C. R. Acad. Sci. Paris, t. 332, Série I, p. 239–244, 2001Géométrie algébrique/Algebraic Geometry

Morphismes log étales et descentepar homéomorphismes universelsIsabelle VIDAL

Mathématiques, UMR 8628, Université de Paris-Sud, bâtiment425, 91405 Orsay, FranceCourriel : isabelle.vidal@math.u-psud.fr

(Reçu le 26 juin 2000, accepté après révision le 16 octobre 2000)

Résumé. Si f : (X,M) → (Y,N) est un morphisme de log-schémas fs de Kummer, dont le mor-phisme de schémas sous-jacent est un homéomorphisme universel pour les changements debase fs, alors les foncteurs image inversef−1 : Yét →Xét et f−1 : YKét →XK ét sont deséquivalences de catégories, oùXét (resp.Yét) désigne le site log étale deX (resp.Y ), etXK ét (resp.YKét) le site Kummer étale. 2001 Académie des sciences/Éditions scienti-fiques et médicales Elsevier SAS

Log étale morphisms and descent by universal homeomorphisms

Abstract. We prove that iff : (X,M) → (Y,N) is a morphism of fs log-schemes which is Kummer,and such that the underlying map of spaces is a homeomorphism and remains so after anyfs base change, then the inverse image functorsf−1 : Yét →Xét and f−1 : YK ét →XK ét

are equivalences, whereXét (resp.Yét) denotes the log étale site ofX (resp.Y ), andXK ét

(resp.YK ét) the Kummer étale site. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques etmédicales Elsevier SAS

Abridged English version

Let f : (X,M) → (Y,N) be a morphism of fs log-schemes. We first show 2.4 thatf satisfies thehypotheses stated in the abstract if and only if the underlying map of schemes is a universal homeomorphismand for each geometric pointx of X with imagey, the morphismMy →Mx is p-inseparable. We deducethe full faithfulness of the functorf−1 by a classical argument using graphs of morphisms. In the Kummerétale case, we prove the essential surjectivity first forX andY strictly local using suitable charts, and thenin the general case by standard limit and descent arguments. We proceed similarly in the log étale case,using the equivalence already established for the Kummer étale one.

Introduction. – Dans cette Note, nous étendons aux log-schémas fins et saturés le théorème d’invariancedu topos étale par homéomorphismes universels ([1], VIII.1.1). Pour cela, nous introduisons la notion

Note présentée par Michel RAYNAUD .

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d’homéomorphisme universel fs de Kummer, qui coïncide en caractéristiquep > 0 avec celle d’homéo-morphisme universel purement inséparable ([4], 4.9). Nous prouvons le résultat suivant :

THÉORÈME 0.1. – Soitf : (X,M) → (Y,N) un morphisme de schémas avec log-structures fs, qui estun homéomorphisme universel fs de Kummer. NotonsXét (resp.Yét) le site log étale deX (resp.Y ), etXK ét

(resp.YK ét) le site Kummer étale([5], 2.2). Le foncteur changement de base fs parf induit des équivalencesde catégories:

f−1 : Yét≈−→Xét, f−1 : YK ét

≈−→XK ét.

Notations. –Nous utilisons le langage des log-schémas au sens de Fontaine–Illusie, développé par

Kato (cf. [4] et [5]). Les log-structures envisagées sont prises au sens de la topologie étale. On note◦X

(resp.◦f ) le schéma (resp. le morphisme) sous-jacent à un log-schémaX (resp. à un log-morphismef ).

Les monoïdes considérés sont commutatifs et unitaires, et tous les morphismes préservent les unités. Pourtout monoïdeM , on désigne parM∗ l’ensemble de ses éléments inversibles, parMgp le groupe engendréparM , et on pose :M =M/M∗. On écrit fs pour « fin et saturé ».

1. Morphismes log étales et Kummer étales

On renvoie à ([4], 3.3) (resp. [5], 2.1.2) pour la définition d’un morphisme log étale (resp. Kummer étale),ainsi que pour les propriétés fondamentales de ces morphismes.

PROPOSITION 1.1. – Soitf : (X,M)→ (Y,N) un morphisme de log-schémas fs admettant une sections : (Y,N)→ (X,M). Sif est log étale,s est une immersion ouverte stricte.

LEMME 1.2. – Soit f : X → Y un morphisme fs, log étale. Pour tout point géométriquex de X ,d’image y = f(x), le conoyau def

gp: M

gp

y → Mgp

x est annulé par un entiern ∈ O∗x. En outre,

rg(Mgp

y ) � rg(Mgp

x ), avec égalité sif est de Kummer.

Le morphisme naturelk(x)⊗ ω1X/Y,x → k(x)⊗Z (M

gp

x /Mgp

y ) est surjectif ([4], 3.13) et, puisquef estlog étale, le premier terme est nul ([4], 3.12), d’où l’assertion.

Prouvons la proposition 1.1. La propriété caractéristique de relèvement entraîne ques est log étale. Pourmontrer ques est strict, on considère un point géométriquey deY , d’imagex pars. Comme le composé

Nyf−→ Mx

s−→ Ny est l’identité,f est injectif ets est surjectif. D’après le lemme 1.2, on a l’égalitérg(N

gp

y ) = rg(Mgp

x ), doncs est un isomorphisme. Par suite,s et f|U (U = s(Y ) ⊂X) sont strict étales.On conclut alors par ([2], 17.9.3).

COROLLAIRE 1.3. – Soientf :X → Y , g : Y → S deux morphismes de log-schémas fs, eth= gf . Sigeth sont log étales(resp. Kummer étales), alorsf l’est également.

2. Homéomorphismes universels fs de Kummer

DÉFINITION 2.1. – 1 Soit f : X → Y un morphisme de log-schémas fs. On dit quef est unhoméomorphisme universel fs de Kummer si et seulement si : (a)f est de Kummer ; (b) le morphismed’espaces topologiques sous-jacent àf est un homéomorphisme et le reste après tout changement de basefs.

Remarques2.2. – (1) Un homéomorphisme universel classique etstrict est un homéomorphismeuniverselfs de Kummer.

(2) En effectuant des changements de base stricts, on vérifie que sif est un homéomorphisme

universel fs,◦f est un homéomorphisme universel classique.

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Morphismes log étales et descente par homéomorphismes universels

(3) Les homéomorphismes universels fs de Kummer sont stables par changement de base fs et parcomposition.

La caractérisation 2.4 ci-dessous relie les homéomorphismes universels fs de Kummer et les morphismespurement inséparables ([4], 4.9).

DÉFINITION 2.3. – Soitp un nombre premier eth :Q→ P un morphisme de monoïdes. On dit quehestp-inséparable si : (i) pour touta ∈ P , il existe un entiern� 0 et un élémentq ∈Q vérifiantpna= h(q) ;(ii) pour touta, b ∈Q tels queh(a) = h(b), il existe un entiern� 0 tel quepna= pnb.

THÉORÈME 2.4. – Un morphisme de log-schémas fsf : X → Y est un homéomorphisme universel fs

de Kummer si et seulement s’il satisfait aux conditions suivantes: (i)◦f est un homéomorphisme universel

classique, i.e. est entier, surjectif et radiciel([2]. 18.12.11) ; (ii)pour tout point géométriquex de X ,d’imagey = f(x), le morphismeMy →Mx estp-inséparable,p désignant l’exposant caractéristique ducorps résiduel dex.

Montrons qu’un homéomorphisme universel fs de Kummer satisfait à (i) et (ii) du théorème 2.4. D’aprèsla remarque 2.2–(2), il suffit de prouver (ii). On peut supposer que le point géométrique choisi estalgébriquement clos. La fibre géométriquefy :Xy → y est un homéomorphisme universel fs de Kummer,donc par compositionf red

y aussi. Vu quef est de Kummer, l’assertion découle alors du lemme 2.5.

LEMME 2.5. – Soit f : X → Y un homéomorphisme universel fs de Kummer, où◦Y= Speck est le

spectre d’un corps algébriquement clos de caractéristiquep, et◦X= Speck′ est réduit. Le conoyau de

hgp :MYgp →MX

gpest annulé par une puissance dep.

D’après la remarque 2.2-(2) et ([2], 18.12.11), on a nécessairementk = k′. Par la définition 2.1 (b),le morphisme de schémas sous-jacent à(X ×Y X)fs → X est un homéomorphisme. PosonsQ = MY ,P = MX . D’après ([5], 2.2.3), on a(X ×Y X)fs = Speck ⊗Z[P⊕QP ] Z[(P ⊕Q P )fs] (l’applicationZ[P ⊕QP ]→ k envoyante(a,b) sur0 si (a, b) = 0). Or puisqueh est de Kummer, on a(P ⊕QP )fs ∼= P ⊕G,oùG = P gp/Qgp est somme directe d’unp-groupeGp et d’un groupeGn d’ordren premier àp. On endéduit quek⊗Z[P⊕QP ] Z[(P ⊕QP )fs] = k[G]∼=

∏|Gn| k[Gp] n’est connexe que siG est unp-groupe, d’où

le lemme.Montrons qu’un morphismef : X → Y vérifiant les conditions (i) et (ii) du théorème 2.4 est un

homéomorphisme universel fs de Kummer. CommeMYgp

est sans torsion, (ii) du théorème 2.4 assurequef est de Kummer. Il reste à prouver que pour tout morphisme fsg : Y ′→ Y , l’applicationf ′ : (X ×Y

Y ′)fs → Y ′ déduite def par changement de base fs est un homéomorphisme d’espaces topologiques.

Puisquef se factorise enX → (X,f∗MY ) → Y , d’après la remarque 2.2 on peut supposer que◦f= Id.

L’applicationf ′ se décompose en(X ×Y Y ′)fsf2−→ (X ×Y Y ′)int f1−→ (X ×Y Y ′)log

f0−→ Y ′.

Par hypothèse, nous avons◦f0= Id ; il s’agit de montrer que

◦f2 et

◦f1 sont des homéomorphismes. Par

localisation étale, on se ramène au cas oùf admet une cartep-inséparable2 Q→ P etg une carteQ→ P ′

(vu que◦f= Id, l’existence de ces cartes découle de [4], 4.10 et 2.10). Les morphismes

◦f2 et

◦f1 sont alors

déduits par changement de base usuel des applicationsSpecZ[(P ⊕Q P ′)sat] → SpecZ[(P ⊕Q P ′)int]et SpecZ[(P ⊕Q P ′)int] → SpecZ[P ⊕Q P ′] ; en particulier, ils sont finis. Pour conclure, il suffit alors

de montrer que les restrictions des◦f i à l’ouvert d’inversibilité dep et au fermé complémentaire sont des

bijections (cf. [2], 18.12.11). Orf est strict sur l’ouvert d’inversibilité dep, donc(◦f2) ⊗ Z

[1p

]= (◦f1)

⊗Z[

1p

]= Id. L’assertion concernant(

◦f2)Fp et (

◦f1)Fp découle du calcul simple suivant :

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LEMME 2.6. – 1)Soit f : Q→ P un morphismep-inséparable de monoïdes fins, etg : Q → P ′ unmorphisme de monoïdes intègres. Le morphisme de monoïdesh1 : P ⊕Q P ′→ (P ⊕Q P ′)int est surjectifetp-inséparable.

2) Supposons en outre les monoïdes fs. Alors: (i) si un élémentb ∈ P ′gp est tel que(0, b) ∈ (P ⊕QP′)sat,

alors b ∈ P ′ ; (ii) le morphisme naturelh2 : (P ⊕Q P ′)int → (P ⊕Q P ′)sat estp-inséparable.

COROLLAIRE 2.7. – 1)SoitXf−→ Y

g−→Z un diagramme de log-schémas fs. Si deux des morphismesf, g, h= g ◦ f sont des homéomorphismes universels fs de Kummer, le troisième l’est aussi.

2) Un morphisme log étale qui est un homéomorphisme universel fs de Kummer est un isomorphisme.

3. Démonstration de la pleine fidélité

On prouve en fait le résultat un peu plus général suivant :

PROPOSITION 3.1. – Soitf :X → Y un homéomorphisme universel fs de Kummer. SoientY1 etY2 deuxlog-schémas fs au dessus deY . On suppose que le morphismeY2 → Y est log étale. PosonsXi = f−1Yi(i= 1,2). Le changement de base parf définit une bijectionφ : HomY (Y1, Y2)

∼−→HomX(X1,X2).

La démonstration est analogue à celle de ([3], 1.7). Grâce à la proposition 1.1, l’application qui à unY -morphisme deY1 dansY2 associe son graphe définit une bijection entreHomY (Y1, Y2) et l’ensembleEY des ouvertsΓ ⊂ (Y1 ×Y Y2)

fstels quepr1 : Γ → Y1 soit un isomorphisme, et l’on a une descriptionanalogue deHomX(X1,X2). La conclusion en découle grâce au corollaire 2.7.

4. Démonstration de l’essentielle surjectivité

On commence par prouver l’équivalencelocaledes sites Kummer étales (proposition 4.1). Le théorèmede descente globale des morphismes Kummer étales s’obtient par passage à la limite et descente stricte étale.Une fois ce résultat établi, on peut démontrer l’équivalence locale des sites log étales (proposition 4.2). Onen déduit le théorème de descente globale des morphismes log étales.

PROPOSITION 4.1. – SoientX etY deux log schémas fs noethériens strictement locaux de points fermésrespectifsx ety, g :X ′→X un morphisme Kummer étale, etf :X → Y un homéomorphisme universel fsde Kummer fini. Il existe alors un log-schémaY ′ ∈ YK ét tel queY ′ ×Y X ∼=X ′.

Il suffit de montrer que pour tout point géométriquex′ deX ′ au-dessus dex, il existe un voisinage ouvertde ZariskiV (x′) ⊂X ′ et un log-schéma fsZ ∈ YK ét tels queZ×Y X ∼= V (x′). On peut supposerX ′ affine.Soitp l’exposant caractéristique dex ety. On peut supposer quef admet une carte(a,h, b) modelée sur le

morphismep-inséparableN =Myh−→ P = Mx (il suffit de factoriserf enX → (X,f∗MY ) → Y ). Par

hypothèse,u : P →Q=Mx′ est de Kummer, etCokerugp est annulé par un entiern� 1 premier àp ; ilest donc facile de construire un morphisme de monoïdes fs" :N →M de Kummer, tel queCoker"gp soitannulé parn et tel queQ ∼= (P ⊕N M)fs. PosantYM = Y ×SpecZ[N ] SpecZ[M ], on af−1YM = X ×Y

Y ×SpecZ[N ]SpecZ[M ] =X×SpecZ[P ]SpecZ[P ]×SpecZ[N ]SpecZ[M ] =X×SpecZ[P ]SpecZ[Q] =XQ.SoitW =XQ ×X X ′ muni des projectionsw :W →X ′ et v :W →XQ. D’après ([5], 2.2.5) il existe unpoint z ∈ W d’imagesw(z) = x′ et v(z) = xQ (le point fermé deXQ). Par construction,v est strictétale enz ([5], 2.1.1), donc admet une sections : XQ → W telle ques(xQ) = z. Le morphisme fini

XQ → X se factorise alors enXQws−→ X ′

g−→ X . Commews est strict étale fini, et commeXQ estconnexe,V =ws(XQ) est une composante connexe (affine) deX ′. CommeO(V ) s’injecte dansO(XQ),V est fini surX , donc strictement local et isomorphe àXQ (= f−1YM ) parws.

PROPOSITION 4.2. – SoientX etY deux log schémas fs noethériens strictement locaux de points fermésrespectifsx et y, g :X ′→X un morphisme log étale, etf :X → Y un homéomorphisme universel fs de

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Morphismes log étales et descente par homéomorphismes universels

Kummer fini. On suppose établi le théorème0.1pour les sites Kummer étales. Il existe alors un log-schémaY ′ ∈ Yét tel queY ′ ×Y X ∼=X ′.

Soitp l’exposant caractéristique dex ety. Procédant comme dans la preuve de la proposition 4.1, on peut

supposer quef admet une carte(a,h, b) modelée sur le morphismep-inséparableN =Myh−→ P =Mx.

D’après ([4], 3.5),g admet alors une carte locale(b, u : P →Q,XQv↔W

w−→X ′), oùv etw sont strictsétales,x′ ∈w(W ), u est injectif, etCokerugp est d’ordren premier àp. PosonsQ1 =Q∩P gp ; Q1 est unmonoïde fs, etu se factorise enP

u1−→Q1u2−→Q, oùugp

1 est un isomorphisme etu2 est de Kummer.Soit U = w(W ) ⊂ X ′ ; le morphismeQ1 → Γ(W,M) défini paru2v se factorise à traversΓ(U,M),

définissant ainsi un morphisme fsφ :U →XQ1 tel queg = u1φ etφw = u2v.

X ′

g

U

φ

Ww

v

X XQ1

u1 XQu2

En effet, posantW ′ =W ×U W , on aM(U) = Ker((p1, p2) :M(W ) ⇒M(W ′)

), et il suffit de montrer

quep1|Q1= p2|Q1

. Or cela résulte de l’égalitép1|P = p2|P (le morphismeP →M(W ) se factorise à traversM(U)), de l’isomorphismeP gp ∼= Qgp

1 et de l’intégrité du monoïdeM(W ′). Notons queφ est Kummerétale caru2v l’est. Soit" :N →M1 un morphisme de monoïdes fs tel que"gp soit un isomorphisme et telqueQ1

∼= (M1 ⊕N P )fs (la construction est facile) ; on a alorsXQ1∼= f−1YM1 et on conclut en appliquant

le théorème 0.1 au diagrammeUφ−→XQ1

f1−→ YM1 .

Passages à la limite dans la catégorie des log-schémas fs. –Soit◦f :◦X→

◦Y un morphisme de schémas.

On désigne parC(◦f) la catégorie des morphismes fsf :X → Y au-dessus de

◦f (i.e. de morphisme sous-

jacent◦f ), avec flèches naturelles.

PROPOSITION 4.3. – (1)Soit (◦Y α, µαβ) un système projectif filtrant de schémas affines de limite

◦Y .

Soit◦f0:

◦X0→

◦Y 0 un morphisme affine,(

◦fα:

◦Xα→

◦Y α) le système projectif défini par changement de base,

de limite◦f :◦X→

◦Y . (i) Le foncteur naturellim

−→C(◦fα) → C(

◦f) est une équivalence de catégories.(ii) Si

◦f0

est de présentation finie, et sif = lim←−

fα ∈ C(◦f) est log étale(resp. Kummer étale, un homéomorphisme

universel fs de Kummer), il en est de même defα pourα assez grand.

(2) Soit◦Y un schéma affine,(

◦Xα, µαβ) un système projectif filtrant de

◦Y -schémas affines, de limite

◦X .

On note◦fα:

◦Xα→

◦Y (resp.

◦f :◦X→

◦Y ) les morphismes correspondants.(i) Le foncteur naturellim

−→C(◦fα)→

C(◦f) est une équivalence de catégories.(ii) Si f = lim

←−fα ∈ C(

◦f) est un homéomorphisme universel fs de

Kummer, il en est de même defα pourα assez grand dans les deux cas suivants: (a) (O(Xα)) parcourt les

sous-algèbres deO(X) de type fini surO(Y ) ; (b)◦X est un sous-schéma fermé d’un schéma

◦Z de type fini

sur◦Y , et

◦Xα parcourt les sous-schémas fermés de

◦Z contenant

◦X qui sont de présentation finie sur

◦Y .

Lorsqu’on introduit des cartes fs, les assertions (1)-(i) et (2)-(i) découlent facilement des résultatsgénéraux de ([2], 8.8.2) (la localisation étale est possible grâce à ([2], 17.7.8). Prouvons (1)-(ii). Sif est logétale (resp. Kummer étale), on choisit une carte localeh :Q→ P injective (resp. de Kummer), de conoyau

annulé par un entier inversible sur◦X , et telle que le morphisme strictg :X → Y ×SpecZ[Q] SpecZ[P ] soit

étale ([4], 3.5). D’après ([2], 8.8.2),g provient d’un morphisme strictgα :Xα → Yα ×SpecZ[Q] SpecZ[P ]

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qui factorisefα, et qu’on peut supposer étale ([2], 17.7.8). Sous la seconde hypothèse, ([2], 8.10.5) assure

que les morphismes de schémas sous-jacents auxfα satisfont à (i) du théorème 2.4. Comme◦X et

◦Y sont

quasi compacts, on peut supposer (au voisinage d’un point de caractéristique résiduellep) quef admetune cartep-inséparable provenant d’une carte defα. Dès lors,fα vérifie (ii) du théorème 2.4 sur le fermé(Xα)Fp . Sur l’ouvert complémentairef est strict, doncfα aussi pourα grand (proposition 4.3 (1)–(i)).L’assertion (2)–(ii) découle de la note de bas de page de ([1], VIII.1.1) et de la caractérisation 2.4.

Descente stricte étale des log-schémas fs affines

PROPOSITION 4.4. – SoitX un log-schéma fs,f : X ′→ X un morphisme strict étale et surjectif. Lefoncteur image inverse parf induit une équivalence entre la catégorie(Afs/X) des log-schémas fs affinessur X et la catégorie(Afs/X ′)desc des log-schémas fs affines surX ′ munis d’une donnée de descenterelative àf .

Cela résulte trivialement de ([3], VIII 2.1).

Fin de la démonstration du théorème0.1. – On établit d’abord l’essentielle surjectivité dans le casKummer étale. Soitg :X ′→X un morphisme Kummer étale. La réduction à la proposition 4.1 est standard(cf. [1], VIII.1.1) : (a) par descente zariskienne, on peut supposer les log-schémas affines. Le morphismegest alors de présentation finie ; (b) à l’aide de la proposition 4.3 (2)–(ii)–(a) et (1)–(ii),on se ramène au casoùf est de type fini ; (c) à l’aide de la proposition 4.3 (2)-(ii)-(b) et (1)–(ii), on se ramène au cas oùf est deprésentation finie, donc fini ; (d) écrivantO(Y ) comme limite inductive filtrante de ses sous-Z-algèbres detype fini, on utilise la proposition 4.3 (1)-(ii) de façon à pouvoir également supposerY noethérien ; (e) parpassage à la limite et descente étale (la proposition 4.4), on se ramène enfin au cas oùY est strictementlocal ; la proposition 4.1 permet alors de conclure.

L’équivalence des sites log étales se réduit de même à la proposition 4.2.

1 Cette définition m’a été suggérée par C. Nakayama.2 au voisinage d’ un point de caractéristique résiduellep.

Références bibliographiques

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