11

MODÉLISATION GÉOLOGIQUE 3D MODÉLISATION GÉOLOGIQUE 3D ET CARACTÉRISATION DES ET CARACTÉRISATION DES

INCERTITUDES PAR LA MÉTHODE INCERTITUDES PAR LA MÉTHODE DU CHAMP DE POTENTIELDU CHAMP DE POTENTIEL

Christophe Christophe AugAugCentre de GéostatistiqueCentre de Géostatistique

JuryRapporteur: J.-L. Mallet Examinateur: J.-P. ChilèsRapporteur: A. Parriaux Examinateur: G. CourriouxExaminateur: J.-P. Brun Examinateur: Ch. Lajaunie

Ecole des Mines de Paris, 13 décembre 2004

22

?

Cartographie géologique

N

2

33

Comment interpoler une surface Comment interpoler une surface géologique ?géologique ?

qq Il nous faut:Il nous faut:ØØ intégrer dintégrer des donnéeses donnéesØØ choisir uchoisir une ne approcheapprocheØØ respecter drespecter des règleses règles

qq Il Il nene faut faut paspas ::ØØ oublier qu’il s’agit d’une interprétation…oublier qu’il s’agit d’une interprétation…

44

Les donnéesLes donnéesqq interfaces (contours, intersections dans les interfaces (contours, intersections dans les

forages…)forages…)qq directions structuralesdirections structuralesqq faillesfaillesqq géophysiquegéophysique

55

Approches géostatistiquesApproches géostatistiquesqq Les surfaces d’élévation: z=f(x,y) (Ex. MNT)Les surfaces d’élévation: z=f(x,y) (Ex. MNT)

ØØ faciles à utiliser, adaptées pour multicouches.faciles à utiliser, adaptées pour multicouches.ØØ visualisation 3D, mais modélisation 2Dvisualisation 3D, mais modélisation 2D

⇒⇒ certains objets ne peuvent être reconstruits.certains objets ne peuvent être reconstruits.

qq Les surfaces implicites: Les surfaces implicites: VV00=f(x,y,z)=f(x,y,z)

⇒⇒ Une Une surface est définie par une surface est définie par une isovaleurisovaleur particulière d’un particulière d’un champ scalaire dans l’espace 3D (champ de potentiel).champ scalaire dans l’espace 3D (champ de potentiel).

Deux étapes:Deux étapes:ØØ Phase d’interpolation: exprimer f Phase d’interpolation: exprimer f →→ calculer f(x,y,z).calculer f(x,y,z).ØØ Phase de reprPhase de repréésentation: expliciter les surfaces sentation: expliciter les surfaces isovaleursisovaleurs →→

dessiner les surfaces dessiner les surfaces VV00.

66

Les règlesLes règles

qq La pile La pile stratigraphiquestratigraphique

qq Les relationsLes relationsØØ «« erodeerode »»ØØ «« onlaponlap » »

F3

F2-1

F1

F2-2

F4-1

F4-2

F4-3

Serie_F3(ERODE)

Serie_F4(ONLAP)

Serie_F2(ONLAP)

Serie_F1(ERODE)

77

L’L’EditeurEditeur GéologiqueGéologique

qq Outil développé au Outil développé au BRGMBRGM..qq Approche implicite: méthode du champ de potentiel Approche implicite: méthode du champ de potentiel

((LajaunieLajaunie et et alal.., 1997)., 1997).

qq Construction automatique de modèles géologiques Construction automatique de modèles géologiques volumiques.volumiques.

qq Méthode adaptée aux besoins et aux spécificités de la Méthode adaptée aux besoins et aux spécificités de la cartographie géologique:cartographie géologique:ØØ modélisation de différents types d’objets géologiques (bassins modélisation de différents types d’objets géologiques (bassins

sédimentaires, séries métamorphiques, intrusions granitiques…)sédimentaires, séries métamorphiques, intrusions granitiques…)ØØ intégration de plusieurs types de données (MNT, carte intégration de plusieurs types de données (MNT, carte

géologique, données structurales, sondages, géophysique…)géologique, données structurales, sondages, géophysique…)

qq Nombreux exemples d’études sur Nombreux exemples d’études sur http://www.3dweg.brgm.frhttp://www.3dweg.brgm.fr

88

Objectifs de la thèseObjectifs de la thèseqq CadreCadre: Thèse sous la direction de Jean: Thèse sous la direction de Jean--Paul Chilès, en Paul Chilès, en

partenariat avec le BRGM. partenariat avec le BRGM. Projet de recherche en modélisation 3D des corps Projet de recherche en modélisation 3D des corps géologiques.géologiques.

qq Editeur GéologiqueEditeur Géologique: Développer dans cet outil des : Développer dans cet outil des techniques géostatistiques permettant de construire des techniques géostatistiques permettant de construire des modèles géologiques plausibles. modèles géologiques plausibles.

qq Axes de rechercheAxes de recherche::ØØ Caractérisation des incertitudes affectant les modèles Caractérisation des incertitudes affectant les modèles

construits.construits.ØØ Traitement des sondages incomplets.Traitement des sondages incomplets.

99

PlanPlanqq Présentation de la méthode du champ de potentielPrésentation de la méthode du champ de potentiel

qq Caractérisation de la covariance du potentielCaractérisation de la covariance du potentielØØ Inférence à partir des données de gradientInférence à partir des données de gradientØØ Illustrations par les données du LimousinIllustrations par les données du Limousin

qq Détermination des incertitudes :Détermination des incertitudes :ØØ sur la position des interfacessur la position des interfacesØØ sur les paramètres du modèlesur les paramètres du modèle

qq Autres problèmes :Autres problèmes :ØØ Gestion de plusieurs formations et des faillesGestion de plusieurs formations et des faillesØØ Traitement des fins de sondagesTraitement des fins de sondages

1010

La méthode du champ de La méthode du champ de potentielpotentiel

Deux types de données:- points de passage (x, y, z) sur les interfaces géologiques ;- données ponctuelles d’orientation: vecteurs normaux aux lignes iso valeurs (azimut, pendage, polarité).

Les interfaces sont interpolées en 3D en assimilant les points àLes interfaces sont interpolées en 3D en assimilant les points à desdes potentiels(on travaille en fait sur des incréments) et les orientations à (on travaille en fait sur des incréments) et les orientations à des des gradients du potentiel..

Points équipotentiels sur l’interface

Dérivées du champ de potentiel

1111

Le cadre de la géostatistiqueLe cadre de la géostatistique

qq MultivariableMultivariableDeux types de données: Deux types de données:

ØØ Potentiel (incréments) Potentiel (incréments) ØØ Gradients Gradients

qq NonNon--stationnairestationnaireDérive polynomialeDérive polynomiale

⇒⇒ CokrigeageCokrigeage universel universel (dual)(dual)

⇒⇒ Choisir une covarianceChoisir une covariance

( ) ( ) 0P P ′− =j jx x

( )

( )

( )

PxPyPz

∂ ∂

∂ ∂

∂

∂

i

i

i

x

G x

x

Fonction Aléatoire P: potentiel

1212

Caractérisation de la Caractérisation de la variabilité spatiale du variabilité spatiale du

potentielpotentiel

⇒⇒ Inférence à partir des données Inférence à partir des données d’orientationd’orientation

1313

Le choix de la covarianceLe choix de la covariance

qq Jusqu’à présent: modèle «Jusqu’à présent: modèle « conventionnelconventionnel »»

qq Modèle de covariance par défautModèle de covariance par défaut⇒⇒ Cubique isotrope, portée arbitrairement prise égale Cubique isotrope, portée arbitrairement prise égale àà la taille du champ, la taille du champ,

variance du gradient unité, effet de pépite du gradient de 0.01variance du gradient unité, effet de pépite du gradient de 0.01

qq Problème: incréments de potentiel nuls !Problème: incréments de potentiel nuls !

qq Solution: exploiter les données d’orientationSolution: exploiter les données d’orientationØØ Mesures angulaires d’orientation des plans de litage (stratificaMesures angulaires d’orientation des plans de litage (stratification, tion,

schistosité, foliation).schistosité, foliation).IllustrationIllustration (photos de foliations dans des granites)(photos de foliations dans des granites)

ØØ Dans le cas d’étude Dans le cas d’étude LimousinLimousin: foliations cartographiques.: foliations cartographiques.⇒⇒ X, Y, (Z), Azimut, Pendage, PolaritéX, Y, (Z), Azimut, Pendage, Polarité

1414

©Ledru et al. 2001 T

ectonophysicsS

S

2 cm

1515

Covariance du potentiel et Covariance du potentiel et covariance du gradientcovariance du gradient

qq Lien algébrique:Lien algébrique:

qq Calcul des Calcul des variogrammesvariogrammes expérimentaux dans différentes directions.expérimentaux dans différentes directions.

22 2 2

2

22

2 3

(h)(h)

( ) 1(h) ( ) (h) ( )

u

u

PG x y z

u

uP G u

KK r h h h

h

hC rK C r K h C r

r r r

∂= − = + +

∂

′′ ′= ⇒ = − + −

1γ(h)

0 a ha/2

14/a2

γ(h)h // u

h ⊥ u

0 a ha/2

Variogramme du potentiel Z Variogramme de la dérivée ∂Z/∂u

1616

Ajustement IAjustement Iq Paliers variant avec la direction.q Anisotropie zonale: le variogramme ne dépend que de

certaines composantes du vecteur h.

⇒ Schéma gigogne.

q Ajustement manuel:Ø Structure 3D ajustée sur GZ.Ø Structure 2D ajustée sur GX.Ø (Structure 1D ajustée sur GY.)

( ) ( ) ( )2 2 2 2 23 2 1( )P x y z x y yh h h h h h hΓ = Γ + + + Γ + + Γ

1717

Ajustement IIAjustement IIq 3 paramètres à déterminer pour chaque variogramme de

composante de gradient: portée, palier, effet de pépite.

q Ajustement automatique: détermination des paramètres optimaux en minimisant une fonction d’erreur.

q Méthode de régression non-linéaire (Levenberg-Marquardt): méthode à gradient adaptatif⇒ Chaîne de traitement entièrement automatique.

( ) 2

2

1

;( )

Ni i

i i

hγ γχ

σ=

− =

∑

aa

1818

Caractérisation de la Caractérisation de la variabilité spatiale du variabilité spatiale du

potentielpotentiel

⇒⇒ Illustrations par des données du Illustrations par des données du LimousinLimousin

1919

Présentation des donnéesPrésentation des donnéesTaille ≈ 70 × 70 km 1485 données de foliation (roches métamorphiques)128 points (carte géologique)tous situés sur la surface topographique

2020

ÉÉtude exploratoiretude exploratoire

0.03140.03140.74910.74911.00001.00000.31680.3168GGzz

0.20760.2076--0.11040.11040.89320.8932--0.86590.8659GGyy

0.18760.18760.01080.01080.86590.8659--0.89130.8913GGxx

VarVarMoyMoyMaxMaxMinMin

N=1485

-1 -10 1 0 1 0.3 0.7 1

GX GY GZ

2121

VariogrammesVariogrammes expexpéérimentauxrimentaux

0 5 0 0 0 1 0 0 0 0 1 5 0 0 0 2 0 0 0 0 2 5 0 0 0

D i s t a n c e

0.0

0.1

0.2

0.3

Var

iogr

amm

e

γY//

γX⊥

γY⊥

γX//

γZ⊥

2222

Ajustement des Ajustement des variogrammesvariogrammes

0 5000 10000 15000 20000 250000.00

0.01

0.02

0.03

0.04

Var

iogr

amm

e

Distance

0 5000 10000 15000 20000 250000.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Var

iogr

amm

e

Distance

0.08250.08250.07330.0733

0.07500.07500.07070.0707

170001700085608560

2D2DAutoAuto

0.05000.0500//

0.07500.0750//

5500055000//

1D1Dautoauto

0.01750.01750.01790.0179

0.01650.01650.01660.0166

25000250002670726707

3D3Dautoauto

PalierPalierEffet Effet pépitepépite

Portée Portée (en m)(en m)

StructStruct..

γZ

γX

⊥

0 5000 10000 15000 20000 25000

Distance

0.0

0.1

0.2

0.3

Var

iogr

amm

e

⊥

//

γY

//

2323

Synthèse de l’étude Synthèse de l’étude variographiquevariographique

qq Belle structuration des Belle structuration des variogrammesvariogrammes..qq Effet de pépite relativement important.Effet de pépite relativement important.qq Portée de l’ordre de la dizaine de kilomètres.Portée de l’ordre de la dizaine de kilomètres.qq Palier de la composante verticale bien inférieur à Palier de la composante verticale bien inférieur à

ceux des composantes horizontales.ceux des composantes horizontales.qq Ajustement facile pour la composante verticale, Ajustement facile pour la composante verticale,

plus délicat pour les composantes horizontales.plus délicat pour les composantes horizontales.

2424

Impact du modèle sur les surfacesImpact du modèle sur les surfacesCalcul du potentiel en tout point de la grille, puis tracé de l’isopotentielle passant par les points de données.

128 points sur l’interface considérée

Topographie – altitude constante Z=500

Comparaison

Modèle par défautModèle ajusté

Coupe 1

C1

Différence de 450 m

70 km

70 km

N

17

km

2525

Représentation 3DReprésentation 3D

Algorithme Marching Cubes:

• Evaluation du potentiel en tous nœuds d’un maillage de cube • Détermination de l’éventualité de rencontre de la surface et d’un cube• Construction de l’intersection surface/cube si nécessaire, toutes les solutions des différentes configurations sont répertoriées

2626

La détermination des La détermination des incertitudes sur la position incertitudes sur la position

des interfacesdes interfaces

2727

Probabilité d’appartenance d’un point Probabilité d’appartenance d’un point à une formationà une formation

q Calcul des variances σ2CK des incréments de potentiel.

q Probabilité pour un point donné x d’appartenir à une formation:

{ } ( ) ( )2 11 2Pr ( )

( ) ( )CK CK

P P P PP P P G G

σ σ

∗ ∗ − −< ≤ = −

x xx

x x

P1

P2

P(x)

2828

Le «Le « potentiel réduitpotentiel réduit »»q Calcul du “potentiel réduit” Φ : x0 étant un point de l’interface

q Hyp. gaussienne: l’interface estimée est comprise dans 95% des cas entre les courbes Φ=-2 et Φ=+2.

q Cartographie de l’incertitude du toit de l’unité géologique. → Carte du “potentiel réduit” (iso-Φ).

( ) ( )( )

( )CK

P Pσ

∗ ∗−Φ = 0x x

xx

Φ= + 2

Φ= - 2

InterfaceP=P(x0)

Exemple dans une coupe: 3 données d’interface et 2 données d’orientation.

2929

Cartographie de l’incertitude sur Cartographie de l’incertitude sur la position des interfacesla position des interfaces

>=32.521.510.50-0.5-1-1.5-2-2.5<-3

Plan Z=500

C 1

Coupe 1

Z=500

3030

La détermination des La détermination des incertitudes sur les incertitudes sur les

paramètres du modèleparamètres du modèle

3131

Incertitudes sur le modèle de Incertitudes sur le modèle de covariancecovariance

Utilisation d’une approche Utilisation d’une approche bayésiennebayésienne pour inférer les paramètres pour inférer les paramètres ?? du modèle:du modèle:

qq Loi Loi a posteriori: a posteriori: qq Loi Loi a priori:a priori:qq Fonction de vraisemblance:Fonction de vraisemblance:

⇒⇒ Simulations selon la loi Simulations selon la loi a posterioria posteriori

( )2, ,θ σ β ν=

( ) ( ) ( )| |zz ππ θθ θ π∝( ) ?π θ

( ) ( ) ( ) ( )2 1 22 1

2

1exp2

|n tz Fz z Fν νσ β β

σπ θ

− − −− ∝ Σ − Σ −

[ ] ( )( ) ( )2

( )

( ), ,

tE Z x f x

Cov Z x Z x x xν

β

σ

=

′ ′= Σ

3232

Résultats de l’approche Résultats de l’approche bayésiennebayésienne II

α β

ν τ

Histogrammes et densités des paramètres a posteriori

Limousin Gz

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00

0.01

0.02

0.03

5000 9000 13000 17000 21000 25000 29000 33000 37000 41000 45000 49000

0.0E0

2.0E-5

4.0E-5

6.0E-5

8.0E-5

1.0E-4

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90

0

2

4

6

8

10

12

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

3333

Résultats de l’approche Résultats de l’approche bayésiennebayésienne IIII

16000 18000 20000 22000 24000 26000 28000

Portée

0.15

0.17

0.19

0.21

0.23

0.25

Pal

ier

10 30 50 70 90

Alpha

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

Tau

Variogramme et relations entre paramètres

Gx ; τ=0.3

Gx

Gz

0 5000 10000 15000 20000 25000

Distance

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

Var

iogr

amm

e

Gz

3434

Autres problèmes:Autres problèmes:la gestion de plusieurs formations la gestion de plusieurs formations

et des failleset des failles

3535

Le cas de formations subLe cas de formations sub--parallèlesparallèles

1

2

3

4

5

6

⇒ Utilisation d’un seul champ de potentiel.

1

2

3

4

56

3636

Le cas de formations Le cas de formations nonnon--parallèlesparallèles II

1

2

3

4

5

6

7

Sans prise en compte des relations ⇒ problème de croisements

⇒ Nécessité d’utiliser plusieurs champs de potentiel.

3737

1

2

3

4

5

6

7 erode

erode

erode

onlap

onlap

onlap

onlap

⇒ Utilisation de plusieurs champs de potentiel en exploitant les règles « erode » et « onlap ».

Le cas de formations Le cas de formations nonnon--parallèlesparallèles IIII

On peut alors remplir les volumes créés à travers le modèle.

3838

Les discontinuitésLes discontinuités

0

1

0

Profil longitudinal

1

0

Profil transversal

Failles finies

Profil longitudinal

0

1

Failles infinies

Profil transversal

1

00

Prise en compte des failles: des fonctions de dérive discontinues sont ajoutées aux équations de cokrigeage

3939

Autres problèmes:Autres problèmes:le traitement des fins de le traitement des fins de

sondagessondages

4040

Les données d’inégalitéLes données d’inégalitéModéliser une interface géologique à partir de données Modéliser une interface géologique à partir de données

exactes et de données d’inégalité.exactes et de données d’inégalité.

-- Données «Données « duresdures »: incertitude attachée à la mesure de »: incertitude attachée à la mesure de la valeur considérée comme négligeable.la valeur considérée comme négligeable.

-- Données «Données « souplessouples »: contraintes accompagnées d’une »: contraintes accompagnées d’une information sur l’incertitude. Données d’inégalité.information sur l’incertitude. Données d’inégalité.

ZB = Z(F1)ZB < Zfin(F2)ZB > Zdeb(F3)

A

B

C

ZB

ZC

F1 F2

F3

4141

Comment prendre en compte les Comment prendre en compte les contraintes d’inégalité ?contraintes d’inégalité ?

Principe:Remplacer les données souples par des données dures respectant:– la structure spatiale– les inégalités

Algorithme de validation des contraintes: simulations de vecteurs gaussiens tronqués par une approche MCMC (échantillonneur de Gibbs) (Freulon, de Fouquet, 1993)

– Valable pour le krigeage simple.– Reste robuste pour le cokrigeage ordinaire ou universel dans le cadre des applications.

KS KSi i i iZ Z Uσ= +

4242

Objectif: remplacer l’inégalité par l’espérance conditionnelle de la valeur compte tenu de l’ensemble des données.

Initialisation: tirage au sort d’une valeur dans l’intervalle.

Cycle de p itérations:

i) Choix d’un site

ii) Relaxation du site

iii) Itérations sur l’ensemble des sites

Itérations sur p cycles → 1 simulation pour chaque siteMonte - Carlo: N simulations de p cycles

L’échantillonneur de GibbsL’échantillonneur de GibbsGeman et Geman, 1984

4343

Cas d’une seule passeCas d’une seule passe

Passe uniquement composée de B: différence de potentiel positive

Passe uniquement composée de A: différence de potentiel négative

Pile stratigraphique

B

A

4444

Cas de deux interfacesCas de deux interfaces

B

A

B en onlapA érodante

Sans validation Avec validation

4545

Le cas de lacunesLe cas de lacunes

SANS

AVEC

B

A

C

D

Pile stratigraphique

C en onlapB érodanteA en onlap

4646

Conclusion IConclusion Iqq «« Editeur GéologiqueEditeur Géologique »: modeleur utilisant la méthode »: modeleur utilisant la méthode

du champ de potentiel afin de construire des modèles du champ de potentiel afin de construire des modèles géologiques 3D géométriquement cohérents et géologiques 3D géométriquement cohérents et respectant les données d’origine diverse.respectant les données d’origine diverse.

Apports principaux de la thèseApports principaux de la thèse::

qq Mise en place dMise en place d’’une procune procéédure ddure d’’infinféérence des rence des paramparamèètres du modtres du modèèle de covariancele de covarianceØ Meilleure prise en compte de la structure spatiale grâce à la

modélisation des variogrammes des données d’orientation.Ø Procédure entièrement automatique: on fournit en entrée le

fichier des données et les paramètres du modèle sont mis à jour dans le logiciel.

4747

Conclusion IIConclusion IIApports principaux de la thèseApports principaux de la thèse::

qq Quantification de l’incertitude affectant les modèles Quantification de l’incertitude affectant les modèles géologiques construitsgéologiques construitsØ Cartographie des incertitudes sur la position des interfaces en

profondeur et détermination de la variance de la cote.ØØ L’approche L’approche baybayéésiennesienne permet de dpermet de dééterminer les incertitudes sur terminer les incertitudes sur

les paramles paramèètres du modtres du modèèle de covariance.le de covariance.

qq Traitement automatique des sondages incomplets.Traitement automatique des sondages incomplets.ØØ Testé dans une approche multicoucheTesté dans une approche multicoucheØØ Résultats encourageants sur données synthétiquesRésultats encourageants sur données synthétiques

4848

PerspectivesPerspectives

qq A préciser:A préciser:qq Etude d’un cas réel de traitement des inégalités .Etude d’un cas réel de traitement des inégalités .qq Impact sur le Impact sur le cokrigeagecokrigeage de l’utilisation de vecteurs de l’utilisation de vecteurs

normés à la place des gradients réels.normés à la place des gradients réels.

qq Développements ultérieurs:Développements ultérieurs:qq Mise en place d’un voisinage glissant à la place d’un Mise en place d’un voisinage glissant à la place d’un

voisinage unique.voisinage unique.qq Meilleure prise en compte des réseaux de failles.Meilleure prise en compte des réseaux de failles.qq Meilleure intégration de la géophysique.Meilleure intégration de la géophysique.qq Simulations conditionnelles.Simulations conditionnelles.……

4949