Module 1. Connaissances de base 1.2. Comportement ... 2013-2014/123... · Comportement mécanique...

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MASTERE SPECIALISE

TUNNELS et OUVRAGES SOUTERRAINSDe la conception à l’exploitation

Module 1. Connaissances de base

1.2. Comportement mécanique des sols1.2. Comportement mécanique des sols

Denis BRANQUEENTPE

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CONNAISSANCES DE BASES: Comportement mécanique des sols

CONTENU1. Définition géotechnique des sols2 Identification physique des sols2. Identification physique des sols3. Déformations et contraintes dans les sols (rappels de MMC)( pp )

4. Hydraulique des sols5. Consolidation et tassement des sols6. Résistance au cisaillement des sols

INSA Lyon ‐ ENTPE MS TUNNELS ET OUVRAGES SOUTERRAINS 2013‐2014

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CONNAISSANCES DE BASES: Comportement mécanique des sols

Déformations et contraintes dans les sols: lrappels de MMC

Remarque 1: Le sol est ici considéré comme un milieu continu, c’est-à-dire que ses propriétés et les grandeurs physiques qui lui sont attachées évoluent de manière continue dans l’espace (ou de manière continue par morceaux: ex. des sols stratifiés)

Remarque 2: Dans la suite, on adoptera la convention de sommation sur un indice répété (convention d’Einstein ou d’indice muet) Exemples:

jiji .vAk v.Ak jjiii

ii etetetetetet

3

1332211t

3u BAPBAP

(1)

(2)

(3)

(4)

INSA Lyon ‐ ENTPE MS TUNNELS ET OUVRAGES SOUTERRAINS 2013‐2014

iii332211 vuvvuvuvuv.u 1i

iukjikij .BAPB.AP (2) (4)

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Déformations dans les sols

• Il convient de distinguer la notion de déplacement de la notion de déformation: certains champs vectoriels de déplacement ne créent aucune déformation (corps rigides indéformables)

• Il convient de distinguer le cas des grandes transformations (cas général) du cas particulier des petites transformations (cas des ouvrages sous charge de service)

Q l défi iti Quelques définitions:

- : vecteur déplacement de la particule de sol P

: gradient lagrangien du déplacement avec

),(),( tXutPu

)( tPH )(1)( iutPH - : gradient lagrangien du déplacement avec

- : le tenseur des déformations de Green Lagrange avec:

l t li é i é d tit déf ti

),( tPH )(2

),(j

iij X

tPH

).(21),( HHHHtPL tt ),( tPL

)( tP )(1)( HHP t- : le tenseur linéarisé des petites déformations avec

et donc:

l t li é i é d tit t ti

),( tP )(2

),( HHtP t

)(21),(

i

j

j

iij x

uxutP

)( tP )(1)( HHtP t- : le tenseur linéarisé des petites rotations avec

et donc:

),( tP )(2

),( HHtP

)(21),(

i

j

j

iij x

uxutP

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Tenseur linéarisé des petites déformations:

• Soit : le champs de déplacement au temps t de la particule ),(),( txutPu )(xPSo t e c a ps de dép ace e t au te ps t de a pa t cu e

• En repère cartésien, le tenseur linéarisé des petites déformations s’écrit :

),(),( )(

; 333

222

111

uuu

;

131211

)(

P

Demi-distorsions entre les directions ),(

jiee

)(21

;

1

2

2

12112

333

222

111

xu

xu

xxx

;

333231

232221),( tPt

),,,(/ 321 eeePR t

Dilatations dans la

direction )(i

e

)(21

)(21

323223

1

3

3

13113

uuxu

xu

)(2 23

3223 xx

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Si ifi ti h i Significations physiques:• 11représente la dilatation

131211

)(

tP

Demi-distorsions entre les directions ),(

jiee

au point P, au temps t, dans la direction

333231

232221),( tPt

),,,(/ 321 eeePR t

Dilatations dans la

direction )(i

e

direction

(à t0) (à t) Xdxd

• 11 représente la dilatation au point P, au temps t, dans la direction )(1

e

)(1

e)(1

e

1Xd 1xd

(à t0) (à t)P P

1

11

11 XdXdxd

)(1

e• 12 représente la ½ distorsion au point P, au temps t, entre les directions et )(2

e

(à t0)(à t))(

2e )(

2e

f 1

)(1

ef

)(1

e

(à t0)

P P12 )2(2

11212

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Autres propriétés avec Autres propriétés

nn• La dilatation dans la direction au point P, au temps t, notée ,

vérifie la relation:)(n

dXdx

avec

dX

ddxnn

nn ..

(à t ) (à t))(n)( N

Xd xd

(à t0) (à t)P P

• La ½ distorsion au temps t entre les directions et initialement orthogonales, notée , vérifie la relation:

)(n )(t

nt

)(1

tn

)2(2..ntnt

tn

(à t0)(à t))(T t

n)( NP Pnt

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• Le tenseur linéarisé des petites déformations est symétrique par construction, il est donc diagonalisable. Ses directions principales en un point M donné sont les),,( 321 jjj

Autres propriétés

donc diagonalisable. Ses directions principales en un point M donné sont les seules directions à ne subir aucune distorsion au cours de la transformation en ce point. Ces directions restent orthogonales deux à deux au cours de la transformation.

),,( 321 jjj

• 11représente 00

Demi-distorsions entre les directions ),( jj

représente la dilatation au point P, au temps t,

II

I

t tP

00

0000

),( ),,,(/ jjjMR

),(ji

jj

Dilatations dans la direction )(

ij

dans la direction

III00),,,(321

jjjD

IIIIII ,,• sont appelées déformations principales au point M.

• La variation relative de volume d’un volume élémentaire autour du point M fixé est donnée par:

V

IIIIII ,, pp p p p

)(332211 trVV

IIIIII

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Exemple d’application – Directions principales de déformations dans le cas de transformations linéaires planes

Soit les quatre transformations infinitésimales (a<<1) linéaires planes représentées sur les figures (a), (b), (c), (d) ci-jointes.représentées sur les figures (a), (b), (c), (d) ci jointes.

-Déterminer intuitivement pour chacune des transformations ci dessous, les directions principales de déformation.

- Retrouver ce résultat analytiquement.

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Exemple d’application – Directions principales de déformations dans le cas de transformations linéaires planes

Dans le repère (O,X1, X2), les champs de déplacement s’écrivent (transformation linéaire):

2

)()(2

)(1

)( ;0

;0

;0 X

aXu

Xu

aXu

aXu dcba

1

)(1

)()()( ;;0

;0 aXaX dcba

On en déduit dans le repère (O,X1, X2) les tenseurs linéarisés des petites déformations suivants:

0000

00

;0

0.

21;

00

.21;

000

)()()()( aa

aa

aaa

dcba

On en déduit enfin les déformations principales et directions principalesOn en déduit enfin les déformations principales et directions principales associées:

a

aaa 0

;0

2;0

2;0

aaa dcba 0

;

20

;

20

;00 )()()()(

2/22/2

;2/22/2

2/22/2

;01

)(1)(1)(1)(1 dcba jjjj

;

2/22/2

;2/22/2

2/22/2

01

2/22/22/20

)(2)(2)(2)(2

)()()()(

dcba

dcba

jjjj

; ;

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Contraintes dans les sols

F Vecteur Contrainte

• Soit : un domaine quelconque de sol et : sa surface

• Soient les actions externe appliquées sur :

Fs

n2)

• Soient les actions externe appliquées sur :- Fv: forces de volume- Fs: forces de surface

• Soit P un point de et s un plan passant par P qui coupe en deux

n

dfP

dSp s p p p q pdomaines et tels que U

• Soit dS une surface élémentaire: - centrée sur P

t t l

Fv s)

)- appartenant au plan s- de vecteur normal unitaire dirigé vers

• Soit la force élémentaire exercée par les particules de sur dS

n

fd

1)

• Si alors on admet que admet une limite notée:

• est appelé vecteur contrainte au point P agissant sur la

0Sd dSfd

),,( tnPn

)( tnP • est appelé vecteur contrainte au point P agissant sur la facette élémentaire dS de normale , au temps t.n

),,( tnPn

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Contraintes dans les sol

Vecteurs contrainte

• En un point P, sur une facette élémentaire dS donnée ( fixé), il existe au temps t fixé un seul vecteur contrainte

n),,( tnPn

p

• Ce vecteur contrainte admet une décomposition telle que:

ttnPntnPtnP nnn

).,,().,,(),,(

),,(n

nn

Où: contrainte normale à dS

contrainte tangentielle à dS

nnPnP nnnn

).,(),(

tnPnP nt

).,(),(

nn

• Convention de la mécanique des sols:

: compression0),( nPnn

n

t

: traction

est défini comme vecteur unitaire normal rentrant

)(nn

0),( nPnn

n

• En un point P, au temps t fixé, il existe une infinité de vecteur contrainte ),( tPn

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Tenseur des contraintes (en coordonnées cartésiennes)

Construction

•Soit d, un volume élémentaire parallélépipédique de sol centré autour du point P et dont les arêtes sont orientés

),( 3eP 3e

pdans la direction des vecteurs du repère cartésien R:

• Soit le vecteur contrainte agissant sur la facette de normale de d,

),,,( 321 eeeP

),( jj eP je

x1

33

23

13

22

1231 eP

• Soient les composantes des vecteurs contrainte dans le repère R: telles que:

• Par construction, le vecteur contrainte agissant

j

ij ),,,( 321 eeeP

iijj eP )(

),( jeP

x3

22

32

31

2111 ),( 2eP

),( 1eP 2eP

Par construction, le vecteur contrainte agissant sur la facette de d de normale s’obtiendra par la relation:

jijj eeP ),(

),( jePje

x21e

• Les sont les 9 composantes du tenseur des contraintes relativement au repère Cartésien R:

),( tPij

)( eeeP

232221

131211

),(

tP),,,(/ 321 eeePR

Cartésien R: ),,,( 321 eeeP 333231 ),,,( 321

Contraintes normales (traction / compression)

Contraintes tangentielles(cisaillement)

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Généralisation

• Soit le volume tétraédrique élémentaire de sol dV, ayant Pt pour sommet, et dont trois de ses faces admettent les vecteurs de base iecomme vecteurs normaux,

•Soit la quatrième face du tétraèdre de normale quelconque mais fixé (avec les 3 composante de dans ),),,,( 321 eeePt

i

njn n

• En écrivant l’équilibre du volume élémentaire tétraédrique dV, on montre que les composantes du vecteur contrainte agissant sur la facette de normale quelconque mais fixée vérifie

),( nPn

i n

j

la relation:jiji nnP ),(

• Quel que soit , cette relation peut être généralisée à la forme tensorielle suivante:

ntnPtnPn

).,,(),,(

n

Vecteur contrainte

Tenseur des contraintes en P au temps t

Vecteur unitaire normal à la facette

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Tenseur des contraintes (en coordonnées cylindriques)

Tenseur des contraintes en repère cylindrique tournant

• Dans le cas des problème de tunnel (convergences autour d’une section courante, calcul des efforts dans le revêtement, …), il est ee

)

souvent plus avantageux de raisonner en repère cylindrique attaché au point P considéré.

•Dans ce cas, le tenseur des contraintes au point P aura pour

),,,( zrt eeeP

reP

ze

composantes relativement à ce repère:

O

zr

rzrrr

tP

),(),,,(/ zr eeePR

e

r

zzzzr

Contraintes normales (traction / compression)

Contraintes tangentielles(cisaillement) re

r r

rr+drrrr

r

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Equations d’équilibre

• Soit au temps t fixé de la transfomation Ft, un volume fini de sol t de masse volumique , de surface St .),( tx• Ce volume de sol est dans le cas général soumis:

‐ à des actions de contact (densité surfacique de force agissant sur St )

‐des forces de volume dues au champ des actions à distance:

• Principe Fondamental de la dynamique (en terme de résultante):

b

résultante):

),(.),(.),()()( txtxbtxdivRR tdyn

text

Equations indéfinies du mouvement d’Euler (MMC)

22232221

113

13

2

12

1

11

b

bxxx

Equations indéfinies du mouvement d’Euler

d é té i

333

33

2

32

1

31

321

bxxx

xxxen coordonnées cartésiennes(convention mécanique des sol)

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Exemple d’application – Calcul des contraintes dans un massif de sol semi infini

Un massif de sol semi-infini, homogène qet pesant, de masse volumique occupe le demi-espace (z≥0). Il est soumis à l’action des forces de pesanteur ainsi qu’à une densité surfacique de force

xe

q

eqqu à une densité surfacique de force appliquée sur sa surface .

Des équations indéfinies de l’équilibre

zeq.

jointes aux conditions aux limites en contrainte à la surface du sol, déduire les expressions des composantes, zz, xx, xz du tenseur des contraintes à la

ze xz du tenseur des contraintes à la profondeur z.

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Exemple d’application (suite)

• Les équations de la dynamique se ramènent ici aux équations de l’équilibrepuisque le massif de sol est supposé à l’équilibre ( ). Celles ci s’écriventdans le repère cartésien

0)( eeeO dans le repère cartésien ),,,( zyx eeeO

0

xxzxyxx b

zyx • Le champ vectoriel des actions à distance

s’identifie ici à celui de l’accélération de la t

0

yyzyyxy b

zyx

pesanteur: 2-9.81m.s gavec zegb

.

• Le massif étant semi infini selon les di ti t l’ét t d t i t

0

zzzyzxz b

zyx directions et , l’état des contraintes ne

dépend que de la variable z et donc:

0;0

xe ye

yx• Par raison de symétrie, on a :

yzxz

yyxx

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Exemple d’application (suite) • Compte tenu des remarques précédentes, il reste

xz 00

0,z enor

xzxz

BBAA

0000

qgzzz

yz

0qCq 0,z en

0,zenor

zzzz

yzyz

oryxCgzBB

),(00

• La détermination de ne peut se faire à partir des seules équationsde l’équilibre. Elle nécessite la connaissance de la loi de comportement du sol.

• Dans le cas d’un comportement élastique linéaire (Loi de Hooke) on a:

xyyyxx ,,

• Dans le cas d un comportement élastique linéaire (Loi de Hooke), on a:

E

1

)(tr

E

• Ce qui conduit à :

)1(0

001xyxyxyxy E

or

19)

1)1(0

yyxx

zzxxxxzzxx

symétrie(par K0

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Propriétés du tenseur des contraintes

• Principe Fondamental de la dynamique (en terme de moment):

x

33

23

),( 3eP 3e

jiijtdyn

text )()(

Symétrie du tenseur

des contraintes

• Directions principales de contraintes et contraintes principales: x3

x1 2313

22

32

1231

21 )(

),( 1eP 2ePt

p p p p

Le tenseur étant symétrique, il est diagonalisable. Il existe donc au point Pt , au temps t, un repère orthonormé RD: tel que:

),,,( 321 jjjPt

x2

3211 ),( 2eP

1e

333231

232221

131211

),(

tPt

),,,(/ 321 eeePR t

),( 3jP

3e

),( 2jP

j

3j

333231

I

tP

0000

)(2ePt

2jI,II,III: contraintes principales en Pt au temps t

III

IIt tP

00

00),(),,,(/ 321 jjjPR tD

1e),( 1jP

1j

: directions principales de contraintes en Pt au temps t

321 ,, jjj

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Propriétés du tenseur des contraintes (suite)

• Décomposition du tenseur des contraintes en parties sphériq e et dé iatoriq esphérique et déviatorique:

),().,(),( tPstPtP m Partie sphérique

(isotrope)

)( tPtr

Partie déviatorique

m 00

• Contrainte moyenne: et

• Tenseur déviateur des contraintes:

3),(),( tPtrtPm

m

mtm tP

00

00).,(

)()(

),( 232221

131211

m

m

t tPs

0)(000)(

),( mII

mI

t tPs

)( 333231 m),,,(/ 321 eeePR t

)(00 mIII ),,,(/ 321 jjjPR tD

est seul responsable du cisaillement !!!),( tPs t

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• A la profondeur z, la pression u(z) mesurée à l’aide d’uncapteur de pression est la même dans toutes les directions del’espace. Cette pression est égale au poids de la colonne d’eau

o

nn

z

Tenseur des contraintes dans un fluide au repos

l espace. Cette pression est égale au poids de la colonne d eausituée au dessus de la membrane sensible du capteur. On adonc:

n n

zgzu w .)(

• De cette observation, nous pouvons déduire que le vecteur contrainte représentatif de l’action desparticules fluides sur la surface sensible du capteur (surface élémentaire) est de direction opposée auvecteur normal sortant (action de compression) et s’écrit:

)( n )(

• A la profondeur z fixée le caractère isotrope de la pression mesurée implique

nzgnz w

..),( n ),( nz

zgw 00.

• A la profondeur z fixée, le caractère isotrope de la pression mesurée implique que le tenseur des contraintes dans le fluide au repos est isotrope et s’écrit:

),( nz

zg

zgzu

w

w

.000.0)(

Convention

mécanique des sols!!n

),(

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Réprésentation géométrique d’un état de contraintes planes

•Soit au point Pt l’état de contrainte plane suivant:

0 00

nPlan

physique

Repère principal

00000

),( 2221

1211

tPt

),,,(/ 321 eeePR t

0000000

),( II

I

t tP

),,,(/ 321 jjjPR tD

nt j2

•Cercle de Mohr des contraintes (convention méca sol !!!):

- Considérons le repère tournant associé à la facette élé t i dS t P d l t t f i t

),,( tnPt

n

Pt

j1

élémentaire dS passant par Pt, de normale entrante faisant un angle avec la direction principale de contrainte- Soit Mn, le point extrémité du vecteur contrainte agissant sur dS, de coordonnées (nn, nt) dans

n1j

),,( tnPt

Mnnt

Plan de Mohr

- Il est possible de montrer que lorsque tourne de 2 dans le plan , le point Mn parcourt dans ce plan un cerclede centre , de rayon appelé cercle de Mohr

n),,( tnPt

)0,2

( III

2IIIR

n

tPt nnnnn

2

IIIMJ1

MJ2

Mohr.- Lorsque le vecteur tourne d’un angle dans le plan de contrainte (plan physique), le vecteur rayon tourne d’un angle (2 dans le plan de Mohr.

2

n

nM

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Réprésentation géométrique d’un état de contrainte tridimensionnelle

• Soit au point Pt l’état de contrainte 3D suivant:

332313

232212

131211

),(

tPt

),,,(/ 321 eeePR t

III

II

I

t tP

00

0000

),(),,,(/ 321 jjjPR tD

avec I ≥ II ≥ III:

Repère principal

•Tricercle de Mohr des contraintes:

C idé l è t t ié à l f tt)( tP

n

- Considérons le repère tournant associé à la facette élémentaire dS passant par Pt, de normale entrante- Soit Mn, le point extrémité du vecteur contrainte agissant sur dS, de coordonnées (nn, n) dans

),,( tnPt n

),,( tnPt

- Il est possible de montrer que lorsque décrit l’ensemble des direction autour de Pt, l’extrémité du vecteur contrainte se trouve:

à l’ té i d l d’ t é ité ( ) ( )

)( t

n

n III II I nn

- à l’extérieur des cercles d’extrémités (I ,II ), (II,III ) - à l’intérieur du cercle d’extrémités (I ,III ),

(avec I ≥ II ≥ III )

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Les résultats d’un essai de compression simple sur un bloc cylindrique de mortier de terre crue sont

Exemple d’application – Essai de compression simple p p y q

présentés sur la figure ci jointe.

- Représentez dans le plan de Mohr, les cercles de Mohr correspondant à l’état de contrainte au sein du matériau pour les états de chargement (0), (1), (2), (3).

-Que peut-on dire de l’état de contrainte et de l’état du matériau au point (3).

- Pour cet état de chargement (3), représenter dans le plan de Mohr le vecteur contrainte agissant sur une facette du plan passant par P et dont la direction normale entrante fait un angle de avec ),( ee n p p p gla direction .

zz (3)

),( zr eeze 4

h0

zzPlateau de

presse supérieur mobile

uz

(1)

(2)( )

P

Plateau de presse inférieur

fixe

(1)ze

(0)4

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Contrainte effective

W W(air) (eau)

Sol sec Sol saturé

WW

(a) Déformations se produisent (b) Pas de déformation

Pourquoi?

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Contrainte effective

(I) fc1 f ffc4 fc5

n

fcon

fconuw

(I)n

c1 fc2 fc3c4

Soit une surface imaginaire qui sépare le sol en deux parties(I) et (II).

(II)uw

g q p p ( ) ( )Considérons les forces exercées par la partie (I) sur :

• Sur toutes les portions de plan qui ne coupent pas de grains, s’exerce la pression de l’eau uw (contrainte normale au plan) • Sur la section des grains coupés, s’exerce également la pression uw puisque chaque grain est soumis à un état de contrainte isotrope u de la part de l’eaucontrainte isotrope uwde la part de l eau. • Sur cette section des grains coupés s’exerce également pour chaque grain une force fci qui est la résultante des réactions aux points de contact entre les grains. Ces forces sont de direction et d’intensité non prédéfinies (angle d’inclinaison i avec le plan

Contraintes effectives (ou Contraintes totales Principe de TerzaghiContraintes effectives (ou intergranulaires) sur .

Contraintes totales sur .

)sin(' ii cif

)sin( wii u cif

Principe de Terzaghi

'u w '

Postulat de Terzaghi: c’est le tenseur des contraintes effectives ’ qui gouverne les déformations du squelette solide !!!

)cos(' ii cif

)cos( ii cif '

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( ) (b)

Contrainte effective – présentation simplifiée 1D

(a) (b)

Sol sec Sol saturéW W

(air) (eau)

Sol sec Sol saturé

WW

Cas (a) Cas (b)

v W/A W/A

uw 0 W/A

W/A 0

Variation de la contrainte totale et de la pression d’eau(A= section du piston)

v W/A 0

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Implication sur la résistance au cisaillement

Une approche intuitive des contraintes effectivesN

T

Deux morçeaux de roche en contact, force verticale appliquée N équilibrée par (N=N’+U) :

(1) les réaction aux points contact N’

(2) La réaction due à la pression d’eau sur le reste de l’interface U

UNN ffective enormalePoussée

NT ff d i ill à lNT Effort de cisaillement à la rupture

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N

Implication sur la résistance au cisaillement

T

NT

L’aire du contact est très petite, on raisonne sur la contrainte apparente en divisant par la surface totale A:

nnwnn uUNNT

nnwnnAAA

= contrainte de cisaillement maximal supportable

nn = nn – uw = contrainte normale Effective

nn = contrainte normale Totale

La pression d’eau diminue la contrainte normale effective de contact ; elle réduit donc la résistance au cisaillement !!!

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Implication sur le comportement à court terme et à long terme du sol

W

’ uw

wu '

Sol saturé

Dans la nature, l’application d’un chargement mécanique sur un sol saturé aura pour effet de générer dessurpressions d’eau dans les interstices du sol. A plus ou moins long terme, l’eau aura toujours la possibilité des’évacuer et les surpressions intertitielles se dissiper.

Le temps de dissipation des surpressions intertitielles est quasi instantané dans le cas des matériaux grenus(sable, gravier). Les comportements en court terme et à long terme du matériau sont identiques et seul lecomportement du squelette solide est à prendre en compte.

Ce temps de dissipation est beaucoup plus important pour les sols fins en raison de la prépondérance desCe temps de dissipation est beaucoup plus important pour les sols fins en raison de la prépondérance desphénomènes visqueux dans les très petits interstices (de l’ordre du mois pour les limons, de l’année pour lesargiles). Il faut dans ce cas distinguer le comportement à court terme du matériau (présence de surpressionsinterstitielles) de celui à long terme (surpressions intertitielles totalement dissipées).

Pour les sols fins, il faut tenir compte de ces deux comportements dans le dimensionnement des ouvrages

(Cf chapitres 5 et 6)

Pour les sols fins, il faut tenir compte de ces deux comportements dans le dimensionnement des ouvrages(phase de chantier et phase de service)

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Calcul des contraintes effectives dans un massif de sol

Surcharge qSurcharge q

d1Couche 1, h = 1

d2

d3

Couche 2, h = 2

Couche 3, h = 3

z

v

Stratigraphie des sols

couchesdespoidssurfaceentotaleforcebaselasurtotaleforce

(1) Considèrons l’équilibre verticale d’une colonne de sol de hauteur z dans un sols statifié. Calculons la contrainte verticale totale s’exerçant au pied de cette colonne:

couchesdespoidssurfaceen totaleforcebaselasur totaleforce

2132211 ddzAdAdAAqA v

Contrainte totale 2132211 ddzddqv Contrainte totale verticale

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• Calcul des pressions d’eau

H

P

z

Sol avec une nappe phréatique

(2) L i d’ i t P t d é(2) La pression d’eau au point P est donnée par

Hu wPw /

(3) la contrainte verticale effective au point P est la différence entre la contrainte verticale totale au point P et la pression d’eau

Hu wPw vvv /'

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Exemple 1 – des contraintes effectives

Une couche de sable uniforme de 10 m de profondeur repose sur une roche.La nappe est située à 2 m en‐dessous de la surface de sable dont l’indice desvides a été mesuré à e = 0.7. Supposant que les grains de sols ont unedensité de 2.7, calculer la contrainte effective à 5 m sous la surface naturelle.

Etape 1:

Dessiner la stratigraphie des sols et la nappe.

2 mLayer 1, d = 1

Layer 2, sat = 2 3 m

Stratigraphie des sols

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Exemple 1 – Calcul de contrainte effective

Etape 2:

Calculer les poids volumique saturé et sec

Vv = eVs= 0.7 m3

vides Ww = 0Vides

Ww = Vv*w kN

= 0.7*9.8 kN

vides

Vs = 1 m3

Solide

Ws = Vs*Gs*w

=1*2.7*9.8 kNSolide

= 6.86 kN

Ws = Vs*Gs*w

=1*2.7*9.8 kNSolide

=26.46 kN =26.46 kN

Répartition en volume Répartition en poids Répartition en poids

Sol sec Sol saturaté‐ Sol sec ‐ Sol saturaté

56.1570.146.26

dry kN/m3

60.1970.1

86.646.26

sat kN/m3

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Step 3:

Calcul de la contrainte verticale totale à z=5m

92.893*60.192*56.15 v kPa (kN/m2)

2 mLayer 1, b = 1

Layer 2, sat = 2 3 mStep 4:

31 /56.15 mkNdry

Calcul de la pression d’eau à z=5m

4.298.9*3 wu kPa (kN/m2)

32 /60.19 mkNsat Step 5:

Calcul de la contrainte verticale effective à z=5m

52.6040.2992.89 wvv u kPa (kN/m2)

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Tableau 1: contrainte totale, pression d’eau et contrainte effective auxTableau 1: contrainte totale, pression d eau et contrainte effective aux profondeurs 0, 2 m et 5 m

Profondeur z(m)

Contrainte totale(kPa)

Pression d’eau(kPa)

Contrainte Effective(kPa)

0 0 0 0

2 31.04 0 31.04

5 89.92 29.4 60.52

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2 mCouche 1, b = 1

29.4 31.0489.92

kPa60.52

3 mCouche 2, b = 2

2 mtotale

5 m

effectivePression d’eau

Profondeur z (m)D

ocum

ents

péd

agog

ique

s in

tern

es a

u M

astè

re T

OS

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En conditions generales

x

zz

yzxz

z

yy

zyxy

zx

yxxx

wxxxx u

y

yzyz wxxxx

wyyyy u

u

yzyz

zxzx

zyzy

xzxz

wzzzz u xyxy yxyx

’ Soit : ’ = uwI

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Poids volumique déjaugé

hh

zX X

Soil

Poids volumique saturé du sol= sat

Poids volumique de l’eau = w

X X

zh satw v

zhu ww

Contrainte totale

Pression d’eau

Au niveau X-X:

ww zzu wsatw . vv Contrainte effective

wsat Poids volumique déjaugé

40

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Module 1. Connaissances de base 1.2. Comportement ... 2013-2014/123... · Comportement mécanique...

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