MODULE - METHODES POTENTIELLES - 2014 Contenu du cours (par M. Munschy, S. Fleury & P. Sailhac) : I....
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MODULE - METHODES POTENTIELLES - 2014
Contenu du cours (par M. Munschy, S. Fleury & P. Sailhac) : I. M. Munschy Notions de Bases des méthodes potentielles (gravimétrique et magnétique) I.a Propriétés physiques des roches : densités, aimantations induites et aimantations
rémanentes. I.b. Champs de potentiel (gravimétrique, magnétique, …) I.c. Etablissement de profils et cartes d'anomalies gravimétriques et magnétiques : les
mesures, les corrections des données, ... I.d. Calculs de l’effet de structures simples : sphère, cylindre, filon, faille et prisme
quelconque à deux dimensions. II. P. Sailhac Quelques méthodes d'interprétation et de transformations rapides des anomalies
qui permettent d'affiner la localisation des structures et d'en délimiter les contours. II.a Prolongement et dérivations II.b Spectre de Fourier II.c Réduction au pôle et signaux analytiques II.d Couche équivalente
Profil aéromagnetique de l’anomalie du champ total
Signature de Filons
~2km500m ~40°
Signature d’une faille
Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel : Exemple en Aéromagnétisme
Profil de l’anomalieAéromagnetique (Données)
Structures en Profondeur (Objectif)
Gradient Horizontal
Anomalie du Champ Total
Géologie en Surface
Profil aéromagnetique de l’anomalie du champ total
Signature de Filons
~2km500m ~40°
Signature d’une faille
Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel : Exemple en Aéromagnétisme
Profil de l’anomalieAéromagnetique (Données)
Structures en Profondeur (Objectif)
Model 2D
Model 3D
&
Potentiel gravimétrique (Newtonien) produit par densité massique r :
Anomalie ponctuelle en 1/r
Principe de base : définition des champs de potentiel
Champ de Potentiel = solution de l’équation de Poisson :
2
GV 42
espace
rdGVr'r
r'r
)(')( 3
Anomalie gravimétrique : dérivée verticale du potentiel Newtonien
Vg zz
espace
z
zzrdGg 3
3 )()'(')(
r'r
r'r
Anomalie ponctuelle en 1/r3 (à l’horizontale) ou 1/r2 (verticale)
Autres champ de potentiel en exploration géophysique :• Magnétique (relié au potentiel gravi par dérivation car les sources sont dipolaires)• VLF (utilisant le champ magnétique secondaire)• SP (dans le cas de l’approximation dans un milieu de conductivité constante)
En Gravimétrie :
Champ Gravimétrique à 2D :
Masse locale en z=z0 Prolongement vers le haut
hzz PGG *02
0zG
z2=z0+h
z0
Principe de base : le prolongement, comme propriété essentielle des champs de potentiel
Ref.: Paul et al. 1966, Geophysics 31, 940
Une ligne d’iso-potentiel est droite
Partie inférieure des iso-potentiel est droite
Intersection = point singulier des sources (coin, et segment supérieur d’un bord)
Source = Marche inclinée
Exemple d’utilité du prolongement vertical :Application à la caractérisation d’une marche et d’un pendage
(ref. Thomas Ridsdill-Smith - PhD)
Combinaison de levés àdes altitudes différentes(par prolongement vertical)
Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel
Equation de Poisson :
2
hh GP
0zG
Masses en z=z0
Prolongement vers le haut
hzz PGG *02
0zG
z2=z0+h
z0
Fonction de Green en gravi définit l’opérateur de prolongement vers le haut :
0
2zG
2121 zzzz PPP Définition Propriété
Solution où :
Objectifs Principaux = Corriger les artéfacts liés à des altitudes irrégulières, à la topographie et au bruit des données
Moyen = Utilisation d’un filtre passe-bas transformant les donnée d’une altitude vers une altitude plus élevée
Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel
Relation entre les anomalies gravimétriques et magnétiques : Dérivation oblique
Relation entre une anomalies magnétique quelconque et celle qu’on aurait mesurée au pôle pour une même source : Intégration oblique puis dérivation verticale
Masses à z=z0
Dérivation
2zG
0zG
z2=z0+h
z0
Dipôles à z=z0
Objectifs Principaux = Mettre en évidence le bord des anomalies, et placer le maximum des anomalies à l’aplomb des sources
Moyen = Utilisation de combinaison de filtres de dérivation
• La réduction au pôle ramène le sommet de l’anomalie au-dessus du centre de la structure.• Le signal analytique aussi (à 2D), et permet en plus de localiser les sommets de la
structure par dérivation (pour des sources de grande largeur devant leur profondeur).
Problématique comparable à la réduction au pôle, par transformation en signal analytique des anomalies magnétiques du champ total
Anomalies magnétiques de structures 2D en fonctions de l’inclinaison apparente I’
Prolongement dans le domaine de Fourier à 1 et 2 variables
Exercice permettant de déterminer l’opérateur de prolongement vers le haut
On considère la fonction homogène f(x,y,z) dans le demi-plan supérieur ne contenant aucune source (z croissant vers le bas). Cette fonction f est soit l’anomamie magnétique du champ total T soit l’anomalie gravimétrique g. Ainsi l’anomalie vérifie l’équation de Laplace :
(1)
1/ Définir la transformée de Fourier 2D F(u,v,z) de f(x,y,z) suivant les variables x et y.2/ Montrer que l’équation (1) dans le domaine de Fourier 2D s’écrit :
(2)
3/ Pour résoudre l’équation différentielle (1 ou 2), on a besoin de fixer les conditions aux limites. Une première condition est fournie par l’argument physique : l’anomalie est nulle très loin des sources, i.e. f(x,y,z)→0 pour z→-. La deuxième condition est fournie par des données sur le plan z=0 : f0(x,y)=f(x,y,z=0). En notant F0(u,v)=F(u,v,z=0), déterminer les solutions F de l’équation (2) en fonction de F0, puis les solutions f de l’équation (1) en fonction de f0.
4/ Déduire de la question 3/ l’expression de l’opérateur de prolongement vers le haut depuis un plan horizontal.
02
2
2
2
2
2
z
f
y
f
x
ff
4 2 (u 2 v 2 )F(u, v, z) 2 F(u, v, z)
z 2 0
• on obtient les expressions suivantes dans le domaine de Fourier (z positif vers le
bas) :
– prolongement :
– dérivations :
– opérateur de prolongement :
– opérateur de dérivation :
212220 )vu( avec e),v,u(F)z,v,u(F z
),,(2),,( zvuiuFzvuFx
21222 )vu( avec )z,v,u(F)z,v,u(Fz
),,(2),,( zvuivFzvuFy
21222 )vu( avec e)v,u(P z
z
2122 )( )(2),( vuaveciviuvuOD
V
)ˆˆˆ( zyxVet
V.3 Opérations de prolongement et de dérivation
• on obtient les expressions suivantes dans le domaine spatial :
opérateur de prolongement d’un profil (à 2D) :
opérateur de prolongement d’une carte (à 3D) :
222
1
zx
z )x(Pz
V.3 Opérations de prolongement et de dérivation
23222
1/z
zyx
z )y,x(P
Exercice :
On s’intéresse à l’opérateur de prolongement de hauteur z dontle spectre de Fourier (à 1D) s’écrit
Pz(u)=e2pz|u|
où u est la fréquence et z est positif pour un prolongement vers le bas.
• Représenter le spectre Pz(u) de l’opérateur de prolongement vertical pour plusieurs valeurs de z (petites et grandes, négatives et positives) et discuter du rôle de z sur le filtrage.