2. Action d'un aimant sur un courant

• Courant de conduction

Expérience des rails de Laplace : si le circuit est mobile, le champ créé par l'aimant le met en mouvement.

• Courants particulaires

La déviation d'un faisceau d'électrons par le champ créé par un aimant ou par une bobine traduit une interaction entre le champ magnétostatique et le courant de particules.

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C'est cette interaction qui constitue la définition du champ magnétostatique.

I.3. Le champ magnétostatique

I.3.1. Définition

Une distribution de courants ou d'aimants crée une modification des propriétés de l'espace que l'on appelle champ magnétique

€

B (magnétostatique quand il est indépendant du temps).

On définit le champ magnétique

€

B à partir la force magnétique

€

F subie par une particule de charge q

animée d'une vitesses

€

v par

€

F = q�

€

v ^

€

B .

Il s'en suit que

•

€

B est un vecteur axial.

• 1 Tesla = 1 kg�s-2�A-1

II. Force de Lorentz

II.1. Expression

Cas général : soit une particule de charge q et de masse m se trouvant à la date t en un point M du référentiel galiléen R0 en présence du champ électrique

€

E (M, t) et du champ magnétique

€

B (M, t). Elle

se déplace à la vitesse

€

v (M, t) et est soumise à une force dite de Lorentz

€

F = q�[

€

E (M, t) +

€

v (M, t)R0 ∧

€

B ].

La force de Lorentz traduit une des interactions fondamentales et son domaine de validité n'est pas limité au cadre de nos connaissances.

Les champs

€

E (en volts�m-1) et

€

B (en tesla) sont créés par des sources et définis dans R. Ils ne sont pas

de même nature, leur rapport est homogène à une vitesse. Comme

€

v ,

€

E et

€

B dépendent du référentiel

q et m sont des propriétés intrinsèques de la particule, elles sont indépendantes de t et de R.

II.2. Aspect énergétique

II.2.1. Puissance de la force de Lorentz :

P =

€

F �

€

v = [q�

€

E +

€

v ∧

€

B ]�

€

v = q�

€

E �

€

v +

€

0 elle est donc nulle dans le cas où le champ

€

E

€

B est nul.

⇒ Un champ magnétique seul ne peut pas modifier l'énergie cinétique d'une particule chargée.

II.2.2. Action de

€

E seul

II.2.3. Energie

€

E = -

€

grad V →

€

F = - q�

€

grad V = -

€

grad (q�V) → La force

€

F dérive de l'énergie potentielle

Ep = q�V c'est une force conservative.

Donc Em = Ec + Ep est une constante du mouvement et

€

12�m�v2

2 –

€

12

•m�v12 = q�(V1 - V2).

Soit une particule partant d'un point de potentiel nul avec une vitesse nulle, en M son énergie cinétique s'exprime par Ec(M) = - q�V(M) exprimable en électronvolt (eV). Le champ électrique a donc un effet

accélérateur.

Remarque Ec > 0, donc pour un électron, il faut que V(M) soit positif.

II.2.4. Vitesse

On peut donc calculer la vitesse acquise par la particule précédente.

Ordre de grandeur : un électron soumis à 10 kV → K = 10 keV = 1,6�10-15 J ce qui donne une vitesse

de 1,88�105 m�s-1.

A chaque calcul, il conviendra de vérifier que nous sommes toujours dans le domaine de la mécanique

non relativiste c’est-à-dire que β2 =

€

v2

c 2 reste petit devant 1.

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II.3. Action de

€

B seul

Une particule de masse m et de charge q, pénètre avec une vitesse

€

v 0 dans une région de l'espace où

règne

€

B uniforme et permanent.

Elle est soumise à une force

€

F = q�

€

v ∧

€

B ont la puissance P =

€

F �

€

v est nulle. Donc le travail de la force

magnétique s'exerçant sur cette particule est nul et l'énergie cinétique de la particule est constante.

On en déduit que la norme de

€

v est constante et qu'un champ magnétique est incapable d'augmenter

la vitesse des particules.

Je n'ai pas dit incapable d'accélérer.

Remarque si

€

B est variable dans le temps, le travail de

€

F reste nul mais il apparaît d'autres phénomènes

hors programme.

III. Mouvement d'une particule chargée dans un champ électromagnétique uniforme et permanent

Une particule est soumise à un champ électromagnétique si elle se trouve dans une région de l'espace où coexistent un champ électrique et un champ magnétique.

Soit une particule M de masse m et charge q, pénétrant, à t = 0 en O(0,0,0) avec une vitesse

€

v 0 dans

une région de l'espace où règne un champ

€

E uniforme et permanent et un champ

€

B uniforme et

permanent.

La question n'est pas neuve : il s'agit d'étudier le mouvement d'un point matériel soumis à des forces. La solution du problème passe par l'écriture de la RFD dans un référentiel galiléen, ce qui conduit à une équation différentielle vectorielle, dont nous déduisons trois équations différentielles, une par coordonnée.

La particule est soumise à la force de Lorentz

€

F = q�(

€

E + q�

€

v ∧

€

B )

III.1. Hypothèses d'étude

• Ordre de grandeur : en ce qui concerne les particules, la valeur de la force électrostatique est énorme devant les forces de gravitation que nous négligerons par la suite. Ceci est vrai pour les particules seulement.

• Nous supposerons les champs indépendants du temps (ou à variation très lente donc assimilables à des champs statiques).

• Nous admettrons qu'il existe une fonction scalaire V(M) telle que

€

E = -

€

grad V.

• Dans la plupart des cas, les exercices et expériences supposent la réalisation d'un vide poussé (p < 1 Pa)

Dans ces hypothèses, la RDF appliquée à la particule s'écrit : m�

€

d v

dt = q�(

€

E + q�

€

v ∧

€

B ). q et m

interviennent par leur rapport. On ne pourra pas déterminer q ou m individuellement par l'étude du mouvement.

III.2. Premier cas :

€

B =

€

0

Donc

€

E agit seul. On peut déterminer :

• Les équations paramétriques x(t), y(t) et z(t) → le mouvement est dans le plan

€

E ,

€

v 0

• L'équation de la trajectoire

• Le vecteur

€

v à la sortie de la zone où règne

€

E

• La déflexion ou la position Y du point d'impact sur un écran

III.2.2. Applications

Les accélérateurs de particules

La mesure de Y est une mesure de V → l'oscilloscope

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III.3. Deuxième cas :

€

E =

€

0

III.3.1. Mise en équation

Nous supposerons le référentiel R0 galiléen et nous choisissons l’axe Oz colinéaire au champ →

€

B = B�

€

e z avec B constant et l’axe Oy perpendiculaire à

€

v 0 →

€

v 0 = v0�(sin α�

€

e x + cos α�

€

e z).

A t quelconque

€

v =

€

˙ x �

€

e x +

€

˙ y �

€

e y +

€

˙ z �

€

e z

• La RFD s'écrit : m�

€

d v

dt = q�

€

v ∧

€

B et permet de remarquer que

€

q ⋅Bm

est l'inverse d'un temps → en

posant

€

e ⋅Bm

= ω > 0 pulsation cyclotron et q = ν�e avec ν algébrique on obtient les trois équations :

€

˙ ̇ x = ν�ω�

€

˙ x

€

˙ ̇ y = - ν�ω•

€

˙ x et

€

˙ ̇ z = 0

• On peut résoudre l'équation en z :

€

˙ z = v0�cos α → z = v0�cos α�t puisque z0 = 0.

• Mouvement dans le plan xOy : Considérons la projection H de la position M de la particule sur le plan xOy : ses coordonnées sont x(t) et y(t).

Le problème est que en x et y, nous avons abouti à des équations différentielles qui ne sont pas indépendantes. Donc l'objet de ce chapitre, comme d'ailleurs du suivant, est de donner une méthode – une astuce – pour résoudre le problème.

III.3.2. Résolution première méthode

• On intègre une fois les équations :

€

˙ ̇ x = ν�ω�

€

˙ y →

€

˙ x = ν�ω�y + v0�sin α et

€

˙ ̇ y = - ν�ω�

€

˙ x →

€

˙ y = - ν�ω�x

• On peut alors remplacer

€

˙ y dans la première équation et en déduire une équation en x indépendante

de y :

€

˙ ̇ x = - ν2�ω2�x soit

€

˙ ̇ x + ν2�ω2�x = 0

• La solution est du type x = A�cos ν�ω�t + B�sin ν�ω�t où A et B sont déterminés par les conditions

initiales : x(0) = 0 → A = 0 et

€

˙ x (0) = ν�ω�B = v0�sin α → x =

€

v0 ⋅sin αν ⋅ω

�sin ν�ω�t.

• On peut alors calculer

€

˙ y = - ν�ω�x = - v0�sin α�sin ν�ω�t → y =

€

v0 ⋅sin αν ⋅ω

�cos ν�ω�t + C. La condition

initiale y(0) = 0 =

€

v0 ⋅sin αν ⋅ω

+ C donne C = -

€

v0 ⋅sin αν ⋅ω

et y =

€

v0 ⋅sin αν ⋅ω

�[cos ω0�t – 1].

III.3.3. Méthode complexe

Introduisons la variable u = x + j�y qui représente l'affixe de

€

OH .

€

˙ u =

€

˙ x + j�

€

˙ y et

€

˙ ̇ u =

€

˙ ̇ x + j�

€

˙ ̇ y qui avec

€

˙ ̇ x = ν�ω�

€

˙ y et

€

˙ ̇ y = - ν�ω

€

˙ x donne par + j� :

€

˙ ̇ u = ν�ω

€

˙ y - j�ν�ω

€

˙ x = - j�ν�ω�[

€

˙ x + j�

€

˙ y ] = - j�ν�

€

˙ u .

Soit

€

˙ ̇ u + j�ν�ω�

€

˙ u = 0 dont la solution est

€

˙ u = A�e-j�ν�ω�t → u = -

€

1j ⋅ ν ⋅ω

�A�e-j�ν�ω�t + B.

A t = 0 :

€

˙ u (0) = v0�sin α = A et u(0) = 0 → B =

€

1j ⋅ ν ⋅ω

�A =

€

1j ⋅ ν ⋅ω

�v0�sin α

→ u = -

€

1j ⋅ ν ⋅ω

�v0�sin α�e-j�ν�ω�t +

€

1j ⋅ ν ⋅ω

�v0�sin α = j�

€

1ν ⋅ω

�v0�sin α�(e-j�ν�ω�t –1)

Avec e-j�ν�ω�t = cos (ν�ω�t) - j�sin (ν�ω�t)

→ u =

€

1ν ⋅ω

�v0�sin α�sin (ν�ω�t) + j�

€

1ν ⋅ω

�v0�sin α�[cos (ν�ω�t) -1]

→ x =

€

1ν ⋅ω

�v0�sin α�sin(ν�ω�t) et y =

€

1ν ⋅ω

�v0�sin α�[cos(ν�ω�t) - 1] → évidemment les mêmes

solutions.

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III.3.4. Trajectoire

• Mouvement dans xOy

Les équations vérifient x2 + y2 =

€

v0 ⋅sin αν ⋅ω

&

' (

)

* + 2

constante → le point H décrit un arc de cercle de rayon

€

v0 ⋅sin αν ⋅ω

et de centre C dont les coordonnées sont xC = 0 et yC = -

€

v0 ⋅sin αν ⋅ω

Ce cercle est décrit avec une vitesse angulaire égale à ν�ω.

• Mouvement global

Suivant Oz : vz = constante → z = v0�cos α�t

Donc globalement M décrit une hélice circulaire, dont le rayon

€

v0 ⋅sin αν ⋅ω

n'est pas le rayon de courbure

de la trajectoire en un point, et dont le pas est h = v0�cos α�T où T =

€

2 ⋅ πν ⋅ω

=

€

2 ⋅ π ⋅mq ⋅B

.

III.3.5. Cas d'une vitesse initiale perpendiculaire à

€

B

Dans ce cas

€

˙ z = 0 et la particule décrit un cercle.

On peut alors

• calculer la déflexion magnétique

• déduire le rapport

€

qm

de la mesure du rayon de la trajectoire

III.3.6. Avec force de frottement fluide

Exemple un proton de charge e (donc ν = 1), de masse m, de vitesse initiale

€

v 0 quelconque, pénètre

en M0(x0, y0, z0) dans une région de l'espace où règne

€

B = B�

€

e z avec B constant. Il y subit une force de

frottement fluide modélisée par

€

f = - h�

€

v .

• Mise en équation

m�

€

a = - h�

€

v + e�

€

v ∧

€

B = - h�

€

v + e�B�

€

v ∧

€

e z avec

€

v =

€

˙ x �

€

e x +

€

˙ y �

€

e y +

€

˙ z �

€

e z.

On pose ω =

€

em

�B →

€

˙ ̇ x = -

€

hm

�

€

˙ x + ω�

€

˙ y ;

€

˙ ̇ y = -

€

hm

�

€

˙ y - ω�

€

˙ x et

€

˙ ̇ z = -

€

hm

�

€

˙ z .

• Résolution en z

€

˙ ̇ z +

€

hm

�

€

˙ z = 0 donne

€

˙ z = A•

€

e−

hm

⋅t avec

€

˙ z (0) =

€

˙ z 0 = A →

€

˙ z =

€

˙ z 0�

€

e−

hm

⋅t

et z = -

€

˙ z 0�

€

mh

�

€

e−

hm

⋅t + B avec z(0) = z0 = B –

€

˙ z 0�

€

mh

• Mouvement dans le plan xOy

L'intégration de

€

˙ ̇ x donne

€

˙ x = -

€

hm

�x + ω�y + C elle ne permet pas d'avoir une équation en y

indépendante de x. Donc la première méthode n'est pas utilisable ici. On utilisera la méthode complexe.

Soit u = x + j�y et

€

˙ ̇ x = -

€

hm

�

€

˙ x + ω�

€

˙ y ;

€

˙ ̇ y = -

€

hm

�

€

˙ y - ω�

€

˙ x

+ j� =

€

˙ ̇ u = -

€

hm

�

€

˙ x + ω�

€

˙ y - j�

€

hm

�

€

˙ y - j�ω�

€

˙ x = - [

€

hm

+ j�ω]�

€

˙ u →

€

˙ ̇ u + [

€

hm

+ j�ω]�

€

˙ u = 0 dont la

solution est du type

€

˙ u = A�

€

e−

hm

⋅t�e- j�ω�t = A�

€

e−

hm

⋅t�[cos ω�t - j�sin ω�t] avec

€

˙ u (0) =

€

˙ x 0 + j�

€

˙ y 0 = A

puis u par intégration.

III.4. Actions simultanées de

€

E et

€

B parallèles

€

E = E�

€

e z et

€

B = B�

€

e z → dans le plan xOy le mouvement de H projection de M est toujours un cercle,

le long de

€

e z le mouvement est accéléré → le pas de l'hélice augmente.

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III.5. Champs de

€

E et

€

B croisés

Exemple un proton de charge e (donc ν = 1), de masse m, de vitesse initiale

€

v 0 quelconque, pénètre

en M0(x0, y0, z0) dans une région de l'espace où règnent

€

E = E�

€

e y et

€

B = B�

€

e z avec E et B constants.

III.5.1. Mise en équation

m�

€

a = e�

€

E + e�

€

v ∧

€

B = e�E�

€

e y + e�B�

€

v ∧

€

e z avec

€

v =

€

˙ x �

€

e x +

€

˙ y �

€

e y +

€

˙ z �

€

e z.

→ m�

€

a = e�E�

€

e y + ω�

€

˙ y �

€

e x - ω�

€

˙ x �

€

e y . On pose ω =

€

em

�B →

€

˙ ̇ x = ω�

€

˙ y ;

€

˙ ̇ y = ω�

€

EB

- ω�

€

˙ x et

€

˙ ̇ z = 0

III.5.2. Résolution

On peut utiliser la première méthode

→

€

˙ ̇ x = ω�

€

˙ y ; →

€

˙ x = ω�y +

€

˙ x (y = 0)

→

€

˙ ̇ y = ω�

€

EB

- ω�

€

˙ x = ω�

€

EB

- ω2�y - ω�

€

˙ x (y = 0) soit l’équation

€

˙ ̇ y + ω2�y = ω�[

€

EB

-

€

˙ x (y=0)]

→

€

˙ ̇ z = 0 →

€

˙ z = constante =

€

˙ z (t=0) → z =

€

˙ z (t=0)�t + z0

L’équation s’intègre en y = A�cos (ω�t) + C�sin (ω�t) +

€

EB ⋅ω

+

€

˙ x ⋅ y =0( )ω

Les constantes A et C sont déterminées par les conditions initiales. On déduit

€

˙ x de

€

˙ x = ω�y +

€

˙ x (y = 0) puis x par intégration.

Exemple : si la vitesse initiale est nulle et M en O à t = 0 →

€

˙ x (y = 0) =

€

˙ x (t = 0) = 0

y = R0�[1 - cos (ω�t)] si R0 =

€

m ⋅Ee ⋅B2 → x = R0�[ω�t - sin(ω�t)]. La trajectoire est une cycloïde.