Morphologie Mathématique Ouvertures, fermetures, Niveaux ...Ouvertures et fermetures par adjonction...

Morphologie MathématiqueOuvertures, fermetures, Niveaux de Gris

CS 2019

Hugues Talbot (CVN, CentraleSupelec)Mars 2019

!1

Plan de la séance

1 Filtres : ouverture et fermeture

2 Ouvertures et fermetures par adjonction

J. Cousty & H. Talbot : Morpho, graphes et imagerie 3D 2/18

Filtres : ouverture et fermeture

Filtre

Définition

Un filtre (sur E ) est un opérateur croissant et idempotent8X ,Y 2 P(E ), X ✓ Y =) (X ) ✓ (Y )8X 2 P(E ), ( (X )) = (X )



Fermeture et ouverture

Définition

Une fermeture (sur E ) est un filtre extensif8X ,Y 2 P(E ), X ✓ Y =) (X ) ✓ (Y )8X 2 P(E ), ( (X )) = (X )8X 2 P(E ), X ✓ (X )

Une fermeture (sur E ) est un filtre anti-extensif8X ,Y 2 P(E ), X ✓ Y =) (X ) ✓ (Y )8X 2 P(E ), ( (X )) = (X )8X 2 P(E ), (X ) ✓ X

Propriété

est une fermeture si et seulement ? est une ouverture



Exemple 1

Propriété

L’opérateur ec d’enveloppe convexe sur R2 est une fermeture

L’opérateur ec? est donc une ouverture

Exercice.Pouvez cette propriété en démontrant les trois relations suivantes

8X ,Y 2 P(R2), X ✓ Y =) ec(X ) ✓ ec(Y ) (croissance de ec)8X 2 P(R2), ec(X ) = ec(ec(X )) (idempotence de ec)8X 2 P(R2), X ✓ ec(X ) (extensivité de ec)



Exemple 1

Propriété

L’opérateur ec d’enveloppe convexe sur R2 est une fermetureL’opérateur ec? est donc une ouverture

Exercice.Pouvez cette propriété en démontrant les trois relations suivantes

8X ,Y 2 P(R2), X ✓ Y =) ec(X ) ✓ ec(Y ) (croissance de ec)8X 2 P(R2), ec(X ) = ec(ec(X )) (idempotence de ec)8X 2 P(R2), X ✓ ec(X ) (extensivité de ec)


Ouvertures et fermetures par adjonction

Problématique de l’adjonction

La notion d’adjonction est centrale en morphologie

Elle permet de bâtir une ouverture et une fermeture à partir de

toute dilatation (i.e., un opérateur qui commute avec l’union)

Question

Existe-t-il un opérateur inverse �0 pour toute dilatation � ?En d’autres termes, peut-on trouver �0 tel que

8X 2 P(E ), �0(�(X )) = X ?



Ensemble �-inférieur

Définition

Soient � une dilatation et X ,X 0 2 P(E )

X 0 est �-inférieur à X si�(X 0) ✓ X

Propriété

Soient � une dilatation et X 2 P(E )

Parmi les ensembles �-inférieurs à X , il existe un plus grandélément X

X = [{X 0 2 P(E ) | X 0 est �-inférieur à X}



Preuve

Par définition de l’union, X est le plus petit ensemble qui contient tous

les �-inférieurs à X . Pour compléter la démonstration, il suffit donc de

prouver que X est aussi �-inférieur à X , c’est-à-dire que �(X ) ✓ X .

D’après la définition d’un ensemble �-inférieur, on peut

écrire X = [{X 0 2 P(E ) | �(X 0) ✓ X}.Donc, �(X ) = �([{X 0 2 P(E ) | �(X 0) ✓ X}). Comme l’opérateur de

dilatation commute avec l’union, on peut également

écrire �(X ) = [{�(X 0) | X 0 2 P(E ), �(X 0) ✓ X}. Ainsi, par définition

de l’union, on obtient la relation �(X ) ✓ X , ce qui complète la preuve

de la propriété.

Exercice. Montrer qu’en général il n’existe pas de plus petit élément

parmi les ensembles �-supérieurs à X .



Erosion adjointe

Définition

Soit � une dilatationL’érosion adjointe de � est l’opérateur � qui à tout X 2 P(E )associe le plus grand ensemble qui est �-inférieur à X :

�(X ) = [{X 0 2 P(E ) | �(X 0) ✓ X}

Théorème

Si � est une dilatation, alors � est une érosion (i.e., � commuteavec l’intersection)



Preuve du théorème

Preuve. Soient A,B 2 P(E ).�(A \ B) = [{X 0 2 P(E ) | �(X 0) ✓ [A \ B]}= [{X 0 2 P(E ) | �(X 0) ✓ A et �(X 0) ✓ B}= [[{X 0 2 P(E ) | �(X 0) ✓ A}] \ [[{X 0 2 P(E ) | �(X 0) ✓ B}]= �(A) \ �(B)



Dilatation adjointe

On peut faire le même raisonnement en partant de l’opérateur

d’érosion au lieu de celui de dilatation

On inverse alors la relation ✓ et on intervertit [ et \Si ✏ est une érosion, sa dilatation adjointe ✏ est définie par :

8X 2 P(E ), ✏(X ) = \{X 0 | X ✓ ✏(X 0)}La relation d’adjonction est une bijection entre dilatations et

érosions

✏ = � , � = ✏

� � � = Id , � = � = Id



Dilatation adjointe



On inverse alors la relation ✓ et on intervertit [ et \

Si ✏ est une érosion, sa dilatation adjointe ✏ est définie par :


érosions

✏ = � , � = ✏

� � � = Id , � = � = Id



Dilatation adjointe




8X 2 P(E ), ✏(X ) = \{X 0 | X ✓ ✏(X 0)}

La relation d’adjonction est une bijection entre dilatations et

érosions

✏ = � , � = ✏

� � � = Id , � = � = Id



Dilatation adjointe





érosions

✏ = � , � = ✏

� � � = Id , � = � = Id



Adjonction par élément structurant

Propriété

Soit � un élément structurant�� = �?��1

Notation importante

Soit � un élément structurant

On désigne par ✏� l’érosion adjointe de ��✏� = �� = �?��1



Fermeture et ouverture par adjonction

Théorème

Soit � une dilatation et ✏ = � l’érosion adjointe de �Soient � = ✏ � � et � = � � ✏

� est une fermeture� est une ouverture



Fermeture et ouverture par adjonction

Théorème

Soit � une dilatation et ✏ = � l’érosion adjointe de �Soient � = ✏ � � et � = � � ✏� est une fermeture� est une ouverture



Ouverture et fermeture par un élément structurant

Définition

Soit � un élément structurantLa fermeture par � est l’opérateur �� tel que

�� = �?��1 � ��L’ouverture par � est l’opérateur �� tel que

�� = �� ?��1



Exercice 1

Soit l’objet noir X ✓ Z2 et l’élément structurant � ci-dessousReprésenter l’ensemble ��(X )

� :

x



Exercice 2

Choisissez et appliquer un opérateur qui “rebouche” les trous del’objet X en noir ci-dessous



Caractérisation d’ouverture/fermeture par élément

structurant

Propriété

Soit � un élément structurant8X 2 P(E ), ��(X ) = [{�(x) | x 2 E , �(x) ✓ X}

�� = �?��1



Caractérisation d’ouverture/fermeture par élément

structurant

Propriété

Soit � un élément structurant8X 2 P(E ), ��(X ) = [{�(x) | x 2 E , �(x) ✓ X}�� = �?��1



Interprétation topographique

On dit que X 2 P(E ) est plus mince que l’élément structurant �si ��(X )? = ;

L’ouverture de l’ensemble X par � a pour effet de supprimer les

parties de X qui sont plus minces que �, c’est-à-dire

des îles (parties isolées)des caps (convexités minces)des isthmes (jonctions entre parties non minces)

La fermeture supprime les parties non-minces de X , c’est-à-dire

des lacs (trous)des golfes (concavités minces)des détroits (jonctions entre parties non minces de X )




On dit que X 2 P(E ) est plus mince que l’élément structurant �si ��(X )? = ;L’ouverture de l’ensemble X par � a pour effet de supprimer les

parties de X qui sont plus minces que �, c’est-à-dire

des îles (parties isolées)des caps (convexités minces)des isthmes (jonctions entre parties non minces)

La fermeture supprime les parties non-minces de X , c’est-à-dire

des lacs (trous)des golfes (concavités minces)des détroits (jonctions entre parties non minces de X )


Plan de la séance

1 Image en niveau de gris

2 Opérateur sur des images en niveaux de gris


Image en niveau de gris

Image

Définition

Soit V un ensemble de valeursUne image (sur E à valeurs dans V) est une application I de Edans VI (x) est la valeur du point (pixel) x pour I

Exemple

Image à valeurs dans R+: carte de distance DX à un ensemble

X 2 P(E )

Image à valeurs dans Z+: carte de distance DX pour une

distance géodésique dans un réseau à longueurs uniformes



Images en niveaux de gris

On désigne par I l’ensemble des images à valeurs entières sur E

Une image dans I est aussi appelée une image en niveau (outeinte, ou échelle) de gris

On désigne par I une image quelconque dans I

La valeur I (x) d’un point x 2 E est aussi appelée niveau (de gris)de x , teinte (de gris) de x , luminosité de x



Images en niveaux de gris

On désigne par I l’ensemble des images à valeurs entières sur E

Une image dans I est aussi appelée une image en niveau (outeinte, ou échelle) de grisOn désigne par I une image quelconque dans I

La valeur I (x) d’un point x 2 E est aussi appelée niveau (de gris)de x , teinte (de gris) de x , luminosité de x




Une image I peut être vue comme un relief topographique

I (x) est appelée l’altitude de x

Régions claires : montagne, crêtes, colinesRégions sombres : bassins, vallées




Une image I peut être vue comme un relief topographique

I (x) est appelée l’altitude de xRégions claires : montagne, crêtes, colinesRégions sombres : bassins, vallées



Ensemble de niveaux

Définition

Soit k 2 ZL’ensemble de niveau k de I , désigné par Ik , est le sous-ensemblede E défini par

Ik = {x 2 E | I (x) � k}

I I80 I150 I220



Reconstruction

Propriété

8k , k 0 2 Z, k 0 > k =) Ik 0 ✓ Ik

I (x) = max{k 2 Z | x 2 Ik}


Opérateur sur des images en niveaux de gris

Opérateur à niveaux de gris

Un opérateur (sur I) est une application de I dans I

Définition (opérateur plan)

Soit un opérateur croissant sur EL’extension de à I est l’opérateur sur I, également désignépar , qui est défini par

8I 2 I, 8k 2 Z, [ (I )]k = (Ik)

Exercice. Montrer que l’on ne peut pas utiliser la même construction

pour étendre un opérateur non croissant



Caractérisation des opérateurs à niveau de gris

Propriété

Soit un opérateur croissant sur E[ (I )](x) = max{k 2 Z | x 2 (Ik)}

Remarque. Tous les opérateurs vus jusque là dans le cours IN3M22 sont

croissants



Illustration : dilatation sur I par �

I I80 I150 I220

��(I ) ��(I )80 ��(I )150 ��(I )220



Illustration : erosion sur I par �

I I80 I150 I220

"�(I ) "�(I )80 "�(I )150 "�(I )220



Illustration : ouverture sur I par �

I I80 I150 I220

��(I ) ��(I )80 ��(I )150 ��(I )220



Illustration : fermeture sur I par �

I I80 I150 I220

'�(I ) '�(I )80 '�(I )150 '�(I )220



Dilatation/Erosion par élément strcuurant : caractérisation

Propriété (dualité)

Soit � un élément structurant"�(I ) = ��1(�I )

Propriété

Soit � un élément structurant[��(I )](x) = max{I (y) | y 2 ��1(x)}["�(I )](x) = min{I (y) | y 2 �(x)}



Exercice

Ecrire un algorithme dont l’entré est un graphe (E , �) et image Isur E et dont le résultat est l’image I 0 = ��(I 0)


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